(完整版)待定系数法求通项专项练习答案
待定系数法求数列通项公式
待定系数法求数列通项公式例題h在数列0｝中，O, - 1,--兀+1,试求其通项金弍，分折*显然,这不是等差豉等比数列，但如果在。
杠=2务+ 1的两迪同对工I上1,整理为+ 1 =2（^+1）.此时,把％"1和4+1看f乍1个整体#或者换元F令如!=%W，那么毎F +打即b^ = 2b ar E"］+l = 2・因此，数列｛耳+1｝或何｝就是以2为首项，以2为公土的筈土散列5 + 1-二或者阮".进一步求出a… = 2H-K启示；在送个何鬆中，容易看出空左苔两边帕上1就枸或了新的等比数歹［0十那不谢看出在左右两边该忙4后枸成新的等比数列时，该怎么办呢？其实，已知％］=加”十1,可变形为十2 = 2（比-心的形式.慝后履幵括号、移项后再与=2%亠1拒比较，利用待定系数法可得昭= L t这榕对于形如片七（其中严彳为羔蛻且驹*0屮*1〉的逵推数列，先变为心：+ —庶斗十心比形式，展开“移匝利弔行定系晝注有3」1）口・2=宀P-1菲七）p -1 P —1匹数列鼻+—M首项为町旦座比为卩的笔比数见I 戶―p-1那么.芝g 变为/(«),/(«)是关于川非零多项弍时.该怎么办呢？是否也能运冃待定系数法呢?二 a” [Jpa 尸十qn+r (pg*O ・Ep#l)型例題2.在数列Q}中，a=l,^：= 2厲+ 3卄1,试求其通项公式。
分析，按照例题1的思路，左两边既妄切上某一常数同时也妾加上n 的倍数，才能便新 的数列有一致的形式C 先变为弘.:+弘十1)一2 = 2(6十如十1,畏开比较得2 = 3•即ai + 3(M + l) = 2g+3n)+4进一步a”i + 3(n +1) + 4 = 2(a w — 3n + 4)则数列匕十3—4｝是a ：十3x1-4 =8苣坝为色十3x1 + 4 = 8公比为2的等比数列，所以同样，形如二叫十驴+ r 的违推数列，设+x{n+l)+y- pia^xn^y)展开.移项、整理，比较对应系数胡尊，歹［岀方程［9；叹・？X N ---解得 <P 」x +尸 q rv- - 2~y -+ - r P-i (P-ir P -I即 4心1 + g («+o + ?宀 +r= q 幺 +z (p-ir P 丿 L的等比数列，于是就可以进一步求出｛q ｝的通项•因此.形如巧="严这—类型的数列.都可以利用待定系数法来求解.则数列"Q+畀厂話是以鳥严二为首项,以卩为公比5 g jp_l (p — L)・ p —l-叵理，若= 其中/(“)是关于n的多项弍时，也可以构造新的等乂数列,利用待定系数法求岀其通项。
待定系数法练习题及答案
待定系数法练习题及答案一、选择题1. 下列关于待定系数法的说法，正确的是（）。
A. 待定系数法适用于求解一阶线性微分方程B. 待定系数法适用于求解二阶线性微分方程C. 待定系数法适用于求解非线性微分方程D. 待定系数法适用于求解所有类型的微分方程2. 在使用待定系数法求解非齐次线性微分方程时，假设特解形式为（）。
A. y = eaxB. y = ebxC. y = ax + bD. y = x^2 + ax + b3. 对于二阶线性非齐次微分方程 y'' + py' + qy = f(x)，其中f(x)为已知的函数，下列关于特解形式的说法，正确的是（）。
A. 当f(x) = eax时，特解形式为y = AeaxB. 当f(x) = cosbx时，特解形式为y = Acosbx + BsinbxC. 当f(x) = e^(x)时，特解形式为y = Ax + BD. 当f(x) = x^2时，特解形式为y = x^2 + ax + b二、填空题1. 使用待定系数法求解非齐次线性微分方程时，需要求出其______（通解/特解）。
2. 对于一阶线性非齐次微分方程 y' + py = f(x)，当f(x) = eax时，其特解形式为______。
3. 对于二阶线性非齐次微分方程 y'' + py' + qy = f(x)，当f(x) = cosbx时，其特解形式为______。
三、解答题1. 使用待定系数法求解下列微分方程的特解：y' y = 2x2. 使用待定系数法求解下列微分方程的特解：y'' + y = sinx3. 使用待定系数法求解下列微分方程的特解：y''' 3y'' + 3y' y = e^(x)4. 使用待定系数法求解下列微分方程的特解：y'' + 4y = 4x^2 + 3x + 25. 使用待定系数法求解下列微分方程的特解：y'' 2y' + y = e^x cosx四、应用题1. 某物体在直线运动中，其加速度a(t)与时间t的关系为a(t) = 4 t^2，初始速度为v(0) = 0，求物体在t时刻的速度v(t)。
2018-2019学年高中数学人教B版必修一练习：2.2.3 待定系数法 Word版含解析
2.2.3 待定系数法【选题明细表】知识点、方法题号待定系数法1,5,7数形结合与待定系数法2,4,6,8二次函数综合应用3,9,10,111.已知一个一次函数的图象过点(1,3),(3,4),则这个函数的解析式为( B )(A)y=x- (B)y=x+(C)y=-x+(D)y=-x-解析:可将点代入验证或用待定系数法求解.2.如果函数y=ax+2与y=bx+3的图象相交于x轴上一点,那么a,b的关系是( B )(A)a=b (B)a∶b=2∶3(C)a+2=b+3(D)ab=1解析:设两函数图象交于x轴上的点为(t,0),代入解析式有a=-,b=-,所以a∶b=∶=2∶3.3.(2018·北京海淀19中期中)已知二次函数f(x),f(0)=6,且f(3)=f(2)=0,那么这个函数的解析式是( D )(A)f(x)=x2+x+6(B)f(x)=x2-x+6(C)f(x)=x2+5x+6(D)f(x)=x2-5x+6解析:法一 由f(3)=f(2)=0可知二次函数对称轴方程为x=.四个选项中只有D选项对称轴方程为x=.故选D.法二 因为f(3)=f(2)=0,所以2,3是函数图象与x轴交点的横坐标,因此二次函数的解析式可设为f(x)=a(x-2)(x-3).结合f(0)=6可知a=1.所以选D.4.已知二次函数的二次项系数为1,该函数图象与x轴有且仅有一个交点(2,0),则此二次函数的解析式为 .解析:由题可设f(x)=x2+px+q,因为图象与x轴有且仅有一个交点(2,0),所以(2,0)是抛物线的顶点,即-=2,所以p=-4,又f(2)=22-4×2+q=0,所以q=4,所以f(x)=x2-4x+4.答案:f(x)=x2-4x+45.(2018·北京西城13中期中)已知一次函数f(x)=4x+3,且f(ax+b)=8x+7,则a-b= .解析:一次函数f(x)=4x+3,所以f(ax+b)=4(ax+b)+3=8x+7,得解得a=2,b=1.所以a-b=1.答案:16.如图所示,一次函数图象经过点A,且与正比例函数y=-x的图象交于点B,则该一次函数的表达式为( B )(A)y=-x+2(B)y=x+2(C)y=x-2(D)y=-x-2解析:设一次函数解析式为y=kx+b(k≠0),由已知可得A(0,2),B(-1,1)在一次函数图象上.所以解得所以一次函数表达式为y=x+2.故选B.7.二次函数f(x)=ax2+bx+c经过点(1,7),且有f(x)≥f(-2)=-2,则f(x)的解析式为( B )(A)f(x)=x2+2x+2(B)f(x)=x2+4x+2(C)f(x)=x2+4x-2(D)f(x)=x2+4x+4解析:依题意,f(x)=a(x+2)2-2,将点(1,7)代入得7=9a-2.所以a=1,所以f(x)=(x+2)2-2=x2+4x+2.故选B.8.二次函数满足f(1+x)=f(1-x),且在x轴上的一个截距为-1,在y轴上的截距为3,则其解析式为 .解析:由f(1+x)=f(1-x)知二次函数的对称轴为x=1,且过(-1,0), (0,3),设f(x)=ax2+bx+c.则解得答案:f(x)=-x2+2x+39.已知二次函数y=f(x),当x=2时函数取最小值-1,且f(1)+f(4)=3.(1)求f(x)的解析式;(2)若g(x)=f(x)-kx在区间[1,4]上不单调,求实数k的取值范围.解:(1)由条件设f(x)=a(x-2)2-1;又f(1)+f(4)=3,则a=1,所以f(x)=x2-4x+3.(2)当x∈[1,4]时,由题意,g(x)=x2-(k+4)x+3,因其在区间[1,4]上不单调,则有1<<4,解得-2<k<4,即实数k的取值范围为(-2,4). 10.(2018·云南师范大学五华区实验中学期中)已知函数f(x)=x2+ ax+b.(1)若对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立,求实数a的值;(2)若f(x)为偶函数,求实数a的值;(3)若f(x)在[1,+∞)内单调递增,求实数a的取值范围.解:(1)由f(1+x)=f(1-x)得,x=1为f(x)的对称轴.所以-=1,所以a=-2.(2)若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),即(-x)2+a(-x)+b=x2+ax+b,x2-ax+b=x2+ax+b,所以a=0.(3)因为f(x)的对称轴为x=-,且f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以-≤1,所以a≥-2.故实数a的取值范围为[-2,+∞).11.(2018·湖北襄阳四校联考)已知二次函数f(x)的最大值为3,且f(1)=f(5)=-5.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在区间[2,2+a](a>0)上的最大值.解:(1)设二次函数f(x)的解析式为y=a(x-k)2+h,由f(1)=f(5)知,f(x)图象关于直线x=3对称,所以k=3.又f(x)max=3,所以h=3.由f(1)=-5得a=-2.所以y=-2(x-3)2+3=-2x2+12x-15.(2)由(1)知,函数f(x)图象的对称轴为x=3.①当2+a≤3,即0<a≤1时,f(x)在[2,2+a]上为增函数,所以f(x)max=f(a+2)=-2a2+4a+1.②当2+a>3,即a>1时,f(x)在[2,3]上为增函数,在(3,2+a]上为减函数所以f(x)max=f(3)=3.综上f(x)max= 。
待定系数法求通项(很全很简洁)
第二类：形如：an+1=Aan+Ban-1
例3：已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：法ห้องสมุดไป่ตู้：
设
比较系数得 或 ，不妨取 ，（取-3结果形式可能不同，但本质相同）
则 ，则 是首项为4，公比为3的等比数列
，所以
法2：an+2+Kan+1=(5+k)an+1-6an=(5+k)(an+1-6/(5+k)an)
K=-2或-3
an+2-2an+1=3（an+1-2an）
练习3.数列 中，若 ,且满足 ,求 .
答案： .
第三类：形如：an+1=Aan+f(n)
例4：已知 ,求an.
例5已知a1=-1, an=3an-1+2n(n≥2)，求an.
广州市铁一中学
第一类：形如an+1=A·an+B
例1已知 ，求
解：设 ，则由已知得k=2，即{an-2}成等比数列。
练1：已知数列{an}中，a1=1，an＋1=2an＋1。求an。
例2已知a1=1,n≥2时， ,求an.
