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北京市数学九年级上册期末试卷(解析版)

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2021-2022学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试题及答案解析

2021-2022学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试题及答案解析

2021-2022学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点(0,0)的是( )A. y=x+1B. y=x2C. y=(x−4)2D. y=1x2.下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是( )A. B.C. D.3.抛物线y=(x−2)2+1的顶点坐标为( )A. (2,1)B. (2,−1)C. (−2,−1)D. (−2,1)4.在△ABC中，CA=CB，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C与AB的位置关系是( )A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定5.小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案(如图)，则α可以为( )A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°6.把长为2m的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为x m，依题意，可列方程为( )A. x2=2(2−x)B. x2=2(2+x)C. (2−x)2=2xD. x2=2−x7.如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是( )A. A，B，C都不在B. 只有BC. 只有A，CD. A，B，C8.做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：抛掷次数m5001000150020002500300040005000“正面向上”的次数n26551279310341306155820832598“正面向上”的频率nm0.5300.5120.5290.5170.5220.5190.5210.520下面有3个推断：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中所有合理推断的序号是( )A. ②B. ①③C. ②③D. ①②③二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.已知y是x的函数，且当x>0时，y随x的增大而减小.则这个函数的表达式可以是.(写出一个符合题意的答案即可)10.在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则取出红球的概率是．11.若点A(−1,y1)，B(2,y2)在二次函数y=2x2的图象上，则y1，y2的大小关系为：y1____ y2(填“>”，“=”或“<”)．12.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(−2,0)，点B(0,1).将线段BA绕点B旋转180°得到线段BC，则点C的坐标为．13.若关于x的方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为．14.如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，Q是优弧AB⏜上一点，若∠P=40°，则∠Q的度数是．15.小明烘焙了几款不同口味的饼干，分别装在同款的圆柱形盒子中，为区别口味，他打算制作“∗∗饼干”字样的矩形标签粘贴在盒子侧面．为了获得较好的视觉效果，粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90°(如图).已知该款圆柱形盒子底面半径为6cm，则标签长度l应为cm.(π取3.1)16.给定二元数对(p,q)，其中p=0或1，q=0或1.三种转换器A，B，C对(p,q)的转换规则如下：规则a.转换器A当输入(1,1)时，输出结果为1；其余输出结果均为0．转换器B当输入(0,0)时，输出结果为0；其余输出结果均为1．转换器C当输入(1,1)时，输出结果为0；其余输出结果均为1．b.在组合使用转换器时，A，B，C可以重复使用．(1)在图1所示的“A−B−C”组合转换器中，若输入(1,0)，则输出结果为；(2)在图2所示的“①−C−②”组合转换器中，若当输入(1,1)和(0,0)时，输出结果均为0，则该组合转换器为“−C−”.(写出一种组合即可)．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。

【初三数学】北京市九年级数学上期末考试测试卷(含答案解析)

【初三数学】北京市九年级数学上期末考试测试卷(含答案解析)

九年级（上）数学期末考试试题(含答案)一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑）1．（4分）在有理数﹣6，3，0，﹣7中，最小的数是（）A．﹣6B．3C．0D．﹣72．（4分）如图是由几个相同的小正方体堆砌成的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．3．（4分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x＞2B．x≤2且x≠0C．x＜2D．x＞2且x≠04．（4分）下列图形都是由同样大小的地砖按照一定规律所组成的，其中第①个图形中有4块地砖，第②个图形中有9块地砖，第③个图形中有16块地砖，…，按此规律排列下去，第9个图形中地砖的块数为（）A．81B．99C．100D．1215．（4分）如图，△ABC中，DE∥BC且＝，若△ABC的面积等于，则四边形DBCE 的面积为（）A．B．C．D．46．（4分）下列命题是真命题的是（）A．一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．四边都相等的矩形是正方形D．对角线相等的四边形是矩形7．（4分）估计（﹣）的值应在（）A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间8．（4分）按如图所示的程序运算，如果输出y的结果是4，则输入x的值可能是（）A．±2B．2或3C．﹣2或3D．±2或39．（4分）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交BC于点D，连接AD，若∠DAC ＝30°，DC＝1，则⊙O的半径为（）A．2B．C．2﹣D．110．（4分）如图，小明站在某广场一看台C处，测得广场中心F的俯角为21°，若小明身高CD＝1.7米，BC＝1.9米，BC平行于地面F A，台阶AB的坡度为i＝3：4，坡长AB＝10.5米，则看台底端A点距离广场中心F点的距离约为（）米．（参考数据：sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38）A．8.9B．9.7C．10.8D．11.911．（4分）若数a使关于x的二次函数y＝x2+（a﹣1）x+b，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；且使关于y的分式方程+＝2有非负数解，则所以满足条件的整数a 的是（）A．﹣2B．1C．0D．312．（4分）如图，已知Rt△ABC的直角顶点A落在x轴上，点B、C在第一象限，点B的坐标为（，4），点D、E分别为边BC、AB的中点，且tan B＝，反比例函数y＝的图象恰好经过D、E，则k的值为（）A．B．8C．12D．16二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将正确答案书写在答题卡（卷）中对应的位置上13．（4分）计算：|1﹣|+（π﹣3.14）0+＝．14．（4分）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆O 交AB于点D，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．15．（4分）如图，在4×4正方形网格中，有4个涂成黑色的小方格，现在任意选取一个白色的小方格涂成黑色，则使得黑色部分的图形构成轴对称图形的概率为．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，把△ABC沿斜边AC折叠，使点B落在B’，点D，点E分别为BC和AB′上的点，连接DE交AC于点F，把四边形ABDE沿DE折叠，使点B与点C重合，点A落在A′，连接AA′交B′C于点H，交DE于点G．若AB＝3，BC＝4，则GE的长为．17．（4分）一天学生小明早上从家去学校，已知小明家离学校路程为2280米（小明每次走的路程），小明从家匀速步行了105分钟后，爸爸发现小明的一科作业忘带，爸爸立刻拿起小明忘带的作业匀速跑步追赶小明，追上小明后爸爸立即将作业交给小明，小明继续以原速向学校行走（假定爸爸将作业交给小明的时间忽略不计），爸爸将作业带给小明后，原地接了2分钟的电话后，立即以更快的速度匀速返回家中．小明和爸爸两人相距的路程y（米）与小明出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则爸爸到达家时，小明与学校相距的路程是米．18．（4分）某水果销售商在年末准备购进一批水果进行销售，经过市场调查，发现芒果、车厘子、奇异果、火龙果比较受顾客的喜爱，于是制定了进货方案．其中芒果、车厘子的进货量与奇异果、火龙果的进货量分别相同，而芒果、车厘子的单价与火龙果、奇异果的单价分别相同，已知芒果和车厘子的单价和为每千克180元，且芒果和车厘子的进货总价比奇异果和火龙果的进货总价多863元．由于年末资金周转不开，所以临时决定只购进芒果和车厘子，芒果和车厘子的进货量与原方案相同，且进货量总数不超过300kg，则该水果商最多需要准备元进货资金．三、解答题：（本大题2个小题，第19小题8分，第20小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡卷）中对应的位置上19．（8分）先化简，再求值：÷（a﹣2﹣）+，其中a2﹣2a﹣6＝0 20．（8分）如图，直线AB∥CD，EF平分∠AEG，∠DFH＝13°，∠H＝21°，求∠EFG 的度数．四、解答题：（本大题5个小题，每小题10分，共50分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡卷）中对应的位置上21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1与x轴交于点B，与y轴交于点C，直线l1与直线l2：y＝﹣x交于点A，将直线l2：y＝﹣x沿射线AB的方向平移得到直线l3，当l3经过点B时，与y轴交点记为D点，已知A点的纵坐标为2，sin∠ABO＝．（1）求直线BC的解析式；（2）求△ABD的面积．22．（10分）距离中考体考时间越来越近，年级想了解初三年级2200名学生周末进行体育锻炼的情况，在初三年级随机抽查了20名男生和20名女生周末每天的运动时间进行了调查并收集到了以下数据（单位：min）男生：20 30 40 45 60 120 80 50 100 45 85 90 9070 90 50 90 50 70 40女生：75 30 120 70 60 100 90 40 75 60 75 75 8090 70 80 50 80 100 90根据统计数据制作了如下统计表：两组数据的极差、平均数、中位数、众数如下表所示：（1）请将上面两个表格补充完整：a＝，b＝，c＝；（2）请根据抽样调查的数据估计初三年级周末每天运动时间在100分钟以上的同学大约有多少人？（3）李老师看了表格数据后认为初三年级的女生周末体锻坚持得比男生好，请你结合统计数据，写出支持李老师观点的理由．23．（10分）春节即将来临，根据习俗每家每户都会在门口挂红灯笼和贴对联．某商店看准了商机，准备购进一批红灯笼和对联进行销售，已知对联的进价比红灯笼的进价少10元，若用720元购进对联的数量比用720元购进红灯笼的数量多50件．（1）对联和红灯笼的单价分别为多少？（2）由于销售火爆，第一批售完后，该商店以相同的进价再购进300幅对联和200个红灯笼，已知对联的销售价格为12元一幅，红灯笼的销售价格为24元一个销售一段时间后发现对联售出了总数的，红灯笼售出了总数的，为了清仓，该店老板决定对剩下的红灯笼和对联以相同的折扣数打折销售，并很快全部售出，问商店最低打几折，才能使总的利润率不低于20%？24．（10分）已知平行四边形ABCD，过点A作BC的垂线，垂足为E，且满足AE＝EC，过点C作AB的垂线，垂足为F，交AE于点G，连接BG，（1）如图1，若AC＝，CD＝4，求EG的长度；（2）如图2，取BE的中点K，在EC上取一点H，使得点K和点E为BH的三等分点，连接AH，过点K作AH的垂线，交AC于点Q，求证：BG＝2CQ．25．（10分）阅读材料，解决问题：某数学学习小组在阅读数学史时，发现了一个有趣的故事；古希腊神话中的米诺斯王嫌别人为他建造的坟墓太小，命令将其扩大一倍，并说只要将每边扩大一倍就行，这当然是错误的，但这类问题却引出了著名的几何问题：倍立方问题．此时他们刚好学习了平面几何，所以甲同学提出：“任意给定一个正方形，是否存在另外一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍呢？”，对于这个问题小组成员很快给出了解答：设原正方形的边长为a，则周长为4a，面积为a2∵另一个正方形的周长为2×4a＝8a∴此时边长为2a，面积为（2a）2＝4a2≠2a2∴不存在这样的正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍．虽然甲同学的问题得到了很快的解决，但这一问题的提出触发了其他小组成员的积极思考，进一步乙同学提出：“任意给定一个矩形，是否存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍呢？”通过讨论，他们决定先研究：“已知矩形的长和宽分别为m和1，是否存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍呢？”，并给出了如下解答过程：设所求矩形的长为x，则根据题意可表示出所求矩形的宽为2（m+1）﹣x那么可建立方程：x•[2（m+1）﹣x]＝2m∵判别式△＝4m2+4＞0∴原方程有解，即结论成立．根据材料解决下列问题（1）若已知一个矩形的长和宽分别为3和1，则是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半呢？若存在，请求出此矩形的长和宽；若不存在，请说明理由；（2）若已知一个矩形的长和宽分别为m和1，且一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的k倍，求k的取值范围（写明解答过程）．五、解谷题：（本大题1个小题，共12分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.26．（12分）如图1，抛物线y＝﹣x2+x+6与x轴交于A、B（B在A的左侧）两点，与y轴交于点C，将直线AC沿y轴正方向平移2个单位得到直线A′C′，将抛物线的对称轴沿x轴正方向平移九年级上册数学期末考试试题(含答案)一、选择题（3×12＝36）1．点P（﹣2，4）关于坐标原点对称的点的坐标为（）A．（4，﹣2）B．（﹣4，2）C．（2，4）D．（2，﹣4）2．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．半径为6的圆中，120°的圆心角所对的弧长是（）A．4πB．5πC．6πD．8π4．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是（）A．B．C．D．5．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知DF＝4，则AC的长为（）A．B．C．D．6．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠CDA＝122°，则∠C的度数为（）A．22°B．26°C．28°D．30°7．将一个正方形纸片放在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（﹣1，1），C（0，1），若绕点D（0，0）顺时针旋转这个正方形，旋转角为135°，则旋转后点B的坐标B′为（）A．（1，1）B．（2，0）C．（，0）D．（1，﹣1）8．已知函数y＝（x﹣1）2，下列结论正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＜0时，y随x的增大而增大C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大9．若抛物线y＝2x2﹣3x﹣k与x轴没有交点，则k的取值范围为（）A．k≤﹣B．k＜﹣C．k≥﹣且k≠0D．k＞﹣且k≠0 10．如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，若∠BAC＝30°，∠CBD＝80°，则∠BCD 的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°11．已知抛物线y＝x2+2x+4的顶点为P，与y轴的交点为Q，则PQ的长度为（）A．B．2C．D．12．已知直线y＝n与二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象交于点B，点C，二次函数图象的顶点为A，当△ABC是等腰直角三角形时，则n的值为（）A．1B．C．2﹣D．2+二、填空题（3×6＝18）13．不透明袋子中装有6个球，其中有5个红球、1个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．14．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，若DE＝4，BC＝AE＝6，则EC的长为．15．如图，A，B，C是⊙O上的三点，且OA＝AB＝BC＝2，则AC的长为．16．把二次函数y＝x2﹣4x+3的图象沿y轴向下平移1个单位长度，再沿x轴向左平移3个单位长度后，此时抛物线相应的函数表达式是．17．正方形ABCD的边长AB＝2，E是AB的中点，F是BC的中点，AF分别与DE，BD相交于点M，N，则MN的长为．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．（1）∠ACB的大小为（度）（2）在如图所示的网格中，以A为中心，取旋转角等于∠BAC，把△ABC逆时针旋转，请用无刻度的直尺，画出旋转后的△ABC，并简要说明旋转后点C和点B的对应点点C′和点B′的位置是如何而找到的（不要求证明）三、解答题（66分）19．（8分）解方程：x2﹣5x﹣6＝0．20．（8分）泰州具有丰富的旅游资源，小明利用周日来泰州游玩，上午从A、B两个景点中任意选择一个游玩，下午从C、D、E三个景点中任意选择一个游玩．用列表或画树状图的方法列出所有等可能的结果，并求小明恰好选中景点B和C的概率．21．（10分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，（Ⅰ）求证：△AFE∽△CFD；（Ⅱ）若AB＝4，AD＝3，求CF的长．22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，AD交⊙O于点E，AC平分∠BAD，连接BE．（Ⅰ）求证：AD⊥ED；（Ⅱ）若CD＝4，AE＝2，求⊙O的半径．23．（10分）某网商经销一种畅销玩具，每件进价为18元，每月销量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图中线段AB所示（Ⅰ）写出毎月销量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式（含x的取值范围）；（Ⅱ）当销售单价为多少元时，该网商毎月经销这种玩具能够获得最大销售利润？最大销售利润是多少？（销售利润＝售价﹣进价）24．（10分）【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3．你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数．25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t＝2时，AD ＝4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．2018-2019学年天津市河西区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（3&#215;12＝36）1．【分析】根据关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得答案．【解答】解：点P（﹣2，4）关于坐标原点对称的点的坐标为（2，﹣4），故选：D．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．2．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形．故本选项错误；B、不是中心对称图形．故本选项错误；C、不是中心对称图形．故本选项错误；D、是中心对称图形．故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，关键是根据中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合解答．3．【分析】根据弧长的公式l＝进行解答．【解答】解：根据弧长的公式l＝，得到：l＝＝4π．故选：A．【点评】本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式即可解答该题，属于基础题．4．【分析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．【解答】解：∵黄扇形区域的圆心角为90°，所以黄区域所占的面积比例为＝，即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是，故选：B．【点评】本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．5．【分析】位似图形就是特殊的相似图形位似比等于相似比．利用相似三角形的性质即可求解．【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，∴AC：DF＝2：3，∴AC：4＝2：3，则AC＝．故选：C．【点评】本题主要考查位似的定义．解题的关键是掌握位似图形是相似图形的特殊形式，位似比等于相似比的特点．6．【分析】连接OD，如图，根据切线的性质得∠ODC＝90°，即可求得∠ODA＝32°，再利用等腰三角形的性质得∠A＝32°，然后根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：连接OD，如图，∵CD与⊙O相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠ODC＝90°，∴∠ODA＝∠CDA﹣90°＝122°﹣90°＝32°，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA＝32°，∴∠C＝180°﹣∠ADC+∠A＝180°﹣122°﹣32°＝26°．故选：B．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．7．【分析】作出图形，解直角三角形求出BD＝，根据旋转变换的性质可得点B′在x轴的正半轴上，且DB′＝DB＝，即可得解．【解答】解：如图，∵A（﹣1，0），B（﹣1，1），C（0，1），D（0，0），∴BD＝，∵正方形ABCD绕点D顺时针旋转135°，∴点B′在x轴的正半轴上，且DB′＝DB＝，所以，点B′的坐标是（，0）．故选：C．【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转，根据点B的坐标求出BD＝，再根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小确定出点B′在x轴的正半轴上是解题的关键．8．【分析】直接利用二次函数的增减性进而分析得出答案．【解答】解：函数y＝（x﹣1）2，对称轴为直线x＝1，开口方向上，故当x＜1时，y随x的增大而减小．故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确把握二次函数的增减性是解题关键．9．【分析】由于抛物线y＝2x2﹣3x﹣k与x轴没有交点，所以b2﹣4ac＜0，所以（﹣3）2﹣4×2•（﹣k）＝9+8k＜0，所以k＜﹣．【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣3x﹣k与x轴没有交点，∴b2﹣4ac＜0，（﹣3）2﹣4×2•（﹣k）＝9+8k＜0，k＜﹣．故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，熟知b2﹣4ac＜0抛物线与x轴没有交点是解题的关键．10．【分析】根据圆周角定理求出∠BAD，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．【解答】解：由圆周角定理得，∠CAD＝∠CBD＝80°，∴∠BAD＝80°+30°＝110°，∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝70°，故选：C．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．11．【分析】二次函数y＝（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），所以易知y＝x2+2x+4＝（x+1）2+3 的顶点为（﹣1，3），将x＝0把代入y＝x2+2x+4，得y＝4，因此抛物线与y轴的交点为（0，4），最后根据根据两点坐标由求出PQ长度．【解答】解：∵y＝x2+2x+4＝（x+1）2+3抛物线的顶点为（﹣1，3），将x＝0把代入y＝x2+2x+4，得y＝4，∴抛物线与y轴的交点为（0，4），∴PQ＝故选：A．【点评】本题考查了二次函数的顶点坐标和y轴交点坐标，正确理解二次函数y＝（x﹣h）2+k的顶点坐标（h，k）是解题的关键．12．【分析】设B（x1，n）、C（x2，n）．因为△ABC是等腰直角三角形，作AD⊥BC，x2|＝所以AD＝BC，即BC＝2AD，AD＝n﹣（﹣1）＝n+1，即：BC＝|x1﹣＝＝，所以＝2（n+1），容易求出n＝1．【解答】解：设B（x1，n）、C（x2，n），作AD⊥BC，垂足为D连接AB，AC，∵y＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点A（2，﹣1），AD＝n﹣（﹣1）＝n+1∵直线y＝n与二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象交于点B、C，∴（x﹣2）2﹣1＝n，化简，得x2﹣4x+2﹣2n＝0x1+x2＝4，x1x2＝2﹣2nx2|＝＝＝∴BC＝|x1﹣∵点B、C关于对称轴直线AD对称，∴D为线段BC的中点，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AD＝BC即BC＝2AD＝2（n+1），∴（2+2n）＝（n+1）2，化简，得n2＝1，∴n＝1或﹣1，n＝﹣1时直线y＝n经过点A，不符合题意舍去，所以n＝1．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象的性质以及根与系数的关系，正确理解二次函数的图象性质和根与系数的关系是解题的关键．二、填空题（3&#215;6＝18）13．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：∵共6个球，有5个红球，∴从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率为．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．14．【分析】根据平行线判定△ADE∽△ABC，从而可得对应边成比例，即，利用已知数据即可求出EC的长．【解答】解：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴而DE＝4，BC＝AE＝6∴＝解得EC＝3故答案为3．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据性质得到对应边成比例是解决本题的关键．15．【分析】依据A，B，C是⊙O上的三点，且OA＝AB＝BC＝2，即可得到四边形ABCO 是菱形，△ABO和△BCO都是等边三角形，再根据勾股定理即可得到AD的长，进而得出AC的长．【解答】解：∵A，B，C是⊙O上的三点，且OA＝AB＝BC＝2，∴OA＝AB＝BC＝OC＝OB＝2，∴四边形ABCO是菱形，△ABO和△BCO都是等边三角形，∴AC⊥OB，∠BAD＝30°，BD＝BO＝1，AC＝2AD，∴Rt△ABD中，AD＝，∴AC＝2AD＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，等边三角形是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．16．【分析】首先将原式转化为顶点式，进而利用二次函数平移规律进而求出即可．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线y＝x2﹣4x+3沿y轴向下平移1个单位长度，再沿x轴向左平移3个单位长度后，得到抛物线解析是：y＝（x﹣2+3）2﹣1﹣1＝（x+1）2﹣2．故答案为：y＝（x+1）2﹣2．【点评】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．17．【分析】根据△BNF∽△DNA，可求出AN的长；再根据△AME∽△ABF，求出AM的长，利用MN＝AN﹣AM即可解决．【解答】解：∵BF∥AD∴△BNF∽△DNA∴而BF＝BC＝1，AF＝∴AN＝又∵△DAE≌△ABF（SAS）∴∠AED＝∠BFA∴△AME∽△ABF∴即：∴AM＝∴MN＝AN﹣AM＝﹣＝故答案为．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据对应边成比例即可利用已知线段求出未知线段的长度．18．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理即可解决问题．（2）如图，延长AC到格点B′，使得AB′＝AB＝5，延长BC到格点E，连接AE，取格点F，连接FB′交AE于点C′，△AB′C′即为所求．【解答】解：（1）∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°，故答案为90．（2）如图，延长AC到格点B′，使得AB′＝AB＝5，延长BC到格点E，连接AE，取格点F，连接FB′交AE于点C′，△AB′C′即为所求．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（66分）19．【分析】把方程左边进行因式分解得到（x﹣6）（x+1）＝0，则方程就可化为两个一元一次方程x﹣6＝0，或x+1＝0，解两个一元一次方程即可．【解答】解：x2﹣5x﹣6＝0，∴（x﹣6）（x+1）＝0，∴x﹣6＝0或x+1＝0，∴x1＝6，x2＝﹣1．【点评】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的方法：先把方程化为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后一元二次方程就可化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可．20．【分析】通过列表展示所有6种等可能的结果数，找出小名恰好选中B和C这两处的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：列表如下：由表可知共有6种等可能的结果数，其中小明恰好选中景点B和C的结果有1种，所以小明恰好选中景点B和C的概率为．【点评】此题主要考查了列表法与树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．【分析】（Ⅰ）根据矩形对边平行，有AE∥DC，可知△AFE∽△CFD；（Ⅱ）根据相似三角形的性质可得，再利用已知线段的长代入即可求出CF的长．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥DC∴∠FAE＝∠FCD，∠FEA＝∠FDC∴△AFE∽△CFD故△AFE∽△CFD得证．（Ⅱ）解：由（1）知△AFE∽△CFD，∴而E是边AB的中点，且AB＝4，AD＝3∴AE＝2，AC＝5∴＝＝而AC＝5∴AF＝，CF＝故CF的长为．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据对应边成比例即可利用已知线段求出未知线段的长度．22．【分析】（Ⅰ）连接OC，易证OC⊥DC，由OA＝OC，得出∠OAC＝∠OCA，则可证明∠OCA＝∠DAC，证得OC∥AD，根据平行线的性质即可证明；（Ⅱ）根据圆周角定理证得∠AEB＝90°，根据垂径定理证得EF＝BF，进而证得四边形EFCD是矩形，从而证得BE＝8，然后根据勾股定理求得AB，即可求得半径．【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，交BE于F，由DC是切线得OC⊥DC；又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠DAC＝∠OAC．∴∠OCA＝∠DAC，∴OC∥AD，∴∠D＝∠OCD＝90°即AD⊥ED．（Ⅱ）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵∠D＝90°，∴∠AEB＝∠D，∴BE∥CD，∵OC⊥CD，∴OC⊥BE，∴EF＝BF，∵OC∥ED，∴四边形EFCD是矩形，∴EF＝CD＝4，∴BE＝8，∴AB＝＝＝2∴⊙O的半径为．【点评】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，垂径定理以及勾股定理的应用．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．23．【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得线段AB对应的函数解析式；（2）利用（1）所求可以得到利润和售价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答本题．【解答】解：（1）设AB段对应的函数解析式为y＝kx+b，，解得：，即AB段对应的函数解析式为y＝﹣20x+1000（20≤x≤50）；故答案为：y＝﹣20x+1000（20≤x≤50）；（2）设销售利润为w元，w＝（x﹣18）（﹣20x+1000）＝﹣20x2+1360x﹣18000＝﹣20（x﹣34）2+5120，∵20≤x≤50，∴当x＝34时，w取得最大值，此时w＝5120，答：当销售单价为34元时，该网商每月经销这种玩具能够获得最大销售利润，最大销售利润是5120元；【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．24．【分析】（1）思路一、先利用旋转求出∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝2，AP'＝CP＝3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'＝90°，即可得出结论；思路二、同思路一的方法即可得出结论；（2）同（1）的思路一的方法即可得出结论．【解答】解：（1）思路一、如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP，∴∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝2，AP'＝CP＝3，在Rt△PBP'中，BP＝BP'＝2，∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，PP'＝BP＝2，∵AP＝1，∴AP2+PP'2＝1+8＝9，∵AP'2＝32＝9，∴AP2+PP'2＝AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝90°+45°＝135°；（2）如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP，∴∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝1，AP'＝CP＝，在Rt△PBP'中，BP＝BP'＝1，∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，PP'＝BP＝，∵AP＝3，∴AP2+PP'2＝9+2＝11，∵AP'2＝（）2＝11，∴AP2+PP'2＝AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'﹣∠BPP'＝90°﹣45°＝45°．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．25．【分析】（1）由点E的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标（2，4）代入计算可得；（2）由抛物线的对称性得BE＝OA＝t，据此知AB＝10﹣2t，再由x＝t时AD＝﹣t2+ t，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得；（3）由t＝2得出点A、B、C、D及对角线交点P的坐标，由直线GH平分矩形的面积知直线GH必过点P，根据AB∥CD知线段OD平移后得到的线段是GH，由线段OD的中点Q平移后的对应点是P知PQ是△OBD中位线，据此可得．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax（x﹣10），∵当t＝2时，AD＝4，∴点D的坐标为（2，4），∴将点D坐标代入解析式得﹣16a＝4，。

