晶体构造的几何理论
第二章 晶体学基本理论
2.7.1 倒易点阵定义
倒易点阵： 是用 a*. b*和c*基矢量描述的三维空间，与a.b.c描
述的正空间互为倒易
倒易点阵满足 a*b=a*c=b*a=b*c=c*.a=c*.b=0---(1) a*a = b*b = c*.c =1--- (2)
第四十二页，共55页
2.7.1 倒易点阵定义
这些空间位向性质完全相同的晶面属于同族等同晶 面，用{hkl}表示
例如：立方晶系中
{ 1 0 0 } ( 1 0 0 ) ( 0 1 0 ) ( 0 0 1 )
{ 1 1 1 } ( 1 1 1 ) ( 1 1 1 ) ( 1 1 1 ) ( 1 1 1 )
第二十八页，共55页
晶向指数的确定
由原点o指向任意一个倒易结点所连接的矢量hakblchkl为整数倒易矢量的方向垂直正点阵的hkl面或平行于晶面的法线hkl晶体点阵经过倒易变换建立相应的倒易点阵晶体中的晶面与其对应倒易点阵结点的关系立方晶系倒易点阵示意图立方晶系倒易点阵100110010001011021020120121101102uvw倒易结点的指数用它所代表的晶面的面指数表示272倒易点阵的性质则正点阵中的晶面在倒易点阵中可以用一个倒易结点表示273倒易点阵的几何意义正点阵中的一组平行晶面hkl相当于倒易点阵中的一个该组晶面间距的倒数
上还有一个阵点，
阵点坐标 000 ， 110,101,011
22 2 2 22
第十七页，共55页
强调：晶体结构和空间点阵的区别
空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以 描述和分析晶体结构的周期性和对称性，由于各阵点 的周围环境相同，它只能有14中类型
晶体结构是晶体中实际质点（原子、离子或 分子）的具体排列情况，它们能组成各种类型的 排列，实际存在的晶体结构是无限的
简述晶体结构与空间点阵之间的关系
简述晶体结构与空间点阵之间的关系晶体结构是指由原子、离子或分子按照一定的规律排列而形成的固体结构。
而空间点阵则是描述晶体结构的数学模型，用来表示晶体中原子、离子或分子的排列方式和间距。
晶体结构与空间点阵之间存在着密切的关系，下面将从晶体结构和空间点阵的定义、表示方法以及它们之间的关系三个方面来进行阐述。
一、晶体结构的定义和表示方法晶体结构是指由原子、离子或分子按照一定的规律排列而形成的固体结构。
在晶体中，原子、离子或分子之间的排列方式是非常有序的，各个粒子之间有着固定的位置关系和间距。
晶体结构可以通过实验方法如X射线衍射等来确定，也可以通过理论计算和模拟方法来推测。
晶体结构的表示方法主要有两种，一种是晶体结构的几何图形表示，另一种是用数学模型表示。
几何图形表示主要通过晶体的晶面、晶胞和晶格来描述晶体的结构。
晶面是晶体表面上的一个平面，晶胞是晶体中的最小重复单元，晶格是由相邻晶胞的重复堆积形成的一个无限延伸的空间网格。
数学模型表示主要是通过空间点阵来描述晶体的结构。
二、空间点阵的定义和表示方法空间点阵是一种数学模型，用来描述晶体中原子、离子或分子的排列方式和间距。
空间点阵是由一系列的基矢量和晶胞参数来表示的。
基矢量是一组线性无关的矢量，它们的线性组合可以表示出空间中的任意矢量。
晶胞参数包括晶胞的长度、角度和对称操作元素等。
空间点阵可以分为离散点阵和连续点阵两种。
离散点阵是指晶体中的原子、离子或分子按照一定的规律在空间中离散排列的情况，如简单立方晶体、体心立方晶体和面心立方晶体等。
连续点阵是指晶体中的原子、离子或分子在空间中连续排列的情况，如钻石晶体和金属晶体等。
三、晶体结构与空间点阵的关系晶体结构与空间点阵之间存在着密切的关系。
晶体结构可以通过空间点阵来描述和表示。
在晶体中，原子、离子或分子按照一定的规律排列，形成了一种具有周期性的结构。
这种周期性的结构可以通过空间点阵的平移操作来表示，即晶体结构是由空间点阵的平移操作所生成的。
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第一章晶体几何根底1-1 解释概念：等同点：晶体结构中，在同一取向上几何环境和物质环境皆相同的点。
空间点阵：概括地表示晶体结构中等同点排列规律的几何图形。
结点：空间点阵中的点称为结点。
晶体：内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体。
对称：物体相同局部作有规律的重复。
对称型：晶体结构中所有点对称要素〔对称面、对称中心、对称轴和旋转反伸轴〕的集合为对称型，也称点群。
晶类：将对称型相同的晶体归为一类，称为晶类。
晶体定向：为了用数字表示晶体中点、线、面的相对位置，在晶体中引入一个坐标系统的过程。
