两个重要极限
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2.6两个重要极限
存在, 那末 lim f (x) 存在, 且等于A .
x→x0 (x→∞)
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例1 求 lim (
n→∞
1 n +1
2
+
1 n +2
2
+⋯+
1 <
1 n +n
2
).
解
∵
n n +n
2
<
1 n +1
2
+⋯+
= 1,
n n +1
2
n +n
2
,
又 lim
n n2 + n
n→∞
n→ ∞
lim
由夹逼定理得
A 2 = 3 + A,
解得 A = 1 + 13 . 2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 + 13 1 − 13 , A= 2 2
(舍去) 舍去)
∴ lim xn =
n→∞
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二、两个重要极限
sin x =1 (1) lim x→0 x
π 设单位圆 O, 圆心角 ∠AOB = x, ( 0 < x < ) 2
C B
o
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1 x lim 可以证明 (1+ ) = e. x→∞ x
lim 同时还有 (1+ x) = e.
x→0
1 1 1t x 证明 令 t = , lim(1+ x) = lim(1+ ) = e. t →∞ t x x→0
1 x
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2.6 两个重要极限
2
).
解
因为
n 1 1 n , < +⋯+ < 2 2 2 2 n +n n +1 n +n n +1
n 1 又 lim 2 = lim = 1, n→ ∞ n + n n→ ∞ 1 1+ n n 1 lim 2 = lim = 1, 由夹逼准则得 n→ ∞ n + 1 n→ ∞ 1 1+ 2 n 1 1 1 lim ( 2 ) = 1. + +⋯+ 2 2 n→ ∞ n +1 n +2 n +n
显然 f ( n + 1) > f ( n), 所以 f ( n ) 是单调递增的 ;
1 1 1 1 f ( n) < 1 + 1 + + ⋯ + < 1 + 1 + + ⋯ + n −1 2! n! 2 2
所以 f ( n )是有界的 ; 1n 所以 lim xn 存在. 记为lim(1 + ) = e (e = 2.71828⋯ ) n→ ∞ n→∞ n
这个重要极限, 可写成 这个重要极限
lim u u→0
sinu
= 1 其中, u可以为函数.
例2.
sin kx 求 lim x →0 x
sin kx sin kx 解:lim = lim k ⋅ x →0 x →0 x kx
sin kx = k ⋅ lim x → 0 kx
= k·1= k
例3.
∵ f ( x ) g( x ) = f ( x ) g( x ) ≤ M f ( x )
∴ − M f ( x ) ≤ f ( x ) g( x ) ≤ M f ( x )
).
解
因为
n 1 1 n , < +⋯+ < 2 2 2 2 n +n n +1 n +n n +1
n 1 又 lim 2 = lim = 1, n→ ∞ n + n n→ ∞ 1 1+ n n 1 lim 2 = lim = 1, 由夹逼准则得 n→ ∞ n + 1 n→ ∞ 1 1+ 2 n 1 1 1 lim ( 2 ) = 1. + +⋯+ 2 2 n→ ∞ n +1 n +2 n +n
显然 f ( n + 1) > f ( n), 所以 f ( n ) 是单调递增的 ;
1 1 1 1 f ( n) < 1 + 1 + + ⋯ + < 1 + 1 + + ⋯ + n −1 2! n! 2 2
所以 f ( n )是有界的 ; 1n 所以 lim xn 存在. 记为lim(1 + ) = e (e = 2.71828⋯ ) n→ ∞ n→∞ n
这个重要极限, 可写成 这个重要极限
lim u u→0
sinu
= 1 其中, u可以为函数.
例2.
sin kx 求 lim x →0 x
sin kx sin kx 解:lim = lim k ⋅ x →0 x →0 x kx
sin kx = k ⋅ lim x → 0 kx
= k·1= k
例3.
∵ f ( x ) g( x ) = f ( x ) g( x ) ≤ M f ( x )
∴ − M f ( x ) ≤ f ( x ) g( x ) ≤ M f ( x )
两个重要极限
x 0 x 0
两边夹定理可知， lim | sin x | 0 , 从而 lim sin x 0.
