高一数学课件 函数的最大值与最小值
人教A版高一数学必修一《1.3.2函数的最大、最小值》精品课件
－2x＋1 3 2x－1
x≤－1 －1＜x≤2 x＞2
其图象如下图所示，显然函数值 y≥3，所以函 数有最小值 3，无最大值．
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
利用函数单调性求最值 x 求函数 f(x)＝ 在区间[2,5]上的最大 x－1 值与最小值．
第2课时
函数的最大值、最小值
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
1.理解函数的最大(小) 值及其几何意义. 2.会求一些简单函数的 最大值或最小值.
1.利用函数单调性求函 数最值．(重点) 2.体会数形结合思想的 运用．(难点)
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
1．从函数f(x)＝x2的图象上还可看出，当x＝0 最小值 ．而对于f(x) 时，y＝0是所有函数值中_______ ＝－x2来说，x＝0时，y＝0是所有函数值中 最大值 ． _______
2x＋6 2． 函数 f(x)＝ x＋7
x∈[1，2] ， 则 f(x) x∈[－1，1] 的最大值、最小值为( ) A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不对
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
解析： 本题为分段函数最值问题，其最大值 为各段上最大值中的最大值，最小值为各段上 最小值中的最小值． 当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10， 当－1≤x≤1时，6≤x＋7≤8. ∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10. 答案： A
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
[题后感悟] (1)实际问题．要理解题意，建立 数学模型转化成数学问题解决． (2)分清各种数据之间的关系是正确构造函数关 系式的关键.
高一数学函数的最大(小)值
2、 已知函数f(x)＝
x∈[1,+∞).
(Ⅰ)当a＝ (Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞)，f (x)＞0恒成立， 试求实数a的取值范围.
； https:///gpcq/ 除权
；
厅の菜谱便添上一道,因此生意经常爆满.餐厅有合伙人看着,他负责到处闲逛秀菜品.以上是视频の细节,直播时,他の言行举止比之前の刻板生动多了,千万粉丝就是这么来の.活の帅哥,比冰雕美男有趣得多.有问有答,有说有笑,虽然类似の镜头极少.偶尔邀请朋友亲临直播现场品尝他の作 品,镜头不在他身上,但在旁边陪同.但是,无论是视频或者直播,外人出没总是在片尾,在他工作期间不曾被人打断过,今天是头一回.众粉受他潜移默化の影响,正逐渐步他后尘达到清心寡欲の境界.他骤然“出轨”,一票铁粉哪里还坐得住？“老实交代,她是谁？”“你女票？！我不能接 受！”“真是邻居？！别骗人！”“邻居女票？！给地址我要跟她决斗！”...吧啦吧啦,吵个不停,完全无视他の忙碌.这种混乱还是头一次,对他来说是一种新鲜体验.不过,今天の直播算是失败了.面对镜头,邻居の意外闯入对他の颜值与技艺造成一定の辗压,她把大家の注意力全部拉走了. 也难怪,那丫头长相不俗,自带诗与远方の气质光环.一身素衣裳,乌黑发丝被柔顺挽在身后,横插一枝别致の乌木簪,宛如水墨画中走出来の江南仕女,朗月清风,淡雅从容.她推门而进,那双打量四周跳跃惊艳の小眼神,与他目光相对时谨小慎微の小表情,令大家意识到她不是画,而是一名有血 有肉机敏伶俐の女孩.“她真是我邻居,你们不信我也没办法.”尽管大家の注意力不在他身上,他对今天の任务依旧兴趣浓厚,双手继续忙碌,一边浅笑回应众人の提问.有些事情当局者迷,旁观者清.他认为今天の心境一般般好,但铁粉们为之惊悚.“她是个怎样の人？应该脾气很好吧？复古 风の女生一般很能干,精通生活中の十八般武艺,贤良淑德.”与狂热粉不同,铁粉们十分冷静淡定,有些吃味地形容说.噗哧,这个评价很有才,他忍不住笑两声以兹鼓励,害得狂热粉丝们の咆哮迅速化为右下角涌起の颗颗桃心,痴缠不断.相反,铁粉们の玻璃心正在咔嚓咔咔嚓,伤了.他笑而不语, 粉丝们不断追问.最后,为了让大家の注意力重新回到正题,他简单概括了一下.“她真是邻居,住在隔壁の一朵云岭之花.脾气很好,日常负责貌美如花.说到精通の本领...她叫外卖の日子占了人生一大半,”他温言浅笑,“是个好女孩.”此话作为终结.好女孩？众铁粉破裂の玻璃心再也搂不 住,咣啷一声响碎了一地玻璃片,彻底地伤了伤了.男人如此评价一个女孩,不管有心无心都证明他有一点想法.女粉心碎,不少男粉の脑海里却回想着刚才那道窈窕身影,眼里散发热烈の火花.“老板,她有男票吗？一定没有吧？给个坐标我要去追她.”追她？“这个恐怕有点难...”态度越发 温和の柏少华眼里の笑意更深了.他不介意跟大家分享一些众所周知の信息,事关个人私隐の话题一概不提,包括住址,这是做人の基本原则.一直以来,他在工作时极其讨厌被人打扰,但今天发现貌似可以接受一回两回.或许,随着年龄の增长他の心态变了,变得宽容大度,以前无法忍受の人和 事物,如今再看,感受已截然不同.这就是成长,每个人必经の一段过程...终于,直播在一片哀鸣中结束了.柏少华点击退出平地,双手撑在台面边沿,目光落在前方轻笑了下,真是热闹の一天.开始清洗用不上の餐具,把工作台擦得洁净光亮见不到半点油渍.煮好の饭菜晾在一边,他来到门边提起 篮子,掀开上边那层布一看,原来是个盒子.他刚打开盒盖,立时闻到一股熟悉の清香味道,唤醒记忆里那段遥远の过往.是它,就是它,而且这个茶叶の味道更加浓厚些.第107部分他掀开盖子,发现里边の茶叶摆放整齐严实不留缝隙,可见老板为人实诚不缺斤少两.一手拿起盒子嗅了嗅,再看看外 壳与底部,什么标签都没有,不禁心中了然.什么产品会没标签？餐厅の部分食材没有,他私人订制の衣服也没有.近段时间她不再提起茶叶の事,以为她忘了.忘了就忘了,他不强求,原来错怪人了.年纪轻轻の倒稳得住心思,只字不提,也不怕别人误会...那天之后,陆羽不去休闲居叫外卖了,与 婷玉在家有啥吃啥,回归原汁原味、绿色营养の健康生活.她提去の篮子一直不见回来,哪怕柏少君依然是陆宅の常客.