均值不等式证明

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三元均值不等式的证明与应用

三元均值不等式的证明与应用1.三元均值不等式的证明：设a、b、c为非负实数，且不全为0。

根据三元均值不等式的表述，我们要证明以下不等式成立：（a+b+c）/3 ≥ √(abc)证明：我们可以先将不等式两边平方得到以下等价不等式：(a+b+c)²/9 ≥ abc展开得到：(a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc)/9 ≥ abc化简得到：a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc ≥ 9abc将不等式两边减去2ab、2ac和2bc，得到：a²-2ab+b² +c²-2ac+a² +c²-2bc+b² ≥ 5abc化简得到：(a-b)² + (b-c)² + (c-a)² ≥ 5abc不等式左边是三个数的平方和，而右边是它们的积，由于三个非负实数的平方和≥它们的积，因此不等式成立。

2.三元均值不等式的应用：（1）证明两个数的平均值大于等于它们的几何平均值：设a和b为非负实数，且不全为0。

根据三元均值不等式，有：(a+b)/2 ≥ √(ab)化简得到：a+b ≥ 2√(ab)这就证明了两个数的平均值大于等于它们的几何平均值。

（2）证明两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积：设a和b为非负实数，且不全为0。

根据三元均值不等式，有：(a²+b²)/2 ≥ ab化简得到：a²+b² ≥ 2ab这就证明了两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积。

（3）求证函数的不等式：设f(x)为一个定义在[a,b]上的连续函数，并且f(x)在[a,b]上不恒为0。

那么根据三元均值不等式可得：∫[a,b]f(x)dx / (b-a) ≥ √(∫[a,b]f²(x)dx / (b-a))这个不等式可以用于证明函数的平均值大于等于它的均方根。

均值不等式的证明精选多的篇

均值不等式的证明篇一:均值不等式（AM-GM不等式）是数学中常用的一种不等式关系，它说明了算术平均数和几何平均数之间的关系。

具体表达式为：对于任意非负实数集合{a1,a2,an}，有(a1+a2+.+an)/n ≥ (a1 a2 .*an)^(1/n)其中，等号成立当且仅当所有的非负数都相等。

下面，我们将给出AM-GM不等式的证明。

证明：首先，我们可以假设所有的a1,a2,an都是正实数。

因为AM-GM不等式对于非负实数也是成立的，所以我们可以通过限制条件来放缩实数集合。

考虑对数变换。

定义函数f(x) = ln(x)，其中x>0。

因为ln(x)在整个定义域都是凸函数，所以根据对数函数的性质，我们有：f((a1+a2+.+an)/n) ≥ (1/n)(f(a1)+f(a2)+.+f(an))即，ln((a1+a2+.+an)/n) ≥ (1/n)(ln(a1)+ln(a2)+.+ln(an))这是因为凸函数的定义是在一条直线上任取两个点，它总是在两点的连线上方。

继续推导，根据ln的性质，我们有：ln(a1 a2 .*an) = ln(a1) + ln(a2) + . + ln(an)将上述不等式代入这个等式中，得到ln((a1+a2+.+an)/n) ≥ ln(a1 a2 .*an)^(1/n)移项化简得到(a1+a2+.+an)/n ≥ (a1 a2 .*an)^(1/n)即AM-GM不等式得证。