解：取倒数得 ,设 ,则 ,即归结为求{bn}的通项。
若c≠0,则可设常数k、m满足： ,转为求 的通项。
求数列通项公式的十种方法,例题答案详解
求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一.利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二. 四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三. 求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四. 求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五. 数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法1. ---------------------------------------------- 适用于：。
心=“"+/（，?）这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。
2. 若％+]-%= /(〃)(〃 > 2),«2 - a\ =/(1)则I*)两边分别相加得。
心一明 =文/0?）A.1例1已知数列｛%｝满足。
心=% + 2n + 1, %=1,求数列｛%｝的通项公式。
解：由S =缶+2// + 1得《土一％= 2〃 +1则% =（% 一%）+（%.| - ％.2）+ •・• +（% - 务）+（% - 角）+ % =[2（〃一1） + 1] + [2（〃一2）+ 1] +…+ （2x2 + 1） +（2x1+ 1） + 1 =2[（〃一1） + （〃一2）+ …+ 2 +1] + （〃一1） +1（fi-l）n ,八， =2 +（〃一1） + 1=（〃一1）（〃+ 1） + 1=，?-所以数列｛劣｝的通项公式为％ =〃七例2已知数列｛%｝满足％|=%+2x3"+l,《=3,求数列｛丹｝的通项公式。
解法一：由““I =ci n +2x3" +1 得为+[ -％=2x3" +1 则% =（% 一《I）+ （%| —《一2）+ • • • + （% - 缶）+（缶一妃 + % =（2X3”T +1）+（2X3"-2 +1）+ ...+（2x3?+ l） + （2x3】+1） + 3= 2（3/,-1+3n-2+.-- + 32+31） + （n-l） + 33（1—3”T）=2•- ]-、一 + （〃_1） + 3=3”一3+ 〃一1 + 3=3”+〃一1所以a n = 3" +〃一1.解法二：“,*=3%+2x3”+1两边除以3”“，得参=3 + ： +名，an =(% _ 4-1)+(勺― , 3-2 %-3a3〃 3" )+(22^_4)+ ・.. +(查一 *%】a . 3〃-2 明 3〃-3 32 313/2 1、，2 1、，2 1、 2 13(—+ ) + ( — + r) + (— H + ■ . ■ + (— + -^r) + —3 3” 3 3〃-】 3 3心 3 32 32(n-1) ,11 1 11、「3 3" 3〃 3”-' 3〃-2 323“ 因此色=翌1 +剥一3")+1=空+- 1-33 2 2x3〃3〃32 1 1贝 ij a n = —x 〃x3" + —x3"——・3 2 2评注：已知4 =",匕由一。
必修一函数待定系数法含答案
必修一函数待定系数法含答案SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#2．2.3待定系数法一、选择题1．将二次函数y＝x2的图象沿y轴向下平移h个单位，沿x轴向左平移k 个单位得到y＝x2－2x＋3的图象，则h，k的值分别为( )A．－2，－1B．2，－1C．－2,1D．2,12．二次函数y＝－x2－6x＋k的图象的顶点在x轴上，则k的值为( ) A．－9B．9C．3D．－33．已知二次函数的图象顶点为(2，－1)，且过点(3,1)，则函数的解析式为( )A．y＝2(x－2)2－1B．y＝2(x＋2)2－1C．y＝2(x＋2)2＋1D．y＝2(x－2)2＋14．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求此二次函数的解析式为( )A．4x2＋4x＋7B．4x2－4x－7C．－4x2－4x＋7D．－4x2＋4x＋75．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图中的( )6．设函数f(x)＝，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为( )A．1B．2C．3D．4题号123456答案二、填空题7.如图所示，抛物线y＝－x2＋2(m＋1)x＋m＋3与x轴交于A、B两点，且OA ＝3OB，则m＝________.8．已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________.9．若一次函数y＝f(x)在区间[－1,3]上的最小值为1，最大值为3，则f(x)的解析式为__________．三、解答题10．已知二次函数f(x)对一切x∈R，有f(2－x)＝f(x)，f(－1)＝0，且f(x)≥－1.(1)求二次函数解析式；(2)若直线l过(1)中抛物线的顶点和抛物线与x轴左侧的交点，求l在y轴上的截距．11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与y＝－x2＋2x＋3的形状相同，开口方向相反，与直线y＝x－2的交点坐标为(1，n)和(m,1)，求这个二次函数的解析式．能力提升12．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，f(bx)＝9x2－6x＋2，其中x∈R，a，b为常数，则方程f(ax＋b)＝0的解集为__________．13．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．1．待定系数法的理论依据是多项式恒等，即等式左右两边对应项系数相等．2．利用待定系数法解决问题的步骤(1)根据已知条件写出待定函数的一般式；(2)由x、y的几对值，或图象上的几个点的坐标或其他条件，建立以待定系数为未知数的方程或方程组；(3)解方程(组)得到待定系数的值；(4)将求出的系数代回所设函数解析式中得函数解析式．用待定系数法求函数解析式步骤简缩成：第一步：设；第二步：代；第三步：求；第四步：写．即“设、代、求、写”．2．2.3 待定系数法知识梳理1．这个函数的一般形式一般形式题设条件待定系数2．(1)y＝kx(k≠0) (2)y＝kx＋b(k≠0) (3)y＝(k≠0) (4)①y＝ax2＋bx＋c(a≠0) ②y＝a(x－h)2＋k(a≠0)③y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)作业设计1．A2．A [∵y＝－(x＋3)2＋k＋9，∴k＋9＝0，k＝－9.]3．A [设顶点式y＝a(x－2)2－1，将(3,1)代入得a＝2.]4．D [设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意有解之，得∴所求二次函数为y＝－4x2＋4x＋7.]5．D [由已知可知a>0，c<0，且f(1)＝0，所以选D.]6．C [由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，解得b＝4，c＝2，∴f(x)＝∴方程f(x)＝x?或解得x＝2或x＝－1或x＝－2，均合题意．]7．0解析设B(x0,0)(x0<0)，则A(－3x0,0)，y＝－(x－x0)(x＋3x0)展开得：，解得m＝0或m＝－，由x0<0得m＋1>0，m>－1，∴m＝0.8．2解析f(ax＋b)＝(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3＝a2x2＋(2ab＋4a)x＋b2＋4b＋3又f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，∴，∴或.∴5a－b＝2.9．f(x)＝x＋或f(x)＝－x＋解析设f(x)＝kx＋b(k≠0)．当k>0时，，解得.当k<0时，，解得.∴f(x)＝x＋或f(x)＝－x＋.10．解(1)由f(2－x)＝f(x)，得二次函数图象的对称轴为x＝1，由f(x)≥－1对一切x∈R成立，得二次函数的最小值为－1.设二次函数的解析式为f(x)＝a(x－1)2－1，∵f(－1)＝0，∴4a－1＝0，∴a＝，∴f(x)＝(x－1)2－1＝x2－x－.(2)设直线l的解析式为g(x)＝kx＋b.由(1)知，抛物线顶点为C(1，－1)，由x2－x－＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴l过点A(－1,0)，∴，解得，∴一次函数为y＝－x－.在y轴上的截距为b＝－.11．解∵y＝ax2＋bx＋c的图象与y＝－x2＋2x＋3的形状相同，开口方向相反，∴a＝.∴二次函数解析式变为y＝x2＋bx＋c.将点(1，n)和(m,1)代入直线方程y＝x－2，得解得∴二次函数与直线的交点为(1，－1)和(3,1)．将这两个点的坐标分别代入y＝x2＋bx＋c，得解得∴所求的二次函数的解析式为y＝x2－x－.12．?解析∵f(x)＝x2＋2x＋a，∴f(bx)＝(bx)2＋2bx＋a＝b2x2＋2bx＋a＝9x2－6x＋2.则有即∴f(2x－3)＝(2x－3)2＋2(2x－3)＋2＝4x2－8x＋5＝0.∵Δ＝64－80<0，∴方程f(ax＋b)＝0无实根．13．解(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，∴c＝1，∴f(x)＝ax2＋bx＋1.∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴2ax＋a＋b＝2x，∴，∴，∴f(x)＝x2－x＋1.(2)由题意：x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．令g(x)＝x2－3x＋1－m＝(x－)2－－m，其对称轴为x＝，∴g(x)在区间[－1,1]上是减函数，∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，∴m<－1.。
数列通项公式与前n项和的18种求法(含详细例题)
求数列前N 项和的方法1. 公式法等差数列前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。
其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n kS nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式）∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②（设制错位）①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位）①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS（错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1 ①①两边同乘以x ，得 x S n =x+5 x 2+9x 3+······+(4n-3)x n ②①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+ nx ）-（4n-3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n ) 1-x +1-（4n-3）x n ]3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.54. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n（分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+---[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n练习：求数列∙∙∙+∙∙∙),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。
待定系数法练习题及答案
待定系数法练习题及答案待定系数法是一种常用的解决代数方程的方法，它可以帮助我们求解一些复杂的方程，尤其是含有未知系数的方程。
在本文中，我们将通过一些练习题来探讨待定系数法的应用，并给出相应的答案。
1. 求解方程：3x + 4 = 2x - 1首先，我们需要将方程转化为标准形式，即将所有项移到等号的一侧。
将方程重新排列得到：3x - 2x = -1 - 4，简化得到 x = -5。
2. 求解方程：2x^2 - 5x + 2 = 0这是一个二次方程，我们需要找到它的根。
首先，我们可以尝试因式分解，但很明显这个方程不能被因式分解。
因此，我们可以使用待定系数法来解决。
假设方程的解为 x = a 和 x = b，那么我们可以将方程表示为 (x - a)(x - b) = 0。
将方程展开得到 x^2 - (a + b)x + ab = 0。
与原方程进行比较，我们可以得到以下等式：a + b = 5，ab = 2。
根据这两个等式，我们可以列出一个二元一次方程组：a + b = 5，ab = 2。
解这个方程组，我们可以得到 a = 2，b = 3。
因此，方程的解为 x = 2 和 x = 3。
3. 求解方程：x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0这是一个三次方程，我们同样可以使用待定系数法来解决。
假设方程的解为 x = a，那么我们可以将方程表示为 (x - a)(x^2 + (a + 3)x + (a^2 + 3a + 1)) = 0。
展开方程得到 x^3 + (3a + 1)x^2 + (3a^2 + 6a + 1)x + (a^3 + 3a^2 + 3a + 1) = 0。
与原方程进行比较，我们可以得到以下等式：3a + 1 = 3，3a^2 + 6a + 1 = 3，a^3 + 3a^2 + 3a + 1 = 0。
解这个方程组，我们可以得到 a = 1。
因此，方程的解为 x = 1。
通过以上几个练习题，我们可以看到待定系数法在解决代数方程中的重要性。
初二待定系数法练习题及答案
初二待定系数法练习题及答案一、解方程1. 求解方程：3x + 5 = 8解答：首先将方程中的常数项移到右边：3x = 8 - 53x = 3然后将系数3移到右边：x = 1答案：x = 12. 求解方程：2(y + 3) = 10解答：先将括号中的式子进行运算：2y + 6 = 10然后将常数项移到右边：2y = 10 - 62y = 4最后将系数2移到右边：y = 2答案：y = 2二、利用待定系数法解题3. 利用待定系数法解方程组：2x + y = 53x - y = 1解答：设未知数的系数为a、b，得到方程组：2x + y = 5 （1）3x - y = 1 （2）将方程（1）和方程（2）中的y项消去，得到等式：2x + y + 3x - y = 5 + 15x = 6解得：x = 6/5将x的值代入方程（1）中，得：2(6/5) + y = 512/5 + y = 5y = 25/5 - 12/5y = 13/5答案：x = 6/5，y = 13/54. 利用待定系数法解方程组：3x - y + 2z = 7x + y - 3z = -12x + 3y + z = 10解答：设未知数的系数为a、b、c，得到方程组：3x - y + 2z = 7 （1）x + y - 3z = -1 （2）2x + 3y + z = 10 （3）将方程（1）、（2）和（3）中的y项和z项消去，得到等式：3x - y + 2z + x + y - 3z + 2x + 3y + z = 7 - 1 + 106x = 16解得：x = 16/6 = 8/3将x的值代入方程（1）、（2）和（3）中，得：3(8/3) - y + 2z = 78 - y + 2z = 7-y + 2z = -1 （4）8/3 + y - 3z = -1y - 3z = -1 - 8/3y - 3z = -3/3 - 8/3y - 3z = -11/3 （5）2(8/3) + 3y + z = 1016/3 + 3y + z = 103y + z = 10 - 16/33y + z = 30/3 - 16/33y + z = 14/3 （6）从等式（4）、（5）和（6）中解得：y = 1，z = 3答案：x = 8/3，y = 1，z = 3总结：通过待定系数法，我们可以解决一般的线性方程和线性方程组，通过设定适当的未知数系数，将方程中的未知数进行消去，从而得到最终的解答。
