2008江苏省高校第9届高等数学赛试题(答案)

2008年江苏省高等数学竞赛题（本科一级）

一．填空题（每题5分，共40分） 1.a

1

，b 2时，

2lim

arctan 2

x

ax x

x

bx x

解析：考虑单侧极限. 2. a

1

，b

12

时()ln(1)

1x

f x ax bx

在0x 时关于x 的无

穷小的阶数最高。 解析：考虑幂级数展开式. 3.

2420

sin cos x xdx

32

.

解析：利用公式

2

20

sin cos n n xdx

xdx .

4.通过点1,1,1与直线,2,2x t y z t 的平面方程为460x y z .

解析：求出方向向量. 5.设2

2

2,x z

x

y

则

(2,1)

n

n

z

y

=1

(1)!1

3n

n n . 解析：2

2

21

1

x z

x

y

x y x y

.

6.设D 为,0,1y x x y 围成区域，则

arctan D

ydxdy 24

.

解析：看作Y 型区域直接积分. 7.设为2

2

2(0)x y x y

上从(0,0)O 到(2,0)A 的一段弧，则

()()x

x

ye x dx

e xy dy =

83

.

解析：考虑格林公式. 8.幂级数

1

n n nx 的和函数为

2

(1)x x ，收敛域为(1,1).

解析：

1

12

1

1

1

1

1(1)x n

n

n n n n n n x x

nx x

nx x

nx dx x

x x x x ''

'

. 二．（8分）设数列n x 为12

2

3,3

3,

,3

3

(1,2,)n

n x x x x n

证明：数列n x 收敛，并求其极限。 解析：2

23133

1

3

23

3

1

n n

n

n

n

x x x x x

1

1

1

12

32

n n n

x x x . 所以

222

21

1

11111

1

3312

22

n n n n x x x 21

21

111

11

1

13122

2n

n n n

x x x

易知，221

1,1,()n

n

x x n

，所以1,()n

x n

.

三．（8分）设()f x 在,a b 上具有连续的导数，求证

/1max ()

()()b b a x b

a

a

f x f x dx

f x dx b a

解析：根据积分中值定理，

(,)a b ，使()()

b

a

f x dx f b

a

，[,]x a b ，

()()

(),x

f t dt

f x f '故()

()

(),x

f x f f t dt '因而

1()()

()()(),x

b b a

a

f x f f t dt

f x dx

f t dt b a

''于是

/1

max ()

()()b b a x b

a

a

f x f x dx

f x dx b a

.

四．（8分）1）证明曲面:(cos )cos ,sin ,(cos )sin x b a y a z b a

02,020a b 为旋转曲面

2）求旋转曲面所围成立体的体积 解析：（1）令cos t

b a ，消掉参数,得方程2

2

2

22z

b

y a ，显

然该曲面是由xoy 面上曲线2

22x b

y a 绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面。

（2）法I ：该立体是分布在y 轴的区间[,]a a 上平行截面面积已知的立体，其体积为

2

2

2

2

2

2

22221

22

82.

a a V

V b a

y

b a

y

dy b

a y dy a

b 法II ：利用二重积分来求。

五．（10分）函数(,)u x y 具有连续的二阶偏导数，算子A 定义为

()

,u

u A u x y x

y

1）求(())A u

A u ；2)利用结论1）以

,y x y x

为新的自变量改变方程

2

2

2

2

2

2

2

20u u u x

xy

y

x x y

y 的形式

解析：1）由于(),u u

A u x y

x y

所以 (())()u u A u A u A u x

y x y ()()u u u u x

u

x

y

y

u x

y

x

x

y

y

x y 2

2

2

2

2

2()()u

u u

u x x y y x y

x y x y x y

y

2

2

2

2

2

2

2

2.u u u x

xy

y

x x y

y 2）2

2

2

2

2

2

2

20(())

0u

u u x

xy

y

A u

A u x x y y ，而

2

1()(

)()

u u u

y u

u u

u u

A u x

y

x

y

x y x

y

x x

，故

22

2

(())()()

u

u

u

A u A u A u u

，所以