空间群：是指一个晶体结构中所有对称要素的集合。
布拉菲格子：是指法国学者 A. 布拉菲根据晶体结构的最高点群和平移群对称及空间格子的平行六面体原那么，将所有晶体结构的空间点阵划分成 14 种类型的空间格子。
晶胞：能够反响晶体结构特征的最小单位。
晶胞参数：表示晶胞的形状和大小的 6 个参数〔 a、b、 c、α 、β、γ〕.1-2 晶体结构的两个根本特征是什么？哪种几何图形可表示晶体的根本特征？解答：⑴晶体结构的根本特征：① 晶体是内部质点在三维空间作周期性重复排列的固体。
② 晶体的内部质点呈对称分布，即晶体具有对称性。
⑵ 14 种布拉菲格子的平行六面体单位格子可以表示晶体的根本特征。
1-3 晶体中有哪些对称要素，用国际符号表示。
解答：对称面— m，对称中心— 1，n 次对称轴— n，n 次旋转反伸轴— n螺旋轴— ns ，滑移面— a、b、c、d1-5 一个四方晶系的晶面，其上的截距分别为3a、4a、6c，求该晶面的晶面指数。
解答：在 X、Y、 Z 轴上的截距系数： 3、4、6。
截距系数的倒数比为： 1/3:1/4:1/6=4:3:2晶面指数为：〔432〕补充：晶体的根本性质是什么？与其内部结构有什么关系？解答：① 自限性：晶体的多面体形态是其格子构造在外形上的反映。
②均一性和异向性：均一性是由于内部质点周期性重复排列，晶体中的任何一局部在结构上是相同的。
第2章 晶体结构
A4
B4
A4′
A1
B1
A1′
A B AB
A3
A2
B2
B3
A3′
A2′
P1
E1
ED P2
ED
P1、P2是对称面，AD不是 24
注意：晶体可以没有对称面， 也可以有一个或几个P，但 最多有9个，有n个对称面记 为nP。
三角形有1P
(2)因为晶体外形为有限、封闭凸多多面体，晶体的 宏观对称性还有以下特点：(1)不存在平移对称性，(2)如 果同时包含几种宏观对称要素，它们必定交于一点。
31
2.1.2.4 晶体的对称型与晶体分类
(1) 对称(类)型(点群)
对称型：一个晶体中全部宏观对称要素的组合。
特点：①它包含了晶体中全部对称要素的总和以及它们
但由于提高了轴次，一般用（L3+P）代替它。
27
Li1=C
Li2=P
Li3= L3+C
Li4(独立)
Li6=L3+P
对称反轴示意图
28
四次对称反轴 L4i
L4i
A
B
C
D
29
六次对称反轴
L6i
L 6i
三方柱
30
小结： (1)晶体宏观对称性只包含8种独立对称要素：
L1、L2、L3、L4、L6 、P、C、 Li4
33
32个点群的意义在于不管晶体形状如何多 样复杂，但它的宏观对称性必属于32个点群中 的某一个，绝不会找不到它的对称类型。 32个 点群是研究晶体宏观对称性的依据，也是晶体 宏观对称性可靠性的系统总结。
3.晶体理论简述
α =β =γ = 900 α =β =γ ≠ 900 α =β =γ = 900 α =β = 900, γ = 1200 α =β =γ = 900 α =γ = 900, β ≠ 900 α ≠ β ≠ γ ≠ 900
晶体实例 NaCl Al2O3 SnO2 AgI HgCl2 KClO3 CuSO4· 5H2O
（1）热缺陷 ）
定义: 定义 热缺陷是指由热起伏的原因所产生的 空位或间隙质点（原子或离子）。 空位或间隙质点（原子或离子）。 类型: 类型 弗仑克尔缺陷和肖特基缺陷 热缺陷浓度与温度的关系: 温度升高时， 热缺陷浓度与温度的关系 温度升高时，热 缺陷浓度增加
（a）弗仑克尔缺陷的形成 ） 空位与间隙质点成对出现） （空位与间隙质点成对出现）
（４）
体缺陷
体 缺 陷： 由点缺陷或面缺陷造成在 完整的晶格中可能存在着空洞或夹杂有包 裹物等,使晶体内部的空间晶格结构整体 裹物等 使晶体内部的空间晶格结构整体 上出现了一定形式的缺陷。 上出现了一定形式的缺陷。
２、按缺陷产生的原因分类
1. 热缺陷 2. 杂质缺陷 3. 非化学计量缺陷 4. 其它原因，如电荷缺陷，辐照缺陷等 其它原因，如电荷缺陷，
（１）点缺陷：晶格结点粒子发生局部 点缺陷： 错乱的现象。 错乱的现象。 按引起点缺陷的粒子不同，可分为： 按引起点缺陷的粒子不同，可分为： 错位粒子、间隙粒子、替位粒子和空位。 错位粒子、间隙粒子、替位粒子和空位。 点缺陷与材料的电学性质、光学性质、 点缺陷与材料的电学性质、光学性质、 材料的高温动力学过程等有关。 材料的高温动力学过程等有关。
（b）单质中的肖特基缺陷的形成 ） 只有空位） （只有空位）
热缺陷产生示意图
（2）杂质缺陷 ）
晶体结构——精选推荐
第七章晶体结构第一节晶体的点阵结构一、晶体及其特性晶体是原子（离子、分子）或基团（分子片段）在空间按一定规律周期性重复地排列构成的固体物质。
