基本不等式的证明_课件
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基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
基本不等式公开课课件完整版
4
基本不等式的形式与特点
基本不等式的形式
包括一元一次不等式、一 元二次不等式、分式不等 式等。
2024/1/25
基本不等式的特点
具有普遍性、客观性、可 解性等。
基本不等式的应用
在解决数学问题时，经常 需要运用基本不等式进行 求解或证明。
5
基本不等式的几何意义
1 2
一元一次不等式的几何意义
表示平面直角坐标系中的一条直线将平面分成两 部分，其中一部分为满足不等式的区域。
应用
在证明不等式、求最值等问题中有广泛应用，如利用柯西-施瓦茨不 等式证明均值不等式。
2024/1/25
22
赫尔德不等式
2024/1/25
定义
对于非负实数序列 {a_i} 和正实数 p, q 满足 1/p + 1/q = 1，有 (∑a_i^p)^(1/p) * (∑a_i^q)^(1/q) ≥ ∑a_i，其中“∑”表示求和符号。
感谢观看
2024/1/25
31
26
常见误区与注意事项
2024/1/25
不等式性质理解的误区
学生常常对不等式的基本性质理解不透彻，如反向不等式的错误 使用等。
忽视定义域的问题
在解不等式时，学生有时会忽视定义域的限制，导致解集错误。
解法选择不当
针对不同类型的不等式，应选择适当的解法。学生有时会选择复杂 的解法，导致解题效率低下。
27
例题3
已知函数$f(x) = x^2 - 2ax + 3$在区间$(-infty, 2]$上是减函 数，求$a$的取值范围。
例题4
已知不等式$|x - a| < b$的解集 为${ x | -1 < x < 3 }$，求$a +
基本不等式的形式与特点
基本不等式的形式
包括一元一次不等式、一 元二次不等式、分式不等 式等。
2024/1/25
基本不等式的特点
具有普遍性、客观性、可 解性等。
基本不等式的应用
在解决数学问题时，经常 需要运用基本不等式进行 求解或证明。
5
基本不等式的几何意义
1 2
一元一次不等式的几何意义
表示平面直角坐标系中的一条直线将平面分成两 部分，其中一部分为满足不等式的区域。
应用
在证明不等式、求最值等问题中有广泛应用，如利用柯西-施瓦茨不 等式证明均值不等式。
2024/1/25
22
赫尔德不等式
2024/1/25
定义
对于非负实数序列 {a_i} 和正实数 p, q 满足 1/p + 1/q = 1，有 (∑a_i^p)^(1/p) * (∑a_i^q)^(1/q) ≥ ∑a_i，其中“∑”表示求和符号。
感谢观看
2024/1/25
31
26
常见误区与注意事项
2024/1/25
不等式性质理解的误区
学生常常对不等式的基本性质理解不透彻，如反向不等式的错误 使用等。
忽视定义域的问题
在解不等式时，学生有时会忽视定义域的限制，导致解集错误。
解法选择不当
针对不同类型的不等式，应选择适当的解法。学生有时会选择复杂 的解法，导致解题效率低下。
27
例题3
已知函数$f(x) = x^2 - 2ax + 3$在区间$(-infty, 2]$上是减函 数，求$a$的取值范围。
例题4
已知不等式$|x - a| < b$的解集 为${ x | -1 < x < 3 }$，求$a +
苏教版 高中数学必修第一册 基本不等式的证明 课件1
一正： a，b是正数．
二定：①和a＋b一定时，由
2
a＋b
a＋b
ab≤ 2 变形得ab≤
，即积
2
2
a＋b
ab
___有最大值
；
2
5
a＋b
②积ab一定时，由 ab≤ 2 变形得a＋b≥2 ab，即和 a＋b 有
最小值2 ab．
三相等：取等号的条件都是当且仅当a＝b时，等号成立．
9a
a 2 8a
所以a b a
(a 1)
a 1
a 1
令t a 1 0, 则a t 1
a 2 8a (t 1)2 8(t 1) t 2 10t 9 t 9 10 2 t 9 10 16
y
t
t
a 1
t
≥2
+2
16
+2
−2=6
• 规律与方法
a＋b
1.两个不等式 a ＋b ≥2ab 与 2 ≥ ab都是带有等号的不等式，对于“当
2
2
且仅当…时，
取等号”这句话的含义要有正确的理解.一方面：
当 a＝b 时，
a＋b
a＋b
2 ＝ ab；另一方面：当 2 ＝ ab时，也有 a＝b.
