第10章 时间序列数据的基本回归分析
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* 2 xt 1 x x xt 2 t t 1
yt x ut
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代入回归方程形成了无限分布滞后模型
10.2 时间序列回归模型的例子
• 自回归分布滞后模型（ARDL）： y y z u 如利用季度数据建立的消费函数：
第二篇时间序列数据的回归分析
目前大部分教科书将时间序列数据与横截面数据的 分析混在一起，本书将两者分开讨论，更能突出时 间序列数据不同于横截面数据的特点及分析方法的 差异，但限于篇幅的限制，本书在时间序列方面只 讨论基本的内容，详细的细节需参考专门的时间序 列计量分析的书籍。第十章讨论时间序列数据的特 点和相应的经典线性模型的假定，以及在此框架下 一些分析工具。第十一章讨论在违背经典线性模型 假定下大样本分析方法，其中有二个重要概念被讨 论：平稳性和遍历性。第十二章讨论时间序列数据 中最常遇到的序列相关现象，此现象类似于截面数 据中的异方差。为了内容的连续性，高级专题中的 第十八章提到此部分，着重讨论非平稳时间序列的 分析方法：单位根检验、协整和误差修正模型，这 部分是时间序列分析现代方法，应用比较普遍。
p q t i 1 i t i j 0 j t j t
ct i ct i j incomet j ut
i 1 j 0
3
4
此类模型中自变量对因变量的影响的分析比 较复杂，需利用滞后算子工具。
10.3 经典假设下OLS的有限样本性质
对时间序列数据的回归，要使OLS具有良好 的有限样本性质，需要怎样的假定？与截 面数据相比，时间序列数据不满足随机抽 样的假定，因此其他的假定需有一定加强 OLS的无偏性： 假定TS.1（参数的线性性）：随机过程 x , x ,, x , y : t 1, 2,, n 服从线性模型：
10.5 趋势和季节性
时间序列趋势的描述：许多经济时间序列 均表现出随时间而上升的共同趋势，如何 描述这种时间上的趋势？通常将趋势分成 两类：确定性趋势和随机趋势。本节讨论 确定性趋势，而随机趋势在第十八章讨论 确定性趋势是指其趋势可用一个时间t的函数 来表示，其判别方法是从时间序列中去除 一个时间t的函数后，剩余部分是平稳的。 线性时间趋势、二次时间趋势和指数趋势
E ut xt1 , xt 2 , , xtk
0
为什么在截面数据回归的假定MLR.3中没有要 求对不同的观测i成立？因为在随机抽样的假定 u i自动独立于其他观测中的解释变量。 下，
10.3 经典假设下OLS的有限样本性质
在社会科学中许多解释变量明显违背严外生假定， 除了第九章里讨论的各种违背外生性的情形外， 对时间序列数据，严外生性排除了误差项的即期 变化可能导致自变量未来变化的可能性，也就是 排除了因变量y对自变量x的反馈作用，而这种反 馈作用在许多现象中均存在。如在农产量的回归 模型中，农民可能根据上一年的产量来调整劳动 投入。政策变量，如货币供给的增长、福利开支、 高速公路的限速等经常受结果变量过去情况的影 响。同期外生性可能更合理，但OLS的无偏性需 要严外生性的假定。
10.4 函数形式与虚拟变量
事件研究法（event study）广泛在会计学、 金融学等学科的实证研究中使用，其目的 是研究某个特定事件对资本市场上股票价 格的影响，以说明事件的影响结果或信息 的作用。此方法需要将样本期分为二个时 期：事件发生前与事件发生后，或者分为 三个时期，无消息期、消息可能泄露期和 信息公布期。虚拟变量被用来表示不同的 时期。例10.5 中befile6、affile6、afdec6
10.1时间序列数据的性质
时间序列数据区别于横截面数据的特点： • 时间序列数据是按时间顺序排列的，这意 味不同时间上的数据是相互影响的，即过 去会影响未来，而截面数据的随机抽样的 观点意味着不同个体数据之间是独立的， 因此数据排序是无意义的。 • 时间序列数据的随机性从事先不能完全确 定来理解，而截面数据的随机性是从随机 抽样的角度来理解。
gfrt 0 pet 1 pet 1 2 pet 2 ut
10.2 时间序列回归模型的例子
• 无限分布滞后模型： yt i zt i t 0 如预期的经济模型：
ut
其中 xt*为变量x的预期，预期的形成机制为： xt* xt*1 1 xt 根据此形成机制可得：
E ut X
