第八章 晶体结构的几何理论
晶体构造的几何理论
同于对应的单位平行六面体参数。
▪一般未加说明的晶胞一词是指单位晶胞。
例如：NaCl晶体的晶胞，对应的是立方面心格子， a=b=c=0.5628nm，α=β=γ=90°。许许多多该晶 胞在三维空间无间隙的排列就构成了NaCl晶体。（一 个晶胞含有4个NaCl分子）
例如，下图为具有L44P的平面格子。显然，4、5、6 与对称不符，3的轮廓虽然符合对称性，但结合其内 部结点的分布一起来考虑时，就与对称不符了。在1 和2中，则以1的面积最小，故应选1作为基本单位。
平行六面体的三根棱长a、b、c及其夹角α、 β、γ是表示它本身的形状、大小的一组参数， 称为单位平行六面体参数或格子常数。
四方体心格子
三
方
与本晶系
晶 系
对称不符
三方菱面体格子(标记为R)
三 、 六 方 晶 系
六方和三方原始格子
不符合六 方对称
等 轴
与本晶系
晶 系
对称不符
立方原始格子
I＝R 与空间格子 条件不符
立方体心格子
F＝I
F胞的概念
▪晶胞：是指晶体结构中的平行六面体单位，
代表格子类型（P、C、I、F）。后一部分与对称型国际符
号基本相同，只是将宏观对称要素符号换成相应的内部结 构对称要素的符号。
Cl－ Na＋
Cl- Na+
三、晶体内部构造的对称要素
❖晶体内部构造的对称属于微观的无限图形的对称， 不同于晶体外形的对称，外形的对称取决于内部构造 的对称，而且是宏观的有限图形的对称。
晶体的微观对称的主要特点如下： ⑴在晶体构造中，平行任何一个对称要素都有无穷多 的和它相同的对称要素。
⑵在晶体构造中出现了一种在晶体外形上不可能有的 对称操作——平移操作。
结晶学讲义
结晶学基础第一章绪论第二章晶体及其基本性质第三章晶体的发生与成长晶体的宏观对称第四章晶体的定向和晶面符号第五章晶体结构的几何理论第六章晶体化学第七章典型晶体结构第八章晶体缺陷第一章绪论一、结晶学(crystallography)：是以晶体为研究对象的一门科学。
自然界中的绝大多数矿物都是晶体，要了解这些结晶的矿物，就必须了解和掌握结晶学特别是几何结晶学的基本知识。
如：冰、雪、土壤、金属、矿物、陶瓷、水泥、化学药品等晶体和非晶质体：人们常见的晶体有水晶、石盐、蔗糖等，在一般人的心目中就认为晶体就像水晶和石盐那样，具有规则的几何多面体形状。
晶体—具有格子构造的固体, 或内部质点在三维空间成周期性重复排列的固体。
研究表明，数以千计的不同种类晶体尽管各种晶体的结构各不相同，但都具有格子状构造，这是一切晶体的共同属性。
与晶体结构相反，内部质点不作周期性的重复排列的固体，即称为非晶质体。
二、研究简史：★1000多年前，认识了石英和石盐具有规则的外形；★17世纪中叶前，以外形研究为主；★1912年，X射线晶体衍射实验成功，结晶学进入快速发展阶段；★19世纪中叶开始对晶体内部结构探索，逐渐发展成为一门独立的学科；★20世纪初, 内部结构的理论探索。
三、结晶学的研究意义：是矿物学的基础，是材料科学的基础，是生命科学的基础。
四、现代结晶学的几个分支：1、晶体生成学：研究天然及人工晶体的发生、成长和变化的过程与机理，以及控制和影响它们的因素。
2、几何结晶学：研究晶体外表几何多面体的形状及其规律性。
3、晶体结构学：研究晶体内部结构中质点排列的规律性，以及晶体结构的不完善性。
4、晶体化学：研究晶体的化学组成与晶体结构以及晶体的物理、化学性质之间关系的规律性。
5、晶体物理学：研究晶体的各项物理性质及其产生的机理。
思考题1、什么是矿物？2、什么是晶体？晶体和非晶体有何本质区别？3、现代结晶学有哪几个分支?第二章晶体及其基本性质晶体的定义：晶体是内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体；或者说是具有格子状构造的固体。