求数列通项公式的十种方法,例题答案详解
求数列通项公式的十一种办法（办法全,例子全,归纳细）总述：一．运用递推关系式求数列通项的11种办法：累加法.累乘法.待定系数法.阶差法（逐差法）.迭代法.对数变换法.倒数变换法.换元法（目标是去递推关系式中消失的根号）.数学归纳法.不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）.特点根法二.四种根本数列：等差数列.等比数列.等和数列.等积数列及其广义情势.等差数列.等比数列的求通项公式的办法是：累加和累乘,这二种办法是求数列通项公式的最根本办法.三．求数列通项的办法的根本思绪是：把所求数列经由过程变形,代换转化为等差数列或等比数列.四．求数列通项的根本办法是：累加法和累乘法.五．数列的本质是一个函数,其界说域是天然数集的一个函数. 一.累加法1．实用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最根本的二个办法之一. 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥,则21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=双方分离相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 知足11211n n a a n a +=++=，,求数列{}n a 的通项公式. 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =.例2 已知数列{}n a 知足112313n n n a a a +=+⨯+=，,求数列{}n a 的通项公式. 解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.n n a n =+-解法二：13231n n n a a +=+⨯+双方除以13n +,得111213333n n n n n a a +++=++, 则111213333n n n n n a a +++-=+,故 是以11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯, 则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯-评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+,个中f(n)可所以关于n 的一次函数.二次函数.指数函数.分式函数,求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数,累加后可转化为等差数列乞降; ②若f(n)是关于n 的二次函数,累加后可分组乞降;③若f(n)是关于n 的指数函数,累加后可转化为等比数列乞降; ④若f(n)是关于n 的分式函数,累加后可裂项乞降.例3.已知数列}{n a 中,0>n a 且)(21n n n a na S +=,求数列}{n a 的通项公式.解:由已知)(21n n n a n a S +=得)(2111---+-=n n n n n S S n S S S ,化简有n S S n n =--212,由类型(1)有n S S n ++++= 32212,又11a S =得11=a ,所以2)1(2+=n n S n,又0>n a ,2)1(2+=n n s n ,则2)1(2)1(2--+=n n n n a n此题也可以用数学归纳法来求解. 二.累乘法1.实用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列 累乘法是最根本的二个办法之二. 2．若1()n n a f n a +=,则31212(1)(2)()n na aaf f f n a a a +===，，， 双方分离相乘得,1111()nn k a a f k a +==⋅∏例4 已知数列{}n a 知足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，,求数列{}n a 的通项公式. 解：因为112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，,所以0n a ≠,则12(1)5n n na n a +=+,故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=⋅⋅⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯例5.设{}n a 是首项为1的正项数列,且()011221=+-+++n n n n a a na a n （n =1,2,3,…）,则它的通项公式是n a =________.解：已知等式可化为：[]0)1()(11=-++++n n n n na a n a a0>n a (*N n ∈)∴(n+1)01=-+n n na a , 即11+=+n n a a n n∴2≥n 时,n n a a n n 11-=- ∴112211a a a a a a a a n n n n n ⋅⋅⋅⋅=--- =121121⋅⋅--⋅- n n n n =n 1.评注：本题是关于n a 和1+n a 的二次齐次式,可以经由过程因式分化（一般情形时用求根公式）得到n a 与1+n a 的更为显著的关系式,从而求出n a .1,111->-+=+a n na a n n ,求数列{an}的通项公式.答案：=n a )1()!1(1+⋅-a n -1.评注：本题解题的症结是把本来的递推关系式,11-+=+n na a n n 转化为),1(11+=++n n a n a 若令1+=n n a b ,则问题进一步转化为n n nb b =+1情势,进而运用累乘法求出数列的通项公式. 三.待定系数法 实用于1()n n a qa f n +=+根本思绪是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其界说域是天然数集的一个函数.1．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,个中a a =1)型 （1）若c=1时,数列{n a }为等差数列; （2）若d=0时,数列{n a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时,数列{n a }为线性递推数列,其通项可经由过程待定系数法结构帮助数列来求.待定系数法：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得d c =-λ)1(,所以)0(,1≠-=c cd λ所以有：)1(11-+=-+-c d a c c d a n n是以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 组成认为11-+c d a 首项,以c 为公比的等比数列,所以11)1(1-⋅-+=-+n n c c d a c d a 即：1)1(11--⋅-+=-c d c c d a a n n . 纪律：将递推关系d ca a n n +=+1化为)1(11-+=-++c da c c d a n n ,结构成公比为c 的等比数列}1{-+c da n 从而求得通项公式)1(1111-++-=-+c d a c c d a n n 逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系d ca a n n +=+1中把n 换成n-1有d ca a n n +=-1,两式相减有)(11-+-=-n n n n a a c a a 从而化为公比为c的等比数列}{1n n a a -+,进而求得通项公式.)(121a a c a a nn n -=-+,再运用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此办法比较庞杂.例6已知数列{}n a 中,111,21(2)n n a a a n -==+≥,求数列{}n a 的通项公式. 解法一：121(2),n n a a n -=+≥又{}112,1n a a +=∴+是首项为2,公比为2的等比数列12n n a ∴+=,即21n n a =-解法二：121(2),n n a a n -=+≥两式相减得112()(2)n n n n a a a a n +--=-≥,故数列{}1n n a a +-是首项为2,公比为2的等比数列,再用累加法的……演习．已知数列}{n a 中,,2121,211+==+n n a a a 求通项n a .答案：1)21(1+=-n n a2．形如：nn n q a p a +⋅=+1 (个中q 是常数,且n ≠0,1)①若p=1时,即：nn n q a a +=+1,累加即可.②若1≠p 时,即：n n n q a p a +⋅=+1,求通项办法有以下三种偏向：i. 双方同除以1+n p .目标是把所求数列结构成等差数列即：nnn n n q p p q a p a )(111⋅+=++,令n n n pa b =,则nn n q p p b b )(11⋅=-+,然后类型1,累加求通项.ii.双方同除以1+n q . 目标是把所求数列结构成等差数列.即：q q a q p q a n n n n 111+⋅=++,令nn n q a b =,则可化为q b q p b n n 11+⋅=+.然后转化为类型5来解,iii.待定系数法：目标是把所求数列结构成等差数列设)(11nn n n p a p q a ⋅+=⋅+++λλ.经由过程比较系数,求出λ,转化为等比数列求通项.留意：运用待定系数法时,请求p ≠q,不然待定系数法会掉效. 例7已知数列{}n a 知足1112431n n n a a a -+=+⋅=，,求数列{}n a 的通项公式. 解法一（待定系数法）：设11123(3n n n n a a λλλ-++=+⋅),比较系数得124,2λλ=-=,则数列{}143n na--⋅是首项为111435a --⋅=-,公比为2的等比数列,所以114352n n n a ---⋅=-⋅,即114352n n n a --=⋅-⋅解法二（双方同除以1+n q ）： 双方同时除以13n +得：112243333n n n n a a ++=⋅+,下面解法略解法三（双方同除以1+n p ）： 双方同时除以12+n 得：nn n n n a a )23(342211⋅+=++,下面解法略3．形如b kn pa a n n ++=+1 (个中k,b 是常数,且0≠k ) 办法1：逐项相减法（阶差法） 办法2：待定系数法经由过程凑配可转化为 ))1(()(1y n x a p y xn a n n +-+=++-; 解题根本步调： 1.肯定()f n =kn+b2.设等比数列)(y xn a b n n ++=,公比为p3.列出关系式))1(()(1y n x a p y xn a n n +-+=++-,即1-=n n pb b4.比较系数求x,y5.解得数列)(y xn a n ++的通项公式6.解得数列{}n a 的通项公式例8 在数列}{n a 中,,23,111n a a a n n +==+求通项n a .（逐项相减法） 解： ,,231n a a n n +=+①∴2≥n 时,)1(231-+=-n a a n n ,两式相减得 2)(311+-=--+n n n n a a a a .令n n n a a b -=+1,则231+=-n n b b运用类型5的办法知2351+⋅=-n n b 即 13511-⋅=--+n nn a a ②再由累加法可得213251--⋅=-n a n n . 亦可联立 ①②解出213251--⋅=-n a n n .例9. 在数列{}na 中,362,2311-=-=-n a a a n n ,求通项n a .（待定系数法）解：原递推式可化为y n x a y xn a n n ++-+=++-)1()(21 比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为12-=n n b b 所所以{}n b 一个等比数列,首项299611=+-=n a b ,公比为21.1)21(29-=∴n n b 即：n n n a )21(996⋅=+- 故96)21(9-+⋅=n a n n .4．形如c n b n a pa a n n +⋅+⋅+=+21 (个中a,b,c 是常数,且0≠a ) 根本思绪是转化为等比数列,而数列的本质是一个函数,其界说域是天然数集的一个函数.例10 已知数列{}n a 知足21123451n n a a n n a +=+++=，,求数列{}n a 的通项公式.解：设221(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++ 比较系数得3,10,18x y z ===,所以2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++ 由213110118131320a +⨯+⨯+=+=≠,得2310180n a n n +++≠则2123(1)10(1)18231018n n a n n a n n ++++++=+++,故数列2{31018}n a n n +++为认为21311011813132a +⨯+⨯+=+=首项,以2为公比的等比数列,是以2131018322n n a n n -+++=⨯,则42231018n n a n n +=---. 21 n n n a pa qa ++=+时将n a 作为()f n 求解剖析：原递推式可化为211()() n n n n a a p a a λλλ++++=++的情势,比较系数可求得λ,数列{}1n n a a λ++为等比数列.例11 已知数列{}n a 知足211256,1,2n n n a a a a a ++=-=-=,求数列{}n a 的通项公式.解：设211(5)()n n n n a a a a λλλ++++=++比较系数得3λ=-或2λ=-,无妨取2λ=-,（取-3 成果情势可能不合,但本质雷同）则21123(2)n n n n a a a a +++-=-,则{}12n n a a +-是首项为4,公比为3的等比数列11243n n n a a -+∴-=⋅,所以114352n n n a --=⋅-⋅{}n a 中,若2,821==a a ,且知足03412=+-++n n n a a a ,求n a .答案： nn a 311-=.四.迭代法 rn n pa a =+1(个中p,r 为常数)型例12 已知数列{}n a 知足3(1)2115nn n n a a a ++==，,求数列{}n a 的通项公式. 解：因为3(1)21nn n n a a ++=,所以又15a =,所以数列{}n a 的通项公式为(1)123!25n n n n n a --⋅⋅=.