泛函分析度量空间知识和不动点的应用
泛函分析中的不动点定理证明
泛函分析中的不动点定理证明泛函分析是数学的一个分支，主要研究函数空间和算子的性质。
其中一个重要的定理是不动点定理，它在泛函分析的理论和应用中有着广泛的应用。
本文将探讨不动点定理的证明。
在介绍不动点定理之前，我们先来了解一下不动点的概念。
设X是一个非空集合，f是定义在X上的一个函数。
若存在一个元素x∈X，使得f(x)=x成立，则称x是函数f的一个不动点。
不动点定理指出，对于某些特定的函数和集合，总存在不动点。
为了证明不动点定理，我们需要引入一些基本的概念和定理。
首先是泛函分析中的度量空间和完备性。
定义 1：度量空间设X是一个非空集合，d是定义在X×X上的一个函数，满足以下条件：1) 对于任意的x, y∈X，有d(x, y)≥0，并且当且仅当x=y时，d(x,y)=0成立；2) 对于任意的x, y∈X，有d(x, y)=d(y, x)；3) 对于任意的x, y, z∈X，有d(x, z)≤d(x, y)+d(y, z)成立。
满足上述条件的d称为X上的一个度量，而(X, d)则称为度量空间。
在度量空间中，我们可以定义距离和收敛等概念。
定义 2：完备性设(X, d)是一个度量空间，若对于任意的Cauchy序列{x_n}⊆X，存在x∈X，使得limn→∞d(x_n, x)=0成立，则称(X, d)是一个完备度量空间。
在搞清楚上述基本概念后，我们现在可以来证明不动点定理了。
定理 1：Banach不动点定理设(X, d)是一个完备度量空间，f是一个映射，满足以下条件：1) f: X→X；2) 对于任意的x, y∈X，有d(f(x), f(y))≤kd(x, y)，其中0≤k < 1。
那么f至少有一个不动点，即存在x∈X，使得f(x)=x成立。
证明：首先，我们定义一个序列{x_n}如下：x_0∈X, x_1=f(x_0), x_2=f(x_1), ..., x_n=f(x_{n-1}), ...我们来证明这个序列是一个Cauchy序列。
泛函分析中的不动点定理证明
泛函分析中的不动点定理证明泛函分析是函数空间上研究函数性质的数学分支，它主要关注函数空间中的映射和变换。
不动点定理是泛函分析中的基本概念之一，它在许多数学领域中有着重要的应用。
本文将探讨泛函分析中的不动点定理及其证明过程。
不动点定理是指对于某个函数空间中的映射，如果存在某个点在映射下不发生变化，即映射的输出等于输入，那么这个点被称为不动点。
不动点定理主要讨论在特定条件下，映射总能找到一个不动点。
以下我们将介绍泛函分析中的两个不动点定理：Banach不动点定理和Brouwer不动点定理。
一、Banach不动点定理的证明Banach不动点定理是泛函分析中最基本、最重要的不动点定理之一。
它表明，对于完备度量空间中的某个收缩映射，总能找到一个唯一的不动点。
假设我们有一个完备度量空间X，并且有一个映射T：X→X，满足以下条件：1. 存在一个常数0≤k<1，使得对于任意两点x和y，都有d(Tx, Ty)≤ k · d(x, y)，其中d表示度量空间X中的距离。
2. 映射T是连续的，即对于任意序列{xn}收敛于x，都有{T(xn)}收敛于T(x)。
现在我们需要证明存在一个唯一的不动点y ∈ X，使得Ty = y。
证明过程如下：首先，我们选取一个起始点x0 ∈ X，并定义一个序列{xn}，其中xn = T(xn-1)，即递归地将映射T作用在前一个点上。
根据条件1，我们可以证明序列{xn}是一个柯西序列。
事实上，对于任意给定的正整数n和m，我们有d(xn, xm) = d(T(xn-1), T(xm-1)) ≤ k · d(xn-1, xm-1) ≤ k^2 · d(xn-2, xm-2) ≤ ... ≤ k^n · d(x0, xm-n)由于0≤k<1，当n趋向于无穷大时，k^n趋近于0。
因此，序列{xn}是一个柯西序列。
根据完备性的定义，我们知道柯西序列在完备度量空间中必定收敛。
大学数学泛函分析
大学数学泛函分析一、引言数学泛函分析是数学的一分支，研究数学空间中的函数和它们的性质。
本文将介绍大学数学泛函分析的基本概念、定理和应用，以帮助读者更好地理解和应用泛函分析知识。
二、范数空间与内积空间1. 范数空间范数空间是指一个向量空间上定义了范数的空间。
范数是一个函数，它将向量映射到非负实数。
我们要介绍的几个常见的范数包括：欧几里得范数、p-范数等。
2. 内积空间内积空间是指一个向量空间上定义了内积的空间。
内积是一个二元运算，它将两个向量映射到一个实数。
内积空间具有许多有用的性质，如共轭对称性、正定性等。
三、泛函分析的基本概念1. 线性算子线性算子是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的线性映射。
我们要介绍的几类线性算子包括有界线性算子、紧线性算子等。
2. 连续性与收敛性在泛函分析中，我们关心函数序列的收敛性问题。
连续性和收敛性是泛函分析中的重要概念，它们可以帮助我们刻画函数的性质和行为。
3. 凸集与凸函数凸集是指包含所有连接两点的线段的集合。
凸函数是指定义在凸集上的函数，满足一定的凸性质。
凸集和凸函数在泛函分析中有着广泛的应用。
四、泛函分析的重要定理1. Banach不动点定理Banach不动点定理是泛函分析中的重要定理，它与函数的收敛性和连续性有密切关系。
该定理表明，在某些条件下，一个映射总能找到一个不动点。
2. Hahn-Banach定理Hahn-Banach定理是泛函分析中的核心定理，它在函数的延拓性和存在性方面有重要应用。
该定理表明，在一定条件下，我们可以将一个线性函数延拓到整个向量空间上。
3. Riesz表示定理Riesz表示定理是泛函分析中的经典定理之一，它将内积空间中的连续线性泛函表示为内积的形式。
该定理在量子力学等领域有着重要的应用。
五、泛函分析的应用泛函分析在科学和工程领域有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用领域：1. 偏微分方程泛函分析在偏微分方程中有着重要的应用。
通过泛函分析的方法，我们可以研究偏微分方程的解的存在性、唯一性和稳定性等性质。
泛函分析中不动点理论及其应用
泛函分析与微分方程有着密切的联系，泛函分析的算子半群理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论，不动点原理等在常微分方程中都有重要的应用。
首先，算子半群最简单的原型在线性常微分方程的初值问题，且由Hille Yosida -定理表明：当稠定闭算子A 满足定理条件时，是下列方程的解，且解是唯一的。
设A 是一个n n ⨯实矩阵，方程组()()()00ndx t Ax t dt x x R ⎧=⎪⎨⎪=∈⎩在空间中解存在唯一。
设0t ≥，考察映射 ()()0:.T t x x t →则(){}0T t t ≥是强连续算子半群。
在常微分方程中把算子半群(){0T t t ≥通过矩阵写出来：()0!n ntAN t A T t e n ∞===∑.且不动点在常微分方程中有很多应用。
例如，应用不动点定理证明微分方程解的存在性定理微分方程解的存在性与唯一性定理 若常微分方程0,,xdyF x y y y dx满足以下条件：（1）,F x y 在整个平面上连续；（2）()()11,,F x y F x y K y y -≤-，其中K >0； 那么存在唯一的连续函数y x 满足()(),d x F x y dxϕ=且()00x y ϕ=。
证明：用0,XC U x 表示所有定义在0,U x 上取值于R 的连续函数全体，其中满足1K 。
,f g X ，用0,,maxx U x f gf xg x 表示,f g 间的距离，同样由泛函分析的知识知X 为完备度量空间。
