高等数学论文

《高等数学》

期末课程总结

姓名：张桂花

学号： 1201090122

班级： 12级采矿01班

系别：环境与城市建设学院

高等数学论文

摘要：

经过一个学期的学习，对于高数我又有了一个更深的了解，大一上学期主要是了解高数一些最基本的东西，等到了下学期，主要是对上学期所学知识进行一定的延伸和拓展，在原有学习的基础上更深入的了解其精髓，对于我们更深刻的掌握高数这门学科有很大的好处。这一学期里我们重点学习了高数中的导数、微分和积分的扩充，即从对一元函数的求导到对多元函数的求导，求偏导和求全微分，从一重积分扩充到二重积分和三重积分，但是之前的一重积分主要是运算，但是重积分则更加注重在其运用上，积分也从之前的对某一个区域积分延伸到对曲线积分和曲面积分上。另外，这学期也新引入了无穷级数和微分方程。经过一学期的学习，我认识到了数学里一些更加新奇的东西，以前我们都很难计算的无穷数列在无穷级数的学习后得以解决了，而且还可以将一些难以求解的级数通过转化和变形成为我们熟悉的级数形式然后进行求解，这让我想到了我们生活中的很多东西都是这样的，当我们遇到困难不能解决的时候，我们就要习惯产生联想，将这种问题想方法转化为我们熟悉的能解决的东西在进行处理，这些都是我们的高数在不知不觉中一直告诉我们的真谛。数学也训练我们的逻辑思维能力，它在一方面让我们大胆的去假设，另一方面又需要我们去小心的求证，只有我们证明确实成立的东西我们才能进一步的

运用，但是不得不让人佩服的就是数学的逻辑性，同时它也在训练者我们，只有我们在每一个数学环节都严谨的去学习去证明去求解，我们的结果才会正确。

关键词：导数，微分，重积分，级数。

正文：

高等数学下册主要是围绕导数、微分、积分、无穷级数展开的。

首先，第七章主要是函数的微分，上学期我们学习的是一元函数积分，但是实际问题中，往往涉及多个因素之间的关系，反映到数学上就是表现为一个变量依赖于多个变量的情形，从而产生了多元函数的概念，这在高等数学里占据了主要的位置，这一章主要介绍了多元函数的求导、求极值。隐函数的微分方法，还介绍了方向导数、梯度等新概念，还将多元函数的微分应用在几何上，和以前所学的内容很好的结合起来了，为我们提供了更多的解题方法和更灵活的解题思路，对于我们整体的掌握好高数的精华很重要。在这一章节中我们需要重点掌握的有以下几点：1、二重极限的概念，2、可导（导数的定义），3、可微的定义。首先我们要清楚二重极限的概念，需要注意的就是定义里的定点如p0(x0,y0),这里的点p(x,y)是按照任意方式趋近于p0的。还要注意它和二次极限的区别，二次极限是对一个函数f(x,y)先后分别对x →x0,y →y0求极限A y x f y x y x =→),(lim )

0,0(),(而二重极限则是对函数f(x,y)当x →x0且y →y0时求极限A y x f y y x x =→→),(lim lim 00。求是否存在二重极限时可以用取

线路的方法，若取不同的线路求得的二重极限的结果一致则存在，否则就不存在。对于可微，我们要掌握多元函数的全微分的求导，重点注意可微，可导，连续之间的关系。还有就是要知复合函数的微分法，隐函数的微分的求导，一元隐函数可以分布分级求导，多元的可以转化为令F=f(x,y,u),u=v(x,y)的形式在分布分级求导。前面讲的都是一个方程的情形，隐函数的求导还有对方程组的情形，这时的求导公式就需要用到二阶行列式了。本章内容的几何上的运用主要是求空间曲线的切线和法平面方程，主要就是找切向量．．．

。还有就是求空间曲面的切平面和法线的方程，主要是找到法向量．．．

。 最后本章还介绍了无条件极值，最值和条件极值。这三者都要先找到驻点和导数不存在的点，条件极值就是运用拉格朗日数乘法。

第八章引入了重积分这一新的概念，在这章中讲到二重积分，三重积分。而二重积分的求解有两种方法，1、二重积分图形有两种形式，即X-型和Y-型，即先对x 再对y 积分和先对y 再对x 积分，这种计算要注意的交换积分的次序．．．．．．．

，这个可以简便计算过程2、当然还有另一种形式下的二重积分计算，那就是极坐标．．．下的二重积分的计算（θθθσrdrd r r f )sin ,cos (d y x f D D ⎰⎰⎰⎰=），（）。对三重积分，在三种形式下的积分方法不一样，在直角坐标．．．．

下三重积分的计算有两种方法，投影法（先单后重即穿针法）和截面法（先重后单

即切片法），切片法常用于单变量且切片面积易，直角坐标下的情形要注意变量的轮换．．．．．对称性．．．，以简便运算量，而在柱面坐标．．．．下三重积分下⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz

rdrd z r r f dV z y x f θθθ),sin ,cos (),,(，在球面坐标．．．．下，⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=)cos ,sin sin ,cos sin (0),(002),,(ϕρθϕρθϕρθϕρϕπθπf d d dV z y x f ，球面坐

标常用于（1）Ω为球形区域或圆锥（2）f(x,y,z)含x 2+y 2+z 2情形。而本章的重点就是在于

重积分的计算上，重积分的运用：1、求曲面的面积2、物体的质心（重心）3、转动惯量的求解包括平面和空间上的。以上讲的积分范围都是在平面或空间的有界闭区域，接下来将讲积分范围为一段曲线弧或一张曲面的情形。

第九章中介绍了曲线积分和曲面积分，在这章中介绍了1、对弧长的曲线积分（第一类线积分）的概念和性质，以及其计算方法。2、对坐标的曲面积分（第二类线积分）的概念，性质及计算方法。3、格林公式及其运用，4、对面积达到曲面积分（第一类面积分）5、对坐标的曲面积分（第二类面积分）6、高斯公式，斯托克斯公式。对弧长的曲线积分是针对含参数的形式，但是特殊地可以视x 或y 为参数进行计算但都是将弧长元素ds ，而对第二类线积分就是将积分元素dx,dy 表示。注意第一类积分和第二类积分的区别前者有不等性没有符号相反性，而后者有符号相反性而没有不等性，因为第二类积分有方向。但还要注意这两类积分的关系，它们之间可以互相转化的，主要就是方向性的处理。而格林公式就是用在积分区域D 为有界连通区域且被积函数在D 上有一阶连续的偏导数，且L 为D 边界的正向。还需要注意的线积分⎰+L Qdy Pdx 与路径无关的条件⇔x

Q y P

∂∂

∂∂=。而本章中的第一类面积分，第二类面积分和第一类线积分，第二类线积分类似，不同就是积分元素不同了，从线元变为了面，性质方面也对应相同的。此章节里的积分注重了轮换对称性可以简便计算的，但是轮换对称性的前提就是变量在积分区域里的地位相同的。高斯公式：

dv Rdxdy Qdzdx P z R y Q x P ⎰⎰⎰

⎰⎰Ω

∂∂∂∂∂∂∑++=++)(dydz 但是高斯公式都是反过来运用的的比较多，它就是二重积分和三重积分之间的关系，斯托克斯公式：dxdy y

P x Q dzdxz x R z P dydz z Q y R Rdz Qdy Pdx T )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=++⎰⎰⎰+∑+它也是反过来运用的比较多，它就是二重积分和一重积分之间的转化。

1、对弧长的曲面积分的计算：