0,
x11 , x12 , , x1k X xt1 , xt 2 , , xtk x , x , , x n2 nk n1
10.3 经典假设下OLS的有限样本性质
TS.3是关键假定，需给予更深的理解。 直观上，TS.3意味着t期的误差项 u t 与所有时期 的任何解释变量不相关，这被称为严格外生性 （strictly exogenous）。比此假定弱的假定是 同期外生性：
10.2 时间序列回归模型的例子
静态模型：没有跨期影响 一般形式： yt 0 1z1t k zkt ut , t 1,2,, n 如静态Phillips曲线：
inft 0 1unemt ut
谋杀案发生率静态模型：
mrdrtet 0 1convrte 2unemt 3 yngmlet ut
10.3 经典假设下OLS的有限样本性质
定理（OLS的无偏性）：在假定TS.1-TS.3下， 以X为条件OLS估计量是无偏的：
ˆ X E j
j
, j 0,1, 2, , k
高斯-马尔可夫定理： 假定TS.4（同方差性）：
var ut X
2
, t 1, 2, , n
10.3 经典假设下OLS的有限样本性质
经典线性模型假定下的推断 为了使用t统计量和F统计量进行统计推断，需要增 加一个假定。 2 假定TS.6（正态性）： ut X Normal 0, 定理（OLS估计量的正态分布）：在假定TS.1-TS.6 下，以X为条件，OLS估计量服从正态分布。 时间序列数据的经典线性模型假定，比横截面数据 的假定更强，特别是严外生性和无序列相关的假 定不太现实，需要发展更一般假定下的理论。尽 管如此，CLM框架仍是许多应用一个很好起点。
此类静态模型中系数的解释与截面回归模型 类似。
10.2 时间序列回归模型的例子
动态模型：存在跨期影响 • 有限分布滞后模型（FDL） q yt i zt i ut 一般形式： t 0 如对生育妇女所得税减免对生育率的影响：
对动态模型，自变量对因变量的影响需分两方面讨论：即期 影响和长期影响 同期z的系数 0 表示z在t期提高一个单位所引起的y的即期 变化，被称为冲击倾向（impact propensity）或即期倾向。 Z的当前和滞后项的系数之和 q ，表示z的永久性提高导 i 致y的长期变化，被称为长期倾向（ long-run propensity， i 0 LRP）或长期乘数。
10.5 趋势和季节性
与截面数据的回归相比，时间序列数据回归中的 拟合优度 R 2 通常很大，这并不意味着拟合效果更 好，可能是数据的特点不同：一方面时间序列数 据经常是以总量形式出现，而总量数据通常比个 人、家庭或企业数据容易解释，另一方面，当因 变量含有趋势时，时间序列回归中的拟合优度可 能人为地变大。 季节性：当使用月度或季度数据时，数据中往往 存在季节性的变化，即一年内的周期性变化，这 时需要进行季度调整。我们可以在模型中加入一 组季节虚拟变量来反映季节性。
第十章时间序列数据的基本回归分析
本章讨论时间序列数据的特点和使用经典线 性模型来分析时间序列数据的相关问题： 假定、可能违背假定的情形、应用中经常 遇到的问题及相应的解决方法。 10.1 时间序列数据的特点 10.2 时间序列回归模型的例子 10.3 经典假设下OLS的有限样本性质 10.4 函数形式、虚拟变量 10.5 趋势和季节性
t1 t2 tk t
yt 0 1 xt1 k xtk ut
此假定等同于假定MLR.1
10.3 经典假设下OLS的有限样本性质
假定TS.2（不存在完全共线性）：在样本中 （并在潜在的时间序列过程中）没有任何 自变量是恒定不变的，或者是其他自变量 的一个完全线性组合。 此假定等同于MLR.4假定。 假定TS.3（零条件均值）：对每个t，给定所 有时期的解释变量，误差项 u t 的期望为0
10.1时间序列数据的性质
时间序列数据随机性的刻画：随机过程 既然不能用截面数据的随机抽样的观点来看待时间 序列数据，如何刻画时间序列数据的随机性？这 需要使用随机过程的工具，即采用一个带有时间 下标的随机变量序列来刻画，又称时间序列过程。
: t 1 , 2, 对收集到的时间序列数据集，被看成是该随机过程 的一个可能结果，也称一个实现（realization）， 此随机过程有时称为数据生成过程（datagenerating process，DGP）。
假定TS.5（无序列相关）：
corr ut , us X 0, t s
10.3 经典假设下OLS的有限样本性质