晶体中原子或基团的排列具有三维空间的周期性，这是晶体结构的最基本的特征，它使晶体具有下列共同的性质：(1)自发的形成多面体外形晶体在生长过程中自发的形成晶面，晶面相交成为晶棱，晶棱会聚成顶点，从而出现具有几何多面体外形的特点。
晶体在理想环境中应长成凸多面体。
其晶面数（F）、晶棱数（E）、顶点数（V）相互之间的关系符合公式：F+V=E+2 八面体有8个面，12条棱，6个顶点，并且在晶体形成过程中，各晶面生长的速度是不同的，这对晶体的多面体外形有很大影响：生长速度快的晶面在晶体生长的时候，相对变小，甚至消失，生长速度小的晶面在晶体生长过程中相对增大。
这就是布拉维法则。
(2)均匀性：晶体中原子周期性的排布，由于周期极小，故一块晶体各部分的宏观性质完全相同。
如密度、化学组成等。
(3)各向异性：由于晶体内部三维的结构基元在不同方向上原子、分子的排列与取向不同，故晶体在不同方向的性质各不相同。
如石墨晶体在与它的层状结构中各层相平行方向上的电导率约为与各层相垂直方向上电导率的410倍。
(4)晶体有明显确定的熔点二、晶体的同素异构由于形成环境不同，同一种原子或基团形成的晶体，可能存在不同的晶体结构，这种现象称为晶体的同素异构。
如：金刚石、石墨和C60是碳的同素异形体。
三、晶体的点阵结构理论1、基本概念（1）点阵：伸展的聚乙烯分子具有一维周期性，重复单位为2个C原子，4个H 原子。
如果我们不管其重复单位的内容，将它抽象成几何学上的点，那么这些点在空间的排布就能表示晶体结构中原子的排布规律。
这些没有大小、没有质量、不可分辨的点在空间排布形成的图形称为点阵。
构成点阵的点称为点阵点。
点阵点所代表的重复单位的具体内容称为结构基元。
用点阵来研究晶体的几何结构的理论称为点阵理论。
（2）直线点阵：根据晶体结构的周期性，将沿着晶棱方向周期的重复排列的结构单元，抽象出一组分布在同一直线上等距离的点列，称直线点阵。
晶体结构
第五章 晶体结构安徽师范大学化学与材料科学学院§51晶体的点阵理论晶体具有按一定几何规律排列的内部结构，即晶 体由原子(离子、原子团或离子团)近似无限地、在三 维空间周期性地呈重复排列而成。
这种结构上的长 程有序，是晶体与气体、液体以及非晶态固体的本 质区别。
晶体的内部结构称为晶体结构。
1. 晶体的结构特征(1)均匀性(2) 各向异性(3) 自发形成多面体外形(4) 具有确定的熔点(5) 对称性(6) X射线衍射2.周期性下面两个图形均表现出周期性：沿直线方向，每 隔相同的距离，就会出现相同的图案。
如果在图形 中划出一个最小的重复单位（阴影部分所示），通 过平移，将该单位沿直线向两端周期性重复排列， 就构成了上面的图形。
最小重复单位的选择不是唯一的，例如，在图(a) 中，下面任何一个图案都可以作为最小的重复单位。
点的位置可以任意指定，可以在单位中或边缘的任 何位置，但一旦指定后，每个单位中的点的位置必须 相同。
如，不论点的位置如何选取，最后得到的一组点在空间 的取向以及相邻点的间距不会发生变化。
3.结构基元在晶体中，原子(离子、原子团或离子团)周期性地重 复排列。
上面我们在图形找出了最小的重复单位，类似 的，可以在晶体中划出结构基元。
结构基元是指晶体中 能够通过平移在空间重复排列的基本结构单位。
【例1】一维实例：在直线上等间距排列的原子。
一个原子组成一个结构基元，它同时也是基本的化学组成单位。
结构基元必须满足如下四个条件：化学组成相同；空间结构相 同；排列取向相同；周围环境相同。
【例2】一维实例：在伸展的聚乙烯链中，CH2CH2组成一个 结构基元，而不是CH2。
【例3】二维实例：层状石墨分子，其结构基元由两个C原子组 成(相邻的2个C原子的周围环境不同)。
结构基元可以有不同的选法，但其中的原子种类和数目应保 持不变。
X射线晶体学 第2章 XRD几何理论 图文
1 晶体几何学
描述晶体物质结构特征需要引入描述晶体结构结构的方 法-空间点阵。为了解释晶体的衍射现象，还需要从实 际晶体点阵中抽象出倒易点阵的概念。
1.1晶体结构
晶胞是组成晶体的最小结构单元，可以抽象为空间点阵。 晶体同时具有周期性和对称性。 根据晶体结构的对称性，晶体结构可分为7大晶系，14
晶面间距与X射线衍射峰的位置密切相关，是用XX射 线衍射数据分析经常用到的。
4.晶带
在晶体中，可将平行于同一晶向[uvw]的所有晶面(hkl) 称为一个晶带，此晶向称为 晶带轴。
组成晶带的各晶面又称为共带面。例如正交晶系的 （100)、（010)、（110)、 (120)…晶面构成一晶带， [001]就是它们的晶带轴。
• 在一个晶胞中同属于某一晶面族的等效 晶面数目，称为多重性 因子。与晶面 （hkl)相同指数的晶向[hkl]，此方向即为 该晶面的法线方向。