注：本题还可分解运用累乘法和对数变换法求数列的通项公式.五.对数变换法 实用于rn n pa a =+1(个中p,r 为常数)型 p>0,0>n a 例14. 设正项数列{}n a 知足11=a ,212-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式.解：双方取对数得：122log 21log -+=n n a a ,)1(log 21log 122+=+-n n a a ,设1log 2+=n a nb ,则12-=n n b b {}n b 是以2为公比的等比数列,11log 121=+=b 11221--=⨯=n n n b ,1221log -=+n a n ,12log 12-=-n a n ,∴1212--=n n a演习 数列{}n a 中,11=a ,12-=n n a a （n ≥2）,求数列{}n a 的通项公式.答案：nn a --=2222例15 已知数列{}n a 知足5123n n n a a +=⨯⨯,17a =,求数列{}n a 的通项公式.解：因为511237n n n a a a +=⨯⨯=，,所以100n n a a +>>，.双方取经常运用对数得1lg 5lg lg3lg2n n a a n +=++ 设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++（同类型四） 比较系数得,lg 3lg 3lg 2,4164x y ==+ 由1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg 1lg 71041644164a +⨯++=+⨯++≠,得lg 3lg 3lg 2lg 04164n a n +++≠,所以数列lg 3lg 3lg 2{lg }4164n a n +++是认为lg 3lg 3lg 2lg 74164+++首项,以5为公比的等比数列,则1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (lg 7)541644164n n a n -+++=+++,是以11111111116164444111115161644445415151164lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (lg 7)54164464[lg(7332)]5lg(332)lg(7332)lg(332)lg(732)n n n n n n n n n n a n --------=+++---=⋅⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅则11541515164732n n n n n a -----=⨯⨯.六.倒数变换法 实用于分式关系的递推公式,分子只有一项 例16 已知数列{}n a 知足112,12nn n a a a a +==+,求数列{}n a 的通项公式. 解：求倒数得11111111111,,22n n n n n n a a a a a a +++⎧⎫=+∴-=∴-⎨⎬⎩⎭为等差数列,首项111a =,公役为12,112(1),21n n n a a n ∴=+∴=+ 七.换元法 实用于含根式的递推关系 例17 已知数列{}n a知足111(14116n n a a a +=+=，,求数列{}n a 的通项公式.解：令n b =则21(1)24n n a b =-代入11(1416n n a a +=++得 即2214(3)n n b b +=+因为0n b =,则123n n b b +=+,即11322n n b b +=+,可化为113(3)2n n b b +-=-,所所以{3}n b -认为13332b -===首项,认为21公比的等比数列,是以121132()()22n n n b ---==,则21()32n n b -=+,21()32n -=+,得2111()()3423n n n a =++. 八.数学归纳法 经由过程首项和递推关系式求出数列的前n 项,猜出数列的通项公式,再用数学归纳法加以证实.例18 已知数列{}n a 知足11228(1)8(21)(23)9n n n a a a n n ++=+=++，,求数列{}n a 的通项公式.解：由1228(1)(21)(23)n n n a a n n ++=+++及189a =,得由此可猜测22(21)1(21)n n a n +-=+,下面用数学归纳法证实这个结论. （1）当1n =时,212(211)18(211)9a ⨯+-==⨯+,所以等式成立.（2）假设当n k =时等式成立,即22(21)1(21)k k a k +-=+,则当1n k =+时, 由此可知,当1n k =+时等式也成立.依据（1）,（2）可知,等式对任何*n N ∈都成立. 九.阶差法（逐项相减法） 1.递推公式中既有n S ,又有n a 剖析：把已知关系经由过程11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩转化为数列{}n a 或n S 的递推关系,然后采取响应的办法求解.例19 已知数列{}n a 的各项均为正数,且前n 项和n S 知足1(1)(2)6n n n S a a =++,且249,,a a a 成等比数列,求数列{}n a 的通项公式.解：∵对随意率性n N +∈有1(1)(2)6n n n S a a =++⑴ ∴当n=1时,11111(1)(2)6S a a a ==++,解得11a =或12a = 当n ≥2时,1111(1)(2)6n n n S a a ---=++⑵ ⑴-⑵整顿得：11()(3)0n n n n a a a a --+--= ∵{}n a 各项均为正数,∴13n n a a --=当11a =时,32n a n =-,此时2429a a a =成立当12a =时,31n a n =-,此时2429a a a =不成立,故12a =舍去所以32n a n =-演习.已知数列}{n a 中,0>n a 且2)1(21+=n n a S ,求数列}{n a 的通项公式.答案：n n na S S =--1212)1()1(+=--n n a a 12-=n a n2.对无限递推数列例20 已知数列{}n a 知足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，,求{}n a 的通项公式.解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥① 所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+② 用②式－①式得1.n n n a a na +-=则1(1)(2)n n a n a n +=+≥ 故11(2)n na n n a +=+≥ 所以13222122![(1)43].2n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⨯=③由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥,21222n a a a ==+取得,则21a a =,又知11a =,则21a =,代入③得!13452n n a n =⋅⋅⋅⋅⋅=. 所以,{}n a 的通项公式为!.2n n a =十.不动点法 目标是将递推数列转化为等比（差）数列的办法不动点的界说：函数()f x 的界说域为D ,若消失0()f x x D ∈,使00()f x x =成立,则称0x 为()f x 的不动点或称00(,())x f x 为函数()f x 的不动点.剖析：由()f x x =求出不动点0x ,在递推公式双方同时减去0x ,在变形求解.类型一：形如1 n n a qa d +=+例21 已知数列{}n a 中,111,21(2)n n a a a n -==+≥,求数列{}n a 的通项公式. 解：递推关系是对应得递归函数为()21f x x =+,由()f x x =得,不动点为-1 ∴112(1)n n a a ++=+,…… 类型二：形如1n n n a a ba c a d+⋅+=⋅+剖析：递归函数为()a x bf x c x d⋅+=⋅+（1）如有两个相异的不动点p,q 时,将递归关系式双方分离减去不动点p,q,再将两式相除得11n nn n a p a pk a q a q++--=⋅--,个中a pck a qc-=-,∴111111()()()()n n n a q pq k a p pq a a p k a q -----=---（2）如有两个雷同的不动点p,则将递归关系式双方减去不动点p,然后用1除,得111n n k a p a p+=+--,个中2c k a d =+. 例22. 设数列{}n a 知足7245,211++==+n n n a a a a ,求数列{}n a 的通项公式.剖析：此类问题经常运用参数法化等比数列求解. 解：对等式两头同时加参数t,得：725247)52(727)52(72451+++++=+++=+++=++n n n n n n n a t t a t a t a t t a a t a , 令5247++=t t t , 解之得t=1,-2 代入72)52(1+++=++n n n a t a t t a 得 721311+-=-+n n n a a a ,722921++=++n n n a a a ,相除得21312111+-⋅=+-++n n n n a a a a ,即{21+-n n a a }是首项为412111=+-a a ,公比为31的等比数列,21+-n n a a =n -⋅1341, 解得13423411-⋅+⋅=--n n n a . 办法2：,721311+-=-+n n n a a a ,双方取倒数得1332)1(39)1(2)1(372111-+=-+-=-+=-+n n n n n n a a a a a a , 令b 11-=n n a ,则b =n n b 332+,, 转化为累加法来求. 例23 已知数列{}n a 知足112124441n n n a a a a +-==+，,求数列{}n a 的通项公式.解：令212441x x x -=+,得2420240x x -+=,则1223x x ==，是函数2124()41x f x x -=+的两个不动点.因为112124224121242(41)13262132124321243(41)92793341n n n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++---+--+--====----+---+.所以数列23n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是认为112422343a a --==--首项,认为913公比的等比数列,故12132()39n n n a a --=-,则113132()19n n a -=+-.十一.特点方程法 形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特点根法求得通项n a ,其特点方程为2x px q =+…①若①有二异根,αβ,则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数） 若①有二重根αβ=,则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数） 再运用1122,,a m a m ==可求得12,c c ,进而求得n a例24 已知数列{}n a 知足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈,求数列{}n a 的通项n a解：其特点方程为232x x =-,解得121,2x x ==,令1212n n n a c c =⋅+⋅,由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩,得12112c c =⎧⎪⎨=⎪⎩, 112n n a -∴=+例25.数列{}n a 知足1512a =-,且212542924n n n a a a +-=+求数列{}na 的通项. 解：2211252925244429292244n n n n n n n a a a a a a a λλλλ++-++-+==+=++……① 令229254λλ-=,解得12251,4λλ==,将它们代回①得,()21112924n n n a a a +++=+……②,212525429424nn n a a a +⎛⎫+ ⎪⎝⎭+=+……③,③÷②,得21125254411n n n n a a a a ++⎛⎫++ ⎪= ⎪++ ⎪⎝⎭,则11252544lg2lg 11n n n n a a a a ++++=++,∴数列254lg 1n n a a ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭成等比数列,首项为1,公比q =2所以1254lg 21n n n a a -+=+,则12254101n n n a a -+=+,112225104101n n n a ---∴=-十二.根本数列1．形如)(1n f a a n n =-+型 等差数列的广义情势,见累加法.)(1n f a a nn =+型 等比数列的广义情势,见累乘法. )(1n f a a n n =++型（1）若d a a n n =++1（d 为常数）,则数列{n a }为“等和数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来评论辩论;（2）若f(n)为n 的函数（异常数）时,可经由过程结构转化为)(1n f a a n n =-+型,经由过程累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得)1()(11--=--+n f n f a a n n ,,分奇偶项来分求通项.。
(完整版)数列求通项专题(总复习专题-方法全面-有答案)全
求数列通项专题题型一：定义法（也叫公式法）直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目例：等差数列}a {n 是递增数列，前n 项和为n S ，且931a ,a ,a 成等比数列，255a S =．求数列}a {n 的通项。
解：设数列}a {n 公差为)0d (d > ∵931a ,a ,a 成等比数列，∴9123a a a =，即)d 8a (a )d 2a (1121+=+，得d a d 12= ∵0d ≠，∴d a 1=………①∵255S a = ∴211)d 4a (d 245a 5+=⋅⨯+…………②由①②得：53a 1=，53d = ∴n 5353)1n (53a n =⨯-+=题型二：已知的关系求通项公式(或)n n S a 与()n n S f a =这种类型一般利用与消去⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n )()(11---=-=n n n n n a f a f S S a n S )2(≥n 或与消去进行求解。