定理（OLS估计量的方差）：在假定TS.12 TS.5下 ˆ
var j X
SST j 1 R
2 j
, j 1, , k
定理（ 2的无偏估计）：在假定TS.1-TS.5下 ˆ 2 SSR / n k 1 是 2 的无偏估计。 估计量 定理（高斯-马尔可夫定理）：在假定TS.1TS.5下，以X为条件，OLS估计量是最佳线 性无偏估计量（BLUE）。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
xt
10.1时间序列数据的性质
例：表10.1给出了1948-2003年美国的通胀率时间 序列数据： 8.1%, 1.2%,1.3%,7.9%,,2.8%,1.6%,2.3% 此时间序列数据可看出一个数据生成过程（DGP）： inflationt : t 1948,, 2003 的一个实现。可以设想如果经济形势和政策不同的 话，则会得到另一个不同的实现。 在实际应用中，我们通常只能得到DGP的唯一一个 实现，这给分析带来了困难，由此需要引入一些 新的概念，如平稳性和遍历性。
10.5 趋势和季节性
使用存在趋势变量的回归分析：在回归分 析中如果直接使用存在趋势的变量，可能 产生谬误回归问题（spurious regression problem），即回归发现的变量间的关系可 能只是其趋势因素带来的，而变量间没有 实质的关系。 对于具有确定性趋势的变量，为了避免谬误 回归问题，可采用两种方法。一是在回归 中加入时间变量t，一是在回归前对每个具 有趋势的变量进行除趋势，然后在回归。 这两种方法的效果是相同的
10.4 函数形式与虚拟变量
在截面数据模型中使用的所有函数形式都可 以在时间序列回归中应用，最重要的是自 然对数。对数模型中更经常被用来估计短 期弹性和长期弹性。 虚拟变量在时间序列模型中也相当有用，特 别是表示某特定事件在每个时期是否发生 的虚拟变量。如例10.4美国生育率模型中的 虚拟变量ww2和pill，表示二战时期和避孕 药使用的时期。
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代入回归方程形成了无限分布滞后模型
10.2 时间序列回归模型的例子
• 自回归分布滞后模型（ARDL）： y y z u 如利用季度数据建立的消费函数：
第二篇时间序列数据的回归分析
目前大部分教科书将时间序列数据与横截面数据的 分析混在一起，本书将两者分开讨论，更能突出时 间序列数据不同于横截面数据的特点及分析方法的 差异，但限于篇幅的限制，本书在时间序列方面只 讨论基本的内容，详细的细节需参考专门的时间序 列计量分析的书籍。第十章讨论时间序列数据的特 点和相应的经典线性模型的假定，以及在此框架下 一些分析工具。第十一章讨论在违背经典线性模型 假定下大样本分析方法，其中有二个重要概念被讨 论：平稳性和遍历性。第十二章讨论时间序列数据 中最常遇到的序列相关现象，此现象类似于截面数 据中的异方差。为了内容的连续性，高级专题中的 第十八章提到此部分，着重讨论非平稳时间序列的 分析方法：单位根检验、协整和误差修正模型，这 部分是时间序列分析现代方法，应用比较普遍。
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此类模型中自变量对因变量的影响的分析比 较复杂，需利用滞后算子工具。
10.3 经典假设下OLS的有限样本性质
对时间序列数据的回归，要使OLS具有良好 的有限样本性质，需要怎样的假定？与截 面数据相比，时间序列数据不满足随机抽 样的假定，因此其他的假定需有一定加强 OLS的无偏性： 假定TS.1（参数的线性性）：随机过程 x , x ,, x , y : t 1, 2,, n 服从线性模型：
10.5 趋势和季节性
时间序列趋势的描述：许多经济时间序列 均表现出随时间而上升的共同趋势，如何 描述这种时间上的趋势？通常将趋势分成 两类：确定性趋势和随机趋势。本节讨论 确定性趋势，而随机趋势在第十八章讨论 确定性趋势是指其趋势可用一个时间t的函数 来表示，其判别方法是从时间序列中去除 一个时间t的函数后，剩余部分是平稳的。 线性时间趋势、二次时间趋势和指数趋势
E ut xt1 , xt 2 , , xtk
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为什么在截面数据回归的假定MLR.3中没有要 求对不同的观测i成立？因为在随机抽样的假定 u i自动独立于其他观测中的解释变量。 下，
