贪心算法在对问题求解时
贪心算法是指,在对问题求解时,总是做出在当前
贪心算法是指，在对问题求解时，总是做出在当前各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢贪心算法。
贪心算法是指。
在对问题求解时。
总是做出在当前看来是最好的选择。
也就是说。
不从整体最优上加以考虑。
他所做出的是在某种意义上的局部最优解。
贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解。
关键是贪心策略的选择。
选择的贪心策略必须具备无后效性。
即某个状态以前的过程不会影响以后的状态。
只与当前状态有关。
中文名,贪心算法。
别称,贪婪算法。
性质,一种改进了的分级处理方法。
核心,根据题意选取一种量度标准。
基本要素。
贪心选择是指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择。
即贪心选择来达到。
这是贪心算法可行的第一个基本要素。
也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。
贪心选择是采用从顶向下。
以迭代的方法做出相继选择。
每做一次贪心选择就将所求问题简化为一个规模更小的子问题。
对于一个具体问题。
要确定它是否具有贪心选择的性质。
我们必须证明每一步所作的贪心选择最终能得到问题的最优解。
通常可以首先证明问题的一个整体最优解。
是从贪心选择开始的。
而且作了贪心选择后。
原问题简化为一个规模更小的类似子问题。
然后。
用数学归纳法证明。
通过每一步贪心选择。
最终可得到问题的一个整体最优解。
当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时。
称此问题具有最优子结构性质。
运用贪心策略在每一次转化时都取得了最优解。
问题的最优子结构性质是该问题可用贪心算法或动态规划算法求解的关键特征。
贪心算法的每一次操作都对结果产生直接影响。
而动态规划则不是。
贪心算法对每个子问题的解决方案都做出选择。
不能回退；动态规划则会根据以前的选择结果对当前进行选择。
有回退功能。
动态规划主要运用于二维或三维问题。
而贪心一般是一维问题。
基本思路。
贪心算法的基本思路是从问题的某一个初始解出发一步一步地进行。
根据某个优化测度。
每一步都要确保能获得局部最优解。
每一步只考虑一个数据。
他的选取应该满足局部优化的条件。
贪心算法的基本原理
贪心算法的基本原理贪心算法（Greedy Algorithm）是一种常用的算法思想，它在求解最优化问题时通常能够得到较好的近似解。
贪心算法的基本原理是：每一步都选择当前状态下的最优解，从而希望最终能够得到全局最优解。
在实际应用中，贪心算法常常用于解决一些最优化问题，如最小生成树、最短路径、任务调度等。
一、贪心算法的特点贪心算法具有以下特点：1. 简单：贪心算法通常比较简单，易于实现和理解。
2. 高效：贪心算法的时间复杂度通常较低，能够在较短的时间内得到结果。
3. 局部最优：每一步都选择当前状态下的最优解，但不能保证最终能够得到全局最优解。
4. 适用范围：贪心算法适用于一些特定类型的问题，如无后效性、最优子结构等。
二、贪心算法的基本原理贪心算法的基本原理可以概括为以下几个步骤：1. 初始状态：确定问题的初始状态，定义问题的输入和输出。
2. 状态转移：根据当前状态，选择局部最优解，并更新状态。
3. 筛选解：判断当前状态下是否满足问题的约束条件，若满足则保留该解，否则舍弃。
4. 终止条件：重复以上步骤，直至满足终止条件，得到最终解。
三、贪心算法的应用举例1. 找零钱：假设有 25、10、5、1 四种面额的硬币，需要找零 41 元，如何使得找零的硬币数量最少？贪心算法可以先选择面额最大的硬币，然后逐步选择面额较小的硬币，直至找零完毕。
2. 区间调度：给定一组区间，如何选择最多的互不重叠的区间？贪心算法可以先按照区间的结束时间排序，然后依次选择结束时间最早的区间，直至所有区间都被覆盖。
3. 最小生成树：在一个连通的带权无向图中，如何选择边使得生成树的权值最小？贪心算法可以按照边的权值从小到大排序，然后依次选择权值最小且不构成环的边，直至所有顶点都被连接。
四、贪心算法的优缺点1. 优点：贪心算法简单高效，适用于一些特定类型的问题，能够在较短的时间内得到近似最优解。
2. 缺点：贪心算法不能保证一定能够得到全局最优解，可能会出现局部最优解不是全局最优解的情况。
贪心算法在优化问题中的运用
贪心算法在优化问题中的运用贪心算法（Greedy Algorithm）是一种常用的算法思想，它在解决一些优化问题时具有很高的效率和实用性。
贪心算法的核心思想是每一步都选择当前状态下最优的解决方案，以期望最终能够得到全局最优解。
在实际应用中，贪心算法常常被用来解决一些最优化问题，如最短路径问题、背包问题、任务调度等。
本文将介绍贪心算法在优化问题中的运用，并通过具体案例来说明其应用场景和解决方法。
一、贪心算法的基本原理贪心算法是一种在每一步选择当前状态下最优解决方案的算法思想。
它与动态规划不同，贪心算法并不会保存之前的计算结果，而是根据当前状态做出最优选择。
贪心算法的优势在于简单、高效，适用于一些特定类型的问题。
贪心算法的基本原理可以总结为以下几点：1. 每一步都选择当前状态下的最优解决方案；2. 不考虑未来的结果，只关注当前状态的最优选择；3. 最终期望通过每一步的最优选择达到全局最优解。
二、贪心算法在优化问题中的应用1. 最短路径问题最短路径问题是图论中的经典问题，贪心算法可以用来解决一些简单的最短路径问题。
例如，在无权图中，从起点到终点的最短路径可以通过贪心算法来求解，每次选择距离最近的节点作为下一步的目标节点，直到到达终点为止。
2. 背包问题背包问题是一个经典的优化问题，贪心算法可以用来解决一些特定类型的背包问题。
例如，在分数背包问题中，每种物品可以取任意比例，贪心算法可以按照单位价值最高的顺序选择物品放入背包，直到背包装满为止。
3. 任务调度问题任务调度问题是一个常见的优化问题，贪心算法可以用来解决一些简单的任务调度问题。
