数学中考复习——半角模型
中考数学 几何专题——半角模型
几何模型之半角模型一、旋转性质1.图形对应边相等（易得等腰，且等腰均相似）2.对应角相等3.对应点与旋转中心连线构成旋转角，旋转角处处相等二、半角模型半角模型（90°含45°）条件模型结论①等腰直角△ABC;②∠DAE=45°DE2=BD2+CE2①等腰直角△ABC;②∠DAE=45°DE2=BD2+CE2①正方形ABCD;②∠EAF=45°①EF=BE+DF；②△CEF的周长是正方形周长的一半；③点A到EF的距离等于正方形的边长.①正方形ABCD;②∠EAF=45°EF=DF-BE三、模型演练1.如图，在正方形ABCD中，AB=1，E，F分别是边BC，CD上的点，连接EF、AE、AF，过A作AH⊥EF 于点H．若EF=BF+DF．那么下列结论：①AE平分∠BEF；②FH=FD；③∠EAF=45°；④S△E A F=S△A B E+S△A D F；⑤△CEF的周长为2．其中正确结论的是．2.在Rt△ABC中，AB=AC，D､E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论①△AEF≌△AED；②∠AED=45°；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2，其中正确的是（）A.②④B.①④C.②③D.①③3如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．4.如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（4，4），点E、F分别在边BC、BA上，OE=25．若∠EOF=45°，则F点的坐标是．5.已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）6.如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E是BC边上的任意两点，且∠DAE=45°．（1）将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF，请在图（1）中画出△ACF．（2）在（1）中，连接EF，探究线段BD，EC和DE之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．（3）如图2，M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BM+DN=MN，试求∠MAN的大小．。
半角模型-初三数学半角模型
半角模型1、产生条件：共顶点、等线段，一个小角等于大角的一半，对角互补的四边形。
2、常见形式：图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况，还有2α套α的情况。
求证的结论一般是“a+b=c 或者a -b=c ”。
3、解题方法: 通过辅助线“截长补短”，构造全等三角形，转移边角。
旋转移位造全等，翻折分割构全等。
4、经典题型：4.1、正方形半角模型：90°→ 45°例1、如图，正方形ABCD 中，∠EAF=45°。
求证： （1）EF=BE+DF ． （2）∠EFC 周长 = 2AB （3）EA 平分∠BEF变式训练：如图，正方形ABCD 中，∠EAF=45°。
求证：EF=DF - BEBB4.2、等腰直角三角形半角模型：90°→ 45°例2、如图，等腰直角三角形中∠BAC=90°，∠EAF=45°，求证：BE 、EF 、CF 的数量关系。
变式训练：如图，等腰直角三角形中∠BAC=90°，∠EAF=45°，求证：BE 2 + CF 2 = EF 2。
FE4.3、对角互补、邻边相等四边形半角模型：2α → α例3、如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB=BC ，E 、F ，分变式训练：如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB=BC ，若E 、F 分别在AD 、DC 的延长线上，且∠EBF=60°，求证：AF=EF+CE ．专题训练：1、如图1．在四边形ABCD中．AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠BAD=2∠EAF．（1）求证：EF=BE+DF；（2）在（1）问中，若将∠AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图2所示，试探究EF、BE、DF之间的数量关系．CBAE2、 如图，∠ABC 中，CA=CB ，∠ACB=120°，点E 为AB 上一点，∠DCE=∠DAE= 60°，求证:AD+DE= BE.3、 如图，∠A=∠B=90°，CA=CB=4， ∠ACB=120°，∠ECF=60°，AE=3， BF=2，求五边形ABCDE 的面积.A。
中考数学必会几何模型：半角模型
中考数学必会几何模型：半角模型半角模型是指存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点的模型。
通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系。
常见的半角模型是90°含45°，120°含60°。
例如，已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N。
要求证：BM+DN=MN，以及作AH⊥XXX于点H，求证：AH=AB。
证明过程如下：1.延长ND到E，使DE=BM。
由四边形ABCD是正方形，得AD=AB。
在△ADE和△ABM中，有AD=AB，∠ADE=∠BAM，DE=BM，因此△ADE≌△ABM。
得AE=AM，∠XXX∠BAM。
由∠MAN=45°，得∠BAM+∠NAD=45°，因此∠MAN=∠EAN=45°。
在△AMN和△AEN中，有MA=EA，∠MAN=∠EAN，AN=AN，因此△AMN≌△AEN。
得MN=EN。
因此BM+DN=DE+DN=EN=MN。
2.由(1)得△AMN≌△XXX。
因此S△AMN=S△AEN，即AH×MN=AD×EN。
又因为MN=EN，得AH=AD。
因此AH=AB。
在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC。
要探究当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系。
1) 当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN。
2) 猜想：当DM≠DN时，仍有BM+NC=MN。
证明如下：延长AC至E，使CE=BM，连接DE。
因为BD=CD，且∠BDC=120°，所以△BDC是等边三角形。
因此BD=DC=CE=BM，得△BDE是等边三角形，∠BED=60°。
因此△DEN和△DME是等腰三角形，得DN=EN，DM=EM。
2023中考数学常见几何模型《全等模型-半角模型》含答案解析
专题02 全等模型--半角模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.半角模型【模型解读】过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