上述常微分方程等价于等价于积分方程0,x x y xy f t y t dt ，定义映射0,xx Tfy F t f t dt ，由F 的连续性知TfX ，,f gX 0,,max x U x Tf TgTf xTg x()()()()()00,max,,xx U x x F x f x F x g x dt δ∈⎡⎤=-⎣⎦⎰()()()00,maxxx U x x K f t g t dt δ∈≤-⎰()()()0,max x U x K f t g t δδ∈≤-,K f g因为1K，故存在唯一的连续函数0,,yx x U x ，使得()()()00,xx x y f t t dt ϕϕ=+⎰，显然()y x ϕ=可微，所以()()0,,y x x U x ϕδ=∈满足()(),d x F x y dxϕ=且()00x y ϕ=，然后在延拓到整个R 上即得。
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
不动点定理及其应用
不动点定理及其应用摘要不动点定理是研究方程解的存在性与唯一性理论的重要工具之一.本文给出了线性泛函分析中不动点定理的几个应用,并通过实例进行了说明.同时,介绍了非线性泛函分析中的不动点定理——Brouwer不动点定理和Leray-Schauder不动点定理.关键词不动点;不动点定理;Banach空间Fixed Point Theorems and Its ApplicationsAbstract The fixed point theorem is one of important tools in studying the existence and uniqueness of solution to functional equation .In this paper,the fixed theorem in linear functional analysis and its applications are introduced and the corresponding examples are ,the Brouwer and Leray-Schauder fixed point theorems are also involved.Key Words Fixed point , Fixed point theorem, Banach Space不动点定理及其应用0 引言在线性泛函中,不动点定理是研究方程解的存在性与解的唯一性理论[1-3].而在非线性泛函中是研究方程解的存在性与解的个数问题[4],它是许多存在唯一性定理（例如微分方程,积分方程,代数方程等）的证明中的一个有力工具. 下面给出不动点的定义.定义 设映射X X T →:,若X x ∈满足x Tx =,则称x 是T 的不动点.即在函数取值的过程中,有一点X x ∈使得x Tx =.对此定义,有以下理解.1）代数意义：若方程x Tx =有实数根0x ,则x Tx =有不动点0x .2）几何意义：若函数()x f y =与x y =有交点()00,y x 则0x 就是()x f y =的不动点.在微分方程、积分方程、代数方程等各类方程中,讨论解的存在性,唯一性以及近似解的收敛性始终是一个极其重要的内容. 对于许多方程的求解问题，往往转化为求映射的不动点问题,同时简化了运算.本文将对不动点定理及其变换形式在线性分析和非线性分析中的应用加以探索归纳.1 Banach 不动点定理及其应用 相关概念首先介绍本文用的一些概念.定义1.1.1[3]设X 为距离空间,{}n x 是X 中的点列,若对任给的0>ε,存在0>N ,使得当N n m >,时,()ερ<n m x x ,.则称点列{}n x 为基本点列或Cauchy 点列.如果X 中的任一基本点列均收敛于X 中的某一点,则称X 为完备的距离空间.定义1.1.2[3]定义在线性空间上的映射统称为算子.定义1.1.3[3]给定距离空间()ρ,X 及映射T :X X →,若X x ∈满足x Tx =，则称x 是T 的不动点.Banach 不动点定理定理 1.2.1[3]设X 是完备的距离空间，距离为ρ.T 是由X 到其自身的映射，且对任意的X y x ∈,,不等式()(),,Tx Ty x y ρθρ≤成立,其中θ是满足不等式01θ≤<的常数.那么T 在X 中存在唯一的不动点.即存在唯一的X x ∈,使得x x T =.证明 在X 中任意取定一点0x ,令01Tx x =，12Tx x =，…，n n Tx x =+1，… 首先证明{}n x 是X 中的一个基本点列. 因为()()()()00101021,,,,Tx x x x Tx Tx x x θρθρρρ=≤=； ()()()()002212132,,,,Tx x x x Tx Tx x x ρθθρρρ=≤=； ……………………… 于是()()001,,Tx x x x n n n ρθρ≤+， ,3,2,1=n()()()()p n p n n n n n p n n x x x x x x x x +-++++++++≤,,,,1211ρρρρ()()0011,Tx x p n n n ρθθθ-+++++≤()()()0000,1,11Tx x Tx x np n ρθθρθθθ-≤--=. 又10<≤θ,故(),0∞→→n n θ即{}n x 是基本点列.由于X 完备,所以由定义1.1.1知{}n x 收敛于X 中某一点x .另外,由()(),,Tx Ty x y ρθρ≤知,T 是连续映射.在n n Tx x =+1中,令,∞→n 得x x T =,因此x 是T 的一个不动点.下面证明唯一性.设另有y 使y T y =,则()()(),,,,y x y T x T y x θρρρ≤=考虑到10<≤θ,则有(),0,=y x ρ即y x =.定理 1.2.2[3]设T 是由完备距离空间X 到其自身的映射,如果存在常数:1o θθ≤<以及自然数0n 使得(,)(,)n n T x T y x y ρθρ≤(,)x y X ∈ ()1那么T 在X 中存在唯一的不动点.证明 由不等式()1,0n T 满足定理1.2.1的条件,故0n T 存在唯一的不动点0x .现在证明0x 也是映射T 唯一的不动点.事实上10000()()()n n n T Tx T x T T x Tx +===可知,0Tx 是映射0n T 的不动点.由0n T 不动点的唯一性,可得00Tx x =,故0x 是映射T 的不动点.若T 另有不动点1x ,则由01111111n n n T x T Tx T x Tx x --=====知1x 也是0n T 的不动点.仍由唯一性,可得10x x =.Banach 不动点定理的应用1.3.1在讨论积分方程解的存在性与唯一性中的应用例1.3.1.1给定积分方程()()()()ds s x s t K t f t x ba ⎰+=,λ ()2其中()t f 是[]b a ,上的已知连续函数,()s t K ,是定义在矩形区域b s a b t a ≤≤≤≤,上的已知连续函数,证明当λ足够小时（λ是常数）,()2式在[]b a ,上存在唯一连续解.证明 在[]b a C ,内规定距离()()()1212,max a t by y y x y x ρ≤≤=-令 ()()()()()ds s x s t K t f t Tx ba⎰+=,λ则当λ充分小时,T 是[][]b a b a C C ,,→的压缩映射. 因()()()()()1212,max a t bTx Tx Tx t Tx t ρ≤≤=-()()()()()()()()121212max ,max ,,,ba t baba tb aK t s x s x s dsK t s x s x s ds M x x λλλρ≤≤≤≤=-≤-≤⎰⎰其中()max ,ba t baM K t s ds ≤≤=⎰,从而当1M λ<时,T 是压缩映射,则由定理1.2.1知方程对于任一()[]b a C t f ,∈解存在并且唯一.