运筹学实验_动态规划
运筹学动态规划
运筹学动态规划第7章动态规划动态规划是Bellman 在1957年提出的解多阶决策问题的方法，在那个时期，线性规划很流行，它是研究静态问题的，而Bellman 提出的解多阶决策问题的方法适用于动态问题，相对于线性规划研究静态问题，取名动态规划。
动态规划方法应用范围非常广泛，方法也比较简单。
动态规划是将一个多阶决策问题分解为一系列的互相嵌套的一步决策问题，序贯求解使问题得到简化。
动态规划问题按照问题的性质可以分为确定性的和随机性的，按决策变量的和状态变量的取值可以分为离散型的和连续型的。
此外还有依据时间变量连续取值还是离散取值又分为连续时间动态规划问题和离散时间动态规划问题。
本章重点讨论离散时间确定性动态规划问题，包括状态变量和决策变量连续取值和离散取值两种情况。
7.1解多阶决策问题的动态规划法1.多阶决策问题的例(1)最优路径问题—多阶决策问题的例为了直观，先从最优路径问题谈起，它可以看作一个多阶决策过程。
通过最优路径问题的解可以看到用动态规划法解多阶决策问题的基本思想。
考虑图7-1所示的最优路径问题。
一汽车由S 点出发到终点F ，P 和Q 是一些可以通过的点。
图中两点间标出的数字是汽车走这一段路所需的时间(单位为小时)。
最优路径问题是确定一个路径，使汽车沿这条路径由S 点出发达到F 点所用时间最短。
最优路径问题可以看作一个多阶决策问题，由S 到城市甲是第1个阶段，第1个结点P 1或第2个结点Q 1做为第1阶段可以通过的两个站点，由城市甲到城市乙是第2阶段，这个阶段是从P 1或Q 1到P 2或Q 2，由城市乙到城市丙是第3阶段，这个阶段是从P 2或Q 2到P 3或Q 3，由城市丙的P 3或Q 3到F 做为第四阶段。
（2）最优路径问题的解对最优路径问题，存在一个非常明显的原理，即最优路径的一部分还是最优路径。
换句话说，如果SQ P Q F 123是所求的最优路径，那么，汽车从这一路径上的任何一点，例如P 2，出发到F 的最优路径必为P Q F 23。
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划一、教学目标1. 了解动态规划的基本概念及其在运筹学中的应用。
2. 掌握动态规划的基本原理和方法，能够解决实际问题。
3. 学会使用动态规划解决最优化问题，提高解决问题的效率。
二、教学内容1. 动态规划的基本概念动态规划的定义动态规划与分治法的区别2. 动态规划的基本原理最优解的性质状态转移方程边界条件3. 动态规划的方法递推法迭代法表格法4. 动态规划的应用背包问题最长公共子序列最短路径问题三、教学方法1. 讲授法：讲解动态规划的基本概念、原理和方法。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用动态规划解决问题。
3. 编程实践法：让学生动手编写代码，加深对动态规划方法的理解。
四、教学准备1. 教材：《运筹学导论》或相关教材。
2. 课件：动态规划的基本概念、原理、方法及应用案例。
3. 编程环境：为学生提供编程实践的平台，如Python、C++等。
五、教学过程1. 引入：通过一个实际问题，引出动态规划的概念。
2. 讲解：讲解动态规划的基本原理和方法。
3. 案例分析：分析实际问题，展示动态规划的应用。
4. 编程实践：让学生动手解决实际问题，巩固动态规划方法。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调动态规划的关键要点。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂讲解：评估学生对动态规划基本概念、原理和方法的理解程度。
2. 案例分析：评估学生运用动态规划解决实际问题的能力。
3. 编程实践：评估学生动手实现动态规划算法的能力。
4. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的掌握情况。
七、教学拓展1. 研究动态规划与其他优化方法的联系与区别。
2. 探讨动态规划在运筹学其他领域的应用，如库存管理、生产计划等。
3. 了解动态规划在、数据挖掘等领域的应用。
八、教学反思1. 反思本节课的教学内容、方法和过程，确保符合教学目标。
2. 考虑学生的反馈，调整教学方法和节奏，提高教学效果。