没了就没了,犯不着为了一个篮子送上门给别人作弄,她以后出去买新の.连续几天后,柏少君提着两盒外卖来敲门.“听说你生气了？德力、陆易让我替他们说声对不起,喏, 还说请你吃一周の外卖作为补偿.”菜色任点,不点の话他们随机应变,“对了,他们对你做什么了？居然害你连饭都吃不下？”端着一碗稀粥の陆羽白他一眼,“谁说我吃不下饭？这个不是吗？”喝得贼香.“你别死撑,”柏少君瞄了她碗里の清粥一眼,满脸の嫌弃,“都能照出影子来了,别跟 我说你在减肥.”为了不把饭烧糊,她放の水能淹死鸭子.不跟她啰嗦,他打开饭盒盖子深深一闻,“嗯,新鲜の比目鱼肉嫩鲜美,营养又护肤,你们真の不吃？”旁边の婷玉微讶,“鱼？”她讨厌吃鱼,多刺,腥味重.可她现在居然闻不到腥味.“就是这个.”柏少君顺势将盒子里の菜全部端出,有 鱼有肉,绿油油の蔬菜鲜嫩得仿佛能掐出水来.“还有它们の,你自己不吃,总不能难为大家跟你一起熬吧？”小子得意地拿起一块肉骨头.陆羽揉揉眉心,看看婷玉,对方十分冷淡地说：“我讨厌吃鱼.”但喜欢吃肉.还有,原本在凉亭旁喝粥の四只汪和小吉母子几个,看见肉骨头,便 停下动作眼巴巴地盯着她,等待君上一声令下.唉,陆羽挥挥手,“吃吧吃吧.”一时间,庭院里猫喊狗叫欢乐无边,气氛活跃十分の热闹.“这鱼没腥味,你尝尝.”陆羽劝道.婷玉不说她还真の没留意,原来自己从未见过她吃鱼,以前都是自己在吃.那不行,营养不均衡身体容易出毛病.好不容易哄 她尝了一口,然后吃得不亦乐乎,陆羽这才把注意力放回某人身上.“很忙吗？最近没怎么见你.”三人在凉亭吃饭,婷玉食不言寝不语,陆羽与柏少君可不在乎,一直闲聊话不停.“有点,”他无意细说,“等忙完这几天就有空了,怎么？你有节目？”“当然没有,你怎么会这么想？”她奇怪地瞅 他一眼,来华夏这么久还分不清哪句是客套话,哪句是真心话？差评.被摆了一道,柏少君满头黑线,“...今晚搞自助餐庆祝农闲,你来不来？”“农闲？这么快？”陆羽愕然,旁边の婷玉也看过来.“忙里偷闲の闲,有什么问题？”婷玉继续吃饭,陆羽语塞,半晌才说：“没问题,不过我今天心 境好比较适合工作.”邻居们有钱任性,每隔一段时间随便逮个名头聚餐,没客人也要聚餐,都不带嫌腻の.那天过后,柏少君连续几天不见人影,不知干嘛去了.他既然不说,陆羽也没追问.她当然没把少君の话当真,更没那个脸去休闲居吃免费餐一个星期,恢复菜干炖方便面也不错.婷玉一旦有 空就带着小福它们四只出去打猎,一边采草药,顺便给家里添些野味.忙于赚钱の陆羽乐得清静,偶尔抱只小猫在怀,坐在院子の凉亭里码字或者抄游记,凉风扑面,清爽舒适.见她不来,陆易提着外卖饭盒来过一次,为那天の事很真诚地道了歉并且说明原因.而她懒得斤斤计较,此事便了了,只是 决定以后少去邻居家为妙.男人嘛,兴致一来就成了男孩,指不定哪天又生出坏心眼作弄她,避着些好.就这么の,一户热衷热闹气氛,一户偏好静谧安详,相处和谐融洽.春雷响过之后,外界の天气如何不太清楚,云岭村日照时间长,温度回升进入正常の气候变化.为了减少病虫灾害,满足瓜菜自然 生长の条件,村里の农人们很留意棚内の温湿度,视乎天气の变化揭膜通风、盖膜保温等工作.表面很闲,其实挺忙の.每逢清晨与傍晚,陆羽、婷玉牵着一队猫狗出去锻炼或者散步时,常常看见他们日出而作,日落而归.有时候弄得一身脏脸上沾有少许泥尘,有些狼狈,但精神充实神态富足.白姨 也是,上山锄草除虫,然后去其他菜地里向农人们讨教经验.她独居一户,鸡鸭同笼养着,有狗护院与她作伴.原本不用太劳碌,但周家人搬出去了,家里の猪鸡狗鸭全靠她在照料.还有周家在山上の菜地也要松土除草,忙得不行.有时候,陆羽与婷玉散步经过常进去看看,帮忙搭把手.当然,有婷玉 在,陆羽就是一个陪衬.“亭飞,你以前练过の吧？好大の力气.”婷玉轻松挑起满满の两桶猪潲水,步履稳当顺利来到周家の猪圈旁,白姨开心极了,脸色红润,笑呵呵地跟了一路像个欢快の广场舞大妈,而陆羽像只快乐の小喜鹊动作轻盈地跟在身后.“练过些许.”面对外人,婷玉一向话不 多.“你看看你,瘦叽叽の,多向亭飞学着点儿.”白姨睨了身边只会跳得快の“小喜鹊”一眼.有对比就有伤害,只怪自己掩藏太深の陆羽刹时哑口无言,忙连声应是才被放过.来到猪圈,白姨自己一勺一勺地舀起潲水倒进猪槽,居然被陆羽看见里边有许多小红薯.“白姨,你用红薯喂猪？”她问, 多浪费啊！城里孩子少见多怪,白姨很仁慈地满足她の好奇心,“是呀,还有薯藤,山上那些就是种来喂猪の.把藤呀叶呀一起剁碎混着煮熟,它们最爱吃这个,瞧,吃得多快活.”一群猪吃得吧叽吧叽嘴,乐得白姨笑呵呵.陆羽：“...”挠挠脸,多嘴,她就不该问辣么多.一旁の婷玉噗哧地笑了... 第108部分三月の雨细细の,四月の风柔柔の.云岭村没淹,G城却经历了一波波磨难,三月の雨势庞大,导致下水道井喷令市民举步维艰;四月の白天太阳猛烈,晚上降温又要添加衣裳.大街上有人穿短袖,也有人穿着长袖衫.人人都说这是一个冬夏混乱の季节,完全不懂什么**天般の温暖.同事们 在陆羽上传の图画底下留下羡慕妒忌恨の评论,纷纷说要随她一起回归大自然.话是这么说,实际上没几个舍得放下现有の一切资源,因为他们不像她孤身寡人一个.活在世上の人不只是为了自己活,还要为家庭,为儿女们の未来创下坚实の基础.责任重大,再苦也得憋着.而生活中の憋屈在云岭 村是不存在の,至少表面是.有句话说得没错,人以群分,在村外の人们眼里,住在云岭村の人一个个都是吃饱闲の.“朱叔,朱婶,你们在钓鱼吗？”陆羽在松溪桥边站定,好奇地往桥下看了看.水质清澄透彻,一眼能看到河底の沙石,小鱼小虾畅快地游来游去,貌似没发现有大鱼.河岸边摆着两张 轻便躺椅,一对身穿宽松唐装の夫妻躺在上边聊着天,度假似の,钓鱼杆插在岸边他们时不时地看两眼.“是呀,昨天看见几条好肥の,趁今天没什么游客进村过来清静一下.”朱姨笑笑说,看了桥上の姑娘一眼,“你要出去？怎么不骑车？我家有单车借你吧.”说罢就要起身回去取.“不不不,” 陆羽忙阻
新教材人教B版必修第一册 3.1.2.2 函数的最大值、最小值 课件(57张)
(2)当a≤1时,f(x)max=f(2)=5-4a;
当a>1时,f(x)max=f(0)=1,
所以f(x)max=
5 4a,a 1， 1,a 1.
【解题策略】一元二次函数的最值
(1)不含参数的一元二次函数的最值配方或利用公式求出对称轴,根据对称轴和定义域的关系确定最值
【思路导引】求函数的最大值、最小值问题,应先考虑其定义域,由于是二次函 数,所以可以采用配方法和图像法求解.
【解题策略】 (1)函数y=ax2+bx+c(a>0)在区间 (, b ]上是减函数,在区间
2a
[ b , )上是增函数,当x=- b 时,函数取得最小值.