2. 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆
1 2
“和定积最大”
s
a=b
大
4
ab有最____值______(当且仅当______时取“=”）.
一正二定三相等
例3、已知a 0, b 0,9a b ab 0, 求a b的最小值
二定：①和a＋b一定时，由
2
a＋b
a＋b
ab≤ 2 变形得ab≤
，即积
2
2
a＋b
ab
___有最大值
；
2
5
a＋b
②积ab一定时，由 ab≤ 2 变形得a＋b≥2 ab，即和 a＋b 有
最小值2 ab．
三相等：取等号的条件都是当且仅当a＝b时，等号成立．
9a
a 2 8a
所以a b a
(a 1)
a 1
a 1
令t a 1 0, 则a t 1
a 2 8a (t 1)2 8(t 1) t 2 10t 9 t 9 10 2 t 9 10 16
y
t
t
a 1
t
≥2
+2
16
+2
−2=6
• 规律与方法
a＋b
1.两个不等式 a ＋b ≥2ab 与 2 ≥ ab都是带有等号的不等式，对于“当
2
2
且仅当…时，
取等号”这句话的含义要有正确的理解.一方面：
当 a＝b 时，
a＋b
a＋b
2 ＝ ab；另一方面：当 2 ＝ ab时，也有 a＝b.
2. 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆
1 2
“和定积最大”
s
a=b
大
4
ab有最____值______(当且仅当______时取“=”）.
一正二定三相等
例3、已知a 0, b 0,9a b ab 0, 求a b的最小值
基本不等式的证明方法-PPT课件
用综合法证明不等式的逻辑关系
A B1 B2 Bn B (已 知)(逐 步 推 演 不 等 式 成 立 的必 要 条 件)(结 论)
例1 已知a, b, c 0, 且不全相等,
求证a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 6abc
证明: b2 c2 2bc,a 0,a(b2 c2) 2abc c2 a2 2ac,b 0,b(c2 a2) 2abc a2 b2 2ab,c 0,c(a2 b2) 2abc
即证： 2 x1 x2 2 1 x1 x2 x1x2 ≥2 x1 x2 2 1 x1 x2 只要证： x1x2 ≥ 0
x1x2 ≥ 0 成立，故原不等式也成立。
3.(课本第 26 页习题 2.2 第 9 题)(分析法是解题的绝招) 已知 a 1 , b 1 ,求证: 1 ab a b
用分析法证“若A则B”这个命题的模式是: 为了证明命题B为真, 只需证明命题B1为真,从而有…… 只需证明命题B2为真,从而有……
…… 只需证明命题A为真. 而已知A为真,故B必真.
例3 求证 2 7 3 6
证明: 2 7和 3 6都是正数, 所以要证 2 7 3 6, 只需证( 2 7 )2 ( 3 6)2 , 展开得9 2 14 9 2 18, 只需证 14 18, 只需证14 18,14 18成立, 所以 2 7 3 6成立.
求证：lg a b ＋lg b c ＋lg c a ＞lga+lgb+lgc
2
2
2
证明: 要证 lg a b＋lg b c ＋lg c a ＞lga+lgb+lgc
2
2
2
只需证 lg a b b c c a ＞lgabc
222
A B1 B2 Bn B (已 知)(逐 步 推 演 不 等 式 成 立 的必 要 条 件)(结 论)
例1 已知a, b, c 0, 且不全相等,
求证a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 6abc
证明: b2 c2 2bc,a 0,a(b2 c2) 2abc c2 a2 2ac,b 0,b(c2 a2) 2abc a2 b2 2ab,c 0,c(a2 b2) 2abc
即证： 2 x1 x2 2 1 x1 x2 x1x2 ≥2 x1 x2 2 1 x1 x2 只要证： x1x2 ≥ 0
x1x2 ≥ 0 成立，故原不等式也成立。
3.(课本第 26 页习题 2.2 第 9 题)(分析法是解题的绝招) 已知 a 1 , b 1 ,求证: 1 ab a b
用分析法证“若A则B”这个命题的模式是: 为了证明命题B为真, 只需证明命题B1为真,从而有…… 只需证明命题B2为真,从而有……
…… 只需证明命题A为真. 而已知A为真,故B必真.