10.3 经典假设下OLS的有限样本性质
在社会科学中许多解释变量明显违背严外生假定， 除了第九章里讨论的各种违背外生性的情形外， 对时间序列数据，严外生性排除了误差项的即期 变化可能导致自变量未来变化的可能性，也就是 排除了因变量y对自变量x的反馈作用，而这种反 馈作用在许多现象中均存在。如在农产量的回归 模型中，农民可能根据上一年的产量来调整劳动 投入。政策变量，如货币供给的增长、福利开支、 高速公路的限速等经常受结果变量过去情况的影 响。同期外生性可能更合理，但OLS的无偏性需 要严外生性的假定。
10.4 函数形式与虚拟变量
事件研究法（event study）广泛在会计学、 金融学等学科的实证研究中使用，其目的 是研究某个特定事件对资本市场上股票价 格的影响，以说明事件的影响结果或信息 的作用。此方法需要将样本期分为二个时 期：事件发生前与事件发生后，或者分为 三个时期，无消息期、消息可能泄露期和 信息公布期。虚拟变量被用来表示不同的 时期。例10.5 中befile6、affile6、afdec6
10.1时间序列数据的性质
时间序列数据区别于横截面数据的特点： • 时间序列数据是按时间顺序排列的，这意 味不同时间上的数据是相互影响的，即过 去会影响未来，而截面数据的随机抽样的 观点意味着不同个体数据之间是独立的， 因此数据排序是无意义的。 • 时间序列数据的随机性从事先不能完全确 定来理解，而截面数据的随机性是从随机 抽样的角度来理解。
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10.2 时间序列回归模型的例子
• 无限分布滞后模型： yt i zt i t 0 如预期的经济模型：
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其中 xt*为变量x的预期，预期的形成机制为： xt* xt*1 1 xt 根据此形成机制可得：
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10.3 经典假设下OLS的有限样本性质
TS.3是关键假定，需给予更深的理解。 直观上，TS.3意味着t期的误差项 u t 与所有时期 的任何解释变量不相关，这被称为严格外生性 （strictly exogenous）。比此假定弱的假定是 同期外生性：
10.2 时间序列回归模型的例子
静态模型：没有跨期影响 一般形式： yt 0 1z1t k zkt ut , t 1,2,, n 如静态Phillips曲线：
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谋杀案发生率静态模型：
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10.3 经典假设下OLS的有限样本性质
定理（OLS的无偏性）：在假定TS.1-TS.3下， 以X为条件OLS估计量是无偏的：
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高斯-马尔可夫定理： 假定TS.4（同方差性）：
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10.3 经典假设下OLS的有限样本性质
经典线性模型假定下的推断 为了使用t统计量和F统计量进行统计推断，需要增 加一个假定。 2 假定TS.6（正态性）： ut X Normal 0, 定理（OLS估计量的正态分布）：在假定TS.1-TS.6 下，以X为条件，OLS估计量服从正态分布。 时间序列数据的经典线性模型假定，比横截面数据 的假定更强，特别是严外生性和无序列相关的假 定不太现实，需要发展更一般假定下的理论。尽 管如此，CLM框架仍是许多应用一个很好起点。
此类静态模型中系数的解释与截面回归模型 类似。
10.2 时间序列回归模型的例子
动态模型：存在跨期影响 • 有限分布滞后模型（FDL） q yt i zt i ut 一般形式： t 0 如对生育妇女所得税减免对生育率的影响：
对动态模型，自变量对因变量的影响需分两方面讨论：即期 影响和长期影响 同期z的系数 0 表示z在t期提高一个单位所引起的y的即期 变化，被称为冲击倾向（impact propensity）或即期倾向。 Z的当前和滞后项的系数之和 q ，表示z的永久性提高导 i 致y的长期变化，被称为长期倾向（ long-run propensity， i 0 LRP）或长期乘数。