【常见模型及证法】常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.1．（2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，点E ，F 分别在BC ，CD 上，若2BAD EAF ∠∠=，则EF BE DF =+．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD ．已知100m CD CB ==，60D ∠=︒，120ABC ∠=︒，150BCD ∠=︒，道路AD ，AB 上分别有景点M ，N ，且100m DM =，)501m BN =，若在M ，N 之间修一条直路，则路线M N →的长比路线M A N →→的长少_________m 1.7≈）．2．（2022·河北邢台·九年级期末）学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD 中，∠EAF ＝45°，求证：EF ＝BE ＋DF ．”小明同学的思路：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠ADC ＝90°．把△ABE 绕点A 逆时针旋转到ADE '△的位置，然后证明AFE AFE '≌△△，从而可得=EF E F '．E F E D DF BE DF ''=+=+，从而使问题得证．(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，12EAF BAD ∠=∠，直接写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系．(2)【应用】如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，12EAF BAD ∠=∠，求证：EF ＝BE ＋DF ．(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC 是O 的内接四边形，BC 是直径，AB ＝AC ，请直接写出PB ＋PC 与AP 的关系．3．（2022·福建·龙岩九年级期中）（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，CD 边上的动点，且45EAF ∠=︒，求证：EF DF BE =+．小明发现，当把ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADG ，使AB 与AD 重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD 中，如果点E ，F 分别是CB ，DC 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系______（不要求证明）②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且45EAF∠=︒，则EF，BE，DF之间的数量关系是_____（不要求证明）.（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE=，求AF的长．4．（2022·山东省青岛第二十六中学九年级期中）【模型引入】当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”【模型探究】（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，探究图中线段EF，AE，FC之间的数量关系．【模型应用】（2）如图2，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的长．【拓展提高】（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上，且∠EAF12=∠BAD．当BC＝4，DC＝7，CF＝1时， CEF的周长等于．（4）如图4，正方形ABCD中， AMN的顶点M、N分别在BC、CD边上，AH⊥MN，且AH＝AB，连接BD分别交AM、AN于点E、F，若MH＝2，NH＝3，DF＝，求EF的长．（5）如图5，已知菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别是边BC，CD上的动点（不与端点重合），且∠EAF=60°．连接BD分别与边AE、AF交于M、N，当∠DAF＝15°时，求证：MN2+DN2=BM2．课后专项训练：1．（2022·重庆市育才中学二模）回答问题（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_______________；（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．2．（2022·江西九江·一模）如图（1），在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，AB AD =，以点A 为顶点作EAF ∠，且12EAF BAD ∠=∠，连接EF ．(1)观察猜想 如图（2），当90BAD B D ∠=∠=∠=︒时，①四边形ABCD 是______（填特殊四边形的名称）；②BE ，DF ，EF 之间的数量关系为______．(2)类比探究 如图（1），线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．(3)解决问题 如图（3），在ABC 中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，点D ，E 均在边BC 上，且45DAE ∠=︒，若BD =，求DE 的长．3．（2022·山东聊城·九年级期末）（1）如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，求证：EF BE DF =+，试说明理由．（2）类比引申：如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°，若B Ð、D ∠都不是直角，则当B Ð与D ∠满足等量关系______时，仍有EF BE DF =+，试说明理由．（3）联想拓展：如图3，在△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 均在边BC 上，且∠DAE =45，若1BD =，2EC =，求DE 的长．4．（2022·黑龙江九年级阶段练习）已知：正方形ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时，（如图1），易证BM +DN =MN ．(1)当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时（如图2），线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；(2)当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM 、DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．5．（2022·重庆南川·九年级期中）如图，正方形ABCD 中，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交BC 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．(1)当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），证明：2MN BM =；(2)绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），求证：MN BM DN =+；(3)当MAN ∠绕点A 旋转到如图3位置时，线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．6．（2022·江西景德镇·九年级期中）（1）【特例探究】如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90ABC ADC ∠=∠=︒，100BAD ∠=︒，50EAF ∠=︒，猜想并写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，证明你的猜想；（2）【迁移推广】如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180ABC ADC ∠+∠=︒，2BAD EAF ∠∠=．请写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并证明；（3）【拓展应用】如图3，在海上军事演习时，舰艇在指挥中心（O 处）北偏东20°的A 处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的B 处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达C ，D 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离．