频率与概率、统计与概率
概率与统计中的频率分布与抽样分布
概率与统计中的频率分布与抽样分布概率与统计是数学中一门重要的学科，它研究的是事物发生的概率和统计规律。
在概率与统计中，频率分布和抽样分布是两个重要的概念。
本文将分别介绍频率分布和抽样分布，并探讨它们在实际应用中的意义和作用。
一、频率分布频率分布是指将数据按照不同的区间进行分类，并统计每个区间内数据出现的频数或频率。
频率分布是对数据进行整理和总结的方式，它可以帮助我们更直观地了解数据的分布情况和规律。
频率分布可以通过直方图、饼图等图表形式进行展示。
直方图是一种常见的频率分布图，它将横坐标划分为若干个区间，纵坐标表示每个区间内数据出现的频率或频数。
通过直方图，我们可以清楚地看到数据的分布情况，包括数据的集中趋势、分散程度、偏态和峰度等信息。
在实际应用中，频率分布可以帮助我们了解各类数据的分布规律。
例如，在市场调研中，我们可以通过对消费者购买金额的频率分布进行分析，来确定产品的定价策略；在医学研究中，我们可以通过对患者体温的频率分布进行分析，来判断患者的健康状态。
二、抽样分布抽样分布是指从总体中随机抽取样本，并根据样本数据推断总体的分布情况。
抽样分布是概率与统计中非常重要的概念，它为我们进行统计推断和参数估计提供了基础。
抽样分布可以通过抽样分布图进行展示。
抽样分布图是一种曲线图，横坐标表示样本统计量（例如样本均值、样本比例等），纵坐标表示抽样分布的概率密度。
通过抽样分布图，我们可以了解到样本统计量的变化情况，以及估计量的准确程度和可靠性。
在实际应用中，抽样分布可以帮助我们进行统计推断和参数估计。
例如，在市场调研中，我们可以通过从总体中抽取样本，计算样本平均值的抽样分布，并根据抽样分布来估计总体的平均值；在医学研究中，我们可以通过从总体中抽取样本，计算样本比例的抽样分布，并根据抽样分布来推断总体的比例。
总结：概率与统计中的频率分布和抽样分布是两个重要的概念，它们在数据分析和统计推断中发挥着重要的作用。
频率分布可以帮助我们了解数据的分布规律，抽样分布可以帮助我们进行统计推断和参数估计。
数学上“频率”与“概率”的关系？
数学上“频率”与“概率”的关系？我是中考数学当百荟，从事初中数学教学三⼗多年。
说到“频率”与“概率”的关系，⾸先要了解初中数学中基本的统计思想：⽤样本估计总体，⽤频率估计概率；其次，要知道数学试验的统计量：频率=频数/总次数。
频率是通过试验得到的统计量，⽽概率是通过建⽴数学模型，计算得到的理论值。
在⼀定的情况下，可以⽤频率去估计（代替）事件发⽣的概率。
⼀。
⽤样本估计总体统计中，通常通过调查的⽅式获取相关的统计量。
调查通常有两种⽅式：普查和抽样调查。
⽐如：第六次全国⼈⼝普查（2010年11⽉1⽇），就是在国家统⼀规定的时间内，按照统⼀的⽅法、统⼀的项⽬、统⼀的调查表和统⼀的标准时点，对全国⼈⼝普遍地、逐户逐⼈地进⾏的⼀次性调查登记。
这次⼈⼝普查登记的全国总⼈⼝为1,339,724,852⼈这个数据采⽤的就是普查⽅式得到的。
⽽国家统计局每季度发布的居民⼈均可⽀配收⼊、居民消费价格指数、调查失业率等统计指标，是采⽤抽样调查⽅式获取的。
当统计的总体容量很⼤，调查耗时费⼒，调查成本巨⼤或者试验具有破坏性时，不宜采⽤普查⽅式，就要⽤抽样的⽅式来进⾏统计，然后⽤样本的统计量，去估计总体统计量。
这种统计思想就叫做⽤样本估计总体。
⽐如：某照明企业⽣产⼀批LED灯泡，为统计这批LED灯泡的使⽤寿命，采⽤哪种调查⽅式⽐较适合呢？因为要了解LED的使⽤寿命，按试验要求，就必须将LED灯泡变成“长明灯”，⼀直点亮直⾄⾃然熄灭（寿终正寝）。
这样试验是具有破坏性的，显然不能⽤普查⽅式，只能采⽤抽样的⽅式来进⾏。
从这批LED灯泡中，随机抽取50只灯泡作为⼀个样本，通过试验得到这个样本的平均使⽤寿命为3000⼩时，然后我们就说该企业的这批LED灯泡（总体）的使⽤寿命为3000⼩时。
⼆。
⽤频率估计概率俗话说，天有不测风云，⼈有旦⼣祸福。
这句话从数学的⾓度来理解就是，在⾃然界和⼈类社会中，严格确定的事件是⼗分有限的，⽽随机事件却是⼗分普遍的，概率就是对随机事件的⼀种数学的定量描述。
概率与统计中的频率与概率的概念
概率与统计中的频率与概率的概念在概率与统计学领域，频率和概率是两个关键的概念。
频率是指在一系列观察或试验中，某个事件发生的次数与总观察次数之比。
而概率是指在相同条件下，某个事件发生的可能性。
频率和概率的概念在实际应用中起到了重要的作用，帮助我们推断和预测事件发生的可能性。
下面将对频率和概率的概念进行更详细的论述。
一、频率的概念频率是一种描述事件发生次数的统计量。
在统计学中，我们经常进行一系列观察或试验，并记录事件发生的次数。
假设某事件发生了n 次，那么该事件的频率就可以表示为n/N，其中N为总的观察次数。