金属材料—晶体结构(无损检测课件)
第1节 晶体结构
金属与合金的晶体结构
晶体的概念 固态物质可以分为两类：晶体和非晶体。 晶体 原子呈有规则的、按一定的几何形状重复排列。如金刚
石、石墨及一切固态的金属和合金。晶体具有各向异性。 非晶体 原子呈无规则的堆积在一起。如玻璃、沥青、松香等。
非晶体具有各向同性 在一定条件下晶体和非晶体可以互相转化。
第1节 晶体结构
金属常见的晶体结构
（1）体心立方晶格 体心立方晶格的晶胞是一个立方 体，在立方体的中心有一个原子，在立边夹角α＝β＝γ＝90°。属于体心立方 晶格的金属有α－Fe、Cr、W、Mo等。
(2)面心立方晶格 面心立方晶格的晶胞也是一个立方 体，在立方体的每一个面的中心和立方体的八个角 上，均分别有一个与其他相邻晶胞所共有的原子。 其晶格常数a＝b＝c，棱边夹角α＝β＝γ＝90°。属 于这类晶格的金属有γ－Fe、Al、Cu、Ni等。
（3）晶格常数 在三维空间中，晶胞的几何特征即大小和形 状常以晶胞的棱边长度a、b、c及棱边夹角α、β、γ来描述， 其中晶胞的棱边长度a、b、c一般称为晶格常数。
第1节 晶体结构
2．晶体结构的基本知识
（1）晶格 假定晶体中的物质质点都是固定的刚球， 由这些刚球堆垛而成晶体，如图所示，即原子堆垛 模型。
为了研究方便，假设通过这些质点的中心画出许多空间直线 形成空间格架，这种假想的格架在晶体学上就称为晶格。晶格 中的每个点叫做晶格结点。
（2）晶胞 从晶格中选取一个能够完全反映晶格 特征的最小的几何单元来分析晶体中原子排列的规 律，这个最小的几何单元称为晶胞。
(3)密排六方晶格 密排六方晶格 密排六方晶格的晶胞是
一个六方柱体，它是由六个呈长方形的侧面和两个呈六边形 的底面所组成。在上下底面的十二个结点处各有一个原子， 在两个六方底面的中间还有三个原子，其晶格常数a＝b≠c， 棱边夹角α＝β＝90°，γ＝120°。属于密排六方晶格的金属有 Mg、Zn、Cd、Be等。
-晶体结构的几何理论.
十四种空间格子
总结： 在四种格子类型当中，其中底心、
体心、面心格子称带心的格子，这是因为有 些晶体结构在符合其对称的前提下不能画出 原始格子，只能画出带心的格子。
第8章 晶体结构的几何理论
原始格子（P）底心格子（C） 体心格子（I） 面心格子（F）
三 斜
C=I
I=F
F=P
单
斜
I=F
F=C
斜 方
Crystallography
有些格子类型与所在晶系的对称不符。 有些格子类型与空间格子的条件不符。 有些格子类型可以被改划为其它格子。
➢ 因此，只有14种空间格子，也叫14种布拉维格子。 （A.Bravis于1848年最先推导出来的）
十四种空间格子
举例说明： 1、四方底心格子可转变为体积更小的四方原 始格子 ； 2、在等轴晶系中，若在立方格子中的一对面 的中心安置结点，则完全不符合等轴晶系具 有4L3的对称特点，故不可能存在立方底心格 子。
第8章 晶体结构的几何理论
⑶各晶系单位平行六面体的形状
①等轴晶系
a=b=c； α=β=γ=90°。
c βα b aγ
立方格子
Crystallography
第8章 晶体结构的几何理论
⑶各晶系单位平行六面体的形状
②四方晶系 a=b≠c； α=β=γ=90°。
Crystallography
c
βα b aγ
四方格子
第8章 晶体结构的几何理论
⑶各晶系单位平行六面体的形状
③斜方晶系 a≠b≠c α=β=γ=90°
Crystallography
c
βα b aγ
斜方格子
第8章 晶体结构的几何理论
⑶各晶系单位平行六面体的形状
晶体结构