例1.3.1.2 考虑微分方程初值问题()⎪⎩⎪⎨⎧===,,,00y y y x f dx dyx x ()3 其中()2R C f ∈,且()y x f ,关于y 满足Lipschitz 条件,即存在0>L 使()()'',,y y L y x f y x f -≤-，R y y x ∈',, ()4则初值问题()3在R 上存在唯一解.证明 微分方程(3)等价于积分方程 ()()()dt t y t f y x y xx ⎰+=0,0，取0>δ,使.1<δL 在[]δ+00,x x C 上定义映射()()()(),,00dt t y t f y x T xx ⎰+=φ则由(4)式得ϕφT T -=()()()()0max ,,xx x x x f t t f t t dt δϕφ≤≤+⎡⎤-⎣⎦⎰ ()()000maxxx x x x L t t dt δϕφ≤≤+≤-⎰,ϕφδ-≤L []δϕφ+∈00,,x x C ，已知1<δL ,故由定理 1.2.1知存在唯一的连续函数[],,000δφ+∈x x C 使,00φφT =即()()()dt t t f y x xx ⎰+=0000,φφ，且()x 0φ在[]δ+00,x x 上连续可微，且()x y 0φ=就是微分方程()2在[]δ+00,x x 上的唯一解.1.3.2在数列求极限中的应用由定理1.2.1的证明可知,若f 是[]b a ,上的压缩映射,则对[]b a x ,1∈∀,由递推公式()n n x f x =+1确定的数列{}n x 收敛,且n n x x ∞→=lim 0为f 的唯一不动点.例 1.3.2.1[5]证明：若()x f 在区间[]r a r a I +-=,上可微,()1<≤'a x f 且()()r a a a f -≤-1，任取I x ∈0.令()()()n n x f x x f x x f x ===+11201,,, ,则**lim ,n n x x x →∞=为方程()x f x = 的根（即*x 为()x f 的不动点）.证明 已知I x ∈0,设I x n ∈则()()(){}()a a f a x f a a f a f x f a x n n n -+-≤-+-=-+ξ'1（),(a x n ∈ξ） 由已知得 ()r r a ar a x n =-+≤-+11即I x n ∈+1,从而得知,一切I x n ∈.由微分中值定理,存在ξ在n x 与1+n x 之间,即I ∈ξ使得()()()()10,11'11<<-≤-≤-=----+a x x a x x f x f x f x x n n n n n n n n ξ.这表明()n n x f x =+1是压缩映射,所以{}n x 收敛.又因()x f 连续.在()n n x f x =+1里取极限知{}n x 的极限为()x f x = 的根.例 1.3.2.2[9]设[];3,2,22,1,0,2121 =-=∈=-n x a x a a x n n 求证数列{}n x 收敛并求其极限.证明 易知20ax n ≤≤.则我们在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0a 上考虑函数()222x a x f -=,对⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∀2,0,21a x x 有()()21212122122122122x x a x x x x x x x f x f -≤+-=-=- []()1,0∈a .即()x f 是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0a 上的压缩映射.从而{}n x 收敛于方程的解.设22020x a x -=得110-+=a x .1.3.3在数学建模中的应用不动点定理也是连续函数的一个重要性质,在数学分析中我们就知道这样一个结论“闭区间上的连续函数必然存在不动点”.在一些数学建模题目的解答上应用不动点定理会使得求解更简单,下面就介绍几个不动点定理在数学分析中的形式及其在解决数学建模问题中的应用,进而深化对不动点定理的认识以及说明此定理应用的广泛性.引理 1.3.3.1[6-7]设()x f 在[]b a ,上连续，且()()b f a f ,异号,则()x f 在[]b a ,内至少存在一点c 使得()0=c f .定理 1.3.3.2[6-7]设()x f 是定义在[]b a ,上的连续函数,其满足()b x f a ≤≤，则在[]b a ,上至少存在一个不动点0x ,即()00x x f =.例 1.3.3.1 日常生活中常有这样一个经验：把椅子往不平的地面上放,通常只有三个脚着地,放不稳,然而只需稍挪动几次,就可以是四只脚同时着地,放稳了.我们将这个问题转化为纯数学问题.现在应用不动点定理对其进行解释说明.模型假设： 对椅子和地面做一些假设：1）椅子四条腿一样长,倚脚与地面可视为一点,四脚的连线呈正方形. 2）地面高度是连续变化的,沿任何地方都不会出现间断点（没有像台阶那样的情况）.即地面可视为数学上的连续曲面.3）对于椅脚的间距和倚腿的长度而言,地面是相对平坦的,使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.4）椅子转动时中心不动.模型分析：在图1中椅脚连线为正方形ABCD ,对角线AC 与x 轴重合,椅子绕中心点O 旋转角度θ后,正方形ABCD转至D C B A ''''的位置,所以对角线AC 与x 轴夹角θ表示了椅子的位置.其次要把椅脚着地用数学符号表示出来.如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，那么当这个距离为零时就是椅脚着地了，椅子在不同位置是椅脚与地面的距离不同，所以这个距离是椅子位置变量θ的函数.设()θf 为C A ,两脚与地面距离之和，()θg 为D B ,两脚与地面距离之和.由假设2）知,()θf 和()θg 都是连续的函数.由假设3）,椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，所以对于任意的θ，()θf 和()θg 中至少有一个为零.即()θf ()θg =0，当0=θ时不妨设()()0,0>=θθf g .从而数学问题就转化为求证存在0θ,使x()()000==θθg f ,⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πθ.模型求解：令()()().θθθg f h -=因()()()0222,0000<⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=πππg f h g f h .则由定理1.3.3.2知,必存在,2,00⎪⎭⎫⎝⎛∈πθ使(),00=θh 即()()000==θθg f .1.3.4在解线性方程组中的应用例1.3.4.1[1]设有线性方程组b Cx x +=其中()ij c C =是n n ⨯方阵，()Tn b b b b ,,,21 =是未知向量,证明：若矩阵C 满足1sup 1,1,2,,nij ij c i n =<=∑，则方程b Cx x +=有唯一解.证明 设X 是n R （或n C ）,定义度量()i i ni y x y x -=≤≤1max ,ρ,则X 是完备的度量空间.