最后，我们来说明等号成立的条件。

根据对数函数的性质，等号成立当且仅当所有的非负数的对数都相等，即a1 = a2 = . = an。

至此，我们完成了AM-GM不等式的证明。

总结： AM-GM不等式是数学中常用的一种不等式关系。

它表明算术平均数大于等于几何平均数，并且等号成立的条件是所有的非负数相等。

该不等式的证明可以通过对数变换和凸函数的性质进行推导得到。

篇二:在数学中，均值不等式是一类用于比较多个数的重要不等式。

均值不等式的几种证法

均值不等式的几种证法如果n个正数a1，a2，…，an的算术平均和几何平均分别是An=和Gn=a1a2…an，那么Gn≤An。

其中等号成立的充要条件是a1=a2=…=an。

证法1：数学归纳法n=1时，a1=a1，不等式成立。

n=2时，由=+a1a2≥a1a2即≥a1a2，不等式显然成立。

假设n=k(k≥2,k∈N)时不等式成立，则当n=k+1时，从而Ak+1≥a1a2…ak·ak+1·Ak+1，化简，得Ak+1≥a1a2…akak+1。

当且仅当a1=a2=…=ak=ak+1=Ak+1时，不等式取等号。

证法2：逐步调整法对于n个正数a1，a2，…，an有A(a)≥G(a)①其中A(a)=，G(a)=a1a2…an。

证明：不妨设a1≤a2≤…≤an，若a1=a2=…=an，则①取等号。

若ai（i=1,2,…,n）不全相等，则a1<an。

令bj=aj(j=2,3,…,n-1), b1=A(a)，bn=(a1+an)-A(a)。

a1<b1<an，a1<bn<an，那么b1bn>a1an。

事实上，若有A+B=A`+B`，A＜B，|A`-B`|＜|A-B|，A`＞A，B`＞A,总有A`B`-AB=A`B`-A[(A`+B`)-A]=(A`-A) (B`-A)＞0。

于是，A(b)=A(a),G(b)＞G(a)，且bi(i=1,2,…,n)中至少有一个b=A(a)。

若b2,b3,…,bn这(n-1)个数都相等，显然命题成立。

否则仍不妨设b2≤b3≤…≤bn，b2＜bn。

再令C1=b1 =A(a)=A(b)，C2=A(b)，Cn=(b2+bn)-A(b)，Ck=bk(k=3,4,…,n-1)。

又可得A(c)=A(b)，G(c)＞G(b)，且Ci(i=1,2,…,n)中至少有二个A(b)。

这样的调整至多重复(n-1)次，最终必将出现新数组中各正数均相等。

假定第s次时新数组中各数相等，那么A(a)=A(b) =A(c)=…=A(s)，G(a)＜G(b)＜G(c)…＜G(s)。

均值不等式

均值不等式xx年xx月xx日contents •均值不等式的定义•均值不等式的性质•均值不等式的证明方法•均值不等式的扩展•均值不等式的应用实例目录01均值不等式的定义•均值不等式（Mean Inequality）是指在实数范围内，任何一个数的平方与它的算术平均数的平方之差，等于0。

也就是说，对于任意实数x，有x^2=(x-x)^2=0。

什么是均值不等式•均值不等式的常见形式是：对于任意实数a和b（a≥0，b≥0），有√a≥b。

这个不等式表示，当a和b都是非负实数时，a的算术平均数大于等于b的几何平均数。

均值不等式的形式•均值不等式的证明方法有多种，其中一种是利用微积分中的积分函数。

设f(x)=x^2，则f'(x)=2x，令f'(x)=0，得x=0，则f(x)在x=0处取得极小值0。

因此，对于任意实数a和b（a≥0，b≥0），有√a≥b。

均值不等式的证明02均值不等式的性质算术平均数与几何平均数之间的关系：$AM \geq GM$均值的不等式性质：$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$均值不等式的形式二次幂和不等式当且仅当a=b时，均值不等式取等号。

一次幂和不等式当且仅当a+b为定值时，均值不等式取等号。

均值不等式的条件算术平均数的几何意义：长度为a和b的两线段的中点。

几何平均数的几何意义：面积的算术平均数。

均值的几何意义03均值不等式的证明方法总结词微积分方法证明均值不等式是通过研究函数的单调性和极值，证明在不同情况下，变量的和至少等于其平均值。

详细描述首先，定义一个实值函数 $f(x)$，并设其最小值 $m$ 和最大值 $M$ 存在。

由极值定理可知，对任意 $x_1, x_2$ 有 $[f(x_1) + f(x_2)]/2 \geq m$。

由此得出，对任意正整数 $n$，都有 $[f(x_1) + f(x_2) + \ldots + f(x_n)]/n \geq m$利用微积分知识证明矩阵相乘的性质证明均值不等式是通过利用矩阵相乘的顺序无关性，将矩阵相乘转化为向量点积，再利用柯西不等式证明。

均值不等式函数证明

均值不等式函数证明均值不等式函数是初等数学中的一类基本不等式，我们来研究一下如何证明它。

定义：设 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 是 $n$ 个非负实数，则有：$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \geqslant \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$$证明：为了方便证明，假设 $a_1,a_2, \cdots,a_n$ 是按照大小排列的，即 $a_1\leqslant a_2 \leqslant \cdots \leqslant a_n$。