§3 晶体结构一、晶体与非晶体1、晶体的特征：⑴有一定的几何外形，非晶体如玻璃等又称无定形体；⑵有固定的熔点；⑶各向异性：晶体在不同方向上表现出不同的物理性质。
一块晶体的某些性质，如光学性质、力学性质、导电导热性质、机械强度等，从晶体的不同方向去测定，常不同。
⑷晶体具有平移对称性：在晶体的微观空间中，原子呈现周期性的整齐排列。
对于理想的完美晶体，这种周期性是单调的，不变的，这是晶体的普遍特征，叫做平移对称性。
⑸自范性：在适宜条件下，晶体能够自发地呈现封闭的、规则的多面体外形。
2、晶体的内部结构⑴晶格：把晶体中规则排列的微粒抽象成几何学中的点，并称为结点。
这些点的结合称为点阵，沿着一定的方向按某种规则把结点连结起来，则得到描述各种晶体内部结构的几何图像——晶体的空间格子，称为晶格。
⑵晶胞：在晶格中，能表现出其结构的一切特征的最小部分称为晶胞。
（晶体中最有代表性的重复单位）⑶晶胞基本特征：晶胞有二个要素：①是晶胞的大小、型式，②是晶胞的内容。
晶胞的大小、型式由a、b、c三个晶轴及它们间的夹角α.β.γ所确定。
晶胞的内容由组成晶胞的原子或分子及它们在晶胞中的位置所决定。
3、单晶体和多晶体⑴单晶体——由一个晶核（微小的晶体）各向均匀生成而成，其内部的粒子基本上按某种规律整齐排列。
如冰糖、单晶硅等。
⑵多晶体——由很多单晶体杂乱聚结而成，失去了各二、离子晶体及其性质1、离子晶体的特征和性质⑴由阳离子和阴离子通过静电引力结合成的晶体——离子晶体。
⑵性质：静电作用力较大，故一般熔点较高，硬度较大、难挥发，但质脆，一般易溶于水，其水溶液或熔融态能导电。
2、离子键⑴定义：阳离子和阴离子通过静电作用形成的化学键。
⑵离子键的形成条件：元素的电负性差要比较大。
⑶离子键的本质特征：是①静电作用力，②没有方向性和饱和性。
⑷影响离子键强度的因素①离子电荷数的影响。
②离子半径的影响：半径大, 导致离子间距大, 所以作用力小; 相反, 半径小, 则作用力大。
chap8-晶体结构的几何理论
4mm(L44P)
mm2(L22P)
4mm
mm2
引出： 引出：空间格子可以有带心的格子
平行六面体中结点的分布
1）原始格子（P）：结点分布于平行六面体的八个角顶。 ）原始格子（ ） 结点分布于平行六面体的八个角顶。 2）底心格子（ C、A、B）：结点分布于平行六面体的角 ）底心格子（ ） 顶及某一对面的中心。 顶及某一对面的中心。 3）体心格子(I )：结点分布于平行六面体的角顶和体中心。 ）体心格子 ：结点分布于平行六面体的角顶和体中心。 4）面心格子（F）：结点分布于平行六面体的角顶和三对 ）面心格子（ ） 面的中心。 面的中心。
第八章 晶体结构的几何理论
主要教学内容
• • • • • • • 十四种空间格子* 十四种空间格子 空间格子中点的坐标、行列及面网符号* 空间格子中点的坐标、行列及面网符号 晶胞* 晶胞 晶体内部结构的对称要素* 晶体内部结构的对称要素 空间群(符号 符号)* 空间群 符号 等效点系 晶格缺陷
思考题： 思考题：
8.1 十四种空间格子 十四种空间格子(space lattice)
回顾： 回顾： • 空间格子是表示晶体结构中质点重复规 律的立体几何图形。 律的立体几何图形。 • 空间格子要素包括结点、行列、面网、 空间格子要素包括结点、行列、面网、 单位平行六面体。 单位平行六面体。
1．平行六面体的选择
平行六面体是空间格子中最小重复单位 对于每一种晶体结构而言，其结点的分布是客观存在的， 对于每一种晶体结构而言，其结ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的分布是客观存在的， 但平行六面体的选择是人为的。 但平行六面体的选择是人为的。 空间格子是无限图形。在一个空间格子中可以划分出无数 空间格子是无限图形。 种不同形状和大小的平行六面体。如何划分？ 种不同形状和大小的平行六面体。如何划分？
