奥数-n进制
五年级奥数学练习试卷思维培训资料 数的进制
第四讲 数的进制卷Ⅰ教学目标数的进制问题一直是我们教学大纲的一个漏洞，只在三年级春季班讲了一次简单的二进制与十进制的互化之外，再也没有讲过，到了六年级也只是简单提一下．这几年随着二进制与计算机的联系、一年12个月、一周7天等生活中的其它进制问题的凸显，数的进制问题将来一定会是命题的热点．我们常用十进制，可是这并不代表其它进制没有学习的必要，就像我们56个民族，汉族是多数，但其它民族也有可以学习和借鉴之处，更何况在生活中我们用的很多就是二进制、三进制、七进制等等．所以调整了大纲，放了这么一讲，大部分题目都是原创题，不妥之处请批评指教．本讲主要从两个方面来系统地介绍数的进制：一是从进制的基本计数关系、运算法则出发，使学生从十进制的计数思维中解脱出来；二是从进制的转化及应用来说，进一步巩固进制的使用（还有各种进制的整除特征及法则，怕学生难以接受就没放）．建议教师专题回顾讲起，先介绍几种进制的计数单位及运算法则，再引出想挑战吗．中间穿插了两个信息点，教师可以简单介绍．下表是十进制与二进制、三进制 、八进制、十六进制的位值（计数单位）对比图：十进制 … 105 104 103 102 101 100 二进制 … 25 24 23 22 21 20 三进制 … 35 34 33 32 31 30 八进制 … 85 84 83 82 81 80 十六进制…16516416316216116n 进制的运算法则是“逢n 进一”、“借一当n”．n 进制的四则混合运算和十进制一样：先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号，先算括号里面的．7进制乘法表 8进制乘法表12345611234562461113153121521244222633534426511234567112345672461012141631114172225420243034531364364452761我们都学过十进制乘法口诀表，那么聪明的你能写出七进制的乘法口诀表吗？八进制的呢？想挑战吗？专题回顾计算：（1） ；（2） ；（3） ；（4）22(101)(111)+22(1101)(110)-22(1101)(101)⨯22(101101)(111)÷分析：和十进制一样列数式计算，“逢二进一”、“借一当二”.（1）（2）1011111100+1101110111-（3）（4）1101101110111011000001⨯110111101101111100011111专题精讲（一）进制的概念及性质【例1】 （奥数网原创题）在八进制中，1234-456-322=________. 分析：十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方法叫“凑整法”，在n 进制中也有“凑整法”，要凑的就是整n. 原式=1234-(456+322)=1234-1000=234.[前铺] （奥数网原创题）在十进制中，1234-456-544=________.分析：观察两个减数，会发现它们的和是1000．所以，原式=1234-(456+544)=1234-1000=234．[拓展1] （奥数网原创题）在八进制中，63121-1247-16034-26531-1744=________.分析：原式=63121-(1247+26531)-(16034+1744)=63121-30000-20000=13121．[拓展2] （奥数网原创题）在九进制中，14438+3123-7120-11770+5766=________.分析：原式=14438+(3123+5766)-(7120+11770)=14438+10000-20000=4438．[信息提示] 关于八进制的奥秘来自外星世界的太空飞船突然出现在我们上空时将会发生什么样的情况？科学家曾经仔细研究过来自外形世界的信号并发现信息是采用的八进制编码．地球上流行十进制，换句话说，我们有0到9共10个数码．在十进制计数法中，每个数码表示10的某个乘幂，但是，没有任何理由假定外星生物也会使用十进制，来自外星的信息不大可能用十进制编码．在地球上，我们的数学计算用的是十进制，因为我们恰好有10个手指．事实上，我们的语言已经提示了手指同数制的联系——“digit”这个单词兼有两种意思：数或手指．由于十进制来自我们的10只手指，那么八进制会不会透漏一点外星生物的解剖学结构呢？也许八进制会意味着：外星人的每只手上有一个大拇指，3个手指；或者是有着8根触须的怪物；或者是：这种动物长着4只手，而每只手上有一个大拇指，一个小指．甚至还有更荒唐的设想：外星人长着3个头颅，点头和摇头的全部组合刚好是8种！（当然也有可能他们的计数制同其身体结构毫无关系．毕竟，古巴比伦的60进制不能为我们提供关于人体结构的任何信息）．【例2】 （奥数网原创题）在六进制中，15+255+3555+45555+555555=________.分析：利用凑整法，十进制中，接近整十整百整千的数，后面会有若干个9，那么类似地，在n 进制中，接近一个比较整的数，后面会有若干位是n-1．原式=(20-1)+(300-1)+(4000-1)+(50000-1)+(1000000-1)=1054320-5=1054311．[前铺] （奥数网原创题）在十进制中，19+299+3999+49999+599999=________.分析：观察各个数，发现每一个都比一个整十整百整千之类的数少1．所以，也可以利用凑整法，原式=(20-1)+(300-1)+(4000-1)+(50000-1)+(600000-1)=654320-5=654315．[拓展] （奥数网原创题）在七进制中，666661-66662-6663-664-65-6=________.分析：原式=(1000000-6)-(100000-5)-(10000-4)-(1000-3)-(100-2)-(10-1)=(1000000-111110)-6+21=555560+12=555602．【例3】 （仁华考题）若是的4倍，那么化为十进制是多少？ (62)n (14)n (41)n分析：因为，所以(62)4(14)n n =， 1010(62)4(4)624167n n n n n +=⨯+⎧⎪+=+⎨⎪=⎩710.(41)471(29)=⨯+=[前铺] 表示n 进制数，若，求n. (54)n 10(54)(64)n =【例4】 （仁华考题）在几进制中有4×13=100．分析：我们利用尾数分析来求解这个问题：不管在几进制均有(4)×(3)=(12)．但是，式中为100，101010尾数为0．也就是说已经将12全部进到上一位． 所以说进位制为12的约数，也就是12，6，4，3，2．但n 是出现了4，所以不可能是4，3，2进制．我们知道(4)×(13)=(52)，因52 < 100，也就是说不到10101010就已经进位，才能是100，于是我们知道<10．所以，只能是6． n n[前铺] 计算：（234）7+（656）7分析：7进制的运算是逢7进1，所以原式=（1223）7.【例5】 （仁华考题）证明10101在任何进制的记数法中，都是一个合数.分析：设在a 进制，则， 4222222(10101)111(1)(1)(1)a a a a a a a a a =⨯+⨯+=+-=+-++可以将其表达为两个均不为1的整数乘积，显然为合数.[前铺] 证明10201在大于2的任何进制的记数法中，都是一个合数.分析：设在b 进制，则，所以不管在任何进制，均是一个非1的4222(10201)121(1)b b b b =⨯+⨯+=+完全平方数，当然是一个合数.卷Ⅱ（二）进制的转化及应用【例6】 （奥数网原创题）把二进制自然数10100001101转化为八进制自然数.分析：二进制数转化为八进制是从个位开始往前每三位转化为八进制．对应关系如下： 二进制 000 001 010 011 100 101 110 111 八进制 0 1 2 3 4 5 6 7 对其进行分组，情况如下：（一定要从后往前）有： 10 100 001 101 2进制 2 4 1 5 8进制 (10100001101)=(2415)． 28[拓展1] （奥数网原创题）把二进制小数11.0010010001转化为八进制小数．分析：小数和整数转化的方法类似，只不过是从小数点处，向前和向后都要三位三位数．但是本题的小数点后位数不是3的倍数，所以必须补0． 11. 001 001 000 100 3. 1 1 0 4所以，二进制11.0010010001转化为八进制是3.1104．[拓展2] （奥数网原创题）把二进制循环小数转化为八进制循环小数． 0.10011分析：循环小数转化的方法也类似，但是循环节长度不是3的倍数，所以需要把循环节连写三遍，如下： 0. 100 111 001 110 011 0. 4 7 1 6 3所以，二进制转化为八进制是． 0.100110.47163[拓展3] （奥数网原创题）在几进制中，是一个整数的倒数？ 0.1463分析：看到这类问题不知道如何入手的话，可以这样想： 大家都熟悉的十进制循环小数中，循环节的前一半和后一半“互补”，也就是对应位相加10.1428577= 等于9，也就是进制数减1．而的循环节前一半和后一半对应位相加等于7，所以应该是八进制．经0.1463 检验，． 10.14635= [信息提示] 莫尔斯-瑟厄数列在管乐声中有两个调子，用 表示长调，用 表示短调，所有乐曲都可以用类似或表示，就是这种看似既非完全规则、又非全然不规则节奏的神奇模式就是著名的、奇异的二进制数字模式——莫尔斯-瑟厄数列，它可以用0和1的数字串来表示.莫尔斯-瑟厄数列是为了纪念挪威数学家阿克塞尔-瑟厄和普林斯顿大学的马斯登-莫尔斯而命名的.瑟厄引入这个数列，作为一种非周期性的、但又可以通过递推办法而算出来的实例.有好几种办法可以生成莫尔斯-瑟厄数列.第一种：从数0开始，反复进行下列置换：0→01，1→10．换句话说，你一旦见到0，就用01取代它，见到1就用10来取代，从一个单独的0开始，我们就可以得出以下各“代”：你可以用一支笔、一张纸来形成这个数列．从0开始，代之以01，现在你已有了一个两个数码的数列，用01代替0，10代替．从而有了数列0110，下一个二进数模式是01101001，请注意0110是对称的，它是一个回文数，然而01101001则不是．但是，你要顶住！再下面一个模式0110100110010110又是回文了．这种现象是否交替出现？