2022-2023学年北京市石景山区九年级(上)期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年北京市石景山区九年级(上)期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）1．（2分）如果2x＝5y（y≠0），那么的值是（）A．B．C．D．2．（2分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°．若，BC＝4，则AB的长为（）A．2B．C．D．63．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB＝140°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．50°C．70°D．140°4．（2分）如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，AE与对角线BD交于点F．若AB＝5，BE＝3，则为（）A．B．C．D．5．（2分）将抛物线y＝（x﹣1）2+3向上平移2个单位长度，平移后的抛物线的表达式为（）A．y＝（x﹣1）2+5B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x+1）2+3D．y＝（x﹣3）2+3 6．（2分）若圆的半径为9，则120°的圆心角所对的弧长为（）A．3B．6C．3πD．6π7．（2分）若二次函数y＝x2+2x﹣m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1B．m≥﹣1C．m＜1D．m≤18．（2分）如图，线段AB＝10cm，点P在线段AB上（不与点A，B重合），以AP为边作正方形APCD．设AP＝xcm，BP＝ycm，正方形APCD的面积为Scm2，则y与x，S与x 满足的函数关系分别为（）A．一次函数关系，二次函数关系B．反比例函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，反比例函数关系D．反比例函数关系，一次函数关系二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）如图，在△ABC中，M，N分别为AB，AC的中点，若△AMN的面积是1，则△ABC的面积是．10．（2分）如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在AB边上，点E在AC边上且AD＜AE．只需添加一个条件即可证明△ABC∽△AED，这个条件可以是（写出一个即可）．11．（2分）如图，P A，PB分别与⊙O相切于A，B两点．若∠APB＝60°，OA＝2，则PB 的长为．12．（2分）抛物线y＝x2﹣6x+5的对称轴为直线．13．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若点（1，y1），（4，y2）在反比例函数的图象上，则y1y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．14．（2分）如图，线段AB，CD分别表示甲、乙建筑物的高，AB⊥MN于点B，CD⊥MN 于点D，两座建筑物间的距离BD为35m．若甲建筑物的高AB为20m，在点A处测得点C的仰角α为45°，则乙建筑物的高CD为m．15．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝100°．若点D为⊙O上一点（不与点A，C重合），则∠ADC的度数为．16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0），B两点，对称轴是直线x＝1，下面四个结论中，①a＜0②当x＞﹣2时，y随x的增大而增大③点B的坐标为（3，0）④若点M（﹣1，y1），N（5，y2）在函数的图象上，则y1＞y2所有正确结论的序号是．三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．18．（5分）如图，A是直线MN上一点，∠BAC＝90°，过点B作BD⊥MN于点D，过点C作CE⊥MN于点E．（1）求证：△ADB∽△CEA；（2）若，AD＝AE＝2，求CE的长．19．（5分）已知：如图1，P为⊙O上一点．求作：直线PQ，使得PQ与⊙O相切．作法：如图2，①连接OP；②以点P为圆心，OP长为半径作弧，与⊙O的一个交点为A，作射线OA；③以点A为圆心，OP长为半径作圆，交射线OA于点Q（不与点O重合）；④作直线PQ．直线PQ就是所求作的直线．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接P A．由作法可知AP＝AO＝AQ，∴点P在以OQ为直径的⊙A上．∴∠OPQ＝°（）（填推理的依据）．∴OP⊥PQ．又∵OP是⊙O的半径，∴PQ是⊙O的切线（）（填推理的依据）．20．（5分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述如下，请解答：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），顶点为C．（l）直接写出点B，点C的坐标；（2）画出这个二次函数的图象；（3）若点P（0，n），Q（m，n）在此二次函数的图象上，则m的值为．22．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝60°，，BC＝10，求AC的长．23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点A（﹣1，﹣6），一次函数y2＝kx﹣1（k≠0）的图象与y轴交于点B．（1）求反比例函数的表达式并直接写出点B的坐标；（2）当x＞2时，对于x的每一个值，都有y1＜y2，直接写出k的取值范围．24．（6分）为了在校运动会的推铅球项目中取得更好的成绩，小石积极训练，铅球被推出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从铅球出手（点A处）到落地的过程中，铅球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．小石进行了两次训练．（1）第一次训练时，铅球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m012345678竖直高度y/m 1.6 2.1 2.4 2.5 2.4 2.1 1.60.90根据上述数据，求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0），并直接写出小石此次训练的成绩（铅球落地点的水平距离）；（2）第二次训练时，小石推出的铅球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.09（x﹣3.1）2+2.55．记小石第一次训练的成绩为d1，第二次训练的成绩为d2，则d1 d2（填“＞”，“＝”或“＜”）．25．（6分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点且，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接CD，若，AB＝15，求CD的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，m）在抛物线y＝ax2+c（a＞0）上，抛物线与x轴有两个交点B（x1，0），C（x2，0），其中x1＜x2．（1）当a＝1，m＝﹣3c时，求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点D（x1+3，n）在抛物线上，若m＞n＞0，求x1的取值范围．27．（7分）如图，四边形ABCD是正方形，以点A为中心，将线段AB顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AE，连接DE，BE．（1）求∠DEB的度数；（2）过点B作BF⊥DE于点F，连接CF，依题意补全图形，用等式表示线段DE与CF 的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为d．对于点P和图形W给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最小值，且最小值恰好为d，则称点P为图形W的“关联点”．（1）如图1，图形W是矩形AOBC，其中点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（4，3），则d＝．在点P1（﹣1，0），P2（2，8），P3（3，1），中，矩形AOBC的“关联点”是；（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形DEFG，其中D点的坐标为（1，1）．若直线y＝x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”，求b的取值范围；（3）已知点M（1，0），．图形W是以T（t，0）为圆心，1为半径的⊙T，若线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”，直接写出t的取值范围．2022-2023学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）1．【分析】利用比例的性质，进行计算即可解答．【解答】解：∵2x＝5y（y≠0），∴＝，故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．2．【分析】利用锐角三角函数关系得出答案即可．【解答】解：∵，BC＝4，∴sin A＝，∴＝，解得：AB＝6．故选：D．【点评】此题主要考查了解直角三角形，掌握锐角三角函数关系是解题关键．3．【分析】根据圆周角定理得出∠ACB＝∠AOB，再求出答案即可．【解答】解：∵点A、B、C都在⊙O上，∴∠ACB＝∠AOB＝×140°＝70°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，注意：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．4．【分析】由菱形的性质得AD∥EB，DA＝AB＝5，则△DAF∽△BEF，所以＝＝，于是得到问题的答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝5，BE＝3，∴AD∥BC，DA＝AB＝5，∵AD∥EB，∴△DAF∽△BEF，∴＝＝，故选：D．【点评】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，由AD∥EB证明△DAF∽△BEF是解题的关键．5．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+3向上平移2个单位长度，平移后的抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）2+3+2，即y＝（x﹣1）2+5，故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．6．【分析】直接利用扇形的弧长公式计算即可得出结论．【解答】解：由题意知，r＝9，n＝120，∴l＝＝＝6π，故选：D．【点评】此题主要考查了扇形的弧长公式，解本题的关键是熟记扇形的弧长公式．7．【分析】根据判别式Δ≥0即可求解．【解答】解：∵若二次函数y＝x2+2x﹣m的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，∴22﹣4×1×（﹣m）＝4+4m≥0，∴m≥﹣1．故选：B．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，理解函数图象与x轴交点的判断方法是求解本题的关键．8．【分析】根据正方形的面积公式可得：S＝x2，则S与x满足的函数关系是二次函数关系，再根据AB＝10cm可得：y＝﹣x+10，成一次函数关系．【解答】解：由题意得：S＝x2，x+y＝10，∴y＝﹣x+10，∴y与x，S与x满足的函数关系分别为一次函数关系，二次函数关系．故选：A．【点评】本题考查了二次函数和一次函数的定义，掌握正方形面积公式和线段的和差是解本题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9．【分析】根据三角形中位线定理得到MN∥BC，MN＝BC，得到△AMN∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：∵M、N分别是边AB、AC的中点，∴MN∥BC，MN＝BC，∴△AMN∽△ABC，∴＝，∴S△ABC＝4S△ADE＝4×1＝4，故答案为：4．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理的应用，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．10．【分析】利用相似三角形的判定可求解．【解答】解：添加∠1＝∠C，又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故答案为：∠1＝∠C（答案不唯一）．【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．11．【分析】连接OP，根据切线的中线得到OB⊥PB，根据含30°角的直角三角形的性质求出OP，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：如图，连接OP，∵P A，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠APB＝60°，∴OB⊥PB，∠OPB＝30°，∴OP＝2OB＝4，∴PB＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、勾股定理、切线长定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．12．【分析】把解析式化为顶点式可求得答案．【解答】解：∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4∴对称轴是直线x＝3，故答案为：x＝3．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．13．【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答．【解答】解：∵k＞0，∴反比例函数y＝（k＞0）的图象在一、三象限，∵4＞1＞0，∴点A（1，y1），B（4，y2）在第一象限，y随x的增大而减小，∴y1＞y2，故答案为：＞．【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，比较简单．14．【分析】根据题意可得：AB＝DE＝20m，AE＝BD＝35m，∠CAE＝45°，∠AEC＝90°，然后在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出CE＝35m，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：AB＝DE＝20m，AE＝BD＝35m，∠CAE＝45°，∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，CE＝AE•tan45°＝35（m），∴CD＝DE+CE＝20+35＝55（m），∴乙建筑物的高CD为55m，故答案为：55．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．15．【分析】分两种情况讨论，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可求出答案．【解答】解：当点D为优弧AC上一点时，如图，则∠B+∠D＝180°，∵∠ABC＝100°，∴∠D＝80°；当点D为劣弧AC上一点时，如图，则∠D＝∠B＝100°，∠ADC的度数为80°或100°．故答案为：80°或100°．【点评】本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，关键是分类讨论．16．【分析】根据二次函数的图象和性质逐项判断即可．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，故①正确；∵抛物线对称轴是直线x＝1，∴当﹣2＜x＜1时，y随x的增大而增大，故②错误；∵A（﹣2，0），对称轴是直线x＝1，∴B（4，0），故③错误；∵1﹣（﹣1）＝2＜5﹣1＝4，∴y1＞y2，故④正确．故答案为：①④．【点评】本题考查二次函数图与系数的关系，二次函数的性质，关键是利用函数的图象和性质解答．三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【分析】利用特殊角的三角函数值，算术平方根，乘方运算，绝对值的定义计算．【解答】解：＝2×﹣2﹣1+﹣1＝﹣2﹣1+﹣1＝﹣2．【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值，算术平方根，乘方运算，绝对值的定义．18．【分析】（1）由BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E，得∠ADB＝∠CEA＝90°，而∠BAC ＝90°，则∠B＝∠EAC＝90°﹣∠BAD，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ADB∽△CEA；（2）由勾股定理求得BD＝＝1，由△ADB∽△CEA，得＝，其中AD ＝AE＝2，即可求得CE＝4．【解答】（1）证明：∵BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠B＝∠EAC＝90°﹣∠BAD，∴△ADB∽△CEA．（2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝，AD＝AE＝2，∴BD＝＝＝1，∵△ADB∽△CEA，∴＝，∴CE＝＝＝4，∴CE的长是4．【点评】此题重点考查同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，根据同角的余角相等证明∠B＝∠EAC＝90°﹣∠BAD是解题的关键．19．【分析】（1）根据作法画图；（2）根据题中的证明过程填写理由．【解答】（1）解：如图：直线PQ即为所求；（2）证明：连接P A，由作法可知AP＝AO＝AQ，∴点P在以OQ为直径的⊙A上．∴∠OPQ＝90°（直径所对的圆周角等于90°），∴OP⊥PQ．又∵OP是⊙O的半径，∴PQ是⊙O的切线（过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线），故答案为：90，直径所对的圆周角等于90°，过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线．【点评】本题考查了作图和切线的判断，熟记圆中的有关定理是解题的关键．20．【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．【解答】解：连接OC，∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得x＝13，∴AB＝26寸，答：直径AB的长为26寸．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．21．【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可以求得该函数与x轴的交点，将题目中的函数解析式化为顶点式即可直接写出该函数的顶点坐标；（2）先求出抛物线与y轴的交点（0，3），再根据对称性求出（0，3）关于对称轴对称点的坐标，再用五点作图法做出函数图象；（3）根据图像即可求出m的值．【解答】解：（1）令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，解得x1＝3，x2＝1，∴A（1，0），B（3，0）；∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，顶点C坐标是（2，﹣1）；（2）令x＝0，则y＝3，∴抛物线与y轴的交点为（0，3），∵抛物线对称轴为直线x＝2，∴和（0，3）关于对称轴对称的点坐标为（4，3），函数图象如图所示：（3）由（2）可知，m＝4，n＝3，故答案为：4．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．22．【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据已知可设AD＝x，则BD＝4x，再在Rt △ADC中，利用锐角三角函数的定义可得CD＝x，从而根据BC＝10，列出关于x的方程，进行计算可求出CD的长，然后在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，tan B＝＝，∴设AD＝x，则BD＝4x，在Rt△ADC中，∠C＝60°，∴CD＝＝＝x，∵BC＝10，∴BD+CD＝10，∴4x+x＝10，解得：x＝2，∴CD＝2，在Rt△ADC中，AC＝＝＝4，∴AC的长为4．【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．23．【分析】（1）利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，由一次函数解析式即可求得点B的坐标；（2）根据点（2，3）结合图象即可求得．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A（﹣1，﹣6），∴m＝﹣1×（﹣6）＝6，∴反比例函数表达式为：y＝．在直线y2＝kx﹣1（k≠0）中，令x＝0，则y＝﹣1，∴B（0，﹣1）；（2）把x＝2代入y＝得，y＝3，把（2，3）代入y2＝kx﹣1得，3＝2k﹣1，解得k＝2，∵当x＞2时，对于x的每一个值，都有y1＜y2，∴k≥2．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．24．【分析】（1）用待定系数法误差函数关系式，观察表格可得训练成绩；（2）求出d2，结合（1）比较可得答案．【解答】解：（1）把（0，1.6），（1，2.1），（8，0）代入y＝a（x﹣h）2+k得：，解得，∴y＝﹣0.1（x﹣3）2+2.5，由表格可知，当y＝0时，x＝8，∴小石此次训练的成绩为8m；（2）在y＝﹣0.09（x﹣3.1）2+2.55中，令y＝0得：﹣0.09（x﹣3.1）2+2.55＝0，解得x＝3.1+≈8.42或x＝3.1﹣（小于0，舍去），∴d1＝8，d2≈8.42，∴d1＜d2，故答案为：＜．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．25．【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠CAD＝∠BAD，证明OD∥AE，根据平行线的性质得到OD⊥DE，根据切线的判定定理证明即可；（2）根据圆内接四边形的性质得到∠ECD＝∠ABD，根据余弦的定义求出BD，进而求出CD．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵＝，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AE，∵AE⊥DE，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵四边形CABD为⊙O的内接四边形，∴∠ACD+∠ABD＝180°，∵∠ACD+∠ECD＝180°，∴∠ECD＝∠ABD，∴cos∠ABD＝＝，∵AB＝15，∴BD＝3，∵＝，∴CD＝BD＝3．【点评】本题考查的是切线的判定、圆周角定理、解直角三角形，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．26．【分析】（1）直接将a＝1，m＝﹣3c，A（﹣2，m）代入抛物线解析式求解即可；（2）利用二次函数的图象和性质求解即可．【解答】解：（1）当a＝1，m＝﹣3c，将点A（﹣2，m）代入得：﹣3c＝4+c，解得：c＝﹣1，故抛物线的解析式为：y＝x2﹣1，顶点坐标为（0，﹣1）；（2）∵B（x1，0），C（x2，0）是抛物线y＝ax2+c（a＞0）与x轴的两个交点，x1＜x2，∴ax+c＝0，x1＝﹣x2，∵点A（﹣2，m）在抛物线上，∴A'（2，m）在抛物线上，∵点D（x+3，n）在抛物线上，∴a（x+3）2+c＝n，∴ax+6ax1+9a+c＝n，∴n＝6ax1+9a，∵n＞0，∴6ax1+9a＞0，a＞0，∴x1＞﹣，又∵a＞0时，y随x的增大而增大，m＞n＞0，∴x1+3＜2，∴x1＜﹣1，∴﹣＜x1＜﹣1．【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质的运用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．27．【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，将线段AB顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AE，可得∠AED＝＝45°﹣α，∠AEB＝＝90°﹣α，故∠DEB＝∠AEB﹣∠AED＝45°；（2）根据题意补全图形，过C作CG⊥CF交FD延长线于G，证明△BCF≌△DCG（AAS），得BF＝DG，CF＝CG，有FG＝CF，由∠DEB＝45°得△BEF是等腰直角三角形，可得EF＝DG，即得DE＝FG，故DE＝CF．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵将线段AB顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AE，∴∠EAB＝α，AB＝AE，∴AE＝AD，∠EAD＝90°+α，∴∠AED＝＝45°﹣α，∵AE＝AB，∠EAB＝α，∴∠AEB＝＝90°﹣α，∴∠DEB＝∠AEB﹣∠AED＝（90°﹣α）﹣（45°﹣α）＝45°；（2）补全图形如下，线段DE与CF的数量关系为DE＝CF，证明：过C作CG⊥CF交FD延长线于G，∵BF⊥DE，∴∠BFC+∠CFD＝90°，∵CG⊥CF，∴∠CFD+∠G＝90°，∴∠BFC＝∠G，∵∠BCD＝∠FCG＝90°，∴∠BCF＝∠DCG，∵BC＝CD，∴△BCF≌△DCG（AAS），∴BF＝DG，CF＝CG，∴△FCG是等腰直角三角形，∴FG＝CF，由（2）知，∠DEB＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BF，∴EF＝DG，∴EF+FD＝DG+FD，即DE＝FG，∴DE＝CF．【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．28．【分析】（1）根据所给的定义，对每一个点进行判断即可；（2）由题意可得d＝DF＝2，过O点作OM垂直直线y＝x+b，交于点M，当ME＝2时，ON＝6，则﹣6≤b≤6时，直线y＝x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”；（3）由题意可得d＝2，当T点在x轴负半轴上时，过点T作TL⊥MN交于点L，交圆于点K，当KL＝2时，TM＝2，此时T（﹣2，0），当T点在x轴正半轴上时，当TM＝3时，此时T（4，0），则﹣2≤t≤4时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”．【解答】解：（1）∵四边形AOBC是矩形，点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（4，3），∴OC＝5，∴d＝5，∵P1（﹣1，0），∴P1O＝1，∴P1不是矩形AOBC的“关联点”；∵P2（2，8），∴P2到AC的距离为5，∴P2是矩形AOBC的“关联点”；∵P3（3，1），∴P3到OB的距离为1，∴P3不是矩形AOBC的“关联点”；∵，∴P4O＝5，∴P4是矩形AOBC的“关联点”；故答案为：P2，P4；（2）∵D（1，1），四边形DEFG是正方形，∴d＝DF＝2，过O点作OM垂直直线y＝x+b，交于点M，当ME＝2时，OM＝3，∵∠MNO＝45°，∴ON＝6，∴﹣6≤b≤6时，直线y＝x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”；（3）∵⊙T是T（t，0）为圆心，1为半径的圆，∴d＝2，当T点在x轴负半轴上时，过点T作TL⊥MN交于点L，交圆于点K，当KL＝2时，TL＝3，∵M（1，0），，∴ON＝，OM＝1，∴tan∠OMN＝，∴∠OMN＝60°，∴TM＝＝2，此时T（﹣2，0），当T点在x轴正半轴上时，当TM＝3时，此时T（4，0），∴﹣2≤t≤4时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”．【点评】本题考查圆的综合应用，弄清定义，能够根据定义，结合矩形的性质，圆的性质，属性结合解题是关键．。

2023-2024学年北京市顺义区九年级(上)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年北京市顺义区九年级(上)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年北京市顺义区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣3B．a＜﹣4C．a＞﹣b D．a＜﹣b2．（2分）在△ABC中，∠C＝90°，则cos A等于（）A．B．C．D．3．（2分）将二次函数y＝﹣x2+2x+3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，则所得表达式为（）A．y＝（x+1）2﹣4B．y＝﹣（x﹣1）2+4C．y＝﹣（x+1）2+2D．y＝﹣（x﹣1）2+24．（2分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠CAB＝30°，∠ABD＝40°，则∠APD的度数为（）A．30°B．40°C．60°D．70°5．（2分）如图，D是△ABC的边AB上一点（不与点A，B重合），若添加一个条件使△ACD ∽△ABC，则这个条件不可以是（）A．∠ADC＝∠ACB B．∠ACD＝∠B C．D．6．（2分）对于反比例函数，下列说法正确的是（）A．它的图象分布在第二、第四象限B．点（﹣1，4）在它的图象上C．当x＞0时，y随x的增大而减小D．当x＜0时，y随x的增大而增大7．（2分）已知．如图，（1）连接AB；（2）作弦AB的垂直平分线l1，分别交，弦AB于C，D两点；（3）作线段AD，DB的垂直平分线l2，l3，分别交于E，F两点，交弦AB于G，H 两点；（4）连接EF．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．AG＝GD＝DH＝HB B．C．l1∥l2∥l3D．EF＝GH8．（2分）学习解直角三角形时，小明编了这样一道题：已知：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，解这个直角三角形．从同学们的解答思路中节选出以下四个步骤：①由∠B的度数，根据直角三角形的性质得到∠A的度数；②由AC，BC的值，根据∠B的正切值得到∠B的度数；③由AC，BC的值，根据勾股定理得到AB的值；④由BC，AB的值，根据∠B的余弦值得到∠B的度数．请你从中选择三个步骤并排序，形成完整的解上述直角三角形的思路，则下列排序错误的是（）A．③④①B．④①③C．②①③D．③②①二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）若将抛物线y＝2x2向右平移2个单位长度，则所得抛物线的表达式为．11．（2分）如图，直线AE，BF交于点O，AB∥CD∥EF．若OA＝1，AC＝2，CE＝4．则的值为．12．（2分）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为15cm，蜡烛AB 与凸透镜的距离BE为32cm，蜡烛的像CD与凸透镜的距离DE为8cm，则像CD的高为_______cm．13．（2分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P＝76°，则∠ACB＝°．14．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，写出一个满足不等式ax2+bx+c ＜﹣1的x的值，这个值可以是．15．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）在双曲线上，点B（﹣b，a）在双曲线上，则m+n的值为．16．（2分）已知A（3，2），B（﹣1，﹣2）是抛物线上两点，下面有四个推断：①该抛物线与x轴有两个交点；②若该抛物线开口向下，则它与y轴的交点一定在y轴的负半轴上；③若该抛物线开口向下，则它的对称轴在直线x＝1右侧；④若该抛物线开口向上，则在A，B两点中，点B到它的对称轴距离较小．所有正确推断的序号是．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-21题，每题5分，第22题6分,第23-4题,每题5分,第25-26题,每题6分,第27-28题,每7分)17．（5分）解不等式组：．18．（5分）计算：|﹣2|﹣2tan60°．19．（6分）已知x2﹣3x﹣1＝0，求代数式（2x+1）（x﹣1）﹣（x+1）2的值．20．（5分）如图，AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AB＝6，AC＝4，求AD的长．21．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（﹣1，0），B（2，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）直接写出y＞0时，x的取值范围．22．（6分）在一次数学综合实践活动中，某数学小组的同学们一起测量一座小山的高度．如图，在点A处测得山顶E的仰角为22.5°，向山的方向前进20m，在点C处测得山顶E 的仰角为45°，已知观测点A，C到地面的距离AB＝1.7m，CD＝1.7m．求小山EG的高度（精确到0.1m）．（参考数据：，sin22.5°≈0.384，cos22.5°≈0.925，tan22.5°≈0.414）23．（5分）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，．（1）求证：∠COB＝∠DOB；（2）若⊙O的半径为2，求OE，的长．24．（5分）正面双手前掷实心球是发展学生力量和协调性的运动项目之一，实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从出手到着地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．小明进行了三次训练．（1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m0123456789竖直高度y/m2 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 3.72 1.1根据上述数据，求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0），并求出实心球着地点的水平距离d1；（2）第二次、第三次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x的函数图象的一部分如图所示，其中A，B分别为第二次、第三次训练抛物线的顶点．记小明第二、三次训练时实心球着地点的水平距离分别为d2，d3，则d1，d2，d3的大小关系为．25．（6分）如图，AB为⊙O的弦，点C为AB的中点，CO的延长线交⊙O于点D，连接AD，BD，过点D作⊙O的切线交AO的延长线于点E．（1）求证：DE∥AB；（2）若⊙O的半径为3，tan∠ADC＝，求DE的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．（1）若a＝1，求抛物线的对称轴及A，B两点的坐标；（2）已知点（3﹣a，y1），（a+1，y2），（﹣a，y3）在该抛物线上，若y1，y2，y3中有且仅有一个大于0，求a的取值范围．27．（7分）在菱形ABCD中，∠B＝60°，点P是对角线AC上一点（不与点A重合），点E，F分别是边AB，AD上的点，且∠EPF＝60°，射线PE，PF分别与DA，BA的延长线交于点M，N．（1）如图1，若点P与C重合，且PA平分∠EPF，求证：AM＝AN；（2）连接BP，若∠ABP＝45°，BP＝3，且PA不平分∠EPF．①依题意补全图2；②用等式表示线段AM，AN的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，有如下定义：对于图形G1、G2，若存在常数d，使得图形G1上的任意一点P，在图形G2上至少能找到一个点Q，满足PQ＝d，则称图形G2是图形G1的“映图”，d是G1关于G2的“映距”．（1）如图，点A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（﹣1，0），D（0，﹣1），E（4，0），F（0，4），G（5，0），H（0，5）．在线段CD，EF，GH中，线段AB的映图是．（2）⊙O的半径为1．①求⊙O关于直线的映距d的最小值；②若直线y＝﹣x+m（m≠0）被坐标轴所截的线段是⊙O的映图，直接写出m的取值范围．2023-2024学年北京市顺义区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣3B．a＜﹣4C．a＞﹣b D．a＜﹣b【分析】由点在数轴上的位置分析选项可得答案．【解答】解：A选项：由数轴的定义得左大右小，即a＜﹣3，该选项错误．B选项：a点在﹣4的左侧，即a＞﹣4，该选项错误．C选项：2＜b＜3，﹣3＜﹣b＜﹣2，故a在﹣b的左侧，即a＜﹣b，该选项错误．D选项：正确．故答案选D．【点评】该题考查对数轴的理解，实数的相关概念及分类．2．（2分）在△ABC中，∠C＝90°，则cos A等于（）A．B．C．D．【分析】根据余弦等于邻边比斜边列式即可得解．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，则cos A＝．故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是关键．3．（2分）将二次函数y＝﹣x2+2x+3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，则所得表达式为（）A．y＝（x+1）2﹣4B．y＝﹣（x﹣1）2+4C．y＝﹣（x+1）2+2D．y＝﹣（x﹣1）2+2【分析】将所给二次函数表达式转化为顶点式即可．【解答】解：由题知，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+3＝﹣（x2﹣2x+1）+1+3＝﹣（x﹣1）2+4．即二次函数的表达式可写成：y＝﹣（x﹣1）2+4．故选：B．【点评】本题考查二次函数的三种形式，熟知二次函数解析式中的顶点式是解题的关键．4．（2分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠CAB＝30°，∠ABD＝40°，则∠APD的度数为（）A．30°B．40°C．60°D．70°【分析】利用圆周角定理以及三角形的外角的性质解决问题．【解答】解：∵∠ABD＝40°，∴∠ACD＝∠ABD＝40°，∵∠CAB＝30°，∴∠APD＝∠ACD+∠CAB＝70°，故选：D．【点评】本题考查圆周角定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．5．（2分）如图，D是△ABC的边AB上一点（不与点A，B重合），若添加一个条件使△ACD ∽△ABC，则这个条件不可以是（）A．∠ADC＝∠ACB B．∠ACD＝∠B C．D．【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．【解答】解：若∠ADC＝∠ACB，且∠A＝∠A，则△ACD∽△ABC，故选项A不符合题意；若∠ACD＝∠B，且∠A＝∠A，则△ACD∽△ABC，故选项B不符合题意；若，且∠A＝∠A，则△ACD∽△ABC，故选项D不符合题意；若，且∠A＝∠A，则无法证明△ACD∽△ABC，故选项C符合题意；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．6．（2分）对于反比例函数，下列说法正确的是（）A．它的图象分布在第二、第四象限B．点（﹣1，4）在它的图象上C．当x＞0时，y随x的增大而减小D．当x＜0时，y随x的增大而增大【分析】根据反比例函数的性质即可逐一分析即可．【解答】解：A、k＝4＞0，则图象位于第一、三象限，故不符合题意；B、当x＝﹣1时，y＝﹣4，所以图象经过点（﹣1，﹣4），故不符合题意；C、当x＞0时，y随x的增大而减小，故符合题意；D、当x＜0时，y随x的增大而减小，故不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，属于基础题．7．（2分）已知．如图，（1）连接AB；（2）作弦AB的垂直平分线l1，分别交，弦AB于C，D两点；（3）作线段AD，DB的垂直平分线l2，l3，分别交于E，F两点，交弦AB于G，H 两点；（4）连接EF．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．AG＝GD＝DH＝HB B．C．l1∥l2∥l3D．EF＝GH【分析】理由图象信息判断即可．【解答】解：由作图可知，AG＝DG＝DH＝BH，l1∥l2∥l3，四边形EFGH是矩形，∴EF＝GH，故选项A，C，D正确，故选：B．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是读懂图象信息．8．（2分）学习解直角三角形时，小明编了这样一道题：已知：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，解这个直角三角形．从同学们的解答思路中节选出以下四个步骤：①由∠B的度数，根据直角三角形的性质得到∠A的度数；②由AC，BC的值，根据∠B的正切值得到∠B的度数；③由AC，BC的值，根据勾股定理得到AB的值；④由BC，AB的值，根据∠B的余弦值得到∠B的度数．请你从中选择三个步骤并排序，形成完整的解上述直角三角形的思路，则下列排序错误的是（）A．③④①B．④①③C．②①③D．③②①【分析】根据题中所给的条件，得出可求出未知量的步骤即可解决问题．【解答】解：因为题中给出AC和BC的长，所以可先用勾股定理求出AB的长，或求出∠A（∠B）的正切值，进而得出∠A（∠B）的度数．B选项将④放在第一步，此时还未求出AB的值，所以B选项的排序错误．故选：B．【点评】本题考查解直角三角形，熟知解直角三角形的一般步骤是解题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥2．【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣2≥0，解之即可求出x的取值范围．【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2．故答案为：x≥2．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义时被开方数是非负数．10．（2分）若将抛物线y＝2x2向右平移2个单位长度，则所得抛物线的表达式为y＝2（x﹣2）2．【分析】根据函数图象平移的法则解答即可．【解答】解：将抛物线y＝2x2向右平移2个单位长度，则所得抛物线的表达式为y＝2（x ﹣2）2．故答案为：y＝2（x﹣2）2．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的法则是解题的关键．11．（2分）如图，直线AE，BF交于点O，AB∥CD∥EF．若OA＝1，AC＝2，CE＝4．则的值为．【分析】由CD∥EF，利用平行线分线段成比例，可得出＝，结合OC＝OA+AC ＝3，CE＝4，即可求出结论．【解答】解：∵CD∥EF，∴＝，又∵OA＝1，AC＝2，CE＝4，∴OC＝OA+AC＝1+2＝3，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键．12．（2分）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为15cm，蜡烛AB 与凸透镜的距离BE为32cm，蜡烛的像CD与凸透镜的距离DE为8cm，则像CD的高为cm．【分析】根据相似三角形的判定与性质求解即可．【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴＝，∵AB的高为15cm，BE为32cm，DE为8cm，∴＝，∴CD＝（cm），故答案为：．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．13．（2分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P＝76°，则∠ACB＝52°．【分析】连接OA，OB，由切线的性质推出∠PAO＝∠PBO＝90°，又∠P＝76°，即可求出∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣76°＝104°由圆周角定理得到∠ACB＝∠AOB＝52°．【解答】解：连接OA，OB，∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠P＝76°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣76°＝104°∴∠ACB＝∠AOB＝52°．故答案为：52．【点评】本题考查圆周角定理，切线的性质，关键是由切线的性质推出∠PAO＝∠PBO ＝90°，由圆周角定理得到∠ACB＝∠AOB．14．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，写出一个满足不等式ax2+bx+c ＜﹣1的x的值，这个值可以是1．【分析】先求出y＝﹣1时的x的值，然后结合图象求解即可．【解答】解：由图象可知，当y＝﹣1时，x1＝0，x2＝2.8，∴当0＜x＜2.8时，y＜﹣1．∴不等式ax2+bx+c＜﹣1的解为0＜x＜2.8，∴满足不等式ax2+bx+c＜﹣1的x的值可以是1，故答案为：1．【点评】本题考查了二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键．15．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）在双曲线上，点B（﹣b，a）在双曲线上，则m+n的值为0．【分析】由点A（a，b）在双曲线上，可得m＝ab，由点B（﹣b，a）在双曲线上，可得n＝﹣ab，然后得出答案．【解答】解：∵点A（a，b）在双曲线上，点B（﹣b，a）在双曲线上，∴m＝ab，n＝﹣ab，∴m+n＝ab+（﹣ab）＝0；故答案为：0．【点评】本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，熟知反比例函数y＝（k≠0）的系数k＝xy是解题的关键．16．（2分）已知A（3，2），B（﹣1，﹣2）是抛物线上两点，下面有四个推断：①该抛物线与x轴有两个交点；②若该抛物线开口向下，则它与y轴的交点一定在y轴的负半轴上；③若该抛物线开口向下，则它的对称轴在直线x＝1右侧；④若该抛物线开口向上，则在A，B两点中，点B到它的对称轴距离较小．所有正确推断的序号是①③④．【分析】依据题意，设抛物线为y＝ax2+bx+c，从而．解得b＝1﹣2a，c＝﹣1﹣3a，再求出Δ＝b2﹣4ac＝1+16a2，进而可以判断①；依据题意，a＜0，从而c＝﹣1﹣3a＞﹣1，则它与y轴的交点可能在y轴下方或y轴上方，故可判断②；又b＝1﹣2a，从而＝﹣1，进而﹣＝﹣+1，再结合a＜0，可以判断③；若a＞0，从而对称轴直线x＝﹣＝﹣+1＜1，再分B（﹣1，﹣2）在对称轴右侧或左侧，结合增减性可以判断④．【解答】解：由题意，设抛物线为y＝ax2+bx+c，∴．∴b＝1﹣2a，c＝﹣1﹣3a．∴Δ＝b2﹣4ac＝（1﹣2a）2﹣4a（﹣1﹣3a）＝1﹣4a+4a2+4a+12a2＝1+16a2．∵对于任意a都有a2≥0，∴Δ＝1+16a2≥1＞0．∴该抛物线与x轴有两个交点，故①正确．∵a＜0，∴3a＜0．∴﹣3a＞0．∴﹣1﹣3a＞﹣1．∴c＝﹣1﹣3a＞﹣1．∴它与y轴的交点可能在y轴下方或y轴上方．∴②错误．∵b＝1﹣2a，∴＝﹣1．∴﹣＝﹣+1．∵a＜0，∴对称轴直线x＝﹣＝﹣+1＞1．∴它的对称轴在直线x＝1右侧，故③正确．若a＞0，∴对称轴直线x＝﹣＝﹣+1＜1．∴当A（3，2），B（﹣1，﹣2）在对称轴右侧，y随x的增大而增大，显然B到它的对称轴距离较小；当A（3，2），B（﹣1，﹣2）在对称轴两侧，又B关于直线x＝﹣对称的点﹣+1＜3，故B到它的对称轴距离较小．∴④正确．故答案为：①③④．【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-21题，每题5分，第22题6分,第23-4题,每题5分,第25-26题,每题6分,第27-28题,每7分)17．（5分）解不等式组：．【分析】分别解两个不等式得到x＞﹣1和x＜1，然后根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集．【解答】解：，解不等式①得x＞﹣1，解不等式②得x＜1，所以不等式组的解集为﹣1＜x＜1．【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．18．（5分）计算：|﹣2|﹣2tan60°．【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：|﹣2|﹣2tan60°＝4×+1+2﹣2＝2+1+2﹣2＝3．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．19．（6分）已知x2﹣3x﹣1＝0，求代数式（2x+1）（x﹣1）﹣（x+1）2的值．【分析】先根据完全平方公式和多项式乘多项式进行计算，合并同类项，求出x2﹣3x＝1，最后代入求出答案即可．【解答】解：（2x+1）（x﹣1）﹣（x+1）2＝2x2﹣2x+x﹣1﹣x2﹣2x﹣1＝x2﹣3x﹣2，∵x2﹣3x﹣1＝0，∴x2﹣3x＝1，∴原式＝1﹣2＝﹣1．【点评】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．20．（5分）如图，AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AB＝6，AC＝4，求AD的长．【分析】（1）利用两角法证得结论；（2）根据相似三角形的对应边成比例列出比例式，代入相关数值计算．【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD．∵∠B＝∠ACD，∴△ABC∽△ACD；（2）解：∵△ABC∽△ACD，∴＝．∵AB＝6，AC＝4，∴AD＝．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．21．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（﹣1，0），B（2，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）直接写出y＞0时，x的取值范围．【分析】（1）依据题意，由二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（﹣1，0），B（2，0），进而代入求出a，b即可得解；（2）依据题意，由抛物线y＝x2﹣x﹣2开口向上，与x轴交点为A（﹣1，0），B（2，0），从而y＞0时，x的取值范围是图象在x轴上方部分对应的自变量的范围，进而可以判断得解．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（﹣1，0），B（2，0），∴．∴a＝1，b＝﹣1．∴二次函数的表达式为y＝x2﹣x﹣2．（2）∵抛物线y＝x2﹣x﹣2开口向上，与x轴交点为A（﹣1，0），B（2，0），∴y＞0时，x的取值范围是图象在x轴上方部分对应的自变量的范围．∴x＜﹣1或x＞2．【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．22．（6分）在一次数学综合实践活动中，某数学小组的同学们一起测量一座小山的高度．如图，在点A处测得山顶E的仰角为22.5°，向山的方向前进20m，在点C处测得山顶E 的仰角为45°，已知观测点A，C到地面的距离AB＝1.7m，CD＝1.7m．求小山EG的高度（精确到0.1m）．（参考数据：，sin22.5°≈0.384，cos22.5°≈0.925，tan22.5°≈0.414）【分析】延长AC交EG于点H，根据三角形的外角性质得到∠CEA＝22.5°，得到∠CEA ＝∠EAH，根据等腰三角形的判定求出EC，再根据中正弦的定义求出EH，进而求出EG．【解答】解：如图，延长AC交EG于点H，由题意得：AH⊥EG，∵EG⊥BG，CD⊥BG，∴四边形FGDC为矩形，∴HG＝CD＝1.7m，HC＝GD，∵∠ECH＝45°，∠EAH＝22.5°，∴∠CEA＝∠ECH﹣∠EAH＝22.5°，∴∠CEA＝∠EAH，∴EC＝AC＝20m，∵∠ECH＝45°，∴EH＝EC•sin∠ECH＝20×＝10（m），∴EG＝EH+HG＝10+1.7≈15.8（m），答：小山EG的高度约为15.8m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23．（5分）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，．（1）求证：∠COB＝∠DOB；（2）若⊙O的半径为2，求OE，的长．【分析】（1）由垂径定理推出＝，由圆心角、弧、弦的关系推出∠COB＝∠DOB；（2）由垂径定理推出＝，而＝，得到∠COD＝120°，由等腰三角形的性质求出∠C＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得到OE＝OC＝1，由弧长公式即可求出的长．【解答】（1）证明：∵直径AB⊥CD，∴＝，∴∠COB＝∠DOB；（2）解：∵直径AB⊥CD，∴＝，∵＝，∴的度数＝×360°＝120°，∴∠COD＝120°，∵OC＝OD，∴∠C＝∠D＝×（180°﹣120°）＝30°，∵∠OEC＝90°，∴OE＝OC＝×2＝1，∵⊙O的半径为2，∠COD＝120°，∴的长＝＝π．【点评】本题考查垂径定理，弧长的计算，圆心角、弧、弦的关系，关键是由垂径定理推出＝，＝，掌握弧长公式．24．（5分）正面双手前掷实心球是发展学生力量和协调性的运动项目之一，实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从出手到着地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．小明进行了三次训练．（1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m0123456789竖直高度y/m2 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 3.72 1.1根据上述数据，求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0），并求出实心球着地点的水平距离d1；（2）第二次、第三次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x的函数图象的一部分如图所示，其中A，B分别为第二次、第三次训练抛物线的顶点．记小明第二、三次训练时实心球着地点的水平距离分别为d2，d3，则d1，d2，d3的大小关系为d2＜d1＜d3．【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值；选出表格中的数据，利用待定系数法即可求出函数解析式；再令y＝0求出x的值即可；（2）根据三次投掷实心球所得抛物线的对称轴和抛物线都过点（0，2），由函数的对称性得出结论．【解答】解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为（4，3.6），∴抛物线的解析式可表示为：y＝a（x﹣4）2+3.6，∵当x＝0时，y＝2，∴2＝a（0﹣4）2+3.6，解得a＝﹣，∴函数解析式为y＝﹣（x﹣4）2+3.6；令y＝0，则﹣（x﹣4）2+3.6＝0，解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），∴d1＝10，∴实心球着地点的水平距离d1为10米；（2）根据图象知，第二次、第三次抛物线的对称轴分别为直线x＝3.83和直线x＝4.07，∵三次抛物线都过点（0，2），3.83＜4＜4.07，∴小明第一、第二、三次训练时实心球着地点的水平距离d2＜d1＜d3，故答案为：d2＜d1＜d3．【点评】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，实数大小比较，解题的关键是读懂题意，能够从表格中获取有用信息列出函数关系式．25．（6分）如图，AB为⊙O的弦，点C为AB的中点，CO的延长线交⊙O于点D，连接AD，BD，过点D作⊙O的切线交AO的延长线于点E．（1）求证：DE∥AB；（2）若⊙O的半径为3，tan∠ADC＝，求DE的长．【分析】（1）连接OB，由等腰三角形的性质推出OC⊥AB，由切线的性质得到OD⊥DE，即可证明DE∥AB；（2）由tan∠ADC＝＝，令AC＝x，CD＝2x，得到OC＝2x﹣3，由勾股定理得到（2x﹣3）2+x2＝32，求出x＝，得到AC＝，OC＝2x﹣3＝，由锐角的正切定义得到＝，代入有关数据即可求出DE长．【解答】（1）证明：连接OB，∵OB＝OA，点C为AB的中点，∴OC⊥AB，∵DE切圆于D，∴OD⊥DE，∴DE∥AB；（2）解：∵tan∠ADC＝＝，∴令AC＝x，CD＝2x，∵⊙O的半径为3，∴OA＝OD＝3，∴OC＝2x﹣3，∵OA2＝OC2+AC2，∴（2x﹣3）2+x2＝32，∴x＝，∴AC＝，OC＝2x﹣3＝，∵∠DOE＝∠AOC，∴tan∠DOE＝tan∠AOC，∴＝，∴＝＝，∴DE＝4．【点评】本题考查切线是性质，勾股定理，解直角三角形，关键是由勾股定理得到（2x ﹣3）2+x2＝32，求出AC，OC的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．（1）若a＝1，求抛物线的对称轴及A，B两点的坐标；（2）已知点（3﹣a，y1），（a+1，y2），（﹣a，y3）在该抛物线上，若y1，y2，y3中有且仅有一个大于0，求a的取值范围．【分析】利用对称轴的公式x＝﹣求出对称轴，再令y＝0，求出A、B坐标；把x的值代入y中，得到y1大于0，从而求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵a＝1，∴y＝x2﹣2x﹣3，∴抛物线的对称轴是：直线x＝﹣＝1，当x2﹣2x﹣3＝0时，∴（x﹣3）（x+1）＝0，∴x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），故答案为：对称轴是：直线x＝1，A（﹣1，0），B（3，0）．（2）当x＝3﹣a时，y1＝4a2﹣12a+5；当x＝a+1时，y2＝﹣3＜0；当x＝﹣a时，y3＝4a2﹣4；∵y1，y2，y3中有且仅有一个大于0，∴分两种情况：①当y1＝4a2﹣12a+5＞0，而y3＝4a2﹣4＜0时，∵y1＝4a2﹣12a+5＞0，令4a2﹣12a+5＝0，∴（2a﹣5）（2a﹣1）＝0，∴a1＝，a2＝，∴a的取值范围是：a＜或a＞．∵y3＝4a2﹣4＜0，令4a2﹣4＝0，∴a1＝1，a2＝﹣1，∴a的取值范围是：﹣1＜a＜1，故﹣1＜a＜；②当y1＝4a2﹣12a+5＜0，而y3＝4a2﹣4＞0时，∵y1＝4a2﹣12a+5＜0，令4a2﹣12a+5＝0，∴（2a﹣5）（2a﹣1）＝0，∴a1＝，a2＝，∴a的取值范围是：＜a＜．∵y3＝4a2﹣4＞0，令4a2﹣4＝0，∴a1＝1，a2＝﹣1，∴a的取值范围是：a＜﹣1或a＞1，故1＜a＜．综上所述，a的取值范围是：﹣1＜a＜或1＜a＜．故答案为：﹣1＜a＜或1＜a＜．【点评】本题考查了抛物线的对称轴的求法，抛物线与坐标轴交点的坐标，以及抛物线大于0的求法，掌握解题方法是解题关键．27．（7分）在菱形ABCD中，∠B＝60°，点P是对角线AC上一点（不与点A重合），点E，F分别是边AB，AD上的点，且∠EPF＝60°，射线PE，PF分别与DA，BA的延长线交于点M，N．（1）如图1，若点P与C重合，且PA平分∠EPF，求证：AM＝AN；（2）连接BP，若∠ABP＝45°，BP＝3，且PA不平分∠EPF．①依题意补全图2；②用等式表示线段AM，AN的数量关系，并证明．【分析】（1）由点P与C重合，且PA平分∠EPF，得∠ACE＝∠ACF，由菱形的性质得AB＝CB＝AD＝CD，∠D＝∠B＝60°，所以△ABC和△ADC都是等边三角形，则∠BAC ＝∠DAC＝60°，所以∠CAM＝∠CAN＝120°，而AC＝AC，即可根据“ASA”证明△ACM≌△ACN，得AM＝AN；（2）①按题中所给条件补全图形即可；②作PH∠AB于点H，由∠BAC＝∠DAC＝60°，得∠PAM＝∠NAP＝120°，∠N+∠APF＝∠BAC＝60°，而∠APM+∠APF＝∠EPF＝60°，可证明∠APM＝∠N，所以△PAM ∽△NAP，则＝，所以AM•AN＝AP2，因为∠ABP＝45°，BP＝3，所以＝sin45°＝，则HP＝BP，因为＝sin60°＝，所以AP＝＝BP＝，即可证明AM•AN＝6．【解答】（1）证明：如图1，∵点P与C重合，且PA平分∠EPF，∴∠ACE＝∠ACF，∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴AB＝CB＝AD＝CD，∠D＝∠B＝60°，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴∠BAC＝∠DAC＝60°，∴∠CAM＝180°﹣∠DAC＝120°，∠CAN＝180°﹣∠BAC＝120°，∴∠CAM＝∠CAN，在△ACM和△ACN中，，∴△ACM≌△ACN（ASA），∴AM＝AN．（2）解：①补全图形，如图2所示.②AM•AN＝6，证明：如图2，作PH∠AB于点H，则∠AHP＝∠BHP＝90°，∵∠BAC＝∠DAC＝60°，∴∠PAM＝∠NAP＝180°﹣60°＝120°，∠N+∠APF＝∠BAC＝60°，∵∠APM+∠APF＝∠EPF＝60°，∴∠APM+∠APF＝∠N+∠APF，∴∠APM＝∠N，∴△PAM∽△NAP，∴＝，∴AM•AN＝AP2，∵∠ABP＝45°，BP＝3，∴＝sin∠ABP＝sin45°＝，∴HP＝BP，∵＝sin∠BAC＝sin60°＝，∴AP＝＝＝BP＝×3＝，∴AP2＝（）2＝6，∴AM•AN＝6．【点评】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，有如下定义：对于图形G1、G2，若存在常数d，使得图形G1上的任意一点P，在图形G2上至少能找到一个点Q，满足PQ＝d，则称图形G2是图形G1的“映图”，d是G1关于G2的“映距”．（1）如图，点A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（﹣1，0），D（0，﹣1），E（4，0），F（0，4），G（5，0），H（0，5）．在线段CD，EF，GH中，线段AB的映图是EF，GH．（2）⊙O的半径为1．②若直线y＝﹣x+m（m≠0）被坐标轴所截的线段是⊙O的映图，直接写出m的取值范围．【分析】（1）利用“映图”的定义解答即可；（2）①由题意画出图形，利用映距d的定义和圆的有关性质解答即可；②利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：Ⅰ．当m＞0时，过点O作直线l⊥直线y＝﹣x+m，垂足为K，分别交⊙O与点M，N，设⊙O与x轴交于点C，D，与y轴交于点E，F，利用①的方法求得⊙O关于直线y＝﹣x+m的映距d的最小值，再利用⊙O上的点到端点A，B的最小距离不小于d的最小值列式解答即可；Ⅱ．当m＜0时，同理解答即可．【解答】解：（1）由题意：AB∥CD∥EF∥GH，平行线之间的距离相等，∵若存在常数d，使得图形G1上的任意一点P，在图形G2上至少能找到一个点Q，满足PQ＝d，则称图形G2是图形G1的“映图”，∴线段AB的映图大于或等于AB，且映距d的最小值为两条平行线段的距离，∴线段AB的映图是：EF，GH．故答案为：EF，GH；（2）①过点O作直线l⊥直线，垂足为K，分别交⊙O与点M，N，如图，设直线与坐标轴交于点A，B，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝3，∴A（3，0），B（0，3），∴OA＝OB＝3，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OAB＝∠OBA＝45°．∵OK⊥AB，∴△OAK为等腰直角三角形，∴OK＝OA＝3，∴NK＝ON+OK＝1+3＝4，∴⊙O关于直线的映距d的最小值为4．②Ⅰ．当m＞0时，过点O作直线l⊥直线y＝﹣x+m，垂足为K，分别交⊙O与点M，N，设⊙O与x轴交于点C，D，与y轴交于点E，F，如图，则⊙O关于直线y＝﹣x+m的映距d的最小值为NK，设直线与坐标轴交于点A，B，令x＝0，则y＝m，令y＝0，则x＝m，∴A（m，0），B（0，m），∴OA＝OB＝m，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OAB＝∠OBA＝45°．∵OK⊥AB，∴△OAK为等腰直角三角形，∴OK＝OA＝m．∴NK＝ON+OK＝m+1．∵直线y＝﹣x+m（m≠0）被坐标轴所截的线段是⊙O的映图，⊙O上的点到端点A，B 的最小距离为CA＝EB＝m﹣1，∴m﹣1≥m+1，∴m≥4+2．Ⅱ．当m＞0时，过点O作直线l⊥直线y＝﹣x+m，垂足为K，分别交⊙O与点M，N，设⊙O与x轴交于点C，D，与y轴交于点E，F，如图，用同样的方法计算可得：m≤﹣4﹣2．综上，若直线y＝﹣x+m（m≠0）被坐标轴所截的线段是⊙O的映图，m的取值范围m≥4+2或m≤﹣4﹣2．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，等腰直角三角形的性质，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键。

