直线型面积(一)

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第三讲基本直线形面积公式

正方形长方形平行四边形三角形梯形正方形的面积和长方形的面积公式是我们所熟悉的，如图：左上角是面积为16的正方形，那么它的边长是多少？你还能求出哪些线段的长度呢？24？3618在几何中，所谓直线形就是指由线段构成的图形，在日常生活中，我们最常见的直线形有以下几种：在有关直线形的计算中，计算周长和面积是最常见的两类，我们已经学过了如何计算直线形的周长，接下来我们将学习如何计算直线形的面积。

如图，有一块长方形的田地被分成了五小块，分别种了茄子、黄瓜、豆角、莴笋和苦瓜，其中茄子地的面积是16平方米，黄瓜地的面积是28平方米，豆角地的面积是32平方米，莴笋地的面积是72平方米，而且左上茄子地恰好是一个正方形，请问：剩下的苦瓜地的面积是多少？如图，有一块长方形的田地被分成了四小块，分别种了冬瓜、西瓜、南瓜和黄瓜，其中冬瓜地的面积是24平方米，西瓜地的面积是36平方米，南瓜地的面积是18平方米，而且左下角西瓜地恰好是一个正方形，请问：剩下的黄瓜地面积是多少？长宽边长正方形的面积=边长*长方形的面积=长*宽如图，平行四边形的两组对边平行且相等，我们把两组对边用不同颜色标出来为了计算平行四边形面积，我们可以把平行四边形切成两块，然后拼成一个长方形，如图：要计算平行四边形的面积，需要知道一条底，以及它所对应的高。

当然我们可以用另外一种方式把上面的平行四边形剪拼成一个长方形，如下图所示，同样得到相对于这条底的若干条高这个平行四边形的面积和拼成的长方形的面积相同，都等于长方形的长乘以宽，长方形的长和宽在平行四边形中都可以找到对应线段，在平行四边形中，这两条线段分别叫底和高。

于是我们有：如下图所示，同学们可以画出这条底对应的若干条高，并且这些高是相等的，都等于上下两条平行线间的距离。

平行四边形面积=底*高高高高底如图是由两个边长分别为4和7的正方形拼成的，请求出图中阴影部分的面积。

阴影部分是平行四边形，应该选哪条边作为底呢？相应的高是多少呢？如图，大正方形里有一个小正方形还有一个阴影平行四边形，如果大正方形的边长是20cm，小正方形的边长是8cm，那么图中阴影平行四边形的面积是多少？三角形中也有相对应的底和高。

小学奥数讲义4年级-8-直线形面积初步-难版

图形的周长与面积的计算是小学数学中最基本、最重要的内容之一。

周长和面积这两个概念是不同的，它们使用的单位、计算公式也是不同的。

周长是指围成平面图形一周的线段的总和；而面积是指围成的平面图形的大小。

所以周长通常采用的长度单位有：米、分米、厘米；面积通常采用的单位有：平方米、平方分米、平方厘米。

1．三角形从三角形的一个角的顶点向它的对边画一条垂线，顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。

注意：锐角三角形的高在三角形的内部，直角三角形的两条直角边是它的高，钝角三角形的其中两个高在三角形的外部。

三角形的高所在的边叫做三角形的底。

面积公式=底×高÷2或用字母表示为：S=ah ÷2． 2．平行四边形从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点到垂足间的线段叫做平行四边形的高，这条边叫做平行四边形的底。

面积公式=底×高或用字母表示为：S=ah 。

长方形与正方形是特殊的平行四边形。

长方形面积=长×宽，周长=（长+宽）×2。

正方形的面积=边长×边长，周长=边长×4。

3．梯形在梯形里，互相平行的一组对边分别叫做梯形的上底和下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰；以上底向下底引一条垂线，这点到垂足间的线段叫做梯形的高。

梯形两腰中点的连线叫做梯形的中位线。

中位线的长度=（上底+下底）÷2面积公式=（上底+下底）×高÷2或：中位线×高用字母表示为：S=（a+b ）×h ÷2或：m ×h知识梳理【例1】★已知大正方形比小正方形边长多2厘米，大正方形比小正方形的面积大40平方厘米。

求大、小正方形的面积各是多少平方厘米？【解析】从图中可以看出，大正方形的面积比小正方形的面积大出的40平方厘米，可以分成三部分，其中A 和B 的面积相等。

因此，用40平方厘米减去阴影部分的面积，再除以2就能得到长方形A 和B 的面积，再用A 或B 的面积除以2就是小正方形的边长。

第十三讲直线型图形面积的计算

第十三讲直线型面积的计算不规那么图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规那么图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规那么图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规那么图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理〞〔即：集合A 与集合B 之间有：AB A B A B S S S S =+-〕合并使用才能解决。

〖经典例题〗例1、下列图是边长为4厘米的正方形,AE =5厘米、OB 是多少厘米？分析：连接BE ,那么8442121=⨯⨯==∆正方形S S ABE (平方厘米). 从另一角度看,OB S ABE ⨯⨯=∆521,于是8521=⨯⨯OB .所以 825OB =⨯÷=3.2(厘米)。

例2、正方形ABCD 的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG 的长DG 为5厘米，求它的宽DE 等于多少厘米?分析：连结AG ，1122ADG ABCD DEFG S S S ==, 因此ABCD S =4×4=16平方厘米，那么DE=16÷5=3.2cm 。

〖方法总结〗这两个题目主要是对各种根本图形面积公式的灵活应用，同底或同高时我们可以用分配率将两个三角形的面积一起求和或者求其比例关系。

在解题过程中做辅助线是经常用到的方法，对于辅助线的做法，一般都是先观察一下要求的图形所在的图形是不是一个规那么图形，如果不是，我们就要填上辅助线，将其构造成规那么图形。