显然，数列的神奇性质只是刚刚开始，奥妙还在后面呢．注意数列的第四行可以译成管乐声中的8个手指记号，如果 表示0， 表示1的话，真是令人惊讶！ （未完，见数学知识）【例7】 （奥数网原创题）在三进制中的数12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l 位数字是几?分析：我们如果通过十进制来将三进制转化为九进制，那运算量很大．注意到，三进制进动两位则我们注意到进动了3个3，于是为9．所以变为遇9进1．也就是九进制.于是，两个数一组，两个数一组，每两个数改写为九进制，如下表：3进制 12 12 0l 20 11 01 10 12 11 21 9进制 5 5 l 6 4 1 3 5 4 7 所以，首位为5．[总结] 若原为进制的数，转化为进制，则从右往左数每个数一组化为进制．n n kk n k【例8】 （仁华考题）N 是整数，它的b 进制表示是777，求最小的正整数b ，使得N 是十进制整数的四次方.分析：先化为十进制数，，则有，因为N 是7的倍数，2(777)777b b b =⨯+⨯+24777b b x ⨯+⨯+=所以也是7的倍数，又7为质数，所以是7的倍数.于是令，则，4x x 7x t =247772401b b t ⨯+⨯+=则，，则.因为最小，所以也是最小的.即有最小在18进制有21343b b ++=(1)342b b +=18b =t b41810.(777)(7)=[前铺] 在7进制中有三位数，化为9进制是，求这个三位数在十进制中是多少？ abc cba分析：都化为十进制数，，27()77497abc a b c a b c =⨯+⨯+=++，于是，，即29()99819cba c b a c b a =⨯+⨯+=++497819a b c c b a ++=++48802a c b =+，因为是8的倍数，也是8的倍数，所以也是8的倍数.于是或，2440a c b =+24a 40c b 0b =8b =但在7进制不可能有8.所以，即，则，所以为5 的倍数，为3的倍数，有0b =2440a c =35a c =a c 或，首位不可以是0，所以，那么，所以0a =5a =5a =3c =77()(503)5493248.abc ==⨯+=[拓展] 设1987可以在进制中写成三位数，且=1+9+8+7，试确定出所有可能的、、b xyz x y z ++x y z 及． b分析：我们注意2()19871987b xyz b x by z x y z ⎧=++=⎨++=+++⎩①②①-②得：(-1)+(-1)=1987-25，则(-1)(+1)+(-1)=1962，即(-1)[(+1)2b x b y b b x b y b b x +]=1962．所以，1962是(-1)的倍数．1962=2×9×109， y b 当-1=9时，=10，显然不满足；b b 当-1=18时，=19，则（-1)[(+1)+]=18×(20+)=1962；则20+=109，b b b b x y x y x y 所以， 545,(929911b x x x y y y z ⎧⎪===⎧⎧⎪⎨⎨⎨===⎩⎩⎪⎪=⎩=19不满足),......则显然，当=109不满足，=2×109不满足，当=9×109也不满足．于是为(59B)=(1987)，B 代表11． b b b 1910【例9】 （仁华考题）若能被15整除，自然数n 可以取哪些值？ n21-分析：因为，而，如果能被15整除，即 nn 1n 02221=10001111⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 个个2151111=（）n21- n 12111⎛⎫ ⎪⎝⎭ 个能被整除，所以n 是4的倍数，n=4，8，12，… 21111（）[前铺] 求证：能被7整除.1821-分析：直接用十进制比较困难，我们考虑化为二进制的整除问题.因为.而，于是18181180222110001111⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 个个27111=（），所以能被7整除.182218122171111111001001001001001⎛⎫÷÷= ⎪⎝⎭ 个（-）=（）（）1821-[拓展] 计算：÷26的余数．2003333 3...31⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭个分析：==，26=(222)， 2003333 3...31⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭ 个2003331000...01⎛⎫⨯- ⎪ ⎪⎝⎭个20033222...2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ 个23所以÷26=÷(222)，(222)整除(222)，2003÷3=667……2，所以余数2003333 3...31⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭个20033222 (2)⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 个2333是(22)=8．3【例10】 （仁华考题）三个两位数恰构成公差为6的等差数列，而在五进制的表示中，这三个数的数字和是依次减少的，那么符合这样要求的等差数列有多少个？分析：设等差数列中最小的那个数表示为5进制为，最大可为5（abc ），最小可为.那么有、、的数字5(322)996287=-⨯=5(20)10=5()abc 55()(11)abc +55()(22)abc +和依次减少，所以、在运算时均必须有进位，不难发现有、55()(11)abc +55()(22)abc +5(24)a 5(43)a 满足，而a 可以取0，1，2，于是共有6组符合要求的数列.[前铺] 用、、、、分别表示五进制中互不相同的数字，如果、、是由小a b c d e 5()ade 5()adc 5()aab 到大排列的连续正整数，那么所表示的整数写成十进制的表示是多少？5()cde 分析：由题意知，，根据进位原则知，.又，55()1()ade adc +=55()1()adc aab +=4,0c b ==1c e -=所以.，且、只能在1，2中取值，所以.即，转化为十进3e =1a d -=a d 2,1a d ==55()(413)cde =制的表示为.22510(413)45153(108)=⨯+⨯+=【例11】 （奥数网原创题）一串数：1，3，4，9，10，12，13，…，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是若干个不同的3的幂的和，求这串数中的第100项是多少？分析：将已知数改写成三进制数，得：1 3 4 9 10 12 13110 11 100 101 110 111十进制：三进制：观察发现，在三进制数中，各位上的数字均不是2，若将它们看成二进制数，可以看出，它们与十进制数1，2，3，4，5，6，7，…对应，第100项与十进制数100对应．因为10010=26+25+22=11001002，所【例12】 （仁华考题）称n 个相同的数a 相乘叫做a 的n 次方，记做，并规定.如果某个自然n a 01a =数可以写成2的两个不同次方（包括零次方）的和，我们就称这样的数为“双子数”，如，.它们都是双子数，那么小于1040的双子数有多少个？30922=+523622=+分析：双子数与二进制的联系，，310102(9)(22)(1001)=+=，写成2的两个不同次方（包括零次方）的和，这样的数改写成二进制5210102(36)(22)(100100)=+=后只含有2个1，有，这样的二进制数为11位数，但104101022(1040)(22)(1000000000010000)(10000010000)=+=+=是11位数有限制：先看10位数，于是，这样10位数，选择2个数位填1，其它为0，()**********所以为，再考虑11位数，于是，只有4个“”和紧邻的“1”，于是有5种选择，210C (1000001)*****所以共有种选择方法，所以这样的“双子数”为50个.210550C +=[拓展] 一个非零自然数，如果它的二进制表示中数码l 的个数是偶数，则称之为“坏数”.例如：是“坏数”．试求小于1024的所有坏数的个数. 218=10010（）分析：我们现把1024转化为二进制：(1024)=2=(10000000000)2．于是，在二进制中为11位数，但1010是我们只用看10位数中情况．并且，我们把不足10位数的在前面补上0，如=502111...10000...0⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ 5个1个或以上912111...1⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ 个则，可以含2个l ，4个1，6个1，8个l ，10个1．于是为9120111...1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 个10* * * * * * * * * *⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个位置 2268101010101010C C C C C ++++=10910987109876510987654312123412345612345678⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋=45+210+210+45+1=511，于是，小于1024的“坏数”有511个.【例13】 （奥数网原创题）在地球上有一个矮人国，这个国家不用通常的十进制，而是用大于十的另一种进制．但是该国家的钟表与中国的本质上相同（当然可能钟面标的数字有区别，这不是本质区别）．一名司机开车在笔直的公路上匀速行驶，每小时的速度是整数．当钟表的时针与分针垂直的时候，司机发现他刚好经过路边的一个里程碑，上面的数字是一个两位数．当钟表的时针与分针再次垂直的时候，司机再次发现他刚好经过路边的里程碑，上面的数字是刚才那个两位数的数字颠倒过来．