频率的计算能够帮助我们了解事件发生的模式和趋势。
通过频率分析，我们可以得到事件发生的相对频率，从而能够对未来的事件进行预测。
然而，频率只是对事件发生次数的描述，并不能直接用于确定事件发生的可能性。
二、概率的概念概率是一种描述事件发生可能性的数值。
在数学中，概率被定义为事件发生的可能性与所有可能事件发生的总数之比。
概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能发生，1表示一定会发生。
概率的计算需要基于一定的假设和模型。
根据概率论的基本原理，我们可以使用频率作为估计量来计算概率。
当我们进行大量观察或试验，并记录事件发生的次数后，事件的频率会逐渐趋近于真实的概率值。
三、频率与概率的关系频率和概率在某种程度上是相互关联的。
概率可以看作是频率的理论上的极限。
当观察次数足够多时，频率会逐渐接近概率。
通过频率可以估计概率，而通过概率可以预测频率。
频率和概率之间的转化关系为实际问题的解决提供了便利。
以掷硬币为例，假设我们进行了100次掷硬币的观察实验，其中正面朝上的次数为50次。
那么正面朝上的频率为50/100=0.5。
根据频率的计算，我们可以估计掷硬币正面朝上的概率为0.5。
在实际应用中，频率和概率经常结合使用。
通过观察事件发生的频率，我们可以估计事件的概率，并基于概率进行预测和决策。
总结起来，频率和概率是概率与统计学中的两个重要概念。
频率与概率的定义
频率与概率的定义
频率和概率是概率论中两个重要且相关的概念。
频率是指某个事件在多次重复试验中发生的次数或数量。
换句话说，频率是通过实际观察或统计得到的数值，表示某个事件发生的相对次数或数量。
概率是指某个事件在一次试验中发生的可能性。
它是一个介于0和1之间的数值，可以表示为一个分数、小数或百分比。
概率是基于理论推导或主观估计得出的，它描述了某个事件发生的相对可能性。
在大量试验中，当试验次数趋近无限时，频率趋近于概率。
这被称为频率的稳定性或大数定律。
因此，频率可以用来估计概率，并且频率可以作为概率的一种近似值。
概率与统计中的频率与概率
概率与统计中的频率与概率概率与统计是数学领域中一门重要的学科，它研究了随机事件发生的规律性以及对数据进行概括和推断的方法。
在概率与统计的领域中，频率与概率是两个基本概念。
本文将对频率与概率进行详细探讨。
一、频率的概念及计算方法频率是指在一次实验或观察中，某个事件发生的次数与总次数之比。
常用符号表示为f。
频率是通过实际观测数据来估计概率的一种方法。
频率是一种相对频率，它随着实验次数的增多逐渐接近概率。
计算频率的方法很简单，可以通过观察实验结果来统计事件发生的次数，然后将其除以总次数即可得到频率。
例如，假设有一个硬币，我们进行了100次抛掷实验，结果正面朝上的次数为60次，那么这个事件发生的频率就是60/100=0.6。
二、概率的概念及计算方法概率是指在给定条件下某个事件发生的可能性大小。
常用符号表示为P。
概率是一个介于0和1之间的数，可以理解为一个事件发生的相对可能性的度量。
概率的计算可以通过频率估计，也可以通过理论计算得到。
在概率的理论计算中，可以使用数学模型和公式来计算概率。
例如，对于一个均匀分布的随机事件，事件的概率等于事件包含的样本点数目与总的样本点数目之比。
假设有一个有限的样本空间，其中的样本点数目为n，事件A包含的样本点数目为m，那么事件A的概率就是m/n。
三、频率与概率的关系及区别频率与概率都是对随机事件发生规律性的描述，它们之间有着密切的联系，但又存在一定的区别。
首先，频率是通过实验和观察得到的，是经验性的，并且会随着实验次数的增加而逐渐稳定。
而概率则是建立在频率的基础上，是一种理论上的估计，可以通过数学模型和公式进行计算。
其次，频率是相对频率，是事件发生的次数与总次数之比，是一个具体的数值。
而概率是相对可能性，是事件发生的可能性大小的度量，是一个介于0和1之间的数。
最后，频率是对概率的估计，是一种近似概率。
随着实验次数的增加，频率会逐渐接近概率。
在实际应用中，频率常常用于估计概率，从而进行数据分析和预测。
概率与统计中的频率与概率的计算
概率与统计中的频率与概率的计算在概率与统计中，频率和概率是两个重要的概念。
它们都与事件发生的可能性有关，但在计算方法和应用上有所不同。
频率是指某个事件在重复试验中发生的次数与总试验次数的比值。
它用来描述随机事件在实际观察中的相对频繁程度。
频率可以用来估计概率，特别是在试验次数较少或无穷大的情况下不能直接计算概率时，频率是一种常用的近似计算方法。
频率的计算公式为：频率 = 某个事件发生的次数 / 总试验次数例如，某个骰子六个面的数字出现次数分别为1、2、3、4、5、6，则各个数字出现的频率分别为1/6，2/6，3/6，4/6，5/6，6/6。