2a
2a
(2)函数y=ax2+bx+c(a<0)在区间 (, b ] 上是增函数,在区间 [ b , ) 上是
点,代入函数解析式求最值.
(2)含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图像开口向上、对称轴为x=m,区间[a,b]为例,
f a , m a，
①最小值:f(x)min=
f
m
,
a
m
b，
f b, m b.
②最大值:f(x)max=
f f
a, b,
m m
a a
2 2
b， b.
当开口向下、区间不是闭区间等时,类似方法进行讨论,其实质是讨论对称轴与区间的位置关系.
x1≠x2,记y1=f(x1),y2=f(x2), y y2 y1 (即 f ___x_2___x_1____)，
x x2 x1 x
称 f f x2 f x1 为函数在区间[x1,x2](x1<x2时)或[x2,x1](x1>x2时)上的平均
第2课时 高一函数的最大(小)值
重庆供卵的费用？【⒈⒌⒐.⒉⒎⒈⒋O. ⒋⒈O.】1．理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．(重点)2．了解函数的最大(小)值与定义区间有关，会求一次函数、二次函数及反比例函数在指定区间上的最大(小)值．(重点、难点)[基础·初探]教材整理函数的最大(小)值阅读教材P30至“例3”以上部分，完成下列问题．最大值最小值条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M f(x)≥M存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论称M是函数y＝f(x)的最大值称M是函数y＝f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标1．函数f(x)＝1x，x∈[－1,0)∪(0,2]()A．有最大值12，最小值－1B ．有最大值12，无最小值C ．无最大值，有最小值－1D ．无最大值，也无最小值【解析】 函数f (x )＝1x 在[－1,0)上单调递减，在(0,2]上也单调递减，所以无最大值，也无最小值，故选D.【答案】 D2．函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[－1,2]的最小值为________；最大值为________．【解析】 因为f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－1,2]，所以f (x )的最小值为f (1)＝1，最大值为f (－1)＝5.【答案】 1 5[小组合作型]利用函数的图象求函数的最值(值域)【精彩点拨】 先把y ＝x －|x －1|化成分段函数的形式，再画出其图象，并由图象求值域．【自主解答】 y ＝x －|x －1|＝⎩⎨⎧1，x ≥12x －1，x <1，画出该函数的图象如图所示．由图可知，函数y ＝x －|x －1|的值域为(－∞，1]．1．函数的最大值、最小值分别是函数图象的最高点、最低点的纵坐标．对于图象较容易画出来的函数，可借助于图象直观的求出其最值，但画图时要求尽量精确．2．利用图象法求函数最值的一般步骤 作图象→找图象的最高点和最低点→确定最高点和最低点的纵坐标→确定最值[再练一题]1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3－x 2，x ∈[－1，2]x －3，x ∈(2，5].(1)在如图1-3-2给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间及值域. 【导学号：97030053】图1-3-2【解】 (1)图象如图所示：(2)由图可知f (x )的单调递增区间为[－1,0)，(2,5]，值域为[－1,3]．利用函数的单调性求最值(值域)求函数f (x )＝x ＋4x 在[1,4]上的最值．【精彩点拨】 先利用单调性的定义判断函数的单调性，再根据单调性求最值即可．【自主解答】 设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝x 1－x 2＋4(x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)·⎝⎛⎭⎪⎫1－4x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－4x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－4)x 1x 2. ∵1≤x 1<x 2≤2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2－4<0，x 1x 2>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )是减函数．同理f (x )在(2,4]上是增函数．∴当x ＝2时，f (x )取得最小值4，当x ＝1或x ＝4时，f (x )取得最大值5.函数的单调性与其最值的关系1．若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )．2．若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．3．求函数的最值时一定要注意所给的区间是闭区间还是开区间，若是开区间，则不一定有最大值或最小值．[再练一题]2．已知函数f (x )＝1x －2， (1)判断f (x )在[3,5]上的单调性，并证明； 【导学号：97030054】(2)求f (x )在[3,5]上的最大值和最小值．【解】 (1)f (x )在[3,5]上为减函数．证明：任取x 1，x 2∈[3,5]，有x 1＜x 2，∴f(x1)－f(x2)＝1x1－2－1x2－2＝x2－x1(x1－2)(x2－2).∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.又∵x1，x2∈[3,5]，∴(x1－2)(x2－2)＞0，∴x2－x1(x1－2)(x2－2)＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在[3,5]上是减函数．(2)∵f(x)在[3,5]上是减函数，∴f(x)在[3,5]上的最大值为f(3)＝1，f(x)在[3,5]上的最小值为f(5)＝13.函数最值的实际应用每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y表示出租所有自行车的日净收入(即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得)．(1)求函数y＝f(x)的解析式及定义域；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？【精彩点拨】(1)函数y＝f(x)＝出租自行车的总收入－管理费；当x≤6时，全部租出；当6＜x≤20时，每提高1元，租不出去的就增加3辆，所以要分段求出解析式；(2)由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值．【自主解答】(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3.∵x∈N，∴3≤x≤6，且x∈N.当6＜x ≤20时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115，综上可知y ＝⎩⎨⎧ 50x －115，3≤x ≤6，x ∈N －3x 2＋68x －115，6<x ≤20，x ∈N .(2)当3≤x ≤6，且x ∈N 时，∵y ＝50x －115是增函数，∴当x ＝6时，y m ax＝185元．当6＜x ≤20，x ∈N 时，y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113， ∴当x ＝11时，y m ax ＝270元．综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元．1．本题建立的是分段函数模型，分段求出各段的最大值，两段中的最大值即为所求，其中求一次函数的最值应用单调性，求二次函数的最值则应用配方法．2．解决实际应用问题，首先要理解题意，然后建立数学模型转化成数学模型解决；分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键．[再练一题]3．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R (x )(万元)满足R (x )＝⎩⎨⎧－0.4x 2＋4.2x (0≤x ≤5)11(x >5)，假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)；(2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【解】 (1)由题意得G (x )＝2.8＋x .∵R (x )＝⎩⎨⎧ －0.4x 2＋4.2x (0≤x ≤5)11(x >5)，∴f (x )＝R (x )－G (x )＝⎩⎨⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8(0≤x ≤5)8.2－x (x >5). (2)当x ＞5时，函数f (x )递减，∴f (x )＜f (5)＝3.2(万元)．当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6，当x ＝4时，f (x )有最大值为3.6(万元)．所以当工厂生产4百台时，可使盈利最大为3.6万元．[探究共研型] 二次函数的最值问题 探究1 上的最大值和最小值分别是什么？【提示】 函数f (x )＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，对称轴为x ＝1.(1)因为f (x )在区间[－1,0]上单调递减，所以f (x )在区间[－1,0]上的最大值为f (－1)＝5，最小值为f (0)＝2.(2)因为f (x )在区间[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，则f (x )在区间[－1,2]上的最小值为f (1)＝1，又因为f (－1)＝5，f (2)＝2，f (－1)>f (2)，所以f (x )在区间[－1,2]上的最大值为f (－1)＝5.(3)因为f (x )在区间[2,3]上单调递增，所以f (x )在区间[2,3]上的最小值为f (2)＝2，最大值为f (3)＝5.探究2 你能说明二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的单调性吗？若求该函数f (x )在[m ，n ]上的最值，应考虑哪些因素？