二次函数最优化问题

专题10 二次函数最优化问题
阅读与思考
数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值；在现实生活中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等，这类问题我们称之为最值问题，解最值问题的常见方法有：
1．配方法
由非负数性质得()02≥±b a ． 2．不等分析法
通过解不等式（组），在约束条件下求最值． 3．运用函数性质
对二次函数()02≠++=a c bx ax y ，若自变量为任意实数值，则取值情况为：
（1）当0>a ，a b x 2-=时，a b ac y 442-=最小值 ；
（2）当0<a ，a b x 2-=时，a
b a
c y 442
-=最大值 ；
4．构造二次方程
利用二次方程有解的条件，由判别式0≥∆确定变量的取值范围，进而确定变量的最值．
例题与求解
【例1】当x 变化时，分式12
15
632
2++++x x x x 的最小值是 ．
（全国初中数学联赛试题）
解题思路：因分式中分子、分母的次数相等，故可将原分式用整式、真分式的形式表示，通过配方确定最小值．
【例2】已知1≤y ，且12=+y x ，则223162y x x ++的最小值为（ ）
A.
719 B. 3 C. 7
27 D. 13 （太原市竞赛试题）
解题思路：待求式求表示为关于x (或y )的二次函数，用二次函数的性质求出最小值，需注意的是变量x 、y 的隐含限制．
【例3】()2
13
22+-=x x f ，在b x a ≤≤的范围内最小值2a ，最大值2b ，求实
数对(a ，b ).
解题思路:本题通过讨论a ，b 与对称轴0=x 的关系得出结论．
【例4】（1）已知2
1
1-+-=x x y 的最大值为a ，最小值b ，求22b a +的值．
（“《数学周报》杯”竞赛试题）
（2）求使()168422+-++x x 取得最小值的实数x 的值．
（全国初中数学联赛试题）
（3）求使2016414129492222+-+++-++y y y xy x x 取得最小值时x ，y 的值．
（“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题）
解题思路：解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等．
【例5】如图，城市A 处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低？
（河南省竞赛试题）
解题思路：设铁路与公路的交点为C ，AC ＝x 千米，BC ＝y 千米，AD ＝n 千米，BD ＝m 千米，又设铁路每千米的运费为a 元，则从A 到B 的运费
()
ay m y n a S 222+--=，通过有理化，将式子整理为关于y 的方程．
【例6】（1）设r x ，1+r x ，…，k x （r k >），为k －r ＋1个互不相同的正整数，且x r ＋x r ＋1＋…＋x k ＝2003，求k 的最大可能值．
（香港中学竞赛试题）
（2）a ，b ，c 为正整数，且432c b a =+，求c 的最小值．
（全国初中数学联赛试题）
解题思路：对于(1)，因r ＝1，对k －r ＋1＝ k －1＋1＝k 个正整数x 1，x 2，…，x k ，不妨设x 1＜x 2＜…＜x k ＝2013，可见，只有当各项x 1，x 2，…，x k 的值愈小时，才能使k 愈大（项数愈多），通过放缩求k 的最大值；对于（2），从
()()222
b a
c a c
=+-入手．
能力训练
A 级
1．已知三个非负数a ，b ，c ，满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，则m 的最小值为___________，最大值为 ．
2．多项式p ＝2x 2－4xy ＋5y 2－12y ＋13的最小值为 ．
3．已知x ，y ，z 为实数，且x ＋2y －z ＝6，x －y ＋2z ＝3，那么x 2＋y 2＋z 2的最小值为 ．
（“希望杯”邀请赛试题）
4．若实数a ，b ，c ，满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则代数式(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2的最大值为 ( )
（全国初中数学联赛试题）
5．已知两点A (3，2)与B (1，－1)，点P 在y 轴上且使P A ＋PB 最短，则P 的坐标是（ ）
A.(0，2
1
-) B.(0，0) C.(0，
611) D.(0，4
1-)
（盐城市中考试题）
6．正实数x ，y 满足1=xy ，那么4
4411y x +的最小值为（ ） A.
21 B. 85 C. 1 D. 4
5
E. 2
（黄冈市竞赛试题）
7．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元/件)可近似看作一次函数b kx y +=的关系（如图所示）.
（1）根据图象，求一次函数b kx y +=的解析式；
（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S 元． ①试用销售单价x 表示毛利润；
②试问：销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销量是多少？
（南通市中考试题）
8．方程()()06122=-+-+m x m x 有一根不大于1-，另一根不小于1， （1）求m 的取值范围；
（2）求方程两根平方和的最大值与最小值．
（江苏省竞赛试题）
9．已知实数a ，b 满足122=++b ab a ，求22b ab a +-的最大值与最小值．
（黄冈市竞赛试题）
10.已知a ，b ，c 是正整数，且二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个不同的交点A ，B ，若点A ，B 到原点的距离都小于1，求a ＋b ＋c 的最小值．
（天津市竞赛试题）
11．某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示：该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结
论：第x 天应付的养护与维修费为()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-50014
1x 元．
（1）如果将设备从开始投入使用到报废所需的养护与维修费及购买设备费用的总和均摊到每一天，叫作每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y （元）表示为使用天数x （天）的函数．
（2）按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问：该设备投入使用多少天应当报废？
（河北省竞赛试题）
B 级
1．a ，b 是正数，并且抛物线b ax x y 22++=和a bx x y ++=22都与x 轴有公共点，则22b a +的最小值是 ．
2．设x ，y ，z 都是实数，且满足x ＋y ＋z ＝1，xyz ＝2，则z y x ++的最小值为 ．
3．如图，B 船在A 船的西偏北45°处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离为 km ．
（全国初中数学竞赛试题）
东
北
A
B
4．若a ，b ，c ，d 是乘积为1的四个正数，则代数式a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab
＋bc ＋ac ＋ad ＋bd ＋cd 的最小值为（ ）
A. 0
B. 4
C. 8
D. 10
（天津市竞赛试题）
5．已知x ，y ，z 为三个非负实数，且满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2. 若s ＝2x ＋y －z ，则s 的最大值与最小值的和为（ ）
A. 5
B.
423 C. 427 D. 4
35
（天津市选拔赛试题）
6．如果抛物线()112----=k x k x y 与x 轴的交点为A ，B ，顶点为C ，那么△ABC 的面积的最小值为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
7．某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每降低1元，则日销量就增加10个，为获得每日最大利润，此商品售价应定为每个多少元？
（“祖冲之杯”邀请赛试题）。