〖稳固练习〗练习1：如下列图，在正方形ABCD 中，三角形ABE 的面积是8平方厘米，它是三角形DEC 的面积的54。

求正方形的面积。

练习2：平行四边形ABCD 的面积是150，EF ∥AD ，求阴影局部面积。

练习3：如图，在长方形ABCD 中，BC ＝10，ABO S =8，BCO S ＝12，ADO S ＝10，求AB 。

练习4：如图，长方形APHM 、BNHP 、CQHN 的面积分别是8、4、6，求阴影局部的面积。

高斯小学奥数四年级上册含答案第03讲_基本直线形面积公式

第三讲基本直线形面积公式在几何中，所谓直线形就是指由线段构成的图形．在日常生活中，我们最常见的直线形有以下几种：正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形．在有关直线形的计算中，计算周长和计算面积是最常见的两类．我们已经学过了如何计算直线形的周长，接下来我们将学习如何计算直线形的面积．№1. 正方形和长方形的面积正方形的面积和长方形的面积公式是我们所熟悉的，如下图：例题1如下图，有一块长方形田地被分成了五小块，分别栽种了茄子、黄瓜、豆角、莴笋和苦瓜．其中栽种茄子的面积是16平方米，栽种黄瓜的面积是28平方米，栽种豆角的面积是32平方米，栽种莴笋的面积是72平方米，而且左上角栽种茄子的田地恰好是一个正方形．请问：剩下的栽种苦瓜的田地面积是多少？「分析」左上角是面积为16的正方形，那么它的边长是多少？你还能求出哪些线段的长度呢？练习1如图，有一块长方形田地被分成了四小块，分别栽种了冬瓜、西瓜、南瓜、黄瓜，其中冬瓜地的面积是24平方米，西瓜地的面积是36平方米，南瓜地的面积是18平方米，而且左下角西瓜地恰好是一个正方形．请问：剩下的黄瓜地的宽面积是多少？№2. 平行四边形的面积如下图，平行四边形的两组对边平行且相等，我们把两组对边用不同颜色标出来．为了计算平行四边形的面积，我们可以把平行四边形切成两块，然后拼成一个长方形，如下图．这个平行四边形的面积和拼成的长方形的面积相同，都等于长方形的长乘以宽．长方形的长和宽在平行四边形中都可以找到对应线段．在平行四边形中，这两条线段分别叫做底和高．于是我们有：如图所示，同学们可以画出这条底对应的若干条高，并且这些高是相等的，都等于上下两条平行线间的距离．36 1824底当然我们可以用另一种方式把上面的平行四边形剪拼成一个长方形，如下面左图所示．同样得到相对于这条底的若干条高，如下面右图所示，这些高也是相等的，都等于左右两条平行线间的距离．要计算平行四边形的面积，需要知道一条底，以及它所对应的高．大家看看下面的几个图形，试着画出与底边相对应的高．例题2下图是由两个边长分别为4和7的正方形拼成的，请求出阴影平行四边形的面积．「分析」阴影部分是平行四边形，应该选哪条边作为底呢？相应的高是多少呢？练习2如图，大正方形里有一个小正方形还有一个阴影平行四边形．如果大正方形的边长是20厘米，小正方形的边长是8厘米．那么阴影平行四边形的面积是多少？BCF底高高高№3. 三角形的面积三角形中也有相对应的底和高．过三角形的一个顶点向所对的边做一条垂线，所得的垂线段叫做三角形的高，所对的边叫做三角形的底．每个三角形有三组对应的底和高．要计算三角形的面积，同样要利用底和高的长度．观察下图，我们把一个三角形倒过来和原图形拼在一起，可以得到一个平行四边形．平行四边形的底与三角形的底相等，高也与三角形的高相等．而平行四边形的面积等于“⨯底高”，正好是三角形面积的2倍，所以我们有三角形面积公式：从形状上讲，三角形有三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．由于三角形的形状多变，在初学阶段要找准三角形相对应的底和高很不容易．因此要想算出三角形的面积，最关键的还在于准确地找到底与相应的高．．．．．．．．．．．．下面是一个简单的作图练习，大家不妨画一画．例题3如下图所示，两个正方形并排放在一起，大正方形的边长是8厘米，小正方形的边长是6厘米．请问：阴影三角形的面积是多少？「分析」阴影部分是三角形，应该选哪条边作为底呢？相应的高是多少呢？练习3右图是由两个边长分别为4和6的正方形拼成的，请求出阴影三角形的面积．№4. 梯形的面积三角形和平行四边形都有“底”和“高”的概念，梯形中也有．在梯形中，平行的一组对边分别叫做上底和下底，不平行的一组对边叫做腰，上底和下底之间的距离叫做梯形的高．如下图所示，把两个相同的梯形拼在一起，可以得到一个平行四边形．从图中可以看出，这个平行四边形的面积是梯形面积的2倍．同时平行四边形的底由梯形的上底和下底拼接而成，高与梯形的高相等．所以：86下底例题4一个正方形和一个长方形按下图的方式排放，已知正方形的面积是49平方厘米，长方形的长为11厘米，宽为8厘米，那么阴影部分的面积是多少？「分析」阴影部分是梯形，要求面积，关键是找清楚它的上底、下底、高分别是多少．练习4如下图，大正方形的边长是8厘米，小正方形的边长是6厘米．请问：图中的阴影图形的面积是多少平方厘米？例题5如下图所示，两个边长10厘米的正方形相互错开3厘米，那么图中阴影平行四边形的面积是多少？「分析」阴影部分是平行四边形，应该选哪条边作为底呢？相应的高是多少呢？例题6如图，把两个正方形拼在一起，小正方形的边长是5厘米，大正方形的边长是7厘米．请问：阴影部分的面积是多少？「分析」阴影部分由两个三角形组成，你能分别求出这两个三角形的面积吗？以哪条边作为底最容易计算呢？11课堂内外小欧拉与大羊圈欧拉是著名的数学家，他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就．不过，这个大数学家在孩提时代却一点也不讨老师的喜欢，他是一个被学校除了名的小学生．小欧拉因为问老师天上星星有多少颗，老师也答不上来，只知道天上的星星是上帝镶上去的．小欧拉感觉上帝真是太粗心了，竟然忘记了星星的数目！在欧拉的年代，对上帝是绝对不能怀疑的，人们只能做思想的奴隶，绝对不允许自由思考．小欧拉没有与上帝“保持一致”，老师就让他离开学校回家．回家后无事，他就帮助爸爸放羊，成了一个牧童．他一面放羊，一面读书．他读的书中，有不少数学书．爸爸的羊渐渐增多了，达到了100只．原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈．他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积正好是600平方米，平均每一头羊占地6平方米．正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用．若要围成长40米，宽15米的羊圈，其周长将是110米．父亲感到很为难，若要按原计划建造，就要再添10米长的材料；要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米．小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划．他有办法．父亲不相信小欧拉会有办法，听了没有理他．小欧拉急了，大声说，只要稍稍移动一下羊圈的桩子就行了．父亲听了直摇头，心想：“世界上哪有这样简单的事情？”但是，小欧拉却坚持说，他一定能两全齐美．父亲终于同意让儿子试试看．小欧拉见父亲同意了，站起身来，跑到准备动工的羊圈旁．他以一个木桩为中心，将原来的40米边长截短，缩短到25米．父亲着急了，说：“那怎么成呢？那怎么成呢？这个羊圈太小了，太小了．”小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来15米的边长延长，又增加了10米，变成了25米．经这样一改，原来计划中的羊圈变成了一个25米边长的正方形．然后，小欧拉很自信地对爸爸说：“现在，篱笆也够了，面积也够了．”父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，100米长的篱笆真的够了，不多不少，全部用光．面积也足够了，而且还稍稍大了一些．父亲心里感到非常高兴．孩子比自己聪明，真会动脑筋，将来一定大有出息．父亲感到让这么聪明的孩子放羊实在是太可惜了．后来，他想办法让小欧拉认识了一个大数学家伯努利．通过这位数学家的推荐，1720年，小欧拉成了巴塞尔大学的大学生．这一年，小欧拉13岁，是这所大学最年轻的大学生．作业1. 在下面的每个平行四边形与三角形中，作出以AB 为底的高．2. 如图，大正方形被分成三块区域．左上角的正方形面积为4，右上角的长方形面积为6，请问：大正方形的面积是多少？3.下图中，大正方形的面积是64，小正方形的面积是36．求平行四边形的面积．4. 下面两幅图都是边长为8和6的两个正方形拼成的，根据图中所示的线段长度，求两个阴影三角形的面积．5. 如图，两个正方形并排放在一起，小正方形的边长是9厘米，大正方形的边长是13厘米．请问阴影梯形的面积是多少平方厘米？66 846BD C第三讲基本直线形面积公式1.例题1答案：8平方米详解：方法一：正方形的面积是16平方米，所以正方形的边长是4米，黄瓜的面积是28平方米，黄瓜的宽是4米，长就是2847÷=米．豆角的面积是32平方米，豆角的宽是4米，所以长是3248÷=米．所以苦瓜的宽是÷=米，莴笋的宽是8米，面积是72平方米，所以长是7289⨯=平方米；方法二：豆角是茄子面积的2倍，972-=米，长是4米，所以苦瓜的面积是248所以莴笋是黄瓜和苦瓜面积和的2倍，黄瓜和苦瓜的面积是72236÷=平方米，所以苦瓜的面积是36288-=平方米．2.例题2答案：28详解：阴影平行四边形的底BC是4，高FG是7，所以平行四边形的面积是4728⨯=．3.例题3答案：42平方厘米详解：阴影三角形的底是6厘米，高是6814+=厘米，所以阴影三角形的面积是614242⨯÷=平方厘米．4.例题4答案：30平方厘米详解：阴影部分是一个梯形，这个梯形的上底是正方形上面的边，正方形的面积是49平方厘米，所以正方形的边长是7厘米，梯形的下底是长方形的宽即8厘米，梯形的高即长方形长与正方形边长之差，为1174-=厘米，所以梯形的面积是()+⨯÷=平方厘米．7842305.例题5答案：91平方厘米详解：由于两个大小一样的正方形错开了3厘米，可以知道图中两个小的直角三角形的直角边都是3厘米，所以阴影平行四边形的底就是1037+=厘米，所以其面积-=厘米，高就是10313是71391⨯=平方厘米．6.例题6答案：12平方厘米详解：小正方形的边长是5厘米，大正方形的边长是7厘米．阴影部分是由两个三角形组成的，这两个三角形的底都是752-=厘米，左面三角形的高是5厘米，右面三角形的高是7厘米，所以面积分别是2525⨯÷=平方厘米，2727+=平⨯÷=平方厘米，所以阴影部分的面积是5712方厘米．7.练习1答案：12平方米详解：西瓜地是正方形，面积为36平方米，所以边长为6米；冬瓜地面积为24平方米，长为6米，所以宽为2464÷=米；南瓜地面积为18平方米，长为6米，所以宽为1863÷=米；黄瓜地长为4米，宽为3米，所以面积为4312⨯=平方米．8. 练习2答案：96平方厘米详解：阴影平行四边形的底是小正方形边长即8厘米，高是两正方形边长之差，即20812-=厘米，所以平行四边形的面积是81296⨯=平方厘米．9. 练习3答案：30简答：阴影三角形的底是6，高是6410+=，所以阴影三角形的面积是610230⨯÷=．10. 练习4答案：14平方厘米简答：阴影部分是一个梯形，这个梯形的上底是小正方形的边长，即6厘米；梯形的下底是大正方形的边长即8厘米，梯形的高即两正方形边长之差，为862-=厘米，所以梯形的面积是()682214+⨯÷=平方厘米．11. 作业1答案：如图所示简答：12. 作业2答案：25简答：小正方形的边长为2，小长方形的长为3，那么大正方形的边长为5，面积为5525⨯=．13. 作业3答案：48简答：小正方形的边长为6，大正方形的边长为8，平行四边形的面积是6848⨯=．14. 作业4答案：24；18简答：左图阴影三角形的底选为6，高为8，面积是68224⨯÷=．右图阴影三角形的底选为6，高为6，面积是66218⨯÷=．15.作业5答案：242平方厘米简答：梯形的上底为小正方形的边长，即9厘米．梯形的下底为大正方形的边长，即13厘米．梯形的高为大、小正方形边长和为22厘米．梯形的面积为(913)222242+⨯÷=平方厘米．6.。

小学数学几何直线型面积的计算完整版题型训练+详细答案

直线形面积的计算例题讲解：板块一：基础题型：1．如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AD=12（厘米），AB=8（厘米），BC= 15（厘米），且三角形ADE、四边形DEBF、三角形CDF的面积相等，阴影三角形DEF的面积是多少平方厘米？解析：四边形ABCD的面积是（12+15）×8÷2=108（平方厘米），108÷3=36（平方厘米）。

CF=36×2÷8=9(厘米)，FB=15-9=6(厘米)，AE=36×2÷12=6（厘米），EB=8-6=2（厘米）。

阴影三角形DEF的面积是36-2×6÷2=30（平方厘米）2．一块长方形的土地被分割成4个小长方形，其中三块的面积如图所示（单位：平方米），剩下一块的面积应该是多少平方米？解析：40×15÷30=20（平方米）3．如图，在三角形ABC中，BC是DC的3倍，AC是EC的3倍，三角形DEC的面积是3平方厘米．请问：三角形ABC的面积是多少平方厘米？解析：三角形ADC的面积是3×3=9（平方厘米），三角形ABC的面积是3×9=27（平方厘米）4．如图，E是BC上靠近C的三等分点，且ED是AD的2倍，三角形ABC的面积为36平方厘水．三角形BDE的面积是多少平方厘米？解析：三角形BAE的面积是36÷3×2=24（平方厘米），三角形BDE的面积24÷3×2=16（平方厘米）5．如图所示，已知三角形BEC的面积等于20平方厘米，E是AB边上靠近日点的四等分点，三角形AED的面积是多少平方厘米？平行四边形DECF的面积是多少平方厘米？解析：（1）三角形AED的面积是20×3=60（平方厘米）（2）三角形DEC的面积是20+60=80（平方厘米），三角形DEC的面积是平行四边形DECF 的面积的一半，也是平行四边形ABCD的面积的一半，所以平行四边形DECF的面积是80×2=160（平方厘米）6．如图，已知平行四边形ABCD的面积为36，三角形AOD的面积为8．三角形BOC的面积为多少？解析：根据一半模型可知，三角形AOD的面积和三角形BOC的面积是平行四边形ABCD 的面积的一半，所以三角形BOC的面积是36÷2-8=107．如图，长方形ABCD的面积是96平方厘米，E是AD边上靠近D点的三等分点，F是CD上靠近C点的四等分点．阴影部分的面积是多少平方厘米？解析：链接BD ，可知三角形ABD 的面积和三角形BDC 都是96÷2=48（平方厘米），三角形ABE 的面积是48×32=32（平方厘米）。

