时间序列数据分析

（3.2.10）
④ F 越大，模型的效果越佳。统计量 F ～ F （ 1 ， n-2 ）。在显著水平 α 下，若 F>Fα，则认为回归方程效果在此水平下显 著。一般地，当 F<F0.10(1,n-2) 时，则认 为方程效果不明显。
二、非线性回归分析

将非线性函数转换成线性函数
1. 双曲线函数:
1 b a y x
1991
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
31.24
49.17 61.72 76.42 88.96 118.61 107.26 115.54 143.3 175.2 198.31 227.96 301.8 431.84

y
要找一条直线，使
2 ˆ ( y y ) i i min
。 。
。 。 。
。 。 。 。 。 ˆi y
。 。
yi
0
xi
x

求Q对b0,b1的偏导数
若Q要取得最小值，则偏导数应为0。

则

解上述方程组得到
一元线性回归模型的显著性检验
① 方法：F 检验法。 ② 总的离差平方和：在回归分析中，表示y 的n次观测值之间的差异，记为
100
150
200
250
50
0 用电量
月 份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

典的时间序列模型有两种：

加法模型 Y=T+S+C+I 乘法模型 Y=TSCI
时间序列分析步骤
y=b0+b1x
250
300
350

建立 Y 与 X 之间关系的如下线性回归模 型 Y = b0 + b1X + 其中 X —— 解释变量(自变量) Y —— 被解释变量(因变量) b0, b1 —— 模型中的未知参数 —— 随机误差项
最小二乘法 ˆi ，反 ˆi之差 yi y Y 的各观察值 yi 与回归值 y 映了 yi与回归直线之间的偏离程度，我们 希望原数列的观察值与模型的估计值得误 差平方和为最小。 即 =最小值


若a > 0，则 ln y = ln a + b/x 令 y' = ln y, b0 = ln a, x' = 1/x 得：y' = b0+ bx'
y b>0 y a
a 0 x 0
b<0
x
5. 对数函数：y = a + b ln x

令 x' = ln x，得：y = a + bx'
y b>0 0 y b<0

若因变量Ｙ与解释变量 ……具有线性关 系，它们之间的线性回归模型可表示为：
设有n组样本观测数据:


参数的最小二乘估计
解上述联立方程，得到b0,b1,…,bm的值

记上式的系数矩阵为A, 右端常数项矩阵 记为B, 则有
联立方程组的数组形式 (X’X)b=X’y 得 b = (X’X)-1X’y
ˆ ˆ ˆt T TC 0 1

3. SI=Yt/TC。用季节不规则分量SI各周 期中相同期的值的平均数并进行调整之 后作为S分量值。（如对于月度数据有12 个S分量值，把它拼接成一个与季节不规 则风量SI一样长的一个序列S）

4. 用TS两个分量对Yt进行预测。

四、时间序列

时间序列通常认为含有四种成分。


长期趋势（Long term trend），T。描述序 列中长期运动趋势。 循环变量（Cyclical component），C。描述 序列中不同幅度的扩张与收缩，且时间间隔 不同的循环变动。经济问题中常指一年以上 的起伏变化。


季节分量（Seasonal component），S。 描述序列中一定周期的重复变动，周期常 为一年、一季，一周等。 不规则分量（Irregular component），I。 描述随机因素引起的变动，常带有偶然性， 由于各种因素引起变化相互抑制抵消，变 动幅度常较小。
1280
1487 2053 2701 3470 4130 4643 4953 5105 5639 6054 6565 7546 ？
如果2004年计划更新投资431.84亿，那么 人均GDP为多少？
8000 7000 6000
人均GDP
5000 4000 3000 2000 1000 0 0 50 100 150 200 更新改造投资
令 y' =1/y, x' =1/x,，得： y' = a + bx'
y
a>0
b<0 1/a -b/a x
y 1/a
0
a>0 b>0
x
0 -b/a
2. 幂函数： y = axb

若 a > 0，则 ln y = ln a + b ln x 令 y' = ln y，b0 = ln a，x' = ln x， 得： y' = b0 + bx'
S总 Lyy
2 ( y y ) i i 1 n
可以证明
S 总 L yy
n 2 ( y y ) i i 1 n n
ˆi )2 ( y ˆ i y) 2 Q U ( yi y
i 1 i 1
在式（3.2.9）中，Q称为误差平方和，或剩余平方和
ˆi )2 Q ( yi y
i 1
n
而
ˆ i yi ) (a bxi a bx ) 2 U (y
2 i 1 n i 1
n
n
b 2 ( xi x ) 2 wk.baidu.com 2 Lxx bLxy
i 1
称为回归平方和。
③ 统计量F
F U Q n2

回归分析就是对变量间存在的不确定关系进行 分析的统计方法。
年份 更新改造投资
人均GDP
626 703 818 999 1074 1288
湖南省更新改造投资额 （单位：亿元）与人均 GDP的统计数据
1985 1986 1987 1988 1989 1990
16.03 20.03 25.36 31.42 24.28 25.24

1. 通过数据平滑（如k期移动平均）把 原系列Y分离为TC和SI。（数据减少k-1 个）
yt k / 2 ... yt 1 yt yt 1 ... yt k / 2 TC , t k / 2, k / 2 1,...,T k / 2 k

2. 通过用趋势循环分量(TC)对时间t回归， 求出长期趋势T。
时间序列数据分析
主要内容

一、 二、 三、 四、
一元线性回归分析 非线性回归分析 多元线性回归分析 时间序列分析
一、一元线性回归分析

在经济管理和其他领域中，人们经常需要研究 两个或多个变量(现象)之间的相互(因果)关系， 并使用数学模型来加以描述和解释。如：

商品销售量与价格间的关系； 产品的某些质量指标与某些控制因素之间的关系； 家庭消费支出与家庭收入间的关系等等。
b>1 b=1 0<b<1 y a 0 a>0
y a
b<0
0
1 a>0
x
1
x
3. 指数函数：y = ae bx

若 a > 0，则 ln y = ln a + bx y y' = ln y，b0 = ln a，得： y 令 y' = b0 +
bx
b>0
a>0 a x 0
b<0
a 0
x
4. 负指数函数：y = aeb/x
x
0
x
6.

b 逆函数： y a x
y a
令 x' = 1/x，得 y = a + bx'
y b>0
0 a b<0
x
0
x
7．S

1 型曲线： y a be x
令 y' = 1/y，x' = e -x，得：y' = a +
bx'
y
1/a
1/(a+b) 0 x
三、多元线性回归分析