与频率相比，概率是事件发生的理论上的可能性。
概率可以用数值表示，范围在0到1之间。
概率越接近于1，事件发生的可能性越大；概率越接近于0，事件发生的可能性越小。
概率的计算方法包括经典概率和统计概率。
经典概率是基于等可能性原理的计算方法。
当每个事件发生的可能性相等时，事件A的概率可以用下式计算：概率A = A发生的情况数 / 总情况数例如，一枚硬币正面朝上的概率可以用1/2表示，因为正面朝上的情况只有一种，总情况数为两种（正面和反面）。
统计概率是基于统计数据的计算方法。
当无法保证每个事件发生的可能性相等时，可以通过实验或观察得到事件发生的频率，进而估计概率。
例如，通过投掷一枚硬币100次，正面朝上的频率为60次，反面朝上的频率为40次。
则可以估计硬币正面朝上的概率为60/100=0.6。
在实际应用中，频率和概率都有其独特的作用。
频率可以用来描述实际观察中的现象和实验结果，是验证概率理论的基础。
而概率则可以用来预测事件发生的可能性，是决策和风险管理的重要工具。
总结起来，频率和概率在概率与统计中扮演着重要的角色。
频率描述了事件在实际观察中的相对频繁程度，可以用来估计概率；而概率则是事件发生的理论上的可能性。
它们的计算方法和应用略有不同，但都是研究和理解随机事件的重要工具。
浙大概率论与数理统计课件 概率1-3 频率与概率
概率论
试验 序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n =5
nH 2 3 1 5 1 2 4 2 3 3 fn(H) 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.4 0.6 0.6 nH 22 25 21 25 24 21 18 24 27 31
n =50
fn(H) 0.44 0.50 0.42 0.50 0.48 0.42 0.36 0.48 0.54 0.62
1
解
1由于 A、B 互斥 , 所以
B A
于是 所以
BA B
P BA P B
1 2 .
A
B
A、B 互斥
概率论
2 因为 A B , 所以
P BA P B A P B P A
1 2 1 4 1 4 .
B
A
数的增加而逐渐稳定在0.5 这个数值上 .
可见, 在大量重复的试验中,随机事件出现的频率具 有稳定性.即通常所说的统计规律性.
定义 在不变的一组条件下进行大量的重复试验 ,
随机事件 A 出现的频率
会稳定地在某个固定的
n 的数值 p 的附近摆动, 我们称这个稳定值 p 为随机
事件 A 的概率 ,即 P A p . 这个定义也称为 概率的统计定义 .
1 P A 0 ; 非负性 2 P S 1 ; 规范性
3 对于两两互斥事件 A1 , A2 ,, 有 P A1 A2 P A1 P A2
可列可加性
概率论
由概率的公理化定义可推得概率的下列性质 . 性质1 P 0 .
A S
概率论与数理统计课件：1-2 概率论的基本概念 频率和概率
古典概型问题中，样本空间的构造必须 保证其中的每个样本点发生的可能性都相同。
练习1.4.1 抛一枚均匀硬币三次，计算P { 恰好出现一次正面 }。 提示：这里有两种构造样本空间的形式， ① 以随机试验的全部结果构造 S1 = { HHH，HHT，HTH，HTT，THH， THT，TTH，TTT } 因此 P (A ) = 3/8 ； ② 以正面出现的次数构造 S2 = { 0，1，2，3 } 因此 P (A ) = 1/4 。
概率P (B – A) 的值。பைடு நூலகம்
解。分析：由减法公式， P (B – A ) = P (B ) – P (AB ) 只需要计算出概率 P (AB ) 。
(1) A、B互不相容即 AB = ，得到 P (B – A ) = 0.5；
(2) A B 等价于 AB = A，得到 P (B – A ) = 0.2；
频率的这种稳定性表明了随机现象也具有规律性， 称为是统计规律(大量试验下体现出来的规律)。
4
概率的频率定义
自然地，可以采用一个随机事件的频率的稳定值 去描述它在一次试验中发生的可能性大小，即用频率 的极限来作为概率的定义。
然而实际上，我们不可能对每一个随机事件都去 做大量的试验后得到它的频率，并且有些随机事件也 无法去定义它们的频率。
16
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A表示事件至少有一个男孩,以H表示某个孩子 是男孩
N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT} N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
P( A) N ( A) 7 N(S) 8