当钟表的时针与分针第三次垂直的时候，司机第三次发现他刚好经过路边的里程碑，上面的数字是一个三位数，是在第一次的那个两位数中间插了一个数字．在该国家的进制数尽量小的情况下，司机的时速是多少？（请把答案转化成十进制）分析：每个小时，时针走过周，分针走过1周，也就是分针比时针多走过周．两次垂直之间，分1121112针比时针多走过半周，所以时间为小时． 111621211÷=显然，第三次所经过的里程碑的首位是1．设矮人国用N 进制，设第一次的里程数是，则第二次的1X 里程数是，再设第三次的里程数是．则有．从个位上看，X+X 个位是2，所1X 1YX 1112X YX X +=⨯以2X=N+2，N 必须是偶数，． 12NX =+．也就是说，车的时速等于(1)111(1)1(1)222N N N N X X NX N X N N --=+--=++--+=，所以N 最小是12，时速是121． (1)611(1)21112N N N N --÷=专题展望六年级还会继续学习数的进制哦！练习四1. （例4）在几进制中有125×125=16324.分析：因为，且，所以.再来看尾数，101010(125)(125)(15626)⨯=1562516324 10n ，16324的末位是4，所以25-4=21进到上一位.即n 为21的约数，也就是1，3，101010(5)(5)(25)⨯=7，21，因为原式中出现了6，所以n 只能是7.2. （例8）在6进制中有三位数，化为9进制为，求这个三位数在十进制中为多少? abc cba分析：()=×62＋×6+=36+6+；()=×92+×9+=81+9+．所以36+6abc 6a b c a b c cba 9c b a c b a a b +=81+9+；于是35=3b+80；因为35是5的倍数，80也是5的倍数．所以3也必须是5c c b a a c a c b 的倍数，又(3，5)=1．所以，=0或5．b ①当=0，则35=80；则7=16；(7，16)=1，并且、≠0，所以=16，=7：但是在6,9进b ac a c a c a c 制，不可以有一个数字为16．②当=5，则35=3×5+80；则7=3+16；mod 7后，3+2≡0，所以=2或者2+7(为整数)．因b a c a c c c k k 为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是=2．于是，35=15+80×2；=5．于是() c a a abc 6=(552)=5×62+5×6+2=212．所以．这个三位数在十进制中为212．63. （例9）试求除以992的余数是多少？200621（-）分析：因为被除数与2的次幂有关，所以我们可以用二进制来解决.，，在二进制中一定能整除1029921111100000=（）（） 2006220061221111⎛⎫= ⎪⎝⎭ 个（-） 515502111000⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 个个或个以上的，因为能整除，所以余数为21111100000（） 20001602111000⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 个个21111100000（），所以原式的余数为63.543210211111122222263=+++++=（）4. （例9）求证能被5整除. 151413121110982222222221-+-+-+-++-分析：15141312111098151311914121081010222222222222122222222211010101010101010101010101010101101010101010101-+-+-+-++-=+++++-+++++=-= （）（）（）（）（）又，显然能被整除，所以得证.25101=（）2101010101010101（）2101（）5. （例10）一个10进制的三位数，把它分别化为9进制和8进制数后，就又得到了2个三位数．老师发现这3个三位数的最高位数字恰好是3、4、5，那这样的三位数一共有多少个?分析：我们设(3)=(4)=(5)；我们知道(4) 在(400)～(488)之间，也就是4×92～ab 10cd 9ef 8cd 9995×92-1，也就是324～406；还知道(5) 在(500)～(577)之间，也就是5×82～6×82-1，也就是ef 888320～383；又知道(3) 在(300)～(399)之间．所以，这样的三位数应该在324～383之间，于是ab 101010有383-324+1=60个三位数满足条件.6. 一个g 进制数，，要计算它的十进制数时，有一54321543210N a g a g a g a g a g a =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+个简便算法：，这样进行5次乘法和5次加法，543210(((())))N a g a g a g a g a g a =⋅+⋅+⋅+⋅++现在请你用简便算法求出六进制数的N.=(6)312150N =(10)_____分析：如按，则需进行15（=5+4+3+2+1）次乘法和5次加54321543210a g a g a g a g a g a ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+法，显然浪费时间.根据题目中给出的简便算法 =(6)312150N =543210361626165606⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（（（（3×6+1）×6+2）×6+1）×6+5）×6+0=(10)25211数学知识莫尔斯-瑟厄数列也可以用别的办法来生成乐音数列：每一代都可以由其前代挂上它的“补数列”而得出，这意味着如果你看到了0110，就在它的后面加挂1001．此外，还有第三种办法来生成它．一开始先写0，1，2，3，…，然后把它们改写成二进制数：0，1，10，11，100，101，110，111，…．（本书第21节的“第一步探索”中将详细阐述二进制数，如果你渴望了解背景信息，不妨直接跳到那里去阅读．）现在，对每个二进制数字求和，并取其模2同余．也就是说，把每个和数用2去除，并取其余数．例如，二进数11求数字和后奖成为2，在最后的数列中就应当用0表达，通过这种办法可以得出数列0，1，1，0，1，0，0，1……同欺其他办法是一致的！让果戈尔博士来告诉你，何以这一数列如此迷人．首先，它是自相似的，这意味着你可以取数列的一段而生成全部无穷数列！例如，逐项相间地截取，可以复制全部数列．也就是说，你可以取最前面的二个数，再跳过二个，如此等等．其次，数列没有任何周期性．例如，不会出现，诸如00，11，00，11这类情况．然而，数列虽然没有周期可言，它去决非随机，它具有极强的短程与长程结构．例如，不可能有两个以上相邻的项是完全一样的．发现数列中所存在的模式的方法是傅里叶频谱，用它来分析本数列时显示出了明显的波峰．采用这种数学方法，你可以绘出一个图像，表明数列中项的位置与数据频度，在第三维上有着更稠密的频率分量，而在二维图像上不过是极其简单的一个黑点．数列的生长极其迅速，下面是第8代：有时候，按此种方式把数列堆积在它自身之上时会冒出一些模式，在这里，你能看出什么名堂来吗？表示莫尔斯——瑟厄数列的另外一种办法是使用超市里常用的商品分类的“条形码”，看到1的时候是一根垂直线段，而在出现0时则跳过一段空白．为了使肉眼更易辨识，当两个1连续出现时，可以用短横加以联接．我们可以用喜欢的植物图形来描述莫尔斯——瑟厄数列，用花朵表示1，空档表示0：倘若采用较高的树木，图形甚至更加好看．你能否对行、列作出巧妙安排以便更好地显示出数列的模式？在这种神奇的森林里漫步会有什么感受？不妨去想一想，你握着心上人的玉手，走入这个一望无际的莫尔斯——瑟厄森林中去的美妙情景哦！。
小学奥数-数的进制问题B提高版
数的进制问题B知识梳理一、数的进制1.十进制：我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
2.二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n ,我们有n 0=1。
3.k 进制：一般地，对于k 进位制，每个数是由0，1，2，，1k -（）共k 个数码组成，且“逢k 进一”．1k k >（）进位制计数单位是0k ，1k ，2k ，．如二进位制的计数单位是02，12，22，，八进位制的计数单位是08，18，28，．4.k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式1110110n n n n k n n a a a a a k a ka k a ---=⨯+⨯++⨯+（）十进制表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++； 二进制表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++；为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k ，表示是k 进位制的数如：8352（），21010（），123145（）,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数．5.k 进制的四则混合运算和十进制一样先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