3. 探讨如何将动态规划与其他运筹学方法相结合，提高解决问题的综合能力。
第五章 物流运筹学——动态规划
表5-2 设i 仪器换成 j 仪器所需中断试验的时间
tij
j
1 10 9 6
仪器 2 9 12 5 3 14 10 8
i 仪器
1 2 3
• 【例5-4】（机器负荷问题）设某机器可以在高、 低两种不同的负荷下进行生产。若年初有 x 台 机器在高负荷下进行生产，则产品年产量a = 8x ， 机器的年折损率 β = 0.3 ；若年初有 y 台机器在低 负荷下进行生产，则产品年产量 b = 5 y ，机器的 年折损率α = 0.1。若初始时有性能正常的机器1000 台，要求制定机器负荷的四年分配计划，确定每年 年初分配正常机器在不同负荷下工作的台数，使四 年内产品总产量最大。
• 状态转移方程(state transfer equation)：动 态规划中本阶段的状态往往是上一阶段状 态和上一阶段的决策结果。如果给定了第 k 段的状态sk ，本阶段决策为uk (sk ) ，则第 k +1 段的状态s k + 1 也就完全确定，两者的关系可 用下式表示： sk +1 = Tk ( sk , uk ) （5-1） 由于它表示了由 k 段到 k +1 段的状态转移 规律，所以称为状态转移方程。
• •
动态规划的求解方法
动态规划的求解有两种基本方法：逆序解法（后向 动态规划方法）和顺序解法（前向动态规划方 法）。 • 在对例5-5的求解中，寻优的方向与多阶段决策过 程的实际进行方向相反，即从最后一段开始计算 逐步前推，从而求得全过程的最优策略，这样的 解法称为逆序解法；与之相反，顺序解法的寻优 方向与过程的前进方向相同，计算时从第一段开 始逐段向后递推，后一阶段要用到前一阶段的求 优结果，最后一段计算的结果就是全过程的最优 结果。
运筹学第10章动态规划
管 理 运 精品资料 筹 学
17
动态(dòngtài)规划要求过程指标满足递推关系 ，即
Vk (sk , xk , xk1, , xn ) Vk [v(sk , xk ),Vk1(sk1, xk1, , xn )]
管 理 运 精品资料 筹 学
20
动态(dòngtài)规划方法的基本思想
• 结合解决最短路线问题来介绍动态规划方法(fāngfǎ) 的基本思想。生活中的常识告诉我们, 最短路线有一 个重要特性: 如果由起点A 经过P 点和H 点而到达终 点G 是一条最短路线, 则由点P 出发经过H 点到达终 点G 的这条子路线, 对于从点P 出发到达终点的所有 可能选择的不同路线来说, 必定也是最短路线。
连和形式 (xíngshì)：
VK VK (sk , xk , xk1, , xn ) vk (sk , xk）＋VK (sk＋1, xk1, , xn )
n1
v j (s j , x j）Vn jk
最优指标函数是
f k (sk ) Opt {vk (sk , xk } f k1 (sk1 )}, k 1,2,, n
xk Dk ( sk )
管 理 运 精品资料 筹 学
18
连乘形式(xíngshì)(VvjK≠0)V：K (sk , xk , xk1, , xn )
vk (sk , xk ) VK (sk＋1, xk1, , xn )
n1
j =k
vj
(s j
,
xj
) Vn
最优指标函数是
fk (sk ) Opt {vk (sk , xk } fk1(sk1)}, k 1, 2, , n
运筹学——动态规划
优子策略。该原理的具体解释是，若某一全过程
最优策略为：
p1
(s1 )
{u1
(s1 ),
u 2
(s2
),
,
u
k
(sk
),
u
n
(sn
)}
则对上述策略中所隐含的任一状态而言，
第k子过程上对应于该状态的最优策略必然包
含在上述全过程最优策略p1*中，即为
pk
(sk
)
{u
k
(sk
),
u
k 1
(sk
1
),
2．正确地定义状态变量sk，使它既能正确地描述过 程的状态，又能满足无后效性．动态规划中的状 态与一般控制系统中和通常所说的状态的概念是 有所不同的，动态规划中的状态变量必须具备以 下三个特征：
20
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(1)要能够正确地描述受控过程的变化特征。 (2)要满足无后效性。即如果在某个阶段状态已经给定，那么在
sk 1 Tk (sk ,uk (sk ))