2022-2023学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷+答案解析(附后)

2022-2023学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷+答案解析(附后)

2022-2023学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷1. 二次函数的最小值是( )A. 2B. 3C. D.2. 中国传统扇文化有着深厚的文化底蕴，是中华民族文化的一个组成部分．在中国传统社会中，扇面形状的设计与日常生活中的图案息息相关．下列扇面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A. B.C. D.3. 下列事件中是随机事件的是( )A. 明天太阳从东方升起B. 经过有交通信号灯的路口时遇到红灯C. 平面内不共线的三点确定一个圆D. 任意画一个三角形，其内角和是4. 如图，在中，弦AB，CD相交于点P，，，则的大小是( )A. B.C. D.5. 抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是( )A. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位D. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位6. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式每两队之间都只赛一场，计划安排15场比赛．如果设邀请x个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为( )A. B.C. D.7.如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在BC上时，连接BE，则的度数是( )A. B.C. D.8. 如表记录了二次函数中两个变量x与y的5组对应值，其中，x…13…y…m020m…根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是( )A. B. C. D.9. 一元二次方程的解是__________.10. 已知的半径为5，点P到圆心O的距离为8，则点P在__________填“内”“上”或“外”11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为__________.12. 圆心角是的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是__________.13. 点是抛物线上一点，则m的值是__________，点M关于原点对称的点的坐标是__________.14. 已知二次函数满足条件：①图象过原点；②当时，y随x的增大而增大．请你写出一个满足上述条件的二次函数的解析式：__________.15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以点为圆心，1为半径画圆．将绕点O逆时针旋转得到，使得与y轴相切，则的度数是__________.16. 如图，AB是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，M为AP 的中点，连接若的半径为2，则CM长的最大值是__________.17. 解方程：18. 已知：点A，B，C在上，且求作：直线l，使其过点C，并与相切．作法：①连接OC；②分别以点B，点C为圆心，OC长为半径作弧，两弧交于外一点D；③作直线直线CD就是所求作直线使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；完成下面的证明．证明：连接OB，BD，，四边形OBDC是菱形．点A，B，C在上，且，________填推理的依据四边形OBDC是正方形．，即为半径，直线CD为的切线____填推理的依据19. 已知二次函数将化成的形式，并写出它的顶点坐标；在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；当时，结合图象，直接写出函数值y的取值范围．20. 如图，AB是的一条弦，点C是AB的中点，连接OC并延长交劣弧AB于点D，连接OB，若，，求的面积．21. 在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别．每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回．在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验．如图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果．根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是____，其中红球的个数是____；如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率．22. 如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，将点B绕点C逆时针旋转得到点E，连接AE，BE，求的度数；若是等边三角形，且，，，求BE的长．23. 已知关于x的方程求证：方程有两个不相等的实数根；设此方程的两个根分别为，，且，若，求m的值．24.如图，在中，，，点O是AC上一点，以O为圆心，OA长为半径作圆，使与BC相切于点D，与AC相交于点过点B作，交ED 的延长线于点若，求的半径；连接BO，求证：四边形BFEO是平行四边形．25. 跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B 到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系已知，，落点P的水平距离是40m，竖直高度是点A的坐标是____，点P的坐标是____；求满足的函数关系；运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴为直线，且当时，求t的值；点，，在抛物线上，若，判断，与的大小关系，并说明理由．27.如图，在中，，，，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转得到线段CQ，连接依题意，补全图形，并证明：；求的度数；若N为线段AB的中点，连接NP，请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系，并证明．28. 给定图形W 和点P，Q，若图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点P关于点M 的对称点与点Q关于点N的对称点重合，则称点P与点Q关于图形W双对合．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，在点，，中，与点O关于线段AB 双对合的点是____；点K是x轴上一动点，的直径为1，①若点A与点关于双对合，求t的取值范围；②当点K运动时，若上存在一点与上任意一点关于双对合，直接写出点K 的横坐标k的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：二次函数，当时，最小值是3，故选：2.【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；D.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：3.【答案】B【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：A、明天太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意；B、经过有交通信号灯的路口时遇到红灯，是随机事件，符合题意；C、平面内不共线的三点确定一个圆，是必然事件，不符合题意；D、任意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件，不符合题意；故选：4.【答案】A【解析】【分析】根据圆周角定理以及三角形的内角和定理可求出答案．【解答】解：，，，故选：5.【答案】D【解析】【分析】先通过抛物线解析式得到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【解答】解：的顶点坐标为，的顶点坐标为，将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，可得到抛物线故选：6.【答案】D【解析】【分析】赛制为单循环形式每两队之间都赛一场，x个球队比赛总场数，由此可得出方程．【解答】解：设邀请x个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，由题意得，，故选：7.【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求得与的度数，再由旋转性质得与的度数，并得，根据等腰三角形与三角形的内角和定理求得的度数，便可求得【解答】解：，，，由旋转性质知，，，，，故选：8.【答案】C【解析】【分析】利用二次函数的图象的对称性求得抛物线的对称轴，利用待定系数法求得a，b的值，再利用二次函数与直线的交点的特性解答即可．【解答】解：由表中信息可知：抛物线经过点和，抛物线的对称轴为直线，，根据表中信息，抛物线经过点，，，解得：，抛物线的解析式为，该抛物线的顶点坐标为，抛物线的开口方向向下，抛物线经过，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，故选：9.【答案】，【解析】【分析】方程变形后，开方即可求出解．【解答】解：方程变形得：，开方得：，解得：，故答案为：，10.【答案】外【解析】【分析】根据的半径为r和点P到圆心的距离的大小关系判断即可．【解答】解：的半径为5，点P到圆心O的距离为8，，点P在外．故答案为：外．11.【答案】【解析】【分析】由判别式求解．【解答】解：一元二次方程有两个相等的实数根，，解得故答案为：12.【答案】【解析】【分析】根据扇形的面积公式计算，即可得出结果．【解答】解：该扇形的面积故答案为：13.【答案】6【解析】【分析】将代入即可求得m的值，进一步求得点M关于原点对称的点的坐标．【解答】解：点是抛物线上一点，，，点M关于原点对称的点的坐标是故答案为：6，14.【答案】【解析】【分析】根据该函数的增减性确定其系数的取值，然后代入已知点后即可求得其解析式．【解答】解：当时，y随x的增大而增大，抛物线方程中的二次项系数，对称轴是直线图象过原点，抛物线方程中的常数项符合题意．答案不唯一，如：15.【答案】或【解析】【分析】分两种情况，一是点在第一象限，设与y轴相切于点B，连接、，由切线的性质得，由旋转的性质得，，根据勾股定理求得，则，此时；二是点在第二象限，设与y轴相切于点C，连接、，则，此时【解答】解：如图1，点在第一象限，设与y轴相切于点B，连接、，，，的半径为1，，，由旋转得，的半径为1，，，，，如图2，点在第二象限，设与y轴相切于点C，连接、，，，，，，，，故答案为：或16.【答案】【解析】【分析】根据题意得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可．【解答】解：如图，当点P在上移动时，AP的中点M的轨迹是以OA为直径的，因此交于点M，此时CM的值最大，由题意得，，，在中，，，，，故答案为：17.【答案】解：，则，解得：，【解析】【分析】直接利用配方法解方程的步骤分析得出答案．18.【答案】解：补全图形，如图所示：证明：连接OB，BD，如图：，四边形OBDC是菱形．点A，B，C在上，且，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半四边形OBDC是正方形．，即为半径，直线CD为的切线经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】【分析】按要求作图即可；证明四边形OBDC是正方形，即可得，从而证明直线CD为的切线．19.【答案】解：该函数的顶点坐标为，该函数的顶点坐标为，与x轴的交点为，，经过点和点，函数图象如下图所示．当时，由图象可知，y的取值范围是【解析】【分析】根据配方法，可以将题目中的函数解析式化为顶点式，然后即可写出顶点坐标；先求出抛物线的顶点坐标，与x轴的两个点，及其它的两个点，然后即可画出相应的函数图象；根据中的函数图象，可以写出当时，函数值y的取值范围．20.【答案】解：设的半径是r，点C是AB的中点，OC过圆心O，，，，，，，，，，的面积【解析】【分析】设的半径是r，由勾股定理，垂径定理求出圆的半径，由三角形的面积公式即可计算。

2022-2023学年北京市房山区九年级(上)期末数学试卷(word,解析版)

2022-2023学年北京市房山区九年级(上)期末数学试卷(word,解析版)

2022-2023学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）1．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，如果AD＝3，BD＝6，AE＝2，那么AC的值为（）A．4B．6C．8D．92．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么cos A的值为（）A．B．C．D．3．（2分）把二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列变形正确的是（）A．y＝（x+1）2+3B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝（x﹣1）2+5D．y＝（x﹣1）2+3 4．（2分）如图，点A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC＝25°，则∠BOC的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．（2分）堤的横断面如图．堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长时13米，那么斜坡AB的坡度是（）A．1：3B．1：2.6C．1：2.4D．1：26．（2分）点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数的图象上的两点，如果x1＜x2＜0，那么y1，y2的大小关系是（）A．y1＜y2＜0B．y2＜y1＜0C．y1＞y2＞0D．y2＞y1＞07．（2分）道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为（单位：m）（）A．B．C．D．8．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点同时从原点O出发，点A以每秒2个单位长的速度沿x轴的正方向运动，点B以每秒1个单位长的速度沿y轴的正方向运动，设运动时间为t秒，以AB为直径作圆，圆心为点P．在运动的过程中有如下5个结论：①∠ABO的大小始终不变；②⊙P始终经过原点O；③半径AP的长是时间t的一次函数；④圆心P的运动轨迹是一条抛物线；⑤AB始终平行于直线．其中正确的有（）A．①②③④B．①②⑤C．②③⑤D．①②③⑤二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）9．（2分）二次函数y＝（x+1）2﹣2图象的顶点坐标为．10．（2分）如图，平面直角坐标系中，若反比例函数的图象过点A和点B，则a的值为．11．（2分）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sin∠ABC为．12．（2分）抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴只有一个交点，则m的值为．13．（2分）丽丽的圆形镜子摔碎了，她想买一个同样大小的镜子．为了测算圆形镜子的半径，如图，她将直角三角尺的直角顶点C放在破损的圆形镜子的圆框上，两直角边分别与圆框交于A，B两点，测得CA为8cm，CB为6cm，则该圆形镜子的半径是cm．14．（2分）如图，在矩形ABCD中，若AB＝2，BC＝4，且，则EF的长为．15．（2分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如右图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为步．16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，以点P（t，0）为圆心，单位长1为半径的圆与直线y＝kx﹣2相切于点M，直线y＝kx﹣2与y轴交于点N，当MN取得最小值时，k的值为．三、解答题（本题共12道小题，共68分.17，18，20，21每题5分；其余每题6分）17．（5分）2cos30°+sin45°﹣tan60°．18．（5分）抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（0，﹣3）和（2，1）．（1）求b，c的值；（2）直接写出当x取何值时，函数y随x的增大而增大．19．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝．（1）求BC的长．（2）BE是AC边上的高，请你补全图形，并求BE的长．20．（5分）下面是晓雨同学设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图的过程．已知：如图，⊙O及⊙O外一点P．求作：过点P的⊙O的切线PD（D为切点）．作法：①连接PO与⊙O交于点A，延长PO与⊙O交于点B；②以点O为圆心，AB长为半径作弧；以点P为圆心，PO长为半径作弧，在PO上方两弧交于点C；③连接OC，PC，OC与⊙O交于点D；④作直线PD．则直线PD即为所求作的⊙O的切线．请你根据晓雨同学的作法，完成以下问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成以下证明过程：证明：由作图可知，OC＝AB，PC＝PO，点为线段CO中点，∴PD⊥OC（）又∵点D在⊙O上，∴PD是⊙O切线（）21．（5分）如图，割线PB与⊙O交于点A，B，割线PC过圆心O，且∠CPB＝30°．若PC＝13，⊙O的半径OA＝5，求弦AB的长．22．（6分）中央电视塔是一座现代化的标志性建筑，其外观优美，造型独特，在观光塔上眺望，北京风景尽收眼底．一次数学活动课上，某校老师带领学生去测量电视塔的高度．如图，在点C处用高1.5m的测角仪CD测得塔尖A的仰角为37°，向塔的方向前进128m 到达F处，在F处测得塔尖A的仰角为45°，请你求出中央电视塔AB的高度（结果精确到1m）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈．）23．（6分）在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物，使其重获新生．如图1，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸．如图2是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形．碎片的边缘是圆弧，表示为弧AB，测得弧所对的弦长AB为12.8cm，弧中点到弦的距离为2cm．设弧AB所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB于D，连接OB．求这个盏口半径OB 的长（精确到0.1cm）．24．（6分）如图，平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，4），一次函数y＝﹣x+2的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点B．（1）求m的值；（2）点C（x C，y C）是y＝（x＜0）图象上任意一点，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，过点C作x轴的垂线交直线y＝﹣x+2于点E．①当x C＝﹣2时，判断CD与CE的数量关系，并说明理由；②当CE≥CD时，直接写出x C的取值范围．25．（6分）如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点B作BD⊥MC于D，线段BD与⊙O相交于点E．（1）求证：BC是∠ABD的平分线；（2）若AB＝10，BE＝6，求BC的长．26．（6分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）抛物线上存在两点A（2﹣t，y1），B（2+2t，y2），若y1＞y2，请判断此时抛物线有最高点还是最低点，并说明理由；（3）在（2）的条件下，抛物线上有三点（1，m），（2，n），（5，p），当mnp≥0时，求a的取值范围．27．（6分）已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝2．点D为平面上一点，使得∠BDA＝90°．点P为BC中点，连接DP．（1）如图，点D为△ABC内一点．①猜想∠BDP的大小；②写出线段AD，BD，PD之间的数量关系，并证明；（2）直接写出线段CD的最大值．28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于对称轴对称的两点A，B（A点在B点左侧），以AB为直径作⊙M．取线段AB下方的抛物线部分和线段AB上方的圆弧部分（含端点A，B），组成一个封闭图形，我们称这种图形为“抛物圆”，其中线段AB叫做“横径”，线段AB的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段叫做“纵径”，规定“纵径”长度和“横径”长度的比值叫做此“抛物圆”的“扁度”．（1）已知抛物线y＝x2．①若点A横坐标为﹣2，则得到的“抛物圆”的“横径”长为，“纵径”长为；②若点A横坐标为t，用t表示此“抛物圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2时t的值；（2）已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2+a，若点A在直线y＝﹣4ax+a上，求“抛物圆”的“扁度”不超过3时a的取值范围．2022-2023学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）1．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，如果AD＝3，BD＝6，AE＝2，那么AC的值为（）A．4B．6C．8D．9【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算求出EC，结合图形计算得到答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得，EC＝4，∴AC＝AE+EC＝2+4＝6，故选：B．2．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么cos A的值为（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求出斜边AB的长，根据余弦的概念求出cos A．【解答】解：∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，由勾股定理得，AB＝＝5，∴cos A＝＝，故选：A．3．（2分）把二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列变形正确的是（）A．y＝（x+1）2+3B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝（x﹣1）2+5D．y＝（x﹣1）2+3【分析】利用配方法整理即可得解．【解答】解：y＝x2﹣2x+4，＝x2﹣2x+1+3，＝（x﹣1）2+3．故选：D．4．（2分）如图，点A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC＝25°，则∠BOC的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】根据圆周角定理得出∠COB＝2∠CAB，代入求出即可．【解答】解：∵对的圆心角为∠COB，对的圆周角为∠CAB，∠BAC＝25°，∴∠COB＝2∠CAB＝50°，故选：C．5．（2分）堤的横断面如图．堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长时13米，那么斜坡AB的坡度是（）A．1：3B．1：2.6C．1：2.4D．1：2【分析】坡度＝垂直距离÷水平距离．【解答】解：由勾股定理得：AC＝12米．则斜坡AB的坡度＝BC：AC＝5：12＝1：2.4．故选：C．6．（2分）点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数的图象上的两点，如果x1＜x2＜0，那么y1，y2的大小关系是（）A．y1＜y2＜0B．y2＜y1＜0C．y1＞y2＞0D．y2＞y1＞0【分析】根据k的值判断此函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0判断出A（x1，y1）、B（x2，y2）所在的象限，根据此函数的增减性即可解答．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在一，三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，∵x1＜x2＜0，∴A（x1，y1）、B（x2，y2）两点均位于第三象限，∴y2＜y1＜0．故选：B．7．（2分）道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为（单位：m）（）A．B．C．D．【分析】根据弧长公式求出答案即可．【解答】解：图中的管道中心线的长为＝（m），故选：B．8．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点同时从原点O出发，点A以每秒2个单位长的速度沿x轴的正方向运动，点B以每秒1个单位长的速度沿y轴的正方向运动，设运动时间为t秒，以AB为直径作圆，圆心为点P．在运动的过程中有如下5个结论：①∠ABO的大小始终不变；②⊙P始终经过原点O；③半径AP的长是时间t的一次函数；④圆心P的运动轨迹是一条抛物线；⑤AB始终平行于直线．其中正确的有（）A．①②③④B．①②⑤C．②③⑤D．①②③⑤【分析】①由题意得：OA＝2t，OB＝t，则tan∠ABO＝，即可求解；②AB是圆P的直径，则AB所对的圆周角为90°，即∠AOB＝90°，即可求解；③AP＝＝t，即可求解；④由③知，点P（t，t），即可求解；⑤求出直线AB的表达式为：y＝﹣x+t，即可求解．【解答】解：①由题意得：OA＝2t，OB＝t，则tan∠ABO＝，∴∠ABO的大小始终不变，正确；②∵AB是圆P的直径，则AB所对的圆周角为90°，即∠AOB＝90°，∴⊙P始终经过原点O，正确；③由点A、B的坐标，根据中点坐标公式得：点P（t，t），则AP＝＝t，即AP的长度是时间t的一次函数，正确；④由③知，点P（t，t），则点P在直线y＝x上，故④错误；⑤设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，故直线AB的表达式为：y＝﹣x+t，∵AB始终平行于直线，正确，故选：D．二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）9．（2分）二次函数y＝（x+1）2﹣2图象的顶点坐标为（﹣1，﹣2）．【分析】直接根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：二次函数y＝（x+1）2﹣2图象的顶点坐标为：（﹣1，﹣2）．故答案为：（﹣1，﹣2）．10．（2分）如图，平面直角坐标系中，若反比例函数的图象过点A和点B，则a的值为．【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到﹣3＝﹣2a，然后解关于a的方程即可．【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（1，﹣3）和点B（﹣2，a），∴﹣3＝﹣2a，解得a＝，故答案为：．11．（2分）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sin∠ABC为．【分析】在Rt△ABD中，先利用勾股定理求出AB的长，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：如图：在Rt△ABD中，AD＝1，BD＝3，∴AB＝＝＝，∴sin∠ABC＝＝＝，故答案为：．12．（2分）抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴只有一个交点，则m的值为1．【分析】由抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴只有一个交点可知，对应的一元二次方程x2﹣2x+m ＝0，根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，由此即可得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴只有一个交点，∴Δ＝0，∴b2﹣4ac＝22﹣4×1×m＝0；∴m＝1．故答案为：1．13．（2分）丽丽的圆形镜子摔碎了，她想买一个同样大小的镜子．为了测算圆形镜子的半径，如图，她将直角三角尺的直角顶点C放在破损的圆形镜子的圆框上，两直角边分别与圆框交于A，B两点，测得CA为8cm，CB为6cm，则该圆形镜子的半径是5cm．【分析】连接AB，由圆周角定理得AB为圆形镜子的直径，再由勾股定理求出AB的长，即可得出结论．【解答】解：如图，连接AB，∵∠ACB＝90°，∴AB为圆形镜子的直径，∵CA＝8cm，CB＝6cm，∴AB＝＝＝10（cm），∴圆形镜子的半径为×10＝5（cm），故答案为：5．14．（2分）如图，在矩形ABCD中，若AB＝2，BC＝4，且，则EF的长为．【分析】先根据矩形的性质得到AD∥BC，∠BAD＝90°，则可判断△AEF∽△CBF，根据相似三角形的性质得到＝＝＝，则可计算出AE＝1，接着利用勾股定理计算出BE，然后利用＝求出EF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∠BAD＝90°，∵AE∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝＝＝，∴AE＝BC＝×4＝1，在Rt△ABE中，BE＝＝＝，∵＝，∴＝，∴EF＝BE＝．故答案为：．15．（2分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如右图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为6步．【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．【解答】解：根据勾股定理得：斜边AB＝＝17，∴内切圆直径＝8+15﹣17＝6（步），故答案为：6．16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，以点P（t，0）为圆心，单位长1为半径的圆与直线y＝kx﹣2相切于点M，直线y＝kx﹣2与y轴交于点N，当MN取得最小值时，k的值为或﹣．【分析】连接PN，在y＝kx﹣2中，得N（0，﹣2），即得MN＝＝，故PN最小时，MN最小，此时PN⊥x轴，即t＝0，P与O重合，过M作MK⊥x轴于K，由含30°角的直角三角形三边关系可得M（﹣，﹣），再用待定系数法解得k＝﹣，由对称性当M'在第四象限时，k＝．【解答】解：连接PN，如图：在y＝kx﹣2中，令x＝0得y＝﹣2，∴N（0，﹣2），∵MN与⊙P相切，∴∠MNP＝90°，∴MN＝＝，∴PN最小时，MN最小，此时PN⊥x轴，即t＝0，P与O重合，过M作MK⊥x轴于K，如图：∵PM＝1，PN＝2，∠PMN＝90°，∴∠PNM＝30°，∴∠MPN＝60°，∴∠MPK＝30°，∴KM＝PM＝，PK＝KM＝，∴M（﹣，﹣），把M（﹣，﹣）代入y＝kx﹣2得：﹣＝﹣k﹣2，解得k＝﹣，由对称性可得，当M'在第四象限时，k＝，故答案为：或﹣．三、解答题（本题共12道小题，共68分.17，18，20，21每题5分；其余每题6分）17．（5分）2cos30°+sin45°﹣tan60°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式＝2×+×﹣＝1．18．（5分）抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（0，﹣3）和（2，1）．（1）求b，c的值；（2）直接写出当x取何值时，函数y随x的增大而增大．【分析】（1）把（0，﹣3）和（2，1）代入抛物线，得出方程组，求出方程组的解即可；（2）根据（1）中bc的值得出抛物线的解析式，求出其顶点坐标，根据抛物线的性质即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（0，﹣3）和（2，1），∴，解得，（2）由（1）知，b＝4，c＝﹣3，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴顶点坐标为：（2，1），∵a＝﹣1＜0，∴抛物线开口向下，∴当x＜2时，函数y随x的增大而增大．19．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝．（1）求BC的长．（2）BE是AC边上的高，请你补全图形，并求BE的长．【分析】（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，利用等腰三角形的性质可得BC＝2BD，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义可求出BD的长，从而进行计算即可解答；（2）利用（1）的结论可得sin∠ABC＝sin∠ACB＝，然后Rt△BEC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC＝5，AD⊥BC，∴BC＝2BD，在Rt△ABD中，sin∠ABC＝，∴AD＝AB•sin∠ABC＝5×＝2，∴BD＝＝＝，∴BC＝2BD＝2，∴BC的长为2；（2）如图：∵∠ABC＝∠ACB，∴sin∠ABC＝sin∠ACB＝，在Rt△BEC中，BC＝2，∴BE＝BC•sin∠ACB＝2×＝，∴BE的长为．20．（5分）下面是晓雨同学设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图的过程．已知：如图，⊙O及⊙O外一点P．求作：过点P的⊙O的切线PD（D为切点）．作法：①连接PO与⊙O交于点A，延长PO与⊙O交于点B；②以点O为圆心，AB长为半径作弧；以点P为圆心，PO长为半径作弧，在PO上方两弧交于点C；③连接OC，PC，OC与⊙O交于点D；④作直线PD．则直线PD即为所求作的⊙O的切线．请你根据晓雨同学的作法，完成以下问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成以下证明过程：证明：由作图可知，OC＝AB，PC＝PO，点D为线段CO中点，∴PD⊥OC（三线合一）又∵点D在⊙O上，∴PD是⊙O切线（过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线）【分析】（1）根据题中的步骤画图；（2）根据切线的判断求解．【解答】解：（1）如图：PD即为所求；（2）证明：由作图可知，OC＝AB，PC＝PO，点D为线段CO中点，∴PD⊥OC（三线合一），又∵点D在⊙O上，∴PD是⊙O切线（过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线），故答案为：D，三线合一，过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线．21．（5分）如图，割线PB与⊙O交于点A，B，割线PC过圆心O，且∠CPB＝30°．若PC＝13，⊙O的半径OA＝5，求弦AB的长．【分析】由垂径定理得到AH＝BH，由勾股定理可求AH的长，于是可求AB的长．【解答】解：作OH⊥AB于H，∴AH＝BH，∵PC＝13，⊙O的半径OA＝OC＝5，∴PO＝PC﹣OC＝13﹣5＝8，∵∠CPB＝30°，∴OH＝PO＝4，∵AH2＝AO2﹣OH2，∴AH2＝52﹣42，∴AH＝3，∴AB＝2AH＝6．22．（6分）中央电视塔是一座现代化的标志性建筑，其外观优美，造型独特，在观光塔上眺望，北京风景尽收眼底．一次数学活动课上，某校老师带领学生去测量电视塔的高度．如图，在点C处用高1.5m的测角仪CD测得塔尖A的仰角为37°，向塔的方向前进128m 到达F处，在F处测得塔尖A的仰角为45°，请你求出中央电视塔AB的高度（结果精确到1m）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈．）【分析】根据题意可得：DE＝CF＝128米，CD＝EF＝GB＝1.5米，∠AGD＝90°，设AG＝x米，然后在Rt△AGC中，利用锐角三角函数的定义求出EG的长，从而求出DG 的长，再在Rt△AGD中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：DE＝CF＝128米，CD＝EF＝GB＝1.5米，∠AGD＝90°，设AG＝x米，在Rt△AGC中，∠AEG＝45°，∴EG＝＝x（米），∴DG＝GE+DE＝（128+x）米，在Rt△AGD中，∠ADG＝37°，∴tan37°＝＝≈，解得：x＝384，经检验：x＝384是原方程的根，∴AB＝AG+BG＝384+1.5≈386（米），∴中央电视塔AB的高度约为386米．23．（6分）在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物，使其重获新生．如图1，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸．如图2是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形．碎片的边缘是圆弧，表示为弧AB，测得弧所对的弦长AB为12.8cm，弧中点到弦的距离为2cm．设弧AB所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB于D，连接OB．求这个盏口半径OB 的长（精确到0.1cm）．【分析】由垂径定理得BD＝6.4cm，设这个盏口半径OB的长为rcm，则OD＝（r﹣2）cm，然后在Rt△BOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：由题意得：AB＝12.8cm，OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝6.4cm，设这个盏口半径OB的长为rcm，则OD＝（r﹣2）cm，在Rt△BOD中，由勾股定理得：6.42+（r﹣2）2＝r2，解得：r＝11.24，答：这个盏口半径OB的长为11.24cm．24．（6分）如图，平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，4），一次函数y＝﹣x+2的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点B．（1）求m的值；（2）点C（x C，y C）是y＝（x＜0）图象上任意一点，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，过点C作x轴的垂线交直线y＝﹣x+2于点E．①当x C＝﹣2时，判断CD与CE的数量关系，并说明理由；②当CE≥CD时，直接写出x C的取值范围．【分析】（1）把点A的坐标代入到反比例函数解析式即可得m的值；（2）①确定点C的坐标为（﹣2，2），点E的坐标为（﹣2，4），即可求解；②设t＝x C，当x＞1﹣时，则点C在E的上方，当CE≥CD时，即﹣+t﹣2≥﹣t，即可求解；当CE≥CD时，即﹣t+2≥﹣t，即可求解．【解答】解：（1）把点A（﹣1，4）代入得：4＝，解得：m＝﹣4；（2）①CD＝CE，理由如下：由（1）可得，反比例函数解析式为：y＝，∴当x＝﹣2时，y＝2，∴点C的坐标为（﹣2，2），∵过点C作y轴的垂线交y轴于点D，∴CD＝2，∵过点C作x轴的垂线交直线y＝﹣x+2于点E，∴当x＝﹣2时，y＝4，∴点E的坐标为（﹣2，4），∴CE＝2，∴CD＝CE；②设t＝x C，联立y＝和x＝﹣x+2并解得：x＝1，当x＞1﹣时，则点C在E的上方，当CE≥CD时，即﹣+t﹣2≥﹣t，解得：1﹣＜t≤﹣1，当x＜1﹣时，则点C在E的下方，当CE≥CD时，即﹣t+2≥﹣t，解得：t≤﹣2，综上，1﹣＜x C≤﹣1或x C≤﹣2．25．（6分）如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点B作BD⊥MC于D，线段BD与⊙O相交于点E．（1）求证：BC是∠ABD的平分线；（2）若AB＝10，BE＝6，求BC的长．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCM＝90°，得到OC∥BD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论；（2）连接AC，连接AE交OC于点F，根据勾股定理求出AE，进而求出AF，然后求出AC，最后求出BC的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵直线MC与⊙O相切于点C∴∠OCM＝90°，∵BD⊥CD，∴∠BDM＝90°，∴∠OCM＝∠ADM，∴OC∥BD，∴∠DBC＝∠BCO，∵OA＝OC，∴∠BCO＝∠CBO，∴∠DBC＝∠CBA，即BC是∠ABD的平分线；（2）连接AC，连接AE交OC于点F，∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∴AE＝＝8，由（1）知OC∥BD，O为AB的中点，∴AF＝4，∴OF＝＝3，∴CF＝OC﹣OF＝2，∴AC＝＝2，∴BC＝＝4．26．（6分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）抛物线上存在两点A（2﹣t，y1），B（2+2t，y2），若y1＞y2，请判断此时抛物线有最高点还是最低点，并说明理由；（3）在（2）的条件下，抛物线上有三点（1，m），（2，n），（5，p），当mnp≥0时，求a的取值范围．【分析】（1）由抛物线的对称轴x＝﹣，即可求解；（2）由y1＞y2知：点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大，即可求解；（3）确定（1，n）为抛物线的最高点，得到m、p同号，进而求解．【解答】解：（1）抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝2；（2）当a＞0时，由y1＞y2知：点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大，即|2﹣t﹣2|＞|2+2t﹣2|，即|t|＜0，无解；当a＜0时，同理可得：|2﹣t﹣2|＜|2+2t﹣2|，即|t|＞0，∴a＜0，即抛物线有最高点；（3）由（1，m），（5，p）知，m＝a﹣4a+3＝3﹣3a，p＝25a﹣20a+3＝5a+3，由（2）知，a＜0，则（1，n）为抛物线的最高点，若n≤0，则m、n均为负数，与mnp≥0不符，故n＞0，则m、p同号，即，解得：﹣≤a≤1，而a＜0，∴﹣≤a＜0．27．（6分）已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝2．点D为平面上一点，使得∠BDA＝90°．点P为BC中点，连接DP．（1）如图，点D为△ABC内一点．①猜想∠BDP的大小；②写出线段AD，BD，PD之间的数量关系，并证明；（2）直接写出线段CD的最大值．【分析】（1）①通过证明点A，点B，点P，点D四点共圆，可得∠BAP＝∠BDP＝45°；②由“SAS”可证△APD≌△BPH，可得BH＝AD，即可求解；（2）由题意可得点D在以AB为半径的圆上运动，则点D在CO的延长线时，CD有最大值，即可求解．【解答】解：（1）①如图，连接AP，∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点P是BC的中点，∴AP＝BP＝CP，AP⊥BP，∠BAP＝∠ABC＝45°，∴∠APB＝∠ADB＝90°，∴点A，点B，点P，点D四点共圆，∴∠BAP＝∠BDP＝45°；②BD＝AD+PD，理由如下：如图，过点P作PH⊥PD，交BD于H，∵PH⊥PD，∠BDP＝45°，∴∠DPH＝∠APB＝90°，∠BDP＝∠DHP＝45°，∴∠BPH＝∠APD，PD＝PH，又∵BP＝AP，∴△APD≌△BPH（SAS），∴BH＝AD，∵PD＝PH，∠DPH＝90°，∴HD＝DP，∴BD＝BH+HD＝AD+DP；（2）如图，取AB的中点O，连接OC，∴AO＝OB＝1，∴CO＝＝＝，∵∠ADB＝90°，∴点D在以AB为半径的圆上运动，∴点D在CO的延长线时，CD有最大值，即CD的最大值为+1．28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于对称轴对称的两点A，B（A点在B点左侧），以AB为直径作⊙M．取线段AB下方的抛物线部分和线段AB上方的圆弧部分（含端点A，B），组成一个封闭图形，我们称这种图形为“抛物圆”，其中线段AB叫做“横径”，线段AB的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段叫做“纵径”，规定“纵径”长度和“横径”长度的比值叫做此“抛物圆”的“扁度”．（1）已知抛物线y＝x2．①若点A横坐标为﹣2，则得到的“抛物圆”的“横径”长为4，“纵径”长为6；②若点A横坐标为t，用t表示此“抛物圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2时t的值；（2）已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2+a，若点A在直线y＝﹣4ax+a上，求“抛物圆”的“扁度”不超过3时a的取值范围．【分析】（1）①点A（﹣2，4），则点B（2，4），得到半径R＝AM＝2，则AB＝4，求出RN＝RM+OM＝4+2＝6，即可求解；②若点A横坐标为t，则点A（t，t2），则点B（﹣t，t2），参考①即可求解；（2）联立y＝x2﹣2ax+a2+a和y＝﹣4ax+a并解得：x＝﹣a，得到A（﹣a，4a2+a），进而求解．【解答】解：（1）①如图，设线段AB的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段为RN，则点N（O）重合，点A（﹣2，4），则点B（2，4），则圆M的半径R＝AM＝2，则AB＝4，由点B的坐标知，OM＝4，则RN＝RM+OM＝4+2＝6，故答案为：4，6；②若点A横坐标为t，则点A（t，t2），则点B（﹣t，t2），则圆M的直径为﹣t﹣t＝﹣2t，则RN＝﹣t+t2，则，解得：t＝0（舍去）或﹣3，即t＝﹣3；（2）由抛物线的表达式知，其顶点坐标为（a，a），即点N（a，a），联立y＝x2﹣2ax+a2+a和y＝﹣4ax+a并解得：x＝﹣a，当x＝﹣a时，y＝﹣4ax+a＝4a2+a，即点A（﹣a，4a2+a），则点B（3a，4a2+a），则AB＝4a，圆M的半径为2a，则RN＝2a+（4a2+a﹣a）＝4a2+2a，则，解得：a．。