立方系中几个主要的晶面和晶向
六方系中几个主要的晶面和晶向
(3)晶面间距
一组指数为（hkl)的晶面是以等间距排列的，称这个间 距为晶面间距，用dhkl或简写 或d来表示,d和（hkl)的关 系式由晶系决定。各晶系的晶面间距公式如下：
种布拉菲点阵类型，230空间点群。 晶体结构参数主要包括：晶向指数、晶面指数、晶系及
晶带等。
1.点阵与晶胞
晶体是由原子在三维空间中周期性排列而构 成的固 体物质。晶体物质在空间分布的这种周期 性，可用 空间点阵结点的分布规律来表示。
空间点阵的结点是晶体中具有完全相同的周围环境， 并且具有完全相同物质内容的等同点。
根据晶带的定义，方向[uvw]与平面(hkl)平行,而方向 [hkl]又是平面(hkl)的法线， 因此方向[uvw]与方向[hkl] 互相垂直，由此可得到晶带定律的表达式，即
晶体结构
§3 晶体结构一、晶体与非晶体1、晶体的特征：⑴有一定的几何外形，非晶体如玻璃等又称无定形体；⑵有固定的熔点；⑶各向异性：晶体在不同方向上表现出不同的物理性质。
一块晶体的某些性质，如光学性质、力学性质、导电导热性质、机械强度等，从晶体的不同方向去测定，常不同。
⑷晶体具有平移对称性：在晶体的微观空间中，原子呈现周期性的整齐排列。
对于理想的完美晶体，这种周期性是单调的，不变的，这是晶体的普遍特征，叫做平移对称性。
⑸自范性：在适宜条件下，晶体能够自发地呈现封闭的、规则的多面体外形。
2、晶体的内部结构⑴晶格：把晶体中规则排列的微粒抽象成几何学中的点，并称为结点。
这些点的结合称为点阵，沿着一定的方向按某种规则把结点连结起来，则得到描述各种晶体内部结构的几何图像——晶体的空间格子，称为晶格。
⑵晶胞：在晶格中，能表现出其结构的一切特征的最小部分称为晶胞。
（晶体中最有代表性的重复单位）⑶晶胞基本特征：晶胞有二个要素：①是晶胞的大小、型式，②是晶胞的内容。
晶胞的大小、型式由a、b、c三个晶轴及它们间的夹角α.β.γ所确定。
晶胞的内容由组成晶胞的原子或分子及它们在晶胞中的位置所决定。
3、单晶体和多晶体⑴单晶体——由一个晶核（微小的晶体）各向均匀生成而成，其内部的粒子基本上按某种规律整齐排列。
如冰糖、单晶硅等。
⑵多晶体——由很多单晶体杂乱聚结而成，失去了各二、离子晶体及其性质1、离子晶体的特征和性质⑴由阳离子和阴离子通过静电引力结合成的晶体——离子晶体。
⑵性质：静电作用力较大，故一般熔点较高，硬度较大、难挥发，但质脆，一般易溶于水，其水溶液或熔融态能导电。
2、离子键⑴定义：阳离子和阴离子通过静电作用形成的化学键。
⑵离子键的形成条件：元素的电负性差要比较大。
⑶离子键的本质特征：是①静电作用力，②没有方向性和饱和性。
⑷影响离子键强度的因素①离子电荷数的影响。
②离子半径的影响：半径大, 导致离子间距大, 所以作用力小; 相反, 半径小, 则作用力大。
《晶体结构分析》实验
实验一、晶体结构分析一一、实验目的掌握14种空间格子的几何特征与球体密堆积理论，了解配位多面体的配置。
二、实验仪器十四种空间点阵结构模型，球形模型三、实验内容1．了解14种空间格子的几何形态，分析空间格子类型；2．熟悉密堆积理论，注意观察球体堆积时，周围空隙的类型、位置与数量情况；3．了解几种配位多面体的配置情况。
四、实验方法1．观察14种空间格子模型表征14种空间格子，用晶格常数α、β、γ和a、b、c；并判断其所属晶系。
2．观察球体密堆积模型用球体模型进行面心立方紧密堆积、六方紧密堆积和体心立方近似密堆积，分析球体周围空隙的类型、数目和位置分布。
观察分析面心立方紧密堆积、六方紧密堆积和体心立方近似密堆积的单位晶胞，注意其四、八面体空隙分布，判断其数量。
3．观察配位多面体模型模型五、实验报告1．绘制14种空间格子的几何形态，并用注明晶格常数的形式表示出所有14种空间格子；2．分析三种常见的球体堆积情况，绘制出其单位晶胞，画出其（111）、（110）（100）晶面原子排布图[ 密排六方需画出（0001）晶面 ]；3．分析体心立方与面心立方单位晶胞中四、八面体空隙的位置分布与数量，并绘图；4．对不同配位多面体绘图，讨论其临界半径比。
（注：在预习报告中要将14种空间格子的几何图形画好）六、思考题面心立方结构中四面体空隙的数目有几个？他们都是如何分布的？八面体空隙有几个？如何分布？实验二、典型晶体结构分析一、实验目的掌握几种典型矿物的结构，了解晶胞的几何特征。
二、实验仪器晶体结构模型，球和短棒三、实验内容1．对照实际具体结构模型，熟悉金刚石、石墨、氯化钠、氯化铯、闪锌矿、纤锌矿、金红石、碘化镉、萤石、钙钛矿、尖晶石的晶体结构特征；2．观察层状和架状硅酸盐矿物的晶体结构模型的特点，注意观察高岭土、方石英的结构；3．标定萤石模型中所有质点的几何位置；4．组装一个晶体结构模型。