二、进制间的转换：一般地，十进制整数化为k 进制数的方法是：除以k 取余数，一直除到被除数小于k 为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为k 进制数．反过来，k 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．如右图所示:例题精选例题1 ① 222(101)(1011)(11011)⨯-=________；② 2222(11000111(10101(11(-÷=））） ）；③88888(63121)(1247)(16034)(26531)(1744)----=________；【解析】 ① 对于这种进位制计算，一般先将其转化成我们熟悉的十进制，再将结果转化成相应的进制： 2221010101010(101)(1011)(11011)(5)(11)(27)(28)(11100)⨯-=⨯-==； ② 可转化成十进制来计算：222101010102(11000111(10101(11(199)(21)(3)(192)(11000000-÷=-÷==））））； 如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对22(10101(11÷））进行除法计算，只是每次借位都是2，可得222222(11000111(10101(11(11000111(111(11000000-÷=-=））））））；③十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方法叫“凑整法”，在n 进制中也有“凑整法”，要凑的就是整n ． 原式88888(63121)[(1247)(26531)][(16034)(1744)]=-+-+ 8888(63121)(30000)(20000)(13121)=--=；【答案】(1)、10(11100)，（2）、2(11000000），（3）、8(13121)例题2 在几进制中有413100⨯=？ 【解析】 利用尾数分析来解决这个问题：由于101010(4)(3)(12)⨯=，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位．所以说进位制n 为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个． 但是式子中出现了4，所以n 要比4大，不可能是4，3，2进制．十进制 二进制十六进制八进制另外，由于101010(4)(13)(52)⨯=，因为52100<，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道10n <，那么n 不能是12． 所以，n 只能是6．【答案】6例题3 在几进制中有12512516324⨯=？【解析】 注意101010(125)(125)(15625)⨯=，因为1562516324<，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以10n <．再注意尾数分析，101010(5)(5)(25)⨯=，而16324的末位为4，于是25421-=进到上一位．所以说进位制n 为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3． 因为出现了6，所以n 只能是7．【答案】7例题4 10个砝码，每个砝码重量都是整数克，无论怎样放都不能使天平平衡，这堆砝码总重量最少为_________克。
小学五年级奥数 进制问题
2
2
2
②
Hale Waihona Puke 11010 101 2
2
2
【例3】 (★★★)
① (101)2(1011)2 (11011)2 ( ）2
② ③
((131002010)4111）(6205)(17 01(0 1）2 )(1101）2
(
）2
④ (63121)8 (1247)8 (16034)8 (26531)8 (1744)8 ( )8
知识大总结 1. 进制转换：
⑴ 10转n：短除、取余、倒写 ⑵ n转10：写指、相乘、求和 2. n进制计算： ⑴ 同进制下，可以直接计算. ⑵ 不同进制，借助十进制转换计算. 3. 位值原理： ⑴ 借助数位，按数位进行计算. ⑵ 根据具体位置特征进行估算.
【今日讲题】 例1，例2，例3，例4
【讲题心得】 ______________________________________________________________
10
3
4. 关于进位制 ⑴ 本质：n进制就是逢n进一 ⑵ n进制下的数字最大为(n－1) 特别的：超过9的一般用大写英文字母表示. 例如，十六进制中，10、11、12、13、14、15、分别用A、B、C、D、E、 F表示.
5. n进制转十进制: 写指、相乘、求和. 例如：
101001 2
1
25
0
24
1
23
0
22
0
21
1
20
41 10
【例1】 (★★) ⑴将(2009)10写成二进制数 ⑵把十进制数 2008转化为十六进制数；
五年级数学奥数讲义-位值原理与数的进制(学生版)
“位值原理与数的进制”学生姓名授课日期教师姓名授课时长本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。
通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。
并学会在其它进制中位值原理的应用。
从而使一些与数论相关的问题简单化。
一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，=1二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则是“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。
n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
【试题来源】【题目】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于与的差；ab与ba 的差被9除，商等于与的差；ab与ba的和被11除，商等于与的和。
【试题来源】【题目】如果ab×7= ，那么ab等于多少？【试题来源】【题目】从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。
(完整word版)奥数-n进制
m在9进制下是cba,
故m=c*9*9+b*9+a=81c+9b+a。
步骤3：
再思考第三个问题，
满足条件的a,b,c是多少,
m又是多少？
从步骤2知道，
36a+6b+c=81c+9b+a，
化简即:
3b=35a-80c=5(7a-16c),
因此b是5的倍数。
由于(7a-16c)不可能是0，
故b也不可能是0，
而b又小于6，
因此b=5。
代入上式有3=7a-16c,
由于a和c的范围是1-5，
故35 >= 7a >16c >= 16,
满足上面不等式的c必须小于等于2，
因此c=1或2，
代入3=7a-16c中验证,
只有c=2,a=5时才满足等式。
所以m=36a+6b+c=212。
先思考第一个问题，
m和n的范围是多少？
由于在这两个进制下，
自然数a分别是45和54，
说明m和n都比5大。
步骤2：
再思考第二个问题，
m和n满足什么关系？
a在m进制下是45，
即a=4m+5;
a在n进制下是54，
即a=5n+4。
故：4m+5=5n+4，
即:4(m-1)=5(n-1)。
步骤3：
综合上述两个问题，
在76的分解因数中，
只有38和2的奇偶性相同，
故a+b=38,a-b=2,
即a=20,b=18,
所以，m=362。
思考题：
小学奥数数论讲义 15-进制与位值原理强化篇
今日关键1. n 进制运算2. n 进制3. 位值原理【例 1】(63121)8-(1247)8-(16034)8-(26531)8-(1744)8=( )8。
【巩固】在八进制中，1234-456-322= 。
【例 2】⑴(101)2⨯(1011)2-(11011)2=( )2；⑵(11000111)2-(10101)2÷(11)2=( )2；⑶(3021)4+(605)7=( )10。
【巩固】⑴(1101)2⨯(1111)2-(101)2= ；⑵(4023)5+(542)8=( )10。
【例 3】在几进制中有125⨯125=16324？【巩固】算式1534⨯25=43214是几进制数的乘法？【例 4】有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数。
将这两个三位数和一个四位数相加等于3600。
求原来的两位数。
进制与位值原理逢n 进1 借1当n 位值原理 十进制 除n 取余法【巩固】在一个两位质数的两个数字之间，添上数字6以后，所得三位数比原数大870，那么原质数是。
【例 5】(第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是。
【巩固】(迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数。
〖答案〗【例 1】13121【巩固】234【例 2】⑴11100，⑵11000000，⑶500 【巩固】⑴10111110，⑵867【例 3】七进制【巩固】八进制【例 4】14【巩固】97【例 5】1，2，4【巩固】139。
五年级奥数专题 数的进制(学生版)
学科培优 数学 “数的进制” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 所谓二进制,就是只用0与1两个数字,在计数与计算时必须是“满二进一”。
即每两个相同的单位组成一个和它相邻的较高的单位（所以任意一个二进制只需要“0”与“1”表示就够了）。
例如：2在二进制中是10；3写成二进制数是11；4写成二进制数便是100,那么5呢？应该是101随着科学计数的发展,数字电子计算机的使用日益普遍,计算器内部进行的运算就使用的是二进制数。
我们经常和计算器打交道,应该懂一些二进制方面的知识。
知识梳理一、二进制按照“逢二进一”的法则,很容易得到一下两种进制的数字的对照表： 十进制 二进制 十进制 二进制 1 2 3 4 5 6 7 8 1 10 11 100 101 110 111 1000 9 10 11 12 13 14 15 16 100110101011110011011110111110000二进制的最大优点是：每个数的各个数位上只有两种状态——0或1。
这样,我们便可以通过简单的方法,例如白与黑、虚与实、负与正、点与划、小与大、暗与亮等等手段加以表示。
当然,二进制也有不足,同一个数在二进制中要比在十进制中位数多得多。