2022-2023学年北京市朝阳区九年级(上)期末数学试卷-含答案详解

2022-2023学年北京市朝阳区九年级(上)期末数学试卷-含答案详解

2022-2023学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是( )A. B.C. D.2. 下列事件中，为必然事件的是( )A. 任意画一个三角形，其内角和是180°B. 明天会下雪C. 掷一枚骰子，向上一面的点数是7D. 足球运动员射门一次，未射进3. 抛物线y=(x−1)2+2的顶点坐标是( )A. (1,2)B. (1,−2)C. (−1,2)D. (−1,−2)4. 若关于x的方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是( )A. 36B. −36C. 9D. −95. 如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠CAB=40°，∠ABD=30°，则∠APD的度数为( )A. 30°B. 35°C. 40°D. 70°6. 不透明袋子中装有无差别的两个小球，分别写有“问天”和“梦天”.随机取出一个小球后，放回并摇匀，再随机取出一个小球，则两次都取到写有“问天”的小球的概率为( ) A. 34B. 12C. 13D. 147. 如图，正方形ABCD的边长为4，分别以A，B，C，D为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积为( )A. 16−4πB. 16−2πC. 4πD. 2π8. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=m(x−3)2+k与x轴交于(a,0)，(b,0)两点，其中a<b.将此抛物线向上平移，与x轴交于(c,0)，(d,0)两点，其中c<d，下面结论正确的是( )A. 当m>0时，a+b=c+d，b−a>d−cB. 当m>0时，a+b>c+d，b−a=d−cC. 当m<0时，a+b=c+d，b−a>d−cD. 当m<0时，a+b>c+d，b−a<d−c二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9. 在平面直角坐标系中，点(5,−1)关于原点对称的点的坐标是______．10. 方程x2−4=0的根是______．11. 写出一个与抛物线y=3x2−2x+1开口方向相同的抛物线的表达式：______．12. 如图，矩形绿地的长和宽分别为30m和20m.若将该绿地的长、宽各增加xm，扩充后的绿地的面积为ym2，则y与x之间的函数关系是______.(填“正比例函数关系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”)13. 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，AB，若∠OAB=35°，则∠ABP=______°.14. 如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是1，则涂上红色的小扇形有______3个．15. 某农科所在相同条件下做某种作物种子发芽率的试验，结果如下：种子个数1002003004005008001100140017002000发芽种子个94187282337436718994125415311797数发芽种子频0.9400.9350.9400.8430.8720.8980.9040.8960.9010.899率根据试验数据，估计1000kg该种作物种子能发芽的有______kg．16. 某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有A，B，C三种型号的盒子，盒子容量和单价如表所示：盒子型号A B C盒子容量/升234盒子单价/元569其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个盒子要装满材料．(1)若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，3，4，则购买费用为______元；(2)若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为______.(写出一种即可)三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17. 解方程：x2+4x+3=0．四、解答题（本大题共11小题，共63.0分。

2019-2020学年北京市昌平区九年级上学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年北京市昌平区九年级上学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷一、选择题1．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．长方体B．圆锥C．圆柱D．三棱柱2．已知∠A是锐角，tan A＝1，那么∠A的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°3．随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，OC，OD，若∠A＝20°，则∠COD的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．100°5．在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为（1，0），（3，2），连接AB，将线段AB 平移后得到线段A'B'，点A的对应点A'坐标为（2，1），则点B'坐标为（）A．（4，2）B．（4，3）C．（6，2）D．（6，3）6．二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，若点A（0，y1）和B（﹣3，y2）在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法确定7．如图所示的网格是正方形网格，图中△ABC绕着一个点旋转，得到△A'B'C'，点C的对应点C'所在的区域在1区∼4区中，则点C'所在单位正方形的区域是（）A．1区B．2区C．3区D．4区8．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个结论：①点C的坐标为（0，m）；②当m＝0时，△ABD是等腰直角三角形；③若a＝﹣1，则b＝4；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中结论正确的序号是（）A．①②B．①②③C．①②④D．②③④二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9．已知抛物线y＝x2+c，过点（0，2），则c＝．10．如图，已知正方形OABC的三个顶点坐标分别为A（2，0），B（2，2），C（0，2），若反比例函数y＝（k＞0）的图象与正方形OABC的边有交点，请写出一个符合条件的k值．11．如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为6，则的长为．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AC＝20，请用含α的式子表示BC的长．13．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，AC是⊙O的直径．若∠P＝60°，PA＝6，则BC的长为．14．平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（2，4），B（3，0），在第一象限内以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A'的坐标为．15．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为m．16．如图，抛物线y＝x2+2x+2和抛物线y＝x2﹣2x﹣2的顶点分别为点M和点N，线段MN 经过平移得到线段PQ，若点Q的横坐标是3，则点P的坐标是，MN平移到PQ 扫过的阴影部分的面积是．三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．计算：sin30°+2cos60°×tan60°﹣sin245°．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，BC＝2，求AB的长．19．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3．（1）将二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系中画出y＝﹣x2﹣2x+3的图象；（3）结合函数图象，直接写出y＞0时x的取值范围．20．下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程．已知：⊙O及⊙O外一点P．求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．作法：如图，①连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于OP的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；②连接MN，交OP于点Q，再以点Q为圆心，OQ的长为半径作弧，交⊙O于点A和点B；③作直线PA和直线PB．所以直线PA和PB就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵OP是⊙Q的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝°（）（填推理的依据）．∴PA⊥OA，PB⊥OB．∵OA，OB为⊙O的半径，∴PA，PB是⊙O的切线．21．如图，A，B，C是⊙O上的点，sin A＝，半径为5，求BC的长．22．课堂上同学们借助两个直角三角形纸板进行探究，直角三角形纸板如图1所示，分别为Rt△ABC和Rt△DEF，其中∠A＝∠D＝90°，AC＝DE＝2cm．当边AC与DE重合，且边AB和DF在同一条直线上时：（1）如图2在下边的图形中，画出所有符合题意的图形；（2）求BF的长．四、解答题（共4道小题，每小题6分，共24分）23．材料1：如图1，昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种结构．此种桥梁各结构的名称如图2所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，主索几何形态近似符合抛物线．材料2：如图3，某一同类型悬索桥，两桥塔AD＝BC＝10m，间距AB为32m，桥面AB 水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为2m；为了进行研究，甲、乙、丙三位同学分别以不同方式建立了平面直角坐标系，如图4：甲同学：以DC中点为原点，DC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系；乙同学：如图5，以AB中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系；丙同学：以点P为原点，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）请你选用其中一位同学建立的平面直角坐标系，写出此种情况下点C的坐标，并求出主索抛物线的表达式；（2）距离点P水平距离为4m和8m处的吊索共四条需要更换，则四根吊索总长度为多少米？24．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是半圆的中点，连接CD交OB于点E，点F是AB延长线上一点，CF＝EF．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）若CF＝5，tan A＝，求⊙O半径的长．25．如图1，是直径AB所对的半圆弧，点P是与直径AB所围成图形的外部的一个定点，AB＝8cm，点C是上一动点，连接PC交AB于点D．小明根据学习函数的经验，对线段AD，CD，PD，进行了研究，设A，D两点间的距离为xcm，C，D两点间的距离为y1cm，P，D两点之间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0.00 1.00 2.00 3.00 3.20 4.00 5.00 6.00 6.507.008.00 y1/cm0.00 1.04 2.09 3.11 3.30 4.00 4.41 3.46 2.50 1.530.00 y2/cm 6.24 5.29 4.35 3.46 3.30 2.64 2.00m 1.80 2.00 2.65补充表格；（说明：补全表格时，相关数值保留两位小数）（2）如图2，在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并画出函数y2的图象：（3）结合函数图象解决问题：当AD＝2PD时，AD的长度约为．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）①直接写出抛物线的对称轴是；②用含a的代数式表示b；（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．点A恰好为整点，若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有1个整点，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围．五、解答题（共2道小题，每小题7分，共14分）27．已知等边△ABC，点D为BC上一点，连接AD．（1）若点E是AC上一点，且CE＝BD，连接BE，BE与AD的交点为点P，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出∠APE的大小；（2）将AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，连接BF交AC于点Q，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CD的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0）和点B（3，0），线段AB和线段AB外的一点P，给出如下定义：若45°≤∠APB≤90°时，则称点P为线段AB的可视点，且当PA＝PB时，称点P为线段AB的正可视点．（1）①如图1，在点P1（3，6），P2（﹣2，﹣5），P3（2，2）中，线段AB的可视点是；②若点P在y轴正半轴上，写出一个满足条件的点P的坐标：．（2）在直线y＝x+b上存在线段AB的可视点，求b的取值范围；（3）在直线y＝﹣x+m上存在线段AB的正可视点，直接写出m的取值范围．参考答案一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．长方体B．圆锥C．圆柱D．三棱柱【分析】根据三视图看到的图形的形状和大小，确定几何体的底面，侧面，从而得出这个几何体的名称．解：俯视图是三角形的，因此这个几何体的上面、下面是三角形的，主视图和左视图是长方形的，且左视图的长方形的宽较窄，因此判断这个几何体是三棱柱，故选：D．2．已知∠A是锐角，tan A＝1，那么∠A的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．解：∵∠A是锐角，tan A＝1，∴∠A的度数是：45°．故选：C．3．随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．4．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，OC，OD，若∠A＝20°，则∠COD的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．100°【分析】先根据垂径定理得到＝，然后根据圆周角得到∠BOD和∠BOC的度数，从而得到∠COD的度数．解：∵弦CD⊥AB，∴＝，∴∠BOD＝∠BOC＝2∠A＝2×20°＝40°，∴∠COD＝40°+40°＝80°．故选：C．5．在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为（1，0），（3，2），连接AB，将线段AB 平移后得到线段A'B'，点A的对应点A'坐标为（2，1），则点B'坐标为（）A．（4，2）B．（4，3）C．（6，2）D．（6，3）【分析】根据A点的坐标及对应点的坐标可得线段AB向右平移1个单位，向上平移了1个单位，然后可得B′点的坐标；解：∵A（1，0）平移后得到点A′的坐标为（2，1），∴向右平移1个单位，向上平移了1个单位，∴B（3，2）的对应点坐标为（4，3），故选：B．6．二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，若点A（0，y1）和B（﹣3，y2）在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法确定【分析】根据抛物线的对称性，在对称轴同侧的可根据增减性由自变量x的大小得出函数值y的大小，在对称轴一侧的可根据离对称轴的远近和抛物线的增减性进行判断．解：点A（0，y1）和B（﹣3，y2）在抛物线对称轴x＝﹣2的两侧，且点A比点B离对称轴要远，因此y1＞y2，故选：A．7．如图所示的网格是正方形网格，图中△ABC绕着一个点旋转，得到△A'B'C'，点C的对应点C'所在的区域在1区∼4区中，则点C'所在单位正方形的区域是（）A．1区B．2区C．3区D．4区【分析】根据旋转的性质连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点P即为旋转中心，从而得出线段AB和点C是绕着P点逆时针旋转90°，据此可得答案．解：如图，连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点P即为旋转中心，由图可知，线段AB和点C绕着P点逆时针旋转90°，∴点C逆时针旋转90°后所得对应点C′落在4区，故选：D．8．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个结论：①点C的坐标为（0，m）；②当m＝0时，△ABD是等腰直角三角形；③若a＝﹣1，则b＝4；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中结论正确的序号是（）A．①②B．①②③C．①②④D．②③④【分析】①根据抛物线与y轴的交点坐标的求法即可判断；②当m＝0时，可得抛物线与x轴的两个交点坐标和对称轴即可判断；③根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴即可得另一个交点坐标即可判断；④根据二次函数图象当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．解：①∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，m），∴C（0，m），故①正确；②当m＝0时，抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（0，0）、（2，0），对称轴方程为x＝1，∴△ABD是等腰直角三角形，故②正确；③当a＝﹣1时，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），∵对称轴x＝1，∴另一个交点坐标为（3，0），∴b＝﹣3，故③错误；④观察二次函数图象可知：当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．故④正确．故选：C．二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9．已知抛物线y＝x2+c，过点（0，2），则c＝2．【分析】把点（0，2）代入y＝x2+c即可得到结论．解：∵抛物线y＝x2+c，过点（0，2），∴0+c＝2，∴c＝2，故答案为：2．10．如图，已知正方形OABC的三个顶点坐标分别为A（2，0），B（2，2），C（0，2），若反比例函数y＝（k＞0）的图象与正方形OABC的边有交点，请写出一个符合条件的k值k＝1（满足条件的k值的范围是0＜k≤4）．【分析】把B（2，2）代入y＝即可得到结论．解：∵反比例函数y＝（k＞0）的图象与正方形OABC的边有交点，∴把B（2，2）代入y＝得，k＝4，∴满足条件的k值的范围是0＜k≤4，故k＝1（答案不唯一），故答案为：k＝1（满足条件的k值的范围是0＜k≤4）．11．如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为6，则的长为3π．【分析】连接OB，CO，根据弧长公式即可求解．解：连接OB，OC，则OC＝OB＝6，∠BOC＝90°，∴的弧长为π×6＝3π，故答案为3π．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AC＝20，请用含α的式子表示BC的长20tanα．【分析】直接利用正切的定义求解．解：在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，所以BC＝AC tan A＝20tanα．故答案为20tanα．13．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，AC是⊙O的直径．若∠P＝60°，PA＝6，则BC的长为2．【分析】连接AB，根据切线长定理得到PA＝PB，根据等边三角形的性质得到AB＝PA ＝6，∠PAB＝60°，根据切线的性质得到∠PAC＝90°，根据正切的定义计算即可．解：连接AB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∵∠P＝60°，∴△PAB为等边三角形，∴AB＝PA＝6，∠PAB＝60°，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAC＝90°，∴∠CAB＝30°，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，BC＝AB•tan∠CAB＝6×＝2，故答案为：2．14．平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（2，4），B（3，0），在第一象限内以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A'的坐标为（1，2）．【分析】根据位似变换的性质解答．解：以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，A（2，4），∴A的对应点A'的坐标为（2×，4×），即（1，2），故答案为：（1，2）．15．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为25m．【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．解：∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝20m，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，解得：r＝25m，∴这段弯路的半径为25m．故答案为：25．16．如图，抛物线y＝x2+2x+2和抛物线y＝x2﹣2x﹣2的顶点分别为点M和点N，线段MN 经过平移得到线段PQ，若点Q的横坐标是3，则点P的坐标是（1，5），MN平移到PQ扫过的阴影部分的面积是16．【分析】由抛物线解析式求得点M、N的坐标，然后根据平移的性质来求点P的坐标；阴影部分的面积＝平行四边形PMNQ的面积．解：如图，连接PM，QN，MQ、PN．由y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，知M（﹣1，1），N（1，﹣3）．∵点Q的横坐标是3，点Q在抛物线y＝x2﹣2x﹣2上，∴y＝32﹣2×3﹣2＝1．∴Q（3，1）．∴线段MN先向上平移4个单位，然后向右平移2个单位得到线段PQ．∴点P的坐标是（1，5），∴PN⊥MQ，且PN与MQ相互平分，∴平行四边形PMNQ是菱形．根据平移的性质知，S阴影部分＝S菱形PMNQ＝PN•MQ＝×4×8＝16．故答案是：（1，5）；16．三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．计算：sin30°+2cos60°×tan60°﹣sin245°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．解：sin30°+2cos60°×tan60°﹣sin245°＝，＝．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，BC＝2，求AB的长．【分析】根据直角三角形的边角关系，求出AC，再根据勾股定理求出AB．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴tan A＝＝．∵BC＝2，∴＝，AC＝6．∵AB2＝AC2+BC2＝40，∴AB＝．19．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3．（1）将二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系中画出y＝﹣x2﹣2x+3的图象；（3）结合函数图象，直接写出y＞0时x的取值范围．【分析】（1）利用配方法可把抛物线解析式化顶点式；（2）先解方程﹣x2﹣2x+3＝0得抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0），再确定抛物线的顶点坐标和与y轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象；（3）结合函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．解：（1）y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x2+2x+1﹣1）＝﹣（x+1）2+4；（2）抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）；当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3，则抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0）；如图，（3）﹣3＜x＜1．20．下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程．已知：⊙O及⊙O外一点P．求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．作法：如图，①连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于OP的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；②连接MN，交OP于点Q，再以点Q为圆心，OQ的长为半径作弧，交⊙O于点A和点B；③作直线PA和直线PB．所以直线PA和PB就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵OP是⊙Q的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．∴PA⊥OA，PB⊥OB．∵OA，OB为⊙O的半径，∴PA，PB是⊙O的切线．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）利用圆周角定理证明∠OAP＝∠OBP＝90°即可．解：（1）补全图形如图．（2）完成下面的证明．证明：∵OP是⊙Q的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝90°（直径所对的圆周角是直角），∴PA⊥OA，PB⊥OB．∵OA，OB为⊙O的半径，∴PA，PB是⊙O的切线．故答案为90，直径所对的圆周角是直角．21．如图，A，B，C是⊙O上的点，sin A＝，半径为5，求BC的长．【分析】构造直径三角形，利用垂径定理，圆周角定理解决问题即可．【解答】证明：方法Ⅰ：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC，如图1∵OB＝OC，且OD⊥BC，∴∠BOD＝∠COD＝∠BOC，∵∠A＝∠BOC，∴∠BOD＝∠A，sin A＝sin∠BOD＝，∵在Rt△BOD中，∴sin∠BOD＝＝，∵OB＝5，∴＝，BD＝4，∵BD＝CD，∴BC＝8．方法Ⅱ：作射线BO，交⊙O于点D，连接DC，如图2．∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵∠BDC＝∠A，∴sin A＝sin∠BDC＝，∵在Rt△BDC中，∴sin∠BDC＝＝．∵OB＝5，BD＝10，∴＝，∴BC＝8．22．课堂上同学们借助两个直角三角形纸板进行探究，直角三角形纸板如图1所示，分别为Rt△ABC和Rt△DEF，其中∠A＝∠D＝90°，AC＝DE＝2cm．当边AC与DE重合，且边AB和DF在同一条直线上时：（1）如图2在下边的图形中，画出所有符合题意的图形；（2）求BF的长．【分析】（1）按题意画出图形即可；（2）分两种情况，由勾股定理求出BC，AB，则可得出答案．解：（1）补全图形如图：（2）情况Ⅰ，如图1：∵在Rt△ACF中，∠F＝∠ACF＝45°，∴AF＝AC＝2cm．∵在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴BC＝4，AB＝．∴BF＝（+2）cm．情况Ⅱ，如图2：∵在Rt△ACF中，∠F＝∠ACF＝45°，∴AF＝AC＝2cm．∵在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴BC＝4，AB＝．∴BF＝（﹣2）cm．四、解答题（共4道小题，每小题6分，共24分）23．材料1：如图1，昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种结构．此种桥梁各结构的名称如图2所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，主索几何形态近似符合抛物线．材料2：如图3，某一同类型悬索桥，两桥塔AD＝BC＝10m，间距AB为32m，桥面AB 水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为2m；为了进行研究，甲、乙、丙三位同学分别以不同方式建立了平面直角坐标系，如图4：甲同学：以DC中点为原点，DC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系；乙同学：如图5，以AB中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系；丙同学：以点P为原点，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）请你选用其中一位同学建立的平面直角坐标系，写出此种情况下点C的坐标，并求出主索抛物线的表达式；（2）距离点P水平距离为4m和8m处的吊索共四条需要更换，则四根吊索总长度为多少米？【分析】（1）根据选择的坐标系，可以直接写出点C的坐标，然后设出主索抛物线的表达式，再根据点C和点P都在抛物线上，即可求得主索抛物线的表达式；（2）根据求出的抛物线解析式，将x＝4和8代入解析式中，即可求得四根吊索的长度，从而可以求得四根吊索总长度为多少米．解：当选择甲同学的坐标系时，（1）由图可知，点C的坐标为（16，0），设抛物线的表达式为y＝ax2+c（a≠0），由题意可知，C点坐标为（16，0），P点坐标为（0，﹣8），，解得，∴主索抛物线的表达式为y＝x2﹣8；（2）x＝4时，y＝×42﹣8＝，此时吊索的长度为10﹣＝（m），由抛物线的对称性可得，x＝﹣4时，此时吊索的长度也为m，同理，x＝8时，y＝×82﹣8＝﹣6，此时吊索的长度为10﹣6＝4（m），x＝﹣8时，此时吊索的长度也为4m，∵++4+4＝13（米），∴四根吊索的总长度为13米．当选择乙同学的坐标系时，（1）由图可知，点C的坐标为（16，10），设抛物线的表达式为y＝ax2+c（a≠0），由题意可知，C点坐标为（16，10），P点坐标为（0，2），解得．∴主索抛物线的表达式为y＝x2+2；（2）x＝4时，y＝×42+2＝，此时吊索的长度为m，由抛物线的对称性可得，x＝﹣4时，此时吊索的长度也为m，同理，x＝8时，y＝x2+2＝4，此时吊索的长度为4m，x＝﹣8时，此时吊索的长度也为4m，∵++4+4＝13（米），∴四根吊索的总长度为13米．当选择丙同学的坐标系时，（1）由图可知，点C的坐标为（16，8），设抛物线的表达式为y＝ax2（a≠0）162×a＝8，解得a＝，∴主索抛物线的表达式为y＝x2；（2）x＝4时，y＝×42＝，此时吊索的长度为（m），由抛物线的对称性可得，x＝﹣4时，此时吊索的长度也为m，同理，x＝8时，y＝×82＝2，此时吊索的长度为2+2＝4（m），x＝﹣8时，此时吊索的长度也为4m，∵++4+4＝13（米），∴四根吊索的总长度为13米．24．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是半圆的中点，连接CD交OB于点E，点F是AB延长线上一点，CF＝EF．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）若CF＝5，tan A＝，求⊙O半径的长．【分析】（1）如图，连接OD．根据已知条件得到∠AOD＝∠BOD＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠ODC＝∠OCD．推出FC⊥OC，于是得到结论；（2）根据三角函数的定义得到＝，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：如图，连接OD．∵点D是半圆的中点，∴∠AOD＝∠BOD＝90°，∴∠ODC+∠OED＝90°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD．又∵CF＝EF，∴∠FCE＝∠FEC．∵∠FEC＝∠OED，∴∠FCE＝∠OED．∴∠FCE+∠OCD＝∠OED+∠ODC＝90°，即FC⊥OC，∴FC是⊙O的切线；（2）解：∵tan A＝，∴在Rt△ABC中，＝，∵∠ACB＝∠OCF＝90°，∴∠ACO＝∠BCF＝∠A，∵△ACF∽△CBF，∴＝＝＝．∴AF＝10，∴CF2＝BF•AF．∴BF＝．∴AO＝＝．25．如图1，是直径AB所对的半圆弧，点P是与直径AB所围成图形的外部的一个定点，AB＝8cm，点C是上一动点，连接PC交AB于点D．小明根据学习函数的经验，对线段AD，CD，PD，进行了研究，设A，D两点间的距离为xcm，C，D两点间的距离为y1cm，P，D两点之间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0.00 1.00 2.00 3.00 3.20 4.00 5.00 6.00 6.507.008.00y1/cm0.00 1.04 2.09 3.11 3.30 4.00 4.41 3.46 2.50 1.530.00y2/cm 6.24 5.29 4.35 3.46 3.30 2.64 2.00m 1.80 2.00 2.65补充表格；（说明：补全表格时，相关数值保留两位小数）（2）如图2，在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并画出函数y2的图象：（3）结合函数图象解决问题：当AD＝2PD时，AD的长度约为 4.54．【分析】（1）通过取点、画图、测量可求解；（2）根据题意作图即可；（3）由题意可得PD＝AD，画出y＝x，交曲线AD的值为所求，即可求解．解：（1）通过取点、画图、测量，可得m＝1.73，（2）如图（3）∵当AD＝2PD，∴PD＝AD，在（2）中图象中作出y＝x的图象，并测量两个函数图象交点得：AD＝4.54，故答案为：4.54．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）①直接写出抛物线的对称轴是直线x＝1；②用含a的代数式表示b；（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．点A恰好为整点，若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有1个整点，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围．【分析】（1）①A与B关于对称轴x＝1对称；②A（0，c）向右平移2个单位长度，得到点B（2，c），代入解析式即可求得；（2）分两种情况a＞0和a＜0讨论，结合图象确定有1个整数点时a的最大和最小值，进而确定a的范围．解：（1）①∵A与B关于对称轴x＝1对称，∴抛物线对称轴为直线x＝1，故答案为直线x＝1；②∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A，∴A（0，c）点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，c），∵点B在抛物线上，∴4a+2b+c＝c，∴b＝﹣2a．（2）方法一：如图1，若a＞0，∵A（0，c），B（2，c），∴区域内（不含边界）恰有1个整点D的坐标为（1，c﹣1），则理另一个整点E（1，c ﹣2）不在区域内，∵把x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+c得y＝a+b+c＝﹣a+c，∴根据题意得，解得1＜a≤2，如图2，若a＜0，同理可得，解得﹣2≤a＜﹣1综上，符合题意的a的取值范围为﹣2≤a＜﹣1或1＜a≤2．方法二：∵AB＝2，点A是整点，∴点C到AB的距离大于1并且小于等于2．∵点C到AB的距离表示为c﹣a，减去c的差的绝对值，∴1＜|c﹣a﹣c|≤2，即1＜|a≤2，∴﹣2≤a＜﹣1或1＜a≤2．五、解答题（共2道小题，每小题7分，共14分）27．已知等边△ABC，点D为BC上一点，连接AD．（1）若点E是AC上一点，且CE＝BD，连接BE，BE与AD的交点为点P，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出∠APE的大小；（2）将AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，连接BF交AC于点Q，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CD的数量关系，并证明．【分析】（1）根据全等三角形性质和三角形外角的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠BAD＝∠CBE，根据三角形的外角的性质得到∠APE ＝∠BAD+∠ABP＝∠CBE+∠ABP＝∠ABC＝60°．根据旋转的性质得到AF＝AD，∠DAF＝120°．根据全等三角形的性质得到AQ＝QE，于是得到结论．【解答】（1）补全图形图1，证明：在△ABD和△BEC中，∴△ABD≌△BEC（SAS）∴∠BAD＝∠CBE．∵∠APE是△ABP的一个外角，∴∠APE＝∠BAD+∠ABP＝∠CBE+∠ABP＝∠ABC＝60°；（2）补全图形图2，，证明：在△ABD和△BEC中，∴△ABD≌△BEC（SAS）∴∠BAD＝∠CBE，∵∠APE是△ABP的一个外角，∴∠APE＝∠BAD+∠ABP＝∠CBE+∠ABP＝∠ABC＝60°．∵AF是由AD绕点A逆时针旋转120°得到，∴AF＝AD，∠DAF＝120°．∵∠APE＝60°，∴∠APE+∠DAP＝180°．∴AF∥BE，∴∠1＝∠F，∵△ABD≌△BEC，∴AD＝BE．∴AF＝BE．在△AQF和△EQB中，△AQF≌△EQB（AAS），∴AQ＝QE，∴，∵AE＝AC﹣CE，CD＝BC﹣BD，且AE＝BC，CD＝BD．∴AE＝CD，∴．28．对于平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0）和点B（3，0），线段AB和线段AB外的一点P，给出如下定义：若45°≤∠APB≤90°时，则称点P为线段AB的可视点，且当PA＝PB时，称点P为线段AB的正可视点．（1）①如图1，在点P1（3，6），P2（﹣2，﹣5），P3（2，2）中，线段AB的可视点是P2，P3；②若点P在y轴正半轴上，写出一个满足条件的点P的坐标：P（0，3）（答案不唯一）．（2）在直线y＝x+b上存在线段AB的可视点，求b的取值范围；（3）在直线y＝﹣x+m上存在线段AB的正可视点，直接写出m的取值范围．【分析】（1）①如图1，以AB为直径作圆G，则点P在圆上，则∠APB＝90°，若点P在圆内，则∠APB＞90°，以C（，）为圆心，AC为半径作圆，在点P优弧上时，∠APB＝45°，点P在优弧内，圆G外时，45°＜∠APB＜90°；以D（，﹣）为圆心，AD为半径作圆，在点P优弧上时，∠APB＝45°，点P 在优弧内，圆G外时，45°＜∠APB＜90°；分别判断点P1，P2，P3的位置即可求解；②观察图象可求解；（2）分别求出直线y＝x+b与圆C，圆D相切时，b的值，即可求解；（3）线段AB的正可视点的定义，可得线段CQ和线段DW上的点为线段AB的正可视点，将点的坐标代入可求解．解：（1）①如图1，以AB为直径作圆G，则点P在圆上，则∠APB＝90°，若点P在圆内，则∠APB＞90°，以C（，）为圆心，AC为半径作圆，在点P优弧上时，∠APB＝45°，点P在优弧内，圆G外时，45°＜∠APB＜90°；以D（，﹣）为圆心，AD为半径作圆，在点P优弧上时，∠APB＝45°，点P 在优弧内，圆G外时，45°＜∠APB＜90°；∵点P1（3，6），P2（﹣2，﹣5），P3（2，2）∴P1C＝＞＝AC，则点P1在圆C外，则∠AP1B＜45°，P2D＝＝AC，则点P2在圆D上，则∠AP2B＝45°，P3G＝＝BG，点P3在圆G上，则∠AP3B＝90°，∴线段AB的可视点是P2，P3，故答案为：P2，P3；②由图1可得，点P的坐标：P（0，3）（答案不唯一，纵坐标y p范围：≤y p≤6）．（2）如图2，设直线y＝x+b与圆C相切于点H，交x轴于点N，连接BH，∵∠HNB＝∠HBN＝45°，∴NH＝BH，∠NHB＝90°，且NH是切线，∴BH是直径，∴BH＝5，∴BN＝10，∴ON＝7，∴点N（﹣7，0）∴0＝﹣7+b，∴b＝7，当直线y＝x+b与圆D相切同理可求：b＝﹣8∴﹣8≤b≤7（3）如图3，作AB的中垂线，交⊙C于点Q，交⊙D于点W，∵直线y＝﹣x+m上存在线段AB的正可视点，∴线段CQ和线段DW上的点为线段AB的正可视点．∵点C（，），点D（，﹣），点Q（，+），点W（，﹣﹣）分别代入解析式可得：∴m＝3，m＝+3，m＝﹣2，m＝﹣2﹣，∴m的取值范围：或．。