i 1
概率与统计中的频率与期望
概率与统计中的频率与期望概率与统计是数学中重要的分支之一，它们在实际生活中有着广泛的应用。
在概率论和统计学中，频率与期望是两个重要的概念。
本文将重点介绍频率与期望的概念、计算方法以及其在实际问题中的应用。
一、频率频率是指某一事件在重复试验中发生的相对次数。
它是用来描述事件发生概率的一种方法。
假设某一事件发生的次数为N，而总的重复试验次数为n，则事件的频率可以通过计算N除以n来得到。
频率的计算可以通过大量的实验或观察来进行。
当试验次数n越多时，频率的值就越接近于事件的概率。
因此，在统计学中，我们常常通过频率来估计概率。
二、期望期望是概率论和统计学中的重要概念，也叫做数学期望或均值。
它是对于随机变量的平均值的一种度量。
对于离散随机变量，其期望可以通过对随机变量取值与相应概率的乘积求和来计算。
假设X是一个离散随机变量，其取值为x1, x2, ..., xn，相应的概率为p1, p2, ..., pn，则X的期望可以表示为E(X) = x1p1 +x2p2 + ... + xnpn。
对于连续随机变量，期望的计算需要使用积分。
假设X是一个连续随机变量，其概率密度函数为f(x)，则X的期望可以表示为E(X) =∫xf(x)dx。
期望是描述随机变量的平均值的概念。
对于大量的重复试验，随机变量的平均值趋于期望。
因此，期望可以被看作是一种平均预期。
三、频率与期望的应用频率与期望在概率与统计中有着广泛的应用。
在研究和预测事件发生的概率时，我们可以通过频率来估计。
例如，在赌博游戏中，我们可以通过统计重复试验（如掷骰子）的结果来估计不同点数出现的概率。
期望在各种实际问题中也有着重要的应用。
例如，期望可以用来计算在赌博游戏中的预期收益。
在金融领域，期望被广泛用于风险管理和投资决策。
在工业生产中，期望可以用来评估产品的平均寿命和故障率。
总结起来，频率与期望是概率与统计中重要的概念。
频率用来描述事件在重复试验中发生的相对次数，通过频率可以估计事件的概率。
简述概率和频率的关系(一)
简述概率和频率的关系(一)
简述概率和频率的关系
1. 概率和频率的定义
•概率指的是某一事件在大量重复试验中发生的可能性或可能出现的结果。
•频率指的是某一事件在实际观察中的出现次数或出现的相对比例。
2. 概率与频率的关系
•概率和频率的基本关系：概率和频率是有着密切关系的，两者在一定条件下是可以相互靠近的。
•大数定律：根据大数定律的原理，当试验次数趋近于无穷大时，频率会无限接近概率。
换言之，当试验次数足够多时，频率会逐渐收敛于概率。
3. 概率与频率的解释和说明
•频率的解释和说明：频率是通过实际观察得到的结果，是一种直接可观察和统计的数据。
通过统计实验的结果，我们可
以计算出频率。
•概率的解释和说明：概率则是从理论上对某一事件发生的可能性进行估计和计算。
概率可以通过推理、模型、公式等
方式得出。
•概率和频率之间的关系：概率是对频率的理论估计和计算，而频率则是实际观察到的结果。
通过大数定律，我们可以认为频率是概率的一个近似值，概率可以通过频率来进行验证。
•应用概率和频率的场景：在实际问题中，我们往往通过频率来验证概率的正确性。
例如，在赌博游戏中，我们可以根据理论上的概率来计算赢钱的可能性，然后通过实际的试验和观察来验证我们的计算是否准确。
总结
概率和频率是统计学中两个重要的概念，它们描述了事件发生的可能性和实际观察到的结果。
概率是对事件理论上可能发生的估计，而频率是通过实际观察和统计得到的结果。
通过大数定律，我们可以认为频率逐渐收敛于概率。
在实际应用中，我们常常通过频率来验证概率的准确性。
频率求概率的公式
频率求概率的公式
频率求概率的公式为：某一事件发生的频率/总事件发生的频率。
即P(A) = n(A) / n(S)，其中P(A) 为事件A 的概率，n(A) 为事件A 发生的频率，n(S) 为总事件发生的频率。
频率求概率是统计学中的一种常用方法，它根据实验或观察得到的数据来估计概率。
具体来说，假设我们有一个随机试验，其中有若干种可能的结果，我们用n(A) 表示其中某一种结果A 发生的频率，用n(S) 表示所有结果发生的总频率。
那么根据频率定义，事件 A 的概率P(A) 就可以用下面的公式来计算：
P(A) = n(A) / n(S)
这个公式的意思是，事件A 发生的概率等于事件 A 发生的频率除以总事件发生的频率。
需要注意的是，这种方法只适用于经过大量重复试验得到的数据，这样才能保证数据具有代表性。
概率论和数理统计-概率论第1章§3频率和概率-精品文档
研究随机现象的统计规律性的数学学科
什么是统计规律性 统计规律性是指在大量试验中呈现出的数量规律
什么是概率
概率是指刻划随机事件在一次试验中发生的可能性大 小的数量指标.
