离散数学答案(刘玉珍 编著)

习题1.1

1、（1）否

（2）否

（3）是，真值为0

（4）否

（5）是，真值为1

2、（1）P：天下雨 Q：我去教室┐P → Q

（2）P：你去教室 Q：我去图书馆 P → Q

（3）P，Q同（2） Q → P

（4）P：2是质数 Q：2是偶数 P∧Q

3、（1）0

（2）0

（3）1

4、（1）如果明天是晴天，那么我去教室或图书馆。

（2）如果我去教室，那么明天不是晴天，我也不去图书馆。

（3）明天是晴天，并且我不去教室，当且仅当我去图书馆。

习题1.2

1、（1）是

（2）是

（3）否

（4）是

（5）是

（6）否

2、（1）(P → Q) →R，P → Q，R，P，Q

（2）(┐P∨Q) ∨（R∧P），┐P ∨ Q，R∧P，┐P，Q，R，P

（3）((P → Q) ∧ (Q → P)) ∨┐(P → Q))，(P → Q) ∧(Q → P)，┐(P → Q)，P → Q，(Q → P)，P → Q，P，Q，Q，P，P，Q

3、（1）((P → Q) → (Q → P)) → (P → Q)

（2）((P → Q) ∨ ((P → Q) → R))→ ((P → Q) ∧ ((P → Q) → R)) （3）(Q → P∧┐P) → (P∧┐P → Q)

4、(P → Q) ∨ ((P∧Q) ∨ (┐P∧┐Q)) ∧ (┐P∨Q)

习题1.3

1、（1）I(P∨(Q∧R)) = I(P)∨(I(Q)∧I(R)) = 1∨(1∧0) = 1

（2）I((P∧Q∧R)∨(┐(P∨Q)∧┐(R∨S))) = (1∧1∧0)∨(┐(1∨1)∧┐(0∨1)) = 0∨(0∧0) = 0

（3）I((P←→R)∧(┐Q→S)) = (1←→0)∧(┐1→1) = 0∧1 = 0

（4）I((P∨(Q→R∧┐P))←→(Q∨┐S)) = (1∨(1→(0∧┐1)))←→(1∨┐1) = 1←→1 = 1

（5）I(┐(P∧Q)∨┐R∨((Q←→┐P)→R∨┐S)) = ┐(1∧1)∨┐0∨((1←→┐1)→(0∨┐1)) = 0∨1∨1 = 1

3、（1）原式 <=> F→Q <=> T 原式为永真式

（2）原式 <=> ┐T∨(┐(┐P∨Q)∨(┐┐Q∨┐P)) <=> (P∧┐Q)∨(Q∨┐P)

<=> (P∧┐Q)∨┐(P∧┐Q) <=> T 原式为永真式

（3）原式 <=> ┐(P∧Q) ←→┐(P∧Q) <=> T 原式为永真式

（4）原式 <=> P∧(Q∨R) ←→ P∧(Q∨R) <=> T 原式为永真式

（5）原式 <=> ┐(P∨┐Q)∨Q <=> (┐P∧Q)∨Q <=> Q 原式为可满足式（6）原式 <=> ┐(P∧Q)∨P <=> ┐P∨┐Q∨P <=> T∨┐Q <=> T 原式为永真式

（7）原式 <=> (┐P∨P∨Q)∧┐P <=> (T∨Q)∧┐P

<=> T∧┐P <=> ┐P 原式为可满足式

（8）原式 <=> ┐((P∨Q) ∧(┐Q∨R))∨(┐P∨R) <=> (P∧┐Q)∨(Q∧┐R)∨(┐P∨R)

<=> ((P∧┐Q)∨┐P)∨((Q∧┐R)∨R)

<=>(( P∨┐P)∧(┐Q∨┐P))∨(( Q∨R)∧(┐R∨R))

<=> (┐Q∧┐P)∨( Q∨R) <=> T 原式为永真式

4、（1）左 <=> ┐P∨┐Q∨P <=> ┐┐P∨(┐P∨┐Q) <=> 右

（2）左 <=> ┐(┐P∨Q) <=> 右

（3）左 <=> ┐(P∧Q)∨P <=> ┐P∨┐Q∨P <=> T∨┐Q <=> 右

（4）左 <=> ┐(P→Q)∨┐(Q→P) <=> (P∧┐Q)∨(Q∧┐P) <=> 中

<=> ((P∧┐Q)∨Q)∧((P∧┐Q)∨┐P)