7．（2022·上海·九年级专题练习）小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 在边BC 上，∠DAE ＝45°．若BD ＝3，CE ＝1，求DE 的长．小明发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，联结EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．(1)请回答：在图2中，∠FCE的度数是，DE的长为．参考小明思考问题的方法，解决问题：(2)如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．且∠EAF＝128．（2022·黑龙江·哈尔滨市九年级阶段练习）已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD 于M，N．(1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN(2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系(3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长．9．（2022·浙江·九年级阶段练习）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD 的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关∠EAF=12系．并证明你的猜想．10．（2022·北京四中九年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点P在线段AB 上，作射线CP（0°＜∠ACP＜45°)，射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD⊥CP于点D，交CQ于点E，连接BE．(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明．专题02 全等模型--半角模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
2024年中考数学总复习学案：+半角模型+
半角模型模型介绍：我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型.其特点为：“共顶点”“等线段”“含半角”.运用该模型的解题思路为旋转全等：将半角两边的三角形旋转到一起合并形成新的三角形全等关系，通过等量代换、全等的性质得出线段之间的数量关系.类型 1 90°含45° 正方形背景条件：正方形ABCD ，∠EAF=45°：辅助线：过点A 作AG⊥AF ，交CB 的延长线于点G ，连接EF 。
等腰直角三角形背景条件：等腰Rt△ABD ，AB=AD ，∠BAD=90°，∠FAE=45°： 辅助线：过点A 作AG⊥AF ，且AG=AF ，连接DG ，EG 。
例1、如图，在Rt△ABC 中，∠ACB =90∘，AC =BC =12√2，点D ，E 在边AB 上，且 AD=6，∠DCE=45°，求DE 的长.经典模型图常用结论EF=BE+DF ，△AGB≌△AFD ，△AGE≌△AFE经典模型图常用结论EF=BE-DG ，△ABF≌△ADG ，△AFE≌△AGE ， ED²+BF²=FE²例2、如图，在四边形ABCD 中，AD‖BC，(BC⟩AD)，∠D=90°，BC=CD=6，∠ABE= 45°，AE=5，求CE 的长.练习题1、如图，在Rt△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，C，D均是直线AB上的动点，且满足，∠COD=45°，当点C，D运动到如图所示的位置时，求证：CD²=AC²+BD².2、如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，当AB=AD，∠B=∠ADF= 90∘，∠EAF=1∠BAD时，EF，BE，DF之间满足怎样的数量关系? 请说明理由.23、如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，点E，F分别在BC，CD 上，且BE=2，∠EAF= 45°，求DF的长.4、（2021丹东中考25题）在正方形ABCD中，点M，N 在对角线AC上，且∠MBN=45°，过点M，N分别作AB，BC 的垂线相交于点E，垂足分别为F，G，设△AFN的面积为S₁△NGC的面积为S₂，△MEN的面积为S₃.(1)如图1，若四边形EFBG为正方形.①求证：△AFM≅△CGN；②求证：S3=S1+S2；(2)如2，若四边形EFBG为矩形，写出S₁，S₂，S₃三者之间的数量关系，并说明理由.类型2 120°含60°时对角互补四边形背景条件：等边△ABC，DB=DC，∠BDC=120°，∠EDF=60°；辅助线：以点D为顶点作∠CDG=∠BDE，DG交AC的延长线于点G。
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)：全等与相似模型-半角模型(教师版)
专题16全等与相似模型-半角模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。
本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.半角模型半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。
思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。
解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论。
【模型展示】1）正方形半角模型条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④ AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
2）等腰直角三角形半角模型条件： ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；3）等边三角形半角模型（120°-60°型）条件： ABC 是等边三角形， BDC 是等腰三角形，且BD =CD ，∠BDC =120°，∠EDF =60°；结论：①△BDE ≌△CDG ；②△EDF ≌△GDF ；③EF ＝BE ＋FC ；④ AEF 的周长=2AB ；⑤DE 、DF 分别平分∠BEF 和∠EFC 。
4）等边三角形半角模型（60°-30°型）条件： ABC 是等边三角形，∠EAD =30°；结论：①△BDA ≌△CFA ；②△DAE ≌△FAE ；③∠ECF =120°；④DE 2＝(12BD ＋EC)2+2；5）半角模型（2 - 型）条件：∠BAC =2 ，AB =AC ，∠DAE = ；结论：①△BAD ≌△CAF ；②△EAD ≌△EAF ；③∠ECF=180°-2 。
最新中考数学教材全册知识点梳理复习 专题7.角含半角模型 课件PPT
第2题图
（3）你还能用其他的方法证明（2）吗？
证明：（3）如图.
∵∠ECF＝45°，
∴∠ACE＋∠BCF＝∠ECF＝45°.
又∵AC＝BC，
∴可将△ACE沿CE折叠，同理将△BCF沿CF折叠，
则折叠后的CA与CB重合于CA'，
可证∠EA'F＝90°，∴EF2＝A'E2＋A'F2，
△ADE≌△ADF，BD2＋CE2＝DE2.
2.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点E，F是边AB上的两点，且∠ECF＝
45°.
（1）若CE'⊥CE，CE'＝CE.求证：△CAE≌△CBE'.
证明：（1）∵CE'⊥CE，∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCE'.
又∵CA＝CB，CE＝CE'，
∵∠ABC＝90°，∴∠GBF＝90°.
