等效重力场

（2）小球在什么位置时速度最大．
答案：（1） T mg (3
2 cos ) 1 sin

4
（2）与竖直方向成

2
位置
3. 已知如图，匀强电场方向水平向右，场强 E 1.5 106 V/m，丝线长 L=40cm，上端系于O点，下端系质量为 m 1.0 104 kg ，带电量为
B O 370 A
Hale Waihona Puke 例 3、如图所示，一条长为 L 的细线上端固定，下端拴一个质量为 m 的带电小球，将它置 于一方向水平向右，场强为正的匀强电场中，已知当细线离开竖直位置偏角α 时，小球 处于平衡状态。
图 （1）若使细线的偏角由 α 增大到 ，然后将小球由静止释放。则 应为多大，才能使 细线到达竖直位置时小球的速度刚好为零？ （2）若α 角很小，那么（1）问中带电小球由静止释放在到达竖直位置需多少时间？
解析：带电小球在空间同时受到重力和电场力的作用，这两个力都是恒力，故不妨将两 个力合成，并称合力为“等效重力” ， “等效重力”的大小为：
(mg ) 2 ( Eq ) 2
这里的 g '
mg mg mg ' ，令 cos cos
g 可称为“等效重力加速度” ，方向与竖直方向成α 角，如图 3 所示。这 cos
能起到“柳暗花明”的效果，同时也是一种思想的体现。那
么，如何实现这一思想方法呢？
一、概念类比
为了方便后续处理方法的迁移，首先搞清“等效重力场”中 的部分概念与复合之前的相关概念之间关系。具体对应如下： 1.等效重力场 2.等效重力 重力场、电场叠加而成的复合场 重力、电场力的合力
3.等效重力加速度
解:小球先在斜面上运动,受重力、电场力、支持力,然后在
圆轨道上运动,受重力、电场力、轨道作用力,如图所示,将
电场力与重力的合力视为等效重力mg′,大小为
2 3 mg (qE ) (mg ) mg 3
' 2 2
qE 3 tan mg 3
得θ =30°,等效重力的方向与斜面垂直指向右下方,小球 在斜面上匀速运动.
4.等效“最低点” 5.等效“最高点” 圆心对称的位置 6.等效重力势能
等效重力与物体质量的比值
物体自由时能处于稳定平衡状态的位置 物体圆周运动时与等效“最低点”关于
等效重力大小与物体沿等效重力场方向
“高度”的乘积
二、精讲例题
例1.如图所示，绝缘光滑轨道AB部分为倾角为30°的斜面，
AC部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相
1 2 mVm 2 = 2mgL(1 ) 则 Vm == (2 2 2) gL 2 2
⑶小球圆周运动的等效最高点为 O 点右向上 45°距离为 L 处 在此处应具有的最小速度为
2 gL ，设在 B 点时具有竖直向下的速度为 VB，由动能定理得
1 1 2 m 2 gL mVB 2 = 2mg ( L L) 2 2 2
q 4.9 1010 C 的小球，将小球从最低点A由静止释放，求：
⑴小球摆到最高点时丝线与竖直方向的夹角多大？ ⑵摆动过程中小球的最大速度是多大？
答案：⑴74° ⑵1.4m/s
4. 如图所示，固定的半圆形绝缘光滑轨道置于正交的匀强电场和匀强磁场叠加的区域中。轨 道半径为R，磁感应强度为B，方向垂直于纸面向外，电场强度为E，方向水平向左。 （1）一个质量为m的小球（可视为质点）放在轨道上的C点恰好处于静止，圆弧半径OC与水 平直径AD的夹角为α（sinα=0.8，cosα=0.6）。求小球所电荷量；试说明小球带何种电荷并 陈述理由。
等效分析： 如图所示， 对小球受电场力和重力， 将电场力与重力合成视为等效重力 mg ，
2 2 大小 mg (qE) (m g)
2 3m g qE 3 ， tan ，得 30 ，于是 3 mg 3
重效重力方向为垂直斜面向下，得到小球在斜面上运动，等效重力不做功，小球 运动可类比为重力场中过山车模型。
第二次碰撞前，两小球在圆弧轨道上上升的最大高度各是多少？
3mg q 答案：（1）正电荷 4E
(9 E 3B Rg )mg （2） N 4E
E A O α R C
B D
18 h R （3）小球1上升最大高度 1 25
小球2上升最大高度 h2
1 R 4
O