第一章
概率论的基本概念
§3 事件的概率 设 A 为一随机事件 ,在相同条件下进行 n次重复试验 在一次试验中可能 n A n 次试验中 A 发生的次数 nA 发生也可能不发生 f ( A)
A
nA 1 n n nA
第一章 概率论的基本概念
§3 事件的概率
考察英语文章中26个字母出现的频率，当观察 次数 较大时，每个字母出现的频率呈现稳定性，下面 n 是 Dewey 统计了438023个字母得到的统计表
字母
E
T A O I
频率
0.1268
0.0978 0.0788条性质刻画了频率的本质特 征, 启发我们定义事件的概率
第一章 概率论的基本概念
§3 事件的概率
第一章
概率论的基本概念
§3 事件的概率
P( ) 0 P () P () P ()
因为概率为实数,故 P( ) 0 ,A ,A 若A 1 2 n 是两两不相容的事件,则
() P (A ) 再由概率非负性得 P
P ( ) P () B P () A
事件解释 为区域
B
A
概率解释为 区域面积
第一章 概率论的基本概念
§3 事件的概率
0 P(A ) 1
P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A B ) P (A ) P ( )P (A ) 对于三事件 A1, A2, A3 有
概率论与数理统计
制作人---张 页
古典概型概率的计算步骤: 古典概型概率的计算步骤 (1) 选取适当的样本空间 使它满足有限等可能的 选取适当的样本空间S, 要求, 且把事件A表示成 的某个子集. 表示成S的某个子集 要求 且把事件 表示成 的某个子集 (2) 计算样本点总数 及事件 包含的样本点数 计算样本点总数n及事件 包含的样本点数k. 及事件A包含的样本点数
A中的基本事件数 k = (3) 用下列公式计算 P( A) = 用下列公式计算: S中的基本事件总数 S中的基本事件总数 n
乘法原理: 乘法原理 加法原理: 加法原理 完成一件工作, 个步骤, 类方法有n 步有n 完成一件工作 需要m个步骤 而第1步有 完成一件工作, 需要 个步骤 而第 步有 种 类方法, 完成一件工作 有m类方法 而第 类方法有 1 1 种 类方法 而第1类方法有 方法, 2步有n2种方法 种方法,…,第 第 类方法有n 方法 类方法有 步 步 类方法有 方法, 第2类方法有 2种方法,…,第m类方法有法,种方 方法 第类方法有n 种方法 第m步有nm种方 m 依 次完成这m步时这项工作才完成 步时这项工作才完成, 次完成这 步时这项工作才完成 那么完成这项工 任选一种此工作就完成, 法, 任选一种此工作就完成 那么完成这项工作共有 种不同的方法. 作共有 +…+nm种不同的方法 N=n1+n2N=n1×n2 × … × nm种不同的方法 种不同的方法.
德
制作人---张德平 制作人---张德平
第 12 页
P(B) ≥ P(A).
一般地有: 一般地有 P(B-A)=P(B)-P(AB).
制作人---张德平 制作人---张德平
德
第
4 页
4 A 性质 . 对任一事件 , P(A) ≤ 1.
《概率》统计与概率PPT(频率与概率)
第五章 统计与概率
5.3 概率
5.3.4
频率与概率
- .
-1-
课标阐释
思维脉络
1.在具体情境中,了
解随机事件发生的
不确定性和频率的
稳定性.
2.正确理解概率的
意义,利用概率知
识正确理解现实生
活中的实际问题.
3.理解概率的意义
以及频率与概率的
区别.
4.通过该内容的学
习,培养逻辑推
700÷0.95≈1 789.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
概率的应用——数学建模
典例为了估计水库中鱼的尾数,可以使用以下的方法:先从水库
中捕出2 000尾鱼,给每尾鱼做上记号,不影响其存活,然后放回水库.
经过适当的时间,让其和水库中的其他鱼充分混合,再从水库中捕
出500尾,查看其中有记号的鱼,有40尾,试根据上述数据,估计水库
194
500
470
(1)在上表中填上优等品出现的频率;
(2)估计该批乒乓球优等品的概率.
1 000
954
2 000
1 902
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
解:
抽取球数
优等品数
优等品出
现的频率
50
45
100
92
200
194
500
470
1 000
954
2 000
1 902
0.9
0.92
0.97
A.事件 C 发生的概率为
1
10
1
B.此次检查事件 C 发生的频率为10
《概率》统计与概率(频率与概率)
目录
• 概率与频率 • 概率分布 • 期望与方差 • 大数定律与中心极限定理 • 贝叶斯定理 • 假设检验
01
概率与频率
概率的定义与性质
概率定义为随机事件发生的可能性， 通常用P表示。它具有以下性质
规范性：P(Ω) = 1，其中Ω表示样本 空间的全体。
证明
贝叶斯定理的证明涉及数学和逻辑推理，其 中最常用的方法是利用条件概率的定义进行 证明。通过将总体概率分解为若干个条件概 率的乘积，再利用已知信息对部分条件概率
进行约束，最后得到未知事件的概率。
贝叶斯定理的应用与案例分析
要点一
应用
要点二
案例分析
贝叶斯定理在许多领域都有广泛的应用，例如在医学 诊断中，医生可以根据患者的症状和体征以及已知的 疾病发病率，推断出患者患某种疾病的可能性；在经 济学中，投资者可以根据历史数据和当前市场信息， 预测未来股票价格的走势。
连续性：当试验次数趋向无穷 大时，频率的极限值收敛于概 率。
概率与频率的关系
概率是频率的期望值，即长期试验的结果平均值。在有限次试验中，频率近似等 于概率。
概率和频率都是用来描述随机现象的量度，它们之间存在密切的关系。通过概率 可以预测随机现象的规律性，而通过频率可以验证概率的准确性。
02
概率分布
方差的性质
方差具有非负性、可加性等性质。
期望与方差的关系
期望和方差都是衡量随机变量不 确定性的指标，但它们的度量方
式不同。
期望衡量的是随机变量的平均水 平，而方差则衡量随机变量的波
动程度。
期望和方差之间存在一定的关联 ，当随机变量的分布对称时，期 望和方差之间的大小关系会有所
频率与概率的区别
事件的频率与概率是度量事件出现可能性大小的两个统计特征数。
频率是个试验值，或使用时的统计值，具有随机性，可能取多个数值。
因此，只能近似地反映事件出现可能性的大小。
概率是个理论值，是由事件的本质所决定的，只能取唯一值，它能精确地反映事件出现可能性的大小。
虽然概率能精确反映事件出现可能性的大小，但它通过大量试验才能得到，
这在实际工作中往往是难以做到的。
所以，从应用角度来看，频率比概率更有用，它可以从所积累的比较多的统计资料中得到。
需要指出的是用频率代替概率，并不否认概率能更精确、更全面地反映事件出现可能性的大小，只是由于在目前的条件下，取得概率比取得频率更为困难。
所以，我们才用频率代替概率，以概率的计算方法来计算频率。
概率论与数理统计- 频率与概率
概率的有限可加性
证明 令 An1 An 2 ,
Ai Aj , i j , i , j 1,2,.