上式称为多阶段决策过程的状态转移方程。有些问题的 状态转移方程不一定存在数学表达式，但是它们的状态 转移，还是有一定规律可循的。
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(六) 指标函数 用来衡量策略或子策略或决策的效果的某种数量
指标，就称为指标函数。它是定义在全过程或各 子过程或各阶段上的确定数量函数。对不同问题 ，指标函数可以是诸如费用、成本、产值、利润 、产量、耗量、距离、时间、效用，等等。
7
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（二）状态、状态变量和可能状态集 1.状态与状态变量。用以描述事物(或系统)在某特 定的时间与空间域中所处位置及运动特征的量，称 为状态。反映状态变化的量叫做状态变量。状态变 量必须包含在给定的阶段上确定全部允许决策所需 要的信息。按照过程进行的先后，每个阶段的状态 可分为初始状态和终止状态，或称输入状态和输出 状态，阶段k的初始状态记作sk，终止状态记为sk+1 。但为了清楚起见，通常定义阶段的状态即指其初 始状态。
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划一、引言1.1 课程背景本课程旨在帮助学生掌握运筹学中的动态规划方法，培养学生解决实际问题的能力。
1.2 课程目标通过本课程的学习，学生将能够：（1）理解动态规划的基本概念和原理；（2）掌握动态规划解决问题的方法和步骤；（3）能够应用动态规划解决实际问题。
二、动态规划基本概念2.1 定义动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种求解最优化问题的方法，它将复杂问题分解为简单子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
2.2 特点（1）最优子结构：问题的最优解包含其子问题的最优解；（2）重叠子问题：问题中含有重复子问题；（3）无后效性：一旦某个给定子问题的解确定了，就不会再改变；（4）子问题划分：问题可以分解为若干个子问题，且子问题之间是相互独立的。
三、动态规划解决问题步骤3.1 定义状态状态是指某一阶段问题的一个描述，可以用一组变量来表示。
3.2 建立状态转移方程状态转移方程是描述从一个状态到另一个状态的转换关系。
3.3 确定边界条件边界条件是指初始状态和最终状态的取值。
3.4 求解最优解根据状态转移方程和边界条件，求解最优解。
四、动态规划应用实例4.1 0-1背包问题问题描述：给定n个物品，每个物品有一个重量和一个价值，背包的最大容量为W，如何选择装入背包的物品，使得背包内物品的总价值最大。
4.2 最长公共子序列问题描述：给定两个序列，求它们的最长公共子序列。
4.3 最短路径问题问题描述：给定一个加权无向图，求从源点到其他各顶点的最短路径。
5.1 动态规划的基本概念和原理5.2 动态规划解决问题的步骤5.3 动态规划在实际问题中的应用教学方法：本课程采用讲授、案例分析、上机实践相结合的教学方法，帮助学生深入理解和掌握动态规划方法。
教学评估：课程结束后，通过课堂讨论、上机考试等方式对学生的学习情况进行评估。
六、动态规划算法设计6.1 动态规划算法框架介绍动态规划算法的基本框架，包括状态定义、状态转移方程、边界条件、计算顺序等。
10运筹学-动态规划
动态规划问题实例 动态规划的基本概念与原理 动态规划应用举例
引言
动态规划是解决多阶段决策过程最优化的一种方法。该方法 是由美国数学家贝尔曼（R. E. Bellman)等人在20世纪50年代 初提出的。并成功地解决了生产管理、工程技术等方面的许
多问题，从而建立了运筹学的一个新的分支，即动态规划。
式中opt 可根据题意取 max 或 min.
例如，例1的基本方程为：
f k ( sk ) min{d k ( sk , uk ) f k 1 ( sk 1 )} k 5,4,3,2,1 uk f 6 ( s6 ) 0
最优性原理：无论过去的状态和决策如何，从眼下直到最后 的诸决策必构成最优子策略。
（1）k=5 时，状态 S5 {E1 , E2} 最短路。
它们到F 点的距离即为
f 5 ( E1 ) 4,
f5 ( E2 ) 3;
* * u5 ( E1 ) F , u5 ( E2 ) F.