图 2.13 例6.2 证明 lim cos x 1.
x 0
2 x x x 证 当 x 在 0 附近，即当 | x | 时, 由半角公式知 0 1 cos x 2 sin 2 2( )2 . 2 2 2 2
36
1 n 重要极限二： lim (1 ) e. n n 1 n 我们可以利用单调有界数列必有极限来证明 lim (1 ) 的存在性。 n n 1 n 证 设 f (n) (1 ) . 先证 f (n) 单调增加。事实上，由二项式展开有 n 1 n n 1 n( n 1) 1 n( n 1)(n 2) 1 f ( n) (1 ) 1 2 3 n 1! n 2! n 3! n n( n 1)(n 2)...(n n 1) 1 ﹢ n n! n 1 1 1 1 1 2 1 (1 ) (1 )(1 ) 1! 2! n 3! n n 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ). 同理有 n! n n n 1 n 1 1 1 1 1 2 1 f (n 1) (1 ) 1 (1 ) (1 )(1 ) n 1 1! 2! n 1 3! n 1 n 1 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ) n! n 1 n 1 n 1
n
例 6.13
求 lim
sin x . sin x sin(x) lim 2 2 x x ( x x)(x)
lim 例 6.14
2 2 sin( x) lim 1 . x x x x 2 2
例 6.8
两边夹定理可知， lim | sin x | 0 , 从而 lim sin x 0.
图 2.13 例6.2 证明 lim cos x 1.
x 0
2 x x x 证 当 x 在 0 附近，即当 | x | 时, 由半角公式知 0 1 cos x 2 sin 2 2( )2 . 2 2 2 2
36
1 n 重要极限二： lim (1 ) e. n n 1 n 我们可以利用单调有界数列必有极限来证明 lim (1 ) 的存在性。 n n 1 n 证 设 f (n) (1 ) . 先证 f (n) 单调增加。事实上，由二项式展开有 n 1 n n 1 n( n 1) 1 n( n 1)(n 2) 1 f ( n) (1 ) 1 2 3 n 1! n 2! n 3! n n( n 1)(n 2)...(n n 1) 1 ﹢ n n! n 1 1 1 1 1 2 1 (1 ) (1 )(1 ) 1! 2! n 3! n n 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ). 同理有 n! n n n 1 n 1 1 1 1 1 2 1 f (n 1) (1 ) 1 (1 ) (1 )(1 ) n 1 1! 2! n 1 3! n 1 n 1 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ) n! n 1 n 1 n 1
n
例 6.13
求 lim
sin x . sin x sin(x) lim 2 2 x x ( x x)(x)
lim 例 6.14
2 2 sin( x) lim 1 . x x x x 2 2
例 6.8
两个重要极限
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics
sin x 1. lim =1 x0 x
1 0.75 0.5 0.25
f ( x)
5
s i nx x
10 15
-15
-10
-5
o
-0.25 -0.5
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
例10
解
求极限
2x 3 x lim( ) . x 2 x 1
2x 3 x 2 l i m( ) l i m(1 )x x 2 x 1 x 2x 1
2 x 1 2 x 2 2 x 1
2 lim(1 ) x 2x 1
2 lim(1 ) x 2x 1
2 x 1 1 2 2
e
2x x 2 x 1 lim
e.
2 (1 ) 2x 1 lim 1 x 2 2 (1 ) 2x 1
2 x 1 2
e.
高等数学
advanced mathematics
3 1 另解: 2x 3 x 2x )x l i m( ) l i m( x 2 x 1 x 1 1 2x 3 x 3 x l i m(1 ) (1 ) x 2x 2 x lim x 1 x 1 x l i m(1 ) (1 ) x 2x 2x
4x 1 5 x
解
4 2 (2)求 lim(1 ) x 3x 3x 3x 4 2 4 4 2 e2 lim(1 ) lim(1 ) x x 3x 3x
e .3 x
第五节 两个重要极限
x u 5
类型5： 幂指式的极限，先利用幂的有关运 算把式子变换成含有标准式，再用公式
求.