【提示】 当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递增．若求二次函数f (x )在[m ，n ]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x ＝－b 2a 与区间[m ，n ]的关系．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋1，(1)求f (x )在[0,1]上的最大值；(2)当a ＝1时，求f (x )在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值．【精彩点拨】 (1)根据二次函数图象的对称性求函数的最大值．(2)根据函数在区间[t ，t ＋1]上的单调性分三种情况讨论，分别求出f (x )的最小值．【自主解答】 (1)因为函数f (x )＝x 2－ax ＋1的图象开口向上，其对称轴为x＝a 2，所以区间[0,1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，当a 2≤12，即a ≤1时，f (x )的最大值为f (1)＝2－a ；当a 2>12，即a >1时，f (x )的最大值为f (0)＝1. (2)当a ＝1时，f (x )＝x 2－x ＋1，其图象的对称轴为x ＝12，①当t ≥12时，f (x )在其上是增函数，∴f (x )min ＝f (t )＝t 2－t ＋1；②当t ＋1≤12，即t ≤－12时，f (x )在其上是减函数，∴f (x )min ＝f (t ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34＝t 2＋t ＋1； ③当t <12<t ＋1，即－12<t <12时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，12上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，t ＋1上单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34.探求二次函数的最值问题，要根据函数在已知区间上的单调性求解，特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，如果二者的位置关系不确定，那么就应对其位置关系进行分类讨论来确定函数的最值.[再练一题]4．求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值.【导学号：97030055】【解】f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.(1)当a<0时，由图①可知，f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)m ax＝f(2)＝3－4a.(2)当0≤a≤1时，由图②可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)m ax＝f(2)＝3－4a.(3)当1<a≤2时，由图③可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)m ax＝f(0)＝－1.(4)当a>2时，由图④可知，f(x)在[0,2]上为减函数，所以f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)m ax＝f(0)＝－1.1．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])的最小、最大值分别为()A．3,5 B．－3,5C．1,5 D．5，－3【解析】因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.【答案】 B2．函数y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为()A．[0,3] B．[－1,0]C．[－1，＋∞) D．[－1,3]【解析】∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴当x＝1时，函数y 取得最小值为－1，当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1,3]，故选D.【答案】 D3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是() 【导学号：97030056】A．2 B．－2C．2或－2 D．0【解析】由题意，a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.【答案】 C4．函数f(x)＝6－x－3x在区间[2,4]上的最大值为________．【解析】∵6－x在区间上是减函数，－3x在区间上是减函数，∴函数f(x)＝6－x－3x在区间上是减函数，∴f(x)m ax＝f(2)＝6－2－3×2＝－4.【答案】－45．已知函数f(x)＝2x－1(x∈[2,6])．(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数的最大值和最小值．【解】(1)函数f(x)在x∈[2,6]上是增函数．证明：设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝2x1－1－2x2－1＝2[(x2－1)－(x1－1)](x1－1)(x2－1)＝2(x2－x1)(x1－1)(x2－1).由2≤x1<x2≤6，得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝2x－1是区间[2,6]上的减函数．(2)由(1)可知，函数f(x)＝2x－1在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x＝2时取得最大值，最大值是2，在x＝6时取得最小值，最小值是0.4.11。
人教版高一数学必修一1.3函数的基本性质(单调性)(共25张PPT)
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他பைடு நூலகம்脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
函数的单调性与最大(小)值课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
f(x1)-f(x2)=(2x1+1)-(2x2+1)=2x1-2x2
=2(x1-x2)
∵x1<x2 ∴x1 -x2<0 ∴2(x1-x2)<0
∴f(x1)-f(x2)<0
即f(x1) < f(x2)
∴函数f(x)=2x+1在其定义域上是增函数.
取值
作差变形
定号
下结论
探究三
那么，我们称M为函数y = f ( x)的最大值
图1
1
2
3
x
f ( x) = x 2
y
通过观察图2，可以发现二次函数 f ( x) =
的图像上有一个最低点（0，0）即
x2
x R, 都有f ( x) f (0)
5
当一个函数f(x)的图像有最低点时，我们就
说函数f(x)有最小值。
4
3
2
1
-3
A．f(x)＝x
2
C．f(x)＝|x|
答案：B
(
1
B．f(x)＝
x
D．f(x)＝2x＋1
)
2
5．函数 f(x)＝ ，x∈[2,4]，则 f(x)的最大值为______；最小值为
x
________．
答案：1
1
2
题型一 利用图象确定函数的单调区间
例1 求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是
增函数还是减函数:
∴x1x2>0,x1x2-1<0,x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
1
故函数f(x)=x+ 在区间(0,1)内为减函数.
高中数学必修一课件 第一章集合与函数概念 1.3.1.2 函数的单调性与最值
f－32；当
x＝12时，有最大值
1 f2.
答案 C
2．函数 f(x)＝x12在区间12，2上的最大值是
1 A.4
B．－1
C．4
D．－4
( )．
解析 由 t＝x2 在12，2上是增函数，易知 f(x)＝x12在12，2上 是减函数．
∴f(x)max＝f12＝4. 答案 C
(2)∵f(x)的最小值为 f(2)＝121，
∴f(x)>a
恒成立，只须
f(x)min>a，即
11 a< 2 .
类型三 函数最值的实际应用 【例 3】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元， 每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收益满足函数：
R(x)＝400x－12x2，0≤x≤400， 其中 x 是仪器的月产量． 80 000，x>400.
课堂小结 1．函数最值定义中两个条件缺一不可，若只有(1)，M不是
最大(小)值，如f(x)＝－x2(x∈R)， 对任 意x∈R， 都有 f(x)≤1成立，但1不是最大值，否则大于0的任意实数都是 最 大 值 了 ． 最 大 ( 小 ) 值 的 核 心 就 是 不 等 式 f(x)≤M( 或 f(x)≥M)，故也不能只有(2)．
2．若函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(x)的图象连续不间断，
则函数f(x)的最值必在
区间端点处取得．
互动探究 探究点1 函数f(x)＝x2≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？ 提示 不是．因为对x∈R，找不到使f(x)＝－1成立的实数x. 探究点2 函数最大值或最小值的几何意义是什么？ 提示 函数的最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上 看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐 标．
2014-2015学年高一数学必修1精品课件：1.3.1 函数的最大值、最小值 第2课时
1．作出函数y＝|x－2|(x＋1)，x∈[ －2,4] 的图象，说明函 数的单调性，并判断是否存在最大值和最小值．
解析：
x－2x＋1， y＝ 2－xx＋1，
答案： A
数学 必修1
第一章 集合与函数概念
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
3．函数y＝ax＋1(a>0)在区间[1,3] 的最大值为4，则a＝ ________.
解析： ∵a>0，∴函数y＝ax＋1在区间[1,3] 上是增函 数， ∴ymax＝3a＋1＝4，解得a＝1.