晶体结构与晶体化学晶体几何学理论基础
1.1.2 空间点阵
在图3.1的单位平移中，有两个最短的矢量，如图3.2所示。原点的选择是任意 的，任何图案的平移对称都可从图形的一点开始描述。如将图案抽象成一个点， 通过上述的一套平移对称操作即可得到一套平面上点的集合，称为网格或二维 点阵（图3.3）。在空间三维情况下，称作空间格子或空间点阵，点阵中的每个 点称为结点或点阵点。
晶体几何学理论基础
对称性是一种规律的重复，具有变化中的不变性，是自 然科学中一个重要的基本概念。晶体就是指原子或分子 在空间按一定规律重复排列构成的固体物质。晶体结构 的基本特征是其中的质点在三维空间作规律的重复排列。 晶体结构研究的就是揭示晶体内部原子和分子在空间排 列上的对称规律，这种规律只有在晶体结构中每个原子 在空间相对位置揭示出来时才能得到完整证明。
基本图案可以先旋转后反伸，也可以先反伸后旋转。其中1相当于i（反伸中心）， 2相当于m）（对称面），3相当于3次轴加反伸中心，6相当于3次轴加对称面， 因此只有4是具有多利意义的旋转反伸轴。
2.点群 2.1 点对称要素 晶体外形上可能出现的对称要素称为点对称要素，包括对称中心、对称面、旋转轴 及旋转反伸轴。这些对称要素的特点是在进行对称操作过程中至少有一点是不动的。 二维空间的对称要素有：旋转点，2、3、4、6次轴；反映线，m。 三维空间的对称要素：旋转轴，2、3、4、6次轴；反伸（对称）中心，i；镜（对称） 面，m；旋转倒反轴，1、2、3、4、6。
1、对称操作 晶体学中的对称图形是通过对称操作来表征的。 对称操作 周期平移对称操作（晶体中） 有公度的
无公度的 准周期平移对称操作（准晶体中） 严格自相似准周期
点对称操作
旋转 反映 反伸
统计自相似准周期
1.1 平移
结晶学
《结晶学》课程教学大纲课程名称：结晶学（Crystallography）课程编号：112039总学时数：64学时讲课学时：40学时实验学时：24学时学分：4学分先修课程：高等数学、无机化学、大学物理、材料科学与工程导论。
教材：王萍、李国昌编，《结晶学教程》，国防工业出版社，2006年。
参考书目：周志朝主编，《结晶学》，浙江大学出版社，1998年。
潘兆橹主编，《结晶学及矿物学》，地质出版社，1999年。
廖立兵编著，《晶体化学与晶体物理学》，地质出版社，1999年。
陆佩文主编：《无机材料科学基础》，武汉理工大学出版社。
1996年。
课程内容简介：《结晶学》系统介绍了晶体形态和内部结构的几何规律；晶体的化学组成、结构与物理性质的关系；晶体结构的类型与典型结构；晶体的生长的基本理论。
内容分为十章，第一章讲授晶体的概念与性质、空间格子的概念及组成要素；第二章讲授有关晶体生长和晶面发育的基本理论；第三章介绍晶体的面角恒等定律和极射赤平投影方法；第四章讲授晶体的宏观对称；第五章讲授单形和聚形；第六章讲授晶体定向与结晶符号；第七章讲授实际晶体的形态与规则连生；第八章讲授晶体结构的几何理论及晶格缺陷；第九章讲授晶体化学的基础理论与基础知识；第十章讲授晶体结构的类型及常见典型结构。
一、课程的性质、目的及任务《结晶学》是材料科学与工程本科专业必修课，是培养材料人才的专业基础课程之一。
本课程的任务是使学生学习必要的结晶学的基本知识、掌握晶体形态及结构分析的基本技能，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，为后续专业课的学习打下坚实的基础。
二、教学内容、要点和课时安排《结晶学》授课课时分配表本课程的教学内容共分10章。