2023-2024学年北京市朝阳区九年级(上)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年北京市朝阳区九年级(上)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣3，4）D．（﹣4，3）2．（2分）下列事件中，是不可能事件的是（）A．一枚质地均匀骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，掷一次骰子，骰子向上一面的点数是8B．射击运动员射击一次，命中靶心C．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰D．在同一平面内，任意画两条直线，这两条直线平行3．（2分）在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2分）如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径OA＝5，圆心O到弦AB的距离OC＝3，则弦AB的长为（）A．4B．6C．8D．105．（2分）不透明盒子中有6张卡片，除所标注文字不同外无其他差别．其中，写有“珍稀濒危植物种子”的卡片有1张，写有“人工种子”的卡片有5张．随机摸出一张卡片写有“珍稀濒危植物种子”的概率为（）A．B．C．D．6．（2分）把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝3（x﹣5）2+2B．y＝3（x+5）2+2C．y＝3（x+2）2+5D．y＝3（x﹣2）2+57．（2分）在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M，N，P，Q中，可能是旋转中心的是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q8．（2分）用一个圆心角为n°（n为常数，0＜n＜180）的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为R，所作的圆锥的底面圆的周长为l，侧面积为S，当R在一定范围内变化时，l与S 都随R的变化而变化，则l与R，S与R满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，一次函数关系B．二次函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，二次函数关系D．二次函数关系，一次函数关系二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）一元二次方程x2﹣9＝0的根为．10．（2分）⊙O的直径为15cm，若圆心O与直线l的距离为7.5cm，则l与⊙O的位置关系是（填“相交”、“相切”或“相离”）．11．（2分）抛物线y＝x2﹣2x+4的顶点坐标是．12．（2分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点E，∠AEC＝74°，∠ABD＝36°，则∠BOC的度数为．13．（2分）某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，如表是检测过程中的一组统计数据：抽取的产品数n5001000150020002500300035004000合格的产品数m476967143119262395288333673836合格的产品频率0.9520.9670.9540.9630.9580.9610.9620.959估计这批产品合格的产品的概率为．14．（2分）如图，AB是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转30°，点B的对应点为B′，连接AB′，若AB＝8，则图中阴影部分的面积是．15．（2分）对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，上升高度h，初速度v，抛出后所经历的时间t，这三个量之间有如下关系：h＝vt﹣gt2（其中g是重力加速度，g取10m/s2）．将一物体以v＝21m/s的初速度向上抛，当物体处在离抛出点18m高的地方时，t的值为．16．（2分）已知函数y1＝kx+4k﹣2（k是常数，k≠0），（a是常数，a≠0），在同一平面直角坐标系中，若无论k为何值，函数y1和y2的图象总有公共点，则a 的取值范围是．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）解方程x2﹣1＝6x．18．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+3（m+1）＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一根小于0，求m的取值范围．19．（5分）已知一次函数y1＝mx+n（m≠0）和二次函数，下表给出了y1，y2与自变量x的几组对应值：x…﹣2﹣101234…y1…543210﹣1…y2…﹣503430﹣5…（1）求y2的解析式；（2）直接写出关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集．20．（5分）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC边上任意一点（不与B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE，DE．（1）求∠ECD的度数；（2）若AB＝4，，求DE的长．21．（5分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小都相同．有两辆汽车经过这个十字路口，观察这两辆车经过这个十字路口的情况．（1）列举出所有可能的情况；（2）求出至少有一辆车向左转的概率．22．（5分）小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立．他先根据命题画出图形，并用符号表示已知，求证．已知：如图①，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°．求证：点A，B，C，D在同一个圆上．他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点A，B，C的⊙O，再证明第四个顶点D也在⊙O上．具体过程如下；步骤一、作出过A，B，C三点的⊙O．如图1，分别作出线段AB，BC的垂直平分线m，n，设它们的交点为O，以O为圆心，OA的长为半径作⊙O．连接OA，OB，OC，∴OA＝OB，OB＝OC（①）．（填推理依据）∴OA＝OB＝OC．∴点B，C在⊙O上．步骤二、用反证法证明点D也在⊙O上．假设点D不在⊙O上，则点D在⊙O内或⊙O外．i、如图2，假设点D在⊙O内．延长CD交⊙O于点D1，连接AD1．∴∠B+∠D1＝180°（②）．（填推理依据）∵∠ADC是△ADD1的外角，∴∠ADC＝∠DAD1+∠D1（③）．（填推理依据）∴∠ADC＞∠D1．∴∠B+∠ADC＞180°．这与已知条件∠B+∠ADC＝180°矛盾．∴假设不成立．即点D不在⊙O内．ii、如图3，假设点D在⊙O外．设CD与⊙O交于点D2，连接AD2．∴∠B+∠AD2C＝180°．∵∠AD2C是△AD2D的外角，∴∠AD2C＝∠DAD2+∠ADC．∴∠ADC＜∠AD2C．∴∠B+∠ADC＜180°．这与已知条件∠B+∠ADC＝180°矛盾．∴假设不成立．即点D不在⊙O外．综上所述，点D在⊙O上．∴点A，B，C，D在同一个圆上．阅读上述材料，并解答问题：（1）根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）；（2）填推理依据：①，②，③．23．（6分）某校乒乓球队举行队内比赛，比赛规则是每两个队员之间都赛一场，每场比赛都要分出胜负，每一场比赛结束后依据胜负给出相应积分，本次比赛一共进行了210场，用时两天完成，下面是第一天比赛结束后部分队员的积分表：队员号码比赛场次胜场负场积分11082182101002038711548621457077（1）在本次比赛中，有一名队员只输掉了一场比赛，则该名队员的积分是多少？（2）如果有一名队员在本次比赛中的积分不低于34分，那么他最多负场．24．（6分）如图，AC，BD是圆内接四边形ABCD的对角线，AC⊥BD于点E，BD平分∠ADC．（1）求∠BAD的度数；（2）点P在DB的延长线上，PA是该圆的切线．①求证：PC是该圆的切线；②若，直接写出PD的长．25．（6分）如图1所示，草坪上的喷水装置PA高1m，喷头P一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷出的抛物线水流在与喷水装置PA的水平距离为4m处，达到最高点C，点C距离地面．（1）请建立适当的平面直角坐标系xOy，求出该坐标系中水流所呈现的抛物线的解析式；（2）这个喷水装置的喷头P能旋转220°，它的喷灌区域是一个扇形，如图2所示，求出它能喷灌的草坪的面积（π取3，结果保留整数）．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（x1，m），（x2，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．（1）若对于x1＝1，x2＝3，有m＝n，求t的值；（2）若对于t﹣1＜x1＜t，2＜x2＜3，存在m＞n，求t的取值范围．27．（7分）已知线段AB和点C，将线段AC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AD，将线段BC绕点B顺时针旋转180°﹣α，得到线段BE，连接DE，F为DE的中点，连接AF，BF．（1）如图1，点C在线段AB上，依题意补全图1，直接写出∠AFB的度数；（2）如图2，点C在线段AB的上方，写出一个α的度数，使得成立，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（t﹣2，0），B（t+2，0）．对于点P给出如下定义：若∠APB＝45°，则称P为线段AB的“等直点”．（1）当t＝0时，①在点，P2（﹣4，0），，P4（2，5）中，线段AB 的“等直点”是；②点Q在直线y＝x上，若点Q为线段AB的“等直点”，直接写出点Q的横坐标．（2）当直线y＝x+t上存在线段AB的两个“等直点”时，直接写出t的取值范围．2023-2024学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣3，4）D．（﹣4，3）【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．【解答】解：由题意，得点（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，4），故选：C．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．2．（2分）下列事件中，是不可能事件的是（）A．一枚质地均匀骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，掷一次骰子，骰子向上一面的点数是8B．射击运动员射击一次，命中靶心C．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰D．在同一平面内，任意画两条直线，这两条直线平行【分析】根据随机事件、不可能事件、必然事件的定义进行解题即可．【解答】解：A、一枚质地均匀骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，掷一次骰子，骰子向上一面的点数是8是不可能事件，符合题意；B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，不符合题意；C、通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰是必然事件，不符合题意；D、在同一平面内，任意画两条直线，这两条直线平行是随机事件，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查随机事件，掌握随机事件、不可能事件、必然事件的定义是解题的关键．3．（2分）在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形有圆、正六边形，共两个．故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．4．（2分）如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径OA＝5，圆心O到弦AB的距离OC＝3，则弦AB的长为（）A．4B．6C．8D．10【分析】利用点到直线的距离的定义得到OC⊥AB，则根据垂径定理得到AC＝BC，然后利用勾股定理计算出AC，从而得到AB的长．【解答】解：∵圆心O到弦AB的距离OC＝3，∴OC⊥AB，∴AC＝BC，在Rt△OAC中，∵OA＝5，OC＝3，∴AC＝＝4，∴AB＝2AC＝8．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．5．（2分）不透明盒子中有6张卡片，除所标注文字不同外无其他差别．其中，写有“珍稀濒危植物种子”的卡片有1张，写有“人工种子”的卡片有5张．随机摸出一张卡片写有“珍稀濒危植物种子”的概率为（）A．B．C．D．【分析】直接根据概率公式求解即可．【解答】解：随机摸出一张卡片写有“珍稀濒危植物种子”的概率为，故选：A．【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．6．（2分）把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝3（x﹣5）2+2B．y＝3（x+5）2+2C．y＝3（x+2）2+5D．y＝3（x﹣2）2+5【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝3（x+2）2+5．故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．7．（2分）在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M，N，P，Q中，可能是旋转中心的是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【分析】连接AA'、BB'、CC'，作AA'的垂直平分线，作BB'的垂直平分线，作CC'的垂直平分线，交点M为旋转中心．【解答】解：连接AA'、BB'、CC'，作AA'的垂直平分线，作BB'的垂直平分线，作CC'的垂直平分线，交到在M处，所以可知旋转中心的是点M．故选：A．【点评】本题主要考查了旋转的性质以及学生的理解能力和观察图形的能力．注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．8．（2分）用一个圆心角为n°（n为常数，0＜n＜180）的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为R，所作的圆锥的底面圆的周长为l，侧面积为S，当R在一定范围内变化时，l与S 都随R的变化而变化，则l与R，S与R满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，一次函数关系B．二次函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，二次函数关系D．二次函数关系，一次函数关系【分析】根据弧长公式，扇形面积的计算公式得出l与R，S与R的函数关系式，再根据一次函数、二次函数的定义进行判断即可．【解答】解：圆锥的底面圆的周长为l，即扇形的弧长l＝＝R；圆锥的侧面积S，即扇形的面积S＝＝R2，所以l是R的一次函数，S是R的二次函数，故选：C．【点评】本题考查一次函数、二次函数的定义以及弧长、扇形面积的计算，掌握弧长、扇形面积的计算方法，理解一次函数、二次函数的定义是正确解答的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）一元二次方程x2﹣9＝0的根为x1＝3，x2＝﹣3．【分析】利用直接开平方法求解即可得到答案．【解答】解：x2﹣9＝0，x2＝9，∴x1＝3，x2＝﹣3，故答案为：x1＝3，x2＝﹣3．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．10．（2分）⊙O的直径为15cm，若圆心O与直线l的距离为7.5cm，则l与⊙O的位置关系是相切（填“相交”、“相切”或“相离”）．【分析】由⊙O的直径为15cm，求得⊙O的半径为7.5cm，而圆心O与直线l的距离为7.5cm，则圆心O与直线l的距离等于⊙O的半径，所以l与⊙O相切，于是得到问题的答案．【解答】解：∵⊙O的直径为15cm，×15＝7.5（cm），∴⊙O的半径为7.5cm，∵圆心O与直线l的距离为7.5cm，∴圆心O与直线l的距离等于⊙O的半径，∴l与⊙O相切，故答案为：相切．【点评】此题重点考查直线与圆的位置关系，正确地求出⊙O的半径长并且证明圆心O 与直线l的距离等于⊙O的半径是解题的关键．11．（2分）抛物线y＝x2﹣2x+4的顶点坐标是（1，3）．【分析】本题可以运用配方法求顶点坐标，也可以根据顶点坐标公式求坐标．【解答】解：解法1：利用公式法y＝ax2+bx+c的顶点坐标公式为（，），代入数值求得顶点坐标为（1，3）；解法2：利用配方法y＝x2﹣2x+4＝x2﹣2x+1+3＝（x﹣1）2+3，故顶点的坐标是（1，3）．【点评】求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．12．（2分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点E，∠AEC＝74°，∠ABD＝36°，则∠BOC的度数为140°．【分析】先根据对顶角相等得出∠DEB的度数，再由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵∠AEC＝74°，∠ABD＝36°，∴∠DEB＝∠AEC＝74°，∴∠D＝180°﹣∠DEB﹣∠ABD＝180°﹣74°﹣36°＝70°，∴∠BOC＝2∠D＝2×70°＝140°．故答案为：140°．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．13．（2分）某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，如表是检测过程中的一组统计数据：抽取的产品数n5001000150020002500300035004000合格的产品数m476967143119262395288333673836合格的产品频率0.9520.9670.9540.9630.9580.9610.9620.959估计这批产品合格的产品的概率为0.96．【分析】根据在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即可估计这批产品合格的产品的概率．【解答】解：由图表可知合格的产品频率都在0.95左右浮动，所以可估计这批产品合格的产品的概率为0.96，故答案为：0.96．【点评】本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．（2分）如图，AB是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转30°，点B的对应点为B ′，连接AB ′，若AB ＝8，则图中阴影部分的面积是π+4．【分析】如图，连接OC ．根据S 阴＝S 半圆﹣（S 扇形AOC ﹣S △AOC ）求解即可．【解答】解：如图，连接OC ．∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝30°，∴∠AOC ＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴S 阴＝S 半圆﹣（S 扇形AOC ﹣S △AOC ）＝×π×42﹣（﹣×4×2）＝8π﹣（π﹣4）＝π+4．故答案为：π+4．【点评】本题考查扇形的面积，旋转的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．15．（2分）对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，上升高度h ，初速度v ，抛出后所经历的时间t ，这三个量之间有如下关系：h ＝vt ﹣gt 2（其中g 是重力加速度，g 取10m /s 2）．将一物体以v ＝21m /s 的初速度向上抛，当物体处在离抛出点18m 高的地方时，t 的值为或3．【分析】把v ＝21，h ＝18代入h ＝vt ﹣gt 2得一元二次方程，求解即可．【解答】解：把v＝21，h＝18代入h＝vt﹣gt2得，18＝21t﹣×10t2，整理得：5t2﹣21t+18＝0，解得t1＝，t2＝3，∴当物体处在离抛出点18m高的地方时，t的值为或3．故答案为：或3．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法，正确把已知数据代入是解题关键．16．（2分）已知函数y1＝kx+4k﹣2（k是常数，k≠0），（a是常数，a≠0），在同一平面直角坐标系中，若无论k为何值，函数y1和y2的图象总有公共点，则a的取值范围是a＜0或a≥．【分析】求得函数y1＝kx+4k﹣2（k是常数，k≠0）的图象过定点（﹣4，2），函数（a是常数，a≠0）与x轴的交点为（﹣5，0），（1，0），然后分两种情况讨论即可求得a的取值．【解答】解：∵y1＝kx+4k﹣2＝k（x+4）﹣2，∴函数y1＝kx+4k﹣2（k是常数，k≠0）的图象过定点（﹣4，﹣2），∵＝a（x+5）（x﹣1），∴函数（a是常数，a≠0）与x轴的交点为（﹣5，0），（1，0），当a＜0时，无论k为何值，函数y1和y2的图象总有公共点，∴a＜0满足题意；当a＞0时，∵无论k为何值，函数y1和y2的图象总有公共点，∴x＝﹣4时，y2≤﹣2，即16a﹣16a﹣5a≤﹣2，解得a≥，∴a≥满足题意；∴无论k为何值，函数y1和y2的图象总有公共点，则a的取值范围是a＜0或a≥．故答案为：a＜0或a≥．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，分类讨论、数形结合是解题的关键．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）解方程x2﹣1＝6x．【分析】利用公式法求解即可．【解答】解：x2﹣1＝6x，x2﹣6x﹣1＝0，∵a＝1，b＝﹣6，c＝﹣1，∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣1）＝40＞0，∴x＝＝3±，∴x1＝3+，x2＝3﹣．【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．18．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+3（m+1）＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一根小于0，求m的取值范围．【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝（m﹣2）2，则Δ≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）先利用求根公式解方程得到x1＝m+1，x2＝3，则根据题意得到m+1＜0，然后解不等式即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+4）2﹣4×3（m+1）＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，∴该方程总有两个实数根；（2）解：x＝，解得x1＝m+1，x2＝3，∴m+1＜0，解得m＜﹣1，即m的取值范围为m＜﹣1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．19．（5分）已知一次函数y1＝mx+n（m≠0）和二次函数，下表给出了y1，y2与自变量x的几组对应值：x…﹣2﹣101234…y1…543210﹣1…y2…﹣503430﹣5…（1）求y2的解析式；（2）直接写出关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集．【分析】（1）利用待定系数法即可求得y2的解析式；（2）根据表格数据即可求解．【解答】解：（1）∵二次函数过（﹣1，0），（3，0），（0，3），∴y2＝a（x+1）（x﹣3），∴3＝﹣3a，解得a＝﹣1，∴y2的解析式为y2＝﹣（x+1）（x﹣3），即y2＝﹣x2+2x+3；（2）比较表格数据可知，关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集是0＜x＜3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与不等式（组），熟练掌握待定系数法是解题的关键．20．（5分）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC边上任意一点（不与B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE，DE．（1）求∠ECD的度数；（2）若AB＝4，，求DE的长．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝45°，再根据旋转的性质得到AD＝AE，∠DAE＝90°，推出判定△BAD≌△CAE的条件，最后根据全等三角形的对应角相等即可求出结果；（2）根据勾股定理和全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）：∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，由旋转可知：AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD＝45°，∴∠ECD＝45°+45°＝90°；（2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∴BC＝＝4，由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE＝，∴CD＝BC﹣BD＝3，∴∠DCE＝90°，∴CE2+CD2＝ED2，∴DE＝＝2．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．21．（5分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小都相同．有两辆汽车经过这个十字路口，观察这两辆车经过这个十字路口的情况．（1）列举出所有可能的情况；（2）求出至少有一辆车向左转的概率．【分析】（1）根据题意列表即可．（2）由表格可得出所有等可能的结果数以及至少有一辆车向左转的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）列表如下：直行左转右转直行（直行，直行）（直行，左转）（直行，右转）左转（左转，直行）（左转，左转）（左转，右转）右转（右转，直行）（右转，左转）（右转，右转）由表格可知，共有9种等可能的结果．（2）由表格可知，至少有一辆车向左转的结果有：（直行，左转），（左转，直行），（左转，左转），（左转，右转），（右转，左转），共5种，∴至少有一辆车向左转的概率为．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．22．（5分）小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立．他先根据命题画出图形，并用符号表示已知，求证．已知：如图①，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°．求证：点A，B，C，D在同一个圆上．他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点A，B，C的⊙O，再证明第四个顶点D也在⊙O上．具体过程如下；步骤一、作出过A，B，C三点的⊙O．如图1，分别作出线段AB，BC的垂直平分线m，n，设它们的交点为O，以O为圆心，OA的长为半径作⊙O．连接OA，OB，OC，∴OA＝OB，OB＝OC（①）．（填推理依据）∴OA＝OB＝OC．∴点B，C在⊙O上．步骤二、用反证法证明点D也在⊙O上．假设点D不在⊙O上，则点D在⊙O内或⊙O外．i、如图2，假设点D在⊙O内．延长CD交⊙O于点D1，连接AD1．∴∠B+∠D1＝180°（②）．（填推理依据）∵∠ADC是△ADD1的外角，∴∠ADC＝∠DAD1+∠D1（③）．（填推理依据）∴∠ADC＞∠D1．∴∠B+∠ADC＞180°．这与已知条件∠B+∠ADC＝180°矛盾．∴假设不成立．即点D不在⊙O内．ii、如图3，假设点D在⊙O外．设CD与⊙O交于点D2，连接AD2．∴∠B+∠AD2C＝180°．∵∠AD2C是△AD2D的外角，∴∠AD2C＝∠DAD2+∠ADC．∴∠ADC＜∠AD2C．∴∠B+∠ADC＜180°．这与已知条件∠B+∠ADC＝180°矛盾．∴假设不成立．即点D不在⊙O外．综上所述，点D在⊙O上．∴点A，B，C，D在同一个圆上．阅读上述材料，并解答问题：（1）根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）；（2）填推理依据：①线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，②圆内接四边形的对角互补，③三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．【分析】（1）根据作线段的垂直平分线的基本作法作图；（2）根据反证法的步骤进行证明．【解答】解：（1）如图：⊙O即为所求；（2）步骤一、作出过A，B，C三点的⊙O．如图1，分别作出线段AB，BC的垂直平分线m，n，设它们的交点为O，以O为圆心，OA的长为半径作⊙O．连接OA，OB，OC，∴OA＝OB，OB＝OC（线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）．∴OA＝OB＝OC．∴点B，C在⊙O上．步骤二、用反证法证明点D也在⊙O上．假设点D不在⊙O上，则点D在⊙O内或⊙O外．i、如图2，假设点D在⊙O内．延长CD交⊙O于点D1，连接AD1．∴∠B+∠D1＝180°（圆内接四边形的对角互补）．∵∠ADC是△ADD1的外角，∴∠ADC＝∠DAD1+∠D1（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）．∴∠ADC＞∠D1．∴∠B+∠ADC＞180°．这与已知条件∠B+∠ADC＝180°矛盾．∴假设不成立．即点D不在⊙O内．ii、如图3，假设点D在⊙O外．设CD与⊙O交于点D2，连接AD2．∴∠B+∠AD2C＝180°．∵∠AD2C是△AD2D的外角，∴∠AD2C＝∠DAD2+∠ADC．∴∠ADC＜∠AD2C．∴∠B+∠ADC＜180°．这与已知条件∠B+∠ADC＝180°矛盾．∴假设不成立．即点D不在⊙O外．综上所述，点D在⊙O上．∴点A，B，C，D在同一个圆上．故答案为：①线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；②圆内接四边形的对角互补；③三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．【点评】本题考查了反证法，掌握线段的垂直平分线的性质及有关圆的性质是解题的关键．23．（6分）某校乒乓球队举行队内比赛，比赛规则是每两个队员之间都赛一场，每场比赛都要分出胜负，每一场比赛结束后依据胜负给出相应积分，本次比赛一共进行了210场，用时两天完成，下面是第一天比赛结束后部分队员的积分表：队员号码比赛场次胜场负场积分11082182101002038711548621457077（1）在本次比赛中，有一名队员只输掉了一场比赛，则该名队员的积分是多少？（2）如果有一名队员在本次比赛中的积分不低于34分，那么他最多负6场．【分析】（1）设在本次比赛共有x个队员参加比赛，由表格可得赢一场比赛得2分，输掉一场比赛得1分，根据本次比赛一共进行了210场，列方程求出共有多少个队员参加比赛，即可求解；（2）根据有一名队员在本次比赛中的积分不低于34分，列一元一次不等式即可求解．【解答】解：（1）设在本次比赛共有x个队员参加比赛，由表格得赢一场比赛得20÷10＝2（分），输掉一场比赛得7÷7＝1（分），由题意得x（x﹣1）＝210，解得x＝21（负值舍去），∴共有21个队员参加比赛，∴每个队员一共比赛20场，有一名队员只输掉了一场比赛，则该名队员的积分是（20﹣1）×2+1＝39（分），答：该名队员的积分是39分；（2）设该名队员在本次比赛中最多负y场，由题意得（20﹣y）×2+y≥34，解得y≤6，∴该名队员在本次比赛中最多负6场，故答案为：6．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识，列出一元二次方程和一元一次不等式是解题的关键．24．（6分）如图，AC，BD是圆内接四边形ABCD的对角线，AC⊥BD于点E，BD平分∠ADC．（1）求∠BAD的度数；（2）点P在DB的延长线上，PA是该圆的切线．①求证：PC是该圆的切线；②若，直接写出PD的长．【分析】（1）证出∠BAC+∠CAD＝90°，则可得出结论；。

2019-2020学年北京市朝阳区九年级上学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年北京市朝阳区九年级上学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷一、选择题1．下列事件中，随机事件是（）A．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数C．明天太阳从东方升起D．三角形的内角和是360°2．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（）A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）3．只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做素数，我国数学家陈景润在有关素数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果．从5，7，11这3个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是（）A．B．C．D．14．把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．扩大为原来的9倍5．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．若AD＝1，BD＝2，则△ADE 与△ABC的面积之比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：96．如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D7．已知⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，△ABP内接于⊙O1，点C，E分别在⊙O2，⊙O3上．如图，①以C为圆心，AP长为半径作弧交⊙O2于点D，连接CD；②以E为圆心，BP长为半径作弧交⊙O3于点F，连接EF；下面有四个结论：①CD+EF＝AB②③∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B④∠CDO2+∠EFO3＝∠P所有正确结论的序号是（）A．①②③④B．①②③C．②④D．②③④8．如图，抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（）A．2B．C．D．3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，射线l的端点为（0，1），l∥x轴，请写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式：．11．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝，则长AB为．12．如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则的长度为．13．如图，在正方形网格中，点A，B，C在⊙O上，并且都是小正方形的顶点，P 是上任意一点，则∠P 的正切值为．14．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），则m+n的值为．15．为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A地进行销售．由于受道路条件的限制，需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A地．村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获得的数据记录如下表：柑橘总质量n/kg100150200250300350400450500完好柑橘质量92.40138.45183.80229.50276.30322.70367.20414.45459.50m/kg柑橘完好的频0.9240.9230.9190.9180.9210.9220.9180.9210.919率①估计从该村运到火车站柑橘完好的概率为（结果保留小数点后三位）；②若从该村运到A地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A地柑橘完好的概率为．16．如图，分别过第二象限内的点P作x，y轴的平行线，与y，x轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D．下面三个结论，①存在无数个点P使S△AOC＝S△BOD；②存在无数个点P使S△POA＝S△POB；③存在无数个点P使S四边形OAPB＝S△ACD．所有正确结论的序号是．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）17．计算：sin60°﹣cos30°+tan45°．18．如图，在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝，AD⊥BC于点D．若AB＝8，求BC的长．19．如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接AD，CD，求∠ADC的度数．20．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量和对应的函数值如下表：x…﹣2﹣1012…y1…01234…y2…0﹣1038…（1）求y2的表达式；（2）关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是．21．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．22．在平面内，O为线段AB的中点，所有到点O的距离等于OA的点组成图形W．取OA 的中点C，过点C作CD⊥AB交图形W于的点D，D在直线AB的上方，连接AD，BD．（1）求∠ABD的度数；（2）若点E在线段CA的延长线上，且∠ADE＝∠ABD，求直线DE与图形W的公共点个数．23．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝45°，AP＝1，求BP的长．小军的思路是：根据已知条件可以证明△ACP∽△CBP，进一步推理可得BP的长．请回答：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴．∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°．∴＝．∵AP＝1，∴PC＝．∴PB＝．参考小军的思路，解决问题：如图2，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝30°，求的值；24．点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象l1上一点，直线AB∥x轴，交反比例函数y ＝（x＞0）的图象l2于点B，直线AC∥y轴，交l2于点C，直线CD∥x轴，交l1于点D．（1）若点A（1，1），求线段AB和CD的长度；（2）对于任意的点A（a，b），判断线段AB和CD的大小关系，并证明．25．如图，在矩形ABCD中，E是BA延长线上的定点，M为BC边上的一个动点，连接ME，将射线ME绕点M顺时针旋转76°，交射线CD于点F，连接MD．小东根据学习函数的经验，对线段BM，DF，DM的长度之间的关系进行了探究．下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）对于点M在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM，DF，DM的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9 BM/cm0.000.53 1.00 1.69 2.17 2.96 3.46 3.79 4.00 DF/cm0.00 1.00 1.74 2.49 2.69 2.21 1.140.00 1.00 DM/cm 4.12 3.61 3.16 2.52 2.09 1.44 1.14 1.02 1.00在BM，DF，DM的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DF＝2cm时，DM的长度约为cm．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点（3，3）．（1）用含a的式子表示b；（2）直线y＝x+4a+4与直线y＝4交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）；（3）在（2）的条件下，已知点A（1，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a（a＜0）的取值范围．27．已知∠MON＝120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA＝OB，点C在线段OB上（不与点O，B重合），连接CA．将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA′，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA′交于点D．（1）根据题意补全图1；（2）求证：①∠OAC＝∠DCB；②CD＝CA（提示：可以在OA上截取OE＝OC，连接CE）；（3）点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH，写出你的猜想并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），点B在x轴上，以AB为直径作⊙C，点P在y轴上，且在点A上方，过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点，如果点Q在第一象限，则称Q为点P的离点．例如，图1中的Q为点P的一个离点．（1）已知点P（0，3），Q为P的离点．①如图2，若B（0，0），则圆心C的坐标为，线段PQ的长为；②若B（2，0），求线段PQ的长；（2）已知1≤PA≤2，直线l：y＝kx+k+3（k≠0）．①当k＝1时，若直线l上存在P的离点Q，则点Q纵坐标t的最大值为；②记直线l：y＝kx+k+3（k≠0）在﹣1≤x≤1的部分为图形G，如果图形G上存在P的离点，直接写出k的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列事件中，随机事件是（）A．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数C．明天太阳从东方升起D．三角形的内角和是360°【分析】根据随机事件的意义，这个选项进行判断即可．解：“通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰”是必然事件；“随意翻到一本书的某页，这页的页码可能是偶数，也可能是奇数”因此选项B符合题意；“明天太阳从东方升起”是必然事件，不符合题意；“三角形的内角和是180°”因此“三角形的内角和是360°”是确定事件中的不可能事件，不符合题意；故选：B．2．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（）A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）【分析】抛物线的顶点式为：y＝a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），可以确定抛物线的顶点坐标．解：抛物线y＝（x﹣2）2+1是以抛物线的顶点式给出的，其顶点坐标为：（2，1）．故选：A．3．只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做素数，我国数学家陈景润在有关素数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果．从5，7，11这3个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是（）A．B．C．D．1【分析】根据概率＝所求情况数与总情况数之比解答即可．解：∵共3个素数，分别是5，7，11，∴抽到的数是7的概率是；故选：C．4．把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．扩大为原来的9倍【分析】根据相似三角形的性质解答．解：三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的余弦值不变，故选：A．5．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．若AD＝1，BD＝2，则△ADE 与△ABC的面积之比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝．故选：D．6．如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】连接PP'、NN'、MM'，作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，交点为旋转中心．解：如图，∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M'N'P'，∴连接PP'、NN'、MM'，作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B．故选：B．7．已知⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，△ABP内接于⊙O1，点C，E分别在⊙O2，⊙O3上．如图，①以C为圆心，AP长为半径作弧交⊙O2于点D，连接CD；②以E为圆心，BP长为半径作弧交⊙O3于点F，连接EF；下面有四个结论：①CD+EF＝AB②③∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B④∠CDO2+∠EFO3＝∠P所有正确结论的序号是（）A．①②③④B．①②③C．②④D．②③④【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理即可得到结论．解：由题意得，AP＝CD，BP＝EF，∵AP+BP＞AB，∴CD+EF＞AB；∵⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，∴＝，＝，∵+＝，∴+＝；∴∠CO2D＝∠AO1P，∠EO3F＝∠BO1P，∵∠AO1P+∠BO1P＝∠AO1P，∴∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B；∵∠CDO2＝∠APO1，∠BPO1＝∠EFO3，∵∠P＝∠APO1+∠BPO1，∴∠CDO2+∠EFO3＝∠P，∴正确结论的序号是②③④，故选：D．8．如图，抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（）A．2B．C．D．3【分析】根据抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，可得A、B两点坐标，D是以点C（0，4）为圆心，根据勾股定理可求BC的长为5，E是线段AD的中点，再根据三角形中位线，BD最小，OE就最小．解：∵抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，∴A、B两点坐标为（﹣3，0）、（3，0），∵D是以点C（0，4）为圆心，根据勾股定理，得BC＝5，∵E是线段AD的中点，O是AB中点，∴OE是三角形ABD的中位线，∴OE＝BD，即点B、D、C共线时，BD最小，OE就最小．如图，连接BC交圆于点D′，∴BD′＝BC﹣CD′＝5﹣1＝4，∴OE′＝2．所以线段OE的最小值为2．故选：A．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为（1，3）．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．解：点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为：（1，3）．故答案为：（1，3）．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，射线l的端点为（0，1），l∥x轴，请写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式：答案不唯一，如y＝．【分析】直接利用射线的特点得出符合题意的反比例函数解析式．解：∵射线l的端点为（0，1），l∥x轴，∴写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式：答案不唯一，如y＝．故答案为：答案不唯一，如y＝．11．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝，则长AB为2．【分析】判断黄金矩形的依据是：宽与长之比为0.618，根据已知条件即可得出答案．解：∵矩形ABCD是黄金矩形，且AD＝，∴，，∴AB＝2，故答案为2．12．如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则的长度为．【分析】连接OC、OD，根据切线性质和∠A＝45°，易证得△AOC和△BOD是等腰直角三角形，进而求得OC＝OD＝1，∠COD＝90°，根据弧长公式求得即可．解：连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A＝45°，∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝1，∵AC＝BD＝1，OC＝OD＝1，∴OD＝BD，∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：＝π，故答案为：．13．如图，在正方形网格中，点A，B，C在⊙O上，并且都是小正方形的顶点，P是上任意一点，则∠P的正切值为．【分析】：连接OA、OB，作OD⊥AB于D，如图，利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠AOD＝∠APB，再利用正切的性质得到tan∠AOD＝，从而得到tan∠P的值．解：连接OA、OB，作OD⊥AB于D，如图，∵OA＝OB，OD⊥AB，∴∠AOD＝∠AOB，∵∠APB＝∠AOB，∴∠AOD＝∠APB，在Rt△AOD中，tan∠AOD＝＝，∴tan∠P＝．故答案为．14．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），则m+n的值为2．【分析】根据根与系数的关系解答即可．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），∴m+n＝﹣＝2．故答案是：2．15．为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A地进行销售．由于受道路条件的限制，需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A地．村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获得的数据记录如下表：柑橘总质量n/kg100150200250300350400450500完好柑橘质量92.40138.45183.80229.50276.30322.70367.20414.45459.50m/kg柑橘完好的频0.9240.9230.9190.9180.9210.9220.9180.9210.919率①估计从该村运到火车站柑橘完好的概率为0.920（结果保留小数点后三位）；②若从该村运到A地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A地柑橘完好的概率为．【分析】（1）根据表格中频率的变化情况，估计概率即可；（2）根据完好的概率进行列方程求解即可．解：（1）根据抽查的柑橘完好的频率，大约集中在0.920上下波动，因此估计柑橘的完好的概率为0.920，故答案为：0.920；（2）设总质量为m千克，从火车站运到A地柑橘完好的概率为x，由题意得，m×0.920×x＝m×0.880，解得，x＝，故答案为：．16．如图，分别过第二象限内的点P作x，y轴的平行线，与y，x轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D．下面三个结论，①存在无数个点P使S△AOC＝S△BOD；②存在无数个点P使S△POA＝S△POB；③存在无数个点P使S四边形OAPB＝S△ACD．所有正确结论的序号是①②③．【分析】如图，设C（m，），D（n，），则P（n，），利用反比例函数k的几何意义得到S△AOC＝3，S△BOD＝3，则可对①进行判断；根据三角形面积公式可对②进行判断；通过计算S四边形OAPB和S△ACD得到m与n的关系可对对③进行判断．解：如图，设C（m，），D（n，），则P（n，），∵S△AOC＝3，S△BOD＝3，∴S△AOC＝S△BOD；所以①正确；∵S△POA＝﹣n×＝﹣，S△POB＝﹣n×＝﹣，∴S△POA＝S△POB；所以②正确；∵S四边形OAPB＝﹣n×＝﹣，S△ACD＝×m×（﹣）＝3﹣，∴当﹣＝3﹣，即m2﹣mn﹣2n2＝0，所以m＝2n（舍去）或m＝﹣n，此时P点为无数个，所以③正确．故答案为①②③．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）17．计算：sin60°﹣cos30°+tan45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案．解：原式＝＝1．18．如图，在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝，AD⊥BC于点D．若AB＝8，求BC的长．【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可以求得AD的长，然后即可求得BD的长，再根据AD的长和tan C＝，可以求得CD的长，从而可以求得BC 的长，本题得以解决．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵在Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝8，∴AD＝4，BD＝，∵在Rt△ADC中，tan C＝，AD＝4，∴，∴CD＝3．∴BC＝BD+CD＝．19．如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接AD，CD，求∠ADC的度数．【分析】首先证明∠ABD＝90°，求出∠BDC，∠ADB即可解决问题．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°．根据题意可知BD＝BC，∠DBC＝30°．∴AB＝BD．∴∠ABD＝90°，∠BDC＝75°．∴∠BDA＝45°．∴∠ADC＝30°．20．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量和对应的函数值如下表：x…﹣2﹣1012…y1…01234…y2…0﹣1038…（1）求y2的表达式；（2）关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是x＜﹣2或x＞1．【分析】（1）根据题意设出y2的表达式，再把（0，0）代入，求出a的值，即可得出y2的表达式；（2）利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（﹣2，0）和（1，3），x＜﹣2或x＞1时，y2＞y1，从而得出不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集．解：（1）根据题意设y2的表达式为：y2＝a（x+1）2﹣1，把（0，0）代入得a＝1，∴y2＝x2+2x；（2）当x＝﹣2时，y1＝y2＝0；当x＝1时，y1＝y2＝3；∴直线与抛物线的交点为（﹣2，0）和（1，3），而x＜﹣2或x＞1时，y2＞y1，∴不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是x＜﹣2或x＞1．故答案为：x＜﹣2或x＞1．21．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算出DE的长即可．解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，∴AE＝BE＝AB＝×8＝4，在Rt△AEO中，OE＝＝＝3，∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．22．在平面内，O为线段AB的中点，所有到点O的距离等于OA的点组成图形W．取OA 的中点C，过点C作CD⊥AB交图形W于的点D，D在直线AB的上方，连接AD，BD．（1）求∠ABD的度数；（2）若点E在线段CA的延长线上，且∠ADE＝∠ABD，求直线DE与图形W的公共点个数．【分析】（1）根据题意，图形W为以O为圆心，OA为直径的圆．如图1，连接OD，根据等边三角形的判定与性质即可求解；（2）根据切线的判定即可求解．解：（1）根据题意，图形W为以O为圆心，OA为直径的圆．如图1，连接OD，∴OA＝OD．∵点C为OA的中点，CD⊥AB，∴AD＝OD．∴OA＝OD＝AD．∴△OAD是等边三角形．∴∠AOD＝60°．∴∠ABD＝30°．（2）如图2，∵∠ADE＝∠ABD，∴∠ADE＝30°．∵∠ADO＝60°．∴∠ODE＝90°．∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．∴直线DE与图形W的公共点个数为1．23．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝45°，AP＝1，求BP的长．小军的思路是：根据已知条件可以证明△ACP∽△CBP，进一步推理可得BP的长．请回答：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝∠PBC．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴．∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°．∴＝．∵AP＝1，∴PC＝．∴PB＝2．参考小军的思路，解决问题：如图2，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝30°，求的值；【分析】阅读材料：证明△ACP∽△CBP．得出．由等腰直角三角形的性质得出CB＝AC得出＝．PC＝AP＝．得出PB＝PC＝2．解决问题：证明△ACP∽△CBP．得出＝，设AP＝a，则PC＝，得出PB＝3a．即可得出．【解答】阅读材料：解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝∠PBC．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴．∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°．∴CB＝AC，∴＝．∵AP＝1，∴PC＝AP＝．∴PB＝PC＝2．故答案为：∠PBC；；2；解决问题：解：作AD⊥BC于D，如图2所示：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°．BD＝CD＝BC，∴AD＝AC，CD＝AD，∴AC＝2AD，BC＝2CD＝2AD，∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝∠PBC．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴＝＝，设AP＝a，则PC＝，∴PB＝3a．∴．24．点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象l1上一点，直线AB∥x轴，交反比例函数y ＝（x＞0）的图象l2于点B，直线AC∥y轴，交l2于点C，直线CD∥x轴，交l1于点D．（1）若点A（1，1），求线段AB和CD的长度；（2）对于任意的点A（a，b），判断线段AB和CD的大小关系，并证明．【分析】（1）根据题意求得B（3，1），C（1，3），D（，3），即可求得AB和CD 的长度；（2）根据题意得到A（a，），B（3a，）．C（a，），D（，），进一步求得AB＝2a，CD＝．即可求得AB＞CD．解：（1）∵AB∥x轴，A（1，1），B在反比例函数的图象上，∴B（3，1）．同理可求：C（1，3），D（，3）．∴AB＝2，CD＝．（2）AB＞CD．证明：∵A（a，b），A在反比例函数的图象上，∴A（a，）．∵AB∥x轴，B在反比例函数的图象上，∴B（3a，）．同理可求：C（a，），D（，）．∴AB＝2a，CD＝．∵a＞0，∴2a＞．∴AB＞CD．25．如图，在矩形ABCD中，E是BA延长线上的定点，M为BC边上的一个动点，连接ME，将射线ME绕点M顺时针旋转76°，交射线CD于点F，连接MD．小东根据学习函数的经验，对线段BM，DF，DM的长度之间的关系进行了探究．下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）对于点M在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM，DF，DM的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9 BM/cm0.000.53 1.00 1.69 2.17 2.96 3.46 3.79 4.00 DF/cm0.00 1.00 1.74 2.49 2.69 2.21 1.140.00 1.00 DM/cm 4.12 3.61 3.16 2.52 2.09 1.44 1.14 1.02 1.00在BM，DF，DM的长度这三个量中，确定BM的长度是自变量，DF的长度和DM的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DF＝2cm时，DM的长度约为 2.98和1.35 cm．【分析】（1）由函数的定义可得；（2）描点即可；（3）结合图象，即可求解．解：（1）由函数的定义可得：BM的长度是自变量，DF的长度和DM的长度都是这个自变量的函数，故答案为：BM，DF，DM；（2）如图所示．（3）由图象得到：当DF＝2cm时，DM的长度约为2.98cm和1.35cm．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点（3，3）．（1）用含a的式子表示b；（2）直线y＝x+4a+4与直线y＝4交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）；（3）在（2）的条件下，已知点A（1，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a（a＜0）的取值范围．【分析】（1）将点（3，3）代入解析式即可求得；（2）把y＝4代入y＝x+4a+4得到关于x的方程，解方程即可求得；（3）根据抛物线与线段AB恰有一个公共点，分两种情况讨论，即可得结论．解：（1）将点（3，3）代入y＝ax2+bx，得9a+3b＝3．∴b＝﹣3a+1．（2）令x+4a+4＝4，得x＝﹣4a．∴B（﹣4a，4）．（3）∵a＜0，∴抛物线开口向下，抛物线与线段AB恰有一个公共点，∵A（1，4），B（﹣4a，4）∴点A、B所在的直线为y＝4，由（1）得b＝1﹣3a，则抛物线可化为：y＝ax2+（1﹣3a）x，分两种情况讨论：①当抛物线y＝ax2+（1﹣3a）x与直线y＝4只有一个公共点时，且抛物线的顶点在点A、B之间，则1≤≤﹣4a或﹣4a≤≤1，方程ax2+（1﹣3a）x＝4的根的判别式：△＝0，即（1﹣3a）2+16a＝0，解得a1＝﹣，a2＝﹣1，当a1＝﹣时，＝6（不符合题意），当a2＝﹣1时，＝2，则1≤≤﹣4a成立．②当抛物线经过点A时，即当x＝1，y＝4时，a+1﹣3a＝4，解得a＝﹣；∴a＜﹣时，抛物线与线段AB恰有一个公共点，综上：a的取值为：a＝﹣1或a＜﹣时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．27．已知∠MON＝120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA＝OB，点C在线段OB 上（不与点O，B重合），连接CA．将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA′，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA′交于点D．（1）根据题意补全图1；（2）求证：①∠OAC＝∠DCB；②CD＝CA（提示：可以在OA上截取OE＝OC，连接CE）；（3）点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH，写出你的猜想并证明．【分析】（1）根据题意即可补全图形；（2）①由旋转得∠ACD＝120°，由三角形内角和得出∠DCB+∠ACO＝60°，∠OAC+∠ACO＝60°，即可得出结论；②在OA上截取OE＝OC，连接CE，则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣∠MON）＝30°，∠AEC＝150°，得出∠AEC＝∠CBD，易证AE＝BC，由ASA证得△AEC≌△CBD，即可得出结论；（3）猜想OH﹣OC＝OA时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH，在OH上截取OF＝OC，连接CF、CH，则FH＝OA，∠COF＝180°﹣∠MON＝60°，得出△OFC是等边三角形，则CF＝OC，∠CFH＝∠COA＝120°，由SAS证得△CFH≌△COA，得出∠H＝∠OAC，由三角形外角性质得出∠BCH＝∠COF+∠H＝60°+∠H＝60°+∠OAC，则∠DCH＝60°+∠H+∠DCB＝60°+2∠OAC，由CA＝CD，∠ACD＝120°，得出∠CAD＝30°，即可得出∠DCH＝2∠DAH．【解答】（1）解：根据题意补全图形，如图1所示：（2）证明：①由旋转得：∠ACD＝120°，∴∠DCB+∠ACO＝180°﹣120°＝60°，∵∠MON＝120°，∴∠OAC+∠ACO＝180°﹣120°＝60°，∴∠OAC＝∠DCB；②在OA上截取OE＝OC，连接CE，如图2所示：则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣∠MON）＝（180°﹣120°）＝30°，∴∠AEC＝180°﹣∠OEC＝180°﹣30°＝150°，由旋转得：∠CBD＝150°，∴∠AEC＝∠CBD，∵OA＝OB，OE＝OC，∴AE＝BC，在△AEC和△CBD中，，∴△AEC≌△CBD（ASA），∴CD＝CA；（3）解：猜想OH﹣OC＝OA时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH；理由如下：在OH上截取OF＝OC，连接CF、CH，如图3所示：则FH＝OA，∠COF＝180°﹣∠MON＝180°﹣120°＝60°，∴△OFC是等边三角形，∴CF＝OC，∠CFH＝∠COA＝120°，在△CFH和△COA中，，∴△CFH≌△COA（SAS），∴∠H＝∠OAC，∴∠BCH＝∠COF+∠H＝60°+∠H＝60°+∠OAC，∴∠DCH＝60°+∠H+∠DCB＝60°+2∠OAC，∵CA＝CD，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，∴∠DCH＝2（∠CAD+∠OAC）＝2∠DAH．28．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），点B在x轴上，以AB为直径作⊙C，点P在y轴上，且在点A上方，过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点，如果点Q在第一象限，则称Q为点P的离点．例如，图1中的Q为点P的一个离点．（1）已知点P（0，3），Q为P的离点．①如图2，若B（0，0），则圆心C的坐标为（0，1），线段PQ的长为；②若B（2，0），求线段PQ的长；（2）已知1≤PA≤2，直线l：y＝kx+k+3（k≠0）．①当k＝1时，若直线l上存在P的离点Q，则点Q纵坐标t的最大值为6；②记直线l：y＝kx+k+3（k≠0）在﹣1≤x≤1的部分为图形G，如果图形G上存在P的离点，直接写出k的取值范围．【分析】（1）①如图可知：C（0，1），在Rt△PQC中，CQ＝1，PC＝2；②如图，过C作CM⊥y轴于点M，连接CP，CQ，M（0，1）．在Rt△ACM中，由勾股定理可得CA＝，CQ＝．在Rt△PCM中，由勾股定理可得PC＝．在Rt△PCQ中，由勾股定理可得PQ＝＝．（2）①当k＝1时，y＝x+4，Q（t﹣4，t），P的纵坐标为4时，PQ与圆C相切，设B （m，0），则圆心为C（，1），由CQ⊥PQ，可求CQ的解析式为y＝﹣x++1，Q 点横坐标为﹣＝t﹣4，则C（2t﹣5，1），再由CQ＝AC，得到t＝6或t＝2；②y ＝kx+k+3经过定点（﹣1，3），PQ是圆的切线，AO是圆的弦，则有PQ2＝PA•PO，当k＜0时，Q点的在端点（﹣1，3）和（1，2k+3）之间运动，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4﹣2），此时k＝1﹣2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），1+4k2＝3，所以1﹣2＜k≤﹣；当k ＞0时，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4+2），此时k＝1+2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），1+4k2＝3，所以≤k＜1+2．解：（1）①如图可知：C（0，1），在Rt△PQC中，CQ＝1，PC＝2，∴PQ＝，故答案为（0，1）；；②如图，过C作CM⊥y轴于点M，连接CP，CQ．∵A（0，2），B（2，0），∴C（1，1）．∴M（0，1）．在Rt△ACM中，由勾股定理可得CA＝．∴CQ＝．∵P（0，3），M（0，1），∴PM＝2．在Rt△PCM中，由勾股定理可得PC＝．在Rt△PCQ中，由勾股定理可得PQ＝＝．（2）①如图1：当k＝1时，y＝x+4，∴Q（t﹣4，t），∵1≤PA≤2，∴P的纵坐标为4时，PQ与圆C相切，设B（m，0），∴C（，1），∵CQ⊥PQ，∴CQ的解析式为y＝﹣x++1，∴Q点横坐标为﹣，∴﹣＝t﹣4，∴m＝4t﹣10，∴C（2t﹣5，1），∵CQ＝AC，∴（2t﹣5）2+1＝2（t﹣1）2，∴t＝6或t＝2，∴t的最大值为6；故答案为6．②∵﹣1≤x≤1，∵y＝kx+k+3经过定点（﹣1，3），∵PQ是圆的切线，AO是圆的弦，∴PQ2＝PA•PO，当k＜0时，Q点的在端点（﹣1，3）和（1，2k+3）之间运动，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4﹣2），此时k＝1﹣2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），∴1+4k2＝3，∴k＝，∴k＝﹣，∴1﹣2＜k≤﹣；当k＞0时，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4+2），此时k＝1+2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），∴1+4k2＝3，∴k＝，∴k＝，∴≤k＜1+2．。