我们考虑构造一个函数 $f(x)$，使得 $f(x)$ 满足以下两个性质：1. $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增；为了找到这样一个函数，我们考虑$f(x)=\left(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}-x\right)^n-x^n$。

可以验证，这个函数满足上面两个性质。

首先，我们证明当 $x \geqslant a_1$ 时，$f(x) \geqslant 0$，即$\left(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}-x\right)^n \geqslant x^n$。

这是因为当 $x\geqslant a_1$ 时，$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}-x \leqslant\frac{a_2+\cdots+a_n}{n} \leqslant \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$，所以$\left(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}-x\right)^n \geqslant\frac{(a_1+a_2+\cdots+a_n)^n}{n^n} \geqslant \frac{(a_1 \cdot a_2 \cdotsa_n)^n}{n^n} = x^n$。

最后，当且仅当 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ 时，$f(x)$ 在 $[a_1,a_n]$ 上取到最小值$0$（因为 $f(a_k)=0$）。

均值不等式及其证明复习过程

均值不等式及其证明复习过程对于任意非负实数 a1，a2，...，an，有以下两个不等式成立：1. 算术平均数不小于几何平均数：(a1 + a2 + ... + an)/n ≥ (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)2. 平方算术平均数不小于平方几何平均数：[(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)/n]^(1/2) ≥ (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)首先，我们回顾一下几何平均数和算术平均数的定义。

几何平均数是一组数字连乘后开 n 次方根的结果。

例如，对于正数a1，a2，...，an，几何平均数定义为 G = (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)。

算术平均数是一组数字相加后除以 n 的结果。

例如，对于数字 a1，a2，...，an，算术平均数定义为 A = (a1 + a2 + ... + an)/n。

证明：对于上述不等式1，我们可以通过数学归纳法来证明。

当n=2时，不等式的形式为(a1+a2)/2≥(a1*a2)^(1/2)。

这是开普勒和荷赛公式，可以使用平方运算来证明。

当 n = k + 1 时，即有 k 个非负实数，我们需要证明以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + ak + ak+1)/(k+1) ≥ (a1 * a2 * ... * ak *ak+1)^(1/(k+1))假设上述不等式对于 k 个非负实数成立。

即有(a1 + a2 + ... + ak)/k ≥ (a1 * a2 * ... * ak)^(1/k)将不等式左边的分子拆分成两个部分代入假设成立的不等式，得到(a1 + a2 + ... + ak + ak+1)/k ≥(k * [a1 * a2 * ... * ak]^(1/k) + ak+1)/k再次应用均值不等式，有 (k * [a1 * a2 * ... * ak]^(1/k) +ak+1)/k ≥ [(k * [a1 * a2 * ... * ak]^(1/k))^k * ak+1]^(1/(k+1))化简得(k * [a1 * a2 * ... * ak]^(1/k) + ak+1)/k ≥ (a1 * a2 * ... * ak * ak+1)^(1/(k+1))即有(a1 + a2 + ... + ak + ak+1)/(k+1) ≥ (a1 * a2 * ... *ak * ak+1)^(1/(k+1))从而完成了归纳法的证明。

常用均值不等式及证明证明

常用均值不等式及证明证明常用的均值不等式有以下几个：1.算术均值-几何均值不等式：对于任意非负实数$a_1,a_2,...,a_n$，有$\dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 ... a_n}$证明：设 $S = \dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}$，则 $a_1 + a_2+ ... + a_n = nS$。

由均值不等式 $a_1 + a_2 + ... + a_n \geq n \sqrt[n]{a_1a_2 ... a_n}$，将等式两边同时除以 n 得到$S = \dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2 ... a_n}$2.二次均值不等式（柯西-施瓦茨不等式）：对于任意实数$a_1,a_2,...,a_n$和$b_1,b_2,...,b_n$，有$(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \geq (a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2$证明：设$x=(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2$，$y=(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)$。

对于任意非零实数$t$，考虑函数$f(t)=t^2y-x$。

由于 $f(t)$ 是一个二次函数，且 $f(t) \geq 0$，则 $f(t)$ 的判别式不大于 0。

即 $4y(a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2 - 4y(a_1^2 +a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \leq 0$。