作映射.,,:X x b Cx Tx X X T ∈+=→若()(),,,,,,,,2121X y y y y X x x x x Tn Tn ∈=∈=则 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑=≤≤i j ij n j i j ij n i b y c b x c Ty Tx 11max ,ρ()()y x a y x c y x c nj ij ni j j n j ij ni ,,max max 1111ρρ=≤-≤∑∑=≤≤=≤≤而,1max 11<=∑=≤≤nj ij ni c a 所以T 是X 上的压缩映射,定理1.2.1知,存在唯一的n R x ∈*,使得b Cx x +=**.2 Leray —Schauder 不动点定理 相关概念定义2.1.1[3]称映射:f U Y →在0x U ∈处连续,是指对任给0ε>,存在0δ>,当x U ∈且0x x δ-<时,恒有0()()f x f x ε-<.若f 在U 内每一点连续,则称f 在U 上连续.定义 2.1.2[4]设,X Y 为线性赋范空间,D X ⊂,称映射:F D Y →为紧映射,如果F 将D 中的任何有界集S 映成Y 中的相对紧集()F S ,即()F S 是Y 的紧集.如果映射F 是连续的,则称F 为紧连续映射,或全连续映射.定义 2.1.3[3]设M 是U 的一个子集,如果对任意的M y y ∈21,以及满足10≤≤α的任意实数α,元素21)1(y y αα-+仍属于M ,则称M 是U 的凸集.如果M既是闭集且凸集,则称M 是U 中的闭凸集.Leray —Schauder 不动点定理及应用定理2.2.1（Brouwer 不动点定理）设Ω是n R 中的有界闭凸子集，Ω∂表示Ω的相对边界；设),(n R C f Ω∈并且满足Ω⊂Ω∂)(f .则在Ω上必有不动点.例2.2.1 设B 是实2l 空间的闭单位球,令B B f →:为(),,,,1212⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ξξx x f ().B x k ∈=ξ则f 在B 上连续,但f 在B 上却没有不动点（否则，存在B x ∈，使()x x f =.由此推得,,,11221 ξξξ=-=x 再由2l x ∈得0=x ,这又导致()()x x f ≠= ,0,0,1，得到矛盾）.在应用中,常常涉及到无穷维空间（如[][]b a L b a C ,,,2）上的算子,由上例可知，Brouwer 不动点定理对无穷维空间不再成立,尽管如此,我们注意到有线维空间的有界闭集即紧集,若将Brouwer 不动点定理中的“有界闭凸集”改为“紧凸集”，则可利用Leray —Schauder 度理论,就可以说明下述结论.定理2.2.2（Schauder 不动点定理） 设D 是实Banach 空间E 中的非空紧凸集,D D A →:连续,则A 在D 上必有不动点.定理2.2.3（Leray —Schauder 不动点定理）设D 是实Banach 空间E 中的非空有界闭凸集,若算子D D A →:全连续,则A 在D 上必有不动点.例2.2.1考察Urysohn 积分方程()()(),,x t k t s x s ds Ω=⎰ ()5解的存在性,其中Ω是n R 中的有界闭集,()u s t k ,,在R ⨯Ω⨯Ω上连续,并满足()R u s t u u s t k ∈Ω∈+≤,,,,,βα ()6 这里().1,0,0<Ω>>m ββα证明方程()5在Ω上必有连续解.证明 令)()(:Ω→ΩC C A 为()()()(),,Ax t k t s x s ds Ω=⎰，则可知A 是全连续算子.令{},|)(,)(1)(γβαγ≤Ω∈=Ω-Ω=x C x D m m 则D 是)(ΩC 中的有界闭凸集,且当D x ∈是,由()6得()()()ds s sx t k t Ax ⎰Ω≤,()()ds s x ⎰Ω+≤βα Ω+Ω≤m x m βαγβγα=Ω+Ω≤m m 故,γ≤Ax 此即D Ax ∈.由定理 2.2.3知,A 在D 上必有不动点,即存在D x ∈使()()(),,,x t k t s x s ds Ω=⎰因此x 是方程()5在Ω上的连续解. 3 总结不动点定理及其变换形式在线性分析和非线性分析中以及其他领域有着广泛的应用.本文只是总结了在线性分析和非线性分析中最基本的应用,随着不动点定理的不断发展和完善,将会有更多更广泛的应用.参考文献[1]吴翊，屈田兴.应用泛函分析[M].长沙：国防科技大学出版社，2002.[2]程其蘘,张奠宙等.实变函数与泛函分析基础[M].北京：高等教育出版社，2003.[3]王声望,郑维行等. 实变函数与泛函分析[M].北京：高等教育出版社，2003.[4]钟承奎，范先令等.非线性泛函分析引论[M].兰州：兰州大学出版社，2004.[5]钱吉林.数学分析题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2002.[6]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2001.[7]华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].北京：高等教育出版社，2001.[8]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2006.[9]张卿.压缩映象原理的证明及应用[J].衡水学院学报，2008.。
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泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
泛函分析知识点
泛函分析知识点知识体系概述(一)、度量空间与赋范线性空间第一节 度量空间的进一步例子1.距离空间的定义:设X 就是非空集合,若存在一个映射d:X ×X →R,使得∀x,y,z ∈X,下列距离公理成立:（1）非负性:d(x,y)≥0,d(x,y)=0⇔x=y;（2）对称性:d(x,y)=d(y,x);（3）三角不等式:d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);则称d(x,y)为x 与y 的距离,X 为以d 为距离的距离空间,记作(X,d)2、几类空间例1 离散的度量空间例2 序列空间S例3 有界函数空间B(A)例4 可测函数空M(X)例5 C[a,b]空间 即连续函数空间例6 l 2第二节 度量空间中的极限,稠密集,可分空间1. 开球定义 设(X,d)为度量空间,d 就是距离,定义U(x 0, ε)＝{x ∈X | d(x, x 0) <ε}为x 0的以ε为半径的开球,亦称为x 0的ε一领域、2. 极限定义 若{x n }⊂X, ∃x ∈X, s 、t 、 ()lim ,0n n d x x →∞= 则称x 就是点列{x n }的极限、 3. 有界集定义 若()(),sup ,x y Ad A d x y ∀∈=<∞,则称A 有界4. 稠密集定义 设X 就是度量空间,E 与M 就是X 中两个子集,令M 表示M 的闭包,如果E M ⊂,那么称集M 在集E 中稠密,当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。
5. 可分空间定义 如果X 有一个可数的稠密子集,则称X 就是可分空间。
第三节 连续映射1、定义 设X=(X,d),Y=(Y , ~d )就是两个度量空间,T 就是X 到Y 中映射,x0X ∈,如果对于任意给定的正数ε,存在正数0δ>,使对X 中一切满足()0,d x x δ< 的x,有()~0,d Tx Tx ε<,则称T 在0x 连续、2、定理1 设T 就是度量空间(X,d)到度量空间~Y,d ⎛⎫ ⎪⎝⎭中的映射,那么T 在0x X ∈连续的充要条件为当()0n x x n →→∞时,必有()0n Tx Tx n →→∞3、定理2 度量空间X 到Y 中的映射T 就是X 上连续映射的充要条件为Y 中任意开集M 的原像1T M -就是X 中的开集、第四节 柯西(cauchy)点列与完备度量空间1、定义 设X=(X,d)就是度量空间,{}n x 就是X 中点列,如果对任意给定的正数0ε>,存在正整数()N N ε=,使当n,m>N 时,必有(),n m d x x ε<,则称{}n x 就是X 中的柯西点列或基本点列。