2021-2022学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年北京市西城区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）.1．古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（﹣3，1）D．（3，1）3．如图，点A、B、C在⊙O上，△OAB为等边三角形，则∠ACB的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°4．将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（）A．（x﹣4）2＝6B．（x﹣8）2＝6C．（x﹣4）2＝﹣6D．（x﹣8）2＝54 5．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（）A．4B．8C．D．6．生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为（）A．2.5（1+x）＝3.2B．2.5（1+2x）＝3.2C．2.5（1+x）2＝3.2D．2.5（1﹣x）2＝3.27．下列说法中，正确的是（）A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得8．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此抛物线经过点C（t，n），则t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．③④D．①④二、填空题（共16分，每题2分）9．在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣7）关于原点的对称点坐标为．10．关于x的一元二次方程x2+mx+4＝0有一个根为1，则m的值为．11．如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料800πmm，则此圆弧所在圆的半径为mm．12．写出一个开口向下，且对称轴在y轴左侧的抛物线的表达式：．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2可以看作是抛物线y＝x2+2经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线y＝x2+2得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2的过程：．15．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△ADE，点B的对应点D 恰好落在边BC上，则∠ADE＝.（用含α的式子表示）16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内的一个动点，满足AC2﹣AD2＝CD2.若AB＝2，BC＝4，则BD长的最小值为．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．解方程：x2﹣2x﹣2＝0．18．问题：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O内，请仅用无刻度的直尺，作出△ABC中AB边上的高．小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．作法：如图，①延长AC交⊙O于点D，延长BC交⊙O于点E；②分别连接AE，BD并延长相交于点F；③连接FC并延长交AB于点H．所以线段CH即为△ABC中AB边上的高．（1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．证明：∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∴∠ADB＝∠AEB＝°．（）（填推理的依据）∴AE⊥BE，BD⊥AD．∴AE，是△ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．∴CH是△ABC中AB边上的高．19．已知二次函数y＝x2+4x+3．（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）画出此函数的图象；（3）若点A（0，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，结合函数图象，直接写出m的取值范围．20．如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．（1）求证：AF＝AE；（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接写出△AEF的面积．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于﹣1，求k的取值范围．22．有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数﹣2，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数﹣5，m，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若a＜b，小明胜；若a＝b，为平局；若a＞b，小刚胜．（1）若m＝﹣2，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；（2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值．23．如图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，EF⊥AC于点F．（1）求证：四边形CDEF是矩形；（2）若CD＝2，DE＝2，求AC的长．24．某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度y（单位：m）与行进的水平距离x（单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为 4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．（1）图中点B表示篮筐，其坐标为，篮球行进的最高点C的坐标为；（2）求篮球出手时距地面的高度．25．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，DE⊥BC交BC 的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2﹣8a的顶点为A，0＜h＜．（1）若a＝1，①点A到x轴的距离为；②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；（2）已知点A到x轴的距离为4，此抛物线与直线y＝﹣2x+1的两个交点分别为B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若点D（x D，y D）在此抛物线上，当x1＜x D＜x2时，y D 总满足y2＜y D＜y1，求a的值和h的取值范围．27．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E分别在边CA，CB上，CD＝CE，连接DE，AE，BD．点F在线段BD上，连接CF交AE于点H．（1）①比较∠CAE与∠CBD的大小，并证明；②若CF⊥AE，求证：AE＝2CF；（2）将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2．若F是BD的中点，判断AE＝2CF是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点A在⊙O上，点P在⊙O内，给出如下定义：连接AP并延长交⊙O于点B，若AP＝kAB，则称点P是点A关于⊙O的k倍特征点．（1）如图，点A的坐标为（1，0）．①若点P的坐标为（﹣，0），则点P是点A关于⊙O的倍特征点；②在C1（0，），C2（，0），C3（，﹣）这三个点中，点是点A关于⊙O的倍特征点；③直线l经过点A，与y轴交于点D，∠DAO＝60°．点E在直线l上，且点E是点A 关于⊙O的倍特征点，求点E的坐标；（2）若当k取某个值时，对于函数y＝﹣x+1（0＜x＜1）的图象上任意一点M，在⊙O 上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．解：选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故选：C．2．二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（﹣3，1）D．（3，1）【分析】二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k）．解：根据二次函数的顶点式方程y＝2（x﹣3）2+1知，该函数的顶点坐标是：（3，1）．故选：D．3．如图，点A、B、C在⊙O上，△OAB为等边三角形，则∠ACB的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°【分析】先根据等边三角形的性质得到∠AOB＝60°，然后根据圆周角定理求∠ACB的度数．解：∵△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ACB＝∠AOB＝30°．故选：D．4．将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（）A．（x﹣4）2＝6B．（x﹣8）2＝6C．（x﹣4）2＝﹣6D．（x﹣8）2＝54【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可．解：x2﹣8x＝﹣10，x2﹣8x+16＝6，（x﹣4）2＝6．故选：A．5．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（）A．4B．8C．D．【分析】连接BD．由题意，△BCD是等腰直角三角形，故可得出结论．解：如图，连接BD．由题意，△BCD是等腰直角三角形，∵BD＝8，∠CBD＝45°，∠BCD＝90°，∴BC＝BD＝4．故选：D．6．生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为（）A．2.5（1+x）＝3.2B．2.5（1+2x）＝3.2C．2.5（1+x）2＝3.2D．2.5（1﹣x）2＝3.2【分析】利用2019年全国生活垃圾无害化处理能力＝2017年全国生活垃圾无害化处理能力×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：依题意得：2.5（1+x）2＝3.2．故选：C．7．下列说法中，正确的是（）A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得【分析】根据必然事件，随机事件，不可能事件的特点，以及列表法与树状图法逐一判断即可．解：A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，故A不符合题意；B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，故B符合题意；C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就可能会中奖，故C不符合题意；D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率不可以用列举法求得，故D不符合题意；故选：B．8．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此抛物线经过点C（t，n），则t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．③④D．①④【分析】由抛物线开口和抛物线与y轴交点判断①，由抛物线的对称性及经过点（5，0）可判断②，由抛物线对称轴为直线x＝2可得b＝﹣4a，由a﹣b+c＝0可得c＝﹣5a，从而判断③，点C对称点横坐标为4﹣t可判断④．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0，①正确．∵抛物线顶点为A（2，m），∴抛物线对称轴为直线x＝2，∵抛物线过点（5，0），∴由对称性可得抛物线经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，②错误，∵﹣＝2，∴b＝﹣4a，∴5a+c＝0，∴c＝﹣5a∵（2，m）为抛物线顶点，∴4a+2b+c＝m，∴4a﹣8a﹣5a＝m，即9a+m＝0，③正确，∵点C（t，n）在抛物线上，∴点C关于对称轴对称点（4﹣t，n）在抛物线上，∴4﹣t为ax2+bx+c＝n的一个根，④错误．故选：B．二、填空题（共16分，每题2分）9．在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣7）关于原点的对称点坐标为（﹣4，7）．【分析】利用关于原点对称点的坐标特点可得答案．解：在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣7）关于原点的对称点坐标为（﹣4，7），故答案为：（﹣4，7）．10．关于x的一元二次方程x2+mx+4＝0有一个根为1，则m的值为﹣5．【分析】把x＝1代入方程x2+mx+4＝0得1+m+4＝0，然后解关于m的方程．解：把x＝1代入方程x2+mx+4＝0得1+m+4＝0，解得m＝﹣5．故答案为：﹣5．11．如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料800πmm，则此圆弧所在圆的半径为900mm．【分析】利用弧长的计算公式即可求解．解：设此圆弧所在圆的半径为Rmm，由弧长公式得：＝800π，解得：R＝900，即此圆弧所在圆的半径为900mm，故答案为：900．12．写出一个开口向下，且对称轴在y轴左侧的抛物线的表达式：y＝﹣x2﹣x，（答案不唯一）．【分析】满足开口向下且对称轴在y轴左侧可以判断a、b的正负，从而可以得到所求得抛物线的表达式．解：∵开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴左侧，∴﹣＜0，∴b＜0，故抛物线的解析式可以为y＝﹣x2﹣x，（答案不唯一），故答案为：y＝﹣x2﹣x，（答案不唯一）．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为（2，1）．【分析】根据图形得出A、B、C的坐标，再连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，最后求出点Q的坐标即可．解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，∴Q点的坐标是（2，1），故答案为：（2，1）．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2可以看作是抛物线y＝x2+2经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线y＝x2+2得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2的过程：将抛物线y＝x2+2绕顶点（0，2）顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2．（答案不唯一）．【分析】根据抛物线的顶点坐标和开口方向的变化进行解答．解：抛物线y＝x2+2的顶点为（0，2），抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2的顶点为（4，2），∴将抛物线y＝x2+2绕顶点（0，2）顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2．故答案为：将抛物线y＝x2+2绕顶点（0，2）顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2．（答案不唯一）．15．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△ADE，点B的对应点D 恰好落在边BC上，则∠ADE＝90°﹣.（用含α的式子表示）【分析】根据旋转的性质得到AD＝AB，∠ADE＝∠B，根据等腰三角形的性质得到∠ADB ＝∠B，求得∠ADE＝∠ADB＝90°﹣．解：由旋转的性质可知，AD＝AB，∠ADE＝∠B，∴∠ADB＝∠B，∵∠BAD＝α，∴∠ADE＝∠ADB＝＝90°﹣，故答案为：90°﹣．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内的一个动点，满足AC2﹣AD2＝CD2.若AB＝2，BC＝4，则BD长的最小值为2．【分析】由AC2﹣AD2＝CD2.得∠ADC＝90°，取点H为AC的中点，可知DH和BH都是定值，从而解决问题．解：取AC的中点H，连接HD，HB，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝，∵AC2﹣AD2＝CD2．∴∠ADC＝90°，∵点H为AC的中点，∴DH＝CH＝3，∴BH＝，∵BD≥BH﹣DH，∴BD的最小值为5﹣3＝2，故答案为：2．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．解方程：x2﹣2x﹣2＝0．【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．解：移项，得x2﹣2x＝2，配方，得x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3，开方，得x﹣1＝±．解得x1＝1+，x2＝1﹣．18．问题：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O内，请仅用无刻度的直尺，作出△ABC中AB边上的高．小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．作法：如图，①延长AC交⊙O于点D，延长BC交⊙O于点E；②分别连接AE，BD并延长相交于点F；③连接FC并延长交AB于点H．所以线段CH即为△ABC中AB边上的高．（1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．证明：∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∴∠ADB＝∠AEB＝90°．（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）∴AE⊥BE，BD⊥AD．∴AE，BD是△ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．∴CH是△ABC中AB边上的高．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用三角形的三条高交于一点解决问题即可．解：（1）如图，线段CH即为所求．（2）∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∴∠ADB＝∠AEB＝90°．（直径所对的圆周角是直角），∴AE⊥BE，BD⊥AD．∴AE，BD是△ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．∴CH是△ABC中AB边上的高．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，BD．19．已知二次函数y＝x2+4x+3．（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）画出此函数的图象；（3）若点A（0，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，结合函数图象，直接写出m的取值范围．【分析】（1）将解析式化为顶点式即可；（2）画出函数图象；（3）由题意可得2＜|m+2|，求出m的取值范围即可．解：（1）y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，∴对称轴为直线x＝﹣2，顶点（﹣2，﹣1）；（2）如图：（3）∵点A（0，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，∴2＜|m+2|，∴m＞0或m＜﹣4．20．如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．（1）求证：AF＝AE；（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接写出△AEF的面积．【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，求得∠ABF＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠BAF＝∠DAE，得到△AEF是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质得到AE＝2DE＝4，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，∴∠ABF＝90°，在△ABF与△ADE中，，∴△ABF≌△ADE（SAS），∴AF＝AE；（2）解：由（1）知，△ABF≌△ADE，∴∠BAF＝∠DAE，∴∠BAF+∠BAE＝∠DAE＝∠BAE＝90°，∴∠FAE＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，在Rt△ADE中，∠D＝90°，∠DAE＝30°，DE＝2，∴AE＝2DE＝4，∴△AEF的面积＝×4×4＝8．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于﹣1，求k的取值范围．【分析】（1）计算根的判别式得到Δ＝（k+1）2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）解方程得到x1＝2，x2＝k+3，则k+3＜﹣1，然后解不等式即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+5）2﹣4（6+2k）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，∴此方程总有两个实数根；（2）∵x＝，∴x1＝2，x2＝k+3，∵此方程恰有一个根小于﹣1，∴k+3＜﹣1，解得k＜﹣4，即k的取值范围为k＜﹣4．22．有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数﹣2，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数﹣5，m，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若a＜b，小明胜；若a＝b，为平局；若a＞b，小刚胜．（1）若m＝﹣2，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；（2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值．【分析】（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有2种，a＞b的结果有3种，再由概率公式分别求解即可；（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有3种，a＞b的结果有3种，再由概率公式得小明获胜的概率＝小刚获胜的概率即可．解：（1）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有2种，a＞b的结果有3种，∴小明获胜的概率为＝，小刚获胜的概率为＝；（2）m为0时，小明和小刚获胜的概率相同，理由如下：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有3种，a＞b的结果有3种，∴小明获胜的概率＝小刚获胜的概率＝＝．23．如图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，EF⊥AC于点F．（1）求证：四边形CDEF是矩形；（2）若CD＝2，DE＝2，求AC的长．【分析】（1）根据切线的性质得到AC⊥CD，DE⊥CD，得到AC∥DE，∠ACD＝90°，根据平行线的判定定理得到EF∥CD，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据切线的性质得到AB＝AC，BE＝DE＝2，根据矩形的性质得到CF＝DE＝2，EF＝CD＝2，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AC、DE是⊙O的切线，CD是⊙的直径，∴AC⊥CD，DE⊥CD，∴AC∥DE，∠ACD＝90°，∵EF⊥AC，∴EF∥CD，∴四边形CDEF是矩形；（2）解：∵AB，AC，DE是⊙O的切线，∴AB＝AC，BE＝DE＝2，由（1）知，四边形CDEF是矩形，∴CF＝DE＝2，EF＝CD＝2，∵EF⊥AC，∴∠AFE＝90°，∴AE2＝AF2+EF2，∴（AC+2）2＝（AC﹣2）2+（2）2，解得AC＝5，故AC的长为5．24．某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度y（单位：m）与行进的水平距离x（单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为 4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．（1）图中点B表示篮筐，其坐标为（4.5，3.05），篮球行进的最高点C的坐标为（3，3.3）；（2）求篮球出手时距地面的高度．【分析】（1）根据已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．即可得到答案；（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+3.3，把B（4.5，3.05）代入求得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+3.3，当x＝0时，解方程即可得到结论．解：（1）∵篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m，∴点B表示篮筐，其坐标为（4.5，3.05），篮球行进的最高点C的坐标为（3，3.3）；故答案为：（4.5，3.05），（3，3.3）；（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+3.3，把B（4.5，3.05）代入得，3.05＝a（4.5﹣3）2+3.3，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+3.3，当x＝0时，y＝2.3，答：篮球出手时距地面的高度为2.3米．25．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，DE⊥BC交BC 的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．【分析】（1）要证明DE是⊙O的切线，所以连接OD，求出∠ODE＝90°即可，根据已知DE⊥BC，可得∠DEC＝90°，所以只要证明OD∥BE即可解答；（2）由（1）可得BD平分∠ABC，所以想到过点D作DF⊥AB，垂足为F，进而证明△ADF≌△CDE，可得AF＝CE，易证△BDF≌△BDE，可得BF＝BE，然后进行计算即可解答．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∵D是的中点，∴＝，∴∠ABD＝∠CBD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴∠ODE＝180°﹣∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，由（1）得：∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC，∵DF⊥AB，DE⊥BC，∴DF＝DE，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠DCB＝180°，∵∠DCB+∠DCE＝180°，∴∠A＝∠DCE，∵∠DFA＝∠DEC＝90°，∴△ADF≌△CDE（AAS），∴AF＝EC，∵∠DFB＝∠DEC＝90°，BD＝BD，∴△BDF≌△BDE（AAS），∴BF＝BE，设AF＝EC＝x，则BE＝BF＝8+x，∵AB＝10，∴AF+BF＝10，∴x+8+x＝10，∴x＝1，∴BF＝9，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝∠DBF，∴△BFD∽△BDA，∴BD2＝BF•BA，∴BD2＝90，∴BD＝3．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2﹣8a的顶点为A，0＜h＜．（1）若a＝1，①点A到x轴的距离为8；②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；（2）已知点A到x轴的距离为4，此抛物线与直线y＝﹣2x+1的两个交点分别为B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若点D（x D，y D）在此抛物线上，当x1＜x D＜x2时，y D 总满足y2＜y D＜y1，求a的值和h的取值范围．【分析】（1）①把a＝1代入函数解析式求出顶点坐标，进而求解．②令y＝0，求出x1与x2，进而求解．（2）由当x1＜x D＜x2时，y D总满足y2＜y D＜y1可得当x1＜x＜x2时，y随x增大而减小，从而可得点A与点C重合或点A在点C右侧，进而求解．解：（1）①把a＝1代入y＝a（x﹣h）2﹣8a得y＝（x﹣h）2﹣8，∴抛物线顶点坐标为（h，﹣8），∴点A到x轴的距离为|﹣8|＝8，故答案为：8．②把y＝0代入y＝（x﹣h）2﹣8得0＝（x﹣h）2﹣8，解得x1＝h+2，x2＝h﹣2，∵x1﹣x2＝h+2﹣（h﹣2）＝4，∴抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4．（2）∵y＝a（x﹣h）2﹣8a，∴点A坐标为（h，﹣8a），∴|﹣8a|＝4，解得a＝或a＝﹣，∵当x1＜x D＜x2时，y D总满足y2＜y D＜y1，∴当x1＜x＜x2时，y随x增大而减小，如图，当抛物线开口向上，点A与点C重合或点A在点C右侧时满足题意，∴a＝，y＝（x﹣h）2﹣4，∴点A坐标为（h，﹣4），把x＝h代入y＝﹣2x+1得y＝﹣2h+1，当﹣2h+1≤﹣4时，记得h≥，∵0＜h＜，∴≤h＜．27．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E分别在边CA，CB上，CD＝CE，连接DE，AE，BD．点F在线段BD上，连接CF交AE于点H．（1）①比较∠CAE与∠CBD的大小，并证明；②若CF⊥AE，求证：AE＝2CF；（2）将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2．若F是BD的中点，判断AE＝2CF是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．【分析】（1）①通过证明△ACE≌△BCD，利用全等三角形对应角相等解答即可；②利用同角或等角的余角相等判定△FCB和△FCD是等腰三角形即可得出结论；（2）延长CF至点G，使FG＝FC，连接BG，则得：△DCF≌△BGF，再利用题意证明△ACE≌△CBG，结论可得．解：（1）①∠CAE＝∠CBD．理由：在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）．∴∠CAE＝∠CBD．②证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACH+∠ECH＝90°．∵CF⊥AE，∴∠ACH+∠CAH＝90°．∴∠CAH＝∠ECH．由①知：∠CAE＝∠CBD，∴∠ECH＝∠CBD．∴CF＝BF．∵∠DCB＝90°，∴∠DCF+∠ECF＝90°，∠CDF+∠CBD＝90°．∴∠CDF＝∠DCF，∴CF＝DF．∴BD＝2CF．由①知：△ACE≌△BCD，∴AE＝BD．∴AE＝2CF．解：（2）若F是BD的中点，AE＝2CF仍然成立．理由：延长CF至点G，使FG＝FC，连接BG，如图，∴F是BD的中点，∴FD＝FB．在△DCF和△BGF中，，∴△DCF≌△BGF（SAS）．∴CD＝BG，∠DCF＝∠G．∴CD∥BG．∴∠DCB+∠GBC＝180°．∵将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α，∴∠ACD＝∠BCE＝α．∴∠DCB＝90°﹣∠ACD＝90°﹣α，∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝90°+α．∴∠CBG＝180°﹣∠BCD＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α．∴∠ACE＝∠CBG．∵CD＝CE，∴CE＝BG．在△ACE和△CBG中，，∴△ACE≌△CBG（SAS）．∴AE＝CG．∵FG＝FC，∴CG＝2CF．∴AE＝2CF．∴若F是BD的中点，AE＝2CF仍然成立．28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点A在⊙O上，点P在⊙O内，给出如下定义：连接AP并延长交⊙O于点B，若AP＝kAB，则称点P是点A关于⊙O的k倍特征点．（1）如图，点A的坐标为（1，0）．①若点P的坐标为（﹣，0），则点P是点A关于⊙O的倍特征点；②在C1（0，），C2（，0），C3（，﹣）这三个点中，点C3是点A关于⊙O的倍特征点；③直线l经过点A，与y轴交于点D，∠DAO＝60°．点E在直线l上，且点E是点A关于⊙O的倍特征点，求点E的坐标；（2）若当k取某个值时，对于函数y＝﹣x+1（0＜x＜1）的图象上任意一点M，在⊙O 上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．【分析】（1）①由题意知AP＝OA+OP＝1+＝，AB＝2，则k＝；②由勾股定理得AC1＝＝，假设点C1是点A关于⊙O的倍特征点，则AE＝＞2OA＝2，不符合题意，同理判断C2、C3即可；③设直线AD交⊙O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于点F，根据点E点A关于⊙O的倍特征点，得，由含30°的直角三角形的性质可得OE，AE的长；（2）设直线y＝﹣x+1与x轴，y轴的交点分别为C，D，过点N作NP⊥CD交CD于P，交⊙O于B，过点O作直线EF⊥CD交⊙O于E，F，由，可知k越大，1﹣k的值越小，则﹣1+的值越小，得AM＝BP，MN＝NP时，k的值最小，即A 与E重合，N与F重合时，k的值最小，从而解决问题．解：（1）①∵A（1，0），P（﹣），∴AP＝OA+OP＝1+＝，∵B（﹣1，0），∴AB＝2，∵AP＝kAB，∴k＝，故答案为：；②∵C1（0，），A（1，0），∴OC1＝，∴AC1＝＝，假设点C1是点A关于⊙O的倍特征点，∴，∴AE＝＞2OA＝2，不符合题意，∴点C1不是点A关于⊙O的倍特征点，同理可求出AC3＝＝＝，假设点C3是点A关于⊙O的倍特征点，∴，∴C3为AF的中点，∴F（0，﹣1），∵F在圆上，∴点C3是点A关于⊙O的倍特征点，∵C2（），∴AC2＝，∴，∴点C2不是点A关于⊙O的倍特征点，故答案为：C3；③如图，设直线AD交⊙O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于点F，∵点E点A关于⊙O的倍特征点，∴，∴E是AB的中点，∴OE⊥AB，∵∠EAO＝60°，∴∠EOA＝30°，∴AE＝，EF＝，OE＝＝，∴EF＝，∴E（）；（2）设直线y＝﹣x+1与x轴，y轴的交点分别为C，D，过点N作NP⊥CD交CD于P，交⊙O于B，过点O作直线EF⊥CD交⊙O于E，F，∴MN≥NP，AM≤BP，∵AM＝AN﹣MN＝（1﹣k）AN，∴，∵k越大，1﹣k的值越小，∴﹣1+的值越小，∴当的值越大，k的值越小，∴AM＝BP，MN＝NP时，k的值最小，∴A与E重合，N与F重合时，k的值最小，∵C，D是直线y＝﹣x+1与x轴，y轴的交点，∴C（1，0），D（0，1），∵O到C和D的距离都是1，∴OC＝OD＝1，∴CD＝＝，∵OG⊥CD，∴CG＝DG＝，∴OG＝＝，∴FG＝OF﹣OG＝1﹣，∴k＝，∴k的最小值为，当点N在E点，A在F点时，k有最大值为．。