例3 求证 2 7 3 6
证明: 2 7和 3 6都是正数, 所以要证 2 7 3 6, 只需证( 2 7 )2 ( 3 6)2 , 展开得9 2 14 9 2 18, 只需证 14 18, 只需证14 18,14 18成立, 所以 2 7 3 6成立.
求证：lg a b ＋lg b c ＋lg c a ＞lga+lgb+lgc
2
2
2
证明: 要证 lg a b＋lg b c ＋lg c a ＞lga+lgb+lgc
2
2
2
只需证 lg a b b c c a ＞lgabc
222
不等式证明课件
在金融学中，不等式常被用于投 资组合优化问题，以确定最佳的 投资组合策略，使得投资收益最
大化或风险最小化。
供需关系分析
在经济学中，不等式可以用来分析 市场供需关系，预测商品价格变化 趋势，以及制定相应的市场策略。
成本效益分析
在制定商业决策时，不等式可以用 于比较不同方案的成本和效益，以 选择最优方案。
切比雪夫不等式
总结词
切比雪夫不等式是一个概率论中的基本不等 式，它表明对于任何概率分布，其数学期望 值总不小于其方差值的一半。
详细描述
切比雪夫不等式是概率论中的一个基本不等 式，它表明对于任何概率分布，其数学期望 值总是大于或等于其方差值的一半。这个不 等式在解决一些概率论问题时非常有用，例 如在统计学、决策理论和可靠性理论等领域 。
不等式证明ppt课件
目录
• 不等式的性质 • 不等式的证明方法 • 常见不等式的证明 • 不等式在数学中的应用 • 不等式的实际应用
01
不等式的性质
定义
总结词
不等式的基本定义
详细描述
不等式是数学中表示两个数或表达式大小关系的式子，用“<”、“>”、 “≤”或“≥”连接。
性质
总结词
不等式的性质
不等式在数论中有着广泛的应用，如 最大公约数、最小公倍数、数的分解 等。
在函数最值问题中的应用
函数的最值问题是数学中的一个重要问题，不等式证明技巧在解决这类问题中具 有关键作用。
利用不等式可以推导函数的单调性、极值和最值，进而解决实际问题中的优化问 题。
05
不等式的实际应用
在经济学中的应用
投资组合优化
03
常见不等式的证明
算术-几何平均不等式
总结词
大化或风险最小化。
供需关系分析
在经济学中，不等式可以用来分析 市场供需关系，预测商品价格变化 趋势，以及制定相应的市场策略。
成本效益分析
在制定商业决策时，不等式可以用 于比较不同方案的成本和效益，以 选择最优方案。
切比雪夫不等式
总结词
切比雪夫不等式是一个概率论中的基本不等 式，它表明对于任何概率分布，其数学期望 值总不小于其方差值的一半。
详细描述
切比雪夫不等式是概率论中的一个基本不等 式，它表明对于任何概率分布，其数学期望 值总是大于或等于其方差值的一半。这个不 等式在解决一些概率论问题时非常有用，例 如在统计学、决策理论和可靠性理论等领域 。
不等式证明ppt课件
目录
• 不等式的性质 • 不等式的证明方法 • 常见不等式的证明 • 不等式在数学中的应用 • 不等式的实际应用
01
不等式的性质
定义
总结词
不等式的基本定义
详细描述
不等式是数学中表示两个数或表达式大小关系的式子，用“<”、“>”、 “≤”或“≥”连接。
性质
总结词
不等式的性质
不等式在数论中有着广泛的应用，如 最大公约数、最小公倍数、数的分解 等。
在函数最值问题中的应用
函数的最值问题是数学中的一个重要问题，不等式证明技巧在解决这类问题中具 有关键作用。
利用不等式可以推导函数的单调性、极值和最值，进而解决实际问题中的优化问 题。
05
不等式的实际应用
在经济学中的应用
投资组合优化
03
常见不等式的证明
算术-几何平均不等式
总结词
选修4-5第二讲-证明不等式的基本方法-课件
a2 (a b) b2 (a b) (a2 b2 )(a b)
(a b)(a b)2
a,b 0,a b 0
又a b(a b)2 0
故(a b)(a b)2 0即(a3 b3 ) (a2b ab2 ) 0
判断一个数或式子与0的大小关系．作商比较法的实质是把两个数或式 子的大小判断问题转化为判断一个数或式子与1的大小关系． 2．作商比较法适用于哪些类型的问题？