二、十进制与二进制的互相转化当我们写上一个数目1997时,实际上意味着我们使用了“十进制”数,即也就是说：1997中含有一个1000,九个100,九个10与七个1.199111000910091071=⨯+⨯+⨯+⨯在上表中可以看到,二进制数10表示十进制2；二进制数100表示十进制数4；二进制数1000表示十进制数8；二进制数10000表示十进制数16；……可以看出规律：二进制数100000应该表示十进制数32,……。
那么我们写下一个二进制数10110,则应表示它含有一个16,一个4与一个2,也就是明白了上面所说的两点,则二进制与十进制之间的转化的道理就容易懂了。
为了叙述的方便,我们约定：用表示括号内写的是二进制数,如；用表示括号中写的数是十进制数,如。
(小学奥数)进制的应用
1. 瞭解進制；2. 會對進制進行相應的轉換；3. 能夠運用進制進行解題一、數的進制1.十進位：我們常用的進制為十進位，特點是“逢十進一”。
在實際生活中，除了十進位計數法外，還有其他的大於1的自然數進位制。
比如二進位，八進制，十六進制等。
2.二進位：在電腦中，所採用的計數法是二進位，即“逢二進一”。
因此，二進位中只用兩個數字0和1。
二進位的計數單位分別是1、21、22、23、……，二進位數也可以寫做展開式的形式，例如100110在二進位中表示為：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二進位的運算法則：“滿二進一”、“借一當二”，乘法口訣是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：對於任意自然數n ,我們有n 0=1。
3.k 進制：一般地，對於k 進位制，每個數是由0，1，2，，1k -（）共k 個數碼組成，且“逢k 進一”．1k k >（）進位制計數單位是0k ，1k ，2k，．如二進位制的計數單位是02，12，22，，八進位制的計數單位是08，18，28，．知識點撥教學目標5-8-2.進制的應用4.k 進位制數可以寫成不同計數單位的數之和的形式1110110n n n n k n n a a a a a k a k a k a ---=⨯+⨯++⨯+（）十進位表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++；二進位表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++；為了區別各進位制中的數，在給出數的右下方寫上k ，表示是k 進位制的數 如：8352（），21010（），123145（）,分別表示八進位制，二進位制，十二進位制中的數．5.k 進制的四則混合運算和十進位一樣先乘除，後加減；同級運算，先左後右；有括弧時先計算括弧內的。
二、進制間的轉換：一般地，十進位整數化為k 進制數的方法是：除以k 取餘數，一直除到被除數小於k 為止，餘數由下到上按從左到右順序排列即為k 進制數．反過來，k 進制數化為十進位數的一般方法是：首先將k 進制數按k 的次冪形式展開，然後按十進位數相加即可得結果．如右圖所示:模組一、進制在生活中的運用【例 1】 有個吝嗇的老財主，總是不想付錢給長工。
小学奥数：进制的计算.专项练习
1.了解进制； 2.会将十进制数转换成多进制； 3.会将多进制转换成十进制； 4.会多进制的混合计算； 5.能够判断进制.一、数的进制1.十进制：我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
2.二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n ,我们有n 0=1。
3.k 进制：一般地，对于k 进位制，每个数是由0，1，2，L ，1k -（）共k 个数码组成，且“逢k 进一”．1k k >（）进位制计数单位是0k ，1k ，2k ，L ．如二进位制的计数单位是02，12，22，L ，八进位制的计数单位是08，18，28，L ．4.k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式1110110n n n n k n n a a a a a k a ka k a ---=⨯+⨯++⨯+L L （） 十进制表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++L ；二进制表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++L ；为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k ，表示是k 进位制的数如：8352（），21010（），123145（）,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数． 5.k 进制的四则混合运算和十进制一样先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
六年级奥数-进制与进位(学生版)
第十讲进制与进位我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
二进制：二进制的运算法则：注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。
n进制：进制间的转换：1.掌握进制之间的转换方法。
2.能用进制互化的方法解题。
例1:① 222(101)(1011)(11011)⨯-=________；② 2222(11000111(10101(11(-÷=））） ）；③ 4710(3021)(605)()+= ；④ 88888(63121)(1247)(16034)(26531)(1744)----=________；⑤ 若(1030)140n =，则n =________．例2:在几进制中有413100⨯=？例3:将二进制数(11010.11)2 化为十进制数为多少？例4:现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？例5:在6进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少?例6:试求(22006-1)除以992的余数是多少?例7:已知正整数N 的八进制表示为8(12345654321)N =，那么在十进制下，N 除以7的余数与N 除以9的余数之和是多少？A1.①852567(((=== ） ） ）；②在八进制中，1234456322--=________；③在九进制中，1443831237120117705766+--+=________．2.在几进制中有12512516324⨯=？3.二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？4.算式153********⨯=是几进制数的乘法？5.将二进制数11101001.1011转换为十六进制数。
B6.某数在三进制中为12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l 位数字是几?7.在7进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少？8.一个人的年龄用十进制数和三进制数表示，若在十进制数末尾添个“0”就是三进制数，求此人的年龄．9.N 是整数，它的b 进制表示是777，求最小的正整数b ，使得N 是十进制整数的四次方．10.计算2003(31)-除以26的余数．C11.计算2003(21)-除以7的余数．12.在8进制中，一个多位数的数字和为十进制中的68，求除以7的余数为多少？13.现有1斤、2斤、4斤、8斤、16斤的白糖各一袋，白糖整袋地卖，问顾客可买的斤数有多少种？14.求证：1821-能被7整除.15.一个自然数的六进制与九进制均为三位数, 并且它们各位数字的排列顺序恰好相反, 请问这个自然数是几?1.计算下列结果（仍用二进制表示）：（1）()()221101101⨯（2）()()22100111110⨯2.把下列十进制的数写成数码与计数单位乘积的和的形式:(1)()10732 (2)()101869 (3)()10976553.请你制造一个7进制的乘法表。
小学奥数数值原理与数的进制docx
5-7位置原理与数的进制教学目标本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。
通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。
并学会在其它进制中位值原理的应用。
从而使一些与数论相关的问题简单化。
知识点拨一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”，写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。
二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n，我们有n0=1。
n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
进制间的转换：如右图所示。
八进制十进制二进制十六进制例题精讲模块一、位置原理【例 1】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于______与______的差；【巩固】ab与ba的差被9除，商等于______与______的差；【巩固】ab与ba的和被11除，商等于______与______的和。
五年级下册数学试题奥数专项训练：进位制人教版(2012)
N进制的本质——“逢N进1”。
N进制的换算——“换十求余”。
换算的巧解——利用进制的幂次关系。
二进制的概念请写出十进制中2、4、8、16、32在二进制中的表示，并试着总结十进制中在二进制中的表示。
1. 1.（多项选择题）判断下列哪组的两个数都不可能是二进制数：A、201，100B、243，1001C、87，520D、102，11022. 2.（多项选择题）下列十进制5、9、17、33对应的二进制的表示中正确的是_________.A、5→101B、9→1001C、17→10001D、33→1000013. 3.（多项选择题）下面十进制中1、3、7、15对应的二进制表示正确的是________。