泛函分析的应用
现代数学基础学习报告泛函分析应用院系：专业：导师：姓名：学号：摘要信号与系统的泛函分析是以泛函理论为工具描述和研究信号与系统特性的近代分析方法。
这种方法可使信号与系统的表示更加抽象与概括,并使连续与离散、时域与频域、分析与综合达到统一,从而在信号与系统学科中得到了日益广泛的应用。
本文仅就其基本理论及其在电路设计中的应用加以简要的介绍。
本文将利用泛函分析中的度量空间的理论研究信号处理纠错的问题，首先介绍度量空间相关理论，然后举例分析其在信号纠错处理中的解决过程，通过应用泛函知识，使纠错过程变得更简便和概括。
然后简单介绍泛函的理论知识，使其应用到求解最低功耗电源的设计中，结果表明应用泛函理论可以将求解过程变得更加简便和清晰。
1.泛函分析介绍1.1泛函分特点和内容[1]泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。
它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和极限理论。
它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。
泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。
泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。
比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。
它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。
泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。
n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。
比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。
一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。
现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。
正如研究有穷自由度系统要求n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。
泛函分析中的不动点定理及应用
泛函分析中的不动点定理及应用泛函分析是数学中的一个重要分支，研究的是函数的空间以及变换等概念。
在泛函分析中，不动点定理是一项极为重要的结果，它在许多领域都具有广泛的应用。
本文将介绍不动点定理的概念、证明以及在泛函分析中的应用实例。
一、不动点定理概述不动点定理是泛函分析的基础定理之一，它指出在一定条件下，对于某个变换，总存在至少一个点在变换之后保持不变。
换句话说，就是存在一个点，该点在经过变换后仍然等于它自身。
不动点定理有多种形式，其中最著名的定理之一是巴拿赫不动点定理(Banach Fixed-Point Theorem)，该定理也被称为压缩映像原理(Contraction Mapping Principle)。
二、巴拿赫不动点定理及其证明巴拿赫不动点定理是泛函分析中最为经典的不动点定理之一，它具体表述为：若给定一个完备的度量空间，并且在该度量空间上定义了一个压缩映像，那么该压缩映像至少存在一个不动点。
压缩映像的定义如下：对于给定的度量空间(X, d)，若存在一个常数0 < k < 1，对于任意的 x, y ∈ X，满足d(f(x), f(y)) ≤ kd(x, y)，则称映像 f 是一个压缩映像。
巴拿赫不动点定理的证明基于完备性和收敛性的概念。
具体的证明过程略显复杂，在此不展开叙述，但是通过巴拿赫不动点定理的证明，我们可以得出一个重要结论：在完备的度量空间上，压缩映像的不动点是唯一的。
三、不动点定理的应用实例不动点定理在许多领域中都有着广泛的应用，以下是其中两个典型的应用实例：1. 应用于微分方程不动点定理在微分方程的研究中扮演着重要角色。
许多微分方程可以转化为积分方程，然后利用不动点定理证明解的存在性和唯一性。
例如，在实数轴上关于初始值问题的微分方程中，可以通过构造合适的算子和空间，将微分方程转化为一个算子方程，然后运用不动点定理证明方程存在解。
2. 应用于经济学模型在经济学领域中，不动点定理也有着广泛的应用。
泛函分析知识总结讲解
泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间nR （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
泛函分析中不动点理论及其应用
泛函分析中不动点理论及其应用泛函分析是数学领域的一门重要分支，主要研究函数空间上的映射和算子的性质及其应用。
不动点理论是泛函分析中重要的工具之一，它研究的是映射的不动点及其在各个领域的应用。
本文将介绍泛函分析中的不动点理论以及其应用。
一、泛函分析中的不动点理论不动点是指一个映射中的一些点，经过映射后的值等于原点的值。
在泛函分析中，我们关注的是线性算子或非线性算子的不动点。
不动点理论主要研究的是映射的不动点存在性、唯一性、稳定性等性质。
不动点理论最基本的结果是Banach不动点定理，它是20世纪初，由波尔莫格洛夫和厄特-斯克瓦伊利亚构建并证明的。
Banach不动点定理指出，在完备度量空间中，压缩映射必存在唯一的不动点。
这个定理为不动点理论的发展奠定了基础，也为其他领域的研究提供了数学的支撑。
在泛函分析中，不动点理论有多种推广和拓展。
比如，对于非线性算子，可以通过逐步逼近的方法，将其转化为一个线性算子的问题，进而得到不动点的性质。
此外，还有类似于半群理论、运算子等概念的发展，使不动点理论的适用范围进一步扩大。
二、不动点理论的应用不动点理论在泛函分析以及其他领域中具有广泛的应用。
下面列举了一些常见的应用领域。
1.微分方程：不动点理论可以用于解微分方程的问题。
例如，在常微分方程的初值问题中，将微分方程转化为算子的问题，通过不动点的存在性和唯一性来得到方程的解。
2.经济学：不动点理论可以用于分析经济模型中的均衡点。
例如，在一些市场均衡或者一些价格调整模型中，通过构造合适的映射，可以得到经济模型的均衡点，并且通过不动点的存在性和唯一性来研究经济的稳定性。
3.优化问题：不动点理论在优化问题中也有应用。
例如，在凸优化问题中，可以将优化问题转化为不动点问题，通过不动点的性质来研究优化问题的解。
4.图论：不动点理论在图论中有着重要的应用。
例如，在图的可达性问题中，可以通过构造相应的算子，将图的可达性问题转化为不动点的问题，通过不动点的性质来研究图的可达性。
泛函分析的应用
现代数学基础学习报告泛函分析应用院系：专业：导师：姓名：学号：摘要信号与系统的泛函分析是以泛函理论为工具描述和研究信号与系统特性的近代分析方法。
这种方法可使信号与系统的表示更加抽象与概括,并使连续与离散、时域与频域、分析与综合达到统一,从而在信号与系统学科中得到了日益广泛的应用。
本文仅就其基本理论及其在电路设计中的应用加以简要的介绍。
本文将利用泛函分析中的度量空间的理论研究信号处理纠错的问题，首先介绍度量空间相关理论，然后举例分析其在信号纠错处理中的解决过程，通过应用泛函知识，使纠错过程变得更简便和概括。