四、实验方法1．分析晶胞模型金刚石、石墨、氯化钠、氯化铯、闪锌矿、纤锌矿、金红石、碘化镉、萤石、钙钛矿、尖晶石均为一个单位晶胞，通过一个单位晶胞，分析晶胞所属空间格子类型及正负离子或原子所处的空间位置，对照模型，分析正负离子的配位数。
晶体结构与晶体化学晶体几何学理论基础
1.1.2 空间点阵
在图3.1的单位平移中，有两个最短的矢量，如图3.2所示。原点的选择是任意 的，任何图案的平移对称都可从图形的一点开始描述。如将图案抽象成一个点， 通过上述的一套平移对称操作即可得到一套平面上点的集合，称为网格或二维 点阵（图3.3）。在空间三维情况下，称作空间格子或空间点阵，点阵中的每个 点称为结点或点阵点。
晶体几何学理论基础
对称性是一种规律的重复，具有变化中的不变性，是自 然科学中一个重要的基本概念。晶体就是指原子或分子 在空间按一定规律重复排列构成的固体物质。晶体结构 的基本特征是其中的质点在三维空间作规律的重复排列。 晶体结构研究的就是揭示晶体内部原子和分子在空间排 列上的对称规律，这种规律只有在晶体结构中每个原子 在空间相对位置揭示出来时才能得到完整证明。
基本图案可以先旋转后反伸，也可以先反伸后旋转。其中1相当于i（反伸中心）， 2相当于m）（对称面），3相当于3次轴加反伸中心，6相当于3次轴加对称面， 因此只有4是具有多利意义的旋转反伸轴。
2.点群 2.1 点对称要素 晶体外形上可能出现的对称要素称为点对称要素，包括对称中心、对称面、旋转轴 及旋转反伸轴。这些对称要素的特点是在进行对称操作过程中至少有一点是不动的。 二维空间的对称要素有：旋转点，2、3、4、6次轴；反映线，m。 三维空间的对称要素：旋转轴，2、3、4、6次轴；反伸（对称）中心，i；镜（对称） 面，m；旋转倒反轴，1、2、3、4、6。
1、对称操作 晶体学中的对称图形是通过对称操作来表征的。 对称操作 周期平移对称操作（晶体中） 有公度的
无公度的 准周期平移对称操作（准晶体中） 严格自相似准周期
点对称操作
旋转 反映 反伸
统计自相似准周期
1.1 平移
结晶学 第二章 晶体构造理论
25
十四种布拉菲格子
立方晶系：简单立方、面心立方、体心立方 四方晶系：简单立方、体心立方 正交晶系：简单正交、面心正交、体心正交、 底心正交 三方晶系：简单三方 单斜晶系：简单单斜、底心单斜 三斜晶系：简单三斜 六方晶系：体心六方
26
三维布拉菲格子汇总表格
简单P 立方 四方 正交 三方 六方 单斜 三斜 体心I 面心F ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ 底心C ？ ？ ？
三方R
19
(5)单斜晶系 a≠b≠c
α=γ=90°≠β
C.P
单斜P
单斜C
20
(6)三斜晶系
a≠b≠c α≠β≠γ≠90° P
三斜P
21
(7)六方(六角)晶系 a=b≠c
α=β=90° γ=120° P(C)
六方P or C
本次课带14种布氏格子！
22
23
24
§2.2 布拉菲格子
目前格子划分方法已形成广泛的共识（三原则）： ①首先，所选取单位的外形应能尽量反映点阵的对称性； (对称性高) ②之后，使所选单位各棱(边)间夹角尽可能等于直角； (多直角) ③最后，所选单位占空间最小；(空间小) 如此选择单位而确立的格子，称作布拉菲在格子的。
12
1) 所选取的平行六面体的外形应能充分反映空间点 阵的对称性；(对称性高) 2)在满足1)条件下，应使平行六面体中的各个棱间 夹角尽可能等于直角；(多直角) 3)在满足1)2)条件下，平行六面体的体积最小；
图2.2.1 平面点阵中的平行四边形
13
空间平行六面体六个参数的定义
14
七个晶系的划分
11
2.2 十四种空间点阵形式
为了比较和研究点阵形式方便，一般情况 只需研究点阵中的一个空间格子中结点的分布 方式就可以了。 由于对同一空间点阵，划分空间格子的方 式是多种多样的。为使点阵和点阵中选取的格 子之间具有一一对应的关系，人们对在点阵中 选择的单位平行六面体格子作了一些规定。 ** 三条规定
晶体学基础PPT课件
➢ 复单位：即每一个格 子单位分摊到一个以 上的点阵点。
点阵
图1-4 平面点阵单位 上图所示，平行四边形I和II都 只分摊到一个点阵点，故它们 都是单位格子；平行四边形III 分摊到两个点阵点，故它是复 单位。
点阵
3.三维点阵(空间点阵)
➢分布在三维空间的点阵叫空间点阵。 ➢空间点阵对应的平移群可用下式表示：
T m n m p n a p b ,m c ,n ,p 0 , 1 , 2 (1 .