∵EF＝AF＋CE，AF＝CG，∴EF＝CG＋CE＝EG.
∵BE＝BE，BF＝BG，∴△BEF≌△BEG（SSS），
∴∠EBF＝∠EBG，∴∠EBF＝ ∠GBF＝45°.
（2）将△EDF沿EF翻折，若点D的对应点恰好落在BF上，求EF的长.
解：（2）如图，由折叠的性质，可知∠DFE＝∠BFE.
由（2），可知∠AFB＝∠CGB＝∠BFE，
∴∠AFB＝∠BFE＝∠DFE＝60°，∴∠FED＝30°.
设DF＝x，则EF＝2x，ED＝ x.
∵AD＝1，∴AF＝1－x.
∵AF＋CE＝EF，∴CE＝3x－1，
∴DE＝CD－CE＝1－ − ＝2－3x，
∴2－3x＝
中考数学必会几何模型：半角模型
半角模型已知如图：①∠2=12∠AOB；②OA=OB.OABEF123连接FB，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E，FE，可得△OEF≌△OEF′4321F'FE BAO模型分析∵△OBF≌△OAF′，∴∠3=∠4，OF=OF′.∴∠2=12∠AOB，∴∠1+∠3=∠2∴∠1+∠4=∠2又∵OE是公共边，∴△OEF≌△OEF′.（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；（3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°.模型实例例1 已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N．（1）求证：BM+DN=MN．（2）作AH⊥MN于点H，求证：AH=AB．证明：（1）延长ND 到E ，使DE=BM ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ． 在△ADE 和△ABM 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BM DE B ADE AB AD∴△ADE ≌△ABM ．∴AE=AM ，∠DAE=∠BAM ∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠NAD=45°． ∴ ∠MAN=∠EAN=45°． 在△AMN 和△AEN 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AN AN EAN M AN EA M A∴△AMN ≌△AEN ． ∴MN=EN ．∴BM+DN=DE+DN=EN=MN ．（2）由（1）知，△AMN ≌△AEN ． ∴S △AMN =S △AEN ．即EN AD 21MN AH 21⋅=⋅．又∵MN=EN ， ∴AH=AD ． 即AH=AB ．例2 在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．（1）如图①，当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_______________；（2）如图②，当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．图①图②解答（1）BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN．（2）猜想：BM+NC=MN．证明：如图③，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．∵BD=CD，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°．又∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°．∴∠MBD=∠NCD=90°．在△MBD与△ECD中，∵DB=DC，∠DBM=∠DCE=90°，BM=CE，∴△MBD≌△ECD（SAS）．∴DM=DE，∠BDM=∠CDE．∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．在△MDN和△EDN中，∵MD=ED，∠MDN=∠EDN=60°，DN=DN，∴△MDN≌△EDN（SAS）．∴MN=NE=NC+CE=NC+BM．图③例3 如图，在四边形ABCD 中，∠B+∠ADC=180°，AB=AD ，E 、F 分别是BC 、CD 延 长线上的点，且∠EAF=21∠BAD ．求证：EF=BE-FD ．证明：在BE 上截取BG ，使BG=DF ，连接AG ． ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， ∴∠B=∠ADF ．在△ABG 和△ADF 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DF BG ADF B AD AB∴△ABG ≌△ADF （SAS ）． ∴∠BAG=∠DAF ，AG=AF ． ∴∠GAF=∠BAD ．∴∠EAF=21∠BAD=21∠GAF ． ∴∠GAE=∠EAF ． 在△AEG 和△AEF 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE FAE GAE AF AG∴△AEG ≌△AEF （SAS ）． ∴EG=EF ．∴EF=BE-FD ．跟踪练习：1．已知，正方形ABCD ，M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线上，∠MAN=45°． 求证：MN=DN-BM ．【答案】证明：如图，在DN 上截取DE=MB ，连接AE ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=AB ，∠D=∠ABC=90°． 在△ABM 和△ADE 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DE BM ABM D AB AD∴△ABM ≌△ADE ．∴AM=AE ， ∠MAB=∠EAD ． ∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN ， ∴∠DAE+∠BAN=45°． ∴∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN ． 在△AMN 和△AEN 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AN AN EAN M AN AE AM∴△ABM ≌△ADE ．∵DN-DE=EN．∴DN-BM=MN．2．已知，如图①在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°，探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决以下问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动到线段CB延长线上时，如图②，其他条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．