提示：主要适用于积、商、幂、对数、根式等形式的不等式证明．
3．
已知
a
1，a
2∈(
0
,
1
)
，
M
＝a
1a
2，N
＝a
1＋a
＋
2
1，
则M
，N
的
大
小关系是________.
m(b a) 0 即 a m a 0 a m a
b(b m)
bm b
bm b
(2)作商比较法
例3 已知a,b是正数,求证aabb abba ,当且仅当a b时,等号成立.
证明:
aabb abba
aabbba
a
ab
b
根据要证的不等式的特点(交换a, b的位置, 不等式不变)
为_a_b___1或__a_b 2
6.若0
a
b
1, P
log 1
2
a
b 2
,Q
1 2
(log 1
2
a
log 1
2
b), M
log 1 (a
2
(a b)(a b)2
a,b 0,a b 0
又a b(a b)2 0
故(a b)(a b)2 0即(a3 b3 ) (a2b ab2 ) 0
判断一个数或式子与0的大小关系．作商比较法的实质是把两个数或式 子的大小判断问题转化为判断一个数或式子与1的大小关系． 2．作商比较法适用于哪些类型的问题？
提示：主要适用于积、商、幂、对数、根式等形式的不等式证明．
3．
已知
a
1，a
2∈(
0
,
1
)
，
M
＝a
1a
2，N
＝a
1＋a
＋
2
1，
则M
，N
的
大
小关系是________.
m(b a) 0 即 a m a 0 a m a
b(b m)
bm b
bm b
(2)作商比较法
例3 已知a,b是正数,求证aabb abba ,当且仅当a b时,等号成立.
证明:
aabb abba
aabbba
a
ab
b
根据要证的不等式的特点(交换a, b的位置, 不等式不变)
为_a_b___1或__a_b 2
6.若0
a
b
1, P
log 1
2
a
b 2
,Q
1 2
(log 1
2
a
log 1
2
b), M
log 1 (a
2
3.4基本不等式 课件(共43张PPT)
A
a
2ab 面积和S’ =＿＿
３、S与S’有什么
样的不等关系？
B
> S′ S____
问：那么它们有相等的情况吗？
D b G A H F E
D
a 2 b2
a a
C
A
E(FGH)
b
C
B
B
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a b 2ab
2 2
当且仅当a=b时，等号成立。
思考：你能给出不等式 a 2Hale Waihona Puke §3.4 基本不等式（3）
ab ab 2
2 2 1、重要不等式 a + b ≥ 2ab（当且仅当a = b时，等号成立）
2、基本不等式； a b 2 a＋b 3、均值不等式： ab≤ 2
ab
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当
a＝b
时取等号．
[证明]
∵a，b，c∈{正实数}，a＋b＋c＝1，
1－a b＋c b c 2 bc 1 ∴a－1＝ a ＝ a ＝a＋a≥ a ， 1 2 ac 1 2 ab 同理b－1≥ b ，c －1≥ c . 由上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 1 1 1 2 bc 2 ac 2 ab ∴( －1)( －1)( －1)≥ · · ＝8. a b c a b c 1 当且仅当 a＝b＝c＝3时取等号．
a2＋b2 a＋b2 (4) ≥ (a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． 2 2 a＋b 2 (5)ab≤ 2 (a，b∈R)，当且仅当
a＝b 时取等号．
5：用均值不等式求最值：已知 和x
证明不等式的基本方法市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
只要证 a2 ab b2 ab ,只要证 a2 2ab b2 0 .