A、1→1B、3→11C、7→111D、15→11114. 4.请写出十进制数12的二进制表示形式_________二进制与十进制的转换判断下列哪些数可能是二进制，将可能的那些数转换为十进制，将不可能的看作十进制，转换为二进制。
26、37、15、1001、11101、101001.1. 1.将下列十进制数换算成二进制：(答案中间请用一个空格隔开答案并按题目顺序填写例:1 11 111)42 = 86 = 21 =213 = 349 = 652 =2. 2.十进制中的奇数在二进制中末尾是几？偶数呢？(答案中间请用一个空格隔开答案并按题目顺序填写例:1 1)3. 3.将下列二进制数换算成十进制：(答案中间请用一个空格隔开答案并按题目顺序填写例:1 2 3)10101=_______ 11111 =_______ 1100100 =_______二进制的计算1011011+110110 1101110-1011 10111*111010 101010100-1001. 1.计算下列二进制数算式：(答案中间请用一个空格隔开答案并按题目从左到右从上到下的顺序填写例:1 1 1 1) 101+101+110 = 1011+1011+1010 =111+111+101 = 10111-1100-101 =2. 2.计算下列二进制数算式：(答案中间请用一个空格隔开答案并按题目从左到右从上到下的顺序填写例:1 1 1 1) 11*11+1011= 101*110+10101=101+1110+10*1011= 1010101*111–10101=3. 3.计算下列二进制数算式：(答案中间请用一个空格隔开答案并按题目从左到右从上到下的顺序填写例:1 1 1 1)10101 * 100 = 111110 –1011 + 11 * 1011 =111 * 101010 –1110 = 101000 * 100 * 11 =八进制的概念请写出十进制中2、4、8、16、32、64 在八进制中的表示，并试着总结十进制中在八进制中的表示；再写出二进制中1000、1000000、100000000在八进制中的表示，并试着总结二进制中在八进制中的表示。
小学奥数模块教程进位制初步(四年级提尖春季)
进位制初步本讲知识1、各种特殊进制的认识2、不同进制间数的互化3、特殊进制的运算前铺知识1、整除特征初步2、整除特征进阶课前加油站1、1234=1个 +2个 +3个 +4个2、7个1+8个10+6个100+4个10000=3、23= 个16+ 个8+ 个4+ 个2+ 个1我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
进制间的转换：如右图所示。
1、 很久很久以前，人类没有数字这个概念，但是到了打猎的时候需要计算得到了多少猎物，于是他们只能掰手指头，数到10后就没有办法继续，所以就在墙上做了一个记号“”，代表1个，这就是十进制的来历。
既然十个手指等于一个，那么也可以用一个表示十个，以此类推。
（1） 一个等于多少个？一个等于多少个？（2） 以现在的角度来看，相当于数中的 位，相当于数中的 位，相当于数中的十进制 二进制十六进制八进制 模块1进制的认识和互化位。
（3）“”写成阿拉伯数字是多少？2、从语言习惯就可以看出，有的地方以前是用的是二十进制，比如德国。
德国人说“96”都是“四个20加一个16”，如果德国人的祖先也是用这种计数方法，那么：（1）德国的一个等于多少个？一个等于多少个？（2）以现在的角度来看，相当于二十进制中的“”位，相当于二十进制数中的“”，相当于二十进制中的“”位。
（3）写成二十进制的数是多少？（4）上题的数在十进制中代表多少个？【演练】如果人类的祖先每只手有七个手指头，计数方式同前面两题，那么（1）一个等于多少个？（2）写成十进制的数是多少？（3）按照书写习惯，一个数中最多有多少个，多少个，多少个？（4）十进制的100只在这里应该表示成什么？【演练】你来到一个陌生的星球，这个星球的人还处在用符号计数的阶段，这个星球的一只猎物用来表示，、代表的意义不变。
五年级奥数第50讲 进位制与位值原理-
【例5】 (★★★★) 在6进制中有三位数 abc ，化为9进制为 cba，求 这个三位数在十进制中为多少？
1
二、位值原理
【例6】 (★★★) 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新 的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原 数大8802 。求原来的四位数。
例3答案：① (11100)2 ② (11000000）2 ③ (500)10 例4答案：248
④ (13121)8
例5答案：22
）2
一、进位制 2．咱要了解的进位制： ⑴本质：n进制就是逢n进一 ⑵n进制下的数字最大为(n－1) 特别的：超过9的一般用大写英文字母表示 3．会变身的进位制：n进制和十进制的相互转化
【例3】 (★★★) ① (101)2(1011)2 (11011)2 ( ）2 ② (11000111）2 (10101）2 (11）2 ( ）2 ③ (3021)4 (605)7 ( )10 ④ (63121)8 (1247)8 (16034)8 (26531)8 (1744)8 ( )2
进位制与位值原理
一、进位制 1．缤纷多彩的进位制：
六十 进制 二十 进制
二进 制 … … 十六 进制
五进 制 十二 进制
【例1】 (★★★) 把下列各数转化成十进制数： ⑴ (463)8；⑵ (2BA)12；⑶ (5FC)16。
【例2】 (★★★) ⑴把85化成二进制数。 ⑵ (567)10 ( ）8 ( ）5 (
【例7】 (★★★) 有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数， 如果这6个三位数的和是1554 ，那么这3个数字分 别是＿。
(小学奥数)进制的计算
1. 瞭解進制；2. 會將十進位數轉換成多進制；3. 會將多進制轉換成十進位；4. 會多進制的混合計算；5. 能夠判斷進制.一、數的進制1.十進位：我們常用的進制為十進位，特點是“逢十進一”。
在實際生活中，除了十進位計數法外，還有其他的大於1的自然數進位制。
比如二進位，八進制，十六進制等。
2.二進位：在電腦中，所採用的計數法是二進位，即“逢二進一”。
因此，二進位中只用兩個數字0和1。
二進位的計數單位分別是1、21、22、23、……，二進位數也可以寫做展開式的形式，例如100110在二進位中表示為：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二進位的運算法則：“滿二進一”、“借一當二”，乘法口訣是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：對於任意自然數n ,我們有n 0=1。
3.k 進制：一般地，對於k 進位制，每個數是由0，1，2，，1k -（）共k 個數碼組成，且“逢k 進一”．1k k >（）進位制計數單位是0k ，1k ，2k，．如二進位制的計數單位是02，12，22，，八進位制的計數單位是08，18，28，．4.k 進位制數可以寫成不同計數單位的數之和的形式知識點撥教學目標5-8-1.進制的計算1110110n n n n k n n a a a a a k a k a k a ---=⨯+⨯++⨯+（）十進位表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++；二進位表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++；為了區別各進位制中的數，在給出數的右下方寫上k ，表示是k 進位制的數如：8352（），21010（），123145（）,分別表示八進位制，二進位制，十二進位制中的數．5.k 進制的四則混合運算和十進位一樣先乘除，後加減；同級運算，先左後右；有括弧時先計算括弧內的。
2018最新五年级奥数.数论.进制的性质及应用(ABC级).学生版
知识结构一、数的进制（1）十进制：我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
（2）二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n ,我们有n 0=1。
（3）k 进制：一般地，对于k 进位制，每个数是由0，1，2， ，1k -（）共k 个数码组成，且“逢k 进一”．1k k >（）进位制计数单位是0k ，1k ，2k ， ．如二进位制的计数单位是02，12，22， ，八进位制的计数单位是08，18，28， ．（4）k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式1110110n n n n k n n a a a a a k a ka k a ---=⨯+⨯++⨯+ （）十进制表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++ ；二进制表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++ ；为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k ，表示是k 进位制的数如：8352（），21010（），123145（）,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数．（5）k 进制的四则混合运算和十进制一样先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
二、进制间的转换：进制的性质与应用一般地，十进制整数化为k 进制数的方法是：除以k 取余数，一直除到被除数小于k 为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为k 进制数．反过来，k 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．如右图所示:欢迎关注：“奥数轻松学”十进制二进制十六进制八进制重难点1．几进制就是逢几进一，借一当几。