图1-5 空间点阵单位
点阵
➢空间格子：空间点阵按确定的 平行六面体单位划分后所形成 的格子称为空间格子 。
➢基本单位：每个平行六面体格 子单位只分摊到1个点阵点， 称为空间点阵的基本单位 。
我们把所有阵点可用位矢(1.1)、(1.2)或(1.3) 来描述的点阵称为布拉菲点阵。
➢ 点阵的这两条基本性质也正是判断一组点是否 为点阵的依据。
点阵
三.直线点阵、平面点阵与空间点阵
点阵和平移群
➢ 能使一个点阵复原的全部平移矢量组成 的一个平移群(它符合数学上群的定义) 称为该点阵对应的平移群。
➢ 点阵和平移群有一一对应的关系。一个 点阵所对应的平移群能够反映出该点阵 的全部特征。
第一章 晶体学基础
内容提要
晶体的基本性质 晶体结构几何理论的历史发展简况 点阵 平面点阵与空间点阵的性质 晶体的点阵结构 晶胞 典型晶体结构举例 晶向指数与面指数 晶体结构的对称性
第一节 晶体的基本性质
一.晶体与非晶体在宏观性质上的区别
➢晶体具有固定的外形，各向异性，固定 的熔点。 • 微细单晶体的集合体，称为多晶体 • 取向杂乱的单晶体集合成的多晶体， 显示出各向同性 • 择优取向的多晶体呈现出各向异性
结晶学中的一些概念
结晶学中的一些概念晶体：晶体是具有格子构造的固体空间格子几种要素：结点、行列、面网、平行六面体结点：是空间格子中的点行列：结点在直线上的排列即构成行列面网：结点在平面上的分布即构成面网平行六面体：从三维空间来看，空间格子可以划出一个最小重复单位晶体的基本性质：自限性、均一性、异向性、对称性、最小内能、稳定性结晶学的主要研究内容：晶体生长学、几何结晶学、晶体结构学和晶体化学、晶体物理学晶体形成的方式：由液相转变为固相、由气相转变为固相、由固相再结晶为固相同质多象转变：指某种晶体，在热力学条件改变时转变为另一种在新条件下稳定的晶体。
它们在转变前后的成分相同，但晶体结构不同。
布拉维法则：实际晶体的晶面常常平行网面结点密度最大的面网。
居里—吴里夫原理：晶体生长的平衡形态应具有最小表面能。
周期键链(PBC)理论：晶体平行键链生长，键力最强的方向生长最快。
F面：又称平坦面，有两个以上的PBC与之平行，面网密度最大，质点结合到F面上去时，只形成一个强健，晶面生长速度慢，易形成晶体的主要面。
S面：或称阶梯面，只有一个PBC与之平行，面网密度中等，质点结合到S面上去时，形成的强健至少比F面多一个，晶面生长速度中等。
K面：或称扭折面，不平行任何PBC，面网密度小，扭折处的法线方向与PBC一致，质点极易从扭折处进入晶面，晶面生长速度快，是易消失的晶面。
影响晶体生长的外部因素：涡流、温度、杂质、粘度、结晶速度、生长顺序与生长空间、应力作用标型特征：同一种矿物的天然晶体于不同的地质条件下形成时，在形态上、物理性质上部可能显示不同的特征，这些特征标志着晶体的生长环境。
蚀像：晶面溶解时，将首先在一些薄弱地方溶解出小凹坑。
人工合成晶体方法：水热法提拉法焰熔法面角守恒定律：同种物质的晶体，其对应晶面间的角度守恒面角：为了便于投影和运算，一般所测的角度，不是晶面的夹角，而是晶面的法线间角(晶面夹角的补角)晶体的对称是取决于它内在的格子构造对称:对称就是物体相同部分有规律的重复晶体对称的特点:1)所有的晶体都具有对称性。
固体物理学晶体的结构、性质和能带理论
§1.2 晶体的周期性
一、空间点阵学说 1.空间点阵
为了描述晶体结构的周期性，布拉菲在1848年提 出空间点阵学说，从而奠定了晶体结构几何理论的 基础。
按照空间点阵学说，晶体内部结构是由一些相同 的点子在空间规则地作周期性无限分布所构成的系 统，这些点子的总体称为点阵。
描述晶体结构的空间点阵，可以通过点子的平移 而得到。
实验表明：在晶体中尺寸为微米量级的小晶粒内 部，原子的排列是有序的。在晶体内部呈现的这种 原子的有序排列，称为长程有序。
长程有序是所有晶体材料都具有的共同特征，这 一特性导致晶体在熔化过程中具有一定的熔点。
晶体分为单晶体和多晶体。
* 单晶体( Single Crystal )
单晶体是个凸多面体，围成这个凸多面体的面是 光滑的，称为晶面。
在单晶体内部，原子都是规则地排列的。
* 多晶体( Multiple Crystal )
由许多小单晶(晶粒)构成的晶体，称为多晶体。 多晶体仅在各晶粒内原子才有序排列，不同晶粒内 的原子排列是不同的。
晶面的大小和形状受晶体生长条件的影响，它们 不是晶体品种的特征因素。
例如，岩盐（氯化钠）晶体的外形可以是立方体 或八面体，也可能是立方和八面的混合体，如图所 示。
（a）立方体 （b）八面体
(c) 立方和八面混合体
2.解理(Cleavage)
晶体具有沿某一个或数个晶面发生劈裂的特征， 这种特征称为晶体的解理。解理的晶面，称为解理 面。
解理面通常是那些面与面之间原子结合比较脆弱 的晶面。
有些晶体的解理性比较明显，例如，NaCl晶体等， 它们的解理面常显现为晶体外观的表面。
