高等数学知识在生物化学工程中的应用举例

高等数学知识在生物化学工程中的应用举例

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高等数学知识在生物化学工程中的应用举例

高等数学是生命科学学院校开设的重要基础课程，数学方法为生物化学的深入研究发展提供了强有力的工具。下面仅举一些用高等数学基础知识解决生物化学工程中的一些实际问题的例子，旨在启发学生怎样正确理解和巩固加深所学的知识，并且强化应用数学解决实际问题的意识。

例1 在化工原理中常用的柏努利方程式中的应用

化工生产过程中常于密闭管道内输送液体，使液体流动的主要因素有（1）流体本身的位差；（2）两截面间的压强差；（3）输送机械向流体外作的外功。

流动系统的能量衡量常用柏努利方程式，下面来介绍柏努利方程式。 定态流动时液体的机械能衡量式为

∑⎰-=+∆+

∆f e p p h W vdp u z g 21

2

2

（1） 该式队可压缩液体和不可压缩液体均适用。对不可压缩液体，（1）式中⎰2

p p

vdp 项应视过程性质（等温、绝热

或多变过程）按热力学原则处理，对不可压缩液体，其比容v 或者密度ρ为常数，故

ρ

ρ

ρp

p p dp vdp p p

p p

∆=

-=

=

⎰

⎰

2

12

2

1

，代入（1）式有：

∑-=∆+∆+∆f e h W p

u z g ρ

22

或 ∑+++=+++f e h p u gz W p u gz ρ

ρ22

22121122 （2） （2）式称为柏努利方程式。

需要注明的是，22u 为动能，gz 为位能，ρ

p

为静态能，e W 为有效能，∑f h 为能量损耗，z ∆为高度差。

例2 混合气体粘度的计算

常温下混合气体的计算式为

∑∑===

n

i i

i n

i i

i

i

m M

y M

y 1

211

21

μμ （3）

其中m μ为常温下混合气体的粘合度（Pa.s ）；i y 为纯组分i 的摩尔分率；i μ为混合气体的温度下，纯组分i 的粘度（Pa.s ）；i M 为组分i 的分子量（Kg/kmol ）。

例如：空气组分约为01.0,78.0,21.0Ar N O （均为体积积分率），试利用Ar N O ,,的粘度数量，计算常

温下C 020时空气的粘度？

解：常温下空气可视为理想气体，故各组分的体积积分率等于摩尔分率，Ar N O ,,22的分子量分别为32，28及39.9，经查表知道常温下C 020时各组分的粘度为

s

Pa Ar

s Pa N s Pa O ⋅⨯⋅⨯⋅⨯---552521009.2107.11003.2

代入（3）式计算空气的粘度，即

s

Pa M

y M

y n

i i

i n

i i

i

i

m ⋅⨯=⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=

=

----==∑∑52

12

12

12

15

2

152

151

211

211078.19

.3901.02878.03221.09

.391009.201.028107.178.0321003.221.0μμ

例3. 在细胞生长计算中的应用

随着细胞的生成繁殖，培养基中的营养物质被消耗，一些有害的代谢产物在培养液中累积起来，细胞的生长速度开始下降，最终细胞浓度不再增加，进入静止期，在静止期细胞的浓度达到最大值。

如果细胞的生长速率的下降是由于营养物质的消耗造成的，可以通过以下的分析来统计分批培养可能达到的最大细胞浓度。设限制性基质为A ，其浓度为a ，且A 的消耗速度与细胞浓度成正比：

X K dt

da

a =-

（4） （4）式中a K 为常数，假定接种后培养液中细胞浓度为0X ，且立即进入指数生长阶段，且一直保持到静止期，则

)ex p(0t X X m m μ= （5）

其中m X 为分批培养达到的最大细胞浓度，即A 完全耗尽时细胞浓度，由（3）式和（4）式可得

)(00X X K a m m

a

-=

μ

整理得 00a K X X m

a

m μ+

=

也就是说分批培养过程中获得的最大细胞浓度与限制性基质的厨师浓度存在着线性关系。

如果细胞及生长速度的下降是由于有害物质的积累，可以认为

KX dt

dX

=[1-f(有害物质浓度)] 为方便起见，假定细胞生长速率与有害物质浓度有线性关系

dX

其中k, b 为常数，t C 为有害物质浓度。由于有害物质有细胞产生，可以认为 qX dt

dC t

= t=0时，t C =0 （6） 式中q 为常数，由（6）式可得⎰=t

t qXdt C 0，代入（5）式有：

⎰-=t qXdt b KX dt

dX

01(

因此有效生长速度为

)1(10⎰-=⋅=

t Xdt bq K dt

dX

X μ

随着时间急剧下降，当

⎰=t Xdt bq 0

1

时，细胞的生长停止。

例4 细胞团内的氧传递

细胞集成团时，氧在细胞团中边扩散边备细胞消耗，为方便起见，把细胞团看作一个均匀的耗氧球体，设它的半径为R ，密度为ρ，取其半径为r ，厚度为dr 的一层球壳进行稳态时的物料衡量

dr r Q r dr

dC D r dr dC D

o dr r r 2224|)4(|)4(2πρππ⋅=⋅--⋅-+ 其中D 为氧在细胞内的扩散系数，C 为半径r 处的氧浓度，将上式整理，可得到

ρ2222

)||(o r dr r Q r dr

dr dC

r dr dC r D =-+

当0→dr 时，

ρ222)(o Q r dr

dC r dr d D

= 因此

ρ2)2(22o Q dr dC

r dr

C d

D =+

（7） 细胞的比耗氧速率与耗氧浓度的关系适用米氏方程

C

K C Q Q m m o o +=

)(22

式中m o Q )(2为最大耗氧速率，m K 为米氏常数，代入（7）式中，有

ρC K C Q dr dC

r dr

C d

D m m o +=+)()2(222 （8）

边界条件为 r=R 时，L C C = R=0时，0=dr

dC

取m K r

X C y ===

β,,代入（8）式，有