2
4
C1
8 3
5 4 5 3 4 8
* u5 ( E1 ) F ,
B1
D1 D2 D3
动态规划应用举例
例1 最短路线问题
2 4
C1
8 3
5 4
B1
D1 D2 D3
5 6
2 1
3
6
5 8 7 7
C2 C3
5
3 4 8
E1
3
4
A B2
F E2
3
C4
4
2
4
C1
8 3
5 4 5 3 4 8
B1
D1 D2 D3
5 6 2 1
运筹学教材课件(第四章动态规划)
最优解的存在性
对于多阶段决策问题，如果每个 阶段的决策空间是有限的，则存 在最优解。
最优解的唯一性
对于某些多阶段决策问题，可能 存在多个最优解。在这种情况下， 我们需要进一步分析问题的性质 和约束条件，以确定最优解的个 数和性质。
最优解的稳定性
在某些情况下，最优解可能受到 参数变化的影响。我们需要分析 最优解的稳定性，以确保最优解 在参数变化时仍然保持最优。
VS
详细描述
排序问题可以分为多种类型，如冒泡排序 、快速排序、归并排序等。动态规划可以 通过将问题分解为子问题，逐一求解最优 解，最终得到全局最优解。在排序问题中 ，动态规划可以应用于求解最小化总成本 、最大化总效益等问题。
04
动态规划的求解方法
逆推法
逆推法
从问题的目标状态出发，逆向推算出达到目标状态的 最优决策，直到达到初始状态为止。
案例二：投资组合优化问题
要点一
总结词
要点二
详细描述
投资组合优化问题是动态规划在金融领域的重要应用，通 过合理配置资产，降低投资风险并提高投资收益。
投资组合优化问题需要考虑市场走势、资产特性、风险偏 好等多种因素，通过动态规划的方法，可以确定最优的投 资组合，使得投资者在风险可控的前提下，实现收益最大 化。
详细描述
在背包问题中，给定一组物品，每个物品都有一定的重量和价值，要求在不超过背包容量的限制下， 选择总价值最大的物品组合。通过动态规划的方法，可以将背包问题分解为一系列子问题，逐一求解 最优解。
排序问题
总结词
排序问题是动态规划应用的另一个重要 领域，主要涉及到将一组元素按照一定 的顺序排列，以达到最优的目标。
本最小化和效率最大化。
感谢您的观看
运筹学5(动态规划)
1
2
3
4
下面应用动态规划方法求解例７.1。运用逆序递 推方法求解,即由最后一段到第一段逐步求出各点到 终点的最短路线,最后求出A点到E点的最短路线。 运用逆序递推方法的好处是可以始终盯住目标,不 致脱离最终目标。 例７.1是一个四阶段决策问题,一般可分为四步：
●逆序法求解最短路问题
第一步,从K=4开始
2 S3
3
S4
4
d (C 2 , D1 ) + f 4 ( D1 ) 6+4 =min =5 f 3 （ C2 ）＝min d (C 2 , D2 ) + f 4 ( D2 ) 2+3 即从 C2 到 E 的最短距离为 5, 其路径为 C2 → D2 →E,相应的决策为
* x 3 （ C 2 ） = D2
1 S1 S2
2 S3
3
S4
4
1
反推,即得到最优决策序列 ,即 x ＝ D2 ， x
* 4 * 1
2
3
*
4
*
从城市 A 到城市 E 的最短距离为 17。把各段的最优决策按计算顺序
（A）＝ B1 , x 2 （ B1 ）= C 2 , x 3 （ C 2 ） （ D2 ）＝E，所以最短路线为 :A→B1→C2 →D2→E.
d ( B1 , C1 ) + f 3 (C1 ) 6+7 f 2 ( B1 ) =min d ( B1 , C2 ) + f 3 (C 2 ) =min 4 + 5 =9 d ( B1 , C3 ) + f 3 (C3 ) 5+5
即 B1 到终点 E 的最短距离为 9, 其路径为 B1→C2→D2→E, 本段的相应 决策为 x
运筹学课程动态规划课件
5 A
3
1 B1 3
6
8 B2 7
6
C1 6 8
3 C2 5
3 C3 3
84 C4
2 D1
2
D2 1 2
3 D3
3
E1 3
5 5 E2 2
6 6
E3
F1 4
G 3 F2
1
2
3 4 运筹学课程动态规划
5
6
7
示例5（生产与存储问题）：
某工厂生产并销售某种产品。已知今后四个月市场需求 预测及每月生产j个单位产品的费用如下：
上一个阶段的决策直接影响下一个阶段的决策
运筹学课程动态规划
8
示例6（航天飞机飞行控制问题）：
由于航天飞机的运动的环境是不断变化的，因 此就要根据航天飞机飞行在不同环境中的情况， 不断地决定航天飞机的飞行方向和速度（状态）， 使之能最省燃料和实现目的（如软着落问题）。
运筹学课程动态规划
9
所谓多阶段决策问题是指一类活动过程，它可以分为若 干个相互联系的阶段，在每个阶段都需要作出决策。这 个决策不仅决定这一阶段的效益，而且决定下一阶段的 初