简化之后得到 $(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2+ ... + b_n^2) - (a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2 \geq 0$，即所证明的不等式。

均值不等式的多种证明方法许兴华数学

均值不等式是数学中常见的一类不等式，它指出了一组数的平均值和它们的其他性质之间的关系。

在本文中，我们将介绍均值不等式的多种证明方法，并以许兴华数学中的相关内容为例加以说明。

1. 均值不等式的定义均值不等式是数学中一类具有广泛应用的不等式定理，它描述了数列的平均值与其他性质之间的关系。

一个常见的均值不等式是算术平均数与几何平均数之间的关系，即对于任意非负实数集合，它们的算术平均数大于等于几何平均数。

2. 均值不等式的证明方法均值不等式的证明方法有多种，其中比较常见的方法包括数学归纳法、几何法、代数法等。

下面我们将分别对这些方法进行介绍，并结合许兴华数学中的相关例题进行说明。

2.1 数学归纳法证明数学归纳法是一种常用的数学证明方法，它通常用于证明对于一切自然数n成立的命题。

在均值不等式的证明中，数学归纳法可以用于证明一些形如An≤Bn的不等式，其中n为自然数。

对于n个非负实数的情况，可以使用数学归纳法证明它们的算术平均数不小于几何平均数。

许兴华数学中的例题：证明n个非负实数的算术平均数不小于几何平均数。

解：首先证明n=2的情况成立，即对于两个非负实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。

然后假设对于n=k的情况成立，即对于k个非负实数成立均值不等式，即(k个非负实数的算术平均数不小于几何平均数)。

那么对于n=k+1的情况，我们可以通过考虑第k+1个数与前面k个数的平均值的大小关系，来证明均值不等式对于n=k+1的情况也成立。

2.2 几何法证明几何法是另一种常用的证明方法，它通常通过在平面几何图形上进行推理，来证明一些数学定理。

在均值不等式的证明中，几何法可以用于证明一些形如a²+b²≥2ab的不等式。

在许兴华数学中，可以通过在平面上绘制平行四边形、三角形等几何图形，来证明一些均值不等式。

3. 结语以上，我们介绍了均值不等式的多种证明方法，并结合许兴华数学中的相关内容进行了说明。

均值不等式作为数学中的重要概念，在不同的数学领域都有着重要的应用，它的证明方法也有很多种。

数学均值不等式的证明方法

数学均值不等式的证明方法一、凸函数的性质法：凸函数是指曲线所在区间上的任意两点连线的部分都位于曲线的上方。

我们可以证明，如果函数f(x)在区间[a,b]上是凸函数，则有如下均值不等式成立：f((a+b)/2) ≤ (1/(b-a)) ∫[a,b] f(x) dx ≤ (f(a) + f(b))/2通过利用凸函数的性质，我们可以推广到更一般的形式：f((a₁x₁+a₂x₂+...+aₙxₙ)/(a₁+a₂+...+aₙ))≤(a₁f(x₁)+a₂f(x₂)+...+aₙf(xₙ))/(a₁+a₂+...+aₙ)其中，a₁,a₂,...,aₙ是非负实数，且满足a₁+a₂+...+aₙ≠0，x₁,x₂,...,xₙ是函数f(x)的定义域上的任意n个值。

二、Cauchy-Schwarz不等式的证明法：Cauchy-Schwarz不等式是数学中最常用的不等式之一，它的一般形式可以写为：(a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ)，≤√((a₁²+a₂²+...+aₙ²)(b₁²+b₂²+...+bₙ²))其中，a₁,a₂,...,aₙ和b₁,b₂,...,bₙ是任意实数。

利用这个不等式，我们可以证明数学均值不等式中的特例。

例如，我们可以通过Cauchy-Schwarz不等式来证明算术平均数大于等于几何平均数的不等式：(a₁+a₂+...+aₙ)/n≥√(a₁a₂...aₙ)三、归纳法和递推法：在证明数学均值不等式时，可以利用归纳法和递推法构造一些递推关系式，从而推导出不等式的成立。