第一章：晶体与非晶体的概念晶体与非晶体的概念、空间格子概念及组成要素、晶体的基本性质。
第二章：晶体的形成晶体的形成方式、成核作用及一般规律、层生长理论、晶体的阶梯状生长和螺旋状生长、布拉维法则、居里-吴里夫原理、周期键链理论。
晶体结构特征、理论及类型
例如：干冰的晶体结构
晶体结构特征、理论及类型
(4)金属晶体 金属晶体(metallic crystal):由金属原子或
正离子排列在晶格结点上，以金属键结合而 构成的晶体。
结构特征：等径球的紧密堆积，配位数 高，晶体中没有独立的分子存在。
晶体结构特征、理论及类型
金属晶体中粒子的排列方式常见的有三种：六 方密堆积(Hexgonal close Packing)； 面心立方密堆积(Face-centred Cubic clode
晶体结构特征、理 论及类型
晶体结构特征、理论及类型
1.晶体结构的特征与晶格理论
晶体(crystal):内部微粒(原子、分子或离子) 在空间按一定规律周期性排列构成的固体。
非晶体(amorphous solid):内部微粒在空间 作无规则排列构成的固体。
晶体结构特征、理论及类型
晶体
非晶体
晶体结构特征、理论及类型
Packing)； 体心立方堆积(Body-centred Cubic Packing)。
特征物性：具有良好的导电性、导热性和 延展性，金属光泽。熔、沸点，硬度差异较大。
晶体结构特征、理论及类型
晶体基本类型
晶体类型 原子晶体 实 例 金刚石,SiC
晶体结点微粒 原 子
离子晶体 NaCl , CaO 正、负离子
层与层间：距离为 335pm，靠分子间 力结合起来。
石墨晶体既有共价键，又有分子间力， 是混合键型的晶体。
晶体结构特征、理论及类型
• 链状结构晶体
单链
链状结构晶体的结构硅特征酸、理盐论及类型
双链
(6)微 晶
微晶(crystallite)：具有晶体的轮廓,但生 长还不完全的晶体颗粒。尺寸小到约0.1微米 至数十微米的晶体。
晶体与晶体结构
13.2 晶体结构的周期性：6.晶体的X射线衍射与Bragg方程 ❖ 当一束波长为λ的X射线以θ角入射到晶面上时，反射光的
光程会出现差异。当光程差为nλ时，由于光波叠加而出现 亮线；当光程差为nλ/2时，则因光波抵消而出现暗线。光 波叠加而出现强线的条件为： ❖ 2d⋅sinθ=nλ (Bragg方程)
❖ 例如，CO2分子晶体中，虽然CO2 分子好像占据在立方面心的各个结 点上，但只有立方体8个顶角上的 分子取向相同，其余分子取向不同， 所以不是面心立方晶胞，而实际上 是属于简单立方晶胞。
❖ 例如：
单原子惰性气体 ————面心或六方密堆积结构； 氢分子晶体 ————六方密堆积结构； HCl, HBr, HI ————面心立方密堆积结构； H2S,CH4 ————面心立方密堆积结构； C60 ————面心立方密堆积结构。
13.4 晶体的基本类型及其结构 3. 分子晶体
❖ 直线型的共价分子堆积为分子晶体 时，因有分子取向问题而不如球形 分子堆积紧密。
54
12
6
3
54
第四层再排 A，于是形成 ABC
A
ABC 三层一个周期。 得到
面心立方紧密堆积。
C
B
12
6
3
54
配位数 12 。 ( 同层 6， 上下层各 3 )
A C B A
立方紧密堆积的前视图
13.3 等径圆球的堆积 1. 简单立方堆积
❖整个晶体中每一个金属原子有上下、左右、前后 6 个最邻近的原子与其相接触，其配位数为6。晶胞 所含原子数为1。
Mg(OH)2
13.2 晶体结构的周期性：6.晶体的X射线衍射与Bragg方程
ZnO
13.3 等径圆球的堆积
-晶体结构的几何理论
单位平行六面体是空间格子的最小组成单位。
无数个平行并置的单位平行六面体构成空间格子.