练习
3 x 2x 求 lim( ) . x 2 x
极限的常用计算方法
1.代入法
x 4 3x 8 lim 2 x 2 x x 3
0 2.多项式的 型，分子分母同时分解， 0 约掉同为无穷小的公因
第5节 两个重要极限
sin x 1. lim 1. x 0 x
sin x 观察函数 当 x 0时的变化趋势 . x
y sin x x
sin x 重要极限lim 1的使用要求: x 0 x
1、式中含有三角函数的分式； 2、分母与正玄函数的角变量相同； 3、角变量趋近于0. sin x 重要极限lim 1的推广(类型四) : x 0 x 公式 要求
x
1 2
例5
计算li m 1 x .
x 0 2 x
解 方法1 令 u = -x,因为 x 0 时 u 0，
( 所以 l i m 1 x l i m 1 u)
x 0 2 x u0
2 u
lim
u0
1
(1 u)
1 . 2 2 1 e u
x 0
2 5 x
答案： e
6
有时，所给函数在自变量的某个趋向 下，底的极限为1，指数的极限为无穷，
人们称这类极限为1 ”型未定式. “
1 重要极限lim 1 e的使用要求: x x
(1)幂指式的底是由1与一个接近于0的变量和 (2)底中的变量与指数间互为倒数.
sin x x 0 lim lim 1 ( 型) x 0 x 0 sin x x 0 sin 推广： lim lim 1(上下一致) 0 0 sin
类型5： 幂指式的极限，先利用幂的有关运 算把式子变换成含有标准式，再用公式
求.
练习
3 x 2x 求 lim( ) . x 2 x
极限的常用计算方法
1.代入法
x 4 3x 8 lim 2 x 2 x x 3
0 2.多项式的 型，分子分母同时分解， 0 约掉同为无穷小的公因
第5节 两个重要极限
sin x 1. lim 1. x 0 x
sin x 观察函数 当 x 0时的变化趋势 . x
y sin x x
sin x 重要极限lim 1的使用要求: x 0 x
1、式中含有三角函数的分式； 2、分母与正玄函数的角变量相同； 3、角变量趋近于0. sin x 重要极限lim 1的推广(类型四) : x 0 x 公式 要求
x
1 2
例5
计算li m 1 x .
x 0 2 x
解 方法1 令 u = -x,因为 x 0 时 u 0，
( 所以 l i m 1 x l i m 1 u)
x 0 2 x u0
2 u
lim
u0
1
(1 u)
1 . 2 2 1 e u
x 0
2 5 x
答案： e
6
有时，所给函数在自变量的某个趋向 下，底的极限为1，指数的极限为无穷，
人们称这类极限为1 ”型未定式. “
1 重要极限lim 1 e的使用要求: x x
(1)幂指式的底是由1与一个接近于0的变量和 (2)底中的变量与指数间互为倒数.
sin x x 0 lim lim 1 ( 型) x 0 x 0 sin x x 0 sin 推广： lim lim 1(上下一致) 0 0 sin
两个重要极限课件
解答
解答二
$lim_{x to infty} frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = 1$
解
当$x$趋向于无穷大时，$x^2$趋向于无穷 大，而$1$和$-1$相对于$x^2$来说是微小 的。
解答
解答三
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$是正确的。
解
根据三角函数的性质和极限的运算法则，当 $x$趋向于零时，$sin x$与$x$等价无穷小，
两个重要极限的应 用
在求极限中的应用
第一个重要极限
当x趋向于0时，sin(x)/x的极限是1。 这个极限在求某些复杂函数的极限时 非常有用，例如当x趋向于0时， (1+x)^(1/x)的极限就是e。
第二个重要极限
当x趋向于无穷大时，(1+1/x)^x的极 限是e。这个极限在求某些复杂函数 的极限时也非常有用，例如当n趋向 于无穷大时，n*(1-1/n)^n的极限就 是1/e。
学习目标
掌握两个重要极限的公式和证明过程，理解其数学意义。
01
02
能够运用极限理论解决实际问题，培养数的兴趣和热爱，提高数学素养和数学审美能力。
03
01
两个重要极限的介 绍
第一个重要极限
总结词
第一个重要极限是当x趋近于0时，sinx/x的极限值。
详细描述
01
03 02
回顾
01 第一个重要极限：lim x->0+ sin(x)/x = 1
02 =第二e 个重要极限：lim x->0+ (1+x)^(1/x)
03
两个重要极限的证明方法和思路
04
两应个用重和要实极例限在微积分、概率论等领域的
两个重要极限
x
元
。
现在若以天为单位计算复利，则x年末资金变为：
Q