例如，在单处理器任务调度中，每个任务有一个开始时间和结束时间，贪心算法可以按照结束时间的先后顺序对任务进行调度，以最大化处理器的利用率。
三、案例分析：活动选择问题活动选择问题是一个经典的优化问题，通过贪心算法可以高效地解决。
问题描述如下：假设有n个活动，每个活动都有一个开始时间和结束时间，活动之间不能交叉进行，问如何安排活动才能使参加的活动数量最多。
贪心算法求解最优解问题
贪心算法求解最优解问题贪心算法是计算机科学领域中常用的一种算法。
它常常被用来求解最优解问题，如背包问题、最小生成树问题、最短路径问题等。
贪心算法解决最优解问题的基本思路是，每一步都选取当前状态下最优的解决方案，直到达到全局最优解。
在这篇文章中，我们将为大家深入探讨贪心算法求解最优解问题的基本思路、算法复杂度和应用场景等方面的知识。
基本思路贪心算法是一种基于贪心策略的算法。
其核心思想是，每一步都采用当前最优策略，以期最终达到全局最优解。
在贪心算法中，每个子问题的最优解一般都是由上一个子问题的最优解推导出来的。
因此，关键在于如何找到最优解。
具体而言，贪心算法一般由三部分组成，分别为：状态、选择和判断。
首先，需要明确当前问题的状态，即问题的规模和限制条件。
然后，在当前的限制条件下，我们需要从可能的方案中选择出最优的方案，并把这个选择作为解的一部分。
最后，需要判断选择是否符合问题的限制条件，是否达到全局最优解。
算法复杂度在进行算法分析时，我们需要考虑算法的时间复杂度和空间复杂度。
对于贪心算法而言，其时间复杂度一般是 O(nlogn) 或 O(n) 级别的，其中 n 表示问题的规模。
这种效率在实际应用中表现出了很高的稳定性和效率。
应用场景贪心算法通常应用于需要求解最优解问题的场景中。
例如：- 贪心算法可以用来求解背包问题。
在背包问题中，我们需要在限定的空间内选取最有价值的物品装入背包中以努力获得最大的收益。
在贪心策略下，我们只需要按单位重量价值从大到小的顺序进行选择，就可以得到最优解；- 贪心算法也可以用来求解最小生成树问题。
这个问题是指，在给定一个图的时候，我们需要选出一棵生成树，使得生成树上的所有边权之和最小。
在此问题中，我们可以将图上的边权按大小排序，然后顺序选择边直至生成树。
这样，我们可以得到与全局最优解很接近的解；- 贪心算法还可以用来求解最短路径问题。
在最短路径问题中，我们需要找到从一个节点到另一个节点的最短路径。
贪心算法论文终稿
目录第1章引言 (IV)1.1研究背景 (IV)1.2研究内容 (IV)1.3研究目标 (IV)1.4研究意义 (IV)1.5 本文组织 (V)第2章贪心算法的基本知识概述 (VI)2.1 贪心算法定义 (VI)2.2 贪心算法的基本思路及实现过程 (VI)2.2.1 贪心的基本思想 (VI)2.2.2 贪心算法的实现过程 (VI)2.3贪心算法的核心 (VI)2.4贪心算法的基本要素 (VII)2.4.1贪心选择性质 (VII)2.4.2最优子结构性质 (VII)2.4.3贪心算法的特点 (VIII)2.5 贪心算法的理论基础 (VIII)2.6 贪心算法存在的问题 (IX)第3章经典问题解决及其优缺点 (X)3.1 哈夫曼编码 (X)3.1.1 问题描述 (X)3.1.2 编码原理 (X)3.1.3 贪心算法策略 (X)3.1.4 最优子结构性质 (XI)3.1.5 计算复杂性 (XII)3.2单源最短路径问题(Dijkstra算法) (XII)3.2.1 问题描述 (XII)3.2.2 编码原理 (XII)3.2.3 贪心算法策略 (XII)3.2.4 计算复杂性 (XIV)3.3最小生成树问题(Prim算法、Kruskal算法) (XIV)3.3.1 Kruskal算法 (XIV)3.3.2 Prim算法 (XV)第4章多处最优服务次序问题 (XVII)4.1 问题的提出 (XVII)4.2 贪心选择策略 (XVII)4.3 问题的贪心选择性质 (XVII)4.4 问题的最优子结构性质 (XVII)4.5 算法结果分析 (XVIII)第5章删数问题 (XIX)5.1 问题的提出 (XIX)5.2 贪心算法策略 (XIX)5.3 问题的贪心选择性质 (XIX)5.4 问题的最优子结构性质 (XIX)5.5 编码 (XX)第6章汽车加油问题 (XXI)6.1 问题的提出 (XXI)6.2 编码分析 (XXI)6.3 贪心算法策略 (XXI)6.4 贪心算法正确性证明 (XXII)6.5 贪心算法时间复杂度分析 (XXII)第7章最优合并问题 (XXIII)7.1 问题的提出 (XXIII)7.2 原理分析 (XXIII)7.3 算法时间复杂度分析 (XXIII)第8章会场安排问题 (XXIV)8.1 问题的提出 (XXIV)8.2 编码分析 (XXIV)8.3 贪心算法 (XXIV)8.4 最优解证明 (XXV)8.5 算法时间复杂度分析 (XXV)第9章贪心算法的C++实现 (XXVI)9.1 C++语言概述 (XXVI)9.2 具体实现步骤 (XXVII)9.2.1 哈夫曼算法的实现 (XXVII)9.2.2 单源最短路径问题 (XXIX)9.2.3 删数问题 (XXX)9.2.4 会场安排问题 (XXX)9.3程序编码与程序调试 (XXXI)第10章总结与展望 (XXXIII)10.1 总结 (XXXIII)10.2 展望 (XXXIII)参考文献 (XXXIV)附录 (XXXV)致谢 ............................................................... XLIII贪心算法设计及其实际应用研究摘要：贪心算法是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择,也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的仅是在某种意义上的局部最优解。
生活中的常见算法
生活中的常见算法1. 贪心算法：在面对一个问题时，贪心算法总是选择当前看起来最优的解，而不考虑整体的最优解。
例如，我们在购物时常常会使用贪心算法来选择价格最低的商品，以达到最省钱的目的。