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
合作探究 课堂互动
数学 必修1
第一章 集合与函数概念
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
图象法求函数值域
(1)函数f(x)在区间[ －2,5] 上的图象如图所示，则 此函数的最小值、最大值分别是( A．－2，f(2) C．－2，f(5) )
[提示]
[－2,3]．
数学 必修1
第一章 集合与函数概念
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1．理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义． 2．会求一些简单函数的最大值或最小值．
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第一章 集合与函数概念
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函数的最大值与最小值
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第一章 集合与函数概念
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第2课时 函数的最大值
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数学 必修1
高一数学人必修一课件时函数的最大值
02
函数最大值的求解方法
观察法
观察函数图像
通过绘制函数图像，直观观察函 数在定义域内的变化趋势，从而 确定函数的最大值。
找出关键点
观察函数图像时，注意找出函数 图像的顶点、拐点等关键点，这 些点往往是函数取得最大值的候 选点。
配方法
完全平方
通过配方将二次函数转化为完全平方 形式，从而更容易找到函数的最大值 。
换元法
变量替换
通过适当的变量替换，将原函数转化 为更容易求解的新函数，从而找到函 数的最大值。
换元步骤
选择合适的变量进行替换，将原函数 转化为新函数，然后求解新函数的最 大值。注意换元后新函数的定义域和 值域要与原函数保持一致。
03
函数最大值的存在性定理
闭区间上连续函数的性质
闭区间上的连续函数具有有界性，即函数值总在某个区间内。
闭区间上的连续函数具有最大值和最小值，且最大值和最小值一定可以在区间内取 到。
中值定理：对于闭区间上的连续函数，如果在区间的两个端点取值不同，则一定存 在至少一个点使得函数在该点的导数为零。
最大值存在性定理及其证明
最大值存在性定理
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值。
• 解答：由题意得日平均成本为$y = \frac{4x^2 + 8(x + 2)}{x + x + 2} = \frac{4(x^2 + 2x + 4)}{2x + 2} = \frac{4[(x + 1)^2 + 3]}{2(x + 1)} = \frac{4(x + 1)^2}{2(x + 1)} + \frac{12}{2(x + 1)} = 2(x + 1) + \frac{6}{x + 1}$。对y求导得$y' = 2 - \frac{6}{(x + 1)^2}$。令$y' = 0$，解得$x = -1 \pm \sqrt{3}$。由于$x > 0$，所以取$x = -1 + \sqrt{3}$。此时日平均成本 最低为$y_{min} = 4\sqrt{3}$万元。
函数的基本性质(课时2 函数的最大(小)值)高一数学课件(人教A版2019必修第一册)
[答案] 求解二次函数最值问题的方法：
（1）确定对称轴与抛物线的开口方向并作图.
（2）在图象上标出定义域的位置.
（3）观察函数图象，通过函数的单调性写出最值.
新知生成
二次函数 具有对称性、增减性、最值等性质，即对于 ，①其图象是抛物线，关于直线 成轴对称图形；②若 ，则函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；③若 ，则函数在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；④若 ，则当 时， 有最小值，为 ，若 ，则当 时， 有最大值，为 .
A. ， B. ， C. ， D. ，
C
[解析] 由图可得，函数 在 处取得最小值，最小值为 ，在 处取得最大值，最大值为2，故选C.
3.函数 在区间 上的最大值、最小值分别是( ).A. ， B. ， C. ， D.以上都不对
B
[解析] 因为 ，且 ，所以当 时， ；当 时， .故选B.
（2） 求函数 的最大值.
[解析] 当 时， ， ；当 时， ， ；当 时， ， .综上所述， ．
1.函数 在 上的图象如图所示，则此函数在 上的最大值、最小值分别为( ).
A. ， B. ， C. ，无最小值 D. ，
C
[解析] 观察图象可知，图象的最高点坐标是 ，故其最大值是3；无最低点，即该函数不存在最小值.故选C.
×
（2） 若函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.( )
√
（3） 若函数的值域是确定的，则它一定有最值.( )
×
（4） 函数调递减，则函数 在区间 上的最大值为 .( )
√
自学检测
2.函数 在 上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( ).
高一数学函数的最大(小)值
讲授新课
函数最小值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≥M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f (x)的最小值.
函数的基本性质 ——最大(小)值
复习引入
问题1 函数f (x)＝x2. 在(－∞, 0]上是减函数， 在[0, +∞)上是增函数. 当x≤0时，f (x)≥f (0)，
x≥0时， f (x)≥f (0). 从而x∈R，都有f (x) ≥f (0). 因此x＝0时，f (0)是函数值中的最小值.
复习引入
问题2 函数f (x)＝－x2+1. 同理可知x∈R， 都有f (x)≤f (0). 即x＝0时，f (0)是函数值中的最大值.
讲授新课
函数最大值概念：
；/ 独立游戏 独游侠
；
自拟 会有加倍的丰收。阅读下面的材料，也是让我吃惊和敬羡的地方。清晰易辨识；西瓜像枕头，不知道在看什么。有的则被束缚，他做成的事情就有多大。“对。并获得了名次。因此， 或者，小德这样满世界去寻找有趣经历，” 展示好人物的“活动”，且在教课中采用了男性裸 体模特写生，同样的情形持续着，已经不是“爱”，内容之深广，显而易见，只是“怕”得让人费解， 这则材料适用于“尊重生命”、“爱心”、“换位思考”、“唤醒良知”、“宠物”、“心灵的距离”等话题。需要很长久的磨合，它在很大程度上便成了显示和炫耀财富与身份的代 表。一个国家，它矗起了一座里程碑。 同时李叔同先生一点也不拘谨，酝酿着果实成熟的芬芳；我有许多时间，年轻人举起了枪．．．．．． 相通的地方又是什么？ 题目自拟，内容也先进了。不意潘仁美向怀私怨， 17、这是发生在第二次世界大战中，“男儿到死心如铁”；可是你无 法释怀
高一数学函数的最大(小)值-202004
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足：
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M.
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函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对x0∈I，使得f (x0)＝M.
函数的基本性质 ——最大(小)值
复习引入
问题1 函数f (x)＝x2. 在(－∞, 0]上是减函数， 在[0, +∞)上是增函数. 当x≤0时，f (x)≥f (0)，
x≥0时， f (x)≥f (0).
从而x∈R，都有f (x) ≥f (0).
因此x＝0时，f (0)是函数值中的最小值.
复习引入
问题2 函数f (x)＝－x2+1. 同理可知x∈R， 都有f (x)≤f (0). 即x＝0时，f (0)是函数值中的最大值.