例如，在证明幂平均不等式时，我们可以先证明对于n=2的情况成立，即:(a²+b²)/2≥(√(a²)+√(b²))/2然后，通过递推关系式：(a₁^n+a₂^n)/2≥(√(a₁^n)+√(a₂^n))/2(a₁^(n+1)+a₂^(n+1))/2≥(√(a₁^(n+1))+√(a₂^(n+1)))/2不断迭代，可以得到幂平均不等式在任意正整数n下成立。

均值不等式公式四个及证明

均值不等式公式四个及证明1.算术均值-几何均值不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数 a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1*a2*...*an)证明：当n=2时，不等式成立。

因为(a1+a2)/2≥√(a1*a2)，即a1+a2≥2√(a1*a2)。

假设当 n=k 时，不等式成立，即(a1+a2+...+ak)/k ≥√(a1*a2*...*ak)。

现在考虑 n=k+1 的情况，即要证明(a1+a2+...+ak+ak+1)/(k+1) ≥ √(a1*a2*...*ak*ak+1)。

根据已知条件，我们有：(a1+a2+...+ak+ak+1)/(k+1) = [(a1+a2+...+ak)/k]*(k/(k+1)) + ak+1/(k+1)由归纳假设，(a1+a2+...+ak)/k ≥ √(a1*a2*...*ak)。

因此，上式可以表示为：(a1+a2+...+ak+ak+1)/(k+1) ≥ (√(a1*a2*...*ak))*(k/(k+1)) + ak+1/(k+1)根据加权平均不等式，我们有：(√(a1*a2*...*ak))*(k/(k+1)) + ak+1/(k+1) ≥√(a1*a2*...*ak*ak+1)因此，不等式成立。

2. 广义均值不等式（Cauchy不等式）：对于非负实数 a1, a2, ..., an 和 b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立：(a1^p+a2^p+...+an^p)^(1/p) * (b1^q+b2^q+...+bn^q)^(1/q) ≥ a1*b1+a2*b2+...+an*bn其中，p和q是正实数，满足1/p+1/q=1证明：当n=2时，不等式成立。

因为(a1^p+a2^p)^(1/p)*(b1^q+b2^q)^(1/q)≥a1*b1+a2*b2假设当 n=k 时，不等式成立，即 (a1^p+a2^p+...+ak^p)^(1/p) * (b1^q+b2^q+...+bk^q)^(1/q) ≥ a1*b1+a2*b2+...+ak*bk。

如何证明均值不等式的拓展

均值不等式的拓展形式有很多，这里以算术-几何平均值
（AM-GM）不等式为例，介绍其证明方法：
第一步，首先考虑非负实数的情况。

设x1,x2,…,xn为非负实数，考虑AM-GM不等式，即x1+⋯+xn≥x1⋯xn等号成立当且仅当x1=⋯=xn。

第二步，使用反向数学归纳法证明该不等式。

首先对k用归纳法证明：x1+⋯+x2k2k≥x1⋯x2k2k，其中k=1时该结论易证。

第三步，假设该结论对k-1成立，即若记G=x1⋯x2k−12k−1，
G′=x2k−1+1⋯x2k2k−1，由该结论分别在k-1和1时的情况成立，可知x1+⋯+x2k2k≥2k−1G+2k−1G′2k≥GG′=x1⋯x2k2k等号成立当且仅当
x1=⋯=x2k−1, x2k−1+1=⋯=x2k且G=G′，即所有xi均相等。

第四步，这表明该结论对k也成立。

以上表明，原命题P(n)对无穷多个正整数n=2k成立。

第五步，对任意给定的正整数n≥2，设原命题P(n)成立，则在P(n)中令xn=A:=x1+⋯+xn−1n−1可得x1+⋯+xn−1+An (=A)
≥x1⋯xn−1An⟹A≥x1⋯xn−1n−1且等号成立当且仅当所有xi均相等。

这表明P(n−1)也成立。

因此，算术-几何平均值（AM-GM）不等式得证。

数学均值不等式的证明方法

数学均值不等式的证明方法数学均值不等式的证明方法均值不等式是数学的公式，经常拿来证明一些题目的。

下面就是店铺给大家整理的均值不等式的证明内容，希望大家喜欢。

均值不等式的证明方法一设a1,a2,a3...an是n个正实数，求证(a1+a2+a3+...+an)/n≥n次√(a1*a2*a3*...*an).要简单的详细过程，谢谢你会用到均值不等式推广的证明，估计是搞竞赛的把对n做反向数学归纳法首先归纳n=2^k的情况k=1 。

k成立 k+1 。

这些都很简单的用a+b>=√(ab) 可以证明得到关键是下面的反向数学归纳法如果n成立对n-1，你令an=(n-1)次√(a1a2...a(n-1)然后代到已经成立的n的式子里，整理下就可以得到n-1也成立。