解析：⑴由题意可知小球运动的等效最低点为 AB 弧的中点 且电场力 qE 水平向左、重力 mg 竖直向下，合力的方向由 O 指向 AB 弧中点，即 O 点左向下 45° 则 qE=mg ，E=U/d 得 q=mgd/U ⑵从上一问分析可知小球将在 AB 弧中点达到最大速度 Vm， 电场力与重力的合力为 2mg ， 由 B 静止运动到 AB 弧中点的过程，根据动能定理得
解得 VB
(3 2 2) gL
三、针对训练
1. 在光滑水平面上的 O 点系一长为 L 的绝缘细线， 线的另一端系一质量为 m 、 带电量为 q 的 小球，如图所示．当沿细线方向加上场强为 E 的匀强电场后，小球处于平衡状态，现给小球 一垂直于细线的初速度 v0 ，使小球在水平面上开始运动．若 v0 很小，则小球第一次回到平衡 位置所需时间为 A． 2
样一个“等效重力场”可代替原来的重力场和静电场。
（1）在“等效重力场”中，观察者认为从 A 点由静止开始摆至 B 点的速度为零。根据重 力场中单摆摆动的特点，可知 2 。
（2）若α 角很小，则在等效重力场中，单摆的摆动周期为 T 2 从 A→B 的时间为单摆做简谐运动的半周期。 即t
要使小球能安全通过圆轨道,在圆轨道的“等效最高点”(D点)
满足“等效重力”刚好提供向心力,即
2 D
v mg m R
'
由几何关系知 AD 2R ,设小球以最小初速度v0运动,由动能定理
1 1 2 知, 2mg R mv mv 2 D 0 2 2
'
解得
v0
10 3gR 3 10 3gR 3
1.3 电场 电场强度和电场线 等效重力场
物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但
是对处在匀强电场中的宏观物体而言，它的周围不仅有重力
场，还有匀强电场，同时研究这两种场对物体运动的影响， 问题就会变得复杂一些。 此时，若能将重力场与电场合二为一，用一个全新的 “复合场”（可形象称之为“等效重力场”）来代替，不仅
切。整个装置处于场强为E、方向水平向右的匀强电场中。 现有一质量为m的带正电，电量为
q 3mg 3E
小球，要使小球
能安全通过圆轨道，在O点的初速度应为多大？
B E R 30
0
E
N 300 mg
qE
R
O R
mg
O 300
mg
分析：
运动特点：小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受 到重力、电场力，轨道作用力，且要求能安全通过圆轨道。 对应联想：在重力场中，小球先在水平面上运动，重力不作功，后在圆轨道上运动的模 型：过山车。
因此要使小球安全通过圆轨道,初速度应满足
v0
例2.水平向右的匀强电场中，用长为R的轻质细线在O点悬挂 一质量为m的带电小球，静止在A处，AO的连线与竖直方向 夹角为370，现给小球施加一个沿圆弧切线方向的初速度v0， 小球便在竖直面内运动，为使小球能在竖直面内完成圆周运
动，这个初速度v0至少应为多大？
（2）如果将小球从A点由静止释放，小球在圆弧轨道上运动时，对轨道的最大压力是多少？
（3） 若将小球从A点由静止释放，小球沿圆弧轨道运动到最低点时，与另一个质量也为m且 静止在O点正下方P点的不带电小球（可视为质点）发生碰撞，设碰撞过程历时可以忽略且无 机械能损失也无电荷转移。两小球在运动过程中始终没有脱离圆弧轨道。求第一次碰撞后到
ml qE ml qE
B．
ml qE

C．
2
D．无法确定
答案：B
2. 如右图所示，在方向水平的匀强电场中，一个不可伸长的不导电细 线一端连着一个质量m为的带电小球，另一端固定于O点．把小球拉
起直至细线与场强平行，然后无初速释放．已知小球摆到最低点的另
一侧，线与竖直方向的最大夹角为θ，若在此过程中线始终绷紧，求 （1）小球经过最低点时细线对小球的拉力．
L L cos 2 ， g' g
T L cos 。 2 g
例 4 、如图，带正电的小球用细绳悬挂在两块无限大的平行板电容器间。小球悬点 O，摆长 为 L ，摆球质量为 m，两板间距为 d，两板间加电压为 U。今向正极板方向将摆球拉到水 平位置 B 然后无初速释放，小球在 B、A 间来回振动，OA 为竖直线。 B 求： （1）小球所带电量为多少？ （2）小球最大速率为多少？ （3）若要使小球能做完整的圆周运动，在 B 点至少 需使小球具有多大的竖直向下的初速度？ A