)(1--=n n n S S f S )2(≥n n a 例：（1）已知数列的前项和，求数列的通项公式}{n a n 22+=n S n }{n a 解：当时，；1=n 311==S a 当时，； 2≥n 122)1(2221-=---+=-=-n n n S S a n n n ⎩⎨⎧≥-==∴)2(12)1(3n n n a n （2）已知数列的前项和满足，求数列的通项公式}{n a n n S 1)1(log 2+=+n S n }{n a 解：由，得，1)1(log 2+=+n S n 121-=+n n S ⎩⎨⎧≥==∴)2(2)1(3n n a nn 练习：1、已知数列{}的前n 项和为, 求.n a 32nn S =-n a 2、数列的前n 项和为，，，求的通项公式{}n a n S 11=a )(1121≥+=+n S a n n {}n a题型三：形如用累加法（也叫逐差求和法）：)(1n f a a n n +=+（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.d a a n n =-+1n a d n a )1(1-+（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法. 方法如下： 由 得：)(1n f a a n n =-+时，，2≥n )1(1-=--n f a a n n ，)2(21-=---n f a a n n )2(23f a a =-以上各式相加得)1(12f a a =- 即：.)1()2()2()1(1f f n f n f a a n +++-+-=- ∑-=+=111)(n k n k f a a 为了书写方便，也可用横式来写：时，，2≥n )1(1-=--n f a a n n ∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- =.1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+- 例1：已知数列{a n }中，a 1=1，对任意自然数n 都有11(1)n n a a n n -=++，求n a ．解：由已知得11(1)n n a a n n --=+，121(1)n n a a n n ---=-，……，32134a a -=⨯，21123a a -=⨯，以上式子累加，利用111(1)1n n n n =-++得 n a -1a =1111...23(2)(1)(1)(1)n n n n n n ++++⨯---+=1121n -+， 3121n a n ∴=-+例2：已知数列满足，求数列的通项公式。
中考数学待定系数法练习题（含答案）
中考数学待定系数法练习题（含答案）中考数学十大解题思路之待定系数法知识梳理对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称之为待定系数法．使用待定系数法解题的一般步骤是：(1)确定所求问题含待定系数的解析式；(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．初中数学中，待定系数法主要用途如下：典型例题一、在求函数解析式中的运用这是待定系数法的一个主要用途，学生也是在这种运用过程中开始较深入的接触待定系数法．初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx ，k y x=，y=kx+b 的形式(其中k 、b 为待定系数，且k ≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=a x 2+bx+c(a 、b 、c 为待定系数)，y=a (x －h) 2+k(a 、k 、h 为待定系数)，y=a (x －x 1)(x －x 2)( a 、x 1、x 2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h 、k 、a 、c 、b 、x 1、x 2等待定系数．【例1】(05上海)点A(2，4)在正比例函数的图象上，求这个正比例函数的解析式．【解】设这个正比例函数的解析式为y=kx(k ≠0)，把A(2，4)代入得4=2k ，∴k=2，∴y=2x ．【例2】已知y 与x+1成反比例，且x=2时，y=4，求函数的解析式．【分析】 y 与x+1成反比例，把x+1看作一个整体，即可设为：1k y x =+ (k ≠0)，然后把x=2，y=4代入，求出k 的值即得函数的解析式．【解】 y 与x+1成反比例，∴可设1k y x =+(k ≠0) 将x=2，y=4代入1k y x =+(k ≠0)，得421k =+，解得k=12 ∴所求的函数的解析式为121y x =+．【解题反思】本题中y 与x+1成反比例关系，但y 与x 不是反比例关系，所以当自变量为x 时，121y x =+不是反比例函数．【例3】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【解】 (1)设这个函数的解析式为y=a x 2+bx+c ．依题意得：0093142a b c a b c a b c =++??=++??-=++?解这个方程组得143a b c =??=-??=? ∴这个函数的解析式是：y=x 2－4x+3(2)2431y x x y x ?=-+?=-+? 解这个方程组得：1110x y =??=?，2221x y =??=-? ∴函数与直线的交点坐标是：(1，0)、(2，－1)【解题反思】运用待定系数法，由已知建立方程(组)，可求其系数的值，在把a 、b 、c 的值代入解析式时要注意符号．二、在确定方程或解方程时，某些时候使用待定系数法也可使问题得到简化．例如：已知一元二次方程的两根为x 1、x 2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x 2+mx+n=0，则有(x －x 1)(x －x 2)=0，即x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0，对应相同项的系数得m=－(x1+x 2)，n=x 1x 2，所以所求方程为：x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．【例4】已知三次方程x 3－6x 2+11x －6=0，有一根是另一根的2倍，解该方程．【解】设方程的三根分别为a 、2a 、b ，则有x 3－6x 2+11x －6=(x －a )(x －2a )(x －b)，左右分别展开，并把相同项的系数作比较，可得：－3a －b=－6，2a 2+3a b=11，－2a 2b=－6．解得a =1，b=3，所以该方程的根分别为：x 1=1，x 2=2，x 3=3．三、待定系数法在分式展开化为部分分式中的应用．分式化为部分分式时，如果用待定系数法也会产生很好的效果．【例5】把分式21172x x x-+-化为部分分式．【解】设2117221x A B x x x x -+=+--，然后将右边进行通分，化成一个分式，由于左右两边分母相同，则只要分子相同，即：－11x+7=(A －B)x －B ．由各项系数相同得：－11x=A －B ，7=－B ，解得A=3，B=－7．所以211737221x x x x x-+-=+-- 四、待定系数法在因式分解中的应用【例6】分解因式：2x 2－xy －y 2+13x+8y －7【解】因为2x 2－xy －y 2=(2x+y)(x －y)，所以可设2x 2－xy －y 213x+8y －7=(2x+y+8)(x －y+b)，展开比较相同项系数，可得：a =－1，b=7，所以2x 2－xy －y 2+13x+8y －7=(2x+y －1)(x －y+7)．五、待定系数法在多项式除法中的应用【例7】当a 、b 为何值时，2x 3－a x 2+bx+1能被2x －1整除?【解】设2x 2－a x 2+bx+l=(2x －1)(x 2+mx －1)，右边展开由x 的相同项的系数相同可得a 、b ，m 的方程组，解得：a =3，b=－3．m=－11．已知：一次函数的图象经过(－4，15)、(6，－5)两点，求此一次函数的解析式．2．(08镇江)二次函数的图象经过点A(0，－3)，B(2，－3)，C(－1，0)．(1)求此二次函数的关系式；(2)求此二次函数图象的顶点坐标；(3)填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移________个单位，使得该图象的顶点在原点．3．如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是(8，0)、(0，4)，求这个抛物线的解析式．4．(07枣庄)在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为(－3，1)(1)求点B的坐标．(2)求过A，O，B三点的抛物线的解析式；(3)设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B1，求△AB1B的面积．1．y=－2x+7 2．(1)设y=a x 2+bx －3，把点(2，－3)，(－1，0)代入得4233300a b a b +-=-??--=?，解方程组得12a b =??=-?．∴y=x 2－2x －3．(也可设y=a (x －1) 2+k)． (2)y=x 2－2x －3=(x －1) 2－4，∴函数的顶点坐标为(1，－4)． (3)53．解：观察图象可知，A 、C 两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x=3．因为对称轴是直线x=3，所以B 点坐标为(－2，0)．设所求二次函数为y=a (x －x 1)(x －x 2)，由已知，这个图象经过点(8，0)、(－2，0)，可以得到y=a (x －8)(x+2)．又由于其图象过(0，4)点，将点代入，得所求二次函数的关系式是213442y x x =-++． 4．解：(1)作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C ，D ，则∠ACO=∠ODB=90°．∴∠AOC+∠OAC=90°．又∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°．∴∠OAC=∠BOD ．又AO=BO ，∴△ACO ≌△ODB ．∴OD=AC=1，DB=OC=3．∴点B 的坐标为(1，3)．(2)抛物线过原点，可设所求抛物线的解析式为y=a x 2+bx ．将A(－3，1)，B(1，3)代入，解得56a =，136b =．故所求抛物线的解析式为251366y x x =+． (3)抛物线的对称轴的方程是1310x =-．点B 关于抛物线的对称轴的对称点为11835B ??-，．在△AB 1B 中，底边B 1B=4．6，高为2．1 4.6S AB B ∴=。
待定系数法求特殊数列的通项公式
待定系数法求特殊数列的通项公式在高中数学教学中，经常碰到一些特殊数列求通项公式，而这些问题在高考和竞赛中也经常出现，是一类广泛而复杂的问题，历届高考常以这类问题作为一道重大的试题。
因此，在教学中，针对这类问题，提供一些特殊数列求通项公式范例，帮助同学们全面掌握这类问题及求解的一般方法。
求数列的通项公式，最为广泛的的办法是：把所给的递推关系变形，使之成为某个等差数列或等比数列的形式，于是就可以由此推得所给数列的通项公式。
求解的关健在于变形的技巧，而变形的技巧主要在于引进待定系数。
其基本原理是递推关系两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差或等比数列。
具体的求解过程详见示例。
第一类别：an=aan-1+b基准1设x1=2,且xn=5xn?1+7.谋数列的通项公式求解：Rewa的关系式公式可以变形为7m7m7xn+m=5xn?1+7+m=5(xn?1+?),令m=?.则m=55554777于是xn+=5(xn?1+)，{xn+}就是等比数列，其首项为444715715x1+=,公比为q=5.于是xn+＝5n?14444所以xn＝基准21575n?1－44设x1=1,且xn=3xn?1（n=2，3，4，…）2xn?1?5求数列｛xn｝的通项公式解：所给的递推公式可变为：152??xn3xn?1323m15123m,则m=1?m?(??),令m=?55xn3xn?155于是1511?1?(?1)。
{?1}是等比数列，xn3xn?1xn51?1=2,公比是q=3x1其首项是5n-13n?11于是?1=2（）。
所求的xn=3xn2?5n?1?3n?1第二类别：an=aan-1+ban-2基准3设x1=1，x2=5,xn=13xn-1-22xn-2,（n=3,4,…）谋数列｛xn｝的通项公式求解：Rewa的关系式公式可以变成xn+mxn-1=（m+13）xn-1-22xn-2=（m+13）（xn-1-22，则m=－2,或m=－11m?1322xn-2）m?13令m=-于是xn-2xn-1=11（xn-1-xn-2）,xn-11xn-1=2(xn-1-xn-2)｛xn-2xn-1｝，｛xn-11xn-1｝都是等比数列，其首项与公比分别为x2-2x1=3,q=11。
求数列通项公式的十种方法-例题答案详解
求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。
四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.n n a n =+-解法二：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++，则111213333n n n n n a a +++-=+，故因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯，则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯- 评注：已知aa =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
待定系数法 通关72题(含答案)
待定系数法通关72题（含答案）1. 已知反比例函数的图象经过点(−1,2)，则它的解析式是( )A. y=−12x B. y=−2xC. y=2xD. y=1x2. 如图，点A是双曲线y=kx在第二象限分支上任意一点，点B、点C、点D分别是点A关于x 轴、坐标原点、y轴的对称点．若四边形ABCD的面积是8，则k的值为( )A. −1B. 1C. 2D. −23. 若√a+1+∣b−2∣=0，点P(a,b)在反比例函数y=kx的图象上，则这个函数的图象位于( )A. 第二、三象限B. 第一、三象限C. 第三、四象限D. 第二、四象限4. 如果(2+√2)2=a+b√2（a，b为有理数），那么a+b等于( )A. 2B. 3C. 8D. 105. 若x2+mx−15=(x+3)(x+n)，则m的值为( )A. −5B. 5C. −2D. 26. 若y＝ax2＋bx＋c，由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是( )x−101ax21ax2+bx+c83A. y=x2−4x+3B. y=x2−3x+4C. y=x2−3x+3D. y=x2−4x+87. 已知x2+ax−12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是( )A. 3个B. 4个C. 6个D. 8个8. 将一多项式(17x2−3x+4)−(ax2+bx+c)，除以(5x+6)后，得商式为(2x+1)，余式为0．求a−b−c=( )A. 3B. 23C. 25D. 299. 抛物线y=x2+bx+c经过A(−1,0)，B(3,0)两点，则这条抛物线的表达式为( )．10. 一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（单位：h）与行驶速度v（单位：km/h）满足函数关系t=kv，其图象为图中的一段曲线，端点为A(40,1)和B(m,0.5)．（1）k=,m=；（2）若行驶速度不得超过60km/h，则汽车通过该路段最少需要h．11. 若点 (−1,3) 在一次函数 y =kx +1 的图象上，则此函数的解析式为 ．12. 已知 (2x −21)(3x −7)−(3x −7)(x −13) 可分解因式为 (3x +a )(x +b )，其中 a 、 b 均为整数，则 a +3b = ．13. 如图，在函数 y 1=k 1x(x <0) 和 y 2=k 2x(x >0) 的图象上分别有 A ，B 两点，若 AB ∥x 轴，交y 轴于点 C ，且 OA ⊥OB ，S △AOC =12，S △BOC =92，则线段 AB 的长为 ．14. 