北京市西城区2020 年新人教版九年级上期末数学试卷含答案解析

北京市西城区2020 年新人教版九年级上期末数学试卷含答案解析

2020-2021学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．抛物线y=(x﹣1)2+2的对称轴为()A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=2 D．直线x=﹣22．我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是()A．B．C．D．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长度为()A．2 B．8 C．D．4．将抛物线y=﹣3x2平移，得到抛物线y=﹣3 (x﹣1)2﹣2，下列平移方式中，正确的是()A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A(1，2)，B(2，0)，D(5，0)，则点A的对应点C的坐标是()A．(2，5) B．(，5) C．(3，5) D．(3，6)6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADB的度数为()A．55°B．45°C．35°D．25°7．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为()A．5 B．C．3 D．8．制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料．右图是一段弯形管道，其中∠O=∠O’=90°，中心线的两条弧的半径都是1000mm，这段变形管道的展直长度约为(取π3.14)()A．9280mm B．6280mm C．6140mm D．457mm9．当太阳光线与地面成40°角时，在地面上的一棵树的影长为10m，树高h(单位:m)的范围是()A．3＜h＜5 B．5＜h＜10 C．10＜h＜15 D．15＜h＜20200．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B (0，3)，则a的取值范围是()A．a＜0 B．﹣3＜a＜0 C．a＜ D．＜a＜二、填空题(本题共18分，每小题3分)11．二次函数y=x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为．12．如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件是(写出一个即可)13．如图，⊙O 的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，若∠APB=60°，则△PAB的周长为．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=kx+m(k≠0)的抛物线y2=ax2+bx+c(a ≠0)交于点A(0，4)，B(3，1)，当y1≤y2时，x的取值范围是．15．如图，在△ABC中，∠BAC=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，连接C'C．若C'C∥AB，则∠BAB'=°．16．考古学家发现了一块古代圆形残片如图所示，为了修复这块残片，需要找出圆心．(1)请利用尺规作图确定这块残片的圆心O；(2)写出作图的依据:．三、解答题(本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算:4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．18．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．(1)求证:∠AEB=∠ADC；(2)连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．19．已知二次函数y=x2+4x+3．(1)用配方法将二次函数的表达式化为y=a (x﹣h)2+k 的形式；(2)在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；(3)根据(2)中的图象，写出一条该二次函数的性质．2020图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=∠B．点E在AD边上，CD=CE．(1)求证:△ABD∽△CAE；(2)若AB=6，AC=，BD=2，求AE的长．21．一张长为30cm，宽2020的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．22．一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．(1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．23．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD=∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB=弧CE，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．(1)求证:DC是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，sinD=，求线段AF的长．24．测量建筑物的高度在《相似》和《锐角三角函数》的学习中，我们了解了借助太阳光线、利用标杆、平面镜等可以测量建筑物的高度．综合实践活动课上，数学王老师让同学制作了一种简单测角仪:把一根细线固定在量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物(如图1)；将量角器拿在眼前，使视线沿着量角器的直径刚好看到需测量物体的顶端，这样可以得出需测量物体的仰角α的度数(如图2，3)．利用这种简单测角仪，也可以帮助我们测量一些建筑物的高度．天坛是世界上最大的祭天建筑群，1998年被确认为世界…文化遗产．它以严谨的建筑分布，奇特的建筑构造和瑰丽的建筑装饰闻名于世．祈年殿是天坛主体建筑，又称祈谷殿(如图4)．采用的是上殿下屋的构造形式，殿为圆形，象征天圆；瓦为蓝色，象征蓝天．祈年殿的殿座是圆形的祈谷坛．请你利用所学习的数学知识，设计一个测量方案，解决“测量天坛祈年殿的高度”的问题．要求:(1)写出所使用的测量工具；(2)画出测量过程中的几何图形，并说明需要测量的几何量；(3)写出求天坛祈年殿高度的思路．25．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM．(1)求证:AM=BM；(2)若AM⊥BM，DE=8，∠N=15°，求BC的长．26．阅读下列材料:有这样一个问题:关于x 的一元二次方程a x2+bx+c=0(a＞0)有两个不相等的且非零的实数根．探究a，b，c满足的条件．小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小明的探究过程:①设一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)对应的二次函数为y=ax2+bx+c(a＞0)；②借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中a，b，c满足的条件，列表如下:方程根的几何意义:请将(2)补充完整方程两根的情况对应的二次函数的大致图象a，b，c满足的条件方程有两个不相等的负实根方程有两个不相等的正实根(1)参考小明的做法，把上述表格补充完整；(2)若一元二次方程mx2﹣(2m+3)x﹣4m=0有一个负实根，一个正实根，且负实根大于﹣1，求实数m的取值范围．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B(A在B 的左侧)．(1)抛物线的对称轴为直线x=﹣3，AB=4．求抛物线的表达式；(2)平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；(3)当m=4时，抛物线上有两点M(x1，y1)和N(x2，y2)，若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．28．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD为AB边上的中线．在Rt△AEF中，∠AEF=90°，AE=EF，AF＜AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN．(1)如图1，点F在△ABC内，求证:CD=MN；(2)如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并加以证明；(3)将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC=a，AF=b(b＜a)，直接写出EN的最大值与最小值．29．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义:对于⊙C及⊙C外一点P，M，N 是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”．(1)如图，⊙O的半径为1，①已知点A(1，1)，直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y=2，直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”；②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；(2)⊙C的半径为1，①点C的坐标为(1，2)，直线l:y=kx+b(k＞0)经过点D(﹣2+1，0)，若直线l关于⊙C的“视角”为60°，求k的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y=x+关于⊙C的“视角”大于12020直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．2020-2021学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．抛物线y=(x﹣1)2+2的对称轴为()A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=2 D．直线x=﹣2【考点】二次函数的性质．【分析】由抛物线解析式可求得答案．【解答】解:∵y=(x﹣1)2+2，∴对称轴为直线x=1，故选A．2．我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是()A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解:A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确；D、轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选C．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长度为()A．2 B．8 C．D．【考点】解直角三角形．【分析】根据角的正切值与三角形边的关系求解．【解答】解:∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∴tanA===，∴BC=2．故选A．4．将抛物线y=﹣3x2平移，得到抛物线y=﹣3 (x﹣1)2﹣2，下列平移方式中，正确的是()A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【解答】解:∵y=﹣3x2的顶点坐标为(0，0)，y=﹣3(x﹣1)2﹣2的顶点坐标为(1，﹣2)，∴将抛物线y=﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y=﹣3(x﹣1)2﹣2．故选D．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A(1，2)，B(2，0)，D(5，0)，则点A的对应点C的坐标是()A．(2，5) B．(，5) C．(3，5) D．(3，6)【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点坐标的关系．【解答】解:∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B(2，0)，D(5，0)，∴=，∵A(1，2)，∴C(，5)．故选:B．6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADB的度数为()A．55°B．45°C．35°D．25°【考点】圆周角定理．【分析】推出Rt△ABC，求出∠B的度数，由圆周角定理即可推出∠ADC的度数．【解答】解:∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=55°，∴∠B=35°，∴∠ADC=∠B=35°．故选C．7．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为()A．5 B．C．3 D．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】设⊙O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值．【解答】解:设⊙O的半径为r，则OA=r，OC=r﹣1，∵OD⊥AB，AB=4，∴AC=AB=2，在Rt△ACO中，OA2=AC2+OC2，∴r2=22+(r﹣1)2，r=，故选D．8．制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料．右图是一段弯形管道，其中∠O=∠O’=90°，中心线的两条弧的半径都是1000mm，这段变形管道的展直长度约为(取π3.14)()A．9280mm B．6280mm C．6140mm D．457mm【考点】弧长的计算．【分析】先计算出扇形的弧长再加上直管道的长度3000即可．【解答】解:图中管道的展直长度=2×+3000=1000π+3000≈1000×3.14+3000=6140mm．故选C．9．当太阳光线与地面成40°角时，在地面上的一棵树的影长为10m，树高h(单位:m)的范围是()A．3＜h＜5 B．5＜h＜10 C．10＜h＜15 D．15＜h＜2020考点】平行投影．【分析】利用坡度算出坡角最大或最小时树高的范围即可．【解答】解:AC=10．①当∠A=30°时，BC=ACtan30°=10×≈5.7．②当∠A=45°时，BC=ACtan45°=10．∴5.7＜h＜10，故选B．10．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B (0，3)，则a的取值范围是()A．a＜0 B．﹣3＜a＜0 C．a＜ D．＜a＜【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．【分析】根据图象得出a＜0，b＞0，由抛物线与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B (0，3)，得出a+b=﹣3，得出﹣3＜a＜0即可．【解答】解:根据图象得:a＜0，b＞0，∵抛物线与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B (0，3)，∴，∴a+b=﹣3，∵b＞0，∴﹣3＜a＜0，故选:B．二、填空题(本题共18分，每小题3分)11．二次函数y=x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为1．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点得到△=(﹣2)2﹣4m=0，然后解关于m的方程即可．【解答】解:根据题意得△=(﹣2)2﹣4m=0，解得m=1．故答案为1．12．如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件是EF∥BC(写出一个即可)【考点】相似三角形的判定．【分析】利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似进行添加条件．【解答】解:当EF∥BC时，△AEF∽△ABC．故答案为EF∥BC．13．如图，⊙O 的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，若∠APB=60°，则△PAB的周长为3．【考点】切线的性质．【分析】根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB，推出△PAB是等边三角形，根据直角三角形的性质得到PA=AO=，于是得到结论．【解答】解:∵PA、PB是半径为1的⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB，而∠APB=60°，∴∠APO=30°，△PAB是等边三角形，∴PA=AO=，∴△PAB的周长=．故答案为:3．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=kx+m(k≠0)的抛物线y2=ax2+bx+c(a ≠0)交于点A(0，4)，B(3，1)，当y1≤y2时，x的取值范围是0≤x≤3．【考点】二次函数与不等式(组)．【分析】根据函数图象以及点A、B的坐标，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．【解答】解:∵两函数图象交于点A(0，4)，B(3，1)，∴当y1≤y2时，x的取值范围是0≤x≤3．故答案为:0≤x≤3．15．如图，在△ABC中，∠BAC=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，连接C'C．若C'C∥AB，则∠BAB'=50°．【考点】旋转的性质；平行线的性质．【分析】根据旋转的性质得AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C=∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′∥AB得∠ACC′=∠CAB=65°，则∠AC′C=∠ACC′=65°，再根据三角形内角和计算出∠CAC′=50°，所以∠B′AB=50°．【解答】解:解:∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，∴AC′=AC，∠B′AB=∠C′A C，∴∠AC′C=∠ACC′，∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∴∠AC′C=∠ACC′=65°，∴∠CAC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠B′AB=50°，故答案为50．16．考古学家发现了一块古代圆形残片如图所示，为了修复这块残片，需要找出圆心．(1)请利用尺规作图确定这块残片的圆心O；(2)写出作图的依据:线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆．【考点】作图—应用与设计作图；垂径定理的应用．【分析】(1)直接在圆形残片上确定3点，进而作出两条垂直平分线的交点得出圆心即可；(2)利用垂直平分线的性质得出圆心的位置．【解答】(1)如图所示，点O即为所求作的圆心；(2)作图的依据:线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆．三、解答题(本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算:4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解:原式=4×﹣3×+2××=1﹣．18．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．(1)求证:∠AEB=∠ADC；(2)连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．【分析】(1)由等边三角形的性质知∠BAC=60°，AB=AC，由旋转的性质知∠DAE=60°，AE=AD，从而得∠EAB=∠DAC，再证△EAB≌△DAC可得答案；(2)由∠DAE=60°，AE=AD知△EAD为等边三角形，即∠AED=60°，继而由∠AEB=∠ADC=105°可得．【解答】解:(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，∴∠DAE=60°，AE=AD．∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC．∴∠EAB=∠DAC．在△EAB和△DAC中，∵，∴△EAB≌△DAC．∴∠AEB=∠ADC．(2)如图，∵∠DAE=60°，AE=AD，∴△EAD为等边三角形．∴∠AED=60°，又∵∠AEB=∠ADC=105°．∴∠BED=45°．19．已知二次函数y=x2+4x+3．(1)用配方法将二次函数的表达式化为y=a (x﹣h)2+k 的形式；(2)在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；(3)根据(2)中的图象，写出一条该二次函数的性质．【考点】二次函数的三种形式；二次函数的图象．【分析】(1)利用配方法把二次函数解析式配成顶点式；(2)利用描点法画出二次函数图象；(3)利用二次函数的性质求解．【解答】解:(1)y=x2+4x+3=x2+4x+22﹣22+3=(x+2)2﹣1；(2)列表:x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…30﹣103…如图，(3)当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大．2020图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=∠B．点E在AD边上，CD=CE．(1)求证:△ABD∽△CAE；(2)若AB=6，AC=，BD=2，求AE的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】(1)由CE=CD，推出∠CDE=∠CED，推出∠ADB=∠CEA，由∠DAC=∠B，即可证明．(2)由(1)△ABD∽△CAE，得到，把AB=6，AC=，BD=2，代入计算即可解决问题．【解答】(1)证明:∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．∴∠ADB=∠CEA．∵∠DAC=∠B，∴△ABD∽△CAE．(2)解:由(1)△ABD∽△CAE，∴．∵AB=6，AC=，BD=2，∴AE=．21．一张长为30cm，宽2020的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．【考点】一元二次方程的应用；展开图折叠成几何体．【分析】设剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为(30﹣2x)cm，宽为(2020x)cm，然后根据底面积是81cm2即可列出方程求出即可．【解答】解:设剪掉的正方形纸片的边长为x cm．由题意，得(30﹣2x)(2020x)=264．整理，得x2﹣25x+84=0．解方程，得x1=4，x2=21(不符合题意，舍去)．答:剪掉的正方形的边长为4cm．22．一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．(1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．【考点】二次函数的应用．【分析】(1)以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示，利用待定系数法即可解决问题．(1)求出x=1时的y的值，与4.4+0.5比较即可解决问题．【解答】解:(1)本题答案不唯一，如:以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示．∴A(﹣4，0)，B(4，0)，C(0，6)．设这条抛物线的表达式为y=a(x﹣4)(x+4)．∵抛物线经过点C，∴﹣16a=6．∴a=﹣∴抛物线的表达式为y=﹣x2+6，(﹣4≤x≤4)．(2)当x=1时，y=，∵4.4+0.5=4.9＜，∴这辆货车能安全通过这条隧道．23．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD=∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB=弧CE，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．(1)求证:DC是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，sinD=，求线段AF的长．【考点】切线的判定；圆周角定理；解直角三角形．【分析】(1)连接OC，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2．得到∠DCB+∠3=90°．于是得到结论；(2)根据三角函数的定义得到OD=5，AD=8．根据圆周角定理得到∠2=∠4．推出OC∥AF．根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】(1)证明:连接OC，BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．∵OA=OC，∴∠1=∠2．∵∠DCB=∠BAC=∠1．∴∠DCB+∠3=90°．∴OC⊥DF．∴DF是⊙O的切线；(2)解:在Rt△OCD中，OC=3，sinD=．∴OD=5，AD=8．∵=，∴∠2=∠4．∴∠1=∠4．∴OC∥AF．∴△DOC∽△DAF．∴．∴AF=．24．测量建筑物的高度在《相似》和《锐角三角函数》的学习中，我们了解了借助太阳光线、利用标杆、平面镜等可以测量建筑物的高度．综合实践活动课上，数学王老师让同学制作了一种简单测角仪:把一根细线固定在量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物(如图1)；将量角器拿在眼前，使视线沿着量角器的直径刚好看到需测量物体的顶端，这样可以得出需测量物体的仰角α的度数(如图2，3)．利用这种简单测角仪，也可以帮助我们测量一些建筑物的高度．天坛是世界上最大的祭天建筑群，1998年被确认为世界…文化遗产．它以严谨的建筑分布，奇特的建筑构造和瑰丽的建筑装饰闻名于世．祈年殿是天坛主体建筑，又称祈谷殿(如图4)．采用的是上殿下屋的构造形式，殿为圆形，象征天圆；瓦为蓝色，象征蓝天．祈年殿的殿座是圆形的祈谷坛．请你利用所学习的数学知识，设计一个测量方案，解决“测量天坛祈年殿的高度”的问题．要求:(1)写出所使用的测量工具；(2)画出测量过程中的几何图形，并说明需要测量的几何量；(3)写出求天坛祈年殿高度的思路．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意画出图形，根据正切的概念解答即可．【解答】解:(1)测量工具有:简单测角仪，测量尺；(2)设CD表示祈年殿的高度，测量过程的几何图形如图所示；需要测量的几何量如下:①在点A，点B处用测角仪测出仰角α，β；②测出A，B两点之间的距离s；(3)设CD的高度为x m．在Rt△DBC中，，在Rt△DAC中，，∵AB=AC﹣BC，∴，解得，x=．25．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM．(1)求证:AM=BM；(2)若AM⊥BM，DE=8，∠N=15°，求BC的长．【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．【分析】(1)由垂径定理可求得AF=BF，可知DE为AB的垂直平分线，可得AM=BM；(2)连接AO，BO，可求得∠ACB=60°，可求得∠AOF，由DE的长可知AO，在Rt △AOF中得AF，在Rt△AMF中可求得AM，在Rt△ACM中，由，可求得CM，则可求得BC的长．【解答】(1)证明:∵直径DE⊥AB于点F，∴AF=BF，∴AM=BM；(2)连接AO，BO，如图，由(1)可得AM=BM，∵AM⊥BM，∴∠MAF=∠MBF=45°，∴∠CMN=∠BMF=45°，∵AO=BO，DE⊥AB，∴∠AOF=∠BOF=，∵∠N=15°，∴∠ACM=∠CMN+∠N=60°，即∠ACB=60°，∵∠ACB=．∴∠AOF=∠ACB=60°．∵DE=8，∴AO=4．在Rt△AOF中，由，得AF=，在Rt△AMF中，AM=BM==．在Rt△ACM中，由，得CM=，∴BC=CM+BM=+．26．阅读下列材料:有这样一个问题:关于x 的一元二次方程a x2+bx+c=0(a＞0)有两个不相等的且非零的实数根．探究a，b，c满足的条件．小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小明的探究过程:①设一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)对应的二次函数为y=ax2+bx+c(a＞0)；②借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中a，b，c满足的条件，列表如下:方程根的几何意义:请将(2)补充完整a，b，c满足的条件方程两根的情况对应的二次函数的大致图象方程有两个不相等的负实根方程有一个负实根，一个正实根方程有两个不相等的正实根(1)参考小明的做法，把上述表格补充完整；(2)若一元二次方程mx 2﹣(2m +3)x ﹣4m=0有一个负实根，一个正实根，且负实根大于﹣1，求实数m 的取值范围．【考点】抛物线与x 轴的交点；二次函数图象与系数的关系．【分析】(1)由二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数与系数的关系容易得出答案；(2)根据题意得出关于m 的不等式组，解不等式组即可． 【解答】解:(1)补全表格如下:方程两根的情况二次函数的大致图象得出的结论方程有一个负实根，一个正实根故答案为:方程有一个负实根，一个正实根，，；(2)解:设一元二次方程mx 2﹣(2m +3)x ﹣4m=0对应的二次函数为:y=x 2﹣(2m +3)x ﹣4m ，∵一元二次方程mx 2+(2m ﹣3)x ﹣4=0有一个负实根，一个正实根， 且负实根大于﹣1， ∴解得0＜m ＜2．∴m 的取值范围是0＜m ＜2．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B(A在B 的左侧)．(1)抛物线的对称轴为直线x=﹣3，AB=4．求抛物线的表达式；(2)平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；(3)当m=4时，抛物线上有两点M(x1，y1)和N(x2，y2)，若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】(1)先根据抛物线和x轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式；(2)根据平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质求出抛物线解析式；(3)根据抛物线的解析式判断出点M，N的大概位置，再关键点M，N的横坐标的范围即可得出结论．【解答】解:(1)抛物线y=﹣x2+mx+n的对称轴为直线x=﹣3，AB=4．∴点A(﹣5，0)，点B(﹣1，0)．∴抛物线的表达式为y=﹣(x+5)( x+1)∴y=﹣x2﹣6x﹣5．(2)如图1，依题意，设平移后的抛物线表达式为:y=﹣x2+bx．∴抛物线的对称轴为直线，抛物线与x正半轴交于点C(b，0)．∴b＞0．记平移后的抛物线顶点为P，∴点P的坐标(，﹣+)，∵△OCP是等腰直角三角形，∴=﹣∴b=2．∴点P的坐标(1，1)．(3)如图2，当m=4时，抛物线表达式为:y=﹣x2+4x+n．∴抛物线的对称轴为直线x=2．∵点M(x1，y1)和N(x2，y2)在抛物线上，且x1＜2，x2＞2，∴点M在直线x=2的左侧，点N在直线x=2的右侧．∵x1+x2＞4，∴2﹣x1＜x2﹣2，∴点P到直线x=2的距离比点M到直线x=2的距离比点N到直线x=2的距离近，∴y1＞y2．28．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD为AB边上的中线．在Rt△AEF中，∠AEF=90°，AE=EF，AF＜AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN．(1)如图1，点F在△ABC内，求证:CD=MN；(2)如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并加以证明；(3)将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC=a，AF=b(b＜a)，直接写出EN的最大值与最小值．【考点】几何变换综合题．【分析】(1)利用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半和三角形的中位线即可；(2)构造出△EMN≌△DNC进而利用互余即可得出结论；(3)借助(2)的结论，先判断出点N是以点D为圆心，为半径的圆上，即可得出结论．【解答】解:(1)证明:在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的中线．∴CD=AB．在△ABF中，点M，N分别是边AF，BF的中点，∴MN=AB，∴CD=MN．(2)答:CN与EN的数量关系CN=EN，CN与EN的位置关系CN⊥EN．证明:连接EM，DN，如图．与(1)同理可得CD=MN，EM=DN．在Rt△ABC中，CD是斜边AB边上的中线，∴CD⊥AB．在△ABF中，同理可证EM⊥AF．∴∠EMF=∠CDB=90°．∵D，M，N分别为边AB，AF，BF的中点，∴DN∥AF，MN∥AB．∴∠FMN=∠MND，∠BDN=∠MND．∴∠FMN=∠BDN．∴∠EMF+∠FMN=∠CDB+∠BCN．∴∠EMN=∠NDC．∴△EMN≌△DNC．∴CN=EN，∠1=∠2．∵∠1+∠3+∠EMN=10°，∴∠2+∠3+∠FMN=90°．∴∠2+∠3+∠DNM=90°，即∠CNE=90°．∴CN⊥EN．(3)点N是以点D为圆心，为半径的圆上，在Rt△ABC中，AC=BC=a，∴AB=a，∵CD为AB边上的中线．∴CD=AB=，∴CN最大=CD+=，CN最小=CD﹣=由(2)知，EN=CN，∴EN最大=，EN最小=即:EN的最大值为，最小值为．29．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义:对于⊙C及⊙C外一点P，M，N 是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”．(1)如图，⊙O的半径为1，①已知点A(1，1)，直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y=2，直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”；②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；(2)⊙C的半径为1，①点C的坐标为(1，2)，直线l:y=kx+b(k＞0)经过点D(﹣2+1，0)，若直线l关于⊙C的“视角”为60°，求k的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y=x+关于⊙C的“视角”大于12020直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．。

2021-2022学年北京市密云区九年级(上)期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年北京市密云区九年级(上)期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年北京市密云区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题。

（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的。

1．如果4m＝5n（n≠0），那么下列比例式成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝2．已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外部，则OP需要满足的条件是（）A．OP＞4B．0≤OP＜4C．OP＞2D．0≤OP＜23．抛物线y＝（x﹣1）2+2的对称轴是（）A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝﹣2D．直线x＝24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则tan A的值为（）A．B．C．D．5．如图，身高1.6米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE的长是2米，则路灯AB的高为（）A．5米B．6.4米C．8米D．10米6．如图，在⊙O中，C、D为⊙O上两点，AB是⊙O的直径，已知∠AOC＝130°，则∠BDC的度数为（）A．65°B．50°C．30°D．25°7．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则△ABC的面积与△DEF的面积比为（）A．B．C．2D．48．如图，一个矩形的长比宽多3cm，矩形的面积是Scm2．设矩形的宽为xcm，当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（）A．S＝4x+6B．S＝4x﹣6C．S＝x2+3x D．S＝x2﹣3x二、填空题。

（本题共16分，每小题2分）9．如果，那么锐角A的度数为．10．点A（2，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝﹣图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是y1y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）11．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长为8π，则正六边形的边长为．12．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣5）的抛物线的表达式．13．已知扇形的圆心角为120°，其半径为3，则该扇形的面积为．14．如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图．托板AB固定在支撑板顶端的点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．如图2，若量得支撑板长CD＝8cm，∠CDE＝60°，则点C到底座DE的距离为cm．（结果保留根号）15．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝．16．如图，抛物线y＝﹣x2+2．将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作C1，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作C2，C1和C2构成的图形记作C3．关于图形C3，给出如下四个结论：①图形C3关于y轴成轴对称；②图形C3有最小值，且最小值为0；③当x＞0时，图形C3的函数值都是随着x的增大而增大的；④当﹣2≤x ≤2时，图形C3恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．以上四个结论中，所有正确结论的序号是．三、解答题。

2022-2023学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷+答案解析(附后)

2022-2023学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷+答案解析(附后)

2022-2023学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷1. 刺绣是中国民间传统手工艺之一．下列刺绣图案中，是中心对称图形的为( )A. B.C. D.2. 点关于原点对称的点的坐标为( )A. B. C. D.3. 二次函数的图象向左平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为( )A. B.C. D.4. 如图，已知正方形ABCD，以点A为圆心，AB长为半径作，点C与的位置关系为( )A. 点C在外B. 点C在内C. 点C在上D. 无法确定5. 若点，在抛物线上，则m的值为( )A. 2B. 1C. 0D.6. 勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由三段圆弧组成的曲边三角形．如图，该勒洛三角形绕其中心O旋转一定角度a后能与自身重合，则该角度a可以为( )A. B.C. D.7. 如图，过点A作的切线AB，AC，切点分别是B，C，连接过上一点D作的切线，交AB，AC于点E，若，的周长为4，则BC的长为( )A. 2B.C. 4D.8. 遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动．如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从F口驶出的概率是( )A. B. C. D.9. 二次函数的图象与y轴的交点坐标为_____________.10. 半径为3，圆心角120度的扇形面积为__________.11. 如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．投篮次数n50100150200300400500投中次数m284978102153208255投中频率根据以上数据，估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为__________.12. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为__________.13. 二次函数的图象如图所示，则ab__________填“>”“<”或“=”14. 如图，是的内接三角形，于点E，若的半径为，，则__________.15. 对于二次函数，y与x的部分对应值如表所示．x在某一范围内，y 随x的增大而减小，写出一个符合条件的x的取值范围__________.X…0123…y…1331…16. 如图，AB，AC，AD分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，下面四个结论中，①该圆的半径为2；②的长为；③AC 平分；④连接BC，CD，则与的面积比为1：，所有正确结论的序号是__________.17. 解方程：18. 已知抛物线过点和，求该抛物线的解析式．19. 已知a为方程的一个根，求代数式的值．20. 如图，四边形ABCD内接于，AB为直径，若，求的度数．21. 为了发展学生的兴趣爱好，学校利用课后服务时间开展了丰富的社团活动．小明和小天参加的篮球社共有甲、乙、丙三个训练场．活动时，每个学生用抽签的方式从三个训练场中随机抽取一个场地进行训练．小明抽到甲训练场的概率为____；用列表或画树状图的方法，求小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的概率．22. 已知：如图，AP是的切线，A为切点．求作：的另一条切线PB，B为切点．作法：以P为圆心，PA长为半径画弧，交于点B；作直线直线PB即为所求．根据上面的作法，补全图形保留作图痕迹；完成下面证明过程．证明：连接OA，OB，是的切线，A为切点，在与中，( )≌于点是的半径，是的切线____填推理的依据23. 紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及，使用方法如图当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知A，B 两点在上，直线l过点O，且于点D，交于点若，，求这个紫砂壶的壶口半径r的长．24. 如图，AB是的直径，点C在上．过点C作的切线l，过点B作于点求证：BC 平分；连接OD，若，，求OD的长．25. 学校举办“科技之星”颁奖典礼，颁奖现场入口为一个拱门．小明要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”四个大字如图，其中，“科”与“星”距地面的高度相同，“技”与“之”距地面的高度相同，他发现拱门可以看作是抛物线的一部分，四个字和五角星可以看作抛物线上的点．通过测量得到拱门的最大跨度是10米，最高点的五角星距地面米．请在图2中建立平面直角坐标系xOy，并求出该抛物线的解析式；“技”与“之”的水平距离为2a米．小明想同时达到如下两个设计效果：①“科”与“星”的水平距离是“技”与“之”的水平距离的2倍；②“技”与“科”距地面的高度差为米．小明的设计能否实现？若能实现，直接写出a的值；若不能实现，请说明理由．26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点求用含a的式子表示；抛物线过点，，，①判断：____填“>”“<”或“=”；②若M，N，P恰有两个点在x轴上方，求a的取值范围．27. 如图，在中，，是AB边上一点，交CA的延长线于点用等式表示AD与AE的数量关系，并证明；连接BE，延长BE至F，使连接DC，CF，①依题意补全图形；②判断的形状，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段AB，若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB有公共点，则称点P为线段AB的融合点．已知，，①在点，，中，线段AB的融合点是____；②若直线上存在线段AB的融合点，求t的取值范围；对称线段为若对于实数a，存在直线l，使得上有的融合点，直接写出a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、C、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项B中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：2.【答案】A【解析】【分析】根据关于原点对称的两个点的坐标特征判断即可．【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是故选：3.【答案】D【解析】【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：，将二次函数的图象在平面直角坐标系中向左平移1个单位长度所得函数解析式为：，故选：4.【答案】A【解析】【分析】根据正方形的性质得到，于是得到结论．【解答】解：正方形ABCD的对角线，点C在外，故选：5.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的对称性即可求解．【解答】解：因为点，的纵坐标相同，都是5，所以对称轴为直线，故m的值为故选：6.【答案】C【解析】【分析】由于是等边三角形，那么，所以要使等边三角形旋转后与自身重合，那么它们就是旋转角，而它们的和为，由此即可求出绕中心旋转的角度．【解答】解：如图，连接OA、OB、是等边三角形，，它们都是旋转角，而它们的和为，将该勒洛三角形绕其中心O旋转后能与自身重合．故选：7.【答案】B【解析】【分析】根据切线长定理得到，再根据切线长定理、三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：、AC为的切线，，、FC为的切线，，同理，，的周长，，故选：8.【答案】B【解析】【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中该赛车从F口驶出的结果有1种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，其中该赛车从F口驶出的结果有1种，该赛车从F口驶出的概率为，故选：9.【答案】【解析】【分析】将代入解析式求解．【解答】解：将代入得，抛物线与y轴交点坐标为，故答案为：10.【答案】【解析】【分析】根据扇形的面积公式计算即可．【解答】解：，故答案为：11.【答案】【解析】【分析】根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案．【解答】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数附近，这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为，故答案为：12.【答案】【解析】【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，建立关于m 的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：方程有两个不相等的实数根，，，，解得，故答案为：13.【答案】<【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：由图象可知：，，，故答案为：14.【答案】1【解析】【分析】连接AO，BO，根据圆周角定理得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接AO，BO，，，，，，，，故答案为：15.【答案】【解析】【分析】根据表格确定二次函数的对称轴，然后结合x、y的值确定答案即可．【解答】解：观察表格知：二次函数的图象经过点和，对称轴为，当时，y随x的增大而减小，故答案为：16.【答案】①③④【解析】【分析】设圆的圆心是O，半径是r，连接OA，OB，OC，OD，作交AB延长线于M，于N，应用圆内接正多边形的性质，圆周角定理，弧长计算公式，三角形面积的计算公式，可以解决问题．【解答】解：设圆的圆心是O，半径是r，连接OA，OB，OC，OD，作交AB延长线于M，于N，是圆内接正六边形的一边，的度数，是等边三角形，，该圆的半径为是圆内接正方形的一边，的度数，的度数，是圆内接正三边形的一边，的度数，的度数，，，平分的长，，，中，，，平分，，，，：：正确的有①③④．故答案为：①③④．17.【答案】解：，，即，，，【解析】利用配方法求解即可．18.【答案】解：抛物线过点和，，解得，所以，该二次函数的解析式为【解析】将，代入求得b，c的值，得到此函数的解析式．19.【答案】解：原式为方程的一个根，，原式【解析】直接利用平方差公式以及单项式乘多项式计算，进而合并同类项，把已知数据整体代入得出答案．20.【答案】解：如图，连接，，，为直径，，【解析】【分析】连接AC，根据圆周角定理得到，再利用AB为直径得到，然后利用直角三角形两锐角互余计算的度数．21.【答案】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的结果有3种，小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的概率为【解析】【分析】直接由概率公式求解即可；画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的结果有3种，再由概率公式求解即可.22.【答案】解：如图，PB为所作；；经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线【解析】【分析】根据几何语言画出对应的几何图形即可；先根据切线的性质得再证明≌得到，然后根据切线的判定定理得到PB是的切线．23.【答案】解：连接OB，若，在中，，，，，解得答：这个紫砂壶的壶口半径r的长为【解析】【分析】连接OB，根据垂径定理求出BD，在中，根据勾股定理即可求出24.【答案】证明：连接，是的切线，OC是的半径，，，，，平分解：连接OD，过点O作于点G，得矩形OCDG，在中，，设，，则，，在中，根据勾股定理得：【解析】【分析】连接OC，由题意可证，进而证明BC平分；连接OD，过点O作于点G，得矩形OCDG，可得，由勾股定理求出OB的长，再由勾股定理可得出答案．25.【答案】解：以过拱顶为原点，以过拱顶平行于地面的直线为x轴建立如图所示坐标系.设抛物线解析式为，抛物线过点，，解得，抛物线解析式为能实现，由知抛物线解析式为，设“之”的坐标为，则“星”的坐标为，，，，解得，，，能实现，【解析】【分析】建立如图所示坐标系，由待定系数法求函数解析式即可；根据题意求出“之”和“星”的坐标，然后求出a 的值即可．26.【答案】解：将代入抛物线表达式得：，解得：由得，抛物线的表达式为：，则抛物线的对称轴为直线，将点M 、N 、P 的坐标代入抛物线表达式得：，，，①，故答案为：②当时，由点M、N、P的坐标知，点N的函数值最小，则点M、P在x轴上方，即且，解得：当时，同理可得：点N、P在x轴上方，即且，解得：；综上所述，a的取值范围的为：或【解析】【分析】将代入抛物线表达式得：，即可求解；①，即可求解；②当时，由点M、N、P的坐标知，点N的函数值最小，则点M、P在x轴上方，进而求解；当时，同理可解．27.【答案】解：结论：理由：，，，，，①图形如图所示：②结论：是等边三角形．证明：延长BA至点H使，连接CH，FH，如图.，，是等边三角形.，，，，，，，≌，是等边三角形.【解析】【分析】结论：利用直角三角形30度角的性质证明即可；①根据要求作出图形即可；②结论：是等边三角形．延长BA至点H使，连接CH，FH，.证明≌，推出，，可得结论．28.【答案】解：①，②线段AB的融合点在以A、B为圆心，AB为半径的圆及内部，，，，当与圆相切时，或，当时，直线上存在线段AB 的融合点．由可知，的融合点在以、为圆心，为圆心的圆及内部，，，上有的融合点，圆O 与圆、有交点，圆O 与圆、圆的公共区域为以O 为圆心2为半径，以O 为圆心6为半径的圆环及内部区域，当时，a 的最大值为，最小值为，；当时，a 的最大值为，最小值为，综上所述：a 的取值范围为或【解析】【分析】①，，的线段垂直平分线与x 轴的交点为，是线段AB的融合点．，，设直线的垂直平分线与x轴的交点为，，解得，直线的垂直平分线与x轴的交点为，不是线段AB的融合点．，，设直线的垂直平分线与x轴的交点为，，解得，直线的垂直平分线与x轴的交点为，是线段AB的融合点．故答案为：，②线段AB的融合点在以A、B为圆心，AB为半径的圆及内部，当与圆有交点时，直线上存在线段AB的融合点；由可知，的融合点在以、为圆心，为圆心的圆及内部，圆O与圆、圆的公共区域为以O为圆心2为半径，以O为圆心6为半径的圆环及内部区域满足题意，当时，a的最大值为，最小值为，当时，a的最大值为，最小值为，由此可求a的取值范围为或。