1
r 365
365
x
元
；
若以
1 n
年为单位计算复利，则x年末末资金变为：Q
1
r n
nx
元
；
若令 n ，即每时每刻计算复利（称为连续复利）则x年末末资金为：
lim
n
Q
1
r n
nx
=
Q
lim
n
1
r n
n r
rx
=Q erx 元 。
高等数学
或若
lim
xa
x
0
a可以是有限数x 0
， ，
则
1
1
x
x
lim1 x lim 1 x e 。
xa
x0
例1.5 求
lim
x
1
2 x
x
。
解 令 2 t ，则 x 2 当 x 时 t 0 ，于是
x
t
lim
x
1
2 x
x
lim t0
1 t
2 t
ltim0
1 t
1 2 t
x0 x
t0 sint
两个重要极限
1.2 第二个重要极限：
lim
x
1
1 x
x
e
注意：这个重要极限也可以变形和推广：
(1) 令 1，则t x
时 x 代入后得t 到 0
1
lim1 t t
t0
e
；
(2) 若limxa Nhomakorabeax
a可以是有限数x 0
， ， 则
两个重要极限公式
两个重要极限公式
两个重要极限公式：极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。
1、第一个重要极限的公式：
lim sinx / x = 1 (x->0)当x→0时，sin / x的极限等于1。
特别注意的是x→∞时，1 / x是无穷小，根据无穷小的性质得到的极限是0。
2、第二个重要极限的公式：
lim (1+1/x) ^x = e（x→∞）当x →∞时，（1+1/x）^x的极限等于e；或当x →0 时，(1+x）^（1/x）的极限等于e。
极限的求法
连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。
利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）
利用无穷大与无穷小的关系求极限。
利用无穷小的性质求极限。
利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。
利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。
2-3节两个重要极限
222 xxx222
xx 22
22
11
1122
111llliiimm 222xxx00
1 。
ssiinn222 xx 22
xx 22
22
22xx00
xx 22
22
2
重要极限(I)：lim sin x 1 ， lim sin (x) 1 ((x) 0 )。
x0 x
( x)
例53． 求lim x0
1 cos x x2
。
解解：：解解：l：imlliimm1 x0xx00
11coccsooxss x 2xx22
xx
11lliimmssiinn
222ssisniinn222xxx
limlliimm
xxx000
lim sin x lim 1 1 。 x0 x x0 cos x
重要极限(I)：lim sin x 1 ， lim sin (x) 1 ((x) 0 )。
x0 x
( x)
例例22． 求lim sin kx (k0)。 x0 x
解解解：：：lilmimssininkkxxkklliimm ssiinn kx
x
3
2
x2 3
3
lim1 x
x
3
2
2
e3.
解法2
1 1 x lim1 1 x
原式
lim
x
1
x 2 x
x lim1
x 2
x
x
x x
其中
lim1
2.6两个重要极限
第一个重要极限
sin x lim =1 x→0 x
1. 涉及的基本不等式 sin x , x , tan x的关系） 的关系） （
1 sin x, x, tan x的各自图形如下： ） 的各自图形如下：
2） x与x的比较图如下： x与tan x的比较图如下： sin 的比较图如下： 的比较图如下：
x →0
sin x 2. 现证 lim =1 x →0 x
sin x ≤ x , x ≤ tan x ,
x ∈R x<
π
只需考虑 x → 0的过程 , 故不妨仅在 0 < x < 内讨论 , 2 π x sin x sin x 0< x < , ≤ = 1, ∵ cos x = ≤ 2 x x tan x
1 2 3 1 例如 un = 1 − : 0, , , ,⋯ 2 3 4 n 显然， 单调增， 显然， un单调增，且 0 < un < 1, 故由定理 2.12知 lim un存在
n→∞
且 lim un = 1
n→ ∞
第二个重要极限
1 x lim(1 + ) = e x→∞ x — — Eular常数 e的计算来源
1 x
=e
lim(1 + x) = ?