在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 AB 的中点，在直线 AD 上截取 AF =2FD ，EF 交 AC 于点 G ，则AG AC= ．15. 如图，反比例函数 y =kx （ k ≠0，x >0 ）的图象与直线 y =3x 相交于点 C ，过直线上点A (1,3) 作 AB ⊥x 轴于点 B ，交反比例函数图象于点 D ，且 AB =3BD ．（1）求 k 的值； （2）求点 C 的坐标；（3）在 y 轴上确定一点 M ，使点 M 到 C ，D 两点距离之和 d =MC +MD 最小，求点 M 的坐标．16. 如图，直线y=−3x与双曲线y=m−5交于点P(−1,n)．x（1）求m的值；上，且x1<x2<0，试比较y1，y2的大小．（2）若点A(x1,y1)，B(x2,y2)在双曲线y=m−5x17. 如图，在△ABC中，已知BC=1+√3，∠B=60∘，∠C=45∘，求AB的长．18. 如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B．（1）求一次函数的解析式；（2）判断点C(4,−2)是否在该一次函数的图象上，说明理由；（3）若该一次函数的图象与x轴交于D点，求△BOD的面积．19. 在一次蜡烛燃烧实验中，蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(cm)与燃烧时间x(h)之间为一次函数关系．根据图提供的信息，解答下列问题：（1）蜡烛燃烧时y与x之间的函数表达式为；（2）蜡烛从点燃到燃尽所用的时间为．20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A(−2,0)，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B(2,n)，连接BO，已知S△AOB=4．（1）求该反比例函数的解析式和直线AB对应的函数解析式；（2）若直线AB与y轴的交点为C，求△OCB的面积．(k为常数,k≠1) .21. 已知反比例函数y=k−1x（1）其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的值；（2）若在其图象的每一支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围；（3）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任意取两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，当y1>y2时，试比较x1与x2的大小．(k≠0)的图象上，点B，D在x 22. 如图，平行四边形ABCD的两个顶点A，C在反比例函数y=kx轴上，且B，D两点关于原点对称，AD交y轴于P点．（1）已知点A的坐标是(2,3)，求k的值及C点的坐标；（2）若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离．23. 已知在直角坐标平面内，抛物线y=x2+bx+6经讨x轴上两点A，B，点B的坐标为(3,0)，与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）求△ABC的面积．24. 已知一次函数的图象经过(−4,15)，(6,−5)两点，求此一次函数的解析式．的图象经过点A(2,3) .25. 如图，反比例函数y=kx（1）求这个函数的解析式；（2）请你判断：点B(1,6)是否在这个反比例函数的图象上?并说明理由．26. 数学复习课上，王老师出示了如框中的题目：题目中的黑色矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认得文字．（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中直线对应的函数解析式?若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由．（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，添加一个适当的条件，把原题补充完整，你添加的这个条件是什么?)，求y 27. 已知y1与x成正比例，y2与x成反比例，若函数y=y1+y2的图象经过点(1,2)，(2,12与x的函数解析式．28. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内，点B的坐标为(3,0)，OA=2，∠AOB=60∘．（1）求点A的坐标；（2）若直线AB交y轴于点C，求△AOC的面积．29. A，B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回．下图是它们离A城的距离y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数图象.（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）当它们行驶了7小时时，两车相遇，求乙车速度．30. 工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到800∘C，然后停止煅烧进行锻造操作．第8min时，材料温度降为600∘C，煅烧是，温度y(∘C)与时间x(min)成反比例关系（如图），已知该材料的初始温度是32∘C．（1）分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围．（2）根据工艺要求，当材料温度低于480∘C时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长?31. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，如图5−8所示，其中点A(−1,0)，点C(0,5)，另抛物线经过点(1,8),M为它的顶点．（1）求抛物线的表达式．（2）求△MCB的面积S△MCB．32. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OCD的一边OC在x轴上，∠OCD＝90∘，点D在第一象限，OC＝3，DC＝4，反比例函数的图象经过OD的中点A．（1）求该反比例函数的表达式．（2）若该反比例函数的图象与Rt△OCD的另一边DC交于点B，在x轴上求一点P,使PA＋PB最小．33. 如图，已知抛物线与x轴交于A(−1,0)，E(3,0)，与y轴交于点B(0,3)．（1）求抛物线对应的函数解析式．（2）设（1）中抛物线顶点为D，△AOB与△DBE是否相似?若相似，请给予说明；若不相似，请说明理由．34. 我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民的节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一个月用水10t以内（包括10t）的用户，每吨收水费a 元；一个月用水超过10t的用户，10t水仍按每吨a元收费，超过10t的部分，按每吨b(b>a)元收费．设一户居民月用水x t，应交水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）求a的值；某户居民上月用水8t，应交水费多少元?（2）求b的值，并写出当x>10时，y与x之间的函数解析式．35. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，sinB=3，点D是BC上一点，DE⊥AB于点E，CD=5DE，AC+CD=9，求BE，CE的长．36. 如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN，在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A处的北偏西30∘且与A相距40km的h，又测得该轮船位于A处的北偏东60∘且与A处相距8√3km的C处．B处，经过43（1）求轮船航行的速度（结果保留根号）．（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好至码头MN靠岸?请说明理由．37. 已知函数y=2y1−y2，y1与x+1成正比例，y2与x成反比例，当x=1时，y=4；当x=2时，y=3．（1）写出y关于x的函数解析式；（2）当x=−1时，求y的值．38. 如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=k（k为常数，k≠0）的图象交于点xA(−1,4)和B(a,1)．（1）求反比例函数的表达式和a，b的值；（2）若A，O两点关于直线l对称，请连接AO，并求出直线l与线段AO的交点坐标．(k≠0)在第一象限的图象交于A(1,n) 39. 如图，一次函数y=mx+5的图象与反比例函数y=kx和B(4,1)两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△OAM的面积S；（3）在y轴上求一点P，使PA+PB最小．40. 如图，A (−4,12)，B (−1,2) 是一次函数 y 1=ax +b 与反比例函数 y 2=m x 图象的两个交点，AC ⊥x 轴于点 C ，BD ⊥y 轴于点 D ．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取何值时，y 1−y 2>0?（2）求一次函数表达式及 m 的值．（3）P 是线段 AB 上一点，连接 PC ，PD ，若 △PCA 和 △PDB 面积相等，求点 P 的坐标．41. 如图，直线 y =−x +3 交 x 轴于点 A ，交 y 轴与点 B ，抛物线 y =ax 2+bx +c 经过 A ，B ，C (1,0) 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点 D 的坐标为 (−1,0)，在直线 y =−x +3 上有一点 P ，使 △ABO 与 △ADP 相似，求出点 P 的坐标．42. 如图，点A(3,5)关于原点O的对称点为C，分别过点A，C作y轴的平行线，与反比例函数y=k(0<k<15)的图象交于点B，D，连接AD，BC，AD与x轴交于点E(−2,0)．x（1）求k的值；（2）直接写出阴影部分面积之和．43. 如图，在平面直角坐标系中，A(0,6)，B(8,0)．动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t s．（1）求直线AB对应的函数解析式；（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似?44. 如图，一次函数y=2x+4的图象与x，y轴分别相交于点A，B，四边形ABCD是正方形．（1）求点A，B，D的坐标；（2）求直线BD的表达式．45. 用描点法画二次函数的图象时，部分数据如下表：x⋯−2−10123⋯y⋯941014⋯求该图象相应的二次函数的表达式．46. 已知二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点(3,0)，(−1,0)，求此二次函数的表达式．47. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象（如图），试求该二次函数的表达式．48. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(1,0)和(2,0)，且过点(3,4)．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点坐标；（3）x取什么值时，y随x的增大而增大?x取什么值时，y随x增大而减小?49. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过三点(−1,−1)，(1,1)，(2,−4)．（1）求二次函数的表达式；（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?(x>0)的图象交于A(m,6)，B(3,n)两点．50. 如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=6x（1）求一次函数的表达式；成立的x的取值范围；（2）根据图象直接写出使kx+b<6x（3）求△AOB的面积．51. 已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(1,0)，B(0,−3)，求此二次函数的表达式．(k≠0)的52. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y=kx 图象在第一象限交于点C，如果点B的坐标为(0,2)，OA=OB，B是线段AC的中点．求：（1）点A的坐标及一次函数解析式；（2）点C的坐标及反比例函数解析式．53. 如图，在平面直角从标系xOy中，直线l过(1,3)和(3,1)两点，且与x轴，y轴分别交于A，B两点．（1）求直线l所对应的函数解析式；（2）求△AOB的面积．54. 如图，已知一条直线经过点A(0,2)，B(1,0)，将这条直线向左平移与x轴，y轴分别交于点C，D．若DB=DC，求直线CD所对应的函数解析式．55. 小轿车从甲地出发驶往乙地，同时货车从相距乙地60km的入口处驶往甲地（两车均在甲、乙两地之间的公路上匀速行驶），如图是它们离甲地的路程y(km)与货车行驶时间x(ℎ)之间的函数的部分图象．（1）求货车离甲地的路程y(km)与它的行驶时间x(h)的函数表达式．（2）哪一辆车先到达目的地?说明理由．56. 一列快车上午10:00从甲地出发，匀速开往乙地，它与乙地的距离y(km)和行驶时间x(h)之间的部分函数关系的图象如图所示．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）一列慢车当天上午11:00从乙地出发，以100km/h的速度匀速开往甲地，当快车到达乙地时，求慢车与快车之间的距离．57. 今年我省部分地区遭遇严重干旱，为鼓励市民节约用水，我市自来水公司按分段收费标准收费，如图反映的是每月收取水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系．（1）小聪家五月份用水7吨，应交水费元；（2）按上述分段收费标准，小聪家三、四月份分别交水费29元和19.8元，问四月份比三月份节约用水多少吨?58. 已知二次函数y=ax2+b的图象与x轴交于点A，B，且点A的坐标是(1,0)，与y轴交于点C(0,1)．求二次函数的表达式，并求出点B的坐标．59. 已知直线l1经过点A(−1,0)与点B(2,3)，另一条直线l2经过点B，且与x轴交于点P(m,0)．（1）求直线l1的解析式．（2）若△APB的面积为3，求直线l2的解析式．60. 已知y=y1+y22，其中y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x=2和x=3时，y的值都为19，求y与变量x的函数关系式．61. 根据卫生防疫部门要求，游泳池必须定期换水、清洗．某游泳池周五早上8:00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11:30全部排完．游泳池的水量Q(m3)和开始排水后的时间t(h)之间的函数图象如图所示．根据图象解答下列问题：（1）暂停排水需要多少时间?排水孔的排水速度是多少?（2）当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数表达式．(k≠0)和一次函数y=mx+n(m≠0)的图象的一个交点A的坐标为62. 已知反比例函数y=kx(−3,4)，且一次函数的图象与x轴的交点到原点的距离为5，求这两个函数的解析式．63. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,4)，B(3,0)，连接AB．将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点Aʹ处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，求直线BC的解析式．64. 如图，已知反比例函数y=k1与一次函数y=k2x+b的图象交于A(1,8)，B(−4,m)．x（1）求k1，k2，b的值；（2）求△AOB的面积；的图象上的两点，且x1<x2，y1<y2，指出（3）若M(x1,y1)，N(x2,y2)是反比例函数y=k1x点M，N各位于哪个象限，并简要说明理由．65. 如图，抛物线y=ax2+3x+c经过A(−1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限的抛物线上，且点P的横坐标为t，过点P向x轴作垂线交直线BC于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式，并求出m的最大值；（3）在（2）的条件下，抛物线上点D（不与C重合）的纵坐标为m的最大值，在x轴上找一点E，使点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出E点坐标．x+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A(0,1)，点B(−9,10)，66. 如图，已知抛物线y=13AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．67. 已知O为坐标原点，抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A(x1,0)，B(x2,0)，与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x1⋅x2<0，∣x1∣+∣x2∣=4，点A，C在直线y2=−3x+t上．（1）求点C的坐标；（2）当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；（3）将抛物线y1向左平移n（n>0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2−5n的最小值．68. 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B(3,0)，与y轴交于点C(0,3)．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；（3）在（2）的条件下，当MN取最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN 是等腰三角形?若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．69. 如图，反比例函数y=m的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为x(2,6)，点B的坐标为(n,1)．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）点E为y轴上的一个动点，若S△AEB=5，求点E的坐标．70. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,−3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大?求出此时P点的坐标和△BPC的最大面积；（3）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP1C，那么是否存在点P，使四边形POP1C为菱形?若存在，直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．71. 如图，⊙E的圆心E(3,0)，半径为5，⊙E与y轴相交于A，B两点（点A在点B的上方），x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点与x轴的正半轴交于点C，直线l的表达式为y=34的抛物线过点B．（1）求抛物线的表达式；（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时，求出点P的坐标及最小距离．72. 如图，过反比例函数y=6x (x>0)的图象上一点A作x轴的平行线，交双曲线y=−3x(x<0)于点B，过B作BC∥OA交双曲线y=−3x(x<0)于点D，交x轴于点C，连接AD交y轴于点E，若OC=3，求OE的长．答案1. B2. D3. D 【解析】（思路一：待定系数法）由 √a +1+∣b −2∣=0 知 a =−1，b =2，故 P (−1,2)．又因为点 P (−1,2) 在反比例函数 y =k x 的图象上，所以 2=k −1，即 k =−2<0，所以双曲线的两支分别位于第二、第四象限．（思路二：对称性）由 √a +1+∣b −2∣=0 知 a =−1，b =2，故点 P (−1,2) 在第二象限．又点 P 在双曲线上，所以这个双曲线的两支分别位于第二、第四象限．已知双曲线上的点的坐标确定图象的位置的方法：（1）先由点的横、纵坐标积的值确定 k 的值，再判断图象所在的位置；（2）判断已知点的位置，再根据双曲线只能同时位于第一、第三象限内或第二、第四象限内确定图象的位置．4. D5. C6. A7. C 【解析】设 x 2+ax −12 能分解成两个整系数一次因式的乘积．即 x 2+ax −12=(x +m )(x +n )，m ，n 是整数．∴x 2+ax −12=x 2+(m +n )x +mn ．∴mn =−12，m +n =a ．∵m ，n 是整数，且 mn =−12．∴ 根据 −12 的约数可知，a 的取值一共有 6 种结果．8. D 【解析】由题意可知：(5x +6)(2x +1)=(17x 2−3x +4)−(ax 2+bx +c )．∵(5x +6)(2x +1)=10x 2+17x +6，(17x 2−3x +4)−(ax 2+bx +c )=(17−a )x 2−(3+b )x +4−c ，∴17−a =10，−(3+b )=17，4−c =6，∴a =7，b =−20，c =−2，∴a −b −c =7+20+2=29．9. y =x 2−2x −3【解析】因为抛物线经过 A (−1,0)，B (3,0) 两点所以 {1−b +c =09+3b +c =0解得 b =−1，c =−3， 所以答案为 y =x 2−2x −310. 40，80，23【解析】（1）将 (40,1) 代入 t =k v ，得 1=k 40，解得 k =40．所以函数解析式为 t =40v ． 将 (m,0.5) 代入 t =40v，得 0.5=40m ，解得 m =80． 综上，k =40，m =80． （2）令 v =60，得 t =4060=23(h )．结合函数图象可知，汽车通过该路段最少需要 23 h ．11. y =−2x +112. −31【解析】(2x −21)(3x −7)−(3x −7)(x −13)=(3x −7)(2x −21−x +13)=(3x −7)(x −8)则 a =−7，b =−8，∴a +3b =−7−24=−31．13. 10√33【解析】∵S △AOC =12，S △BOC =92，∴12∣k 1∣=12，12∣k 2∣=92， 又 ∵k 1<0，k 2>0，∴k 1=−1，k 2=9，∴ 两反比例函数的解析式分别为 y =−1x ，y =9x ． 设 B 点坐标为 (9t ,t)(t >0)，∵AB ∥x 轴，∴A 点的纵坐标为 t ，把 y =t 代入 y =−1x ，得 x =−1t ，∴A 点的坐标为 (−1t ,t)．∵OA ⊥OB ，∴∠AOC =∠OBC ，∴Rt △AOC ∽Rt △OBC ，∴OC:BC =AC:OC ，即 t:9t =1t :t ，∴t =√3，∴A 点坐标为 (−√33,√3)，B 点坐标为 (3√3,√3)， ∴ 线段 AB 的长为 3√3−(−√33)=10√33． 14. 27 或 25 【解析】本题的关键是“在直线 AD 上截取”，注意本题有两种情况．情况一：如图①，过点 E 作 EM ∥BC 交 AC 于 M ．∵EM ∥BC ，AE =BE ，∴EM =12BC =12×32AF =34AF ，∵AF ∥EM ，∴AG GM =AF EM =AF 34AF =43． 设 AG =4x ，则 GM =3x ，∴AM =7x ，∴AC =14x ，∴AG AC =4x 14x =27． 情况二：如图②，过 E 点作 EM ∥BC 交 AC 于 M ．∵EM ∥BC ，AE =BE ，∴AM =CM ，∵AF ∥EM ，∴AG GM =AF EM =2AD12AD =41． 设 AG =4x ，则 GM =x ，∴AM =5x ，∴AC =10x ，∴AG AC =4x 10x =25．15. （1） ∵ A (1,3)，∴ OB =1，AB =3．又 ∵ AB =3BD ，∴ BD =1，∴ D (1,1)．∴ k =1×1=1．（2） 由（1）知反比例函数的解析式为 y =1x ， 解方程组 {y =3x,y =1x ,得 {x =√33,y =√3,或{x =−√33,y =−√3,(舍去) ∴ 点 C 的坐标为 (√33,√3)．（3） 作点 D 关于 y 轴的对称点 E ，则 E (−1,1)，连接 CE 交 y 轴于点 M ，点 M 即为所求． 设直线 CE 对应的函数解析式为 y =mx +b ，则 {√33m+b =√3,−m +b =1,解得 {m =2√3−3,b =2√3−2.∴ 直线 CE 对应的函数解析式为 y =(2√3−3)+2√3−2．当 x =0 时，y =2√3−2，∴ 点 M 的坐标为 (0,2√3−2)．16. （1） 因为点 P (−1,n ) 在直线 y =−3x 上，所以 n =(−3)×(−1)=3．又因为点 P (−1,n ) 在双曲线 y =m−5x 上，所以 m −5=−3，所以 m =2．（2） 因为 m −5=−3<0，所以当 x <0 时，y 随 x 的增大而增大．而点 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2) 在双曲线 y =m−5x 上，且 x 1<x 2<0，所以 y 1<y 2．17. 如图，过点 A 作 AD ⊥BC ，垂足为点 D ．设 BD =x ，在 Rt △ABD 中，AD =BD ⋅tanB =x ⋅tan60∘=√3x ．在 Rt △ACD 中，因为 ∠C =45∘，所以 ∠CAD =90∘−∠C =45∘，所以 ∠C =∠CAD ，所以 CD =AD =√3x ．因为 BC =1+√3，所以 √3x +x =1+√3，解得 x =1，即 BD =1．在 Rt △ABD 中，因为 cosB =BD AD ，所以 AB =BD cosB =1cos60∘=2．18. （1） 在 y =2x 中，令 x =1，得 y =2，则点 B 的坐标是 (1,2)，设一次函数的解析式是 y =kx +b (k ≠0)，则 {b =3,k +b =2, 解得 {b =3,k =−1.故一次函数的解析式是 y =−x +3．（2） 点 C (4,−2) 不在该一次函数的图象上．理由如下：对于 y =−x +3，当 x =4 时，y =−1≠−2，所以点 C (4,−2) 不在该函数的图象上．（3） 在 y =−x +3 中，令 y =0，得 x =3，则点 D 的坐标是 (3,0)．则 S △BOD =12×OD ×2=12×3×2=3．19. （1） y =−6x +24【解析】设 y 与 x 之间的函数表达式为 y =kx +b ．由图象易知，当 x =0 时，y =24；当 x =2 时，y =12．所以 {24=b,12=2k +b, 解得 {k =−6,b =24. 所以蜡烛燃烧时 y 与 x 之间的函数表达式为 y =−6x +24．（2） 4 h【解析】当 y =0 时，−6x +24=0，解得 x =4．所以蜡烛从点燃到燃尽所用的时间为 4 h ．20. （1） 过点 B 作 BD ⊥x 轴，垂足为 D ，因为 S △AOB =12OA ⋅BD =12×2n =4，所以 n =4，所以 B (2,4)，所以反比例函数的解析式为 y =8x ，设直线 AB 对应的函数解析式为 y =kx +b ，由题意得 {−2k +b =0,2k +b =4. 解得 {k =1,b =2.， 所以直线 AB 对应的函数解析式为 y =x +2．（2） 对于 y =x +2，当 x =0 时，y =0+2=2，所以 C (0,2)，所以 S △OCB =S △AOB −S △AOC =4−12×2×2=2． 21. （1） 由题意，设点 P 的坐标为 (m,2) .∵ 点 P 在正比例函数 y =x 的图象上，∴2=m ，即 m =2 .∴ 点 P 的坐标为 (2,2) .∵ 点 P 在反比例函数 y =k−1x 的图象上， ∴2=k−12 ，解得 k =5 .（2） ∵ 在反比例函数 y =k−1x 的图象的每一支上，y 随 x 的增大而增大，∴k −1<0 ，解得 k <1 .（3） ∵ 反比例函数 y =k−1x 的图象的一支位于第二象限，∴ 在该图象的每一支上 y 随 x 的增大而增大．∵ 点 A (x 1,y 1) 与点 B (x 2,y 2) 在该函数的第二象限的图象上，且 y 1>y 2，∴x 1>x 2 .22. （1） ∵ 点 A 的坐标是 (2,3)，且点 A 在反比例函数 y =k x (k ≠0) 图象上， ∴ 3=k 2，∴ k =6． 又 ∵ 点 C 与点 A 关于原点 O 对称，∴ C (−2,−3)．（2） ∵ △APO 的面积为 2，点 A 的坐标是 (2,3)，∴ 2=OP⋅22，得 OP =2，∴ 点 P 的坐标为 (0,2)．设过点 P (0,2) 、点 A (2,3) 的直线为 y =ax +b ，∴ {b =2,2a +b =3, 解得 {a =12,b =2.即直线 PA 对应函数的解析式为 y =12x +2． 将 y =0 代入 y =12x +2，得 x =−4，∴ OD =4． ∵ A (2,3)，C (−2,−3)，∴ AC =√(−3−3)2+(−2−2)2=2√13．设点 D 到 AC 的距离为 m ，∵ S △ACD =S △ODA +S △ODC ，∴ 2√13⋅m 2=4×32+4×32，解得 m =12√1313． 即点 D 到直线 AC 的距离是 12√1313．23. （1） 把点 B 的坐标 (3,0) 代入抛物线 y =x 2+bx +6 得 0=9+3b +6，解得 b =−5，所以抛物线的表达式 y =x 2−5x +6．（2） ∵ 抛物线的表达式 y =x 2−5x +6，∴ A (2,0)，B (3,0)，C (0,6)∴ S △ABC =12×1×6=3． 24. 设一次函数解析式为 y =kx +b .∵ 直线 y =kx +b 过 (−4,15)，(6,−5) 两点，∴{−4k +b =15,6k +b =−5.解得 {k =−2,b =7.所以一次函数的解析式为 y =−2x +7 .25. （1） 因为反比例函数 y =k x 的图象经过点 A (2,3)，所以 3=k 2，k =6 ，故所求函数的解析式为 y =6x .（2） 点 B (1,6) 在这个反比例函数的图象上．理由：把 x =1 代入 y =6x ，得 y =6 ，所以点 B (1,6) 在反比例函数 y =6x 的图象上． 26. （1） 能．由结论中的点 M 一定在双曲线 y =2b x 上， 得 −b =2b b ，则 b =−2，∴ M (−2,2)．∴ 2=−2k −2．解得 k =−2．∴ 直线对应的函数解析式为 y =−2x −2．（2） 答案不唯一，如：直线 y =kx +b 经过点 N (1,−4) 等等．