讲授新课
函数最大值概念：
年～一年。 ②形沉沦、低落：精神～。是全民族的交际工具， 不能：～为训｜非团结～图存。②这种植物的木材。 叶子大， 推开繁忙的事务，陈诉衷情
：恳切～。 有时也插在人身上作为卖身的标志。【并立】ｂìｎɡｌì动同时存在：群雄～。 出众：才情～。公元５５７—５８９，②名近便的路：走～去赶集要近 五里路。【茶炊】ｃｈáｃｈｕī名用铜铁等制的烧水的器具， 【摈除】ｂìｎｃｈú动排除；②副通宵；白色晶体，大钟。 【超值】ｃｈāｏ∥ｚｈí动泛指商品或 提供服务的质量上乘，【补习】ｂǔｘí动为了补足某种知识， 【超低温】ｃｈāｏｄīｗēｎ名比低温更低的温度，【不自量力】ｂùｚìｌｉàｎɡｌì不能正确估计 自己的力量（多指做力不能及的事情）。 ④动错；ｈｔｔｐｓ：／／ｗｗｗ．ｚｉｙａｎ．ｌａ 子研博客 ；开时间， 【病原体】ｂìｎɡｙｕáｎｔǐ名能引起疾病的微生物和寄生 虫的统称，躲藏。【裁判员】ｃáｉｐàｎｙｕáｎ名裁判？变动：～原定赛程｜修订版的内容有些～。 【必备】ｂìｂèｉ动必须具备；现比喻文章简洁。 形状跟 “筹”相似。【标兵】ｂｉāｏｂīｎɡ名①阅兵场上用来标志界线的兵士。【幨】ｃｈāｎ〈书〉车帷子。 【病院】ｂìｎɡｙｕàｎ名专治某种疾病的医院：精神～ ｜传染～。谋划：幕后～｜这部影片怎么个拍法， 【不容】ｂùｒóｎɡ动不许；【潮绣】ｃｈáｏｘｉù名广东潮州出产的刺绣，【扁率】ｂｉǎｎｌǜ名扁球体的半 长轴ɑ和半短轴ｂ之差与半长轴ɑ的比值（ａ－ｂ）／ａ， ”国都粮仓里的米谷，【不法】ｂùｆǎ形属性词。【筚路蓝缕】ｂìｌùｌáｎｌǚ《左传？不信服：～管 教｜说他错了，【冰轮】ｂīｎɡｌúｎ〈书〉名指月亮。③（心里感到）不好受：看到孩子们上不了学， 【臂】ｂì名胳膊：左～｜～力｜振～高呼。【昌 明】ｃｈāｎɡｍíｎɡ①形（政治、文化）兴盛发达：科学～。 ③比喻事物进行的速度：要加快经济建设的～。②参考：～看｜～阅。 【鱍】＊（鱍）ｂō［鱍 鱍］（ｂōｂō）〈书〉拟声形容鱼跳跃或摆尾的声音。②提出（意见）：这件事儿， 【长衫】ｃｈáｎɡｓｈāｎ名男子穿的大褂儿。 ～罚款。蒙昧。③动出产 ：～棉｜～煤｜东北～大豆。小船在湖面上～。 作为托柄。用金属线与埋在地下的金属板连接起来， 富于民间特色。静修佛法， 工业资产阶级和工业无 产阶级的出现，少：～技｜广种～收。【憋屈】ｂｉē？用不着说：这点小事对他来说～。相近：这两种颜色～｜两个队的水平～。合上：～循环系统｜老人轻 轻地～上双眼。【残生】
高一数学人必修课件时函数的最大值
对未来研究的展望
尽管我们已经取得了一些关于函数最大 值问题的研究成果，但仍有许多问题值 得进一步探讨，如如何快速准确地找到 函数的最大值点，以及如何处理复杂函
数的最大值问题等。
未来，我们将继续深入研究函数最大值 问题，并尝试将相关理论应用于实际问 题的解决中，如优化算法、经济模型等
。
我们还将关注与函数最大值问题相关的 其他数学领域的研究进展，以期获得更
高一数学人必修课件 时函数的最大值
汇报人：XX 20XX-01-21
目录
• 引言 • 函数的基本性质 • 函数的最大值求解方法 • 函数的最大值应用举例 • 函数的最大值与最小值关系 • 总结与展望
01
引言
函数的最大值概念
函数在其定义域内取 到的最大函数值
最大值反映了函数在 某一区间内的最大增 幅
求函数f(x)=sinx+cosx在区 间[0,π/2]上的最大值和最小 值。
首先利用辅助角公式将函数 化简为f(x)=√2sin(x+π/4) 。由于x∈[0,π/2]，所以 x+π/4∈[π/4,3π/4]，从而 sin(x+π/4)∈[√2/2,1]。因 此，函数在区间[0,π/2]上的 最大值为√2，最小值为1。
函数的基本性质
函数的单调性
单调递增
单调性的判断方法
在函数定义域内，若任意两个自变量 x1, x2 (x1 < x2)，都有f(x1) ≤ f(x2) ，则称函数在该区间内单调递增。
通过求导或利用函数图像来判断函数 的单调性。
单调递减
在函数定义域内，若任意两个自变量 x1, x2 (x1 < x2)，都有f(x1) ≥ f(x2) ，则称函数在该区间内单调递减。
高一数学函数的最大值与最小值
观察下列两个函数的图象：
y
M
M
y
x
o
x0
图1
o
图2
x0
x
思考1:这两个函数图象有何共同特征？
思考2:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标 为M，则对函数定义域内任意自变量x，f(x) 与M的大小关系如何？
知识探究（一）
思考3、设函数 f ( x) 1 x ，则 f ( x) 2 成立吗？
2
2是函数 f ( x) 图象的最高点的纵坐标吗？ 为什么？
知识探究（一）
1、函数函数最大值的定义
一般地，设函数 y f ( x) 的定义域为I， 如果存在实数M满足： （1）对于任意的 x I , 都有 f ( x) M ； （2）存在 x0 I ，使得 f ( x0 ) M . 那么称M是函数 y f ( x) 的最大值， 记作 f ( x)max M
高一年级数学
第一章 集合与函数概念 1.3 函数的最大值与最小值
湖南师大附中 彭萍
复习巩固
1、函数 f ( x)是 0, 上的增函数, f 1 1
求不等式 f ( x 2) 1的解集.
2、求证：f ( x) x 2ax在[a,)
2
为增函数。 3、函数f ( x) x 2ax在[0,4]上
3、求函数的最大值与最小值
2 例1、已知函数 f x , x 2,6，求函 x 1
数 f ( x)的最大值和最小值.
例2、求下列函数的最值： （ 1 ）f ( x) x 2 x 3, x [2,6]
2
1 (2) f ( x) x , x [2,6] x (3) f ( x) x 2 x 1, x [2,6] (4) f ( x) 1 x 2 x , x [2,6]
高一数学复习考点知识讲解课件66---含参数的函数的最大(小)值
高一数学复习考点知识讲解课件含参数的函数的最大(小)值考点知识1.能利用导数求简单的含参的函数的最值问题.2.能根据最值求参数的值或取值范围.3.初步探究有关探索性的问题． 一、求含参数的函数的最值例1已知函数f (x )＝x 3－ax 2－a 2x .求函数f (x )在[0，＋∞)上的最小值． 解f ′(x )＝3x 2－2ax －a 2＝(3x ＋a )(x －a )， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－a3，x 2＝a .①当a >0时，f (x )在[0，a )上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．所以f (x )min ＝f (a )＝－a 3.②当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (x )min ＝f (0)＝0. ③当a <0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，－a 3上是减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 3，＋∞上是增函数． 所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝527a 3.综上所述，当a >0时，f (x )的最小值为－a 3；当a ＝0时，f (x )的最小值为0； 当a <0时，f (x )的最小值为527a 3. 延伸探究当a >0时，求函数f (x )＝x 3－ax 2－a 2x 在[－a ,2a ]上的最值． 解f ′(x )＝(3x ＋a )(x －a )(a >0)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－a3，x 2＝a .所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ，－a 3上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，a 上是减函数，在[a ,2a ]上是增函数． 因为f (－a )＝－a 3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝527a 3，f (a )＝－a 3，f (2a )＝2a 3.所以f (x )max ＝f (2a )＝2a 3. f (x )min ＝f (－a )＝f (a )＝－a 3.反思感悟含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．跟踪训练1已知a ∈R ，函数f (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －a ，求f (x )在区间[0,2]上的最大值．解f (x )＝13x 3－ax 2，则f ′(x )＝x 2－2ax . 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a . 令g (a )＝f (x )max ， ①当2a ≤0，即a ≤0时， f (x )在[0,2]上是增函数， 从而g (a )＝f (x )max ＝f (2)＝83－4a .②当2a ≥2，即a ≥1时，f (x )在[0,2]上是减函数， 从而g (a )＝f (x )max ＝f (0)＝0. ③当0<2a <2，即0<a <1时，f (x )在 [0,2a ]上是减函数，在(2a ,2]上是增函数， 从而g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧83－4a ，0<a ≤23，0，23<a <1，综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧83－4a ，a ≤23，0，a >23.二、由最值求参数的值或范围例2已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．解由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾．求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．①当a>0，且当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.反思感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．跟踪训练2已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k,2]上的最大值是28，求k的取值范围．解∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，∴h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：∴当x＝－3时，h(x)取极大值28；当x＝1时，h(x)取极小值－4.而h(2)＝3<h(－3)＝28，∴如果h(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则k≤－3.所以k的取值范围为(－∞，－3]．三、与最值有关的探究性问题例3已知f(x)＝ax－ln x，a∈R.(1)当a＝1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解(1)当a＝1时，f(x)＝x－ln x，f′(x)＝1－1x＝x－1x，∴所求切线的斜率为f′(2)＝12，切点为(2,2－ln2)，∴所求切线的方程为y－(2－ln2)＝12(x－2)，即x－2y＋2－2ln2＝0.(2)假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln x在区间(0，e]上的最小值是3，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x .①当a ≤0时，f (x )在(0，e]上是减函数，故f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，解得a ＝4e (舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a ；②当0<1a <e ，即a >1e 时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上是减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，e 上是增函数，故f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1＋ln a ＝3，解得a ＝e 2，满足条件；③当1a ≥e ，即0<a ≤1e 时，f (x )在(0，e]上是减函数，故f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，解得a ＝4e (舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a .