小学奥数讲义5年级-4-倍比关系解直线形面积-难版

本将主要学习利用边上的倍数关系求解图形面积，需要掌握以下几个知识点： 1.等底等高的两个三角形面积相等．2.两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；3.在一组平行线之间的等积变形，如BCD ACD S S ∆∆=；反之，如果BCD ACD S S ∆∆=，则可知直线AB 平行于CD .【例1】★已知三角形ABC 的面积为1，BE=2AB ，BC=CD ，求三角形BDE 的面积?【解析】BCE 面积为2,ECD 面积也为2，所以BED 面积为4.【小试牛刀】如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE 典型例题知识梳理的面积是多少？【解析】连接CE∵3AE AB =，∴2BE AB =，2BCE ACB S S ∆∆= 又∵2BD BC =，∴244BDE BCE ABC S S S ∆∆∆===.【例2】★★E 是长方形ABCD 中AB 边的中点，CE 和BD 交于F 。

如果三角形EBF 的面积是1平方厘米，那么长方形ABCD 的面积是多少平方厘米？【解析】连结AF ，两个三角形△AEF 、△BEF 等底等高，面积都是1平方厘米。

连结AC ，交BD 于O 点，O 点是AC 、BD 的中点。

△AOF 、△COF 是等底等高三角形，面积相等。

因为△AOB 、△ACE 面积都是△ABC 的一半（△AOB 面积=△ACE 面积），各自减去四边形AOFE ，剩下的部分是△COF 与△BEF ，面积相等，是1平方厘米。

△AOF 、△AEF 、△BEF 面积相等，都是1平方厘米，△AOB 的面积就是1+1+1=3（平方厘米），所求长方形面积是△AOB 面积的4倍，因此所求长方形面积为3×4=12（平方厘米）。

【小试牛刀】如图，平行四边形ABCD 中，EF 平行于AC ，连结BE ，AE ，CF ，BF ，与△BEC 等积的三角形还有哪几个？【解析】由于图中平行线有三组：AD 平行于BC ，AB 平行于CD ，EF 平行于AC ，不妨依据同底等高的三角形等积来寻求等积三角形。

初中数学专题---------直线等分面积问题

初中数学专题讲座---------直线等分面积问题一、直线等分常见的一些特殊图形二、直线等分三角形（1）不受限制的等分（2）过一边上一点等分三、直线等分梯形（1）不受限制的等分（2）过一腰上一点等分四、等分基本图形练习：1、作图题，请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分，请用一条直线把阴影部分的面积两等分．（保留作图痕迹）2、在一个矩形中，把此矩形面积二等分的直线最多有条，这些直线都必须经过此矩形的点（一个矩形只画一条直线，不写画法）．3、轴对称图形的对称轴将图形面积二等分，中心对称图形过对称中心的直线将图形面积二等分．请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分．4、在一个矩形中，把此矩形面积两等分的直线最多有条，这些直线都必须经过该矩形．5、在复习“四边形”时，刘老师出了这样一道题：如图1，已知四边形ABCD、BEFG都是矩形，点G、H分别在AB、CD上，点B、C、E在同一条直线上．（1）当S矩形AGHD=S矩形CEFH时，试画一条直线将整个图形面积2等分．（不写画法）（2）①当S矩形AGHD＜S矩形CEFH时，如图3；②当S矩形AGHD＞S矩形CEFH时，如图4．画一条直线将整个图形面积2等分，在（1）的基础上，应该如何画图呢？（不写画法，保留作图痕迹或简要的文字说明）（3）小娟和小宇两位同学的画法是图5和图6：刘老师看过之后说这两个图形实质上体现的是一种画法，请你用简要的文字说明两个图形画法的共同点：（把原图形分割或构造成两个矩形，再过这两个矩形对角线的交点画一条直线）．6、通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式7、如图所示，▱ABCD内有一圆，请你画一条直线，同时将圆和平行四边形的周长二等分．（保留画图痕迹，并简要说出画图步骤）8、提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB=BC=5cm，AC=6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．9、提出问题：如图，在“儿童节”前夕，小明和小华分别获得一块分布均匀且形状为等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD∥BC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将自己的这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线既平分了梯形的面积，又平分了梯形的周长，我们称这条线为梯形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以模仿着在自己的蛋糕（图2）中画了一条直线EF分别交AD、BC于点E、F．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．若图2中AD∥BC，∠A=90°，AD＜BC，AB=4cm，BC=6cm，CD=5cm．请你找出梯形ABCD的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．10、阅读下面问题的解决过程：问题：已知△ABC 中，P 为BC 边上一定点，过点P 作一直线，使其等分△ABC 的面积．解决：情形1：如图①，若点P 恰为BC 的中点，作直线AP 即可．情形2：如图②，若点P 不是BC 的中点，则取BC 的中点D ，连接AP ，过点D 作DE ∥AP 交AC 于E ，作直线PE ，直线PE 即为所求直线．问题解决：如图③，已知四边形ABCD ，过点B 作一直线（不必写作法），使其等分四边形ABCD 的面积，并证明．11、如图，把一个等边三角形的顶点放置在正六边形的中心O 点，请你借助这个等边三角形的角，以角为工具等分正六边形的面积，等分的情况分别为等分． 12、用一条直线把下图分成面积相等的两部分．13、用三种不同的方法把▱ABCD 的面积四等分，并简要说明分法．14、、如图，所示，张家兄弟要平分这块地，请你用一条直线把它分成面积相等的两部分．（至少有两种画法）15、抛物线y=x 2，212y x =-和直线x=a （a ＞0）分别交于A 、B 两点，已知∠AOB=90°．（1）求过原点O ，把△AOB 面积两等分的直线解析式；（2）为使直线2y x b =+与线段AB 相交，那么b 值应是怎样的范围才适合．16、如图长为2的线段PQ 在x 的正半轴上，从P 、Q 作x 轴的垂线与抛物线y=x 2交于点p '、12题Q′．（1）已知P的坐标为（k，0），求直线OP′的函数解析式；（2）若直线OP′把梯形P′PQQ′的面积二等分，求k的值．17、一条直线过△ABC的内心，且平分三角形的周长，那么该直线分成的两个图形的面积比为（）A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：118、某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；…现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知=S△ABC，请证明．问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究与S四边形ABCD之间的数量关系．问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求．问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．19、阅读下面材料，再回答问题：有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如：圆的直径所在的直线是圆的“二分线”，正方形的对角线所在的直线是正方形的“二分线”．解决下列问题：（1）菱形的“二分线”可以是（2）三角形的“二分线”可以是（3）在下图中，试用两种不同的方法分别画出等腰梯形ABCD的“二分线”，并说明你的画法．20、用一条直线将一个直角梯形分成面积相等的两部分，请你在下面的图中分别画出两种不同的分割图形．21、下图所示是一块木板的示意图，能不能用一条直线把这块木板分成面积相等的两部分．（3种画法）22、如图所示的图案是一个轴对称图形，直线l是它的一条对称轴，如果最大圆的半径为2，那么阴影部分面积是（）A．π B．2π C．3π D．4π23、如图所示是由7个完全相同的正方形拼成的图形，请你用一条直线将它分成面积相等的两部分．（在原图上作出）．24、九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形．证明：这九条直线中至少有三条经过同一点．抽屉原理．专题：证明题．分析：首先根据抽屉定理证明9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形中至少有5条直线穿过一对边，然后再根据抽屉原理证明至少必有三点经过同一点．解答：证明：按抽屉原理，9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形，则至少有5条直线穿过一对边．又2：3≠1：1，根据“梯形的面积等于中位线长乘以高”，可知这5条直线必过正方形的一条对边中点连线上的两定点．故若5个点不全经过一点，则必经过这条直线上的两点，再据抽屉原理，至少必有三点经过同一点．25、一条直线平行于直线y=2x-1，且与两坐标轴围成的三角形面积是4，则直线的解析式是A．y=2x+4 B．y=2x-4 C．y=2x±4 D．y=x+2 （）26、把一个圆心为点O，半径为r的圆的面积四等分，请你尽可能多地设想各种分割方法．如图，如果圆心也是点O的三个圆把大圆O的面积四等分．求这三个圆的半径OB、OC、OD的长．27、已知直线AB与x，y轴分别交于A、B（如图），AB=5，OA=3，（1）求直线AB的函数表达式；（2）如果P是线段AB上的一个动点（不运动到A，B），过P作x轴的垂线，垂足是M，连接PO，设OM=x，图中哪些量可以表示成x的函数？试写出5个不同的量关于x的函数关系式．（这里的量是指图中某些线段的长度或某些几何图形的面积等）28、（1）如图1所示，已知△ABC中，D为BC的中点，请写出图1中，面积相等的三角形：，理由是（2）如图2所示，已知：平行四边形A′ABC，D为BC中点，请你在图中过D作一条线段将平行四边形A′ABC的面积平分，平分平行四边形A′ABC的方法很多，一般地过画直线总能将平行四边形A′ABC的面积平分．（3）如图3所示，已知：梯形ABCA′中，AA′∥BC，D为BC中点，请你在图3中过D作一条线段将梯形的面积等分．（4）如图4所示，某承包人要在自己梯形ABCD（AD∥BC）区域内种两种等面积的作物，并在河岸AD与公路BC间挖一条水渠EF，EF左右两侧分别种植了玉米、小麦，为了提高效益，要求EF最短．①请你画出相应的图形．②说明方案设计的理由．19、如图，抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=kx-1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值．。

思维数学-基本直线型面积公式

基本直线型面积公式知识精讲在几何中，所谓直线形就是指由线段构成的图形。

在日常生活中，我们最常见的直线形有以下几种：正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形.在有关直线形的计算中，计算周长和计算而积是最常见的两类。