1 6
C3
D1
10
E
D2
6
运筹学课程动态规划
12
以上求从A到E的最短路径问题，可以转化为四个性质完
全相同，但规模较小的子问题，即分别从 Di 、 Ci 、Bi、
A到E的最短路径问题。
第四阶段：两个始点 D 1 和 D 2 ，终点只有一个；
本阶段始点 （状态）
D1 D2
本阶段各终点（决策） E 10 6
cj30j
j0 j1,2,6
月1 2 3
4
需求 2 3 2
运筹学教案动态规划ppt课件
(uk ,u2un )
注: 指标函数的含义是多样的,如:距离、 利润、成本、产品产量、资源消耗等。
最优化原理与动态规划问题基本方程
最优化原理
“作为全过程的最优策略具有这样的性质： 无论过去的状态和决策如何，对于前面决策所形 成的状态（即该最优策略上某一状态）而言，余 下的诸决策必须构成以此状态为初始状态的最优 策略。
3 A5
4
1 阶段
B
9
1
5
4
B
3
2
5
1 B
3
7
2
阶段
C1
1
5
D
1
4
8
C
4
2 D6
E 1
1
2
6
29
F
2 E
4 C
4
3
2
3
阶段
7
D
3
5
4 阶段
2
5 阶段
状态与状态变量
状态： 表示每个阶段开始时所处的自然状 况或客观条件，又称为不可控因素，是阶段的特 征，通常一个阶段有若干个状态。
如：前例，第一阶段状态为点A，第二阶段 的状态有B1，B2，B3三个状态。
但是要受到维数限制。
求解动态规划问题的过程： （1）将问题过程划分恰当阶段，选择阶段
变量k.。 正确（描2过）程正的确演选变择，状又态要变满量足x无k. 后应效注性意。：既能够
（3）正确选择决策变量uk，确定允许集合 。 （4）正确写出状态转移方程 xk+1= Tk(xk, uk)。 （5） 列出按阶段可分的准则函数V1,n ，要 满足几个性质。
概述
▪ 动态规划为运筹学的一个分支，是用于求解 多个阶段决策过程的最优化数学方法。
运筹学 第8章 动态规划
Vk , n sk , xk ,, sn k sk , xk , Vk 1, n sk 1 , xk 1 ,, sn
① 是各阶段指标的和
常见指标函数为：
x k D k s k
vk sk , xk f k 1 sk 1 vk sk , xk f k 1 sk 1
(8.3a)
(2) 当各阶段指标函数为求积时
f k S k opt
x k D k s k
(8.3b)
边界条件，即当k=n时，f n 1 sn 1 的值，要根据问题的条件 来决定，一般指标函数值为式(8.3a)，取 f n 1 sn 1 0 ；当 指标函数值为式(8.3b)，取 f n 1 sn 1 1。
3、决策 指某阶段状态给定以后，决策者在面临的若干种 不同方案中作出的选择。描述决策的变量，称为决策变量 xk(sk)。它表示第k阶段状态为sk时对方案的选择。
决策变量的取值往往限制在一定范围内，此范围为允许 决策集合，常用Dk(sk)表示，显然有：xk(sk)Dk(sk) 4、策略和子策略 各阶段决策组成的序列总体称为一个策 略。n阶段策略可写为 x1 s1 , x2 s2 ,, xn sn 从阶段k开始到过程最终的决策序列称为问题的子策略， 可写为 xk sk , xk 1 sk 1 ,, xn sn 5、状态转移律 从上阶段的某一状态值到下一阶段某一状 态值的转移规律称为状态转移律，也称为状态转移方程 记为： sk 1 T sk , xk sk 或 6、指标函数
ci 为最大。 (i=1, ,n),问如何分割使其乘积 i 1
运筹学中的动态规划原理-教案
运筹学中的动态规划原理-教案一、引言1.1动态规划的基本概念1.1.1动态规划的定义：动态规划是一种数学方法，用于求解多阶段决策过程的最优化问题。
1.1.2动态规划的特点：将复杂问题分解为简单的子问题，通过求解子问题来得到原问题的最优解。
1.1.3动态规划的应用：广泛应用于资源分配、生产计划、库存控制等领域。
1.2动态规划的基本原理1.2.1最优性原理：一个最优策略的子策略也是最优的。
1.2.2无后效性：某阶段的状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。
1.2.3子问题的重叠性：动态规划将问题分解为子问题，子问题之间往往存在重叠。
1.3动态规划与静态规划的关系1.3.1静态规划：研究在某一特定时刻的最优决策。
1.3.2动态规划：研究在一系列时刻的最优决策。
1.3.3动态规划与静态规划的区别：动态规划考虑时间因素，将问题分解为多个阶段进行求解。
二、知识点讲解2.1动态规划的基本模型2.1.1阶段：将问题的求解过程划分为若干个相互联系的阶段。
2.1.2状态：描述某个阶段的问题情景。