然后简单介绍泛函的理论知识，使其应用到求解最低功耗电源的设计中，结果表明应用泛函理论可以将求解过程变得更加简便和清晰。
1.泛函分析介绍1.1泛函分特点和内容[1]泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。
它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和极限理论。
它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。
泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。
泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。
比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。
它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。
泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。
n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。
比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。
一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。
现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。
正如研究有穷自由度系统要求n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。
泛函分析部分知识点汇总
度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。
泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。
一、度量空间的进一步例子1、度量空间设x 是一个集合，若对于x 中任意两个元素x,y ,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°的充要条件为x=y 2°对任意的z 都成立， 则称 d(x,y) 是 x,y 之间的距离，称 d(x,y)为度量空间或距离空间。
x 中的元素称为点。
2、常见的度量空间（1）离散的度量空间 设 x 是任意的非空集合，对 x 中的任意两点 ，令 称为离散的度量空间。
（2）序列空间S令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中的任意两点令 称 为序列空间。
（3）有界函数空间B(A ）设A 是一个给定的集合，令B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B(A)中任意两点x,y ，定义（4）可测函数空间设M(X)为X 上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m 为勒贝格测度，若 ，对任意两个可测函数 及 由于 ，所以这是X 上的可积函数。
令 （5）C[a,b]空间令C[a,b] 表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，对 C[a,b]中任意两点x,y ，定义二、度量空间中的极限、稠密集、可分空间1、收敛点列设 是（X ，d ）中点列，如果存在 ，使 则称点列是（X ，d ） 中的收敛点列，x 是点列 的极限。
收敛点列性质：（1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯一的。
（2）M 是闭集的充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。
(,)0,(,)0d x y d x y ≥=(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+,x y X ∈1,(,)0,if x y d x y if x y ≠⎧=⎨=⎩(,)X d 1212(,,...,,...),(,,...,,...),n n x y ξξξηηη==1||1(,)21||i i i i i i d x y ξηξη∞=-=+-∑(,)S d (,)sup |()()|t A d x y x t y t ∈=-()m X <∞()f t ()g t |()()|11|()()|f tg t f t g t -<+-|()()|(,)1|()()|X f t g t d f g dt f t g t -=+-⎰(,)max |()()|a t b d x y x t y t ≤≤=-{}n x x X ∈lim (,)0n n d x x →∞={}n x {}n x2、收敛点列在具体空间中的意义（1）n 维欧式空间中：为 中的点列， 即：按欧式距离收敛于x 的充要条件是 依坐标收敛于（2）序列空间S 中：为 S 中的点列，（3）C[a,b]空间设 及X 分别为C[a,b] 中的点列及点，（4）可测函数空间M(X)设 及 f 分别为可测函数空间中的点列及点，3、稠密集，可分空间（1）设X 是度量空间，E 和M 是X 中的两个子集，令 表示M 的闭包，如果 ，那么称集M 在集E 中稠密。
泛函分析中的不动点定理及应用
泛函分析中的不动点定理及应用泛函分析是数学中的一个重要分支，主要研究向量空间中的函数和算子的性质及其相互关系。
不动点定理是泛函分析中的一项基本定理，它在数学和应用领域中有着广泛的应用。
本文将介绍不动点定理的概念、主要结果以及其在一些实际问题中的应用。
一、不动点定理的概念不动点定理是指在给定的函数空间中，存在一个函数，它在函数空间中的作用下保持不变。
具体而言，设X为一个非空集合，f为从X到X的映射，如果存在一个元素x∈X，使得f(x)=x，则称x为f的不动点。
不动点定理的证明主要基于完备度和收敛性的概念。
如果给定的空间是完备的，并且函数的映射是连续的，那么不动点定理可以成立。
常见的不动点定理有Banach不动点定理、Brouwer不动点定理和Schwarz-Zippel不动点定理等。
二、主要的不动点定理结果1. Banach不动点定理：设X为一个完备的度量空间，f为X上的一个压缩映射，即存在一个常数k(0 < k < 1)，对于任意的x, y∈X，有d(f(x), f(y)) ≤ k · d(x, y)。
则f存在唯一的不动点，即存在x∈X，使得f(x) = x。
2. Brouwer不动点定理：设D是欧几里德空间中的一个非空、闭、有界的凸集，f为D到D的连续映射，则f存在不动点，即存在x∈D，使得f(x) = x。
3. Schwarz-Zippel不动点定理：设D是n维欧几里德空间中的有界凸集，f为D到D的连续映射，并且满足f(0) = 0。
如果f是单调递增的，并且存在一个点a∈D，使得f(a) ≥ a，则f存在不动点。
三、不动点定理的应用不动点定理在实际问题中有着广泛的应用，例如在经济学、力学、计算机科学等领域。
在经济学中，不动点定理可以用来证明一些重要的经济模型的存在性。
例如，通过对需求曲线和供给曲线的分析，可以利用Banach不动点定理证明市场均衡点的存在性。
在力学中，不动点定理可以用来证明牛顿方程的解的存在性。
泛函分析部分知识总结
