第2章例题

3.A Z , x, y A, xRy x y mod 2 1.

4. A P( X ), C X , x, y A, xRy x y C. 5. A P( X ), | X | 2, x, y A, xRy x y y x.
3 1
GR
2
因为上图中的边都是单向的，所以R 是反对称的。 R是传递的，因为图中不存在这样的情况:x 到y有边， y到z有边，但x到z无边。 (x,y,x∈A)
集合与图论 1.7 哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
例题分析(6)
例4 对于给定的A和R，判断R是否为 A上的等价关系：
x, y A, xRy x y 2. 1.A为实数集， 2. A {1,2,3}, x, y A, xRy x y 3.
所以f(L)= {<2x+1,-1>|x∈R}=RX{-1}. (7)能构成函数，但既不是单射也不是满射.因 为f(<1,1>)=f(<2,2>)=0,2不属于ranf。 f(NX{0})= {n2-02|n∈N}= {n2|n∈N}.
集合与图论 1.19 哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
例题分析(10)
集合与图论 1.10 哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
例题分析(7)
例5 A={1,2,3,4},R为AXA上的等价关系
u, v , x, y A A, u, v R x, y u y x v
求出由R引起的A的划分。
解： u , v R
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(3)由于要将整数集Z以双射的形 式映射到自然数集.所以，特构造如 下映射方法： Z: 0 1 -1 2 -2 3 -3……
N: 0 1 2 3 4 5 6…… 则这种映射对应的函数为：
f : Z N. 2 x, x 0. f ( x) 2 x 1, x 0
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例题分析(4)
例2 已知A={1,2,3,4},
列出以下关系中的元素？
(1)x, y A, xRy 3 | ( x y). (2)x, y A, xRy x | y x y. (3)x, y A, xRy | x || y | . (4)x, y A, xRy x y y x. (5)x, y A, xRy x y Z .
集合与图论 1.8 哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
答：只有(4)中的R是A上的等价关系
(1)中的R不是自反的，因为x-x=0≠2。另 外，R也不是对称的，不是传递的。 (2)中的R不是传递的，因为1R3, 3R2 成 立，但1R2不成立. (3)中的R不是自反的，因为2R2不成立. (5)中的R不是传递的，例如X={a,b}. P(X)={Φ,{a},{b},{a,b}},则有{a}R{a,b}, {a,b}R{b},但没有{a}R{b}。
集合与图论
1.21
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1 / 2, x 0, 1 / 4, x 1, (2) f ( x) n 2 n 1 / 2 , x 1 / 2 , n 1 , 2 , 3 ,... x, otherwise.
集合与图论
1.22
集合与图论 1.23 哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
(4)由于要将弧度映射到实数.所 以，首先想到三角函数：
将π/2映射到 –1，将3π/2映射到1 ，正好是:f(x)=-sinx .
集合与图论
1.24
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例题分析(6)
二.计算题：
例9 已知A=P({Φ}),求P(A)X{Φ}?
集合与图论
1.5
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例题分析(5)
例3 已知A={1,2,3},R为A上的关系，且
1 0 0 MR 1 1 0 . 1 0 0
写出R的关系表达式，画出R的关系图， 并说明R的性质。
集合与图论
1.6
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解：R={<1,1>, <2,1>, <2,2>, <3,1>}。

集合与图论
1.16
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判断f与A、B能否构成 f:A→B？首先要检查f内是 否都是有序对，有序对的第 1元素是否有重复，然后再 检查domf是否等于A和ranf 是否是B的子集。只有所有 的检查都通过，才能说f与A 、B构成f:A→B。
集合与图论
1.17
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集合与图论
1.1
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例题分析(2)
(5)等价关系可能也是偏序关系.
(6)若f:A→B为单射,则f-1:B→A也为单射. 答：(1)不是恒真命题. 当A≠ Φ时为真，否则为假. (2)不是恒真命题. 例如 A=C={2},B={a},则A-(BXC)={2}-{<a,2>} ={2},而(A-B) X(A-C)={2}XΦ= Φ,两者不相等 .
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( x) 2 , (x R ). x 1 6.A=B=RXR,f(<x,y>)=<x+y,x-y>,令 L={<x,y>|x,y∈R∧y=x+1},计算f(L).
5百度文库A=B=R+, f
x