Crystallography
第8章 晶体结构的几何理论
⑴单位平行六面体的划分
Crystallography
⑴单位平行六面体的划分
对于每一种晶体结构而言，其结点的分布是客 观存在的，但平行六面体的选择是人为的。
第8章 晶体结构的几何理论
四 方
C=P
F=I
三 方
与本晶系对称 不符
I=F
F=P
六 方
与本晶系对称 不符
与空间格子 条件不符
与空间格子 条件不符
等 轴
与本晶系对称 不符
Crystallography
十四种空间格子
七个晶系—七套晶体常数—七种平行六面体形状。 每种形状有四种类型，那么就有7×4=28种空间格子？
可以全为正值：1，1，1 也可以有负值：-x，–x， 0
b
0,1,0,
Y
1/2,1/2,0
分数：1/2，1/2，1/2
小数：0.5，0.5，0.5 例：金红石中x＝0.33
Crystallography
X
1,0,0,
第8章 晶体结构的几何理论
③行列（晶向）符号(Crystal directions) 表示行列方向的符号，[x y z]
2hkabc2(cosαcosβ-cosγ)+2kla2bc(cosβcosγ-
cosα)+2hlab2c(cosαcosγ-cosβ)]-1/2
其中V＝abc(1-cos2α-cos2β-cos2γ+2cosαcosβcosγ)1/2
第8章 晶体结构的几何理论
晶体内部结构的微观对称和空间群讲解
面网符号
面网符号与晶面符号的表示方法及形式基本相同。 但晶面符号是表示某一个晶面的位置（空间方 位），而面网符号是表示一组相互平行且面网间 距相等的面网。
对（hkl）一组面网，面网间距用dhkl表示，hkl绝 对值越小（每一项指数的绝对值相加），dhkl愈大， 面网密度也大；hkl绝对值越大，dhkl愈小，面网 密度也小。
第八章 晶体内部结构的微观对称和空间群
十四种空间格子 空间点阵中结点、行列和面网的指标 晶体内部结构的对称要素 空间群 等效点系
一、十四种空间格子
1．平行六面体的选择
对于每一种晶体结构而言，其结点的分布是客 观存在的，但平行六面体的选择是人为的。
十四种空间格子
平行六面体的选择原则：
c
a
b
P
Triclinic
abc
c
c
c
b
b
aP
aC
Monoclinic
= = 90o
abc
b
aP
C
F
I
Orthorhombic
= = = 90o a b c
c
c
a1
P
a2
I
Tetragonal
= = = 90o a1 = a2 c
空间格子中，结点、行列和面网可进行指 标。即通过一定的符号形式把它们的位置 或方法表示出来。
点的坐标 行列符号 面网符号
点的坐标 coordinates of point
点的坐标的表示方法与空间解析几何中确 定空间某点的坐标位置的标记方法完全相 同，表达形式为u、v、w。
可以全为正值：1，1，1 也可以有负值：-x，–x， 0 分数：1/2，1/2，1/2 小数：0.5，0.5，0.5 例：金红石中x＝0.33
晶体化学课件：第八章晶体结构的几何理论
2.晶胞参数
晶胞的形状大小由晶胞参数a、b、c和 α、β、γ来表征。其数据与对应的 单位平行六面体参数完全一致。
立方面心格子
晶胞
食盐的晶体结构
晶胞是晶体结构的基本组成单位，由一 个晶胞出发，能够借助于平移群而重复 出整个晶体结构。
The Lattice and the Basis
A crystal can be thought of as being like wallpaper. The motif is analogous to the basis and the arrangement of the motif over the surface is like the lattice.
空间格子中的平行六面体
⑴划分原则
① 所选平行六面体应当符合相应空间点 阵的对称性。 ② 在满足①的前提下， 棱与棱之间的直 角最多。 ③ 在满足①②的前提下，体积最小。
下面两个平面点阵图案中，请同学们画出其空间格子：
4mm
mm2
4mm
mm2 引出一个问题：空间格子可以有带心的格子； 另外请思考：如果上面的图案对称为3m，该怎么画？
平移群： 三个能够反映晶体结构特征的代表性平 移轴组合称为平移群。平移群的基本图 形为单位平行六面体。
NaCl晶体结构中的代表性平移轴组合，构 成棱长为0.564nm的单位平行六面体(立方 格子)。
c b
a
综合单位平行六面体的形状和结点分布 特点，NaCl晶体结构中的空间格子类 型：立方面心格子，a=0.564nm。
c b
a
不同对称特征和结点分布的的单位平行 六面体有14种－14种空间格子－14种平 移群。
在三维空间移动平移群（单位平行六面 体），就可以重复出整个空间格子。
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原
底
始
心
格
格
子
子
P
C心格子
A心格子
B心格子
体
面
心
心
格
格
子
子
I
F
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第8章 晶体结构的几何理论
⑷ 十四种布拉维空间格子
• 综合考虑单位平行六面体的形状和结点分布，空
间格子共有14种。称为14种布拉维空间格子。
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四方格子
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第8章 晶体结构的几何理论
⑶ 各晶系单位平行六面体的形状
③ 斜方晶系 a≠b≠c α=β=γ=90°
c
βα b aγ