2. 分治算法：分治算法将一个复杂的问题分解为若干个相同或类似的子问题，然后逐个解决子问题，最后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
例如，在做数学题时，我们经常使用分治算法将一个大的问题分解为多个小的问题，然后逐个解决，最后得到整个问题的解答。
3. 动态规划算法：动态规划算法是一种通过将问题分解为子问题，并保存子问题的解来解决问题的方法。
它通常用于求解具有最优子结构的问题，例如最短路径问题、背包问题等。
在生活中，动态规划算法可以应用于制定长期规划、优化资源分配等领域。
4. 搜索算法：搜索算法用于在一个数据集中查找特定的元素或解决特定的问题。
常见的搜索算法包括线性搜索、二分搜索、广度优先搜索和深度优先搜索等。
在生活中，我们常常使用搜索算法来寻找特定的信息，例如在网络上搜索资料、在电话簿中搜索联系人等。
5. 排序算法：排序算法是将一组元素按照特定的顺序排列的算法。
常见的排序算法包括冒泡排序、插入排序、选择排序、快速排序等。
在生活中，我们常常使用排序算法来对物品进行整理，例如整理书籍、整理文件等。
6. 图算法：图算法是用于解决与图相关的问题的算法。
图是由一组节点和连接这些节点的边组成的数据结构。
图算法可以用于解决最短路径问题、最小生成树问题等。
在生活中，图算法可以应用于社交网络分析、路线规划等领域。
7. 加密算法：加密算法是将信息转化为不可读的形式以保护信息安全的算法。
常见的加密算法包括对称加密算法和非对称加密算法。
在生活中，我们常常使用加密算法来保护个人隐私，例如在网上支付时使用的加密技术。
8. 线性规划算法：线性规划是一种用于求解线性优化问题的数学方法。
线性规划算法可以用于优化资源分配、生产计划等领域。
在生活中，线性规划算法可以应用于制定饮食计划、制定旅行路线等。
贪心法
贪心法贪心法(Greedy Approach)又称贪婪法, 在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择，或者说是：总是作出在当前看来最好的选择。
也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。
当然，希望贪心算法得到的最终结果也是整体最优的。
虽然贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解，但对许多问题它能产生整体最优解。
如单源最短路经问题，最小生成树问题等。
在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，其最终结果却是最优解的很好近似。
贪心法的设计思想当一个问题具有以下的性质时可以用贪心算法求解:每一步的局部最优解，同事也说整个问题的最优解。
如果一个问题可以用贪心算法解决，那么贪心通常是解决这个问题的最好的方法。
贪婪算法一般比其他方法例如动态规划更有效。
但是贪婪算法不能总是被应用。
例如，部分背包问题可以使用贪心解决，但是不能解决0-1背包问题。
贪婪算法有时也用用来得到一个近似优化问题。
例如，旅行商问题是一个NP难问题。
贪婪选择这个问题是选择最近的并且从当前城市每一步。
这个解决方案并不总是产生最好的最优解，但可以用来得到一个近似最优解。
让我们考虑一下任务选择的贪婪算法的问题, 作为我们的第一个例子。
问题：给出n个任务和每个任务的开始和结束时间。
找出可以完成的任务的最大数量，在同一时刻只能做一个任务。
例子:下面的6个任务：start[] = {1, 3, 0, 5, 8, 5};finish[] = {2, 4, 6, 7, 9, 9};最多可完成的任务是：{0, 1, 3, 4}贪婪的选择是总是选择下一个任务的完成时间至少在剩下的任务和开始时间大于或等于以前选择任务的完成时间。
我们可以根据他们的任务完成时间，以便我们总是认为下一个任务是最小完成时间的任务。
1)按照完成时间对任务排序2)选择第一个任务排序数组元素和打印。
3) 继续以下剩余的任务排序数组。
……a)如果这一任务的开始时间大于先前选择任务的完成时间然后选择这个任务和打印。
贪心算法对于NP完全问题的应用
贪心算法对于NP完全问题的应用贪心算法是一种常用的算法思想，在很多问题中具有很高的实用性和效率，然而，对于一些高难度的问题，如NP完全问题，贪心算法能否起到很好的应用呢？本文将从贪心算法的基本思想、NP完全问题的定义和特点、以及贪心算法在NP完全问题中的应用方面进行探讨。
一、贪心算法的基本思想贪心算法是一种具体的算法设计思想，是将问题分解为若干个子问题，通过每次选择最优的解决方案，最终得到全局最优解的算法。
贪心算法通常具有如下特征：（1）贪心选择性质：所采取的选取方案必须是具有最优子结构的，即选择一定范围内的最优子问题；（2）无后效性：当前选择与之后的选择无关，即之前做出的选择只关心当前的最优解，而不管之后的怎样变化；（3）子问题的无关性：所作选择只与当前状态有关，与之前或之后状态无关，不受外界干扰。
贪心算法具有较高的效率，并具有通用性，常用于需要快速求解问题的场合。
二、NP完全问题的定义和特点NP问题（Non-deterministic Polynomial problem）是指在多项式时间内验证最优解，但需要超出多项式时间才能找到对应解的问题，这类问题有较高的计算复杂度。
NP完全问题则更具难度，是指所有NP算法都能在多项式时间内进行验证，但却无法在多项式时间内求解的问题。
NP完全问题的典型代表有旅行商问题、背包问题、图着色问题等。
NP完全问题具有以下特点：（1）时间复杂度高；（2）问题规模较大；（3）难以构建正确且高效的算法解决。
三、贪心算法在NP完全问题中的应用贪心算法在NP完全问题中的应用具有一定的限制，部分NP 完全问题不适合使用贪心算法进行求解。
但是，对于一些特定的NP完全问题，贪心算法仍然具有明显的优势，可以实现较高效率和较好表现。
以下是一些贪心算法在NP完全问题中的应用实例：（1）最小生成树问题：该问题即求解一个图的最小生成树。
通过Kruskal算法或Prim算法，使用贪心策略选择当前最短边或顶点，即可快速求解。