2.1.3决策：在每个阶段，根据当前状态选择一个行动。
2.1.4状态转移方程：描述一个阶段的状态如何转移到下一个阶段的状态。
2.2动态规划的基本算法2.2.1递归算法：通过递归调用求解子问题。
2.2.2记忆化搜索：在递归算法的基础上，保存已经求解的子问题的结果，避免重复计算。
2.2.3动态规划算法：自底向上求解子问题，将子问题的解存储在表格中。
2.2.4动态规划算法的优化：通过状态压缩、滚动数组等技术，减少动态规划算法的空间复杂度。
2.3动态规划的经典问题2.3.1背包问题：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价值，求解在给定背包容量下，如何选择物品使得背包中物品的总价值最大。
2.3.2最长递增子序列问题：给定一个整数序列，求解序列的最长递增子序列的长度。
2.3.3最短路径问题：给定一个加权有向图，求解从源点到目标点的最短路径。
运筹学第四章动态规划
7
7
5
8
4
3
B1
4
C1
8
C4
4
D1
3
5 E1
4
6
D2 2
F
3
1
3 E2
D3
解：（逆序解法）
（1）从k＝5开始，到终点的路长
f 5 ( E1 ) 4, f 5 ( E2 ) 3
（2）k=4, 状态有3个D1,D2,D3，到终点的最短路长
d ( D1 , E1 ) f5 ( E1 )
资数额才能使总收益最大？
解：求x1,x2,x3，使
max z 4 x1 9 x2 2 x
2
3
x1 x2 x3 10
s.t.
xi 0 (i 1,2,3)
本例可转化为3阶段的决策问题。
4.2 动态规划的基本概念和基本原理
一、动态规划的基本概念
（1）阶段：将问题按时间或空间特征分解成若干相互联系
ቊ
∗2 (1 ) = 1
(1 , 2 ) + 1 (1 )
3+4
2 (2 ) = min
= min
=7
(2 , 2 ) + 1 (2 )
൞
8+5
∗2 (2 ) = 1
(1 , 3 ) + 1 (1 )
6+4
2 (3 ) = min
= min
= 10
uk
f 0 ( s1 ) 0
顺序解法与逆序解法在本质上没有区别。
当问题给定了一个初始状态和一个终止状态时
，两种方法都可以用。
4.3 动态规划模型的建立与求解
运筹学实验报告
实验报告《运筹学（二）》2012～2013学年第一学期实验1一、实验目的1. 加强学生分析问题的能力，锻炼数学建模的能力。
2. 利用所学高级语言，设计动态规划算法，并完成程序设计。
二、实验内容问题1（动态规划）：（投资问题）某公司拟现将3千万元用于扩建3工厂。
每个项目预计可获得的收益由表1给出。
问如何投资可获得最大的收益。
（教材P212）表1三、实验步骤1、建立模型S k ——对k #，…，3#项目允许的投资额； x k ——对k #项目的投资额；w k ——对k #项目投资xk 后的收益：w k (S k ，x k )=w k (x k )； T k ——S k+1=S k －x k ；F k ——当第k 至第3项目 允许的投资额为S k 时所能获得的最大收益。
为了获得最大收益，必须将5百万元资金全部用于投资。
故假想有第4阶段存在时，必有S 4＝0。
对于本问题，有下列递归方程：f 4(S 4)=0f k (S k )=max{w k (x k )+f k +1(S k +1)},，k=3，2，1 2、编写代码 clc; a=[0 2.5 4 10 0 3 5 8.50 2 6 9];[m n]=size(a);max=0;ii=1;%fid=fopen('exp.txt','w')for x=0:3for y=0:3-xfor z=0:3-x-y% z=3-x-y;tep(ii,:)=[x y z a(1,x+1)+a(2,y+1)+a(3,z+1)];% fprintf(fid,'%4.2f %4.2f %4.2f %4.2f \n',tep(ii));fprintf( '%4.2f %4.2f %4.2f \n',tep(ii,1:3) );fprintf( '%4.2f %4.2f %4.2f %4.2f \n',tep(ii,:) );if tep(ii,4)>maxmax=tep(ii,4);zyj=[x y z ];endii=ii+1;endendend%fclose(fid)'最优解：'zyj'最优值：'Max3、运行代码四、运行结果0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 1.000.00 0.00 1.00 2.00 0.00 0.00 2.000.00 0.00 2.00 6.00 0.00 0.00 