我们已经学过了如何计算直线形的周长，接下来我们将学习如何计算直线型的面积。

正方形的面积和长方形的面积公式是我们所熟悉的，如图1 ：试一试正方形的边长是6厘米，面积是平方厘米。

长方形的长是8厘米，宽为4厘米，面积是平方厘米。

正方形面积是121平方厘米。

它的边长是厘米。

长方形的面积是48平方厘米，宽为4厘米，长为厘米。

例题1如图，有一块长方形田地被分成了五小块，分别栽种了茄子、黄瓜、豆角、莴笋和苦瓜，其中茄子地的面积是16平方米，黄瓜地的面积是28平方米，豆角地的面积是32平方米，莴笋地的面积是72平方米，而且左上角茄子地恰好是一个正方形。

请问：剩下的苦瓜地的面积是多少？「分析」左上角是面积为16的正方形，那么它的边长是多少？你还能求出哪些线段的长度呢？练习1如图，有一块长方形田地被分成了四小块，分别栽种了冬瓜、西瓜、南瓜、黄瓜，其中冬瓜地的面积是24平方米，西瓜地的面积是36平方米，南瓜地的面积是18平方米，而且左下角西瓜地恰好是一个正方形.请问：剩下的黄瓜地的面积是多少？如图，平行四边形的两组对边平行且相等，我们把两组对边用不同颜色标出来为了计算平行四边形的面积，我们可以把平行四边形切成两块，然后拼成一个长方形。

如图这个平行四边形的面积和拼成长方形的面积相同，都等于长方形的长×宽。

长方形的长和宽在平行四边形中都可以找到对应线段，在平行四边形中，这两条线段分别叫做底和高。

于是：平行四边形面积=底×高如图所示，同学们可以画出这条底对应的若干条高，并且这些高是相等的，都等于上下两条平行线间的距离当然我们可以用另一种方式把上面的平行四边形剪拼成一个长方形，如图1所示。

同样得到相对于这条底的若干条高，如图2所示，这些高也是相等的，都等于左右两条平行线间的距离。

直线图形面积计算一：利用倍数关系求解面积六年级[暑假一]

名师堂学校方法讲义之一年级：六年级日期：7月8日直线图形—利用倍数关系求面积【方法与技能】我们已经学过的直线型图形包括三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.根据图形之间长与宽、底与高的倍数关系求解图形面积是近年来各类竞赛与考试经常出现的考点。

在这类问题中，我们可以采用等分法求解，也可以用倍比法求解。

即根据等底或等高的平行四边形、三角形，它们的高（或底）的倍数关系就是面积的倍数关系，从而顺利求解。

【典型例题】例1：已知三角形ABC的面积为1，BE=2AB，BC=CD，求三角形BDE的面积？（下页图）例2：如右图，A为△CDE的DE边上中点，3BC=CD，若△ABC（阴影部分）面积为5平方厘米.求△ABD及△ACE的面积.例3：如下页右上图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘例4：如右图，已知：S△ABC=1，例5：如下图，在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，三角形ADE的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。

例6：上右图所示三个小平行四边形的面积是12平方厘米、25平方厘米和42平方厘米。

那么大平行四边形的面积是多少平方厘米？例7：如下左图：已知梯形中两个三角形的面积分别是8平方厘米和12平方厘米，梯形的面积是多少平方厘米？名师课堂——关键教方法名师堂市中心校区地址：顺城街体育场路2号商业很行六楼8661966286741998AB CE12 4225812D【应用拓展】1、如下图是由四个小长方形拼接而成的大长方形，其中三个小长方形的面积分别是24平方分米、15平方分米和25平方分米。

那么，图中阴影部分的面积是多少平方分米？2、如下左图，由九个小长方形拼接成大长方形，其中三个小长方形的面积分别时15平方米、30平方米和45平方米。

图中阴影部分的面积是多少平方米？3、如上右图，BD 、DE 、EC 的长分别是2、4、2，F 是线段AE 的中点，△ABC 的高为4，△DEF 的面积是（）。

小学奥数-直线型面积讲义图文版

1. 熟练运用直线型面积的最基本性质——等积变形；2. 熟练掌握直线型面积的两个模型：（1）等积变形（2）鸟头模型直线型面积求解是在以三角形、长方形、正方形、梯形等一些规则图形为基础上进行的。

最基本的思想是等积变形。

一、等积变形①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图12::S S a b =baS 2S 1 DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDA知识精讲教学目标第一讲直线型面积（一）板块一、等积变形【例 1】如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．FE CBAFE C【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ． ∵AE EB =，∴AEH BEH S S =△△．同理，BFH CFH S S =△△，S =S CGH DGH ，∴11562822ABCD S S ==⨯=阴影长方形(平方厘米)．【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是．E GCB654321HBCG E【例 2】如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10厘米，求阴影部分的面积．KO QH G F EB A K O QH GF EBA【解析】对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化．如右图所示，连接FK 、GE 、BD ，则////BD GE FK ，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得DGE BGE S S ∆∆=，KGE FGE S S ∆∆=，所以阴影部分的面积就等于正方形GFEB 的面积，即为210100=平方厘米．【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．GAB CDGAB CDF【巩固】(2008年西城实验考题)如图，ABCD 与AEFG 均为正方形，三角形ABH 的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为．BE FHBCEFH【巩固】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？D G HE CCEHG D【例 3】长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？HGE【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：H E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++= 即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；而EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．P CAA CPCA【例 4】 (2007首届全国资优生思维能力测试)ABCD 是边长为12的正方形，如图所示，P 是内部任意一点，4BL DM ==、5BK DN ==，那么阴影部分的面积是．PKK P【解析】（法1）特殊点法．由于P 是内部任意一点，不妨设P 点与A 点重合(如上中图)，那么阴影部分就是AMN ∆和ALK ∆．而AMN ∆的面积为(125)4214-⨯÷=，ALK ∆的面积为(124)5220-⨯÷=，所以阴影部分的面积为142034+=．（法2）寻找可以利用的条件，连接AP 、BP 、CP 、DP 可得右上图所示：则有:211127222PDC PAB ABCD S S S ∆∆+==⨯=同理可得：72PAD PBC S S ∆∆+=;而::4:121:3PDM PDC S S DM DC ∆∆===,即13PDM PDC S S ∆∆=；同理：13PBL PAB S S ∆∆=,512PND PDA S S ∆∆=,512PBK PBC S S ∆∆=;所以：15()()()()312PDM PBL PND PBK PDC PAB PDA PBC S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+++=+++而()()()()PDM PBL PND PBK PNM PLK DNM BLK S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+++=+++阴影面积；145102DNM BLK S S ∆∆==⨯⨯=；所以阴影部分的面积是：15()()()312PNM PLK PDC PAB PDA PBC DNM BLK S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+=+++-+即为：15727210224302034312⨯+⨯-⨯=+-=．【例 5】 (2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC∆的面积是平方厘米．DADA【解析】连接CD ．根据题意可知，DEF ∆的面积为DAC ∆面积的13，DAC ∆的面积为ABC ∆面积的12，所以DEF ∆的面积为ABC ∆面积的111236⨯=．而DEF ∆的面积为5平方厘米，所以ABC ∆的面积为15306÷=(平方厘米)．【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？F ECBA【例 6】如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．48cm 224cm 236cm 212cm 2MNB A12cm 236cm 224cm 248cm 2【解析】如图，将大长方形的长的长度设为1，则12112364AB ==+，24124483CD ==+，所以1113412MN =-=，阴影部分面积为211(12243648)5(cm )212+++⨯⨯=．【例 7】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是．D【解析】根据题意可知，8928117ADCADE DCE S S S ∆∆∆=+=+=，所以::26:1172:9BDC ADC BD AD S S ∆∆===，那么::2:9DBE ADE S S BD AD ∆∆==，故222789(901)2019S =⨯=-⨯=-=．【例 8】 O 是长方形ABCD 内一点，已知OBC ∆的面积是25cm ，OAB ∆的面积是22cm ，求OBD ∆的面积是多少？POD C B【解析】由于ABCD 是长方形，所以12AOD BOC ABCD S S S ∆∆+=，而12ABD ABCD S S ∆=，所以AOD BOC ABD S S S ∆∆∆+=，则BOC OAB OBD S S S ∆∆∆=+，所以2523cm OBD BOC OAB S S S ∆∆∆=-=-=．【例 9】如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD ∆的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？CEFHPCEFH P【解析】根据差不变原理，要求平行四边形PHCF 的面积与平行四边形PGAE 的面积差，相当于求平行四边形BCFE 的面积与平行四边形ABHG 的面积差．如右上图，连接CP 、AP ．由于12BCP ADP ABP BDP ADP ABCD S S S S S S ∆∆∆∆∆+=++=，所以BCP ABP BDP S S S ∆∆∆-=．而12BCP BCFE S S ∆=，12ABP ABHG S S ∆=，所以()2216BCFE ABHG BCP ABP BDP S S S S S ∆∆∆-=-==(平方分米)．【例 10】如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形BPC ∆的面积是15，求阴影BPD ∆的面积．PBAOAB P【解析】连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ．如下图所示，可得//PO DC ，所以DPO ∆与CPO ∆面积相等(同底等高)，所以有：BPO CPO BPO PDO BPD S S S S S ∆∆∆∆∆+=+=，因为1120544BOC ABCD S S ∆==⨯=，所以15510BPD S ∆=-=．【巩固】如右图，正方形ABCD 的面积是12，正三角形BPC ∆的面积是5，求阴影BPD ∆的面积．PBAOAB DP【例 11】 (2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H ，已知CH等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．HG F E D C B AHGF ED CB A【解析】连接AC 、GF ，由于AC 与GF 平行，可知四边形ACGF 构成一个梯形．由于HCG ∆面积为6平方厘米，且CH 等于CF 的三分之一，所以CH 等于FH 的12，根据梯形蝴蝶定理或相似三角形性质，可知FHG ∆的面积为12平方厘米，AHF ∆的面积为6平方厘米，AHC ∆的面积为3平方厘米．那么正方形CGEF 的面积为()612236+⨯=平方厘米，所以其边长为6厘米．又AFC ∆的面积为639+=平方厘米，所以9263AD =⨯÷=(厘米)，即正方形ABCD 的边长为3厘米．那么，五边形ABGEF 的面积为：21369349.52++⨯=(平方厘米)．【例 12】如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是多少？F ED CB AF ED CB A F ED CB A【解析】方法一：连接对角线AE ． ∵ADEF 是长方形∴12ADE AEF ADEF S S S ∆∆==∴38ADB ADE S DB DE S ∆∆==， 12ACF AEF S FC EF S ∆∆== 5BE DE DB -1CE FE CF -∴1515162822BEC S ∆=⨯⨯⨯=∴132ABC ADEFADB ACF CBE S SS S S ∆∆∆∆=---=．方法二：连接BF ，由图知1628ABF S =÷=△，所以16835BEF S =--=△，又由4ACF S =△，恰好是AEF △面积的一半，所以C 是EF 的中点，因此52 2.5BCE BCF S S ==÷=△△，所以1634 2.5 6.5ABC S =---=△【例 13】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形ABC 中，D 是AB 边的中点，E 是AC边上的一点，且3AE EC =，O 为DC 与BE 的交点．若CEO ∆的面积为a 平方厘米，BDO ∆的面积为b 平方厘米．且b a -是2.5平方厘米，那么三角形ABC 的面积是平方厘米．E baOD CBA【解析】 12ABC BCD BCO S S b S ∆∆∆==+，14ABC BCE BCO S S a S ∆∆∆==+，所以112.524ABC ABC S S b a ∆∆-=-=(平方厘米)．所以 2.5410ABC S ∆=⨯=(平方厘米)．【例 14】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？G FD C【解析】如下图，连接FC ，DBF 、BFG 的面积相等，设为x 平方厘米;FGC 、DFC 的面积相等，设为y 平方厘米，那么DEF 的面积为13y 平方厘米．xyy x GFE DCBA221BCD S x y =+=，BDE 111S =x+y=l 333⨯=．所以有0.531x y x y +=⎧⎨+=⎩①②．比较②、①式，②式左边比①式左边多2x ，②式右边比①式右边大0.5，有20.5x =，即0.25x =,0.25y =．而阴影部分面积为2550.253312y y +=⨯=平方厘米．【例 15】 (2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图，45BC =，21AC =，ABC ∆被分成9个面积相等的小三角形，那么DI FK += ．KJIH GFE DC B A【解析】由题意可知，::2:9BAD ABC BD BC S S ∆∆==，所以2109BD BC ==，35CD BC BD =-=；又::2:5DIF DFC DI DC S S ∆∆==，所以2145DI DC ==，同样分析可得10FK =，所以141024DI FK +=+=．【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在角MON 的两边上分别有A 、C 、E 及B 、D 、F 六个点，并且OAB ∆、ABC ∆、BCD ∆、CDE ∆、DEF ∆的面积都等于1，则DCF ∆的面积等于．OBD FN【例 16】 (2009年四中入学测试题)如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是．GFE DC BAABC DE FG【解析】连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=，于是：2115652827ADG CBF S S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=；可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 17】 (2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为．O GFEDBA【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=；又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】(2008年”华杯赛”初赛)如图所示，矩形ABCD 的面积为24平方厘米．三角形ADM 与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON 的面积是平方厘米．NOMPDCBA【例 18】 (清华附中分班考试题)如图，如果长方形ABCD 的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ 的面积是多少平方厘米？3PD C B333D CB【解析】如图，过M 、N 、P 、Q 分别作长方形ABCD 的各边的平行线．易知交成中间的阴影正方形的边长为3厘米，面积等于9平方厘米．设MQD ∆、NAM ∆、PBN ∆、QCP ∆的面积之和为S ，四边形MNPQ的面积等于x ，则569x S x S +=⎧⎨-=⎩，解得32.5x =(平方厘米)．板块二鸟头模型【例 19】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【解析】连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【例 20】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【解析】连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 21】如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【解析】由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 22】已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【例 23】如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB AABCDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ． ∵11ABC DBC S S =，1ABC S =， ∴S 1DBC =．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯．又1ABCS=，所以8FCES=．同理可得6ADFS =，3BDES=．所以186318DEFABCFCEADFBDESS SS S=+++=+++=．【例 24】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2，求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△．又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 25】如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是．A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=．于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=．于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【例 26】如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS．SGF E DCBA【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．练习1. (第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？红绿黄红练习2. 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？F DECBA练习3. (97迎春杯决赛)如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且2AN BN =.那么，阴影部分的面积是多少？课后练习练习4. 如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FE DCBA练习5. 如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？E D CBA AB CD E练习6. 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF。