∵ a b 0,∴ (a b)2 0 即 a2 2ab b2 0 得证.
注：分析法的思维特点是：执果索因.对于思路不 明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径. 另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这 样或Байду номын сангаас样的变形,分析时贵在变形
= 3 3x2 3x4 1 x2 x4 2x 2x2 2x3 = 2( x4 x3 x 1) = 2( x 1)2 ( x2 x 1)
= 2( x 1)2[( x 1 )2 3]. 24
x 1,( x 1)2 0, 且( x 1)2 3 0, 24
∴ 2(x 1)2[(x 1)2 3] 0, ∴ 3(1 x2 x4 ) (1 x x2 )2. 24
尝试 2：转化尝试，就是不断寻找并简化欲证不等式成 立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件 为止. 其逻辑关系是： B B1 B2 Bn A . 证明：∵ a 0, b 0, 且a b ∴要证 a3 b3 a2b ab2 ,只要证(a b)(a2 ab b2) ab(a b) ,
(1 a1)(1 a2 ) (1 an )≥ 2n a1a2...an
a1a2 an 1
(1 a1)(1 a2 ) (1 an )≥ 2n
5.已知a,b,c都为正数，且a+b+c=1， 求证: 4a 1 4b 1 4c 1 ≤ 21
证明∵ 2 4a 1 • 4b 1 4a 1 4b 1 2 4b 1 • 4c 1 4b 1 4c 1 2 4c 1 • 4a 1 4c 1 4a 1
∵ a,b 是正数，且 a b ,∴ a b 0, (a b)2 >0
∵ a b 0,∴ (a b)2 0 即 a2 2ab b2 0 得证.
注：分析法的思维特点是：执果索因.对于思路不 明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径. 另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这 样或Байду номын сангаас样的变形,分析时贵在变形
= 3 3x2 3x4 1 x2 x4 2x 2x2 2x3 = 2( x4 x3 x 1) = 2( x 1)2 ( x2 x 1)
= 2( x 1)2[( x 1 )2 3]. 24
x 1,( x 1)2 0, 且( x 1)2 3 0, 24
∴ 2(x 1)2[(x 1)2 3] 0, ∴ 3(1 x2 x4 ) (1 x x2 )2. 24
尝试 2：转化尝试，就是不断寻找并简化欲证不等式成 立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件 为止. 其逻辑关系是： B B1 B2 Bn A . 证明：∵ a 0, b 0, 且a b ∴要证 a3 b3 a2b ab2 ,只要证(a b)(a2 ab b2) ab(a b) ,
(1 a1)(1 a2 ) (1 an )≥ 2n a1a2...an
a1a2 an 1
(1 a1)(1 a2 ) (1 an )≥ 2n
5.已知a,b,c都为正数，且a+b+c=1， 求证: 4a 1 4b 1 4c 1 ≤ 21
证明∵ 2 4a 1 • 4b 1 4a 1 4b 1 2 4b 1 • 4c 1 4b 1 4c 1 2 4c 1 • 4a 1 4c 1 4a 1
∵ a,b 是正数，且 a b ,∴ a b 0, (a b)2 >0
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证：∵ a2 b2 2ab
b2 c2 2bc c2 a2 2ca 以上三式相加：2(a2 b2 c2 ) 2ab 2bc 2ca
当且仅当a=b=c时等号成立
∴ a2 b2 c2 ab bc ca
例3：1.已知a,b, c都是正数,
求证(a b)(b c)(c a) 8abc.