3.000.00 0.00 3.00 9.00 0.00 1.00 0.000.00 1.00 0.00 3.00 0.00 1.00 1.000.00 1.00 1.00 5.00 0.00 1.00 2.000.00 1.00 2.00 9.00 0.00 2.00 0.000.00 2.00 0.00 5.00 0.00 2.00 1.000.00 2.00 1.00 7.00 0.00 3.00 0.000.00 3.00 0.00 8.501.00 0.00 0.001.00 0.00 0.002.50 1.00 0.00 1.001.00 0.00 1.00 4.50 1.00 0.002.001.00 0.002.00 8.50 1.00 1.00 0.001.00 1.00 0.00 5.50 1.00 1.00 1.001.00 1.00 1.00 7.50 1.002.00 0.001.002.00 0.00 7.502.00 0.00 0.002.00 0.00 0.00 4.00 2.00 0.00 1.002.00 0.00 1.00 6.00 2.00 1.00 0.002.00 1.00 0.00 7.003.00 0.00 0.003.00 0.00 0.00 10.00ans =最优解：zyj =3 0 0 ans =最优值：max =10>>五、结果分析所求最优解为d=3，d=0，d=0，即投资第一个项目3千万元，不投资第二、第三个项目，公司总的最大利润增长额为10千万元。
运筹学 第05章 动态规划
多阶段决策过程(2) 多阶段决策过程
uk 代表k 阶段对第k 子问题进行的决策,称uk为k 阶段的决策变量,uk的一组确定的取值称为一个 决策 rk 表示k 阶段从状态xk 出发做决策uk 之后产生的 后果,称为k 阶段的阶段效应
所有可能的fn ( xn )都已求出
根据 xn = Tn1( xn1, un1 ) ,就阶段n-1的所有可能状 态 xn1 ∈ Xn1 计算 u'n1 (xn1) 和 fn1( xn1 ) 余者类推,直到阶段1
un1
动态规划问题求解步骤(3) 动态规划问题求解步骤
通过状态转移方程顺序求出最优决策序列 和最优路线
则
fk ( xk ) = opt ⊕ ri ( xi , ui ')
n uk ,Lun i=k ,
执行条件最优策略时的阶段状态序列称为 条件最优路线,表示为{xk, xk+1',…, xn', xn+1'} 条件最优路线
贝尔曼函数(3) 贝尔曼函数
动态规划方法的原理就是建立起fk(xk )与 fk+1(xk+1 )之间的递推关系,然后逐步求出所 有的fk(xk )
fn+1(xn+1 ) ≡ 0
un
fn ( xn ) = rn ( xn , u'n (xn ))
必须就阶段n的所有可能状态 xn ∈ Xn计算 u'n (xn )和 fn ( xn )
动态规划问题求解步骤(2) 动态规划问题求解步骤
k=n-1时,
fn1( xn1 ) = opt{rn ( xn1, un1 ) ⊕ fn ( xn )}
运筹学实验动态重点规划
实验二用MATLAB解决动态规划问题问题：有一部货车每天沿着公路给四个售货店卸下6箱货品，如果各零售店发售该货品所得利润如下表所示，试求在各零售店卸下几箱货品，能使获得总利润最大？其值为多少？解：1)将问题按售货店分为四个阶段2)设s k表达为分派给第k个售货店到第n个工厂旳货品数，x k设为决策变量，表达为分派给第k个售货店旳货品数，状态转移方程为s k＋1＝s k－x k。
P k(x k)表达为x k箱货品分到第k个售货店所得旳赚钱值。
f k(s k)表达为s k箱货品分派给第k个售货店到第n个售货店旳最大赚钱值。
3)递推关系式：f k(s k)＝max[ P k(x k)+ f k+1(s k－x k) ] k=4,3,2,1边界条件：f5(s5)＝04)从最后一种阶段开始向前逆推计算。
第四阶段：设将s4箱货品（s4＝0,1,2,3,4,5,6）所有分派给4售货店时，最大赚钱值为：f4(s4)＝max[P4(x4)] 其中x4＝s4＝0,1,2,3,4,5,6 x4*表达使得f4(s4)为最大值时旳最优决策。
第三阶段：设将s3箱货品（s3＝0,1,2,3,4,5,6）分派给3售货店和4售货店时，对每一种s3值，均有一种最优分派方案，使得最大赚钱值为：f3(s3)＝max[ P3(x3)+ f4(s3－x3) ] ，x3＝0,1,2,3,4,5,6第二阶段：设将s2箱货品（s2＝0,1,2,3,4,5,6）分派给2售货店、3售货店和4售货店时，则最大赚钱值为：f2(s2)＝max[ P2(x2)+ f3(s2－x2) ]其中，x2＝0,1,2,3,4,5,6第一阶段：设将s2箱货品（s1＝0,1,2,3,4,5,6）分派给1售货店、2售货店、3售货店和4售货店时，则最大赚钱值为：f1(s1)＝max[ P1(x1)+ f2(s1－x1) ]其中，x1＝0,1,2,3,4,5,6按计算表格旳顺序反推，可知最优分派方案有6个：1） x1*＝1，x2*＝1，x3*=3，x4*=1。