四年级下奥数第12讲基本直线形面积公式

四春第12讲基本直线形面积公式一、知识要点
平行四边形面积：S=a×h 推导式：底×高
三角形面积公式：S=1
2
a h 推导式：底×高÷2
梯形面积：S= 1
2
（a+b）×h 推导式：（上底+下底）×高÷2
二、例题精选
【例1】下图平行四边形的面积是多少？CD多长？
【巩固1】下图平行四边形ABCD的周长78cm，以CD为底时，它的高是18cm, BC=20cm，求它的面积。

【例2】下图已知阴影部分的面积27cm2，求平行四边形的面积？
【巩固2】下图平行四边形的面积是120cm2，求阴影部分图形中CD的长度。

【例3】下图由两个正方形组成，其边为6cm和4cm，求阴影面积是多少？
【巩固3】求下图中阴影部分的面积？
【例4】下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，大正方形边长为5厘米，求三角形ABC 的面积。

【巩固4】已知：ABCD是长方形，AB=4，BC=6，AE=3，CF=1。

（单位：厘米）求阴影部分的面积。

【例5】下图是一个梯形，面积为52 cm2，里面是一个空白长方形，求阴影部分的面积？
【例6】求下图阴影部分面积（cm2）。

四、回家作业
作业1、下图平行四边底边10cm，高5cm，求两个阴影面积之和是多少？
作业2、如图平行四边形的面积是24平方厘米，求阴影三角形的面积。

作业3利用一面墙围成一块菜地（如图），已知篱笆全长45米，则这块菜地的面积是多少平方米？
作业4如下图，左边梯形和右边三角形的面积相等，三角形的底是多少厘米？
作业5求下图中阴影部分面积（cm2）。

小学奥数讲义6年级-14-直线形面积综合-难版

一定综合性的直线形面积问题，重点是需要利用同底或同高的两三角形的面积相除的商等于对应高或对应底相除的商这一性质的问题，有时合理添加辅助线是解决问题的关键。

我们还会常常用到以下结论：（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图12::S S a b =baS 2S 1（3）在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．OFE DC BA知识梳理【例1】★如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米．E【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD 面积的一半，即4326⨯÷=(平方厘米)．【小试牛刀】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米．【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225÷=平方厘米．【例2】★★如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．E BAE BA典型例题【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ． ∵AE EB =， ∴AEH BEH S S =△△．同理，BFH CFH S S =△△，S =SCGH DGH，∴11562822ABCD S S ==⨯=阴影长方形(平方厘米)．【小试牛刀】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是．E GCFBBFCGE【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段．把H 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形．这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等．因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH 、BCH 和CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48．【例3】★★★已知图中，三角形ABC 的面积为8平方厘米，AE ＝ED ，BD=23 BC ，求阴影部分的面积。

第1讲四年级数学思维能力拓展专题突破系列(二十二)直线型面积计算讲义(含答案)

四年级数学思维能力拓展专题突破系列（二十二）直线型面积计算------直线形面积计算基础（1）1、掌握基本图形的面积公式2、会灵活应用多种方法求图形面积掌握基本图形面积的求法灵活应用面积公式例题1：用两块同样的等腰直角三角形可以拼成几种规则的几何图形？例题2：下图由两个正方形组成，其边为6cm和4cm，求阴影面积是多少？例题3：下图平行四边形的面积是多少？CD多长？例题4：下图已知阴影部分的面积24cm2，求平行四边形的面积？例题5：下图是一个梯形，面积为56 cm2，里面是一个空白长方形，求阴影部分的面积？（即是该课程的课后测试）练习1：四个大小相同的正方形拼成了一个大正方形，大正方形的周长比原来四个正方形周长和减少了8厘米。

大正方形的面积是多少？练习2：一张长方形的纸周长为40厘米，如果把这张纸按长边平分对折那么得到的新的小长方形周长为28厘米。

问原来大长方形纸的面积为多少？练习3：求下图的面积。

练习4：8个长为5宽为3的相同长方形组成了如下图的形状，求大长方形的面积。

练习5：如图是楼梯的侧面，每级台阶都一样，问这个侧面的面积为多少？练习1：解析：4平方厘米。

四个小正方形拼成一个大正方形相当于少了8个小边长，所以每个小边长为1厘米。

那么大正方形边长2厘米，则面积为2×2=4平方厘米。

练习2解析：96平方厘米。

新的小长方形相对于之前大的长方形周长少了一个大边的长度，所以原来的大边为12厘米，那么原来的宽为40÷2—12=8厘米。

所以原来的面积=12×8=96（平方厘米）。

练习3：解析：把原图看成一个大长方形挖去了一个小长方形，如下图。

则面积为大长方形面积减去小长方形面积：9×12-6×5=78练习4：解析：显然大长方形的长为5×3=15，宽为3×2+5=11，所以面积为15×11=165。

练习5：解析：如下图切一刀，然后拼成一个新的长方形。

四年级奥数专题直线型面积计算(学生版)

学科培优数学“直线型面积计算”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲讲解已经学过的几种基本平面几何图形：正方形、长方形、三角形、平行四边形、梯形等的相关面积计算方法,是几何问题中的常见常考内容。

知识梳理一、基本平面图形的计算公式【授课批注】在复习学校所学基本面积公式的同时也顺带复习周长的公式,这些知识点在具体题目中都可能用到。

二、重要模型模型一：同一三角形中,相应面积与底的正比关系：bs 2s 1即：两个三角形高相等,面积之比等于对应底边之比。

S 1︰S 2 =a ︰b ；模型一的拓展：等分点结论（“鸟头定理”）如图,三角形AED 占三角形ABC 面积的23×14=16模型二：任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”） ①S 1︰S 2=S 4︰S 3 或者S 1×S 3=S 2×S 4②AO ︰OC=（S 1+S 2）︰（S 4+S 3）模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）①S 1︰S 3=a 2︰b 2 ②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为（a+b ）2【授课批注】因为四年级还没学过比例,所以在讲用比所表示的模型时可使用份数这个概念,学生更容易理解。