猜想：对任意两个正数a、b,
ab a b (a 0,b 0) 2
此不等式是可以证明的，而且证明方法有很多种。
证法1：a
2
b
ab
1 [( a )2 ( b)2 2 a b] 2
1 ( a b)2 0
2
当且仅当 a b 即 a b 时，取“ ”。
证法2：要证
ab a b 2
基本不等式
不等式的一些常用结论： 1、如果a b,则a - b 0,反之也成立; 如果a＜b,则a - b＜0,反之也成立; 如果a＝b,则a - b＝0,反之也成立; 2、a 2 0; | a | 0;
问题引入 ab
• 1、两个正数a，b的等差中项是__2___;
• 两个正数a，b的等比中项是___a_b_;
cos x
cos x
x 0 ，则 x 4 2 x 4 4
x
x
（4）若 x 0
2x 2x 2 2x 2x 2
其中正确的有 （3）,（4）
回顾小结：
1.基本不等式其应用条件； 2.不等式证明的三种常用方法； 3.利用基本不等式去证明其它不等式或求最值。
•2、对两个正数a,b， a b又叫做正数a与b的
___算__术__平___均_.数
2
ab •3、对两个正数a,b， 又叫做正数a与b的
___几__何__平___均_.数
那么两个正数a,b的算术平均数与几何平均 数之间具有怎样的大小关系呢？
基本不等式的证明
试自己列举一些正数a,b,分别计算它们的算术平 均数与几何平均数并比大小，总结规律并猜想：
，
只要证 2 ab a b
只要证 0 a 2 ab b 只要证 0 ( a b)2 因为最后一个不等式成立，所”。以
当且仅当 a b 时，取
ab
a
2
b
成立，
证法3： 对于正数 a, b 有
( a b)2 0
a b 2 ab 0
ab a b 2 ab, ab
2，
证明: a b 2 ab 0, b c 2 bc 0,
c a 2 ac 0,
当且仅当a=b=c时等号成立
(a b)(b c)(c a) 8 ab bc ca 8abc.
思考题：求证: 4 a 7 （a 3）
a3
证明 ：Q a 3a 3 0
4 3 4 (a 3) 3 2 4 g(a 3) 3 2 4 3 7
探究：
D
A
a Cb
1、如图,AB是圆的直径，C 是AB上与A、B不重合的一 点，AC=a,CB=b,过点C作垂 直于AB的弦DE，连AD,BD,
ab
B 则CD=＿a＿b,半径=＿＿＿2＿
E
半弦不大于半径
２、你能用这个图形得出
基本不等式
ab a b (a>0,b>0) 2
几何解释吗?
数学应用：
a3 a3
a3
当且仅当 4 a 3
a3
即a=5时,等号成立.
变式：已知函数
y 4 x, x (3, ) x3
求此函数的最小值并求出此时的x的取值。
巩固练习：
给出下列结论： （1）若 x 0, y 0, 则 lg x lg y 2 lg xlg y
（2）若 （3）若
x 0, 则 1 cos x 2 1 cos x 2
例1、设a,b为正数，证明下列不等式：
（1）b a 2; (2)a 1 2.
ab
ba
a
证明：（1）∵a, b 为正数，∴
, ab
也为正数，பைடு நூலகம்
由基本不等式得
ba 2 ba 2 a b ab
∴原不等式成立。
（2）∵
a, 1 a
均为正数， 由基本不等式得
a 1 2 a1 2
a
a
∴原不等式成立。
例2.已知 a, b, c R 求证： a2 b2 c2 ab bc ca
基本不等式的证明
结论：对任意两个正数a、b,
ab a b (a 0,b 0) 2
即两个正数的算术平均数不大于它们的几 何平均数，当且仅当它们相等时取等号.
我们把不等式
ab a b (a 0,b 0) 2
叫做基本不等式.
当且仅当a=b时取等号“= ”.
思考：你能给出基本不等式的几何解释吗？
b2 c2 2bc c2 a2 2ca 以上三式相加：2(a2 b2 c2 ) 2ab 2bc 2ca
当且仅当a=b=c时等号成立
∴ a2 b2 c2 ab bc ca
例3：1.已知a,b, c都是正数,
求证(a b)(b c)(c a) 8abc.