图①图②【答案】解答：（1）猜想：DE2=BD2+EC2．证明：将△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，如图①∴△ACE≌△ABE′．∴BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB．在Rt△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠ABC+∠ABE′=90°，即∠E′BD=90°．∴E′B2+BD2=E′D2．又∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∴∠E′AB+∠BAD=45°，即∠E′AD=45°．∴△AE′D≌△AED．∴DE=D E′．∴DE2=BD2+EC2．图①（2）结论：关系式DE2=BD2+EC2仍然成立．证明：作∠FAD=∠BAD，且截取AF=AB，连接DF，连接FE，如图②∴△AFD≌△ABD．∴FD=DB，∠AFD=∠ABD．又∵AB=AC，∴AF=AC．∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-（∠DAE-∠DAB ）=90°-（45°-∠DAB）=45°+∠DAB，∴∠FAE=∠CAE．又∵AE=AE，∴△AFE≌△ACE．∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°．∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°．∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°．在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2．即DE2=BD2+EC2．图②3．已知，在等边△ABC中，点O是边AC、BC的垂直平分线的交点，M、N分别在直线AC、BC上，且∠MON=60°．（1）如图①，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；（2）如图②，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图③，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系．图①图②图③【答案】结论：（1）AM=CN+MN；如图①图①（2）成立；证明：如图②，在AC上截取AE=CN，连接OE、OA、OC．∵O是边AC、BC垂直平分线的交点，且△ABC为等边三角形，∴OA=OC，∠OAE=∠OCN=30°，∠AOC=120°．又∵AE=CN，∴△OAE≌△OCN．∴OE=ON，∠AOE=∠CON．∴∠EON=∠AOC=120°．∵∠MON=60°，∴∠MOE=∠MON=60°．∴△MOE≌△MON．∴ME=MN．∴AM=AE+ME=CN+MN．图②（3）如图③，AM=MN-CN．图③4．如图，在四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°，AB=AD ，E 、F 分别是线段BC 、CD 上的 点，且BE+FD=EF ．求证：∠EAF=21∠BAD ．【答案】证明：如图，把△ADF 绕点A 顺时针旋转∠DAB 的度数得到△ABG ，AD 旋转到AB ，AF 旋转到AG ，∴AG=AF ，BG=DF ，∠ABG=∠D ，∠BAG=∠DAF ． ∵∠ABC+∠D=180°， ∴∠ABC+∠ABG=180°． ∴点G 、B 、C 共线． ∵BE+FD=EF ， ∴BE+BG=GE=EF ． 在△AEG 和△AEF 中， ⎪⎩⎪⎨⎧===EF EG AE AE AF AG ∴△AEG ≌△AEF ． ∴∠EAG=∠EAF ．∴∠EAB+∠BAG=∠EAF ． 又∵∠BAG=∠DAF ，∴∠EAB+∠DAF=∠EAF ． ∴∠EAF=21∠BAD ．5．如图①，已知四边形ABCD ，∠EAF 的两边分别与DC 的延长线交于点F ，与CB 的延长线交于点E ，连接EF ． （1）若四边形ABCD 为正方形，当∠EAF ＝45°时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系？（只需直接写出结论）（2）如图②，如果四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ABC 与∠ADC 互补，当∠EAF ＝12∠BAD 时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系？请写出结论并证明．（3）在（2）中，若BC ＝4，DC ＝7，CF ＝2，求△CEF 的周长（直接写出结论）解答：（1）EF=DF-BE （2）EF=DF-BE证明：如图，在DF 上截取DM=BE ，连接AM ， ∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180° ∵D=ABE ∵AD=AB在△ADM 和△ABE 中，DM BE D ABE AD AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADM ≌△ABE∴AM=AE ，∠DAM=∠BAE ∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=12∠BAD ，11∴∠DAM+∠BAF=12∠BAD ∴∠MAF=12∠BAD ∴∠EAF=∠MAF在△EAF 和△MAF 中AE AM EAF MAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAF ≌△MAF∴EF=MF∵MF=DF-DM=DF-BE ，∴EF=DF-BE（3）∵EF=DF-BE∴△CEF 的周长=CE+EF+FC=BC+BE+DC+CF-BE+CF =BC+CD+2CF=15。
2024年中考数学总复习第一部分考点精讲第四单元三角形微专题半角模型
K
例1题图③
微专题 半角模型
∴△AHK≌△AHG(SAS)，
∴HK＝HG，
K
∵△ABD为等腰5°， ∴∠HDK＝90°，
例1题图③
在Rt△HDK中，由勾股定理得HK2＝DK2＋HD2，
∴GH2＝BG2＋HD2.
微专题 半角模型
【方法二】翻折法 【方法二】证明：如图，将△ABG和△ADH分别沿AG和AH 翻折， ∵∠BAG＋∠DAH＝90°－∠GAH＝45°， AB＝AD， ∴AB，AD翻折后重合在AM上， ∴MG＝BG，MH＝DH，
∴G，B，C 三点共线，
∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，
∴∠DAF＋∠BAE＝∠BAE＋∠BAG
＝120°－∠EAF＝60°，
∴∠GAE＝∠EAF，
G
例2题图
微专题 半角模型
在△AGE和△AFE中，
AG AF GAE FAE , AE AE
∴△AGE≌△AFE(SAS)， ∴EF＝GE＝BE＋BG＝BE＋DF.