4.最小内能性
由同一种化学成分构成的物质，在不同的条件下 可以呈现不同的物相，其相应的结合能或系统的内 能也必不相同。
结晶学与矿物学重点
结晶学第一讲：绪论及晶体的形成结晶学：是以晶体为研究对象，以晶体的生成和变化、晶体外部形态的几何性质、晶体的内部结构、化学组成和物理性质及其相互关系为研究内容的一门自然学科。
1) 晶体、格子构造、空间格子、相当点；它们之间的关系。
晶体：定义：晶体是具有格子构造内部，质点在三维空间作平移周期重复（本质）的固体。
准晶体：排列是有规律的重复，但不具有周期性和格子构造。
空间格子是表示这种重复规律的几何图形。
首先在晶体结构中找出相当点，再将相当点按照一定的规律连接起来就形成了空间格子。
相当点（两个条件：1、性质相同，2、周围环境相同。
）平行六面体是三维空间内空间格子可以划出一个最小重复单位，由六个两两平行而且相等的面织成。
2) 结点、行列、面网、平行六面体; 结点间距、面网间距与面网密度的关系. 结点是空间格子中的点，它们代表晶体结构中的相当点。
它们只有几何意义，为几何点。
行列：由结点在直线上的排列构成。
行列中相邻结点间的距离称为该行列的结点间距。
结点在平面上的分布即构成面网。
面网上单位面积内结点的密度称为网面密度，与面网间距成正比。
实际晶体结构中所划分出的这样的相应的单位，称为晶胞(晶胞参数：a, b, c; α,β,γ ,也称为轴长与轴角）。
晶胞的形状与大小，则取决于它的三个披此相交的棱的长度。
3）晶体的基本性质：自限性、均一性、异向性、对称性、最小内能、稳定性，并解释为什么。
均一性与异向性有矛盾吗：没有。
均一性是晶体格子整体的性质，异向性是格子构造中不同行列各结点排列的性质。
4) 晶体的生长途径及生长理论（层生长理论、螺旋生长理论）。
生长途径：1由液相转变为固相(1)从熔体中结晶(2)从溶液中结晶2由气相转变为固相3由固相再结晶为固相(1)同质多象转变(2)原矿物晶粒逐渐变大(3)固溶体分解(4)变晶(5)由固态非晶质结晶生长理论：层生长理论在理想情况下在晶核基础上生长时，应先生长一条行列，然后生长相邻的行列，在长满一层面网后再开始生长第二层面网，这样晶面一层一层地逐渐向外平行推移，最外层的面网便发育成晶体的晶面。
-晶体结构的几何理论
单位平行六面体是空间格子的最小组成单位。
无数个平行并置的单位平行六面体构成空间格子.
Crystallography
第8章 晶体结构的几何理论
⑴单位平行六面体的划分
Crystallography
⑴单位平行六面体的划分
对于每一种晶体结构而言，其结点的分布是客 观存在的，但平行六面体的选择是人为的。
第8章 晶体结构的几何理论
四 方
C=P
F=I
三 方
与本晶系对称 不符
I=F
F=P
六 方
与本晶系对称 不符
与空间格子 条件不符
与空间格子 条件不符
等 轴
与本晶系对称 不符
Crystallography
十四种空间格子
七个晶系—七套晶体常数—七种平行六面体形状。 每种形状有四种类型，那么就有7×4=28种空间格子？
可以全为正值：1，1，1 也可以有负值：-x，–x， 0
b
0,1,0,
Y
1/2,1/2,0
分数：1/2，1/2，1/2
小数：0.5，0.5，0.5 例：金红石中x＝0.33
Crystallography
X
1,0,0,
第8章 晶体结构的几何理论
③行列（晶向）符号(Crystal directions) 表示行列方向的符号，[x y z]
2hkabc2(cosαcosβ-cosγ)+2kla2bc(cosβcosγ-
cosα)+2hlab2c(cosαcosγ-cosβ)]-1/2
其中V＝abc(1-cos2α-cos2β-cos2γ+2cosαcosβcosγ)1/2
第8章 晶体结构的几何理论
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同于对应的单位平行六面体参数。
▪一般未加说明的晶胞一词是指单位晶胞。
例如：NaCl晶体的晶胞，对应的是立方面心格子， a=b=c=0.5628nm，α=β=γ=90°。许许多多该晶 胞在三维空间无间隙的排列就构成了NaCl晶体。（一 个晶胞含有4个NaCl分子）
例如，下图为具有L44P的平面格子。显然，4、5、6 与对称不符，3的轮廓虽然符合对称性，但结合其内 部结点的分布一起来考虑时，就与对称不符了。在1 和2中，则以1的面积最小，故应选1作为基本单位。
平行六面体的三根棱长a、b、c及其夹角α、 β、γ是表示它本身的形状、大小的一组参数， 称为单位平行六面体参数或格子常数。
四方体心格子
三
方
与本晶系
晶 系
对称不符
三方菱面体格子(标记为R)
三 、 六 方 晶 系
六方和三方原始格子
不符合六 方对称
等 轴
与本晶系
晶 系
对称不符
立方原始格子