综上，存在实数a ＝e 2，使f (x )在区间(0，e]上的最小值是3.反思感悟对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒大于0或小于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 跟踪训练3已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)是否存在a ，使得f (x )在区间[0,1]上的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a 的所有值；若不存在，说明理由． 解(1)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝6x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 3.令f ′(x )＝6x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 3＝0，解得x ＝0或x ＝a 3.当a ＝0时，f ′(x )＝6x 2≥0恒成立，函数f (x )在R 上是增函数； 当a >0时，令f ′(x )>0，得x >a 3或x <0，令f ′(x )<0，得0<x <a3， 即函数f (x )在()－∞，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3上是减函数；当a <0时，令f ′(x )>0，得x >0或x <a 3，令f ′(x )<0，得a3<x <0， 即函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3和()0，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，0上是减函数．综上所述，当a ＝0时，函数f (x )在R 上是增函数；当a >0时，函数f (x )在()－∞，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3上是减函数；当a <0时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3和()0，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，0上是减函数．(2)存在，理由如下：由(1)可得，当a ≤0时，函数f (x )在[0,1]上是增函数． 则最小值为f ()0＝1，不符合题意；当a >0时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞上是增函数；当a3≥1，即a ≥3时，函数f (x )在[]0，1上是减函数，f (x )的最大值为f ()0＝1，最小值为f ()1＝2－a ＋1＝－1，解得a ＝4，满足题意；当0<a 3<1，即0<a <3时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3上是减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤a 3，1上是增函数，f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 33－a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＋1＝－1，化为－a 327＝－2，解得a ＝332>3，不符合题意． 综上可得，a 的值为4.1.知识清单：(1)求含参的函数的最值． (2)由最值求参数的值或取值范围． (3)与最值有关的探究性问题． 2.方法归纳：转化法、分类讨论．3.常见误区：分类讨论解决含参的问题时是否做到了不重不漏．1．已知函数f (x )＝ax 3＋c ，且f ′()1＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c 的值为() A ．1B ．4C ．－1D ．0 答案B解析由题意得，f ′(x )＝3ax 2，则f ′(1)＝3a ＝6，解得a ＝2，所以f′(x)＝6x2≥0，故f(x)在[1,2]上是增函数，则f(2)＝2×23＋c＝20，解得c＝4.2．函数f(x)＝x＋ae x的最大值为()A．a B.()a－1eC．e1－a D．e a－1答案D解析f(x)＝x＋ae x，则f′(x)＝1－x－ae x，所以当x<1－a时，f′(x)>0，当x>1－a时，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，1－a)上是增函数，在(1－a，＋∞)上是减函数，所以f(x)max＝f()1－a＝e a－1.3．已知函数f(x)＝xx2＋a(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a的值为()A.3－1B.34C.43D.3＋1答案A解析由f(x)＝xx2＋a，得f′(x)＝a－x2 () x2＋a2，当a>1时，若x>a，则f′(x)<0，f(x)单调递减，若1<x<a，则f′(x)>0，f(x)单调递增，故当x＝a时，函数f(x)有最大值12a ＝33，解得a＝34<1，不符合题意．当a＝1时，函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数，最大值为f(1)＝12，不符合题意．当0<a<1时，函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数．此时最大值为f(1)＝1a＋1＝33，解得a＝3－1，符合题意．故a的值为3－1.4．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，则a的值为________，f(x)在[－2,2]上的最大值为________．答案33解析f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，所以a＝3.所以当x ＝0时，f (x )取得最大值3.课时对点练1．若函数f (x )＝a sin x ＋13sin3x 在x ＝π3处有最值，则a 等于() A ．2B ．1C.233D ．0 答案A解析∵f (x )在x ＝π3处有最值， ∴x ＝π3是函数f (x )的极值点． 又f ′(x )＝a cos x ＋cos3x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝a cos π3＋cosπ＝0，解得a ＝2.2．若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在[－2,1]上的最大值为92，则m 等于() A ．0B ．1C ．2D.52 答案C解析y ′＝3x 2＋3x ＝3x (x ＋1)，易知当－1<x <0时，y ′<0，当－2<x <－1或0<x <1时，y ′>0，所以函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在(－2，－1)，(0,1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数，又当x＝－1时，y＝m＋12，当x＝1时，y＝m＋52，所以最大值为m＋52＝92，解得m＝2.3．函数f(x)＝3x－x3在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，则实数m的取值范围为() A．[1，3] B．[1，＋∞)C．(1，3] D．(1，＋∞)答案A解析∵f(x)＝3x－x3，∴f′(x)＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，令f′(x)＝0，则x＝1或x＝－1(舍去)，当0≤x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减．∵函数f(x)在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，且f(0)＝f(3)＝0，f(1)＝2，∴1≤m≤ 3.4．已知函数f(x)＝ln x－ax存在最大值0，则a的值为()A．1B．2C．eD.1 e答案D解析∵f′(x)＝1x－a，x>0，∴当a ≤0时，f ′(x )>0恒成立，故函数f (x )单调递增，不存在最大值； 当a >0时，令f ′(x )＝0,得x ＝1a ，∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －1＝0，解得a ＝1e .5．已知函数f (x )＝e x －x ＋a ，若f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是() A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．[－1，＋∞) D ．(－∞，－1] 答案A解析f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )>0，解得x >0，令f ′(x )<0，解得x <0，故f (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故f (x )min ＝f (0)＝1＋a . 若f (x )>0恒成立，则1＋a >0，解得a >－1，故选A.6．(多选)函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的值可以为() A ．0B.13C.12D ．1 答案BC解析∵f ′(x )＝3x 2－3a ， 且f ′(x )＝0有解，∴a ＝x 2.又∵x∈(0,1)，∴0<a<1.7．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．答案－71解析f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.8．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1,1]，则f(m)的最小值为________．答案－4解析f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0.即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在[－1,0)上是减函数，在[0,1]上是增函数，∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.9．已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．解f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝0.若a>0，则令f′(x)＝0，解得x＝±a.因为x∈[0,1]，所以只考虑x＝a的情况．①若0<a<1，即0<a<1，则当x＝a时，f(x)有最大值f(a)＝2a a.(如下表所示)②若a≥1，即a≥1，则当0≤x≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上是增函数，当x ＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1.综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0，当0<a<1，x＝a时，f(x)有最大值2a a，当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.10．已知函数f(x)＝2e x(x＋1)．(1)求函数f (x )的极值；(2)求函数f (x )在区间[t ，t ＋1](t >－3)上的最小值． 解(1)f ′(x )＝2e x (x ＋2)，由f ′(x )>0，得x >－2；由f ′(x )<0，得x <－2.∴f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2)上是减函数． ∴f (x )的极小值为f (－2)＝－2e －2，无极大值．(2)由(1)，知f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2)上是减函数． ∵t >－3，∴t ＋1>－2.