时间序列数据的基本回归分析模板
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第十章 时间序列数据的基本回归分析
10.1 时间序列数据的性质
• •
我们应该怎样认识时间序列数据的随机性？ 回答：很明显，经济时间序列满足作为随机变量结果 所要求的直观条件，这些变量的结果都无法事先预料 到。（例如，我们今天不知道道琼斯工业指数在下一 个交易日收盘时会是多少，我们也不知道加拿大下一 年的年产出增长会是多少。） 规范地，一个标有时间脚标的随机变量序列被称为一 个随机过程（stochastic process）或时间序列过程 （time series process）。
yt 0 0 zt 1zt 1 2 zt 2 ut
一个q阶有限分布滞后模型可写成：
yt 0 0 zt 1zt 1 q zt q ut
静态模型是上式的一种特例，当 1 , 2 ,, q 都为0 即可。 冲击倾向总是同期z的系数 0 。 长期倾向便是所有变量 zt j 的系数之和。
例10.1 静态菲利普斯曲线 研究失业和通货膨胀之间是否存在替代关系。 H0： 1 0 H1： 1 0 文件：PHILLIPS.RAW 命令：reg inf unem 结果：
上述方程并没有表明unem和inf之间存在替代关系 ˆ 0 ） （因为 1 分析中可能存在的问题： （1）CLM假定不成立（12章）；（2）静态菲利普斯 曲线不是最佳模型（附加预期的菲利普斯曲线）
10.wk.baidu.com 函数形式、虚拟变量和指数
在应用研究中经常出现具有恒定百分比效应的时间序 列回归（自然对数形式） 将对数函数形式用于分布滞后模型：
定理 10.1（OLS的无偏性） 在假定TS.1、TS.2和TS.3下，以X为条件，OLS 估计量是无偏的，并因此下式也无条件地成立： ˆ ) , j 0,1,k E( j j
定理10.2（OLS的样本方差） 在时间序列高斯-马尔可夫假定TS.1-TS.5下，以 ˆ 的条件方差为： X为条件， j ˆ X ) 2 [SST (1 R 2 )], j 1,, k Var( j j j
x j 对所有 SSTj 是 xtj 的总平方和， R j 为由 其中， 2 R 其他自变量回归得到的
2
2 的无偏估计） 定理10.3（ ˆ 2 SSR/ df 是 2 的 在假定TS.1-TS.5下，估计量 一个无偏估计量，其中df=n-k-1 定理10.4（高斯-马尔可夫定理） 在假定TS.1-TS.5下，以X为条件，OLS估计量 是最优线性无偏估计量。 定理10.5（正态抽样分布） 在时间序列的CLM假定TS.1-TS.6下，以X为条 件，OLS估计量遵循正态分布。而且，在虚拟假设下， 每个t统计量服从t分布，F统计量服从F分布，通常构 造的置信区间也是确当的。
LRP 0 1 q
10.3 经典假设下OLS的有限样本性质
假定 TS.1（线性于参数） 假定 TS.2（无完全共线性）：在样本中，没有任何自变量是恒 定不变的，或者是其他自变量的一个完全线性组合。 假定 TS.3（零条件均值）： E(ut X ) 0, t 1,2,, n 2 假定 TS.4（同方差性）：Var(ut X ) Var(ut ) , t 1,2,, n Var(ut X ) 不能依赖于X（只要 u t 和X相互独立就 该假定意味着， 足够了—满足TS.3即可），且在所有时期都保持不变。 假定 TS.5（无序列相关）： Corr(ut , us X ) 0, t s 【提问：我们为什么不假定不同横截面观测的误差是无关的呢？ 答：前述有随机抽样的假定，则以样本中所有解释变量为条件， 不同观测的误差是独立的。因此，就我们当前目的而言，序列 相关只是时间序列和回归中的一个潜在问题。】 假定 TS.6（正态性）：误差 u t 独立于X，且具有独立同分布 Normal (0, 2 )
yt 0 1 zt ut , t 1,2,, n
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考察一个二阶FDL：
0 则表示z在t时期提高 （1）当z发生一个暂时性的提高时， 一个单位所引起y的即期变化。 0 通常被称作冲击倾向（impact propensity）或冲击乘 数（impact multiplier）。 1, 2 ,, j 分别表示这一暂时变化发生后，下一 （注意： 时期、两个时期、…j个时期后y的变化—如图10.1） （2）当z从t期开始永久性提高，一期后y提高了 0 1 ，两 期后y提高了 0 1 2 。 这表明，z的当期和滞后系数之和 0 1 2 ，等于z的永 久性提高导致y的长期变化，它被称为长期倾向（longrun propensity, LRP）或长期乘数（long-run multiplier）。
例10.2 通货膨胀和赤字对利率的影响 1948-2003年数据。 i3：三月期国债利率； inf：据消费者价格指数得出的年通货膨胀率 def：联邦赤字占GDP 的百分比 文件：INTDEF.RAW 命令：reg i3 inf def 结果：
Inf与def对于i3的影响在统计上十分显著，即通货膨 胀上升或赤字相对规模的扩大都会提高短期利率。 （但前提是CLM假定成立）
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10.2 时间序列回归模型的例子
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1、静态模型 我们将有两个变量（例如y和z）的时间序列数据标 注相同的时期，将这样的y和z联系起来即为一个静 态模型（static model）： “静态模型”的名称来源于我们正在模型化y和z的 同期关系的事实。 在一个静态回归模型中也可以有几个解释变量。 2、有限分布滞后模型 在有限分布滞后模型（finite distributed lag model，FDL）中，我们容许一个或多个变量对y的 影响有一定时滞。