对于部分学有余力的学生可以先讲比例再直接引入上面的关系式。

【重点难点解析】1．等底或等高的三角形的面积关系2．长方形或平行四边形与同底等高三角形的面积关系 3. 三角形内不规则图形部分的面积计算【竞赛考点挖掘】1. 基本几何图形的面积计算2. 三角形中底和高与面积的关系3. 四边形对角线所分成的四个三角形的面积关系S 4S 3s 2s 1ba S 4S 3s 2s 1O DCB A例题精讲【试题来源】【题目】图中三角形ABC的面积是180平方厘米,D是BC的中点,AD的长是AE长的3倍, EF 的长是BF长的3倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如图,把四边形ABCD的各边都延长2倍,得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方厘米,则EFGH的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】图中的四边形土地的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?【试题来源】【题目】如图16-4,已知．AE=15AC,CD=14BC,BF=16AB,那么DEFABC三角形的面积三角形的面积等于多少?【试题来源】【题目】如图,长方形ABCD的面积是2平方厘米,EC=2DE,F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如图,已知D是BC中点,E是CD的中点,F是AC的中点．三角形ABC由①～⑥这6部分组成,其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】左下图是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．如右下图,将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合,那么右下图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米?习题演练【试题来源】【题目】如图,在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10与12,已知梯形的上底长是下底长的23．那么余下阴影部分的面积是多少?【试题来源】【题目】图中ABCD是梯形,三角形ADE面积是1．8,三角形ABF的面积是9,三角形BCF的面积是27．那么阴影部分面积是多少?【试题来源】【题目】如图,梯形ABCD的上底AD长为3厘米,下底BC长为9厘米,而三角形ABO的面积为12平方厘米．则梯形ABCD的面积为多少平方厘米?【试题来源】【题目】如图,BD,CF将长方形ABCD分成4块,红色三角形面积是4平方厘米,黄色三角形面积是6平方厘米．问：绿色四边形面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如图,平行四边形ABCD周长为75厘米．以BC为底时高是14厘米；以CD为底时高是16厘米．求平行四边形ABCD的面积．【试题来源】【题目】如图,一个正方形被分成4个小长方形,它们的面积分别是110平方米、15平方米、3 10平方米和25平方米．已知图中的阴影部分是正方形,那么它的面积是多少平方米?【试题来源】【题目】图中外侧的四边形是一边长为10厘米的正方形,求阴影部分的面积．【试题来源】【题目】如图,长方形被其内的一些直线划分成了若干块,已知边上有3块面积分别是13,35,49．那么图中阴影部分的面积是多少?【试题来源】【题目】在右图的△ABC中,CE=2AE,BD=3DC,已知△DEC的面积是4cm2,求△ABC的面积。

第十六讲等积变换模型直线形计算一

直线形计算一等积变换模型（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形的底相等，面积比等于他们高的比; 们底的比）S i ：S 2 二BD ：DC（3）两个三角形面积的比等于这两个三角形底与各自对应高的乘积的比。

底和高均不同，所以SM ：SMDE=（BDxh 2）：（DC5i）比如：两个三角形的底的比是 5:3, 那么他们的面积的比是（与各自底对应的高的比是 7:6,5X 7）: （ 3 X 6）1.如下图，四边形 ABCD 是直角梯形。

其中角形ADE 四边形DEBF 三角形CDF 的面积相等，请问阴影三角形2 .一块长方形的土地被分割成 4个小长方形，其中三块的面积如下图所示（单位：平方米）剩下一块的面积应该是多少平方米？3C1540AB 为公共边，所以S 出BC ：S 螂D = h 2：h i（或者两个三角形的高相等，面积比等于他h i 为公共的高，所以AD=12（厘米），AB=8（厘米），BC=15（厘米），并且三 DEF 的面积是多少？，请问:3 .如下图，在三角形 ABC 中，BC 是DC 的3倍，AC 是EC 的3倍.三角形DEC 的面积是3平方厘米.请问：三角形 ABC 的面积是多少平方厘米？4 .如下图，E 是BC 上靠近C 的三等分点，且 ED 是AD 的2倍.三角形 ABC 的面积是36平方厘米三角形BDE的面积是多少平方厘米？5 .如下图所示，已知三角形 BEC 的面积等于20平方厘米，E 是AB 边上靠近B 点的四等分点.角形AED 的面积是多少平方厘米？6.如下图所示，已知平行四边形 ABCD 的面积为36,三角形AOD 的面积为8.三角形积为多少？7.如下图所示，长方形ABCD 的面积是96平方厘米，E 是AD 边上靠近D 点的三等分点, 边上靠近C 点的四等分点•阴影部分的面积是多少平方厘米？&如下图，将一个长为 18的长方形，分成一个三角形和一个梯形，而且梯形的面积是三角形面积的5倍。

7 第7讲直线形计算一

四年级第7讲直线形计算一兴趣篇：1、如图7－1，由16个同样大小的正方形组成一个“5”字，如果这个图形的周长是102厘米，那么它的面积是多少平方厘米？图7－12、如图7－2，用两块长方形纸片和一块小正方形纸片拼成了一个大正方形纸片，其中小正方形纸片面积是49平方厘米，其中一个长方形纸片的面积是28平方厘米。

那么最后拼成的大正方形纸片面积是多少平方厘米？图7－23、如图7－3，小、中、大三个正方形从左到右依次紧挨着摆放，边长分别是3，7，9。

图中两个阴影平行四边形的面积分别是多少？图7－34、如图7－4，大正方形的边长是8厘米，小正方形的面积是6厘米。

请问：图中阴影图形的面积是多少平方厘米？图7－45、如图7－5，四个边长为6的小正方形拼成了一个大正方形，分别取每个小正方形的上下边中点，如图连接，问：阴影部分面积是多少？图7－56、如图7－6，从梯形ABCD中分出两个平行四边形ABEF和CDFG，其中ABEF 的面积是60平方米，且AF的长度为10米，FD的长度为4米，那么平行四边形CDFG的面积等于多少平方米？图7－67、如图7－7，把大、小两个正方形拼在一起，它们的边长分别是8厘米和6厘米，那么图（a）和图（b）中阴影部分的面积分别是多少平方厘米？（a）（b）图7－78、如图7－8，在正方形ABCD中，对角线AC的长度为8厘米，那么正方形的面积是多少平方厘米？图7－89、如图7－9，平行四边形ABCD中，AD为20厘米，高CH为9厘米；E是底边BC上的一点，且BE长6厘米，那么两个阴影三角形的面积之和是多少平方厘米？图7－910、如图7－10，在平行四边形ABCD中，三角形BCE的面积是42平方厘米，BC 的长度为14厘米，AE的长度为9厘米，那么平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？三角形ECD的面积又是多少平方厘米？图7－10拓展篇：1、如图7－11，有一块长方形田地被分成了五小块，分别栽种了茄子、黄瓜、豆角、莴笋和苦瓜，其中栽种茄子的面积是16平方米，栽种黄瓜的面积是28平方米，栽种豆角的面积是32平方米，栽种莴笋的面积是72平方米，而且左上角栽种茄子的田地恰好是一个正方形，请问：剩下的栽种苦瓜的田地面积是多少？图7－112、如图7－12，校园中间有个正方形花坛，花坛的四周铺了1米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是24平方米，那么花坛的面积是多少平方米？图7－123、如图7－13，八个同样大小的长方形拼成了一个大长方形，已知大长方形的周长是84厘米，那么大长方形的面积是多少？图7－134、如图7－14，两个边长10厘米的正方形相互错开3厘米。