由概率的可列可加性得
k 1
P ( A1 A2 An ) P ( Ak ) P ( Ak ) P ( Ak ) 0
A AB
B
且 A ( B AB) ,
故 P ( A B ) P ( A) P ( B AB).
又由性质 3 得
P ( B AB ) P ( B ) P ( AB ),
因此得
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB).
推广 三个事件和的情况
P( AB) 0.5，求P( AB C )
解：P( A C ) P( A) P( AC ) P( A) P(C ) （ AC C） 故：P(C ) P( A) P( A C ) 0.7 0.4 0.3
由此：P( AB C ) P( AB) P( ABC ) P( AB) P(C ) ( ABC C ) 0.5 0.3 0.2
解 P A B C
P A P B P C P AB P AC P BC P ABC
1 1 5 3 0 . 8 4 8
例3 某工厂职工可以订阅两种读物—报纸和杂志， 其中订阅报纸的概率为0.7，订阅杂志的概率为0.2, 两种都订阅的概率为0.1. 求
0.4 0.6
实验者 德 摩根 蒲丰 K 皮尔逊 K 皮尔逊
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频率与概率、统计与概率一. 教学要求1. 会通过试验用频率来估计事情的概率。
2. 会用画树状图、列表等方法求一个简单时间的概率。
3. 体验通过抽样调查利用事物的部分来推断总体的过程，以及会用频率的平均数和已知量来估算未知量。
4. 进一步发展统计意识和数据处理能力，增强数学应用意识和能力，进一步体会如何评判某件事情是否合算，并利用它对一些游戏活动的公平性作出评判。
二. 重点及难点1. 会画树状图求事物的概率。
2. 用样本的平均数估计总体的数量。
3. 从统计图中尽可能多地获取信息并用图表表示，并在此基础上进行数据处理。
三. 课堂教学 ［知识要点］知识点1、用频率估计概率频率：在某一不确定事件中，考察对象出现的次数与试验次数的比叫做频率。
概率：一般地，在大量重复同一试验时，某事件的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做这一事件的概率。
知识点2、利用树状图、列表法计算概率注意：在利用树状图或列表法求概率时，各种情况出现的可能性必须相同，若把可能性不同的情况当成可能的情况处理，则是错误的。
如：抛掷两枚均匀的硬币，同时出现正面的概率。
所以同时出现正面的概率是41知识点3、估计未知量的方法设已知事物出现的频率为u ，多次试验的频率为平均数u ，已知事物的数量为u ，未知事物的数量为x ，则x a au x a a u +≈+=,例如，布袋里有6个白球（已知事物）、若干个黑球（未知事物），随机取出一个球放回再取，在100次中，共有23次取出的是白球，则10023=u （已知事物出现的频率），则x +=6610023（x 表示黑球的个数），再做几次这样的试验，如果这几次频率的平均数为x +=661002110021，则，求出的x 就会更准确一些。
知识点4、不恰当的统计图可能引起一些人为误导。
例如，如图所给出的是两种品牌的酒近年的价格变化比情况，哪一种酒的价格增长较快？这与图像给你的感觉一致吗，为什么图像给人这样的感觉？分析：如图，左图与右图相比，横坐标被压缩了，而纵坐标被放大了，因此直观上看甲种酒的价格增长快，其实不然。
解：事实上，乙种酒的价格增长较快，因为1993年到1997年这4年期间，其价格从40元增长到80元，而甲种酒1990年到1995年以及1995年到2000年这两个5年间均仅增长了10元，这和图像给人的感觉不一致，原因在于两个图像中坐标轴上同一单位长度所表示的意义不一样，左图中价格增长10元看起来比右图中的20元还多，而年份增长5年看起来仅相当于右图的2年左右。
注意：（1）为了较直观的比较两个统计量的变化速度，在绘制折线统计图时，两个图像中，坐标轴上同一单位长度所表示的意义应一致。
（2）为了使所绘制的条形统计图更为直观、清晰，纵轴上的数值应从0开始。
知识点5、游戏活动的公平性游戏活动的公平性是指游戏双方获胜的可能性相同。
判断一个游戏是否公平，我们可以通过计算游戏双方获胜的概率来判断，如果游戏双方获胜的概率相等，那么这个游戏就是公平的，否则游戏就是不公平的。
因为游戏规则是一个游戏公平与否的关键，所以当一个游戏不公平时，我们可以通过修改游戏规则使游戏公平。
【典型例题】例1、（2006宁波）同时抛掷两枚1元的硬币，菊花图案都朝上的概率是（ ）A. 21B. 31C. 41D. 51分析：本题考查用树状图或列表法计算概率，分析如下，树状图：列表如下所示：答案：C例2、（2006广东）牛牛和他的爸爸玩“锤子、剪刀、布”游戏，每次可以用一只手出锤子、剪刀、布三种手势之一，规则是锤子赢剪刀，剪刀赢布、布赢锤子，若两人出相同手势，则算打平手。
（1）你帮牛牛算算爸爸出“锤子”手势的概率是多少？ （2）牛牛决定这次出“布”手势，牛牛赢的概率有多大？ （3）牛牛和爸爸出相同手势的概率是多少？分析：（1）因为共有3种手势，所以爸爸出“锤子”的概率为31（2）当牛牛出“布”手势时，爸爸可以出“锤子、剪刀、布”中的一种，根据规则可知只有当爸爸出“锤子”手势时，牛牛才会赢。
