第二章 习题

hν x4 f ( x) dx = 4 ( x ) dx (其中x = ) kT π e −1 15
证明如下抽样步骤得到的抽样分布满足上面的分布，求出它的抽样效率。 抽样步骤：让 L 等于满足下面不等式的整数 l 的最小值，
l
∑j
j =1
1
4
≥ ξ1 π 4 90
然后置 x = −
1 ln(ξ 2 ξ 3 ξ 4 ξ 5 ) ，其中 ξ i 为 [0，1] 区间均匀分布的伪随机数。 L
的随机点。抽样中常数 A 的值需要知道吗？试决定接受点与试探步数之比，到达平 衡分布的时间与最大试探步长 δ 的关系。 （提示：判断“平衡”的标准是 。 δ 选多大较合理? < x 2 >≈ σ 2 ） （16） 用 Metropolis 随机游走的方法计算积分
[
(
)]
∫
4
0
x 2 e − x dx,பைடு நூலகம்
（8） 如分布密度函数为 f ( x, y ) = 程序框图和程序。 （9） 证明 Breit-Wigner 分布
n e−x y ， （其中， x ≥ 1, y ≥ 0, n 为整数） ，试写出抽样 xn
f ( x) =
1 π ( x − x0 ) 2 + Γ 2
Γ
可以通过 x= x0 − Γ cot (π ξi ) 抽样得到 。 i （10） 归一化黑体辐射频谱为
{ξ n , ξ n+1 , ξ n+ 2 } 和二维数组 {ξ n , ξ n+1} ，然后分别绘出其三维和二维分布图形。
（3） 用“投针法”计算出圆周率的数值，画出程序流程框图，并编写程序。 （4） 已知电子在物质中的作用截面 σ 总 = σ compton + σ 光电 + σ 电子对 ，试写出电子在物质 层中相互作用的抽样程序框图和程序。 （5） 编写一个程序按照 η = −λ ln ξ 产生随机数序列 { η i }，并绘图表明其分布满足分布
(0 ≤ x ≤ 4) 。
（17） Laplace 方程及其边界条件为
∇ 2ϕ ( x , y ) = 0 ， ϕ ( x,0 ) = ϕ ( x,1) = 0, ϕ (0, y ) = ϕ (1, y ) = 1
用随机游走的蒙特卡洛方法数值求解正方形场域 (0 ≤ x ≤ 1,
1 ≤ y ≤ 1) 的势函数。
第二章 习题 （1） 采用线性同余法（参见公式(2.2.3)）产生伪随机数。取 a = 5 ， c = 1 ， m = 16 和
x0 = 1 .记录下产生出的前 20 数，它产生数列的周期是多少？
（2） 取 a = 137 ， c = 187 ， m = 256 和 x0 = 1 ， 用 线 性 同 余 法 产 生 出 三 维 数 组
（11） 对正则高斯分布抽样:
p ( x)dx = ( x − µ )2 exp − dx . 2 2 σ σ 2π 1
（12） Gamma 函数的一般形式为
an f ( x) dx = x n−1e −ax dx , x ≥ 0 (n − 1)!
抽样证明其抽样方法可以为
η=−
−1
密度函数
λe − λx , x > 0, λ > 0 f ( x) = 。 其它 0,
（6）
τ
轻子的平均寿命为 3.4 × 10
−13
s， 试 写 出 N 个 τ 轻子在实验室系中以速度 v 运动
的飞行距离的抽样程序框图和程序。 （7） 写出各向同性分布的角度
θ ,ϕ
抽样程序（ dΩ = sin θ dθ dϕ ） 。
（13） χ 2 分布的一般形式为
1 ln(ξ1 ξ 2 .....ξ n−1 ξ n ) . a
f ( x) dx =
2
n/2
1 x n / 2−1e − x / 2 dx Γ(n / 2)
, x>0
抽样证明其抽样方法可以为
η = ∑ xi2 , 其中 x1 , x 2 ,....x n 为标准正态分布的 n 个独立抽样值.
i =1
n
（14） 选择偏倚分布密度函数 g ( x) = e − x ，用蒙特卡洛重要抽样法求积分
∫
∞
0
x 3 / 2 e − x dx .
（15） 编写一个程序，采用 Metropolis 随机游走的方法产生按高斯分布
f ( x) = A exp − x 2 / 2σ 2 ， (σ 2 = 1)