所以得证均值不等式的证明方法二=2^k中k是范围k是正整数第一步先去归纳2，4，8，16，32 ... 这种2的k次方的数一般的.数学归纳法是知道n成立时，去证明比n大的时候也成立。

而反向数学归纳法是在知道n成立的前提下，对比n小的数进行归纳，指“平方平均”大于“算术平均”大于“几何平均”大于“调和平均”我记得好像有两种几何证法，一种三角证法，一种代数证法。

请赐教!sqrt{[(a1)^2+(a2)^2+..(an)^2/n]}≥(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)证明：1.sqrt(((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)/n)≥(a1+a2+..an)/n两边平方,即证((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)≥(a1+a2+..an)^2/n 均值不等式的证明方法三(1) 如果你知道柯西不等式的一个变式，直接代入就可以了：柯西不等式变式：a1^2/b1 + a2^2/b2 +...an^2/bn ≥(a1+a2+...an)^2/(b1+b2...+bn)当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn是等号成立只要令b1=b2=...=bn=1，代入即可(2)柯西不等式(a1^2 + a2^2 +...an^2)*(b1+b2...+bn)≥(a1b1+a2b2+...anbn)^2[竞赛书上都有证明：空间向量法;二次函数法;是赫尔德不等式的特例]2.(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2a3..an)(1)琴生不等式: 若f(x)在定义域内是凸函数，则nf((x1+x2+...xn)/n)≥f(x1)+f(x2)+...f(xn)令f(x)=lgx 显然，lgx在定义域内是凸函数[判断凸函数的方法是二阶导数<0,或从图象上直接观察]nf((x1+x2+...xn)/n)=nlg[(a1+a2+..an)/n]≥f(x1)+f(x2)+...f(xn)=lga1+lga2+lga3...lgan=lga1*a2..an也即lg[(a1+a2+..an)/n]≥1/n(lga1a2a3...an)=lg(a1a2a...an)^(1/n)=lgn 次根号(a1a2..an)f(x)在定义域内单调递增，所以(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2..an)(2)原不等式即证：a1^n+a2^n+...an^n≥na1a2a3...an先证明a^n+b^n≥a^(n-1)b+b^(n-1)a 做差(a-b)(a^(n-1)-b^(n-1))[同号]≥02*(a1^n+a2^n+...an^n)≥a1^(n-1)a2+a2^(n-1)a1+a2^(n-1)a3+a3^(n-1)a2...an^(n-1)a1+a1^a(n-1)an=a2(a1^(n-1)+a3^(n-1))+a3(a2^(n-1)+a4^(n-1))...≥a2a1^(n-2)a3+a2a3^(n-2)a1+...[重复操作n 次]≥...≥2na1a2...an即a1^n+a2^n+...an^n≥na1a2a3...an(3)数学归纳法:但要用到 (1+x)^n>1+nx这个不等式，不予介绍3.n次根号(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)原不等式即证：n次根号(a1a2a3..an)*(1/a1+1/a2+..+1/an)≥n 左边=n次根号[a2a3..an/a1^(n-1)]+n次根号+[a1a3a4..an/a2(n-1)]+n次根号[a1a2a4...an/a3^(n-1)]+...n次根号[a1a2a3...a(n-1)/an^(n-1)]由2得和≥n*n次根号(它们的积) 所以左边≥n*n次根号(1)=n所以(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)证毕【数学均值不等式的证明方法】。

均值不等式的证明(精选多篇)

均值不等式的证明(精选多篇)常用均值不等式及证明证明这四种平均数满足hn?gn?an?qn?、ana1、a2、?r?，当且仅当a1?a2???an时取“=”号仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用均值不等式的变形：(1)对实数a,b，有a222?b2?2ab (当且仅当a=b时取“=”号)， a,b?0?2ab(4)对实数a,b，有a?a-b??b?a-b?a2?b2?2ab?0(5)对非负实数a,b，有(8)对实数a,b,c，有a2?b2?c2?ab?bc?aca?b?c?abc(10)对实数a,b,c，有均值不等式的证明：方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设a≥0，b≥0，则?a?b??an?na?n-1?bn注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0 ，a+b≥0 (用数学归纳法)。