G
例1题图②
微专题 半角模型
在△ANM和△AGM中，
AN AG MAN MAG , AM AM
∴△ANM≌△AGM(SAS)，
∴MN＝MG，
∵MG＝BM＋BG＝BM＋DN，
∴MN＝MG＝BM＋DN；
G
例1题图②
微专题 半角模型
半角模型
半角模型.gsp
微专题 半角模型
半角模型
半角模型.gsp
M 例1题图③
微专题 半角模型
∵∠B＝∠D＝45°， ∴∠AMG＝∠AMH＝45°， ∴∠GMH＝90°， ∴GM2＋MH2＝GH2， ∴GH2＝BG2＋HD2.
M 例1题图③
2024年九年级中考数学专项复习 半角模型1课件
【数学思考】（2）如图②，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，D，E为BC上两点，
且∠DAE＝45°.求证：BD2＋CE2＝DE2.
证明：如图①，把△ACE绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连接DG，则
△ACE≌△ABG，∴AG＝AE，BG＝CE，∠ABG＝∠ACE＝45°.
∵∠BAC＝90°，∠GAE＝90°，∴∠GAD＝∠DAE＝45°.
正方形ABCD中，∠EAF＝45°，此为“正方形内半角模型”
Hale Waihona Puke 在底角为30°的等腰△ABC中，∠DAE＝60°，此为“60°半角模型”
2.“半角模型”的破解策略：半角模型，必旋转.
3.注意：
（1）旋转角度通常为大角的角度；
（2）旋转后，往往涉及三点共线问题（需简单证明）；
（3）旋转后，一般需要再证一对共旋转点的三角形全等.
模型解读
1.“半角模型”的基本类型
题目中出现了两个角，小角等于大角的一半，故称为“半角模型”.常见的半角关系
有“30°与60°”“45°与90°（此类模型又称之为‘正方形内半角模型’）”“60°与
120°”.
等边△ABC中，∠DAE＝30°，此为“30°半角模型”
等腰Rt△ABC中，∠DAE＝45°，此为“45°半角模型”
1.（2023·新泰模拟）如图，在等边△ABC中，在BC边上取两点D，E，使∠DAE＝
30°.若BD＝x，DE＝y，CE＝z，则以x，y，z为边长的三角形的形状为（ C ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.随x，y，z的值而定
第1题图
2.（2023·潍坊模拟）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点
中考数学复习满分突破(全国通用)：专题12 半角模型(原卷版)
专题12半角模型半角模型的概述：当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°角倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型。
解包含着135°角，即出现12题方法为：1）过公共点作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题。
基本模型：1）90°的半角模型（常考）已知正方形ABCD中，E，F分别是BC、CD上的点，∠EAF=45°，AE、AF分别与BD相交于点O、P，则：①EF=BE+DF②AE平分∠BEF，AF平分∠DFE③C∆CEF=2倍正方形边长④S∆ABE+S∆ADF=S∆AEF⑤AB=AG=AD（过点A作AG⊥EF，垂足为点G）⑥OP2=OB2+OD2⑦若点E为BC中点，则点F为CD三等分点⑧∆APO∽∆AEF∽∆DPF∽∆BEO∽∆DAO∽∆BPA⑨ABEP四点共圆、AOFD四点共圆、OECFP五点共圆⑩∆APE、∆AOF为等腰直角三角形(11)EF=2OP(12)S∆AEF=2S∆APO(13)AB2=BP×OD(14)CE•CF=2BE•DF(15)∆EPC为等腰三角形(16)PX=BX+DP(过点E作EX⊥BD，垂足为点X)证明：①思路：延长CD到点M，使DM=BE，连接AM先根据已知条件∆ABE≌∆ADM(SAS)，由此可得AE=AM，∠BAE=∠DAM而∠BAE+∠FAD=45°，所以∠DAM+∠FAD=45°，可证明∆AEF≌∆AMF (SAS)，由此可得EF=MF，而MF=DM+DF=BE+DF，因此EF=BE+DF②思路：∵∆AEF≌∆AMF(SAS)∴∠AFM=∠AFE，∠AMF=∠AEF∴AF平分∠DFE又∵∠AMF=∠AEB∴∠AEB=∠AEF∴AE平分∠BEF③思路：C∆CEF=EF+EC+FC=(BE+DF)+EC+FC=（BE+EC）+（DF+FC）=BC+DC=2BC④、⑤思路：过点A作AG⊥EF，垂足为点G根据②证明过程可知AFG=∠AFD，∠AEB=∠AEG因此可以证明:∆ABE≌∆AGE(AAS),∆AGF≌∆ADF(AAS)所以AB=AG=AD，S∆ABE=S∆AGE，S∆AGF=S∆ADF则S∆AEF=S∆AGE+S∆AGF=S∆ABE+S∆ADF⑥思路：绕点A将∆APD逆时针旋转90°得到∆ANB,使AD，AB重合因为∆APD≌∆ANB(AAS)所以AN=AP，BN=DP，∠NAB=∠PAD，∠ADP=∠ABN因为∠ADB=∠ABD=45°，所以∠NBO=90°因为∠BAE+∠PAD=45°所以∠NAB+∠BAE=45°则∆ANO≌∆APO(SAS)所以NO=OP在Rt∆NBO中，由勾股定理可知：ON2=OB2+NB2，则OP2=OB2+OD2⑦思路：已知tan∠EAB=BEAB =12，且∠EAB+∠FAD=45°∴tan∠FAD=13（“12345型”），∴DF:AD=1:3，即点F为CD的三等分点。
中考数学专题复习 正方形之“半角”模型 课件
也相当于翻折法、 (或轴对称)
“截长”: 在EF上截取一点H,使BE=EH
EF=BE+DF
“补短”
“截长”
“旋转” “翻折”或(轴对称)
几何主要包括线与角,既然可以从“线段”上考虑, 那能否从“角”上考虑呢?