初中数学《直线型面积(一)》讲义及练习

最基本的思想是等积变形。

一、等积变形①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图12::S S a b =baS 2S 1 DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A板块一、等积变形【例 1】如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为知识精讲教学目标第一讲直线型面积（一）AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．E BAE【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ． ∵AE EB =，∴AEH BEH S S =△△．同理，BFH CFH S S =△△，S =S CGH DGH ，∴11562822ABCD S S ==⨯=阴影长方形(平方厘米)．【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是．E GCBBCG E【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段．把H 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形．这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等．因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH 、BCH 和CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48．【例 2】如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10厘米，求阴影部分的面积．KEBAK EBA【解析】对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化．如右图所示，连接FK 、GE 、BD ，则////BD GE FK ，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得DGE BGE S S ∆∆=，KGE FGE S S ∆∆=，所以阴影部分的面积就等于正方形GFEB 的面积，即为210100=平方厘米．【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．AA【解析】这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接AD (见右上图)，可以看出，三角形ABD 与三角形ACD 的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形AGD 是三角形ABD 与三角形ACD 的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABG 与三角形GCD 面积仍然相等．根据等量代换，求三角形ABC 的面积等于求三角形BCD 的面积，等于4428⨯÷=．【巩固】(2008年西城实验考题)如图，ABCD 与AEFG 均为正方形，三角形ABH 的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为．FF【解析】如图，连接AF ，比较ABF ∆与ADF ∆，由于AB AD =，FG FE =，即ABF ∆与ADF ∆的底与高分别相等，所以ABF ∆与ADF ∆的面积相等，那么阴影部分面积与ABH ∆的面积相等，为6平方厘米．【巩固】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？【解析】方法一：三角形BEF 的面积2BE EF =⨯÷，梯形EFDC 的面积22EF CD CE BE EF =+⨯÷=⨯÷=（）三角形BEF 的面积，而四边形CEFH 是它们的公共部分，所以，三角形DHF 的面积=三角形BCH 的面积，进而可得，阴影面积=三角形BDF 的面积=三角形BCD 的面积1010250=⨯÷=(平方厘米)．方法二：连接CF ，那么CF 平行BD ，所以，阴影面积=三角形BDF 的面积=三角形BCD 的面积50=(平方厘米)．【例 3】长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++= 即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；而EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【解析】（法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【例 4】 (2007首届全国资优生思维能力测试)ABCD 是边长为12的正方形，如图所示，P 是内部任意一点，4BL DM ==、5BK DN ==，那么阴影部分的面积是．【解析】（法1）特殊点法．由于P 是内部任意一点，不妨设P 点与A 点重合(如上中图)，那么阴影部分就是AMN ∆和ALK ∆．而AMN ∆的面积为(125)4214-⨯÷=，ALK ∆的面积为(124)5220-⨯÷=，所以阴影部分的面积为142034+=．（法2）寻找可以利用的条件，连接AP 、BP 、CP 、DP 可得右上图所示：则有:211127222PDC PAB ABCD S S S ∆∆+==⨯=同理可得：72PAD PBC S S ∆∆+=;而::4:121:3PDM PDC S S DM DC ∆∆===,即13PDM PDC S S ∆∆=；同理：13PBL PAB S S ∆∆=,512PND PDA S S ∆∆=,512PBK PBC S S ∆∆=;所以：15()()()()312PDM PBL PND PBK PDC PAB PDA PBC S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+++=+++而()()()()PDM PBL PND PBK PNM PLK DNM BLK S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+++=+++阴影面积；145102DNM BLK S S ∆∆==⨯⨯=；所以阴影部分的面积是：15()()()312PNM PLK PDC PAB PDA PBC DNM BLK S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+=+++-+即为：15727210224302034312⨯+⨯-⨯=+-=．【例 5】 (2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC∆的面积是平方厘米．AA【解析】连接CD ．根据题意可知，DEF ∆的面积为DAC ∆面积的13，DAC ∆的面积为ABC ∆面积的12，所以DEF ∆的面积为ABC ∆面积的111236⨯=．而DEF ∆的面积为5平方厘米，所以ABC ∆的面积为15306÷=(平方厘米)．【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？CB【解析】 ABD ，ABC 等高，所以面积的比为底的比，有12ABD ABCS BD SBC ==, 所以ABDS=111809022ABC S ⨯=⨯=(平方厘米)．同理有190303ABE ABD AE S S AD =⨯=⨯=(平方厘米)，34AFEABE FE SS BE =⨯=3022.5⨯= (平方厘米)．即三角形AEF 的面积是22.5平方厘米．【例 6】如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．【解析】如图，将大长方形的长的长度设为1，则12112364AB ==+，24124483CD ==+，所以1113412MN =-=，阴影部分面积为211(12243648)5(cm )212+++⨯⨯=．【例 7】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是．【解析】根据题意可知，8928117ADCADE DCE S S S ∆∆∆=+=+=，所以::26:1172:9BDC ADC BD AD S S ∆∆===，那么::2:9DBE ADE S S BD AD ∆∆==，故222789(901)20199999DBE S ∆=⨯=-⨯=-=．【例 8】 O 是长方形ABCD 内一点，已知OBC ∆的面积是25cm ，OAB ∆的面积是22cm ，求OBD ∆的面积是多少？B【解析】由于ABCD 是长方形，所以12AOD BOC ABCD S S S ∆∆+=，而12ABD ABCD S S ∆=，所以AOD BOC ABD S S S ∆∆∆+=，则BOC OAB OBD S S S ∆∆∆=+，所以2523cm OBD BOC OAB S S S ∆∆∆=-=-=．【例 9】如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD ∆的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？CHCH【解析】根据差不变原理，要求平行四边形PHCF 的面积与平行四边形PGAE 的面积差，相当于求平行四边形BCFE 的面积与平行四边形ABHG 的面积差．如右上图，连接CP 、AP ．由于12BCP ADP ABP BDP ADP ABCD S S S S S S ∆∆∆∆∆+=++=，所以BCP ABP BDP S S S ∆∆∆-=．而12BCP BCFE S S ∆=，12ABP ABHG S S ∆=，所以()2216BCFE ABHG BCP ABP BDP S S S S S ∆∆∆-=-==(平方分米)．【例 10】如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形BPC ∆的面积是15，求阴影BPD ∆的面积．BAAB【解析】连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ．如下图所示，可得//PO DC ，所以DPO ∆与CPO ∆面积相等(同底等高)，所以有：BPO CPO BPO PDO BPD S S S S S ∆∆∆∆∆+=+=，因为1120544BOC ABCD S S ∆==⨯=，所以15510BPD S ∆=-=．【巩固】如右图，正方形ABCD 的面积是12，正三角形BPC ∆的面积是5，求阴影BPD ∆的面积．BAAB D【解析】连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ．如右上图所示，可得//PO DC ，所以DPO ∆与CPO ∆面积相等(同底等高)，所以有:BPO CPO BPO PDO BPD S S S S S ∆∆∆∆∆+=+=，因为134BOC ABCD S S ∆==，所以532BPD S ∆=-=．【例 11】 (2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H ，已知CH等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．HG F E D C B AHGF ED CB A【解析】连接AC 、GF ，由于AC 与GF 平行，可知四边形ACGF 构成一个梯形．由于HCG ∆面积为6平方厘米，且CH 等于CF 的三分之一，所以CH 等于FH 的12，根据梯形蝴蝶定理或相似三角形性质，可知FHG ∆的面积为12平方厘米，AHF ∆的面积为6平方厘米，AHC ∆的面积为3平方厘米．那么正方形CGEF 的面积为()612236+⨯=平方厘米，所以其边长为6厘米．又AFC ∆的面积为639+=平方厘米，所以9263AD =⨯÷=(厘米)，即正方形ABCD 的边长为3厘米．那么，五边形ABGEF 的面积为：21369349.52++⨯=(平方厘米)．【例 12】如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是多少？F ED CB AF ED CB A F ED CB A【解析】方法一：连接对角线AE ． ∵ADEF 是长方形∴12ADE AEF ADEF S S S ∆∆==∴38ADB ADE S DB DE S ∆∆==， 12ACF AEF S FC EF S ∆∆== ∴58BE DE DB DE DE -==，12CE FE CF EF EF -== ∴1515162822BEC S ∆=⨯⨯⨯=∴132ABC ADEF ADB ACF CBE S S S S S ∆∆∆∆=---=．方法二：连接BF ，由图知1628ABF S =÷=△，所以16835BEF S =--=△，又由4ACF S =△，恰好是AEF △面积的一半，所以C 是EF 的中点，因此52 2.5BCE BCF S S ==÷=△△，所以1634 2.5 6.5ABC S =---=△【例 13】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形ABC 中，D 是AB 边的中点，E 是AC边上的一点，且3AE EC =，O 为DC 与BE 的交点．若CEO ∆的面积为a 平方厘米，BDO ∆的面积为b 平方厘米．且b a -是2.5平方厘米，那么三角形ABC 的面积是平方厘米．E baOD CBA【解析】 12ABC BCD BCO S S b S ∆∆∆==+，14ABC BCE BCO S S a S ∆∆∆==+，所以112.524ABC ABC S S b a ∆∆-=-=(平方厘米)．所以 2.5410ABC S ∆=⨯=(平方厘米)．【例 14】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？D C【解析】如下图，连接FC ，DBF 、BFG 的面积相等，设为x 平方厘米;FGC 、DFC 的面积相等，设为y 平方厘米，那么DEF 的面积为13y 平方厘米．xyy x GFE D CBA221BCD S x y =+=，BDE 111S =x+y=l 333⨯=．所以有0.531x y x y +=⎧⎨+=⎩①②．比较②、①式，②式左边比①式左边多2x ，②式右边比①式右边大0.5，有20.5x =，即0.25x =,0.25y =．而阴影部分面积为2550.253312y y +=⨯=平方厘米．【例 15】 (2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图，45BC =，21AC =，ABC ∆被分成9个面积相等的小三角形，那么DI FK += ．KJIH GFE DC B A【解析】由题意可知，::2:9BAD ABC BD BC S S ∆∆==，所以2109BD BC ==，35CD BC BD =-=；又::2:5DIF DFC DI DC S S ∆∆==，所以2145DI DC ==，同样分析可得10FK =，所以141024DI FK +=+=．【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在角MON 的两边上分别有A 、C 、E 及B 、D 、F 六个点，并且OAB ∆、ABC ∆、BCD ∆、CDE ∆、DEF ∆的面积都等于1，则DCF ∆的面积等于．O【解析】根据题意可知，::4:1OED DEF OD DF S S ∆∆==，所以14DF OD =，1133444DCF OCD S S ∆∆==⨯=．【例 16】 (2009年四中入学测试题)如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是．GFE DC BAABC DE FG【解析】连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=，于是：2115652827ADG CBF S S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=；可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 17】 (2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为．BA【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=；又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】(2008年”华杯赛”初赛)如图所示，矩形ABCD 的面积为24平方厘米．三角形ADM 与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON 的面积是平方厘米．NOMPDCBA【解析】因为三角形ADO 与三角形BCO 的面积之和是矩形ABCD 的面积的一半，即12平方厘米，又三角形ADM 与三角形BCN 的面积之和为7.8平方厘米，则三角形AMO 与三角形BNO 的面积之和是4.2平方厘米，则四边形PMON 的面积=三角形ABP 面积-三角形AMO 与三角形BNO 的面积之和-三角形ABO 面积12 4.26 1.8=--=(平方厘米)．【例 18】 (清华附中分班考试题)如图，如果长方形ABCD 的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ 的面积是多少平方厘米？【解析】如图，过M 、N 、P 、Q 分别作长方形ABCD 的各边的平行线．易知交成中间的阴影正方形的边长为3厘米，面积等于9平方厘米．设MQD ∆、NAM ∆、PBN ∆、QCP ∆的面积之和为S ，四边形MNPQ的面积等于x ，则569x S x S +=⎧⎨-=⎩，解得32.5x =(平方厘米)．板块二鸟头模型【例 19】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【解析】连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【例 20】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【解析】连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 21】如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC E B A【解析】由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 22】已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【例 23】如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB AABCDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ． ∵11ABC DBC S S =，1ABC S =， ∴S 1DBC =．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯．又1ABCS=，所以8FCES=．同理可得6ADFS =，3BDES=．所以186318DEFABCFCEADFBDESS SS S=+++=+++=．【例 24】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2，求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△．又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 25】如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是．A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=．于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=．于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【例 26】如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS．SGF E DCBA【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．练习1. (第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？红绿黄红【解析】黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的50%，而绿色三角形面积占长方形面积的15%，所以黄色三角形面积占长方形面积的50%15%35%-=．已知黄色三角形面积是221cm ，所以长方形面积等于2135%60÷=（2cm ）．练习2. 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？F DECBA【解析】 AEC 、AFC 、ABF ．练习3. (97迎春杯决赛)如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且2AN BN =.那么，阴影部分的面积是多少？【解析】连接BM ，因为M 是中点所以ABM △的面积为14又因为2AN BN =，所以BDC △的面积为1114312⨯=，又因为BDC △面积为12，所以阴影部分的面积为：115112212--=.练习4. 如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FED CBA【解析】三角形ADC 的面积是三角形ABC 面积的一半24212÷=，三角形ADE 又是三角形ADC 面积的一半1226÷=．三角形FED 的面积是三角形ADE 面积的一半，所以三角形FED 的面积623=÷=．练习5. 如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？课后练习EDCBA AB CDE【解析】连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABCS S S=÷=÷，∴1515ABCADESS==．练习6. 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△．又2ABCS=，所以0.5FCES=．同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△。