x→0
ϕ( x)→0
lim [1 + ϕ( x)]
1 ϕ ( x)
=e
先判断极限类型！ 先判断极限类型！
例1 求极限
1 1） (1 + sin x ) ） lim∞Fra bibliotekx →0
1 sin x
= e
e
2 x
x 2
2 1 lim ） 1 2） 1 + = lim + x →∞ x x →∞
微积分课间2.6 两个重要的极限
t →0
14/17
三、小结
1.两个准则 夹逼准则; 夹逼准则 单调有界准则 . 2.两个重要极限
设 α 为某过程中的无穷小 ,
sin α 0 1 lim = 1; 某过程 α
20 lim (1 + α) = e.
某过程
1 α
思考题
1 x −1
lim x
x →1
= lim [1 + ( x − 1 )]
1 x −1
=e
x→1
(1 型)
∞
lim(1 + x) = e
x→0
1 x
1 x lim(1 + ) = e x →∞ x
复合形式： 复合形式：
1 ϕ(x) ] 若有 : lim ϕ ( x ) = ∞ .则有 lim[ 1 + =e ϕ ( x)
11/17
(2)
1 x lim(1 + ) = e x→∞ x
⑴ 给定极限过程为 1∞ 型 1 ∆ ⑵ 形如 lim (1 + )
§2.6 两个重要的极限
一、极限存在准则 极限存在准则
(夹逼准则 夹逼准则) 准则 1 (夹逼准则) 如果对自变量 t 的某个变
化过程， 满足下列条件: 化过程，f ( t )、g ( t )和 h ( t ) 满足下列条件: 、 和
(1) g(t ) ≤ f (t ) ≤ h(t ) (从某时刻起)； (2)对此过程，有lim g(t ) = limh(t ) = A,
由夹逼定理得
lim (
n→ ∞
= 1,
1 n
+L+
1 n +n
2
) = 1.
项和的数列极限时常用夹逼准则 注：1) 求n项和的数列极限时常用夹逼准则。 项和的数列极限时常用夹逼准则。 使用夹逼准则时需要对极限的值有个猜测。 2) 使用夹逼准则时需要对极限的值有个猜测。
14/17
三、小结
1.两个准则 夹逼准则; 夹逼准则 单调有界准则 . 2.两个重要极限
设 α 为某过程中的无穷小 ,
sin α 0 1 lim = 1; 某过程 α
20 lim (1 + α) = e.
某过程
1 α
思考题
1 x −1
lim x
x →1
= lim [1 + ( x − 1 )]
1 x −1
=e
x→1
(1 型)
∞
lim(1 + x) = e
x→0
1 x
1 x lim(1 + ) = e x →∞ x
复合形式： 复合形式：
1 ϕ(x) ] 若有 : lim ϕ ( x ) = ∞ .则有 lim[ 1 + =e ϕ ( x)
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(2)
1 x lim(1 + ) = e x→∞ x
⑴ 给定极限过程为 1∞ 型 1 ∆ ⑵ 形如 lim (1 + )
§2.6 两个重要的极限
一、极限存在准则 极限存在准则
(夹逼准则 夹逼准则) 准则 1 (夹逼准则) 如果对自变量 t 的某个变
化过程， 满足下列条件: 化过程，f ( t )、g ( t )和 h ( t ) 满足下列条件: 、 和
(1) g(t ) ≤ f (t ) ≤ h(t ) (从某时刻起)； (2)对此过程，有lim g(t ) = limh(t ) = A,
由夹逼定理得
lim (
n→ ∞
= 1,
1 n
+L+
1 n +n
2
) = 1.