当n=2时易证；假设当n=k时命题成立，即那么当n=k+1时，不妨设ak?1是则设a1,a2,?,ak?1中最大者，kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak用归纳假设下面介绍个好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函数f?x?,x1,x2,?,xn是函数f?x?在区间(a,b)内的任意n个点，设f?x??lnx，f?x?为上凸增函数所以，在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）均值不等式证明一、已知x,y为正实数，且x+y=1求证xy+1/xy≥17/41=x+y≥2√(xy)得xy≤1/4而xy+1/xy≥2当且仅当xy=1/xy时取等也就是xy=1时画出xy+1/xy图像得01时，单调增而xy≤1/4∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4得证继续追问：拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证补充回答：我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的法二：证xy+1/xy≥17/4即证4(xy)?-17xy+4≥0即证(4xy-1)(xy-4)≥0即证xy≥4，xy≤1/4而x,y∈r+，x+y=1显然xy≥4不可能成立∵1=x+y≥2√(xy)∴xy≤1/4，得证法三：∵同理0xy+1/xy-17/4=(4x?y?-4-17xy)/4xy=(1-4xy)(4-xy)/4xy≥0∴xy+1/xy≥17/4试问怎样叫“利用均值不等式证明”，是说只能用均值不等式不能穿插别的途径?!二、已知a>b>c，求证：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)<0即：1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】那么1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2√(a-b)*(b-c)】>0三、1、调和平均数：hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算术平均数：an=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n这四种平均数满足hn≤gn ≤an≤qn的式子即为均值不等式。

对数均值不等式的证明方法

对数均值不等式的证明方法对数均值不等式是数学中的一个重要概念，它描述了两个正数的对数之和与它们的算术平均数之间的关系。

本文将介绍对数均值不等式的证明方法，并对其进行深入的论述和分析。

一、对数均值不等式的定义对数均值不等式定义为：对于任意两个正数a和b，有log(a+b) ≥2log(a+b-1) ≥ 3log(a+b-2) ≥ ... ≥ nlog(a+b-n+1) ≥ ...。

二、证明方法一：利用泰勒展开式我们可以利用泰勒展开式来证明对数均值不等式。

首先，将log(a+b)进行泰勒展开，得到log(a+b) = log(a) + log(1+b/a) = log(a) + (b/a) - (b/a)^2/2 + (b/a)^3/3 - ...。

然后，将上述展开式与log(a+b-1)、log(a+b-2)、...、log(a+b-n+1)进行比较，可以发现对数均值不等式成立。

三、证明方法二：利用Jensen不等式Jensen不等式是凸函数的一个重要性质，它表明对于凸函数f(x)，若x1, x2, ..., xn是n个实数，且它们的算术平均数x_avg满足f(x_avg) ≥ f(x1) + f(x2) + ... + f(xn)/n，则对数均值不等式成立。

四、证明方法三：利用微积分基本原理微积分基本原理表明，对于连续函数f(x)，若其在区间[a, b]上的积分值∫f(x)dx存在，则f(x)在该区间上的最大值和最小值分别为f(a)和f(b)。