泛函分析单元知识总结与知识应用一、单元知识总结第七章、 度量空间和赋范线性空间 §1 度量空间§1.1定义：若X 是一个非空集合，:dX X R ⨯→是满足下面条件的实值函数，对于,x y X ∀∈，有（1）(,)0d x y =当且仅当xy =；（2）(,)(,)d x y d y x =；（3）(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+，则称d 为X 上的度量，称(,)X d 为度量空间。
例：1、设X 是一个非空集合，,x y X ∀∈，当1,(,)0,=x y d x y x y≠⎧=⎨⎩当当，则(,)X d 为离散的度量空间。
2、序列空间S ，i =1i |-|1(,)21+|-|i ii i d x y ξηξη∞=∑是度量空间 3、有界函数全体()B A ，(,)sup|(t)-(t)|t Ad x y x y ∈=是度量空间4、连续函数[a,b]C ，(,)max|(t)-(t)|a t bd x y x y ≤≤=是度量空间5、空间2l ，122=1(,)[(-)]kki d x y y x ∞=∑是度量空间§2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 §2.1收敛点列：设{}n x 是(,)X d 中点列，如果∃x X ∈，使n lim (,)=0n d x x →∞，则称点列{}n x 是(,)X d 中的收敛点列。
例：1、nn x R ∈，{}n x 按欧氏距离收敛于x 的充要条件为1,i n ∀≤≤各点列依分量收敛。
2、[a,b]C 中(,)0k d x y x x →⇔→（一致）3、可测函数空间()M X 中点列(,)0n n d f f f f→⇔⇒（依测度）稠密子集与可分空间:设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令M M M ⊂表示的闭包，如果E ,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时，称M 为X 的一个稠密子集，如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。
泛函分析中不动点理论及其应用
目录内容摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key Words (1)1．引言 (1)2．不动点定义及定理介绍 (2)2.1不动点相关定义 (2)2.2不动点思想 (2)2.3不动点相关定理 (6)3．不动点思想在其他学科的应用 (8)3.1在求数列通项公式中的应用 (8)3.2在求方程解中的应用 (11)3.3在求函数解析式中的应用 (12)4．不动点定理在证明中的应用 (14)4.1 应用不动点定理证明数列极限 (14)4.2 应用不动点定理证明隐函数定理 (15)4.3 应用不动点定理证明微分方程解的存在性定理 (17)4.4 应用不动点定理证明积分方程解的存在性定理 (17)4.5 不动点定理在图论中的证明 (14)参考文献 (18)致谢 (19)内容摘要：本文简要介绍了不动点思想及相关定理，对Banach不动点定理做了一些简单的推论，应用不动点思想解决数列通项公式、方程的解、函数的解析式等问题。
并对隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理做出了证明。
关键词：不动点不动点思想不动点定理应用Abstract：Key words：1．引言泛函分析是本世纪出才逐渐形成的一个新的数学分支，以其高度的统一性和广泛的应用性，在现代数学领域占有重要的地位。
在泛函分析中。
许多分散在各个数学分支中的事实都得到了统一的处理，例如隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理，在泛函分析中都归结为一个定理——不动点定理。
这正是抽象的结果。
不动点定理实际上是算子方程T x x =的求解问题，是分析学的各个分支中存在和唯一性定理的重要基础，它是关于具体问题解的存在唯一性的定理，其中Banach 不动点定理，亦称压缩映射原理，它提供了线性方程解的最佳逼近程序，给出了近似解的构造，在常微分方程、积分方程等领域中也有着广泛的应用，在现代数学发展中有着重要的地位和作用。
2．不动点相关定义及定理介绍2.1不动点相关定义定义1 设X 为非空集合，:T X X ®是一个映射，如果x X $ 使得T x x =成立，则称x 为映射T 的一个不动点。
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泛函分析度量空间知识和不动点的应用第七章度量空间和赋范线性空间知识总结 一、度量空间的例子定义：设X 为一个集合，一个映射d ：X ×X →R 。
若对于任何x,y,z 属于X ，有 （I ）（正定性）d(x,y ）≥0，且d(x,y)=0当且仅当 x = y ； （Ⅱ）（对称性）d(x,y)=d(y,x ）；（Ⅲ）（三角不等式）d(x,z ）≤d(x,y)+d(y,z ）则称d 为集合X 的一个度量（或距离）。
称偶对（X ，d ）为一个度量空间，或者称X 为一个对于度量d 而言的度量空间。
根据定义引入度量空间有离散的度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间、C 【a ，b 】空间、2l 空间，这6个空间是根据度量空间的定义可证它们是度量空间，在后面几节中给出它们相关的性质。
二、度量空间中的极限，抽密集，可分空间： 证明极限有二种方法：1、定义法：设{}n x 是（X ，d ）中点列，如果存在x ∈X ，是lim (,)n x d x x →∞=0，则称点列{}n x是（X ，d ）中的收敛点列，x 是点列{}n x 的极限。
2、M 是闭集是充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。
即若n x M ∈，n=1、，2……，n x x →，则x M ∈。
给出n 维欧氏空间、C[a,b]序列空间、可测函数空间中点列收敛的具体意义，由这些系列例子可以看到，尽管在各个具体空间中各种极限概念不完全一致，所以我们引入度量空间中的稠密子集和可分空间的概念，根据定义可得出n 维欧氏空间nR 是可分空间，坐标为有理数的全体是nR 的可数稠密集，离散度量空间X 可分的充要条件为X 是可数集。
l ∞是不可分空间。
三、连续映射证明度量空间的连续映射有四种方法：1、定义法：设X=（X ，d ），Y=（Y ，d ）是两个度量空间，T 是X 到Y 中的映射，0x X ∈，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ0，使对X 中一切满足d （x ，0x ）δ 的x ，有(,)d Tx Tx ε ，则称T 在0x 连续。
2、对0Tx 的每个ε-领域U ，必有0x 得某个δ—邻域V 使TV ⊂U ，其中TV 表示V 在映射T 作用下的像。
3、定理1：设T 是度量空间（X ，d ）到度量空间（Y ，d ）中的映射，那么T 在0x X ∈连续的充要条件为当0n x x →（n →∞）时，必有0()n Tx Tx n →→∞。
4、定理2：度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上连续映射的充要条件为Y 中任意开集M 的原象1T M -是X 中的开集。
（注意：把定理中的开集改为闭集仍然成立）。
四、柯西点列和完备度量空间定义：在度量空间的基础上度量空间（X ，d ）中每个柯西点列都在（X ，d ）中收敛的空间叫做完备度量空间，根据定义得出n 维欧氏空间nR 、l ∞、C[a,b]空间都是完备度量空间，而有理数全体按绝对值距离构成的空间不完备，柯西点列−−−−→←−−−−完备条件下度量空间收敛点列。