项和的数列极限时常用夹逼准则 注：1) 求n项和的数列极限时常用夹逼准则。 项和的数列极限时常用夹逼准则。 使用夹逼准则时需要对极限的值有个猜测。 2) 使用夹逼准则时需要对极限的值有个猜测。
第六节两个重要极限
x
x
lim(1 1 )x e
x
x
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
若在极限 lim(1 1 )x e 中，令 t 1
x
x
x
得极限的另一种形式
1
lim(1 t)t e
t0
这种数学模型在实际中非常有用，例如 “银行计算复利问题”。设本金为 A0，利率为 r ， 期数为 t ，如果每期结算一次，则本利和 A为
lim x A
证毕。
例1 证明 limsin x 0 x0
证 当 x 时，0 sin x x
2
由 lim x 0 , x0
再根据准则1，得
limsin x 0 证毕。
x0
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
例2 证明 limcos x 1 x0
2
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
1 x 1
(0 x )
sin x cos x
2
sin x是偶函数
x
得到 cos x sin x 1 (0 x )
x
2
limcos x 1 , lim sin x 1
x0
x0 x
证毕。
例4
计算 lim tan x
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
而
lim(1
n
n
1
)n 1
lim
n
(1 n
1
1 )n1 1 1
e
n1
lim(1 1 )n1 lim(1 1 )n(1 1 ) e
高等数学 第1章 第七节 极限存在准则 两个重要极限
则
lim
n
x n1
lim n
6 xn ,
A
6 A,
解得 A 3或A 2,（舍去）
lim n
xn
3.
14
3.两个重要极限的应用
例6： 求 lim tan x 1
x0 x
可作为公式
lim
x
s
in u x ux
1
lim ux 0
x
解： lim tan x lim sin x 1 lim sin x lim 1 11 1 x0 x x0 x cos x x0 x x0 cos x
1 n2 1
n2
1
22
n2
1
n2
n n2 1
,
1
lim 1 0, n 2n
lim n n n2 1
lim n
n
1
1
由夹逼定理知：
n2
0 0, 10
lim n
n
1 2
1
n2
1 22
n2
1 n2
存在, 且
lim n
n
1 2
1
n2
1
22
n2
1
n2
0.
8
例2 用夹逼准则证明：
lim sin x 1.
1yn xn zn n 1,2,3,,
2
lim
n
yn
a,
lim
n
z
n
a,
则数列x
n
的
极
限
存
在,
且
lim
n
xn
a.
准则1 若
1当x
U
x
2.6两个重要极限
§2.6 两个重要的极限
一、极限存在的准则
二、两个重要极限
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一、极限存在的准则
定理211(准则I) 如果在某个变化过程中 三个变量x、y及z满足下 列条件 (1) yxz (2) lim ylim zA 则 lim xA
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2 解：lim 1 x x
x 1 2
2 1 x lim x 2 1 x
x ( 1) 2
e 1
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sin ( x) 1( ( x) 0) lim sin x 1 或 lim x0 x ( x)
2sin2 x sin2 x 2 1 lim 2 解 lim 1 cos x lim x 0 x0 x2 2 x0 ( x )2 x2 2 2x 2x 2sin sin 1 cos x 1 lim 2 2 m lim 0 x0 x2 2 x0 ( x )2 x2 2 sin x x 11 ( sin 22 2 11 2 2 11 lim ( 2 ) ) 11 x lim 220 0 x x 22 22 x 22 《微积分》(第三版) 教学课件
定理212(准则II) 如果数列ynf(n)是单调有界的 则数列ynf(n)的极限 一定存在
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练习： P93
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一、极限存在的准则
二、两个重要极限
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一、极限存在的准则
定理211(准则I) 如果在某个变化过程中 三个变量x、y及z满足下 列条件 (1) yxz (2) lim ylim zA 则 lim xA