计算机算法设计与分析期末复习资料
一填空题（20x1=20分）1.当设定的问题有多种算法去解决时，其选择算法的主要原则是选择其中复杂性最低者。
2.用函数自身给出定义的函数是一种递归函数。
3.动态规划算法适用于解最优化问题。
4.贪心算法的两个基本要素是最优子结构性质、贪心选择性质。
5.回溯法在搜索解空间树的时候，为了避免无效搜索，通常使用深度优先手段来提高搜索效率。
6.依据求解目标的不同，分支界限法和回溯法分别用广度优先遍历或者最小耗费优先、深度优先的方式搜索解空间树。
7.分支界限法和回溯法主要区别在于求解目标和搜索方式不同。
8.在分支界限法实现的时候，通常采用方式来实现最大优先队列。
9.依据求解所花费的时间和所得到的结果不同，随机化算法大致分为数值随机化算法、蒙特卡罗算法、拉斯维加斯算法和舍伍德算法四类。
10.产生伪随机数最常用的方法是线性同余法。
11.线性规划算法中转轴变化的目的是将入基变量与离基变量互调位置。
12.最大网络流问题中可增广路是残留网络中一条容量大于0的路。
13.待解决问题适用于动态规划法的两个基本要素是。
14.算法必须满足的四个特征是输入、输出、确定性、有限性。
15.算法复杂性依赖于、、三个方面的复杂因素。
16.实现递归调用的关键是17.动态规划算法求解问题的重要线索是问题的性质。
18.最优子结构性质是贪心算法求解问题的关键特征。
19.分支界限法的求解目标是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。
20.问题的解空间树常见的有子集树、排列树两种类型。
21.分支界限算法依据其从和节点表中选择获得下一扩展节点的不同方式被分为22.对于任何约束标准型线性规划问题，只要将所用分基本变量都设置为0，就可以获得一个解。
三概念题（6x2=12分）1.算法复杂性：是算法运行所需要的计算机资源的量，需要时间资源的量称为时间复杂性，需要空间资源的量称为空间复杂性。
2.递归算法：直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。
最优装载问题（贪心）
最优装载问题（贪⼼）⼀、实验内容运⽤贪⼼算法解决活动安排问题（或最优装载问题）使⽤贪⼼算法解决最优装载问题。
⼆、所⽤算法基本思想及复杂度分析1.算法基本思想贪⼼算法是指在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。
也就是说，不从整体最优上加以考虑，它所做出的仅是在某种意义上的局部最优解。
⽤局部解构造全局解，即从问题的某⼀个初始解逐步逼近给定的⽬标，以尽可能快的求得更好的解。
当某个算法中的某⼀步不能再继续前进时，算法停⽌。
2.问题分析及算法设计问题分析：（1）给定n个古董，要把它们装到装载量为c的装载船上。
（2）⾸先需要对这n个古董进⾏质量从⼩到⼤的排序。
（3）然后每次都选择最轻的，接着再从剩下的n-1件物品中选择最轻的。
（4）重复第（3）步骤，直到当前载重量⼤于装载船的最⼤装载量，停⽌装载。
（5）此时得到最优的贪⼼⽅案，记录下装载的最⼤古董数。
算法设计：（1）算法策略：把n件物品从⼩到⼤排序，然后根据贪⼼策略尽可能多的选出前i个物品，直到不能装为⽌。
（2）特例：算法复杂度分析由最优装载问题的贪⼼选择性质和最优⼦结构性质，可知将这些古董按照其重量从⼩到⼤排序，所以算法所需的计算时间为O（nlogn）。
三、源程序核⼼代码及注释（截图）四、运⾏结果五、调试和运⾏程序过程中产⽣的问题及解决⽅法，实验总结（5⾏以上）这⾥的调试，没有什么⼤问题，单纯的依次⽐较，判断，从⽽得到结果。
这次实验让我对贪⼼算法有了更深刻的认识，其主要是从问题的初始解出发，按照当前最佳的选择，把问题归纳为更⼩的相似的⼦问题，并使⼦问题最优，再由⼦问题来推导出全局最优解。
贪⼼算法虽然求的是局部最优解，但往往许多问题的整体最优解都是通过⼀系列的局部最优解的选择来达到的，所以贪⼼算法不⼀定可以得到能推导出问题的最优解，但其解法是最优解的近似解。
懂得算法的原理，还需要多去练习才能更好的掌握其⽤法。
源码：#include<iostream>#include<algorithm>#define MAXN 1000005using namespace std;int w[MAXN];//每件古董的重量int main(){int c,n;//c:载重量，n古董数int sum = 0;//装⼊古董的数量int tmp = 0;//装⼊古董的重量cin >> c >> n;for(int i= 1; i <= n; ++i)cin >> w[i];sort(w+1,w+1+n);for(int i = 1; i <= n; ++i){tmp += w[i];if(tmp <= c)++sum;elsebreak;}cout << sum << endl;return 0;}。
贪心策略
原问题的最优解包含子问题的最优解，即问题具 有最优子结构的性质。
取数游戏
给出2n（n<=100）个自然数（数小于等于30000）。游戏双方分 别为A 方（计算机方）和B方（对奕的人）。只允许从数列两头取 数。A先取，然后双方依次轮流取数。取完时，谁取得的数字总和 最大为取胜方；若双方和相等，属于A胜。试问A方可否有必胜的 策略？
输入：键盘输入n及2*n个自然数。 输出：共3n+2行，其中前3*n行为游戏经过。每3行分别为A方所取的
数和B方所取的数，及B方取数前应给予的适当提示，让游戏者选 择取哪一头的数（L/R——左端或右端）。最后2行分别为A方取得 的数和与B方取得的数和。 输入样例： ４ 79364253
问题分析
设n=4，自然数列为：7 9 3 6 4 2 5 ห้องสมุดไป่ตู้ 。我们设计一种原始 的贪心策略，让A每次取数列两头较大的那个数，则游戏者也不会傻， 他也会这么干，所以在上面的数列中，A方会顺序取7、3、4、5,B方 会顺序取9、6、2、3,由此得出：A方取得的数和为7+3+4+5＝19,B方 取得的数和为9+6+2+3＝20,按照规则，判定A输。