小学六年级奥数系列讲座：进位制问题(含答案解析)
进位制问题内容概述本讲不着重讨论n进制中运算问题，我们是关心n这个数字，即为几进制．对于进位制我们要注意本质是：n进制就是逢n进一．但是，作为数论的一部分，具体到每道题则其方法还是较复杂的．说明：在本讲中的数字，不特加说明，均为十进制．典型问题1．在几进制中有4×13=100．【分析与解】我们利用尾数分析来求解这个问题：不管在几进制均有(4)10×(3)10=(12)10．但是，式中为100，尾数为0．也就是说已经将12全部进到上一位．所以说进位制n为12的约数，也就是12，6，4，3，2．但是出现了4，所以不可能是4，3，2进制．我们知道(4)10×(13)10=(52)10，因52<100，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是我们知道n<10．所以，n只能是6．2．在三进制中的数12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几?【分析与解】我们如果通过十进制来将三进制转化为九进制，那运算量很大．注意到，三进制进动两位则我们注意到进动了3个3，于是为9．所以变为遇9进1．也就是九进制．于是，两个数一组，两个数一组，每两个数改写为九进制，如下表：12 12 0l20 11 01 10 12 11 21 3进制5 5 l6 4 1 3 5 47 9进制所以，首位为5．评注：若原为n进制的数，转化为n k进制，则从右往左数每k个数一组化为n k 进制．如：2进制转化为8进制，23=8，则从右往左数每3个数一组化为8进制．10 100 001 101 2进制2 4 1 5 8进制(10100001101)2=(2415)8．3．在6进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少?【分析与解】(abc)6=a×62＋b×6+c=36a+6b+c；(cba)9=c×92+b×9+a=81c+9b+a．所以36a+6b+c=81c+9b+a；于是35a=3b+80c；因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数．所以3b也必须是5的倍数，又(3，5)=1．所以，b=0或5．①当b=0，则35a=80c；则7a=16c；(7，16)=1，并且a、c≠0，所以a =16，c =7：但是在6,9进制，不可以有一个数字为16．②当b =5，则35a =3×5+80c ；则7a =3+16c ；mod 7后，3+2c ≡0 所以c =2或者2+7k (k 为整数)．因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c =2．于是，35a =15+80×2；a =5．于是(abc )6 =(552)6=5×62+5×6+2=212． 所以．这个三位数在十进制中为212．4．设1987可以在b 进制中写成三位数xyz ，且x y z ++=1+9+8+7，试确定出所有可能的x 、y 、z 及b ．【分析与解】 我们注意2()19871987b xyz b x by z x y z ⎧=++=⎨++=+++⎩①②①-②得：(2b -1)x +(b -1)y =1987-25． 则(b -1)(b +1)x +(b -1)y =1962， 即(b -1)[(b +1)x +y ]=1962． 所以，1962是(b -1)的倍数． 1962=2×9×109：当b -1=9时，b =10，显然不满足；当b -1=18时，b =19，则（b -1)[(b +1)x +y ]=18×(20x +y )=1962；则20x +y =109，所以，545,(929911b x x x y y y z ⎧⎪===⎧⎧⎪⎨⎨⎨===⎩⎩⎪⎪=⎩=19不满足),......则 显然，当b =109不满足，b =2×109不满足，当b =9×109也不满足． 于是为(59B)19=(1987)10，B 代表11．5．下面加法算式中不同字母代表不同的数字，试判定下面算式是什么进制，A 、B 、C 、D 的和为多少? 【分析与解】于是，我们知道n =4，所以为4进制，则 A+B+C+D=3+1+2+0=6．6. 一个非零自然数，如果它的二进制表示中数码l 的个数是偶数，则称之为“坏数”.例如：18=（10010）2是“坏数”．试求小于1024的所有坏数的个数. 【分析与解】 我们现把1024转化为二进制： (1024)10=210=(10000000000)2．于是，在二进制中为11位数，但是我们只用看10位数中情况． 并且，我们把不足10位数的在前面补上0，如502111...10000...0⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭5个1个或以上912111...1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个=9120111...1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个则，10* * * * * * * * * *⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个位置可以含2个l ，4个1，6个1，8个l ，10个1．于是为2268101010101010C C C C C ++++ =10910987109876510987654312123412345612345678⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋ =45+210+210+45+1=511于是，小于1024的“坏数”有511个.7．计算：2003333 3...31⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭个26的余数． 【分析与解】2003333 3...31⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭个=2003331000...01⎛⎫⨯-⎪ ⎪⎝⎭个=20033222...2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个226=(222)3所以，2003333 3...31⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭个÷26=20033222...2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个2÷(222)3 (222)3整除(222)3，2003÷3：667……2，所以余(22)3=8． 所以余数为8．8．一个10进制的三位数，把它分别化为9进制和8进制数后，就又得到了2个三位数．老师发现这3个三位数的最高位数字恰好是3、4、5，那这样的三位数一共有多少个?【分析与解】 我们设(3ab )10=(4cd )9=(5ef )8；我们知道(4cd )9 在(400)9～(488)9之间，也就是4×92～5×92-1，也就是324～406；还知道(5ef )8 在(500)8～(577)8之间，也就是5×82～6×82-1，也就是320～383；又知道(3ab )10 在(300)10～(399)10之间．所以，这样的三位数应该在324～383之间，于是有383-324+1=60个三位数满足条件.9. 一袋花生共有2004颗，一只猴子第一天拿走一颗花生，从第二天起,每天拿走的都是以前各天的总和．①如果直到最后剩下的不足以一次拿走时却一次拿走，共需多少天? ②如果到某天袋里的花生少于已拿走的总数时，这一天它又重新拿走一颗开始，按原规律进行新的一轮．如此继续，那么这袋花生被猴子拿光的时候是第几天?【分析与解】①我们注意到每天 1 2 3 4 8 16 32 64 …前若干天的和…210<2004<211前1天为1，前2天为21，前3天是22，所以前11天为210，前12天是211,也就是说不够第11天拿的，但是根据题中条件知．所以共需12天.②每天 1 1 2 4 8 16 32 64 …前若干天的和1 2 4 8 16 32 64 128 …改写为2进制111010001000100000100000010000000…2004=(11111010100)2,(10+1)+(9+1)+(8+1)+(7+1)+(6+1)+(4+1)+(2+1) =11+10+9+8+7+5+3=53天．。
小学四年级奥数 认识进制
例如：
式子中使用的下脚注 8 表示括号里的数是八进制数，有时用 O 代替下脚注 8。
(123.45)8
=
1 82
+
28
+
31+
4
1 8
+
5
1 8
2
10
=
(83.578125)10
十六进制
在十六进制数中，每一位有 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A(表示 10)、B(表示 11)、C(表示 12)、 D(表示 13)、E(表示 14)、F(表示 15)十六个数码，所以计数的基数是 16。超过 15 的数必须用多位数表 示，其中低位和相邻高位之间的关系是“逢十六进一”，故称十六进制。
2
10
10
( ) ⑵ (314)5 = 3 52 +1 5 + 4 1 10 = (84)10 ；
( ) ⑶ ( AB0) = 10 122 +1112 + 0 1 = (1572) ；
12
10
10
⑷
(3.14) 5
=
3 1 + 1
1 5
+
4
1
2
5
10
=
(3.36) 10
；
⑸
(215.3) 6
2
2
⑵ (100001)2 (11)2 = (
)； 2 )2 ；
5．已知： 2x + 2y + 2z = 41，不同的字母代表不同的数字，则三位数 xyz = _________________ 。
5
答案
1．答案：
( ) ⑴ (10001) = 1 24 + 0 23 + 0 22 + 0 21 +11 = (17) ；
小学奥数教程之进制的计算 教师版 全国通用