证明完备度量空间有二种方法：1、定义法：度量空间（X ，d ）中每个柯西点列都在（X ，d ）中收敛。
2、定理：完备度量空间X 的子空间M 是完备空间的充要条件为M 是X 中的闭子空间。
五、 度量空间的完备化直线上有理数全体Q 作为1R 的子空间不是完备的度量空间，但是可以将Q 扩大成完备的度量空间1R ，即在Q 中加入“无理数”，使之成为新的度量空间1R ，并且Q 在1R 中稠密，下面介绍每个不完备的度量空间都可以加以“扩大”，首先介绍等距同构和等距同构映射的定义，但是在泛函分析中把两个等距同构的度量空间不加于区别而视为同一的，如何完备化呢?接下来就介绍度量空间的完备化定理：设X=（X ，d ）是度量空间，那么一定存在一完备度量空间X=X d （，），使X 与X 的某个稠密子空间W 等距同构，并且X 在等距同构意义下唯一的，即若X d （，）也是一完备度量空间，且X 与X 的某个稠密子空间等距同构，则X d （，）与X d （，）等距同构。
等价于定理1” 设X=（X ，d ）是度量空间，那么存在唯一的完备空间X=X d （，），使X 为X的稠密子空间。
六、压缩映射原理以其应用关于存在唯一性的定理的证明，在完备度量空间中巴拿赫的压缩映射原理是一个很有力的证明工具，先定义：设X=（X ，d ）是度量空间，T 是X 到X 中的映射，如果存在一个数α，01α ，使得对所有的x ，y X ∈，d （Tx ，Ty ）α≤d （x ，y ），则称T 是压缩映射，几何意义：点x 和y 经T 的映射后，它们像的距离缩短了，那么T 有且只有一个不动点。
是根据构造柯西点列和有压缩映射定义可证明。
压缩映射原理在分析、微分方程、积分方程、代数方程解的存在和唯一性定理证明中起了重要作用，这里介绍隐函数存在定理以及常微分方程解的存在性和唯一性定理，定理2：设函数f （x ，y ）在带状域a xb y ≤≤-∞∞ ，中处处连续，且处处有关于y 的偏导数y f x y '（，）。
如果还存在常数m 和M ，满足y 0m f x y M m M '≤≤ （，），，则方程f （x ，y ）=0在区间【a ，b 】上必有唯一的连续函数y=x ϕ（）作为解：f （x ，x ϕ（））=0，x [,]a b ∈。
这个证明是利用压缩映射和微分中值定理。
七、 赋范线性空间和巴拿赫空间 在泛函分析中，特别重要和有用的一类度量空间是赋范线性空间，所以给出范数的定义，而X 按照范数赋‖x ‖成为赋范线性空间，在赋范线性空间中也给出极限的定义，而且得出空间的度量结构和线性结构之间具有某种协调性。
可以证明‖x ‖是x 的连续函数。
完备的赋范线性空间叫做巴拿赫空间。
根据定义可以得出欧氏空间nR 、空间l ∞、空间C 【a ，b 】、空间pL 【a ，b 】都是巴拿赫空间，而要证明pL 【a ，b 】是巴拿赫空间以前必须了解霍尔德（Holder ）不等式和民科夫斯基（Minkowski ）不等式，利用这两个不等式得证pL 【a ，b 】是巴拿赫空间。
同理空间pL 也是完备的。
如果是有限维赋范线性空间的性质，那么有什么性质？定理3：设X 是n 维赋范线性空间，{12,,...,n e e e }是X 的一组基，则存在常数M 和M '，使得对一切1nk kk x e ε==∑成立，推论1：设在有限维线性空间上定义了两个范数‖x ‖和1x ‖‖，那么必存在常数M 和M '，使得M ‖x ‖《1x ‖‖《M '‖x ‖。
推论2：任何有限维赋范空间和同维数欧氏空间拓补同构，相同维数的有限维赋范空间彼此拓补同构。
第八章有界线性算子和连续线性泛函知识总结 一、有界线性算子和连续线性泛函根据线性算子和线性泛函的定义，分别给出相似算子、恒等算子、零算子、微分算子、 乘法算子和对应的线性泛函定义。
根据算子和泛函的关系得出1、算子和有限维空间中的方阵相对应。
2、泛函与有限维空间中的向量相对应。
算子和泛函是映射，所以就有有界和无界的区别， 定义2：设X 和Y 是赋范线性空间，T 是X 的线性子空间()T ϕ到Y 中的线性算子，如果存在常数c ，使对所有()x T ϕ∈，有‖Tx ‖《c ‖x ‖，则称T 是()T ϕ到Y 中的有界线性算子，当()T ϕ=X 时，称T 为X 到Y 中的有界线性算子，简称有界算子，否则称为无界算子。
证明有界算子的方法：定理1 设T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 中的线性算子，则T 为有界算子的充要条件为T 是X 上的连续算子。
证明连续泛函的方法：定理2 设X 是赋范线性空间，f 是X 上的线性泛函，那么f 是X 上连续泛函的充要条件为f 的零空间()f ϑ是X 中的闭子空间。
从定义2中可以看出对于()x T ϑ∈成立的最小c ，引入定义3：T 为赋范线性空间X 的子空间()T ϑ到赋范线性空间Y 中的线性算子，称‖T ‖=0()supx x T Tx ϑ≠∈‖‖‖x ‖为算子T 在()T ϑ上范数。
若T 是()T ϑ上有界线性算子，则‖T ‖是一有限，反之，当T ∞ ‖‖时，由T 是线性，则有‖Tx ‖《‖T ‖‖x ‖，()x T ϑ∈， 根据引理 设T 是()T ϕ上有界线性算子，那么()()sup sup x T x T x x T Tx Tx ϑϑ∈∈≤‖‖=1‖‖1‖‖=‖‖=‖‖二、有界线性算子空间和共轭空间有界线性算子全体所成空间()X Y β→成为赋范线性空间，定理1：当Y 是巴拿赫空间是()X Y β→也是巴拿赫空间。
或者当{0}x ≠时，()X Y β→也是巴拿赫空间。
如果f 是连续()M f ⇔闭集。
（若f 是有界线性算子，就不成立）。
当X 是完备时，(X)X β→X 为巴拿赫代数。
如果X 是赋范线性空间，令X '表示X 上连续线性泛函全体所成的空间，成为X 的共轭空间。
由于定理可知，任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间。
引出两个赋范线性空间同构的概念：设X 和Y 是两个赋范线性空间，T 是X 到Y 中的线性算子，并且对所有x X ∈，有‖Tx ‖=‖x ‖，则称T 是X 到Y 中的保距算子，如果T 又是映射到Y 上的，则称T 是同构映射，此时称X 与Y 同构。
根据定义可得1l 的共轭空间是为l ∞，即1()l l ∞'=；(1)p l p ∞ 的共轭空间为q l ，其中111p q+=；2()()L L ∞'=有界可测函数;11()(2)1p q L L p p q'=+= ; 总结：度量空间包括赋范线性空间，而赋范线性空间包括有界线性算子和连续线性泛函，一步一步具体化，一步一步详细，而有界线性算子和连续线性泛函有些性质在赋范线性空间是不成立的。
而赋范线性空间也有些性质在度量空间是不成立，它们之间相互联系，又相互区别。
应用不动点思想解决数列通项公式、方程的解、函数的解析式等问题。
并对隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理做出了证明。
1 应用不动点定理证明数列极限定理求数列极限的方法有多种, 比较典型的有单调有界原理和迫敛法。
若能熟练掌握不动点原理, 也能方便求出一些数列极限。
定理 对于数列{}n x ，若存在常数r ：01r <<，使得一切n ∈N 有11n n n n x x r x x +--≤-，则{}n x 收敛。
若递推公式由一元可微函数()1n n x f x -=给出，则可通过f 的导数f '来考察。
若存在实数r ，使得()1f x r '≤<，则应用微分中值定理, 可知{}n x 满足压缩映射的条件()()()1111n n n n n n n n x x f x f x f x x x r x x +---'-≤-=-≤-，不过，这时必须验证，{}n x 是否保持在()f x r '≤成立的范围之内。