实现该算法的过程： 从问题的某一初始解出发； While 能朝给定总目标前进一步 do
求出可行解的一个解元素； 由所有解元素组合成问题的一个可行解
引例
在N行M列的正整数矩阵中，要求从每行中选出1个数，使得选出的 总共N个数的和最大。
c++贪心算法经典例题
c++贪心算法经典例题摘要：一、贪心算法简介1.贪心算法的定义2.贪心算法的特点3.贪心算法适用的问题类型二、C++贪心算法经典例题1.背包问题a.0-1 背包问题b.完全背包问题c.动态背包问题2.最小生成树a.Kruskal 算法b.Prim 算法3.单源点最短路径a.Dijkstra 算法b.Floyd-Warshall 算法4.最长公共子序列a.贪心算法实现b.动态规划实现正文：一、贪心算法简介贪心算法（Greedy Algorithm）是一种求解最优解的方法。
它是在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。
贪心算法并不追求整体最优解，只希望得到较为满意的解。
贪心算法的关键是贪心策略的选择，必须满足无后效性，即某个状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。
贪心算法适用的问题类型包括背包问题、最小生成树、单源点最短路径和最长公共子序列等。
二、C++贪心算法经典例题1.背包问题背包问题（Knapsack Problem）是一种典型的贪心算法问题。
它描述的是有一个背包，有一定的容量，需要装载若干物品，每个物品有一定的价值和重量，要求在不超过背包容量的前提下，如何选择装载物品使得背包中的物品总价值最大。
背包问题可以分为0-1 背包问题、完全背包问题和动态背包问题。
2.最小生成树最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是一种图论中的算法问题。
给定一个加权连通图，求解一个生成树，使得该生成树中所有边的权值之和最小。
最小生成树的经典算法有Kruskal 算法和Prim 算法。
3.单源点最短路径单源点最短路径（Single Source Shortest Path）问题是在一个图中，从源点出发到其他所有顶点的最短路径。
经典算法包括Dijkstra 算法和Floyd-Warshall 算法。
4.最长公共子序列最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）问题是求两个序列中最长的公共子序列。
贪心算法求解TSP(旅行商问题)
解决思路：
借助矩阵把问题转化为矩阵中点的求解：
首先构造距离矩阵，任意节点到自身节点的距离为无穷大( 在这里我用100来表示无穷大)，在第一行找到最小项a[1][j]，
8）End while
特殊说明： 程序在访问最后一个节点钱，所访问的行中至少有1个允许访问的节 点，依次访问这些节点找到最小即可：在访问最后一个节点后，再 次访问，会返回k=0，即实现了访问源节点。所以，各个节点都被访 问，且访问路径为一简单回路。
实例演示：
例题： 以4个节点为例，演示算法运行过程（以100表示无大）： 输入连接矩阵： 100 3 9 3 100 1 2 4
核心算法说明：
1）输入节点数n和连接矩阵a
2）定义行、列允许矩阵row[n]={1,…,1}、row[n]={1,…,1} 3）赋初值：s=0,i=0 4）While row[i]=1 5） 6） 7） j=0,m=a[i][0],k=0 找到第一个允许访问的节点a[i][j] 寻找a[i][j~n-1]中的最小元素
从而跳到第j行；再找到最小值a[j][k]，从而跳到第k行进行查
找…… 然后构造各行允许数组row[n]={1,…,1}，各列允许数组 colable[n]={0,1,…,1}，其中1表示允许访问，即该节点未被访 问；0表示不允许访问，即该节点已被访问。如果该行或该列 不允许访问，则跳过该点访问下一节点。
最优子结构性质(n>=2)：
设sn是此问题的最优解，那么可以把它分解为 sn=s2+sn-1; 假设存在s’n-1为n-1规模是的最优解，则 sn<s2+s’n-1, 而这与假设矛盾，所以可以得出旅行商问题具有最 优子结构性质。
贪心算法在最优化问题中的应用研究
贪心算法在最优化问题中的应用研究第一章：引言贪心算法是在最优化问题中被广泛应用的一种算法。
在计算机科学领域中，贪心算法是一种启发式算法，通过在每个步骤中选择最优解决方案来达到整体最优解决方案。
贪心算法的特点是该算法快速简单且易于理解。
在不同的最优化问题中，贪心算法具有不同的应用方法和实现方式。
本文将介绍贪心算法的基本原理和应用方法，并从实际问题出发，分析贪心算法在最优化问题中的应用实例。
第二章：贪心算法基本原理贪心算法是一种求解最优解的启发式算法。
贪心算法在每个步骤中选择当前状态下的最优解，使得整体解决方案达到最优化。
贪心算法与动态规划、分支界限等算法相比较，贪心算法具有简单快速的特点。
贪心算法的过程如下：1、定义最优解。
2、根据问题定义选择一个最优解策略。
3、根据最优策略，在当前状态下选择最优的解。
4、对于已选择的最优解，在下一个状态下重复步骤3，直到达到最优解。
贪心算法的正确性需要证明，即要证明每一步选择的最优解可以达到整体最优解。
第三章：贪心算法应用方法针对不同的最优化问题，贪心算法具有不同的应用方法。
本节将从两个方面来介绍贪心算法应用的两种方法。
1、构造法贪心算法通过构造法实现。
通常情况下，构造法通过从剩余选项中选择当前状态下的最优解。
举例说明，对于背包问题，贪心算法以价值单位最高为准则优先选取物品装入背包中。
在霍夫曼编码问题中，贪心算法选择以最小的频率为基准选择编码，这样可以使总编码长度最小。
2、优化法贪心算法通过优化法实现。
通常情况下，优化法通过贪心算法的思路对问题进行重构。
这样，在选择最优状态时，将避免一些不必要的无效状态。
举例说明，对于旅行推销员问题，贪心算法可以通过选择离当前节点距离最近的邻居节点，避免重复和无效的状态。
第四章：应用实例贪心算法在不同的实际问题中得到了充分的应用。
在本章中，将通过两个实际问题来展示贪心算法的具体应用。