<=> (P∨Q)∧(┐Q∨Q)∧(P∨┐P)∧(┐Q∨┐P)

<=> (P∨Q)∧┐(P∧Q) <=> 右

∧(⌝R∨Q)⇔⌝(P∨Q)∨Q⇔右

(5)左⇔(⌝P∨Q)

5.(1)左⇒Q⇒⌝P∨Q⇒右

(2)(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))

⇔⌝(⌝P∨⌝Q∨R)∨⌝(⌝P∨Q) ∨(⌝P∨R)

⇔(P∧Q∧⌝R)∨(P∧⌝Q)∨⌝P∨R

⇔(P∧Q∧⌝R)∨((P∨⌝P)∧(⌝Q∨⌝P))∨R

⇔(P∧Q∧⌝R)∨(⌝Q∨⌝P∨R)

⇔(P∧Q∧⌝R) ∨⌝(P∧Q∧⌝R)

⇔T

故P→(Q→R)⇒(P→Q)→(P→R)

(3).(P→Q)→(P→P∧Q)

⇔⌝(⌝P∨Q)∨⌝P∨(P∧Q)

⇔⌝(⌝P∨Q)∨(⌝P∨P)∧(⌝P∨Q)

⇔⌝(⌝P∨Q)∨(⌝P∨Q)

⇔T

故P→Q⇒P→P∧Q

(4).((P→Q) →Q) →P∨Q

⇔⌝(⌝(⌝P∨Q) ∨Q) ∨P∨Q

⇔((⌝P∨Q)∧⌝Q)∨P∨Q

⇔(⌝P∧⌝Q)∨(Q∧⌝Q) ∨P∨Q

⇔⌝(P∨Q)∨(P∨Q)

⇔T

故(P→Q) →Q⇒P∨Q

(5).((P∨⌝P)→Q)∧((P∨⌝P)→R)→(Q→R)

⇔⌝((⌝T∨Q)∧(⌝T∨R)) ∨⌝Q∨R

⇔⌝(Q∧R)∨⌝Q∨R

⇔⌝Q∨⌝R∨⌝Q∨R

⇔⌝Q∨T

⇔T

故((P∨⌝P) →Q)∧((P∨⌝P)→R)⇒Q→R

(6)左⇔(Q→F)∧(R→F)

⇔(⌝Q∨F)∧(⌝R∨F)

⇔⌝Q∧⌝R

⇒⌝R

⇒⌝R∨Q⇔右

6.(1)原式⇔(⌝P∧⌝Q∧R)

(2)原式⇔⌝P∨⌝Q∨P⇔⌝(P∧Q∧⌝P)

(3)原式⇔P∨(Q∨⌝R∨P)⇔P∨Q∨⌝R⇔⌝(⌝P∧⌝Q∧R)

7.(1)原式⇔⌝(⌝P∨⌝Q∨P)

(2)原式⇔(⌝P∨Q∨⌝R) ∧⌝P∧Q⇔⌝(⌝(⌝P∨Q∨⌝R)∨P∨⌝Q)

(3)原式⇔⌝P∧⌝Q∧ (R∨P) ⇔⌝(P∨Q∨⌝(R∨P))

8. (1) (P∨Q)∧((⌝P∧ (⌝P∧Q))∨R)∧⌝P

(2)(P∨Q∨R)∧(⌝P∧R)

(3)(P∨F)∧(Q∨T)

习题1.4

1.(1)原式⇔⌝(⌝P∨⌝Q)∨((⌝P∨⌝Q)∧(Q∨P))

⇔⌝(⌝P∨⌝Q)∨(Q∨P)

⇔(P∧Q) ∨Q∨P

⇔Q∨P,既是析取范式又是合取范式

(2)原式⇔((⌝P∨Q)∨(⌝P∨⌝Q))∧(⌝(⌝P∨Q) ∨⌝(⌝P∨⌝Q)) ⇔(P∧Q)∨(P∧⌝Q) 析取范式

⇔P∧(Q∨⌝Q)合取范式

(3)原式⇔⌝P∨Q∨⌝S∨ (⌝P∧Q)析取范式

⇔(⌝P∨(⌝P∧Q))∨Q∨⌝S