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实验二用MATLAB解决动态规划问题
问题:有一部货车每天沿着公路给四个售货店卸下6箱货物,如果各零售店出售该货物所得利润如下表所示,试求在各零售店卸下几箱货物,能使获得总利润最
解:
1)将问题按售货店分为四个阶段
2)设s k表示为分配给第k个售货店到第n个工厂的货物数,
x k设为决策变量,表示为分配给第k个售货店的货物数,
状态转移方程为s k＋1＝s k－x k。
P k(x k)表示为x k箱货物分到第k个售货店所得的盈利值。
f k(s k)表示为s k箱货物分配给第k个售货店到第n个售货店的最大盈利值。
3)递推关系式:
f k(s k)＝max[ P k(x k)+ f k+1(s k－x k) ] k=4,3,2,1
边界条件:f5(s5)＝0
4)从最后一个阶段开始向前逆推计算。
第四阶段:
设将s4箱货物(s4＝0,1,2,3,4,5,6)全部分配给4售货店时,最大盈利值为: f4(s4)＝max[P4(x4)] 其中x4＝s4＝0,1,2,3,4,5,6 x4*表示使得f4(s4)为最大值时的最优决策。
第三阶段:
设将s3箱货物(s3＝0,1,2,3,4,5,6)分配给3售货店与4售货店时,对每一个s3值,都有一种最优分配方案,使得最大盈利值为:f3(s3)＝max[ P3(x3)+ f4(s3－x3) ] ,x3＝
第二阶段:
设将s2箱货物(s2＝0,1,2,3,4,5,6)分配给2售货店、3售货店与4售货店时,则最大盈利值为:f2(s2)＝max[ P2(x2)+ f3(s2－x2) ]
第一阶段:
设将s2箱货物(s1＝0,1,2,3,4,5,6)分配给1售货店、2售货店、3售货店与4售货店时,则最大盈利值为:f1(s1)＝max[ P1(x1)+ f2(s1－x1) ]
按计算表格的顺序反推,可知最优分配方案有6个:
1） x1*＝1,x2*＝1,x3*=3,x4*=1。
2） x1*＝1,x2*＝2,x3*=2,x4*=1。
3） x1*＝1,x2*＝3,x3*=1,x4*=1。
4） x1*＝2,x2*＝0,x3*=3,x4*=1。
5） x1*＝2,x2*＝1,x3*=2,x4*=1。
6） x1*＝2,x2*＝2,x3*=1,x4*=1。
以上6种最优方案的总利润均为17。
使用Matlab解决上面的问题:
在matlab命令窗口输入下面的程序:
图1 程序及其运行结果-1
图2 程序及其运行结果-2
图3 程序及其运行结果-3 m=1;
A=[0 4 6 7 7 7 7];
B=[0 2 4 6 8 9 10];
C=[0 3 5 7 8 8 8];
D=[0 4 5 6 6 6 6];
for a=1:7
for b=1:7
for c=1:7
for e=1:7
if a+b+c+e==10
d(m)=A(a)+B(b)+C(c)+D(e);
E(m,1)=a;
E(m,2)=b;
E(m,3)=c;
E(m,4)=e;
m=m+1;
else
continue;
end
end
end
end
end
MAXNum=d(1);
for l=1:size(d,2)
if d(l)>MAXNum
MAXNum=d(l);
p=l;
else
continue;
end
end
for l=1:size(d,2)
if d(l)==MAXNum
E(l,:)-1
else
continue;
end
end
MAXNum
按回车后可以得到以下的结果:
ans =
1 1 3 1
ans =
1 2 2 1
ans =
1 3 1 1
ans =
2 0
3 1
ans =
2 1 2 1
ans =
2 2 1 1 MAXNum =
17
由运行结果可知最优方案有6个:
1) x1*＝1,x2*＝1,x3*=3,x4*=1。
2) x1*＝1,x2*＝2,x3*=2,x4*=1。
3) x1*＝1,x2*＝3,x3*=1,x4*=1。
4) x1*＝2,x2*＝0,x3*=3,x4*=1。
5) x1*＝2,x2*＝1,x3*=2,x4*=1。
6) x1*＝2,x2*＝2,x3*=1,x4*=1。
最大总利润为17。
这与之前的计算结果一致。