二、模型讲解
1.在正方形中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°,连接EF.
三、变式训练
1、如图，在四边形中ABCD，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、 F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= 12∠BAD， 求证：EF=BE+DF；
三、变式训练
2.如图，在四边形中ABCD，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、 F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= 12∠BAD, 变式1中的结论 是否仍然成立？请写出证明过程.
能否通过翻折来解决问题?
二、模型讲解
1.在正方形中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°,连接EF. (1)求证:EF=BE+DF
延长
“补短” 全等变换-- 旋转、翻折
方法归一
既然可以“补短”,那可以“截长”吗?
二、模型讲解 1.在正方形中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°, 连接EF.(1)求证:EF=BE+DF
同理: 延长CD到点H，使BE=DH,连接AH
二、模型讲解 1.在正方形中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°, 连接EF.(1)求证:EF=BE+DF 分析: 除了延长得到△ABG, 还可以如何得到?
将△ADF绕点A顺时针旋转90°
二、模型讲解 1.在正方形中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°, 连接EF.(1)求证:EF=BE+DF 分析: 旋转是全等变换,还可以利用其它全等变换吗? 平移与翻折
中考数学专项复习题型突破专题十一 全等——半角模型
【解析】 解法1：旋转法.如解图①，将 绕点 顺时针方向旋转 得到 ，连接 , ， ， ，由旋转的性质可得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，在 和 中，
图①
， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为 .
√
【解析】 在正方形 中， ， ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，如解图，则 ， ， ， ， , , 三点共线， ， ， ，
第1题解图
在 和 中， ， ， ， ， ， .
第1题解图
第2题图
2.（多解法）如图,在等腰直角三角形 中, , , 是斜边 上两点, , , ,则三角形 的面积为____.
一、模型 [2023新乡模拟]如图,在正方形 中,点 , 为边 和 上的动点（不含端点）,若 , ,则 的周长是( )
A. B. 2 C. D. 3
√
例题解图
【解析】 如解图，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，则 ， ， , , ， , ， 三点共线，在 和 中，
形.要证 是等腰直角三角形,可以再构造与 共锐角顶点 的等腰直角三角形,如图②,连接 交 于点 ,证明 .请结合小芳的思路,求 的度数.
第3题图
解：由作图知 是等腰直角三角形, , , , ,,
, . , , .
基本图形
_（四边形 为正方形， ）
作法
将 绕点 逆时针旋转 _
结论： ; ;
针对训练
第1题图
1.[2023重庆A卷]如图,在正方形 中,点 , 分别在 , 上,连接 , , , .若 ,则 一定等于( )
A. B. C. D.
（1）如图①,当 时,求证： ;
证明： 四边形 是正方形, , , , , , , , , . , ， , ;
模型13 半角模型(原卷版)-中考数学解题大招复习讲义
模型介绍角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。
它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。
解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法.角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。
它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。
解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法.类型一：等腰直角三角形角含半角模型（1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.图示（1）作法1：将△ABD旋转90°作法2：分别翻折△ABD,△ACE（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，点E在BC延长线上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.图示（2）（3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理..任意等腰三角形类型二：正方形中角含半角模型（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD.图示（1）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°（2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，则：EF=DF-BE.图示（2）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°（3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=12∠BAD，连接EF，则：EF=BE+DF.图示（3）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小【专题说明】半角模型应用比较广泛：理解半角模型的定义，掌握正方形背景中半角模型的模型的应用，掌握等腰直角三角形背景中半角模型的应用尤为重要。
2024年中考数学总复习第一部分中考考点探究微专题(十)半角模型与手拉手模型
DE＝2CM.∴ AE＝
类型三
手拉手相似模型
模型解读：
模型
两任意相似三角形“手拉手”
两等腰直角三角形“手拉手”
图示
特点
△AOB∽△COD，且有公共顶点O， AC，BD相交于点P.简记
为：共顶点，顶角相等
① △AOC∽△BOD
结论
②
＝ ＝
典例3 如图，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，且∠EBD＝
42°.求∠AEB的大小.
典例3图
解：∵ ∠ACB＝∠ECD＝90°，∴ ∠ECD－∠BCE＝
∠ACB－∠BCE，即∠BCD＝∠ACE.在△BDC和△AEC
＝，
中，ቐ∠＝∠，∴ △BDC≌△AEC.∴ ∠DBC＝
ቐ∠＝∠，∴ △BAD≌△CAE.∴ BD＝CE.