五年级数学思维能力拓展专题突破系列(二)用比例解直线型面积问题讲义(含答案)

五年级数学思维能力拓展专题突破系列（二）用比例解直线型面积问题——简单直线型面积图形认识简单直线型图形并了解直线型图形面积的求法1、认识简单直线型图形2、了解直线型图形面积的求法1. 计算下图的面积：AB=12，BF=10，EF=8，DE=5。

（单位：厘米）2. 已知△ABC，ADEF是正方形，BE=10，CE=8，求△BDE和△EFC的面积之和是多少？3. 如图，ABCF是梯形，EFCD是正方形，AF=6，BC=8，求三角形AEF的面积是多少？（即是该课程的课后测试）1. 简答题：小学要学的五个常规直线型图形是哪些？2. 简答题：有哪些常用技巧？3. 在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见下图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几？4. 在下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。

5. 如图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。

求这个梯形的面积。

1. 答案：正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形。

2. 答案：割补法，平移法，旋转法，差不变等。

3. 答案：1 3将两个这样的三角形拼成一个平行四边形。

显然，图中阴影面积占平行四边形面积的13，根据商不变性质，将阴影面积和平行四边行面积同时除以2，商不变。

所以原题阴影部分占整个图形面积的13。

4. 答案：24题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法与矩形联系起来。

我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见图）。

因为A与A′，B与B′面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。

乙的面积是4×6=24，所以甲的面积，即所求矩形的面积也是24。

5. 答案：14平方厘米因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。

可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。

将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（如下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。

五年级奥数五个几何模型

直线形面积计算的五个模型知识点精讲一、等积变换模型〔1〕等底等高的两个三角形面积相等；〔2〕两个三角形的底相等，面积比等于他们高的比；〔或者两个三角形的高相等，面积比等于他们底的比〕AB为公共边，所以s:sh:hABCABD21h为公共的高，所以s1:s2BD:DC1〔3〕两个三角形面积的比等于这两个三角形底与各自对应高的乘积的比。

底和高均不同，所以ABD:CDEBD:(DCh)ssh21比方：两个三角形的底的比是5:3，与各自底对应的高的比是7:6，那么他们的面积的比是〔5×7〕：〔3×6〕二、鸟头模型〔共角模型〕两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角〔相等角或互补角〕两条夹边的乘积之比。

DAC和BAC互补，::sDACsBACDAACBAAC所以A为公共角，所以s DAE:sBACDAAE:BAAC推理过程：连接BE，运用等积变换模型证明。

三、蝴蝶定理模型1．任意四边形中的比例关系〔蝴蝶定理〕高思学校顶级教研团队为您量身定制最适合的课程-1-s1:s2s4:s3或者ssss1342AO:OCs：ss：s〔ss〕：〔s+s〕14231+243蝴蝶定理为我们提供了解决不规那么四边形的面积问题的一个途径。

通过构造模型，一方面可以是不规那么四边形的面积关系与四边形内三角形相联系；另一方面也可以得到与面积对应的对角线被分割的两段之间的比例关系。

2．梯形中比例关系〔梯形蝴蝶定理〕22s1：s3a:b22s1：s3:s2：s4a:b：ab：ab整个梯形对应的面积份数为：(a+b)2四、相似模型相似三角形性质：〔金字塔模型〕〔沙漏模型〕下面的比例关系适用如上两种模型：1、A DAEDEAFABACBCAG2、22s:sAF:AGADEABC所谓的相似三角形，就是形状一样，大小不同的三角形〔只要其形状不改变，不管大小怎样改变，他们都是相似的〕，与相似三角形相关的常用的性质以及定理如下：〔1〕相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于他们的相似比；〔2〕相似三角形的面积比等于他们的相似比的平方。

2013寒假 6年级第04讲直线型面积1

积是平方厘米．
例5 图中三角形 ABC 的面积是 180 平方厘米， D 是 BC 的中点， AD 的长是 AE 长的 3 倍， EF 的长是 BF 的长的 3
倍．那么三角形 AEF 的面积是多少平方厘米？
A
E
F
B
D
C
例6 如图，在三角形 ABC 中，D 是 BC 的中点，E、F 是 AC 的三等分点。已知三角形 ABC 的面积是 108 平方厘米，求三角形 CDE 的面积
C
4. 如图，三角形 ABC 中， AB 是 AD 的 5 倍， AC 是 AE 的 3 倍，如果三角形 ADE 的面积等于 1，那么三角形 ABC 的面积是多少？
A
DE
B
C
5. 图中的 E 、 F 、 G 分别是正方形 ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是 12 ，那么阴影部分的面积
是
．
A
D
G E
B F
4C
6. 如图， S ABC 1, BC 5BD, AC 4EC, DG GS SE, AF FG. 求 S FGS
A
F
E
G BD
S
C
7. 如图，已知三角形 ABC 面积为1 ，延长 AB 至 D ，使 BD AB ；延长 BC 至 E ，使 CE 2BC ；延长 CA 至 F ，使 AF 3AC, 求三角形 DEF 的面积．
用途：线段比与面积比之间的相互转化
共角三角形（鸟头定理）
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在 △ABC 中， D, E 分别是 AB, AC 上的点(或 D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上)，如图，

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等积变形
模块一：等积变形
【例1】如下图所示，三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD是AE的3倍。

请问：三角形ABE的面积是多少平方厘米？
【例2】如下图，已知AB=3AE，AC=2AD，三角形ABC的面积是36，求三角形AED的面积．
【巩固】下图中,三角形ABC的面积是30平方厘米,D是BC的中点,AE的长是ED的长的2倍,那么三角形CDE的面积是多少平方厘米？
【巩固】如右上图，在三角形ABC中，BC是DC的3倍，AC是EC的3倍．三角形DEC的面积是3平方厘米．请问：三角形ABC的面积是多少平方厘米？
【巩固】如图，三角形ABC中，DC＝2BD，CE＝3AE，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC的面积是多少？
【例3】如下图，四边形ABCD是直角梯形。

其中AD=12，AB=8，BC=15，并且三角形ADE、四边形DEBF、三角形CDF的面积相等，请问阴影三角形DEF的面积是多少？
△
【巩固】如右图，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，已知S△ABC=27平方厘米，求S DEF
【例4】计算下图中阴影部分的面积占长方形总面积的几分之几？
【例5】如图，阴影部分的面积是总面积的（）
【巩固】点P是长方形内任意一点，阴影部分的总面积与空白部分总面积比较（）
A．S阴＞S白B．S阴＜S白C．S阴=S白
【巩固】如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是______。

【巩固】如图，正方形ABCD的边长为6，AE＝1.5，CF＝2。

长方形EFGH的面积为____。

【巩固】如下图，E、F分别是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的点，DF＝FC，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等。

已知梯形ABCD的面积是32平方厘米。

求图中阴影部分的面积。

【例6】如图是由两个正方形拼起来的，边长分别是7厘米和11厘米．则阴影部分（三角形ABC）的面积是________平方厘米．
【例7】如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24米，BC=8米，求三角形ZCY 的面积
【巩固】如图：阴影三角形的面积是________．
【巩固】如图：三角形ABC的面积是24平方厘米，是平行四边形BDEF面积的2倍．求阴影部分的面积．
【例8】一块长方形的土地被分割成4个小长方形，其中三块的面积如下图所示（单位：平方米），请问：剩下一块的面积应该是多少平方米？
【例9】如下图，有9个小长方形，其中的5个小长方形的面积分别为4,8,12,16,20平方米。

请问，其余
4
个小长方形的面积分别是多少平方米？
【例10】如下图所示，三角形ABC 的每边长都是96厘米，用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角
形．请求出CE 和CF
的长度之和？
【例11】长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面
积是多少？
【巩固】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的
面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？
7
6
E D
C B A
【例12】如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形
组合而成．求阴影部分的面积．
【例13】如图，四边形ABCD中，E为BC的中点，AE与BD交于F，且F是BD的中点，O是AC，BD的交点，
AF=2EF．三角形AOD的面积是3平方厘米，求四边形ABCD
的面积．
【例14】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P
点连接,求阴影部分面积．
【例15】如图,正方形ABCD的边长为12,P是边AB上的任意一点,M、N、I、H分别是边BC、AD 上的三等分点,E、F、G是边CD
上的四等分点,图中阴影部分的面积是多少？
【例16】如图所示，在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是ABCD 各边的中点，求阴影部分与四边形
PQRS
的面积之比．
【例17】如右图，长方形ABCD 的长是8厘米，宽是5厘米，阴影部分的面积和是12平方厘米，求四边形
OEFG
的面积是多少平方厘米？
【例18】如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10厘米，
求阴影部分的面积．
K P 【例19】两个正方形如下图表示，大正方形ABCD 的边长是10cm ，求图中阴影BFD ∆
的面积是多少？【例20】如图，已知长方形ADEF 的面积是16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三
角形ABC 的面积是___________．
E
F
D C
B A。