斜方格子
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第8章 晶体结构的几何理论
⑴ 单位平行六面体的划分
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第8章 晶体结构的几何理论
⑴ 单位平行六面体的划分
在三维空间做同样分析，可以从空间格子中划分 出一个最小的重复单位—单位平行六面体，它由 六个两两平行且相等的平面组成。
c
βα aγ b
三斜格子
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第8章 晶体结构的几何理论
⑶ 各晶系单位平行六面体的形状
⑥ 六方晶系 a=b≠c， α=β=90° ；γ=120°
c
βα b aγ
六方格子
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这样划分出来的单位平行六面体，其对称性与相 应空间格子相同。
无数个平行并置的单位平行六面体就构成整个空 间格子。
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第8章 晶体结构的几何理论
⑴ 单位平行六面体的划分
单位平行六面体
Y Z
沿Z轴
沿Y轴
X
沿X轴
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第8章 晶体结构的几何理论
第8章 晶体结构的几何理论
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主要教学内容
第8章 晶体结构的几何理论
十四种空间格子* 晶胞* 空间格子中点的坐标、行列及面网符号* 晶体内部结构的对称要素* 空间群# 等效点系#
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⑶ 各晶系单位平行六面体的形状
① 等轴晶系 a=b=c α=β=γ=90°
c βα b aγ
立方格子
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第8章 晶体结构的几何理论
⑶ 各晶系单位平行六面体的形状
② 四方晶系
a=b≠c； α=β=γ=90°
c
βα b aγ
第8章 晶体结构的几何理论 原始格子（P）底心格子（C） 体心格子（I） 面心格子（F）
三
斜
C=P
I=P
F=P
单
斜
I=C
F=C
School of Materials Science and Engineeri g
第8章 晶体结构的几何理论
⑴ 单位平行六面体的划分
二维平面点阵中平行四边形的划分
1
2
4
5
3
6
Y X
1 2 5
4 3
6
7
四方(4mm)平面点阵
斜方(mm2)平面点阵
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第8章 晶体结构的几何理论
⑴ 单位平行六面体的划分
第8章 晶体结构的几何理论
8.1 十四种布拉维空间格子
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空间格子及要素
第8章 晶体结构的几何理论
空间格子 是表示晶体结构中质点重复规律的立体几何图形。
空间格子要素 结点、行列、面网、单 位平行六面体。
单位平行六面体是空间格子的最小组成单位。 无数个平行并置的单位平行六面体构成空间格子。
第8章 晶体结构的几何理论
⑶ 各晶系单位平行六面体的形状
④ 单斜晶系 a≠b≠c α=γ=90° β ≠ 90°
c
βα b aγ
单斜格子
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第8章 晶体结构的几何理论
⑶ 各晶系单位平行六面体的形状
⑤ 三斜晶系 a≠b≠c α≠β≠γ≠90°
第8章 晶体结构的几何理论
⑵单位平行六面体参数
单位平行六面体的棱长a，b，c和棱的交角α、 β、 γ称为单位平行六面体参数。
α：c ∧ b β：c ∧ Байду номын сангаас γ：a ∧ b
c
βα b aγ
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第8章 晶体结构的几何理论
三方菱面体格子 α=90°时，可划分成立方原始格子。 α=109°28′16″时，可划分成立方体心格子。 α=60°时，可划分成立方面心格子。
90°
109°28′16″
60°
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第8章 晶体结构的几何理论
⑷ 单位平行六面体中的结点分布
第8章 晶体结构的几何理论
⑶ 各晶系单位平行六面体的形状
⑦ 三方晶系 a=b=c； α=β=γ≠90° ≠ 60° ≠109°28′16″
c
γ
a
b
βα
菱面体格子
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第8章 晶体结构的几何理论
⑶ 各晶系单位平行六面体的形状
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第8章 晶体结构的几何理论
⑴ 单位平行六面体的划分
• 划分原则
① 所选取的单位平行六面体应能够反应格子构造 中结点分布的固有对称性。
② 在满足①的前提下，棱与棱之间的直角最多。
③ 在满足①②的前提下，体积最小。
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