故概率为31，对于（3）的回答需要画树状图分析：解：（1）31(=爸爸出锤子）P3193()3(31()2(===相同手势）牛牛赢）P P例3、盒子里一共有8个球，其中只有3个红球，随意从中摸出2个球，求出下面几种情况的概率：（1）2个球全是红球；（2）2个球中至少有1个红球 （3）2个球中只有1个红球；（4）2个球全不是红球。
分析：如图所示，从8个球中取出2个球共有28种取法，其中全是红球有3种取法，所以2个球全是红球的概率为283，2个球中至少有1个红球的有18种取法，所以至少有1个红球概率为1492818=，2个球中只有1个红球的取法有15种，所以只有1个红球的概率为2815，2个球全不是红球的取法有10种，所以2个球全不是红球的概率为1452810=。
解：2个球全是红球的概率是283，2个球中至少有1个红球的概率是1492818=2个球中只有1个红球的概率是2815，2个球全不是红球的概率是1452810=。
例4、箱子里有若干张扑克，从中取出10张作上记号，然后放回混匀，再随意抽出10张，记下做标记的扑克的张数，如此反复20次，测得做过记号的扑克出现的频率的平均数为0.25，那么箱内大约有多少张扑克？分析：直接代入：x a au +≈，其中,10,25.0==a u 先求出x 。
解：401030,30,101025.0=+≈+≈所以解得x x所以扑克总数约为40张。
例5、（2004贵州）下面两幅统计图，反映了某市甲、乙两所中学学生参加课外活动的情况，请你通过图中的信息回答下列问题：图1 图2（1）通过对图1的分析，写出一条你认为正确的结论 （2）通过对图2的分析，写出一条你认为正确的结论（3）2003年甲、乙两所学校参加科技活动的学生人数共有多少人？ 解：（1）1997-2003年甲校学生参加课外活动的人数比乙校增长得快。
（2）甲校参加文体活动的人数比乙校参加科技活动的人数多。
（3）2000×38﹪+1105×60﹪=1423（人）例6、（2003广州）如图所示，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定，顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券（转盘等分为20份）。
（1）甲顾客购物８０元，他获得转动转盘的机会的概率是多少？（2）乙顾客购物180元，他获得转动转盘的机会的概率是多少？ 他得到100元、50元、20元购物券的概率是多少？解：（1）因为80<100，所以甲获得转动转盘的机会的概率是0 （2）因为100<180<200所以乙获得转动转盘的机会的概率是1。
即得到一次转动转盘的机会5120420(P 20350(P 201100(P ====元购物券）获得元购物券）获得元购物券）获得【模拟试题】（答题时间：70分钟）一、填空题1. 在对100个数据进行整理的频率分布表中，各组的频数之和等于_________，各组的频率之和等于_________.2. 把一组数据分成5组，列出频率分布表，其中第1， 2， 3组的频率之和为0.61，第5组的频率为0.12，那么第4组的频率为_________.3. 观察图1，回答下列问题.图1（1）第_________组的频率最小，第_________组的频率最大. （2）各小组的频率之和为_________.（3）如果第5组的频率为0.1，那么第4组的频率为_________.4. 设计一个方案，估算从3个男生和4个女生中选一个人去参加座谈会是男生的概率是_________.5. 一个口袋中有5粒糖，1粒红色，2粒黄色，2粒白色，今从中任取一粒，是白色的概率为_________.6. 有5个零件，已知其中混入了一个不合格产品，现取其中一个，是正品的概率是_________.7. 如图2，通过试验估算，指针落在阴影部分的概率是_________.（阴影部分的扇形圆心角为120°）图28. 在一个样本中，50个数据分别落在5个组内，第一、二、三、五组的数据个数分别为2，8，15，5，则第四组的频数为_________，频率为_________.9. 某车间甲班的10名工人加工零件，每人完成的件数分别是13 13 16 16 19 21 19 17 19 17，求这班工人日产量的中位数和众数是。
10. 已知一个样本数据是1 2 3 3 6，这个样本的方差是。
11. 绘制条形统计图时，纵轴上的起始值应从开始。
12. 填写完成下表：年收入（万元）0.6 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 9.7 家庭户数这20个家庭的年平均收入为______万元；（1）样本中的中位数是______万元，众数是______万元；（2）在平均数、中位数两数中，______更能反映这个地区家庭的年收入水平.二、选择题1. 下列哪些事件是必然事件（）A. 打开电视，它正播放动画片B. 黑暗中从我的一大串钥匙中随便选出一把，用它打开了门C. 气温低于零摄氏度，水会结冰D. 今天下雨，小明上学迟到2. 我们探究概率主要是针对（）A. 必然事件B. 不可能事件C. 不确定事件D. 上述事件以外的其他事件3. 某学校有320名学生，现对他们的生日进行统计（可以不同年）（）A. 至少有两人生日相同B. 不可能有两人生日相同C. 可能有两人生日相同，且可能性较大D. 可能有两人生日相同，但可能性较小4. 要了解全市中学生身高在某一范围内学生所占的比例，需知道相应的（）A. 平均数B. 方差C. 众数D. 频率分布5. 在统计中，样本的方差可以近似地反映总体的（）A. 平均状态B. 波动大小C. 分布规律D. 最大值和最小值6. 下图是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图。