27. ∵y 1 与 x 成正比例，∴ 设 y 1=k 1x (k 1≠0)．∵y 2 与 x 成反比例，∴ 设 y 2=k 2x (k 2≠0)．由 y =y 1+y 2，得 y =k 1x +k 2x ．又 ∵y =k 1x +k 2x 的图象经过 (1,2) 和 (2,12) 两点， ∴{2=k 1+k 2,12=2k 1+k 22. 解此方程组得 {k 1=−13,k 2=73. ∴y 与 x 的函数解析式是 y =−13x +73x ．28. （1） 过点 A 作 AD ⊥x 轴，垂足为 D ，如图所示．在 Rt △OAD 中，sin60∘=AD OA ，cos60∘=OD OA ，∴AD =OA ⋅sin60∘=2sin60∘=2×√32=√3， OD =OA ⋅cos60∘=2cos60∘=2×12=1．∴ 点 A 的坐标是 (1,√3)．（2） 设直线 AB 对应的函数解析式为 y =kx +b ．∵ 直线 AB 过点 A(1,√3) 和 B (3,0)，∴{k +b =√3,3k +b =0, 解得 {k =−√32,b =32√3. ∴ 直线 AB 对应的函数解析式是 y =−√32x +32√3． 令 x =0，则 y =32√3， ∴OC =3√32． ∴S △AOC =12OC ⋅OD =12×3√32×1=3√34． 29. （1） y ={100x,0≤x ≤6,−75x +1050,6<x ≤14（2） 75千米/小时30. （1） 设锻造时的函数关系式为 y =k 1x ，则 600=k 18 ，所以 k 1=4800 . 所以锻造时的函数关系式为 y =4800x (x ≥6) . 当 y =800 时，800=4800x ，x =6，所以点 B 的坐标为 (6,800) .设煅烧时的一次函数关系式为 y =k 2x +b ，则 {b =32,6k 2+b =800,解得 {k 2=128,b =32,所以煅烧时的函数关系式为 y =128x +32(0≤x ≤6) .（2） 当 y =480 时，x =4800480=10，10−6=4 ，所以锻造的操作时间有 4 分钟．31. （1） 由题意得 {a −b +c =0,c =5,a +b +c =8,解得 {a =−1,b =4,c =5.所以抛物线的表达式为 y =−x 2+4x +5．（2） 令 y =0，得 −x 2+4x +5=0，解得 x 1=5，x 2=−1，所以 B (5,0)．由 y =−x 2+4x +5=−(x −2)2+9，得 M (2,9)．过点 M 作 ME ⊥y 轴于点 E ．如图所示．则 S △MCB =S 四边形EOBM −S △ECM −S △COB ，可得 S △MCB =12×(2+5)×9−12×2×(9−5)−12×5×5=15．32. （1） 过点 A 作 AE ⊥x 轴 于点 E因为：点 A 为 OD 中点所以：AE =12DC =2，OE =12OC =1.5所以：点 A 坐标为 (1.5,2)设反比例函数表达式为 y =k x ，把 x =1.5，y =2 代入，得 k =3所以：反比例函数的表达式为 y =3x（2） 作点 B 关于 x 轴的对称点 Bʹ 连接 AB ′，交 x 轴于点 P .把 x =3 代入 y =3x ，得 y =1所以点 B ′ 的坐标为 (3,−1)设直线AB′的表达式为y=kx+b，由点A(1.5,2)，点B′(3,−1)可解得直线AB′的表达式为y=−2x＋5把y=0代入y=−2x＋5，得x=2.5所以点P的坐标为(2.5,0)33. （1）设抛物线对应的函数解析式为y=ax2+bx+c．把A，B，E三点的坐标分别代入，得{a−b+c=0,c=3,9a+3b+c=0,解得{a=−1,b=2,c=3.∴抛物线对应的函数解析式为y=−x2+2x+3．（2）相似．由抛物线对应的函数解析式可求出点D坐标为(1,4)，易求出OA=1，OB=3，AB=√10，BD=√2，BE=3√2，DE=2√5，∴OABD =OBBE=ABDE=√2．∴△AOB∽△DBE．34. （1）当x≤10时，由题意知y=ax．将x=10，y=15代入，得15=10a，所以a=1.5．故当x≤10时，y=1.5x．当x=8时，y=1.5×8=12．故应交水费12元．（2）当x>10时，由题意知y=b(x−10)+15．将x=20，y=35代入，得35=10b+15，所以b=2．故当x>10时，y与x之间的函数解析式为y=2x−5．35. ∵sinB=35，∠ACB=90∘，DE⊥AB，∴sinB=DEDB =ACAB=35．设DE=CD=3k(k>0)，则DB=5k．∴CB=8k，AC=6k，AB=10k．∵AC+CD=9，∴6k+3k=9．解得k=1．∴DE=3，DB=5．∴BE=√DB2−DE2=√52−32=4．过点C作CF⊥AB于点F，则CF∥DE，∴DECF =BEBF=BDBC=58．∴CF=245,BF=325．∴EF=BF−BE=125．在Rt△CEF中，CE=√CF2+EF2=12√55．36. （1）由题意可得∠BAC=90∘，AB=40km，AC=8√3km，所以BC=√402+(8√3)2=16√7(km)．所以轮船航行的速度为16√7÷43=12√7(km/h)．（2）能．理由：如图，过点B作BD⊥l于点D，过点C用CE⊥l于点E，延长BC交l于点F．由已知易知∠BAD=60∘，∠CAE=30∘．在Rt△BDA中，AD=AB⋅cos∠BAD=20km，DB=AB⋅sin∠BAD=20√3km．在Rt△ACE中，CE=AC⋅sin∠CAE=4√3km，AE=AC⋅cos∠CAE=12km．因为BD⊥l，CE⊥l，所以CE∥BD．易得△FDB∼△FEC．所以CEBD =FEFD．设EF=x km，则√3203=xx+20+12，解得x=8．所以AF=AE+EF=20km．因为AM=19.5km，AN=20.5km，所以AM<AF<AN．所以该轮船不改变航向继续航行，能正好至码头MN靠岸．37. （1）由题意，设y1=k1(x+1)，y2=k2x，k1，k2均不为0．∵y=2y1−y2，∴y=2k1(x+1)−k2x．∵当x=1时，y=4；当x=2时，y=3，∴{4=4k1−k2,3=6k1−k22,解得{k1=14,k2=−3.∴y=12(x+1)−−3x，即y=12x+3x+12．（2）当x=−1时，y=−12−3+12=−3．38. （1）∵点A(−1,4)在反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象上，∴k=−1×4=−4．∴反比例函数的表达式为y=−4x．把点A(−1,4)，B(a,1)的坐标分别代入y=x+b,得{4=−1+b,1=a+b,解得{a =−4,b =5.（2） 链接 AO ，设线段 AO 与直线 l 相交于点 M ，如图所示．∵ A ，O 两点关于直线 l 对称，∴ 点 M 为线段 OA 的中点．∵ 点 A (−1,4)，O (0,0)，∴ 点 M 的坐标为 (−12,2)． ∴ 直线 l 与线段 AO 的交点坐标为 (−12,2)． 39. （1） 将 B (4,1) 的坐标代入 y =k x ，得 1=k 4， ∴k =4，∴y =4x ．将 B (4,1) 的坐标代入 y =mx +5，得 1=4m +5，∴m =−1，∴y =−x +5．（2） 在 y =4x 中，令 x =1，得 y =4， ∴A (1,4)，∴S =12×1×4=2．（3） 作点 A 关于 y 轴的对称点 N ，则 N (−1,4)．连接 BN ，交 y 轴于点 P ，点 P 即为所求．设直线 BN 所对应的函数解析式为 y =ax +b ，由 {4a +b =1,−a +b =4, 解得 {a =−35,b =175, ∴y =−35x +175，∴P (0,175)． 40. （1） 在第二象限内，当 −4<x <−1 时，y 1−y 2>0．（2） ∵ 双曲线 y 2=m x 过 A (−4,12)，∴m =−4×12=−2．∵ 直线 y 1=ax +b 过 A (−4,12)，B (−1,2)，∴{−4a+b=12,−a+b=2,解得{a=12,b=52.∴y1=12x+52．（3）设P(t,12t+52)，过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．∴PM=12t+52，PN=−t．∵S△PCA=S△PDB，∴12⋅AC⋅CM=12⋅BD⋅DN，即12×12(t+4)=12×1×(2−12t−52)，解得t=−52，∴P(−52,54 )．41. （1）由题意得A(3,0)，B(0,3)，∵抛物线经过A，B，C三点，∴把A(3,0)，B(0,3)，C(1,0)三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c，得方程组{9a+3b+c=0,c=3,a+b+c=0.解得{a=1,b=−4, c=3.，∴抛物线的解析式为y=x2−4x+3．（2）如图，由题意可得△ABO为等腰直角三角形，若△ABO∽△AP1D，则AOAD =OBDP1，∴DP1=AD=4，∴P1(−1,4)，若△ABO∽△ADP2，过点P2作P2M⊥x轴于M，∵△ABO为等腰直角三角形，∴△ADP2是等腰直角三角形，由三线合一可得：DM=AM=2=P2M，即点M与点C重合，∴P2(1,2)，∴点P的坐标为(−1,4)或(1,2)．42. （1）设直线AD对应的函数解析式y=ax+b．因为直线AD过点A(3,5)，E(−2,0)，所以 {3a +b =5,−2a +b =0, 解得 {a =1,b =2.所以直线 AD 对应的函数解析式为 y =x +2．因为点 C 与点 A (3,5) 关于原点对称．所以点 C 的坐标为 (−3,−5)．因为 CD ∥y 轴，所以点 D 的横坐标为 −3．把 x =−3 代入 y =x +2，得 y =−1．所以点 D 的坐标为 (−3,−1)．因为点 D 在函数 y =k x 的图象上，所以 k =(−3)×(−1)=3．（2） 1243. （1） 设直线 AB 对应的函数解析式为 y =kx +b ．由题意，得 {b =6,8k +6=0, 解得 {k =−34,b =6.所以直线 AB 对应的函数解析式为 y =−34x +6．（2） 由 AO =6，BO =8 得 AB =10，易得 AP =t ，AQ =10−2t ．如图①，当 AP AO =AQ AB 时，△APQ ∼△AOB ，所以 t 6=10−2t 10，解得 t =3011； 如图②，当 AP AB =AQ AO 时，△AQP ∼△AOB ， 所以 t 10=10−2t 6，解得 t =5013．综上可知，当 t =3011 或 5013 时，△APQ 与 △AOB 相似．44. （1） 因为当 y =0 时，2x +4=0，x =−2．所以点 A (−2,0)．因为当 x =0 时，y =4．所以点 B (0,4)．过 D 作 DH ⊥x 轴于 H 点，因为四边形 ABCD 是正方形，所以 ∠BAD =∠AOB =∠AHD =90∘，AB =AD ．所以 ∠BAO +∠ABO =∠BAO +∠DAH ，所以 ∠ABO =∠DAH ．在 △ABO 和 △DAH 中，{∠AOB =∠DHA,∠ABO =∠DAH,AB =AD.所以 △ABO ≌△DAH (AAS )．所以 DH =AO =2，AH =BO =4，所以 OH =AH −AO =2．所以点 D (2,−2)．（2） 设直线 BD 的表达式为 y =kx +b ．所以 {2k +b =−2,b =4.解得 {k =−3,b =4.所以直线 BD 的表达式为 y =−3x +4．45. 由题意知，抛物线的顶点坐标为 (1,0)，∴ 设抛物线的解析式为 y =a (x −1)2．∵(2,1) 在抛物线 y =a (x −1)2 上，∴1=a (2−1)2，∴a =1∴y =(x −1)2．46. ∵ 点 (3,0)，(−1,0) 在抛物线 y =−x 2+bx +c 上，∴{−9+3b +c =0,−1−b +c =0,∴{b =2,c =3.∴y =−x 2+2x +3．47. ∵ 抛物线 y =ax 2+bx +c 过 (0,3)，(1,0)，(3,0)．∴{c =3,a +b +c =0,9a +3b +c =0,∴{c =3,a =1,b =−4.∴y =x 2−4x +3．48. （1） ∵ 点 (1,0)，(2,0)，(3,4) 在抛物线 y =ax 2+bx +c 上，∴{a +b +c =0,4a +2b +c =0,9a +3b +c =4,∴{a =2,b =−6,c =4.∴y =2x 2−6x +4．（2） ∵y =2(x −32)2−12，∴ 顶点坐标为 (32,−12)． （3） 当 x >32 时，y 随 x 增大而增大；当 x <32 时，y 随 x 增大而减小．49. （1） ∵ 点 (−1,−1)，(1,1)，(2,−4) 在抛物线 y =ax 2+bx +c 上， ∴{a −b +c =−1,a +b +c =1,4a +2b +c =−4,∴{a =−2,b =1,c =2.∴y =−2x 2+x +2．（2） y =−2(x −14)2+178．开口向下，对称轴直线 x =14，顶点坐标 (14,178)．（3） ∵a =−2<0，∴ 有最大值 178． 50. （1） 因为 A (m,6)，B (3,n ) 两点在反比例函数 y =6x(x >0) 的图象上， 所以 m =1，n =2，即 A (1,6)，B (3,2)．又因为 A (1,6)，B (3,2) 在一次函数 y =kx +b 的图象上，所以 {6=k +b,2=3k +b, 解之，得 {k =−2,b =8.即一次函数的表达式为 y =−2x +8．（2） 根据图象可知，使 kx +b <6x 成立的 x 的取值范围是 0<x <1 或 x >3．（3） 分别过点 A ，B 作 AE ⊥x 轴，BC ⊥x 轴，垂足分别为 E ，C ，。
求数列通项公式的十种方法,例题答案详解
求数列通项公式的十一种方法(方法全，例子全，归纳细)总述：一.利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法)、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法(目的是去递推关系式中出现的根号) 、数学归纳法、不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式) 、特征根法二。
四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三.求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四.求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五.数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法1.适用于：%+ =% + f(n) -------- 这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。
2.若an+ -a n = f (n) (n >2),a2 -4=f(1)则出一包="2)III IHa n 1 -a n = f (n)两边分别相加得a n1._.a1 == f (n)k 4例1已知数列｛a n｝满足an4 =a n +2n +1, & =1,求数列｛a n｝的通项公式。
解：由an_1 =an+2n+1 得an邛一an = 2n+1 则n n n na n =(a n -a n。
(a n」- a n- IM (a3 -a2)(a2 -a1)&= [2(n-1) 1] [2(n-2) 1] |H (2 2 1) (2 1 1) 1= 2[(n -1) (n -2) ||| 2 1] (n -1) 1= 2(n 21)n (n -1) 1=(n -1)(n 1) 12 二n所以数列｛a n｝的通项公式为a n =n2。
例2已知数列｛a n｝满足a n+ =a n +2父3n +1, a1 =3 ,求数列｛a n｝的通项公式。