第四章习题与复习题(线性空间)----高等代数

习题5. 1
1． 判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间． 2．全体正实数R +
, 其加法与数乘定义为 ,,k a b ab k a a a b R k R
+⊕==∈∈其中 判断R +
按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间.
3. 全体实n 阶矩阵，其加法定义为
A B AB BA ⊕=-
按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 4．在22P ⨯中，{}2222/0,,W A A A P W P ⨯⨯==∈判断是否是的子空间.
习题
1．讨论22P ⨯中
1234111111,,,111111a a A A A A a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的线性相关性.
2．在4R 中，求向量1234ααααα在基,,,下的坐标.其中
1234010011001111ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2111，=，=，=，3010
2212342347P ααααα⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
110-11-1103.在中求在基=，=，=，=下的坐标.11100000 4．已知3R 的两组基
（Ⅰ）： 123111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11=，=0，=0-11
（Ⅱ）：123121βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
23=，=3，=443
（1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；
（2） 已知向量123123,,,,,αααααβββ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
1在基下的坐标为0求在基下的坐标-1；
（3） 已知向量123123,,,,,βββββααα⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭1在基下的坐标为-1求在基下的坐标2;
（4） 求在两组基下坐标互为相反数的向量γ.
5．已知P [x ]4的两组基
（Ⅰ）：2321234()1()()1()1f x x x x f x x x f x x f x =+++=-+=-=，，，
（Ⅱ）：2323321234()()1()1()1g x x x x x x x x x x x x x =++=++=++=++，g ，g ，g
（1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵； （2） 求在两组基下有相同坐标的多项式f (x ).
习题
证明线性方程组
12345123451
234536420
22353056860
x x x x x x x x x x x x x x x +--+=⎧⎪
+--+=⎨⎪--+-=⎩ 的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.
习题
1． 求向量()1,1,2,3α=- 的长度.
2． 求向量()()1,1,0,12,0,1,3αβ=-=与向量之间的距离. 3．求下列向量之间的夹角
（1） ()()10431211αβ==--,,,，,,, （2） ()()12233151αβ==,,,，,,,
（3）()()1,1,1,2311,0αβ==-，，，
3． 设αβγ，,为n 维欧氏空间中的向量，证明: (,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+.
习题
1． 在4R 中，求一个单位向量使它与向量组
()()()1,1,1,11,1,1,11,1,1,1321--=--=--=ααα，， 正交.
2． 将3R 的一组基1231101,2,1111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
化为标准正交基.
3．求齐次线性方程组
123451
23530
0x x x x x x x x x +-+-=⎧⎨
+-+=⎩ 的解空间的一组标准正交基.
3． 设1α,2α ,… ,n α 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基, A 是n 阶正交矩阵,证明: 1αA ,2αA ,… ,n A α 也是n R 中的一组标准正交基．
5．设123,,ααα是3维欧氏空间V 的一组标准正交基, 证明
1123212331231
11(22),(22),(22)333
βαααβαααβααα=+-=-+=--
也是V 的一组标准正交基.
习题四 (A)
一、填空题
1．当k 满足 时，()()()31211,2,1,2,3,,3,,3k k R ααα===为的一组基. 2．由向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为 .
3．()()()()3123,,1,3,5,6,3,2,3,1,0R αααα====中的向量371在基下的坐标为 .
4.
()()()3123123,,2,1,3,1,0,1,2,5,1R εεεααα=-=-=---中的基到基的过渡矩阵为 .
5. 正交矩阵A 的行列式为 .
6．已知5元线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为3, 则该方程组的解空间的维数为 .
()()()()412342,1,1,1,2,1,,,3,2,1,,4,3,2,11,a a a R a αααα====≠7.已知不是的基且a
则满足 .
二、单项选择题
1．下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是( ). （A ） (){}
R x x x x V n n ∈=,,0,,0,111 （B ） ()
{}R x x x x x x x V i n n ∈=+++=,0,,,212
1
2 （C ） ()
{}R x x x x x x x V i n n
∈=+++=
,1,,,212
1
3
(D) (){}411,0,,0,0V x x R =∈
2.331,23P A ⨯⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
在中由生成的子空间的维数为（ ）. (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 331231223311223311223123123123123
,,( )() ,, ()2,23,3
() ,,2 () ,2322,355R R A B C D ααααααααααααααααααααααααααααααα++-+++++++++-++-3.已知是的基,则下列向量组是的基.
33123122313122331122313122313
,, () ,, () 2,2,2() ,, () 2,2,2R R A B C D ααααααααααααααααααααααααααα++++++------4.已知是的基,则下列向量组（）不是的基. 5．n 元齐次线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为r , 该方程组的解空间的维数为s, 则( ).
(A) s=r (B) s=n-r (C) s>r (D) s<r 6. 已知A, B 为同阶正交矩阵, 则下列( )是正交矩阵. (A) A+B (B) A-B (C) AB (D) kA （k 为数）
7. 线性空间中，两组基之间的过渡矩阵（ ）.
(A) 一定不可逆 (B) 一定可逆 (C) 不一定可逆 (D) 是正交矩阵
(B)
1．已知4R 的两组基 （Ⅰ）： 1234, αααα,,
（Ⅱ）：11234223433444,βααααβαααβααβα=+++=++=+=,, ( 1 )求由基（Ⅱ）到（Ⅰ）的过渡矩阵； ( 2 )求在两组基下有相同坐标的向量.
31231231312312232313
3123123123123123,, ,, ,
, (1),, ,, ,, ;(3) 2 ,,R R αααβββββαααββααββααββββββαααααααβββ+=+++=++=+=+-2.已知是 的基,向量组满足证明 是的基;
(2)求由基 到基的过渡矩阵求向量 在基 下的坐标.
4
12341234123412341234123412002100,,,,0012002121001100,,,,003500121,,2 2R ααααββββααααββββααααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=++-3.设的两组基,与=，，
且由基,到基,的过渡矩阵为（）求基,；
（）求向量1234,,ββββ在基,下的坐标.
222123324. ()1,()12,()123[]()6914f x x x f x x x f x x x P x f x x x =++=++=++=++证明是线性空间的一组基,并求在这组基下的坐标.
5．当a 、b 、c 为何值时，矩阵A = 020010a b
c ⎫ ⎪
⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝
⎭
是正交阵.
6．设
是n 维非零列向量, E 为n 阶单位阵, 证明:T T E A αααα）（/2-
=为正交矩阵.
7．设T E A αα2-=, 其中12,,,T
n a a a α=（）, 若 ααT = 1. 证明A 为正交阵.
8. , , , 0.A B n A B A B =-+=设均为阶正交矩阵且证明。