10.5 趋势和季节性
与截面数据的回归相比，时间序列数据回归中的 拟合优度 R 2 通常很大，这并不意味着拟合效果更 好，可能是数据的特点不同：一方面时间序列数 据经常是以总量形式出现，而总量数据通常比个 人、家庭或企业数据容易解释，另一方面，当因 变量含有趋势时，时间序列回归中的拟合优度可 能人为地变大。 季节性：当使用月度或季度数据时，数据中往往 存在季节性的变化，即一年内的周期性变化，这 时需要进行季度调整。我们可以在模型中加入一 组季节虚拟变量来反映季节性。
第十章时间序列数据的基本回归分析
本章讨论时间序列数据的特点和使用经典线 性模型来分析时间序列数据的相关问题： 假定、可能违背假定的情形、应用中经常 遇到的问题及相应的解决方法。 10.1 时间序列数据的特点 10.2 时间序列回归模型的例子 10.3 经典假设下OLS的有限样本性质 10.4 函数形式、虚拟变量 10.5 趋势和季节性
t1 t2 tk t
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此假定等同于假定MLR.1
10.3 经典假设下OLS的有限样本性质
假定TS.2（不存在完全共线性）：在样本中 （并在潜在的时间序列过程中）没有任何 自变量是恒定不变的，或者是其他自变量 的一个完全线性组合。 此假定等同于MLR.4假定。 假定TS.3（零条件均值）：对每个t，给定所 有时期的解释变量，误差项 u t 的期望为0
10.1时间序列数据的性质
时间序列数据随机性的刻画：随机过程 既然不能用截面数据的随机抽样的观点来看待时间 序列数据，如何刻画时间序列数据的随机性？这 需要使用随机过程的工具，即采用一个带有时间 下标的随机变量序列来刻画，又称时间序列过程。
: t 1 , 2, 对收集到的时间序列数据集，被看成是该随机过程 的一个可能结果，也称一个实现（realization）， 此随机过程有时称为数据生成过程（datagenerating process，DGP）。
假定TS.5（无序列相关）：
corr ut , us X 0, t s
10.3 经典假设下OLS的有限样本性质
定理（OLS估计量的方差）：在假定TS.12 TS.5下 ˆ
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定理（ 2的无偏估计）：在假定TS.1-TS.5下 ˆ 2 SSR / n k 1 是 2 的无偏估计。 估计量 定理（高斯-马尔可夫定理）：在假定TS.1TS.5下，以X为条件，OLS估计量是最佳线 性无偏估计量（BLUE）。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
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10.1时间序列数据的性质
例：表10.1给出了1948-2003年美国的通胀率时间 序列数据： 8.1%, 1.2%,1.3%,7.9%,,2.8%,1.6%,2.3% 此时间序列数据可看出一个数据生成过程（DGP）： inflationt : t 1948,, 2003 的一个实现。可以设想如果经济形势和政策不同的 话，则会得到另一个不同的实现。 在实际应用中，我们通常只能得到DGP的唯一一个 实现，这给分析带来了困难，由此需要引入一些 新的概念，如平稳性和遍历性。
10.5 趋势和季节性
使用存在趋势变量的回归分析：在回归分 析中如果直接使用存在趋势的变量，可能 产生谬误回归问题（spurious regression problem），即回归发现的变量间的关系可 能只是其趋势因素带来的，而变量间没有 实质的关系。 对于具有确定性趋势的变量，为了避免谬误 回归问题，可采用两种方法。一是在回归 中加入时间变量t，一是在回归前对每个具 有趋势的变量进行除趋势，然后在回归。 这两种方法的效果是相同的
10.4 函数形式与虚拟变量
在截面数据模型中使用的所有函数形式都可 以在时间序列回归中应用，最重要的是自 然对数。对数模型中更经常被用来估计短 期弹性和长期弹性。 虚拟变量在时间序列模型中也相当有用，特 别是表示某特定事件在每个时期是否发生 的虚拟变量。如例10.4美国生育率模型中的 虚拟变量ww2和pill，表示二战时期和避孕 药使用的时期。