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2 解：lim 1 x x
x 1 2
2 1 x lim x 2 1 x
x ( 1) 2
e 1
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sin ( x) 1( ( x) 0) lim sin x 1 或 lim x0 x ( x)
2sin2 x sin2 x 2 1 lim 2 解 lim 1 cos x lim x 0 x0 x2 2 x0 ( x )2 x2 2 2x 2x 2sin sin 1 cos x 1 lim 2 2 m lim 0 x0 x2 2 x0 ( x )2 x2 2 sin x x 11 ( sin 22 2 11 2 2 11 lim ( 2 ) ) 11 x lim 220 0 x x 22 22 x 22 《微积分》(第三版) 教学课件
定理212(准则II) 如果数列ynf(n)是单调有界的 则数列ynf(n)的极限 一定存在
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练习： P93
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1.4两个重要极限
x
于是
3 x lim (1 + ) = lim(1 + t ) t = lim[(1 + t ) t ]3= [lim(1 + t ) t ]3 = e 3 x →∞ t →0 t →0 t →0 x x 3 x 3 3 3 或 lim(1 + ) = [lim(1 + ) ] = e3 x →∞ x →∞ x x
π
ESC
一. 极限的四则运算法则 二.第一个重要 极限 第一个重要
x 1 2 cos 另一方面， x = 1 − 2 sin > 1 − x ，于是有 另一方面， 2 2 1 2 sin x 1 − x < cos x < <1． 2 x
2
1 2 由准则Ⅰ 因为 lim (1 − x ) = 1 ，由准则Ⅰ可得 x →0 2 sin x =1． lim x →0 x
n →∞
ESC
二.第一个重要 极限 第一个重要
sin x =1 1. lim x→0 x
(1.4.1)
证 因为 sin( − x) = − sin x = sin x ，所以 −x −x x 由正值趋于零的情形． 只讨论 x 由正值趋于零的情形． 作单位园O 作单位园O， 设圆心角 ∠AOB = x ,延长 OB交过 A点的切线于于 D ， 面积＜ 则 ∆AOB 面积＜扇形 AOB 面积＜ 面积． 面积＜ ∆AOD 面积．即 ESC
ESC
一. 极限的四则运算法则 二.第二个重要 极限 第二个重要
lim x 2. x→∞(1+ 1)x = e
表1
(1.4.7)
1 x x → ∞ 时 (1 + ) 之值的变化情况 x
4两个重要极限第一次课
§1.3两个重要 极限 §1.3两个重要 极限
一. 两个重要极限 二. 无穷小量替换
ESC
一.第一个重要 极限
sin x 1. 基本式： lim x 0 x
变形式：(1) lim
sin
0
1
注: 代表相同的表达式， 关键是 代表无穷小
(1)方法:(图像观察法) 作函数 y sin x，y x 图像(右图).
．
ESC
一 . 极限的四则运算法则 二 .第一个重要 极限举例
例2
sin kx 求 lim x 0 x
( k 0) ．
解 即令 t kx ．则当 x 0 时， kx 0 ．于是 sin kx sin kx sin t lim k k lim lim t 0 x 0 x 0 t x kx k 1 k ． (1.4.5)
是同阶的无穷小； 特殊地，若 lim 1 ，则称 与 是等价的无 ESC 穷小， 记为 ～ .
2）若 lim c（c为非零常数），则称 与
三.无穷小量的等价代换
2.等价无穷小的传递和代换的性质 设在同一变化过程中
（1）若
（2）若
, ,则 。
2 lim (1 ) u u
u 1 1 2
lim
u
u 1 (1 2)2 2
u
，
ESC
.第二个重要 极限 一.二 极限的四则运算法则
1 因为 a 2 ， b ，所以 2 1 2 2 x 3 x1 ) e 2 e． lim ( x 2 x 1 1 3 (2x 3)x1 lim( 2x )x1 （以下学生自行解决） 解法二 lim x 2 x 1 x 1 1 2x
一. 两个重要极限 二. 无穷小量替换
ESC
一.第一个重要 极限
sin x 1. 基本式： lim x 0 x
变形式：(1) lim
sin
0
1
注: 代表相同的表达式， 关键是 代表无穷小
(1)方法:(图像观察法) 作函数 y sin x，y x 图像(右图).
．
ESC
一 . 极限的四则运算法则 二 .第一个重要 极限举例
例2
sin kx 求 lim x 0 x
( k 0) ．
解 即令 t kx ．则当 x 0 时， kx 0 ．于是 sin kx sin kx sin t lim k k lim lim t 0 x 0 x 0 t x kx k 1 k ． (1.4.5)
是同阶的无穷小； 特殊地，若 lim 1 ，则称 与 是等价的无 ESC 穷小， 记为 ～ .