根据统计图，下面对全年食品支出费用判断正确的是（）A. 甲户比乙户多B. 乙户比甲户多C. 甲、乙两户一样多D. 无法确定哪一户多三、解答题1. 一次数学竞赛，某校有400名学生参加，抽出20名学生的数学成绩如下：85 75 89 90 85 78 94 88 83 6672 71 85 86 96 80 98 87 62 92（1（2）根据上表估计：全校400名学生中，成绩在80分以上的人数约为多少？占多大比例？2. 某鱼塘放养鱼苗10万条，根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为95%，一段时间后准备打捞出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼重2.5千克，第二网捞出25条，称得平均每条鱼重2.2千克，第三网捞出35条，称得平均每条鱼重2.8千克，试估计这塘中鱼的总重量.3. 已知一个样本25，21，23，25，27，29，25，28，30，29，26，24，25，27，26，22，24，25，26，28，（1）列频率分布表，画频率分布直方图.（2）说明频率分布表中频率之和为什么等于1？（3）根据频率分布表指出样本数据落在哪个范围内最多，哪个范围内最少？（4）样本数据落在22.5~24.5范围内的约占总数据的百分之几.4. 某班同学参加公民道德知识竞赛，将竞赛所得成绩（得分取整数）进行整理后分成五组，并绘制成频率分布直方图（如图3所示），请结合直方图提供的信息，解答下列问题：图3（1）该班共有多少名学生？（2）60.5~70.5这一分数段的频数、频率分别是多少？（3）这次竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内？（4）根据统计图，提出一个问题，并回答你所提供的问题.5. 每分钟的心跳次数也称为心率，心率与年龄之间有联系吗？和你的同学一起来参加对这个课题的研究吧！你们可以去图书馆或因特网上收集有关的文字资料，也可以去请教医务工作者，但是别忘记依靠自己的力量去做一些抽样调查.在开始抽样之前，先要明确以下几点：（1）将调查对象分哪几个年龄段，在每一年龄段中选取多少人参加调查.（2）对调查对象在健康、性别、职业、生活条件等方面是否有要求？（3）对调查的环境，测量心率的方法等方面有怎样的规定？调查结束后写一份简短的报告，汇报一下你们是怎样开展调查的？得出了怎样的结论？有哪些证据，支持着你们的结论，所作的调查有没有影响结论真实性的地方？6. 甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示.平均数方差中位数命中9环以上的次数甲7 1.2 7.5 1乙（2）请你从以下四个方面对这次测试结果进行评价.①从平均数和方差相结合看（分析谁的成绩稳定些）；②从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些）；③从平均数和命中9环以上的次数相结合看（分析谁的成绩好些）；④从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）.7. 在青岛市政府举办的“迎奥运登山活动”中，参加崂山景区登山活动的市民约有12000人，为统计参加活动人员的年龄情况，我们从中随机抽取了100人的年龄作为样本，进行数据处理，制成扇形统计图和条形统计图（部分）如下：（1）根据图①提供的信息补全图②；（2）参加崂山景区登山活动的12000 余名市民中，哪个年龄段的人数最多？（3）根据统计图提供的信息，谈谈自己的感想. （不超过30字）【试题答案】一、1. 100 12. 0.273. （1）1 3 （2）1 （3）0.24. 735. 526. 547. 318. 20 0.49. 17、1910. 2.811. 0（1）1.2 ；1.3 （2）中位数二、1. C2. C3. C4. D5. B6. D三、1.（2）成绩80分以上的人数约为260人，占全校的65% 2. 240吨3. （1）略 （2）频率=数据总数频数频率之和=203204208203202++++=1 （3）数据落在24.5~26.5最多，为8个，落在20.5~22.5最少，为2个 （4）15%4. （1）48人（2）频数为12，频率为0.25 （3）70.5~80.5 （4）只要符合题意，合理即可5. 略（2） ①甲②两人一样 ③两人一样④乙图比甲图的折线逐渐升高，所以乙更有潜力 7. （1）如图（2）60—69岁的人最多（3）略。