1、硬币找零贪心算法在硬币找零问题中得到了应用。
算法总结---最常用的五大算法（算法题思路）
算法总结---最常⽤的五⼤算法（算法题思路）算法总结---最常⽤的五⼤算法（算法题思路）⼀、总结⼀句话总结：> 【明确所求：dijkstra是求点到点的距离，辅助数组就是源点到⽬标点的数组】> 【最简实例分析：⽐如思考dijkstra：假设先只有三个点】1、贪⼼算法是什么？> 当前看来最好的选择> 局部最优解> 可能得到整体最优解或是最优解的近似解贪⼼算法（⼜称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。
也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的仅是在某种意义上的局部最优解。
贪⼼算法不是对所有问题都能得到整体最优解，但对范围相当⼴泛的许多问题他能产⽣整体最优解或者是整体最优解的近似解。
2、贪⼼算法实例？> 求最⼩⽣成树的Prim算法：【边集中依次选取那些权值最⼩的边】> 求最⼩⽣成树的Kruskal算法：【和求最短路径有点相似：不过这⾥是求两个集合之间的距离】：【⼀维中间数组记录到当前已经选择顶点的最短距离】：【⼆维表记录每个点到每个点的最短距离】> 计算强连通⼦图的Dijkstra算法：【和最⼩⽣成树Kruskal类似】【⼆维表记录每个点到每个点的最短距离】【明确所求：dijkstra是求点到点的距离，辅助数组就是源点到⽬标点的数组】【每次从辅助数组中选择最⼩的，⽤选出的点来更新辅助数组】【最简实例分析：⽐如思考dijkstra：假设先只有三个点】> 构造huffman树的算法：【每次都选取权值⼩的两个点合成⼆叉树】Kruskal算法简述在带权连通图中，不断地在边集合中找到最⼩的边，如果该边满⾜得到最⼩⽣成树的条件，就将其构造，直到最后得到⼀颗最⼩⽣成树。
假设 WN=(V,{E}) 是⼀个含有 n 个顶点的连通⽹，则按照克鲁斯卡尔算法构造的过程为：先构造⼀个只含 n 个顶点，⽽边集为空的⼦图，若将该⼦图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是⼀个含有 n 棵树的⼀个森林。
列举贪心算法求解的经典问题
列举贪心算法求解的经典问题贪心算法是一种常用的求解优化问题的算法，它对问题的求解过程进行优先级排序，每次都选择当前最优的方案，从而得到整体最优的解。
以下是常见的几个贪心算法求解问题。
1.零钱兑换问题：给定一定面额的硬币，求解组成指定数量的钱的最小硬币数。
可以使用贪心算法，每次选择面额最大的硬币进行组合。
2.区间覆盖问题：给定若干条线段和一定长度的区间，求解怎样选择几条线段才能够覆盖整个区间。
可用贪心算法，每次选择覆盖范围最大的线段。
3.背包问题：给定一定限制下的物品和背包容量，求解如何选择物品放入背包中是物品总价值最大。
可用贪心算法，每次选择每个物品单位体积价值最大的物品放入背包中。
4.最小生成树问题：给定一个有n个节点的带权无向图，求解构建一个包含所有节点的最小花费生成树的问题。
可用贪心算法，每次选择当前最小的边加入生成树中。
5. Dijkstra算法：给定一个n个节点的有向图，求解从一个节点到所有节点的最短路径。
可用贪心算法，每次选择当前距离最短的节
点进行扩展。
6. Huffman编码问题：给定一组字符及它们在文本中出现的频率，求解一种编码方式使得编码长度最短。
可用贪心算法，每次选择频率
最小的两个字符进行合并构成一个新的节点。
以上是常见的一些贪心算法求解问题，可以看到它们涉及的问题
领域十分广泛，也是算法竞赛和工程实践中经常使用的算法之一。
贪
心算法虽然看似简单，但需要对问题的模型和贪心策略的设计有深入
的理解，才能够达到最优的解法。
贪心算法
6.贪心方法模型
a.工程计划模型 b.部分背包与每步最优 c.构造贪心算法
a.工程计划模型
我们常常碰到这样的问题：完成一个工程需
要若干个步骤，每个步骤都有若干种方法， 图示—— 步骤a 步骤b 步骤c ... 步骤n 方法b1 方法c1 方法a1 方法b2 方法c2 方法n1 方法a2 方法b3 方法c3 方法c4
种树问题：一条街道分为n个区域（按1-n编号）， 每个都可种一棵树。有m户居民，每户会要求在区 域i-j区间内种至少一棵树。现求一个能满足所有要 求且种树最少的方案。 算法构造： 1.对于要求，以区间右端（升序）为首要关键字， 左端（升序）为次要关键字排序。 2.按排好的序依次考察这些要求，若未满足，则在 其最右端的区域种树，这时可能会满足多个要求。 证明思路：解法并不唯一，关键是证明没有比该解 法更好的解法。按步骤1排序之后，会发现对于每 个要求，在最右边的区域内种树所得的结果总不会 差于在其他区域种树。至于为什么这样排序，留给 你——读者们思考吧。
每个方法有一个权值（如效率、质量），其大小往 往和其他步骤中选取的方法有关。有些时候权值无 意义，表示方法不可选择。要求给出一个方法组合， 是权值和最大。 在这里，暂且把它称作“工程计划”。很多实际问 题都可以归纳为这个模型。 对于不同形式的工程计划，我们有不同的解法。 若权值与整个过程或前后步骤的方法选择都有关， 我们使用搜索算法——时间复杂度高得吓人。 若每个权值只与上（或下）一步或少数几步的方法 选择都有关，我们使用动态规划——有比较高的效 率，在下一章会讲到。 若每个权值与其他步骤的方法选择都没有关系，我 们使用贪心方法。
算法分析：设a[i]为第I堆纸牌的张数（0<=I<=n）， v为均分后每堆纸牌的张数，s为最小移动次数。 我们用贪心算法，按照从左到右的顺序移动纸牌。 如第I堆的纸牌数不等于平均值，则移动一次（即s 加1），分两种情况移动： 1．若a[i]>v，则将a[i]-v张从第I堆移动到第I+1堆； 2．若a[i]<v，则将v-a[i]张从第I+1堆移动到第I堆。 为了设计的方便，我们把这两种情况统一看作是将 a[i]-v从第I堆移动到第I+1堆，移动后有a[i]=v; a[I+1]=a[I+1]+a[i]-v. 在从第I+1堆取出纸牌补充第I堆的过程中可能回出 现第I+1堆的纸牌小于零的情况。