猜想：对任意两个正数a、b,
ab a b (a 0,b 0) 2
此不等式是可以证明的，而且证明方法有很多种。
证法1：a
2
b
ab
1 [( a )2 ( b)2 2 a b] 2
1 ( a b)2 0
2
当且仅当 a b 即 a b 时，取“ ”。
证法2：要证
ab a b 2
基本不等式
不等式的一些常用结论： 1、如果a b,则a - b 0,反之也成立; 如果a＜b,则a - b＜0,反之也成立; 如果a＝b,则a - b＝0,反之也成立; 2、a 2 0; | a | 0;
问题引入 ab
• 1、两个正数a，b的等差中项是__2___;
• 两个正数a，b的等比中项是___a_b_;
cos x
cos x
x 0 ，则 x 4 2 x 4 4
x
x
（4）若 x 0
2x 2x 2 2x 2x 2
其中正确的有 （3）,（4）
回顾小结：
1.基本不等式其应用条件； 2.不等式证明的三种常用方法； 3.利用基本不等式去证明其它不等式或求最值。
•2、对两个正数a,b， a b又叫做正数a与b的
___算__术__平___均_.数
2
ab •3、对两个正数a,b， 又叫做正数a与b的
___几__何__平___均_.数
那么两个正数a,b的算术平均数与几何平均 数之间具有怎样的大小关系呢？
基本不等式的证明
试自己列举一些正数a,b,分别计算它们的算术平 均数与几何平均数并比大小，总结规律并猜想：
，
只要证 2 ab a b
只要证 0 a 2 ab b 只要证 0 ( a b)2 因为最后一个不等式成立，所”。以
当且仅当 a b 时，取
ab
a
2
b
成立，
证法3： 对于正数 a, b 有
( a b)2 0
a b 2 ab 0
ab a b 2 ab, ab
2，
证明: a b 2 ab 0, b c 2 bc 0,
c a 2 ac 0,
当且仅当a=b=c时等号成立
(a b)(b c)(c a) 8 ab bc ca 8abc.
思考题：求证: 4 a 7 （a 3）
a3
证明 ：Q a 3a 3 0
4 3 4 (a 3) 3 2 4 g(a 3) 3 2 4 3 7
探究：
D
A
a Cb
1、如图,AB是圆的直径，C 是AB上与A、B不重合的一 点，AC=a,CB=b,过点C作垂 直于AB的弦DE，连AD,BD,
ab
B 则CD=＿a＿b,半径=＿＿＿2＿
E
半弦不大于半径
２、你能用这个图形得出
基本不等式
ab a b (a>0,b>0) 2
几何解释吗?
数学应用：
a3 a3
a3
当且仅当 4 a 3
a3
即a=5时,等号成立.
变式：已知函数
y 4 x, x (3, ) x3
求此函数的最小值并求出此时的x的取值。
巩固练习：
给出下列结论： （1）若 x 0, y 0, 则 lg x lg y 2 lg xlg y
（2）若 （3）若
x 0, 则 1 cos x 2 1 cos x 2
例1、设a,b为正数，证明下列不等式：
（1）b a 2; (2)a 1 2.
ab
ba
a
证明：（1）∵a, b 为正数，∴
, ab
也为正数，பைடு நூலகம்
由基本不等式得
ba 2 ba 2 a b ab
∴原不等式成立。
（2）∵
a, 1 a
均为正数， 由基本不等式得
a 1 2 a1 2
a
a
∴原不等式成立。
例2.已知 a, b, c R 求证： a2 b2 c2 ab bc ca
基本不等式的证明
结论：对任意两个正数a、b,
ab a b (a 0,b 0) 2
即两个正数的算术平均数不大于它们的几 何平均数，当且仅当它们相等时取等号.
我们把不等式
ab a b (a 0,b 0) 2
叫做基本不等式.
当且仅当a=b时取等号“= ”.
思考：你能给出基本不等式的几何解释吗？