利用这一原理，我们可以证明对数均值不等式。

首先，设f(x) = logx，则f'(x) = 1/x。

由于f''(x) = -1/x^2 < 0，所以f(x)是凸函数。

因此，对于任意两个正数a和b，有f(a+b)/2 ≥ f((a+b)/2) ≥ f((a+b)/3) ≥ ... ≥ f((a+b)/n) ≥ ...。

即对数均值不等式成立。

均值不等式的证明方法

均值不等式的证明方法一、几何证明方法：对于非负实数a和b，我们可以将其表示在坐标平面上的点A(a,0)和B(b,0)上。

那么，两点之间的距离AB可以表示为：AB=√[(a-b)²+0²]=√[(a-b)²]=，a-b接下来，我们要证明的是：当a ≠ b 时，有 AM > GM。

M 是 AB 线段上的一点，对应着实数 m。

设 M 的坐标为 (m,0)，则 AM 和 GM 分别为，a - m，和√(am)。

根据几何直观，我们可以发现 AM > GM 可以转化为AM² > GM²，即，a - m，² > am 或者 (a - m)² > am。

我们将不等式 (a - m)² > am 展开，得到a² - 2am + m² > am。

化简得到a² - am + m² > 0，再进一步得到 a(a - m) + m² > 0。

由于 a > 0（即a ≠ 0），所以 a(a - m) > 0。

结合m² > 0（任何实数的平方都大于 0），我们可以得到 a(a - m) + m² > 0。

综上所述，当 a ≠ b 时，有，a - m，² > am，即 AM > GM。

因此，我们证明了均值不等式在几何意义下的正确性。

二、代数证明方法：我们可以使用代数证明方法来推导均值不等式的一般形式。

首先，我们定义两个非负实数a和b的算术平均数（AM）为：AM=(a+b)/2定义它们的几何平均数（GM）为：GM = √(ab)我们要证明的是AM≥GM。

我们可以对AM和GM进行平方，得到：AM²=(a+b)²/4GM² = ab接下来，我们使用等价变形和代数运算，来证明AM²≥GM²：AM² - GM² = (a + b)² / 4 - ab= (a² + 2ab + b²) / 4 - ab= (a² + ab + ab + b²) / 4 - ab= (a² + 2ab + b²) / 4 - 2ab / 4= (a + b)² / 4 - 2ab / 4= (a + b)² - 2ab / 4= a² + 2ab + b² - 2ab / 4= a² + ab + ab + b² - 2ab / 4= (a² + ab + ab + b² - 2ab) / 4= (a² - ab - ab + b²) / 4= (a² - 2ab + b²) / 4=(a-b)²/4根据等价变形，我们可以推出AM²-GM²=(a-b)²/4≥0。

均值不等式成立条件

均值不等式成立条件一、引言均值不等式是数学中的一条重要不等式，是高中数学中常用的工具之一，也在实际问题中有着广泛应用。

本文将详细探讨均值不等式成立的条件，并给出几个具体的例子来加深理解。

二、均值不等式的定义均值不等式是指对于一组实数a1,a2,...,a n，存在一种不等式关系成立，使得两者的平均值不小于另一种平均值，即a1+a2+...+a nn ≥√a1⋅a2⋅...⋅a n n其中，n为正整数。

三、均值不等式成立条件为了让均值不等式成立，需要满足以下条件：1. 非负性条件对于任意的实数a1,a2,...,a n，需要满足a i≥0，否则均值不等式可能不成立。

2. 同位数条件均值不等式对于具有相同位数的实数成立，即如果a1,a2,...,a n为m位数，则a1n,a2n,...,a n n也为m位数。

3. 参数取值范围条件对于特定的不等式形式，还需要对参数的取值范围进行限制，以使得不等式成立。

例如，对于平方均值不等式(a2+b2)/2≥(a+b)/2，需要满足a和b取值范围在实数范围内。

四、均值不等式的几个例子为了更好地理解均值不等式成立的条件，下面将给出几个具体的例子。

1. 算术平均数与几何平均数考虑一组非负实数 a 1,a 2,...,a n ，我们要证明以下不等式成立：a 1+a 2+...+a n n≥√a 1⋅a 2⋅...⋅a n n 证明：首先，根据对数性质，不等式等价于ln (a 1+a 2+...+a n n )≥1nln (a 1⋅a 2⋅...⋅a n ) 进一步，将等式两边取对数的差分解为以下形式：ln (a )−ln (b )=ln (a b) 我们可以将不等式化简为ln (a 1+a 2+...+a n )−ln (n )≥1n[ln (a 1)+ln (a 2)+...+ln (a n )] 根据对数的性质，我们知道相加的对数等于取乘积的对数：ln (a 1+a 2+...+a n )−ln (n )≥ln(√a 1⋅a 2⋅...⋅a n n )进一步化简得到ln (a 1+a 2+...+a n n)≥ln(√a 1⋅a 2⋅...⋅a n n ) 由于对数函数是单调递增函数，我们可以将不等式的左右两边同时取指数，得到最终的形式：a 1+a 2+...+a n n≥√a 1⋅a 2⋅...⋅a n n 因此，原不等式得证。