动态规划和贪心算法的区别和优劣分析
动态规划和贪心算法的区别和优劣分析动态规划和贪心算法是两种常见的算法设计思想，它们在解决优化问题时起到重要的作用。
本文将从动态规划和贪心算法的定义、特点、区别以及优劣等方面进行分析。
一、动态规划的定义和特点动态规划是一种通过将问题分解为相对简单的子问题来解决复杂问题的方法。
它将问题划分为多个阶段，并找到每个阶段的最优解，最终得到全局最优解。
动态规划的核心是“记忆化搜索”，即将子问题的解存储起来，以避免重复计算。
动态规划的特点有以下几点：1. 具有最优子结构：问题的最优解可以通过子问题的最优解来构造。
2. 重叠子问题：不同的子问题之间存在重叠，可以通过存储子问题的解来避免重复计算。
3. 无后效性：在确定某个阶段的状态后，只需要考虑前面阶段的状态，而不需要关心未来的决策。
二、贪心算法的定义和特点贪心算法是一种每次在当前状态下做出局部最优选择，以期望最后得到全局最优解的算法。
贪心算法不像动态规划一样求解最优解，而是通过每一步的贪心选择来达到近似最优解。
贪心算法的特点有以下几点：1. 贪心选择性质：通过每一步的贪心选择来达到全局最优。
2. 无后效性：当前的选择不会影响未来的选择。
3. 不能回退：一旦做出选择就无法撤销。
三、动态规划和贪心算法的区别动态规划和贪心算法在解决问题过程中存在着明显的区别：1. 最优子结构的要求：动态规划需要满足最优子结构，即全局最优解可以由子问题的最优解构造而成，而贪心算法通常不需要满足最优子结构。
2. 解空间的要求：动态规划可以求解问题的所有解，而贪心算法只能求解问题的某个近似最优解。
3. 处理思路的不同：动态规划通过递推和记录子问题的解来求解最优解，而贪心算法通过每一步的贪心选择来逼近最优解。
四、动态规划和贪心算法的优劣比较动态规划和贪心算法都有各自的优势和劣势，适用于不同类型的问题。
1. 动态规划的优势：- 可以解决更复杂的问题，涉及到多个决策阶段和多个因素的影响。
- 可以求解问题的所有解，给出最优解的具体方案。
贪心算法与背包问题的求解策略
贪心算法与背包问题的求解策略贪心算法（Greedy Algorithm）是一种常用的算法策略，用于求解最优化问题。
背包问题（Knapsack Problem）则是一个经典的组合优化问题，涉及在限制条件下如何选择物品以最大化价值。
本文将探讨贪心算法在解决背包问题时的应用与求解策略。
一、背包问题简介背包问题是一个常见的动态规划问题，其基本形式为：有一个背包，容量为C（常为非负整数），有n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]。
现在需要从这些物品中选择一部分装入背包，使得在满足背包容量的限制下，所装入物品的总价值最大化。
二、贪心算法的基本思想贪心算法的基本思想是，每一步都选择当前情况下的最优解，希望通过每一步的最优解最终达到全局最优解。
然而，贪心算法并不是适用于所有问题的通用解决方法，它适用于一些特定的问题，如背包问题。
三、贪心算法在背包问题中的应用在背包问题中，常见的贪心策略有两种：按价值密度排序和按重量排序。
下面将分别介绍这两种贪心策略的具体应用。
1. 按价值密度排序按价值密度排序是指将物品按照单位重量的价值从大到小进行排序。
具体操作步骤如下：（1）计算每个物品的价值密度，即v[i]/w[i]。
（2）按照价值密度从大到小的顺序对物品进行排序。
（3）从价值密度最高的物品开始，依次将物品放入背包，直至背包容量达到上限或无物品可放。
2. 按重量排序按重量排序是指将物品按照重量从小到大进行排序。
具体操作步骤如下：（1）按照物品的重量从小到大进行排序。
（2）从重量最小的物品开始，依次将物品放入背包，直至背包容量达到上限或无物品可放。
四、贪心算法的优缺点贪心算法相比其他算法具有简单、高效的特点。
然而，贪心算法并不是万能的，它在某些情况下可能无法得到最优解。
例如，在背包问题中，贪心算法按照价值密度排序的策略并不能保证一定能得到最优解，因为可能存在某些物品的价值密度很高，但重量也很大，无法放入背包。
五、贪心算法的应用场景贪心算法常被应用于一些特定的问题领域，如最小生成树、调度问题、图着色等。
贪心算法适用于哪些问题场景
贪心算法适用于哪些问题场景贪心算法是一种在求解问题时总是做出在当前看来是最好选择的算法。
虽然它不一定能得到全局最优解，但在许多特定的问题场景中，却能高效地给出一个较为满意的结果。
以下就来探讨一下贪心算法适用于哪些问题场景。
首先，贪心算法常用于活动安排问题。
假设有一系列活动，每个活动都有开始时间和结束时间。
我们需要在有限的时间内选择尽可能多的活动来参加。
此时，贪心算法的策略可以是每次都选择结束时间最早的活动。
因为这样能为后续可能的活动留出更多的时间，从而有可能安排更多的活动。
例如，有活动 A（开始时间 8:00，结束时间10:00）、B（开始时间 9:00，结束时间 11:00）、C（开始时间 10:30，结束时间 12:00）。
按照贪心算法，先选择 A 活动，然后由于 B 活动与 A 活动时间有冲突，不能选择，接着可以选择 C 活动。
这种情况下，通过贪心选择，能够安排两个活动。
其次，在找零钱问题中，贪心算法也能发挥作用。
比如，当我们需要用最少的硬币找给顾客零钱时，假设我们有 1 元、5 角、1 角的硬币，要找给顾客 17 元。
贪心算法会先尽量选择面值大的硬币，即先选择 1个 1 元硬币，然后选择 1 个 5 角硬币，再选择 2 个 1 角硬币，这样就能用最少的硬币数量找零。
再者，贪心算法在背包问题的某些变种中适用。
比如，在部分背包问题中，物品可以分割，每个物品都有一定的价值和重量。
我们要在背包容量有限的情况下，装入物品使得总价值最大。
此时，贪心算法可以按照物品的单位重量价值（价值/重量）从大到小的顺序来选择装入背包的物品。
例如，有物品 A（价值 100，重量 20）、物品 B（价值 60，重量 10）、物品 C（价值 80，重量 15），背包容量为 25。
按照贪心算法，先计算单位重量价值，A 为 5，B 为 6，C 为 533。
所以先选择 B 物品全部装入，然后选择 C 物品部分装入（10 重量），这样就能使背包内物品的总价值最大。