小学奥数教程之进制的计算教师版全国通用5-8-1.进制的计算教学目标1.了解进制；2.会将十进制数转换成多进制；3.会将多进制转换成十进制；4.会多进制的混合计算；5.能够判断进制.知识点拨一、数的进制1.十进制：我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
2.二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．如右图所示: 模块一、十进制化成多进制【例 1】 把9865转化成二进制、五进制、八进制，看看谁是最细心的。
【考点】十进制化成多进制 【难度】3星 【题型】解答【解析】 一定要强调两点（1）商到0为止，（2）自下而上的顺序写出来【答案】102(9865)(10011010001001)=,105(9865)(303430)=,108(9865)(23211)= 【考点】十进制化成多进制 【难度】3星 【题型】解答【解析】 本题是进制的直接转化：852567(1067(4232(1000110111===）））； 十进制 二进制十六八进制例题精讲【答案】852）））===567(1067(4232(1000110111模块二、多进制转化成十进制【例2】将二进制数(11010.11)2 化为十进制数为多少？【考点】多进制转化成十进制【难度】3星【题型】解答【解析】根据二进制与十进制之间的转化方法，(11010.11)2=1×24+1×23+0×22+1×21+0×20+1×2-1+1×2-2=16+8+0+2+ 0+0.5+0.25=26.75。
小学奥数之进制的计算(含详细解析)
1. 了解进制；2. 会将十进制数转换成多进制；3. 会将多进制转换成十进制；4. 会多进制的混合计算；5. 能够判断进制.一、数的进制1.十进制：我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
2.二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n ,我们有n 0=1。
3.k 进制：一般地，对于k 进位制，每个数是由0，1，2，，1k -（）共k 个数码组成，且“逢k 进一”．1k k >（）进位制计数单位是0k ，1k ，2k ，．如二进位制的计数单位是02，12，22，，八进位制的计数单位是08，18，28，．4.k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式1110110n n n n k n n a a a a a k a ka k a ---=⨯+⨯++⨯+（）十进制表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++； 二进制表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++；为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k ，表示是k 进位制的数如：8352（），21010（），123145（）,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数．5.k 进制的四则混合运算和十进制一样先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
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n进制问题（18年2月21日）
某自然数m在6进制下和9进制下都是3位数，在6进制下形如abc,在9进制下形如cba。
请问自然数m是多少？
答案：212。
讲解思路：
复习一下整数进制的基础知识：
进制也叫进位制，
是人们规定的一种进位方法。
我们常用的十进制运算时是逢10进1位。
n进制运算时就是逢n进1位。
比如7进制数125换算为十进制数是68，
因为:1*7*7+2*7+5=68；
比如十进制数68换算为9进制数是75，
因为68=7*9+5。
步骤1：
先思考第一个问题，
a,b,c的范围是什么？
在n进制下，
由于要每逢n进一位，
故每一位上的数字都比n小。
所以，a,b,c都小于6。
步骤2：
再思考第二个问题，
m如何用a,b,c表示？
m在6进制下是abc,
故m=a*6*6+b*6+c=36a+6b+c;
m在9进制下是cba,
故m=c*9*9+b*9+a=81c+9b+a。
步骤3：
再思考第三个问题，
满足条件的a,b,c是多少,
m又是多少？
从步骤2知道，
36a+6b+c=81c+9b+a，
化简即:
3b=35a-80c=5(7a-16c),
因此b是5的倍数。
由于(7a-16c)不可能是0，
故b也不可能是0，
而b又小于6，
因此b=5。
代入上式有3=7a-16c,
由于a和c的范围是1-5，
故35 >= 7a >16c >= 16,
满足上面不等式的c必须小于等于2，
因此c=1或2，
代入3=7a-16c中验证,
只有c=2,a=5时才满足等式。
所以m=36a+6b+c=212。
思考题：
某自然数m在5进制下和7进制下都是2位数，组成这两个2位数的数字相同，但顺序恰好相反。
请问自然数m是多少？
完全平方数问题（18年3月4日）
某自然数加上38是一个完全平方数，减去38还是完全平方数，请问该自然数是多少？
答案：362。
讲解思路：
看到这道题，
自然想到，
假设该数是m，
则m+38=a^2,
m-38=b^2。
此时问题的关键就在于求a和b。
步骤1：
先思考第一个问题，
a和b之间有什么关系？
由于m+38=a^2,
m-38=b^2，
用第一个等式减去第二个等式，
得到76=a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
步骤2：
再思考第二个问题，
m是多少？
从步骤1知道，
a+b和a-b的乘积是76，
由于a+b和a-b同奇或同偶，
在76的分解因数中，
只有38和2的奇偶性相同，
故a+b=38,a-b=2,
即a=20,b=18,
所以，m=362。
思考题：
小明说他找到了一个自然数m，满足m减去69是完全平方数，且m加上69也是完全平方数。
请问小明的说法正确么？
进制问题（18年3月6日）
某个自然数a在m进制下是45，在n进制下是54。
请问a最小是多少？
答案：49。
讲解思路：
复习一下整数进制的基础知识：
进制也叫进位制，
是人们规定的一种进位方法。
我们常用的十进制运算时是逢10进1位。
n进制运算时就是逢n进1位。
比如7进制数125换算为十进制数是68，因为:1*7*7+2*7+5=68；
比如十进制数68换算为9进制数是75，因为68=7*9+5。
步骤1：
先思考第一个问题，
m和n的范围是多少？
由于在这两个进制下，
自然数a分别是45和54，
说明m和n都比5大。
步骤2：
再思考第二个问题，
m和n满足什么关系？
a在m进制下是45，
即a=4m+5;
a在n进制下是54，
即a=5n+4。
故：4m+5=5n+4，
即:4(m-1)=5(n-1)。
步骤3：
综合上述两个问题，
考虑a的最小值。
要使a最小，
肯定是n最小。
从步骤2知道，
n-1是4的倍数；
从步骤1知道，
n>5。
因此n最小是9，
此时a=5*9+4=49。
所以a最小是49。
思考题：
某个两位数a在m进制下是45，在n进制下是54。
请问a最大是多少？
n进制（17年1月17日）
题目一（简单）
通常我们采用的是十进制，在计算机中，我们采用的是二进制。
二进制中只有0和1两个数，采用的是逢2进1，比如二进制中的10代表的就是十进制中的2（因为十进制中1*2+0*1=2），二进制中的11代表的是十进制中3（因为十进制中1*2+1*1=3）。
那么，请问十进制数10在二进制中怎么表示？
题目二（中等难度）
通常我们采用的是十进制，在计算机中，我们采用的是二进制。
二进制中只有0和1两个数，采用的是逢2进1，比如二进制中的10代表的就是十进制中的2（因为十进制中1*2+0*1=2），二进制中的11代表的是十进制中3（因为十进制中1*2+1*1=3）。
类似的，可以定义三进制。
那么，请问十进制数10在三进制中怎么表示？
题目三（进阶思考）
通常我们采用的是十进制，在计算机中，我们采用的是二进制。
二进制中只有0和1两个数，采用的是逢2进1，比如二进制中的10代表的就是十进制中的2（因为十进制中1*2+0*1=2），二进制中的11代表的是十进制中3（因为十进制中1*2+1*1=3），二进制中的0.1代表的是十进制中的0.5,二进制中的0.01代表的是十进制中的0.25。
类似的，可以定义五进制。
那么，请问十进制小数10.84在五进制中怎么表示?
n进制（18年2月4日）
某自然数m在7进制下和9进制下都是3位数，组成这两个3位数的数字相同，但顺序恰好相反。
请问自然数m是多少？
答案：248。
讲解思路：
这种n进制的问题，
首先要熟悉进制的换算。
先复习一下整数进制的基础知识：
进制也叫进位制，
是人们规定的一种进位方法。
我们常用的十进制运算时是逢10进1位。
n进制运算时就是逢n进1位。
比如7进制数125换算为十进制数是68，因为:1*7*7+2*7+5=68；
比如十进制数68换算为9进制数是75，因为68=7*9+5。
对于这道题，
假设m在7进制下的三位数是abc,
根据题目中的数字关系，
m在9进制下的三位数是cba。
步骤1：
先思考第一个问题，
a,b,c的范围是什么？
在n进制下，
由于要每逢n进一位，
故每一位上的数字都比n小。
所以，b的范围是0-7,
a和c的范围是1-7。
步骤2：
再思考第二个问题，
m如何用a,b,c表示？
m在7进制下是abc,
故m=a*7*7+b*7+c=49a+7b+c;
m在9进制下是cba,
故m=c*9*9+b*9+a=81c+9b+a。
步骤3：
再思考第三个问题，
满足条件的a,b,c是多少,
m又是多少？
从步骤2知道，
49a+7b+c=81c+9b+a，
化简即:
b=24a-40c=8(3a-5c),
因此b是8的倍数。
从步骤1中知道b的范围是0-7，
故：b=0。
代入上式有3a-5c=0,
即3a=5c,
因此a是5的倍数，
又因为a的范围是1-7,
故a=5，
代入得c=3，
所以：m=49a+7b+c=248。
思考题：
某自然数m在7进制下和9进制下都是2位数，组成这两个2位数的数字相同，但顺序恰好相反。
请问自然数m是多少？。