7.A=NXN,B=N,f(<x,y>)=|x2-y2|,计算f(NX{0}). 答： (1)能构成函数，但既不是单射也不是满射. (2)不能构成函数，因为<1,7>∈f且<1,9>∈f.
解：因为A =P({Φ}) ={Φ,{Φ}}. 所以，P(A)= {Φ,{Φ}, {{Φ}},{Φ,{Φ}}}. 则: P(A)X{Φ}={< Φ, Φ>, < {Φ} , Φ>, < {{Φ}} , Φ>, < {Φ,{Φ}}, Φ>}.
集合与图论
1.25
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例题分析
例题分析(1)
一.概念题：
例1 判断下列命题是否为真：
(1)设A,B,C为任意集合,若AXB=AXC，则 B=C. (2)设A,B,C为任意集合,则A-(BXC)=(A-B) X(A-C). (3)若<2x+y,6>=<5,x+y>,则x=-1,y=7.
(4)若R1,R2在A上是反对称的,则R1∪R2 在A上也是反对称的.
例10 已知R={<{Φ},{{Φ}}>, <{{Φ}},{Φ}>, <Φ,{Φ}>},S= {<{Φ},Φ>}. 求R2,R ○ S,S ○ R ,domR,ranS和R-1? 解： R2=R ○ R ={<{Φ},{Φ}>, <{{Φ}},{{Φ}}> ,<Φ,{{Φ}}>}.
R ○ S= {<{{Φ}},Φ>,< Φ,Φ>}.
x, y u y x v u v x y.
即两个有序对等价的充要条件是第1个元素 减第2个元素所得的差相等。
集合与图论 1.11 哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
则AXA上等价的有序对有： 差为±1. <1,2>~<2,3>~<3,4>.
<2,1>~<3,2>~<4,3>.
A={{a,b}, {a,c}, {b,c}, {a}, {b},{c}}。
<A,R >的哈斯图为：
{a,b} {a,c} {b,c}
{a}
集合与图论
{b}
1.15
{c}
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例题分析(9)
例7已知A、B为集合，f是二元关系，判断 下列命题是否构成函数 f:A→B，若是， 则说明其是否为单射、满射或双射. 1.A={1,2,3,4,5}, B={6,7,8,9,10}, f={<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,9>}. 2. A、B同上, f={<1,7>,<1,9>,<4,5>,<2,6>,<5,10>}. 3. A、B同上, f={<1,8>,<4,9>,<2,6>,<3,10>}. 4.A=B=R,f(x)=x3,( x∈R).
例8对于给定的集合A、B，构造 双射函数f:A→B. 1.A=[0，1], B=[0.25, 0.5]。 2.A=[0，1], B=(0, 1)。 3.A=Z,B=N.
3 4.A=[
, ],B=[-1, 2 2
1].
集合与图论
1.20
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答： 构造双射函数最简单的就是直 线方程.所以，(1)的解就是<0,0.25> 到<1,0.5>的直线方程： f(x)=(x+1)/4。 对于象(2)这样值域和定义域的开闭情 况不一样的问题，通常的做法是：在区间 内选择一个无穷序列，将端点对应到序列 的前部，其余的向后错位对应。
<3,1>~<4,2>. <1,3>~<2,4>. 差为0. 差为±2.
<1,1>~<2,2>~<3,3>~<4,4>.
<1,4>~<1,4>.
<4,1>~<4,1>.
差为±3.
集合与图论
1.12
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R的等价划分有：{<1,2>,<2,3>,<3,4>}。
等价划分的 并集等于 AXA.
2.偏序集<A, R >是否存在最小元？ 3.偏序集<A, R >中极大元和极小元的一般形 式是什么？
4若X={a,b,c}，画出<A, R >的哈斯图
集合与图论
1.14
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答： 由于A是将P(X)中的{Φ}和{X} 减去而得，且A≠Φ，所以A既无 最大元也无最小元。 它的极小元的一般形式为:{x},x∈X。 它的极大元的一般形式为:X- {x},x∈X。 当X={a,b,c}时,
集合与图论 1.4 哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
解： (1)R={<1,4>, <4,1>} ∪IA (2)R={<1,2>, <1,3>, <1,4>, <2,4>} (3)R={<1,2>, <1,3>, <1,4>, <2,3>, <2,4> ,<3,4>}. (4)R=EA-IA. (5)R=Φ.
集合与图论 1.2 哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
例题分析(3)
(3)为真.
(4)为假. (5)为真. 例如A上的恒等关系既是等价关系 ，也是偏序关系. (6)不是恒真命题. 只能说:若f:A→B为单射,则f-1:ranf→A也为单 射.这里ranf B.

集合与图论
1.3
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{<2,1>,<3,2>,<4,3>}。 {<3,1>,<4,2>}。 {<1,3>,<2,4>}。
{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}。
{<1,4>}。 {<4,1>}。
集合与图论
1.13
哈尔滨工业大学软件学院
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例题分析(8)
例6 已知X为集合，A=P(X)-{Φ}-{X},且 A≠Φ,问： 1.偏序集<A, R >是否存在最大元？
S ○ R ={< {Φ} ,{Φ}>}.
集合与图论
1.26
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
domR= {Φ,{{Φ}},{Φ}}. ran S= { Φ }. R-1= {<{{Φ}},{Φ}>,<{Φ},{{Φ}}>, <{Φ},Φ>}.
集合与图论
1.27
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李东 副教授
例12 已知R的关系图如下， 求r(R),s(R )和t(R )的关系图。
集合与图论 1.9 哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
(4)中的R是自反的，因为：
x A, xRx x x C.
R是对称的，因为：
x, y A, xRy yRx. x y y x.
R是传递的，因为：
x, y, z A, xRy, yRz xRz. x z x y y z ( x y ) ( y z ).
(3)不能构成函数，因为domf={1,2,3,4} ≠A. (4)能构成函数，且是双射的.
集合与图论 1.18 哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
(5)能构成函数，但既不是单射也不 是满射.因为函数不是单调的，它 在x=1处有极小值0.5。 (6)能构成函数，且是双射的. f(<x,y>)=<x+y,x-y>, 且 L={<x,y>|x,y∈R∧y=x+1},