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分治方法乘幂运算流程图
回溯策略
❖ 如果问题的规模（数量）是按指数速度增加 的，那么这些算法的能力将受到一定的限制
❖ 在这种情况下，回溯法（Backtracking）也许 是一个更好的选择
回溯法也叫穷尽搜索法（Brute-Force Search）， 其基本思想是尝试分步地去解决一个问题
0-1背包问题的数学描述
❖ 算法一：采用递推循环的方式实现类似a**b 的计算过程；
❖ 算法二：采用递归方式实现分治算法： a**b= (a*a)**(b/2) b=偶数 a**b= a*(a**(b-1)) b=奇数
分治法的计算效率
❖ 以求520为例，使用分治方法与不使用分治方 法的递归算法比较，分治法可以节省近三分 之二时间
如第三层的1只能走第四 层的3或1
❖ 问能否找到一条路径，使 得路径上的权值之和最大？
贪心法求解的算法设计
❖ 使用文件保存三角形的层数和所有数据
描述一个n层的三角形，需要(n*（n+1）)/2个数 据和一个描述层次的数据;
❖ 使用二维数组a[]，保存数字三角形的所有数 据
二维数组的大小为N*N，当然，其中有一半的元 素为空值0;
分治法的分（Divide）是指将较大的问题划分 为若干个较小的问题，然后用递归法求解子问 题；
分治法的治（Conquer）是指从小问题的解来 构建大问题的解
分治策略
❖ 分治法算法中至少包含有两次递归过程，只 有一个递归过程的算法在严格意义上不能算 作分治算法
求用分治法进行幂运算降序求解
❖ 在公钥加密的RSA算法中将高次幂运算转换 为低次幂运算可以加快加密和解密的计算过 程，从而提高了RSA算法的运算速度
(3.8)
0-1背包问题求解 ❖ 设有物件n项，重量为w(5,3,2), 价值v(9,7,8)，如果背包只
能装5斤，求可以放背包的物品最大价值。
❖ 使用回溯算法，决策树的建树过程为：深度有限，左侧优 先，左侧分支不取东西，右侧取当前物件
i：红色，表示物品的编号 aw：绿色，当前可用空间 V：蓝色，当前物品价值
❖ 如果计算Fibonacci数列第n项，这需要计算 从第3项到第n-1项
随着n值的增大，递归解法的算法时间复杂性会 按几何级数增长
❖ 这类问题的关键是子问题（sub-problem）有 重叠，因而分治法并不适合于此类问题的求 解
动态规划
❖ 基本思想是：如果一个较大问题可以被分解 为若干个子问题，并且子问题有重叠，那么， 可以将每个子问题的解存放到一个表中，然 后通过查表来解决问题，减少不必要的重复 计算
❖ 在0-1背包问题中的决策树中的元素和重量为 w(5,3,2), 价值v(9,7,8)，皆为三元组
❖ k元组的概念在下一章的有限状态机和图灵机 中还会用到
0-1背包回溯算法的main子图
❖ 建议测试案例从简单的方案开始
0-1背包问题-回溯法求解流程图
0-1背包回溯算法说明
❖ Maxvalue是一个递归实现的子程序，其中的 主要传递参数如下：
省去了为寻找最优解要穷尽所有可能而必须耗 费的大量时间
❖ 采用自顶向下,以迭代的方法做出相关的贪 心选择
每做一次贪心选择就将所求问题简化为一个规 模更小的子问题
贪心算法的特点
❖ 通过每一步贪心选择,可得到问题的一个局部 最优解
但由此得到的全局解却不一定都是是最优的
求解数字三角形
❖ 有任意一个数字三角形， 只能自第一层(顶层)向下 行求解的算法设计
❖ 使用line，colum 两个变量在二维数组中，作 为数字定位的指针；
❖ x作为保存权值累计的变量； ❖ line的值同时用来控制路径行走的循环
流程图
分治策略
❖ 分治法（Divide and Conquer）的基本思 想是，将一个较大规模的问题分解为若干 个较小规模的子问题，找出子问题的解， 然后把各个子问题的解合并,从而得到整个 问题的解
动态规划是20世纪50年代美国数学家Richard Bellman提出的
在这个术语中，Programming与编程没有关系， 而是规划和设计的意思
动态规划解Fibonacci数列第n项
算法说明
❖ 算法递归子程序中的三个传递参数的作用分 别是：
贪心策略
❖ 贪心算法在对问题求解时，总是做出在当前 看来是最好的选择，因此它仅仅是某种意义 上的局部最优解
❖ 但在相当广泛范围内，对许多问题它能产生 整体最优解或者是整体最优解的近似解
❖ “鼠目寸光” 是对贪心算法的最好描述
贪心算法的特点
❖ 以当前情况为基础根据某个偏好原则作最 优选择，而不考虑各种可能的整体情况
基本策略
❖ 算法设计过程中，发现问题、分析问题及 解决问题的思路、步骤与其他学科中的方 法是一致的，就是寻找规律
❖ 计算机科学家在算法研究过程中总结了一 些具有普遍意义的算法策略和一些可循的 规律，能够帮助我们较快地找到算法
基本策略
❖ 贪心策略 ❖ 分治策略 ❖ 回溯策略 ❖ 动态规划 ❖ 将递归算法转成非递归实现
❖ 现有n种物品，对1<=i<=n，已知第i种物品的 重量为正整数Wi，价值为正整数Vi，背包能 承受的最大载重量为正整数W
❖ 现要求找出这n种物品的一个子集，使得子集
中物品的i总n1 w重i xi 量W 不超过W且总价值尽(3.7量) 大
xi {0,1}(1 i n)
n
max vi xi i 1
w： 项目物体的重量数组 v： 项目物体的价值数组 length_of(w)： 重量数组的长度，也是最后一个
物件下标，遍历循环的开始点，直到第一个元素 max_weight：背包的最大容量 ｘ：最后的返回值，即背包中物体的价值
动态规划
❖ 计算Fibonacci数列的第n项：当项数大于2时， F（n）=F（n-1）+F（n-2）
（3，5，0）
（2，5，0） （1，5，0） （1，2，7）
（2，3，8） （1，0，15）
（1，3，8）
（-，2，7）（-，-3，16）
（-，5，0）（-，0，9）
（-，3，8） （-，-2，17）
k元组的概念
❖ 元组(tuple)是一种有穷序列，k个元素的序列 称为k元组。与集合不同，集合不考虑元素的 顺序，但元组中的元素有严格的顺序规定