＝，
（2） 类比延伸：如图②，△ACB与△DCE均为等边三角形，点A，D，
E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB＝
数量关系为
BE＝AD
.
60° ；线段BE与AD之间的
（3） 拓展研究：如图③，△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，点
特点
∠DAE＝α，BD，CE交于点 P.简记为：双等腰，共顶点，顶角
相等
结论 ① △CAE≌△BAD
② BD＝CE
③ ∠BPC＝∠BAC＝α
证明三角形全等的关键：
解题 （1） 共顶点：加（减）共顶点的公共角得一组对应角相等；
思路 （2） 利用已知两组对应边相等或者等腰、 等边、正方形、菱
形等得到两组对应边相等
A，D，E在同一条直线上，CM⊥DE于点M，连接BE.请求出∠AEB的大
2023年中考数学重难点复习：角含半角模型(附答案解析)
＝270°－（180°－∠DNC）
＝135°．
（3） ，证明如下：
如图，将△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，连结EM.
易得AE＝AN.∠MAE＝∠MAN＝45°，∠EBM＝90°，
所以△A ME≌△AMN.（SAS）.
则ME＝MN．
在Rt△BME中，
所以 .
DH＝ AD＝40m，AH＝ AD＝40 m.
而DF＝40（ －1）m.
所以∠EAF＝∠GAF＝45°.
可得△EAF≌△GAF（SAS）．
所以EF＝GF＝80m+40（ －l）m≈109. 2m.
例2如图，正方形ABCD的边长为a，BM、DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN＝45°．连结MC、NC、MN．
所以△AEF∽△AIF（SAS），
所以EF＝IF＝DI＋DF＝BE＋DF．
（2）因为△AEF∽△AIF，AG⊥EF，AD⊥IF，
所以AG＝AD．
（3）由∠HAF＝∠HDF＝45°可得A，D，F，H四点共圆，
从而∠AHF＝－∠ADF＝90°，
即FH⊥AE．
【拓展】①如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF＝45°，连结EF，则EF＝DF－BE．
可以通过旋转、翻折的方法来证明，如图：
②将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，且∠DAE＝ ∠BAC，则以BD，DE，EC为三边长的三角形有一个内角度数为180°－∠BAC．
可以通过旋转、翻折的方法将BD，DE，EC转移到一个三角形中，如图：
2． 正方形角含半角
（2）方法一（旋转法）：如图1，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连结EF．
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A
D
45°
F
B
E
C
二、运用模型
⑤ 若点E、F分别在CB、DC的延长线上，∠EAF=45°，那么线段EF、 DF、BE之间有怎样的数量关系？
三、深化模型
正方形ABCD，边长为a，E、F分别为BC、CD上的点，∠EAF=45°， 连接BD交AE于点M，交AF于点N，那么线段DN，MN，BM之间有 什么数量关系？
分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关
系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG=BE，连结AG，先证明
△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF．可得出结论，他的结论是
。
探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，
课堂小结：
这节课你都有哪些收获？
中考链接
数学模型二、坐标系中的等腰直角三角形
——畅想思维飞扬之梦
平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，点B
坐标为（3,1），求点A的坐标。
y
A
思路剖析: 构造“k型” 全等或“弦图” 全等 解题策略：
过直角顶点和另外一个顶点做
B
坐标轴的垂线
O
中考复习专题
“半角”模型
——奏响思维“直通车”之歌
学习目标：
1．在解题过程中提炼解题策略、经验、方法、技巧。 2．在学习过程中树立模型意识，充分关注模型、提炼 模型、运用模型、深化模型、升华模型。 3．通过导师引领，小组合作，提高学习效率。
一、提炼模型
正方形ABCD，边长为a，E、F分别为BC、CD上的点，∠EAF=45°， 求证：①EF=BE+DF ②∠AEF=∠AEB,∠AFD=∠AFE;③△ECF的周长为正 方形边长的2倍；④点A到EF的距离等于正方形边长。
x
如图，点F是抛物线
对称轴上一点，在抛物线
上是否存在点ห้องสมุดไป่ตู้使三角形POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三
角形？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由。
课堂小测
点E,F分别是边长为4的菱形ABCD中BC,CD边上的点，∠B=∠EAF=60°， 探究：当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△AEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出 最大（或最小）值．
CD上点，且∠EAF= ∠BAD，上述结论是否仍然成立？请说明理由。
实际应用：如图2，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西40°的A处， 舰艇乙在指挥中心南偏东80°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指 令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以70海 里/小时的速度各自前进2小时后，在指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，两 舰艇与指挥中心之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
A
45°
D
N
F
M
B
E
C
变形训练
如图，在Rt△ABD中，AB=AD，M、N是斜边BD上两点，且
∠MAN=45°，你能直接写出BM、MN、DN之间的数量关系吗？
MN2=BM2+DN2
A 45°
D
A
D
45°
N
N
F
M B
M
B
E
C
四、中考链接
问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，EF