10.1 时间序列数据的性质
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我们应该怎样认识时间序列数据的随机性？ 回答：很明显，经济时间序列满足作为随机变量结果 所要求的直观条件，这些变量的结果都无法事先预料 到。（例如，我们今天不知道道琼斯工业指数在下一 个交易日收盘时会是多少，我们也不知道加拿大下一 年的年产出增长会是多少。） 规范地，一个标有时间脚标的随机变量序列被称为一 个随机过程（stochastic process）或时间序列过程 （time series process）。
yt 0 0 zt 1zt 1 2 zt 2 ut
一个q阶有限分布滞后模型可写成：
yt 0 0 zt 1zt 1 q zt q ut
静态模型是上式的一种特例，当 1 , 2 ,, q 都为0 即可。 冲击倾向总是同期z的系数 0 。 长期倾向便是所有变量 zt j 的系数之和。
例10.1 静态菲利普斯曲线 研究失业和通货膨胀之间是否存在替代关系。 H0： 1 0 H1： 1 0 文件：PHILLIPS.RAW 命令：reg inf unem 结果：
上述方程并没有表明unem和inf之间存在替代关系 ˆ 0 ） （因为 1 分析中可能存在的问题： （1）CLM假定不成立（12章）；（2）静态菲利普斯 曲线不是最佳模型（附加预期的菲利普斯曲线）
10.wk.baidu.com 函数形式、虚拟变量和指数
在应用研究中经常出现具有恒定百分比效应的时间序 列回归（自然对数形式） 将对数函数形式用于分布滞后模型：
定理 10.1（OLS的无偏性） 在假定TS.1、TS.2和TS.3下，以X为条件，OLS 估计量是无偏的，并因此下式也无条件地成立： ˆ ) , j 0,1,k E( j j
定理10.2（OLS的样本方差） 在时间序列高斯-马尔可夫假定TS.1-TS.5下，以 ˆ 的条件方差为： X为条件， j ˆ X ) 2 [SST (1 R 2 )], j 1,, k Var( j j j
x j 对所有 SSTj 是 xtj 的总平方和， R j 为由 其中， 2 R 其他自变量回归得到的
2
2 的无偏估计） 定理10.3（ ˆ 2 SSR/ df 是 2 的 在假定TS.1-TS.5下，估计量 一个无偏估计量，其中df=n-k-1 定理10.4（高斯-马尔可夫定理） 在假定TS.1-TS.5下，以X为条件，OLS估计量 是最优线性无偏估计量。 定理10.5（正态抽样分布） 在时间序列的CLM假定TS.1-TS.6下，以X为条 件，OLS估计量遵循正态分布。而且，在虚拟假设下， 每个t统计量服从t分布，F统计量服从F分布，通常构 造的置信区间也是确当的。
LRP 0 1 q
10.3 经典假设下OLS的有限样本性质
假定 TS.1（线性于参数） 假定 TS.2（无完全共线性）：在样本中，没有任何自变量是恒 定不变的，或者是其他自变量的一个完全线性组合。 假定 TS.3（零条件均值）： E(ut X ) 0, t 1,2,, n 2 假定 TS.4（同方差性）：Var(ut X ) Var(ut ) , t 1,2,, n Var(ut X ) 不能依赖于X（只要 u t 和X相互独立就 该假定意味着， 足够了—满足TS.3即可），且在所有时期都保持不变。 假定 TS.5（无序列相关）： Corr(ut , us X ) 0, t s 【提问：我们为什么不假定不同横截面观测的误差是无关的呢？ 答：前述有随机抽样的假定，则以样本中所有解释变量为条件， 不同观测的误差是独立的。因此，就我们当前目的而言，序列 相关只是时间序列和回归中的一个潜在问题。】 假定 TS.6（正态性）：误差 u t 独立于X，且具有独立同分布 Normal (0, 2 )
yt 0 1 zt ut , t 1,2,, n
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考察一个二阶FDL：
0 则表示z在t时期提高 （1）当z发生一个暂时性的提高时， 一个单位所引起y的即期变化。 0 通常被称作冲击倾向（impact propensity）或冲击乘 数（impact multiplier）。 1, 2 ,, j 分别表示这一暂时变化发生后，下一 （注意： 时期、两个时期、…j个时期后y的变化—如图10.1） （2）当z从t期开始永久性提高，一期后y提高了 0 1 ，两 期后y提高了 0 1 2 。 这表明，z的当期和滞后系数之和 0 1 2 ，等于z的永 久性提高导致y的长期变化，它被称为长期倾向（longrun propensity, LRP）或长期乘数（long-run multiplier）。
例10.2 通货膨胀和赤字对利率的影响 1948-2003年数据。 i3：三月期国债利率； inf：据消费者价格指数得出的年通货膨胀率 def：联邦赤字占GDP 的百分比 文件：INTDEF.RAW 命令：reg i3 inf def 结果：
Inf与def对于i3的影响在统计上十分显著，即通货膨 胀上升或赤字相对规模的扩大都会提高短期利率。 （但前提是CLM假定成立）
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10.2 时间序列回归模型的例子
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1、静态模型 我们将有两个变量（例如y和z）的时间序列数据标 注相同的时期，将这样的y和z联系起来即为一个静 态模型（static model）： “静态模型”的名称来源于我们正在模型化y和z的 同期关系的事实。 在一个静态回归模型中也可以有几个解释变量。 2、有限分布滞后模型 在有限分布滞后模型（finite distributed lag model，FDL）中，我们容许一个或多个变量对y的 影响有一定时滞。