2023-2024学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是.()A. B. C. D.2.抛物线的顶点坐标是.()A. B. C. D.3.若关于x的一元二次方程有一个根为1，则m的值为.()A.3B.0C.D.4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线如图所示，则关于x的方程的根的情况为.()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有实数根D.没有实数根5.如图，在中，AB为直径，C，D为圆上的点，若，则的大小为.()A. B. C. D.6.如图，的半径为2，将的内接正六边形ABCDEF绕点O顺时针旋转，第一次与自身重合时，点A 经过的路径长为.()A.2B.C.D.7.林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下：移植总数m1027075015003500700014000成活数n823566213353180629212628成活的频率结果保留小数点后三位下列说法正确的是.()A.若移植10棵幼树，成活数将为8棵B.若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵C.移植的幼树越多，成活率越高D.随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为8.如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论：①一个圆的“半径三角形”有无数个；②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是，或；④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为上述结论中，所有正确结论的序号是.()A.①②B.②③C.①②③D.①②④二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。

北京市昌平区2021-2022年九年级上册数学期末测试卷(含答案解析)

北京市昌平区2021-2022年九年级上册数学期末测试卷(含答案解析)
（1）补全图形；
（2）连接OC，求证：∠COP=∠COQ；
（3）连接CD，CD交OP于点F，请你写出一个∠DAB的值，使CD=OB+OC一定成立，并证明
A （0，﹣2）B.（﹣2，0）C.（0，2）D.（2，0）
4.已知反比例函数 的图象经过点 ，则 的值为（）
A. B. C. D.
5.如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠BAD＝（ ）
A.30°B.40°C.50°D.60°
6.如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则⊙O的半径为（）
（2）过点P（n，0）且垂直于x轴的直线与一次函数图象，反比例函数图象的交点分别为M，N，当S△OPM＞S△OPN时，直接写出n的取值范围
23.居庸关位于距北京市区50余公里外的昌平区境内，是京北长城沿线上的著名古关城，有“天下第一雄关”的美誉某校数学社团的同学们使用皮尺和测角仪等工具，测量南关主城门上城楼顶端距地面的高度，下表是小强填写的实践活动报告的部分内容：请你帮他计算出城楼的高度AD（结果精确到0.1m，sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700）
19.已知：二次函数y=x2－4x+3
（1）求出二次函数图象的顶点坐标及与x轴交点坐标；
（2）在坐标系中画出图象，并结合图象直接写出y＜0时，自变量x的取值范围
20.如图，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AD⊥BC于点D且tan∠CAD＝ ，求BC的长
21.已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC
∴∠_________＝∠_________
∴∠BAC＝ ∠CAD
∵点D，P在⊙A上，
∴∠CPD＝ ∠CAD（______________________）（填推理的依据）
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北京市数学九年级上册期末试卷（解析版）一、选择题1．二次函数y ＝x 2﹣6x 图象的顶点坐标为（ ） A ．（3，0）B ．（﹣3，﹣9）C ．（3，﹣9）D ．（0，﹣6）2．如图，四边形ABCD 内接于O ，若40A ∠=︒，则C ∠=（ ）A ．110︒B ．120︒C ．135︒D ．140︒3．在△ABC 中，若|sinA ﹣12|+（22﹣cosB ）2=0，则∠C 的度数是（ ） A ．45°B ．75°C ．105°D ．120°4．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若AD =1，BD =2，则DEBC的值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．195．若直线l 与半径为5的O 相离，则圆心O 与直线l 的距离d 为（ ）A ．5d <B ．5d >C ．5d =D ．5d ≤6．为了比较甲乙两足球队的身高谁更整齐，分别量出每人身高，发现两队的平均身高一样，甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4，则下列说法正确的是（ ） A ．甲、乙两队身高一样整齐 B ．甲队身高更整齐C ．乙队身高更整齐D ．无法确定甲、乙两队身高谁更整齐7．如图，⊙O 的直径BA 的延长线与弦DC 的延长线交于点E ，且CE ＝OB ，已知∠DOB ＝72°，则∠E 等于（ ）A ．18°B ．24°C ．30°D ．26°8．已知一组数据共有20个数，前面14个数的平均数是10，后面6个数的平均数是15，则这20个数的平均数是（ ） A ．23B ．1.15C ．11.5D ．12.59．如图示，二次函数2y x mx =-+的图像与x 轴交于坐标原点和()4,0，若关于x 的方程20x mx t -+=（t 为实数）在15x <<的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．53t -<<B ．5t >-C ．34t <≤D ．54t -<≤ 10．数据3、4、6、7、x 的平均数是5，这组数据的中位数是（ ）A ．4B ．4.5C ．5D ．611．若关于x 的一元二次方程240kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．16k ≤B ．116k ≤C ．1,16k ≤且0k ≠ D ．16,k ≤ 且0k ≠ 12．已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ） A ．-2B ．2C ．-3D ．313．如图，AB ，AM ，BN 分别是⊙O 的切线，切点分别为 P ，M ，N ．若 MN ∥AB ，∠A ＝60°，AB ＝6，则⊙O 的半径是（ ）A ．32B ．3C ．323D 314．下表是二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分x ，y 的对应值： x… ﹣1﹣120 121322523 …y … 2 m﹣1﹣74 ﹣2 ﹣74﹣1 142 …可以推断m 的值为（ ） A ．﹣2B ．0C ．14D ．215．已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），AB=4，那么AP 的长是（ ） A ．252-B ．25-C ．251-D ．52-二、填空题16．若方程2410x x -+=的两根12,x x ，则122(1)x x x 的值为__________． 17．如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC ，若点A 、D 、E 在同一条直线上，∠ACD ＝70°，则∠EDC 的度数是_____．18．如图，四边形的两条对角线AC 、BD 相交所成的锐角为60︒，当8AC BD +=时，四边形ABCD 的面积的最大值是______.19．在比例尺为1∶500 000的地图上，量得A 、B 两地的距离为3 cm ，则A 、B 两地的实际距离为_____km ．20．已知三点A （0，0），B （5，12），C （14，0），则△ABC 内心的坐标为____． 21．如图，在Rt △ABC 中，BC AC ⊥，CD 是AB 边上的高，已知AB ＝25，BC ＝15，则BD ＝__________．22．当a≤x≤a+1时，函数y=x 2﹣2x+1的最小值为1，则a 的值为_____．23．如图，已知正方ABCD 内一动点E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为13+这个正方形的边长为_____________24．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表， x 6.17 6.18 6.19 6.20 y﹣0.03﹣0.010.020.04则方程ax 2+bx+c ＝0的一个解的范围是_____．25．若32x y =，则x y y+的值为_____． 26．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若点()11,A y ，()23,B y 是图象上的两点，则1y ____2y (填“>”、“<”、“=”).27．有一块三角板ABC ，C ∠为直角，30ABC ∠=︒，将它放置在O 中，如图，点A 、B 在圆上，边BC 经过圆心O ，劣弧AB 的度数等于_______︒28．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点 A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的格点上，AB 、CD 相交于点E ，则sin ∠AEC 的值为_____．29．某计算机程序第一次算得m 个数据的平均数为x ，第二次算得另外n 个数据的平均数为y ，则这m n 个数据的平均数等于______. 30．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，tan A ＝34，将Rt △ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△DEC ，点F 是DE 上一动点，以点F 为圆心，FD 为半径作⊙F ，当FD ＝_____时，⊙F 与Rt △ABC 的边相切．三、解答题31．如图，平行四边形ABCD 中，30B ∠=︒，过点A 作AE BC ⊥于点E ，现将ABE ∆沿直线AE 翻折至AFE ∆的位置，AF 与CD 交于点G .（1）求证：CG BF CD CF ⋅=⋅； （2）若43AB =，8AD =，求DG 的长.32．如图，在ABC ∆中，AD 是高.矩形EFGH 的顶点E 、H 分别在边AB 、AC 上，FG 在边BC 上，6BC =，4=AD ，23EF EH =.求矩形EFGH 的面积.33．从甲、乙两台包装机包装的质量为300g 的袋装食品中各抽取10袋，测得其实际质量如下（单位：g ）甲：301，300，305，302，303，302，300，300，298，299 乙：305，302，300，300，300，300，298，299，301，305 （1）分别计算甲、乙这两个样本的平均数和方差； （2）比较这两台包装机包装质量的稳定性． 34．已知关于的方程，若方程的一个根是–4，求另一个根及的值.35．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度，沿线段AB 方向匀速运动，到达点B 停止．连接DP 交AC 于点E ，以DP 为直径作⊙O 交AC 于点F ，连接DF 、PF ．（1）求证：△DPF 为等腰直角三角形； （2）若点P 的运动时间t 秒．①当t 为何值时，点E 恰好为AC 的一个三等分点；②将△EFP 沿PF 翻折，得到△QFP ，当点Q 恰好落在BC 上时，求t 的值．四、压轴题36．点P 为图形M 上任意一点，过点P 作PQ ⊥直线,l 垂足为Q ，记PQ 的长度为d . 定义一:若d 存在最大值，则称其为“图形M 到直线l 的限距离”，记作()max ,D M l ； 定义二:若d 存在最小值，则称其为“图形M 到直线l 的基距离”，记作()min ,D M l ； （1）已知直线1:2l y x =--，平面内反比例函数2y x=在第一象限内的图象记作,H 则()1,min D H l = ．（2）已知直线2:33l y x =+，点()1,0A -，点()()1,0,,0B T t 是x 轴上一个动点，T 的半径为3，点C 在T 上，若()max 243,63,D ABC l ≤≤求此时t 的取值范围，（3）已知直线21211k k y x k k --=+--恒过定点1111,8484P a b c a b c ⎛⎫⎪⎝+-+⎭+，点(),D a b 恒在直线3l 上，点(),28E m m +是平面上一动点，记以点E 为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形,K ()min 3,0D K l =，若请直接写出m 的取值范围．37．如图，在矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=4cm ，点p 从A 开始折线A ——B ——C ——D 以4cm/秒的 速度 移动，点Q 从C 开始沿CD 边以1cm/秒的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动，设运动的时间t （秒）（1）t 为何值时，四边形APQD 为矩形.（2）如图（2），如果⊙P 和⊙Q 的半径都是2cm ，那么t 为何值时，⊙P 和⊙Q 外切？ 38．如图①，O 经过等边ABC 的顶点A ，C （圆心O 在ABC 内），分别与AB ，CB的延长线交于点D ，E ，连结DE ，BF EC ⊥交AE 于点F ． （1）求证：BD BE =．（2）当:3:2AF EF =，6AC =，求AE 的长．（3）当:3:2AF EF =，AC a =时，如图②，连结OF ，OB ，求OFB △的面积（用含a 的代数式表示）．39．【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα=13 ，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：构造如图1所示的图形，在⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上，所以∠ACB=90°，作CD ⊥AB 于D ．设∠BAC=α，则sinα=13BC AB = ，可设BC=x ，则AB=3x ，…． 【问题解决】（1）请按照小娟的思路，利用图1求出sin2α的值；（写出完整的解答过程）（2）如图2，已知点M ，N ，P 为⊙O 上的三点，且∠P=β，sinβ=35 ，求sin2β的值．40．已知抛物线y ＝﹣14x 2+bx +c 经过点A （4，3），顶点为B ，对称轴是直线x ＝2．（1）求抛物线的函数表达式和顶点B的坐标；（2）如图1，抛物线与y轴交于点C，连接AC，过A作AD⊥x轴于点D，E是线段AC上的动点（点E不与A，C两点重合）；（i）若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，求点E的坐标；（ii）如图2，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】将二次函数解析式变形为顶点式，进而可得出二次函数的顶点坐标．【详解】解：∵y＝x2﹣6x＝x2﹣6x+9﹣9＝（x﹣3）2﹣9，∴二次函数y＝x2﹣6x图象的顶点坐标为（3，﹣9）．故选：C．【点睛】此题主要考查二次函数的顶点，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质.2．D解析：D【解析】【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C的度数．∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ＝400， ∴∠C ＝1800－400＝1400， 故选D. 【点睛】此题考查圆内接四边形的性质，解题关键在于利用圆内接四边形的对角互补3．C解析：C 【解析】 【分析】根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A 、∠B 的度数，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】由题意得，sinA-12=0，2-cosB=0，即sinA=12， 解得，∠A=30°，∠B=45°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=105°， 故选C ． 【点睛】本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．4．B解析：B 【解析】试题分析：∵DE ∥BC ，∴AD DE AB BC =，∵13AD AB =，∴31DE BC =．故选B ． 考点：平行线分线段成比例．5．B解析：B 【解析】 【分析】直线与圆相离等价于圆心到直线的距离大于半径，据此解答即可. 【详解】解：∵直线l 与半径为5的O 相离，∴圆心O 与直线l 的距离d 满足：5d >.故选：B.本题考查了直线与圆的位置关系，属于应知应会题型，若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d<r时，直线与圆相交. 6．B解析：B【解析】【分析】根据方差的意义可作出判断，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【详解】∵S2甲=1.7，S2乙=2.4，∴S2甲＜S2乙，∴甲队成员身高更整齐；故选B.【点睛】此题考查方差，掌握波动越小，数据越稳定是解题关键7．B解析：B【解析】【分析】根据圆的半径相等可得等腰三角形，根据三角形的外角的性质和等腰三角形等边对等角可得关于∠E的方程，解方程即可求得答案．【详解】解：如图，连接CO,∵CE＝OB＝CO=OD，∴∠E＝∠1，∠2＝∠D∴∠D=∠2＝∠E+∠1＝2∠E．∴∠3＝∠E+∠D＝∠E+2∠E＝3∠E．由∠3＝72°，得3∠E＝72°．解得∠E＝24°．故选：B．【点睛】本题考查了圆的认识，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质.能利用圆的半径相等得出等腰三角形是解题关键．8．C解析：C【解析】【分析】由题意可以求出前14个数的和，后6个数的和，进而得到20个数的总和，从而求出20个数的平均数．【详解】解：由题意得：（10×14+15×6）÷20=11.5，故选：C ．【点睛】此题考查平均数的意义和求法，求出这些数的总和，再除以总个数即可.．9．D解析：D【解析】【分析】首先将()4,0代入二次函数，求出m ，然后利用根的判别式和求根公式即可判定t 的取值范围.【详解】将()4,0代入二次函数，得2440m -+=∴4m =∴方程为240x x t -+=∴42x ±= ∵15x <<∴54t -<≤故答案为D .【点睛】此题主要考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握，即可解题.10．C解析：C【解析】【分析】首先根据3、4、6、7、x 这组数据的平均数求得x 值，再根据中位数的定义找到中位数即可．【详解】由3、4、6、7、x 的平均数是5，即(3467)55++++÷=x得5x =这组数据按照从小到大排列为3、4、5、6、7，则中位数为5．故选C【点睛】此题考查了平均数计算及中位数的定义，熟练运算平均数及掌握中位数的定义是解题关键．11．C解析：C【解析】【分析】一元二次方程有实数根，则根的判别式∆≥0，且k ≠0，据此列不等式求解．【详解】根据题意，得：∆=1-16k ≥0且k ≠0， 解得：116k ≤且k ≠0． 故选：C ．【点睛】 本题考查一元二次方程根的判别式与实数根的情况，注意k ≠0．12．B解析：B【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．【详解】设另一根为m ，则1•m=2，解得m=2．故选B ．【点睛】考查了一元二次方程根与系数的关系．根与系数的关系为：x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a．要求熟练运用此公式解题． 13．D解析：D【解析】【分析】根据题意可判断四边形ABNM 为梯形，再由切线的性质可推出∠ABN=60°，从而判定△APO ≌△BPO ，可得AP=BP=3，在直角△APO 中，利用三角函数可解出半径的值.【详解】解：连接OP ，OM ，OA ，OB ，ON∵AB ，AM ，BN 分别和⊙O 相切，∴∠AMO=90°，∠APO=90°，∵MN ∥AB ，∠A ＝60°，∴∠AMN=120°，∠OAB=30°，∴∠OMN=∠ONM=30°，∵∠BNO=90°，∴∠ABN=60°，∴∠ABO=30°，在△APO 和△BPO 中，OAP OBP APO BPO OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△APO ≌△BPO （AAS ），∴AP=12AB=3， ∴tan ∠OAP=tan30°=OP AP =33， ∴OP=3，即半径为3.故选D.【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，关键是说明点P 是AB 中点，难度不大.14．C解析：C【解析】【分析】首先根据表中的x 、y 的值确定抛物线的对称轴，然后根据对称性确定m 的值即可．【详解】解：观察表格发现该二次函数的图象经过点（12，﹣74）和（32，﹣74）， 所以对称轴为x ＝13222+＝1， ∵511122⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， ∴点（﹣12，m ）和（52，14）关于对称轴对称， ∴m ＝14， 故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是通过表格信息确定抛物线的对称轴．15．A解析：A【解析】根据黄金比的定义得：AP AB = ，得42AP == .故选A. 二、填空题16．5【解析】【分析】根据根与系数的关系求出，代入即可求解．【详解】∵是方程的两根∴=-=4，==1∴===4+1=5，故答案为：5．【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是解析：5【解析】【分析】根据根与系数的关系求出12x x +，12x x ⋅代入即可求解．【详解】∵12,x x 是方程2410x x -+=的两根∴12x x +=-b a =4，12x x ⋅=c a=1 ∴122(1)x x x =1122x x x x ++=1212x x x x ++=4+1=5，故答案为：5．【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知12x x +=-b a ，12x x ⋅=c a的运用． 17．115°【解析】【分析】根据∠EDC＝180°﹣∠E﹣∠DCE，想办法求出∠E，∠DCE 即可．【详解】由题意可知：CA ＝CE ，∠ACE＝90°，∴∠E＝∠CAE＝45°，∵∠ACD＝7解析：115°【解析】【分析】根据∠EDC ＝180°﹣∠E ﹣∠DCE ，想办法求出∠E ，∠DCE 即可．【详解】由题意可知：CA ＝CE ，∠ACE ＝90°，∴∠E ＝∠CAE ＝45°，∵∠ACD ＝70°，∴∠DCE ＝20°，∴∠EDC ＝180°﹣∠E ﹣∠DCE ＝180°﹣45°﹣20°＝115°，故答案为115°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，问题，属于中考常考题型．18．【解析】【分析】设AC=x,根据四边形的面积公式，，再根据得出，再利用二次函数最值求出答案.【详解】解：∵AC、BD 相交所成的锐角为∴根据四边形的面积公式得出，设AC=x ，则BD=8-解析：【解析】【分析】设AC=x,根据四边形的面积公式，1S sin 602AC BD =⨯⨯︒，再根据sin 60︒=()1 S 822x x =-⨯，再利用二次函数最值求出答案. 【详解】解：∵AC 、BD 相交所成的锐角为60︒ ∴根据四边形的面积公式得出，1S sin 602AC BD =⨯⨯︒ 设AC=x ，则BD=8-x所以，())21S 842x x x =-=-+∴当x=4时，四边形ABCD 的面积取最大值故答案为：【点睛】本题考查的知识点主要是四边形的面积公式，熟记公式是解题的关键.19．15【解析】【分析】由在比例尺为1：50000的地图上，量得A 、B 两地的图上距离AB=3cm ，根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离．【详解】解：∵比例尺为1：500000，量得两地的距离解析：15【解析】【分析】由在比例尺为1：50000的地图上，量得A 、B 两地的图上距离AB=3cm ，根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离．【详解】解：∵比例尺为1：500000，量得两地的距离是3厘米，∴A、B两地的实际距离3×500000=1500000cm=15km，故答案为15．【点睛】此题考查了比例尺的性质．注意掌握比例尺的定义，注意单位要统一．20．（6，4）．【解析】【分析】作BQ⊥AC于点Q，由题意可得BQ=12，根据勾股定理分别求出BC、AB的长，继而利用三角形面积，可得△OAB内切圆半径，过点P作PD⊥AC于D，PF⊥AB于F，P解析：（6，4）．【解析】【分析】作BQ⊥AC于点Q，由题意可得BQ=12，根据勾股定理分别求出BC、AB的长，继而利用三角形面积，可得△OAB内切圆半径，过点P作PD⊥AC于D，PF⊥AB于F，PE⊥BC于E，设AD=AF=x，则CD=CE=14-x，BF=13-x，BE=BC-CE=15-（14-x）=1+x，由BF=BE可得13-x=1+x，解之求出x的值，从而得出点P的坐标，即可得出答案．【详解】解：如图，过点B作BQ⊥AC于点Q，则AQ=5，BQ=12，∴13=，CQ=AC-AQ=9，∴15=设⊙P的半径为r，根据三角形的面积可得：r=14124 141315⨯=++过点P作PD⊥AC于D，PF⊥AB于F，PE⊥BC于E，设AD=AF=x，则CD=CE=14-x，BF=13-x，∴BE=BC-CE=15-（14-x）=1+x，由BF=BE可得13-x=1+x，解得：x=6，∴点P的坐标为（6，4），故答案为：（6，4）．【点睛】本题主要考查勾股定理、三角形的内切圆半径公式及切线长定理，根据三角形的内切圆半径公式及切线长定理求出点P 的坐标是解题的关键．21．9【解析】【分析】利用两角对应相等两三角形相似证△BCD∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例得比例式，代入数值求解即可.【详解】解：∵，,∴∠ACB=∠CDB=90°,∵∠B=∠B,解析：9【解析】【分析】利用两角对应相等两三角形相似证△BCD ∽△BAC ，根据相似三角形对应边成比例得比例式，代入数值求解即可.【详解】解：∵BC AC ⊥，CD AB ⊥,∴∠ACB=∠CDB=90°,∵∠B=∠B,∴△BCD ∽△BAC, ∴BC BD AB BC = , ∴152515BD =, ∴BD=9.故答案为：9.【点睛】本题考查利用相似三角形的性质求线段长，证明两三角形相似注意题中隐含条件，如公共角，对顶角等，利用相似的性质得出比例式求解是解答此题的关键.22．2或﹣1【解析】【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】当y=1时，有x解析：2或﹣1【解析】【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】当y=1时，有x2﹣2x+1=1，解得：x1=0，x2=2．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a=2或a+1=0，∴a=2或a=﹣1，故答案为：2或﹣1．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值是解题的关键．23．【解析】【分析】将△ABE绕点A旋转60°至△AGF的位置，根据旋转的性质可证△AEF和△ABG 为等边三角形，即可证明EF=AE,GF=BE,所以根据两点之间线段最短EA+EB+EC=GF+E【解析】【分析】将△ABE绕点A旋转60°至△AGF的位置，根据旋转的性质可证△AEF和△ABG为等边三角形，即可证明EF=AE,GF=BE,所以根据两点之间线段最短EA+EB+EC=GF+EF+EC≥GC，表示Rt△GMC的三边，根据勾股定理即可求出正方形的边长.【详解】解：如图，将△ABE绕点A旋转60°至△AGF的位置，连接EF,GC,BG，过点G作BC 的垂线交CB 的延长线于点M.设正方形的边长为2m ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=BC=2m,∠ABC=∠ABM=90°，∵△ABE 绕点A 旋转60°至△AGF ，∴,,60,AG AB AF AE BAG EAF BE GF ==∠=∠=︒=,∴△AEF 和△ABG 为等边三角形，∴AE=EF,∠ABG=60°， ∴EA+EB+EC=GF+EF+EC≥GC ，∴GC=13∵∠GBM=90°-∠ABG =30°，∴在Rt △BGM 中，GM=m ，3m ，Rt △GMC 中，勾股可得222GC GM CM =+， 即：222(32)(13)m m m ++=+，解得：22m =， ∴边长为22m =2.【点睛】 本题考查正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形，两点之间线段最短，勾股定理.能根据旋转作图，得出EA+EB+EC=GF+EF+EC≥GC 是解决此题的关键.24．18＜x ＜6.19【解析】【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y ＝0时，相应的自变量的取值范围即可．【详解】由表格数据可得，当x ＝6.18时，y ＝﹣0.01，当x ＝6.19解析：18＜x＜6.19【解析】【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取值范围即可．【详解】由表格数据可得，当x＝6.18时，y＝﹣0.01，当x＝6.19时，y＝0.02，∴当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为6.18＜x＜6.19，故答案为：6.18＜x＜6.19．【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．25．．【解析】【分析】根据比例的合比性质变形得：【详解】∵，∴故答案为：.【点睛】本题主要考查了合比性质，对比例的性质的记忆是解题的关键．解析：52．【解析】【分析】根据比例的合比性质变形得：325.22 x yy++==【详解】∵32xy=，∴325.22 x yy++==故答案为：5 2 .【点睛】本题主要考查了合比性质，对比例的性质的记忆是解题的关键．【解析】【分析】利用函数图象可判断点，都在对称轴右侧的抛物线上，然后根据二次函数的性质可判断与的大小．【详解】解：∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，且开口向下，∴点，都在对称轴右侧的抛物线解析：>【解析】【分析】利用函数图象可判断点()11,A y ，()23,B y 都在对称轴右侧的抛物线上，然后根据二次函数的性质可判断1y 与2y 的大小．【详解】解：∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，且开口向下，∴点()11,A y ，()23,B y 都在对称轴右侧的抛物线上，∴1y ＞2y ．故答案为＞．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．解决本题的关键是判断点A 和点B 都在对称轴的右侧．27．120°【解析】【分析】因为半径相等，根据等边对等角结合三角形内角和定理即可求得，继而求得答案．【详解】如图，连接OA ，∵OA，OB 为半径，∴，∴，∴劣弧的度数等于，故答案为：1解析：120°【解析】因为半径相等，根据等边对等角结合三角形内角和定理即可求得AOB ∠，继而求得答案．【详解】如图，连接OA ，∵OA ，OB 为半径，∴30OAB ABO ∠=∠=︒，∴180120AOB OAB ABO ∠=︒-∠-∠=︒，∴劣弧AB 的度数等于120︒，故答案为：120．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系以及圆周角定理，是基础知识要熟练掌握．28．【解析】【分析】通过作垂线构造直角三角形，由网格的特点可得Rt△ABD 是等腰直角三角形，进而可得Rt△ACF 是等腰直角三角形，求出CF ，再根据△ACE∽△BDE 的相似比为1：3，根据勾股定理求 25 【解析】【分析】通过作垂线构造直角三角形，由网格的特点可得Rt △ABD 是等腰直角三角形，进而可得Rt △ACF 是等腰直角三角形，求出CF ，再根据△ACE ∽△BDE 的相似比为1：3，根据勾股定理求出CD 的长，从而求出CE ，最后根据锐角三角函数的意义求出结果即可．【详解】 过点C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，在Rt △ACD 中，CD 221310+=由网格可知，Rt △ABD 是等腰直角三角形，因此Rt △ACF 是等腰直角三角形，∴CF ＝AC •sin45°＝22， 由AC ∥BD 可得△ACE ∽△BDE ，∴13 CE ACDE BD==，∴CE＝14CD＝104，在Rt△ECF中，sin∠AEC＝2252510CFCE=⨯=，故答案为：25．【点睛】考查锐角三角函数的意义、直角三角形的边角关系，作垂线构造直角三角形是解决问题常用的方法，借助网格，利用网格中隐含的边角关系是解决问题的关键．29．.【解析】【分析】根据加权平均数的基本求法，平均数等于总和除以个数，即可得到答案.【详解】平均数等于总和除以个数，所以平均数.【点睛】本题考查求加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的解析：mx ny m n++.【解析】【分析】根据加权平均数的基本求法，平均数等于总和除以个数，即可得到答案.【详解】平均数等于总和除以个数，所以平均数mx nym n+=+.【点睛】本题考查求加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的基本求法. 30．或【解析】【分析】如图1，当⊙F 与Rt △ABC 的边AC 相切时，切点为H ，连接FH ，则HF ⊥AC ，解直角三角形得到AC ＝4，AB ＝5，根据旋转的性质得到∠DCE ＝∠ACB ＝90°，DE ＝AB ＝5解析：209或145【解析】【分析】 如图1，当⊙F 与Rt △ABC 的边AC 相切时，切点为H ，连接FH ，则HF ⊥AC ，解直角三角形得到AC ＝4，AB ＝5，根据旋转的性质得到∠DCE ＝∠ACB ＝90°，DE ＝AB ＝5，CD ＝AC ＝4，根据相似三角形的性质得到DF ＝209；如图2，当⊙F 与Rt △ABC 的边AC 相切时，延长DE 交AB 于H ，推出点H 为切点，DH 为⊙F 的直径，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】如图1，当⊙F 与Rt △ABC 的边AC 相切时，切点为H ，连接FH ，则HF ⊥AC ，∴DF ＝HF ，∵Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，tan A ＝BC AC ＝34， ∴AC ＝4，AB ＝5，将Rt △ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△DEC ，∴∠DCE ＝∠ACB ＝90°，DE ＝AB ＝5，CD ＝AC ＝4，∵FH ⊥AC ，CD ⊥AC ，∴FH ∥CD ，∴△EFH ∽△EDC ，∴FH CD ＝EF DE ， ∴4DF ＝55DF ， 解得：DF ＝209； 如图2，当⊙F 与Rt △ABC 的边AC 相切时，延长DE 交AB 于H ，∵∠A＝∠D，∠AEH＝∠DEC∴∠AHE＝90°，∴点H为切点，DH为⊙F的直径，∴△DEC∽△DBH，∴DEBD＝CDDH，∴57＝4DH，∴DH＝285，∴DF＝145，综上所述，当FD＝209或145时，⊙F与Rt△ABC的边相切，故答案为：209或145．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题31．（1）见解析；（283 3【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得AB∥CD,AB=CD，通过两角对应相等证明△FCG∽△FBA，利用对应边成比例列比例式，进行等量代换后化等积式即可；（2）根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理，求出BE的长,再由折叠性质求出BF长，结合（1）的结论代入数据求解.【详解】解（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD,AD=BC∴∠GCF=∠B, ∠CGF=∠BAF,∴△FCG ∽△FBA, ∴CG CF AB BF = , ∴CG CF CD BF∴CG BF CD CF ⋅=⋅.（2）∵AE BC ⊥，∴∠AEB=90°,∵∠B=30°, AB =∴AE=1232AB , 由勾股定理得，BE=6，由折叠可得，BF=2BE=12，∵AD=BC=8，∴CF=4∵CG BF CD CF ⋅=⋅,∴124CG =,∴ ,∴. 【点睛】本题考查平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质即为相似三角形判定的条件，利用相似三角形的对应边成比例是解答问题的关键.32．6EFGH S =四边形【解析】【分析】根据相似三角形对应边比例相等性质求出EF,EH 的长，继而求出面积.【详解】解：如图：∵四边形EFGH 是矩形，AD 交EH 于点Q,∴∥EH FG∴AEH ABC ∆∆∽ ∴AQ EH AD BC= 设2EF x =，则3EH x = ∴42346x x -=解得：1x =. 所以2EF =，3EH =.∴236EFGH S EF EH =⋅=⨯=四边形【点睛】本题考查的知识点主要是相似三角形的性质，利用相似三角形对应边比例相等求出有关线段的长是解题的关键.33．（1）甲平均数301，乙平均数301，甲方差3.2，乙方差4.2；（2）甲包装机包装质量的稳定性好，见解析【解析】【分析】（1）根据平均数就是对每组数求和后除以数的个数；根据方差公式计算即可； （2）方差大说明这组数据波动大，方差小则波动小，就比较稳定．依此判断即可．【详解】解：（1）x 甲＝110（1+0+5+2+3+2+0+0﹣2﹣1）+300＝301， x 乙＝110（5+2+0+0+0+0﹣2﹣1+1+5）+300＝301， 2s 甲＝110[（301﹣301）2+（301﹣300）2+（301﹣305）2+（301﹣302）2+（301﹣303）2+（301﹣302）2+（301﹣300）2+（301﹣300）2+（301﹣298）2+（301﹣299）2]＝3.2； 2s 乙＝110[（301﹣305）2+（301﹣302）2+（301﹣300）2+（301﹣300）2+（301﹣300）2+（301﹣300）2+（301﹣298）2+（301﹣299）2+（301﹣301）2+（301﹣305）2]＝4.2； （2）∵2s 甲＜2s 乙，∴甲包装机包装质量的稳定性好．【点睛】本题考查了平均数和方差，正确掌握平均数及方差的求解公式是解题的关键.34．1，-2【解析】【分析】把方程的一个根–4，代入方程，求出k，再解方程可得.【详解】【点睛】考察一元二次方程的根的定义，及应用因式分解法求解一元二次方程的知识. 35．（1）详见解析；（2）①1；51．【解析】【分析】（1）要证明三角形△DPF为等腰直角三角形，只要证明∠DFP＝90°，∠DPF＝∠PDF＝45°即可，根据直径所对的圆周角是90°和同弧所对的圆周角相等，可以证明∠DFP＝90°，∠DPF＝∠PDF＝45°，从而可以证明结论成立；（2）①根据题意，可知分两种情况，然后利用分类讨论的方法，分别计算出相应的t的值即可，注意点P从A出发到B停止，t≤4÷2＝2；②根据题意，画出相应的图形，然后利用三角形相似，勾股定理，即可求得t的值．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠DAC＝45°，∵在⊙O中，DF所对的圆周角是∠DAF和∠DPF，∴∠DAF＝∠DPF，∴∠DPF＝45°，又∵DP是⊙O的直径，∴∠DFP＝90°，∴∠FDP＝∠DPF＝45°，∴△DFP是等腰直角三角形；（2）①当AE：EC＝1：2时，∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠PAE，∠CDE＝∠APE，∴△DCE∽△PAE，∴DC CE，PA AE∴4221t =， 解得，t ＝1； 当AE ：EC ＝2：1时，∵AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠PAE ，∠CDE ＝∠APE ，∴△DCE ∽△PAE ， ∴DC CE PA AE =， ∴4122t =， 解得，t ＝4，∵点P 从点A 到B ，t 的最大值是4÷2＝2，∴当t ＝4时不合题意，舍去；由上可得，当t 为1时，点E 恰好为AC 的一个三等分点； ②如右图所示，∵∠DPF ＝90°，∠DPF ＝∠OPF ，∴∠OPF ＝90°，∴∠DPA +∠QPB ＝90°，∵∠DPA +∠PDA ＝90°，∴∠PDA ＝∠QPB ，∵点Q 落在BC 上，∴∠DAP ＝∠B ＝90°，∴△DAP ∽△PBQ ， ∴DA DP PB PQ=， ∵DA ＝AB ＝4，AP ＝2t ，∠DAP ＝90°，∴DP ＝PB ＝4﹣2t ，设PQ ＝a ，则PE ＝a ，DE ＝DP ﹣a ＝a ， ∵△AEP ∽△CED ， ∴AP PE CD DE =， 即24t =解得，a ，∴PQ ，∴224244224tt t t+=-+，解得，t1＝﹣5﹣1（舍去），t2＝5﹣1，即t的值是5﹣1．【点睛】此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知正方形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.四、压轴题36．（1）22+2）63103t≤或103165-≤-3）325m≤-或0m≥【解析】【分析】（1）作直线：y x b=-+平行于直线1l，且与H相交于点P，连接PO并延长交直线1l于点Q，作PM⊥x轴，根据只有一个交点可求出b，再联立求出P的坐标，从而判断出PQ 平分∠AOB，再利用直线1l表达式求A、B坐标证明OA=OB，从而证出PQ即为最小距离，最后利用勾股定理计算即可；（2）过点T作TH⊥直线2l，可判断出T上的点到直线2l的最大距离为3TH+后根据最大距离的范围求出TH的范围，从而得到FT的范围，根据范围建立不等式组求解即可；（3）把点P坐标带入表达式，化简得到关于a、b的等式，从而推出直线3l的表达式，根据点E的坐标可确定点E所在直线表达式，再根据最小距离为0，推出直线3l一定与图形K 相交，从而分两种情况画图求解即可．【详解】解：（1）作直线：y x b=-+平行于直线1l，且与H相交于点P，连接PO并延长交直线1l于点Q，作PM⊥x轴，∵直线：y x b=-+与H相交于点P，∴2x bx-+=，即220x bx-+=，只有一个解，。

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