2）若 lim c（c为非零常数），则称 与
三.无穷小量的等价代换
2.等价无穷小的传递和代换的性质 设在同一变化过程中
（1）若
（2）若
, ,则 。
2 lim (1 ) u u
u 1 1 2
lim
u
u 1 (1 2)2 2
u
，
ESC
.第二个重要 极限 一.二 极限的四则运算法则
1 因为 a 2 ， b ，所以 2 1 2 2 x 3 x1 ) e 2 e． lim ( x 2 x 1 1 3 (2x 3)x1 lim( 2x )x1 （以下学生自行解决） 解法二 lim x 2 x 1 x 1 1 2x
高数第一章极限存在准则 两个重要极限
准则的适用范围与注意事项
适用范围
夹逼准则适用于被夹逼的数列或函数在某点的极限求解；单调有界准则适用于单调且有界的数列极限求解。
注意事项
在使用夹逼准则时，需要找到合适的夹逼数列，并确保它们的极限相等；在使用单调有界准则时，需要证明数列 的单调性和有界性。同时，两个准则都只能用于求解数列或函数的极限值，不能用于求解其他数学问题。
数列极限存在的条件可以归结为数列 的单调性和有界性。如果数列单调增 加（或减少）且有上界（或有下界） ，则数列收敛，即存在极限。
03
序列极限的求法
可以通过对数列进行变形、放缩、裂 项、分组等方法来求解数列的极限。
其他相关的重要极限
第一个重要极限
lim(x→0)sinx/x=1，这个极限在三角 函数的求导以及某些复杂极限的求解 过程中有重要作用。
第一个重要极限可以用于求解三角函数的极限问题，也可以用于证明一 些三角恒等式和不等式。
第二个重要极限是自然对数的底数e的定义基础，也是求解一些复杂极限 问题的重要工具。同时，它也与指数函数、对数函数等有着密切的联系。
准则一：夹逼准则
01 02
定义
如果数列${x_n}$、${y_n}$和${z_n}$满足条件$y_n leq x_n leq z_n$， 且$lim_{n to infty} y_n = lim_{n to infty} z_n = a$，则数列${x_n}$ 的极限存在且等于$a$。
02 两个重要极限的详解
第一个重要极限：sinx/x的极限
01
02
03
定义与表达式
当x趋近于0时，sinx/x的 极限值为1，即lim(x->0) sinx/x = 1。
几何意义
06两个重要极限
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lim (1 1 ) x = e x x
例2
1 lim[1a (x)]a ( x)
= e (a(x)0)
1 2n lim(1 ) n n 1 2n = 1 ( 1 ) (1 ) n n
( n ) 1 2n n
x
3x 2 x 2 3x
3x 2 2 x 2 2 lim(1 ) = lim 1 = e3 x x 3x 3x
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lim (1 1 ) x = e x x
例4
1 lim[1a (x)]a ( x)
n n
那么数列{xn }的极限存在 且 lim xn = a >>>
准则I
n
如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)=A lim h(x)=A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)=A
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例1
求 lim(
n
1 n n
2
).
解
n 1 1 n 2 , 2 2 2 n n n 1 n n n 1
n 又 lim 2 = lim n n n n
lim n n 1
2
1 1 1 n
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二、准则II及第二个重要极限
准则II 单调有界数列必有极限 第二个重要极限
1 )x = e lim (1 x x
注:
1 在极限 lim[1a (x)]a (x) 1 lim[1a (x)]a (x)
lim (1 1 ) x = e x x
例2
1 lim[1a (x)]a ( x)
= e (a(x)0)
1 2n lim(1 ) n n 1 2n = 1 ( 1 ) (1 ) n n
( n ) 1 2n n
x
3x 2 x 2 3x
3x 2 2 x 2 2 lim(1 ) = lim 1 = e3 x x 3x 3x
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lim (1 1 ) x = e x x
例4
1 lim[1a (x)]a ( x)
n n
那么数列{xn }的极限存在 且 lim xn = a >>>
准则I
n
如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)=A lim h(x)=A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)=A
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例1
求 lim(
n
1 n n
2
).
解
n 1 1 n 2 , 2 2 2 n n n 1 n n n 1
n 又 lim 2 = lim n n n n
lim n n 1
2
1 1 1 n
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二、准则II及第二个重要极限
准则II 单调有界数列必有极限 第二个重要极限
1 )x = e lim (1 x x
注:
1 在极限 lim[1a (x)]a (x) 1 lim[1a (x)]a (x)