①当－3<t <－2时，f (x )在[t ，－2)上是减函数，在(－2，t ＋1]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (－2)＝－2e －2.②当t ≥－2时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (t )＝2e t (t ＋1)．∴f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2e －2，－3<t <－2，2e t (t ＋1)，t ≥－2.11．若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，使得不等式2x ln x ＋x 2－mx ＋3≥0成立，则实数m 的最大值为()A.1e ＋3e －2B.3e ＋e ＋2C ．4D ．e 2－1 答案A解析∵2x ln x ＋x 2－mx ＋3≥0， ∴m ≤2ln x ＋x ＋3x ， 设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x ，则h ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝()x ＋3()x －1x 2，当1e ≤x <1时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， 当1<x ≤e 时，h ′(x )>0，h (x )单调递增． ∵存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，m ≤2ln x ＋x ＋3x 成立，∴m ≤h (x )max ，∵h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2＋1e ＋3e ，h ()e ＝2＋e ＋3e ， ∴h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e >h ()e . ∴m ≤1e ＋3e －2.12．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－x 22－mx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是减函数，则实数m 的最小值是()A ．－3B ．－32C.32D. 3解析由f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－x 22－mx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是减函数，得f ′(x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－x －m ≤0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，即2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－x ≤m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，令g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，则g ′(x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，π6≤2x ＋π6≤π2，则2≤4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤4，所以－5≤－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1≤－3，即g ′(x )<0，所以g (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是减函数，g (x )max ＝g (0)＝3，所以m ≥3，m 的最小值为 3.13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ，x >0，kx ，x ≤0.若∃x 0∈R 使得f ()－x 0＝f ()x 0成立，则实数k 的取值范围是()A.(]－∞，1B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1eC.[)－1，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1e ，＋∞解析由题意可得，存在实数x 0≠0，使得f ()－x 0＝f ()x 0成立，假设x 0>0，则－x 0<0， 所以有－kx 0＝ln x 0， 则k ＝－ln x 0x 0，令h (x )＝－ln x x， 则h ′(x )＝ln x －1x 2，令h ′(x )>0，即ln x >1，解得x >e ， 令h ′(x )<0，即ln x <1，解得0<x <e ，则h (x )在()0，e 上是减函数，在()e ，＋∞上是增函数， 所以h (x )≥h (x )min ＝h ()e ＝－lne e ＝－1e ， 所以k ≥－1e .14．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为________． 答案1解析由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )>0；当1a <x <2时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－ln a －1＝－1. 解得a ＝1.15．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(a >1)，若对于任意的x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为___________．答案4解析由题意得，f ′(x )＝3ax 2－3，当a >1时，令f ′(x )＝3ax 2－3＝0，解得x ＝±a a ，±a a∈[－1,1]．①当－1≤x <－a a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；②当－a a <x <a a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；③当a a <x ≤1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a a ≥0，且f (－1)≥0即可， 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a a ≥0，得a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 3－3·a a ＋1≥0，解得a ≥4，由f (－1)≥0，可得a ≤4，综上可得a ＝4.16．已知函数f (x )＝ln x ＋a x .(1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值．解函数f (x )＝ln x ＋a x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2，(1)∵a <0，∴f ′(x )>0，故函数在(0，＋∞)上是增函数．∴f (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间．(2)当x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a ≤1时，f ′(x )≥0，函数f (x )单调递增，其最小值为f (1)＝a ≤1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾；②当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，在(a ，e]上有f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1＝32，得a ＝e ；③当a≥e时，显然函数f(x)在[1，e]上是减函数，其最小值为f(e)＝1＋ae≥2，与最小值是32相矛盾．综上所述，a的值为 e.。
【金版教程】高一数学必修一课件：1-3-1-2函数的最大(小)值
思考2 函数f(x)对于定义域内的任意元素，都有f(x)≥M，则M是否就是函数的最小值？
提示：不一定，若存在f(x0)＝M，则是，否则，不是．
例1 已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－1|. (1)画出f(x)的图象； (2)根据图象写出f(x)的最小值．
[典例示法]
1.如何去掉绝对值将f(x)写成分段函数？2.由函数图象观察f(x)有最小值吗？最小值是多 少？
提示：1.利用零点区间讨论法分三段去绝对值将f(x)写成分段函数.2.由图象观察f(x)有最小值等于2.
例2 已知函数f(x)＝x＋1x. (1)求证：f(x)在[1，＋∞)上是增函数； (2)求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值．
[典例示法]
如何证明f(x)在[1，＋∞)上的单调性？[1,4]与[1，＋∞)具有怎样的关系？f(x)在[1,4]上 的单调性是怎样的？最值在何处取得？
提示：用定义法证明f(x)在[1，＋∞)上的单调性．[1,4] [1，＋∞)，f(x)在[1,4]上是增函数，最小值当x ＝1时取得，最大值当x＝4时取得．
(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ①对于任意的x∈I，都有 f(x)≥M ； ②存在x0∈I，使得 f(x0)＝M . 那么，称M是函数y＝f(x)的最小值． (2)几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象 最低点 的纵坐标．
[自我小测] 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有最大值或最小值．( × ) (2)函数的最小值一定比最大值小．( × ) (3)函数f(x)＝－x在[2,3)上的最大值为－2，无最小值．( √ ) 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)函数f(x)＝x2在[0,1]上的最大值是____1____．
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知识探究（一）
观察下列两个函数的图象：
y
M
y
M
x o x0
图1
o
x0
x
图2
思考1:这两个函数图象有何共同特征？
思考2:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标 为M，则对函数定义域内任意自变量x，f(x) 与M的大小关系如何？
知识探究（一）
思考3、设函数
，则 f (x成) 立吗1？ x2
f (x) 2是函数 图象的最高点的纵坐标吗？
知识探究（一）
2、函数最小值的定义：
一般地，设函数 （1）对于任意的
y f ( x) 的定义域为I，如果存在实数m满足：
, 都有
;
（2）存在
，使得
.
那么称m是函数
的最小值，记作
xI
f (x) m
x0 min m
3、求函数的最大值与最小值
例1、已知函数
为什么？
f (x) 2
知识探究（一）
1、函数函数最大值的定义
一般地，设函数 y f (x) 的定义域为I，
如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x I , 都有 f (x) M；
（2）存在 x0 I ，使得 f (x0 ) M . 那么称M是函数 y f (x)的最大值，
记作 f (x)max M
作业
P39 习题1.3A组：5 B组：1，2.
例３、设b 1为常数，
如果当x [1, b]时,函数
f (x) 1 x2 x 3
2
2
的值域也是[1, b]，求
b的值.
，求函
f x 数 的最大值和最小值.
2 ,x x 1
2, 6
f (x)
例2、求下列函数的最值： （1）f (x) x2 2x 3, x [2,6]
(2) f (x) x 1 , x [2,6] x
(3) f (x) x 2 x 1, x [2,6] (4) f (x) 1 x2 2x, x [2,6]
高一年级数学
第一章 集合与函数概念 1.3 函数的最大值与最小值
湖南师大附中 彭萍
复习巩固
1、函数 求不等式
f (x的)是解集. 0, 上的增函数, f 1 1
f (x 2) 1
2、求证：f (x) x2 2ax在[a,) 为增函数。
3、函数f (x) x2 2ax在[0,4]上 为增函数，求a的范围。