I＝R 与空间格子 条件不符
立方体心格子
F＝I
F胞的概念
▪晶胞：是指晶体结构中的平行六面体单位，
代表格子类型（P、C、I、F）。后一部分与对称型国际符
号基本相同，只是将宏观对称要素符号换成相应的内部结 构对称要素的符号。
Cl－ Na＋
Cl- Na+
三、晶体内部构造的对称要素
❖晶体内部构造的对称属于微观的无限图形的对称， 不同于晶体外形的对称，外形的对称取决于内部构造 的对称，而且是宏观的有限图形的对称。
晶体的微观对称的主要特点如下： ⑴在晶体构造中，平行任何一个对称要素都有无穷多 的和它相同的对称要素。
⑵在晶体构造中出现了一种在晶体外形上不可能有的 对称操作——平移操作。
2、单位平行六面体的形状和结点分布 各晶系平行六面体的形状
立方格子
四方格子
六方格子
三方菱面体格子
斜方格子
单斜格子
三斜格子
各晶系的格子常数特点
晶系
格子常数特点
等轴晶系
a = b=c
α=β=γ=90°
四方晶系
a = b≠c
α=β=γ=90°
六方和三方晶系 a = b≠c
α=β=90°γ=120°
三方晶系 斜方晶系 单斜晶系
面对称要素
名称
平移格子 对称轴 倒转轴 螺旋轴 对称面 像移面
国际符号
P、C、I、F 1、2、3、4、6 1(C)、2(m)、3(3＋C)、4、6(3＋m) 21、31、32、41、42、43、61、62、63、64、65
m a、b、c、n、d
空间群的国际符号
空间群的国际符号包括两个组成部分。前面的大写字母
上述11种螺旋轴，其旋转方向和平移距离都是以右旋方式为标准的。 若以左旋为标准，其平移距离应为（1-s/n)T。分左、右旋只是为便于 研究和表达。
晶体结构 中所能出 现的螺旋 轴示意图
四、空间群
空间群：晶体内部结构的对称要素的组合。空间 群共有230种。
晶体结构中可能出现的对称要素
类型
平移轴 轴对称要素
中不能存在。
表：十四种布拉维格子
原始格子（P） 底心格子（C） 体心格子（I）
三 斜
C＝P
I＝P
晶
系
三斜原始格子
面心格子（F） F＝P
单 斜 晶 系
单斜原始格子
单斜底心格子
I＝C
F＝C
斜 方 晶 系
斜方原始格子
斜方底心格子
斜方体心格子
斜方面心格子
续表：十四种布拉维格子
四 方 晶 系
四方原始格子
C＝P
滑移面可按其平移方向与距离的不同分为轴向 滑移、对角线滑移和金刚石型滑移，共5种滑移 面。见下表。
0
⑶螺旋轴：为一条假想的直线，当图形围绕此直线旋转一 定角度，并沿此直线方向平移一定距离后，可使图形复原。 也可以先平移后旋转。
螺旋轴的国际符号一般写成ns，n为轴次。s为小于n的 自然数。与对称轴一样，n只能为1，2，3，4，6；相应 的基转角α＝360°、180 ° 、120 ° 、90 ° 、60 °。
其形状大小与对应的空间格子中的平行六面体 一致。
▪晶胞与平行六面体的区别：空间格子由晶体
结构抽象而得，空间格子中的平行六面体是由 不具有任何物理、化学特性的几何点构成；而 晶体结构中的晶胞则由实在的具体质点所组成。
▪若晶体结构中划分晶胞的平行六面体单位
是对应空间格子中的单位平行六面体时，这 样的晶胞称为单位晶胞。
a = b=c α=β=γ ≠ 90°、60 °、109 °28′16″ a≠b ≠ c α=β=γ=90° a≠b ≠ c α=γ=90° β＞ 90°
三斜晶系
a ≠ b ≠ c α ≠ β ≠ γ ≠ 90°
3、十四种空间格子
综合考虑平行六面体的形状和结点的分布，空间格子 共有十四种，最初是由布拉维推导出来的，所以称为十四 种布拉维格子。而不是28种，因为有些类型的格子是彼此 重复的，还有一些格子不符合某些晶系的对称而在该晶系
在晶体内部构造中除有其外形上可能出现的那些 对称要素之外，还出现了一些特有对称要素：
⑴平移轴：图形沿一直线方向移动一定距离后， 可使相同部分重复。任何一行列都是平移轴，有 无穷多个。
⑵滑移面（像移面）：是一个假想平面，当图形 对此平面反映，并平行此平面的某一方向移动一 定距离，可使图形的相同部分重复；也可以先平 移后反映，效果相同。
若沿螺旋轴方向的结点间距标记为T，则质点平移距离t 应为（s/n）×T。如21，2为轴次，基转角为180 °，平 移距离t＝1/2T。
螺旋轴据其轴次和平移距离可分为21、31、32、41、42、 43、61、62、63、64、65共11种。一次螺旋轴因s值无意义而 不能成立。 螺旋轴据其旋转方向可有左旋（顺时针旋转）、右旋 （逆时针旋转）和中性（顺、逆时针旋转均可）螺旋轴。 一般规定：当0＜s＜n/2时属右旋(31 、 41 、 61 、 62)； 当n/2＜s＜n时属左旋(32 、 43 、 64 、 65)；s＝n/2时 属中性螺旋轴(21、42、63）。
一、十四种空间格子
1、单位平行六面体的划分原则
⑴所选取的平行六面体应能反映结点分布所固有 的对称性； ⑵在上述前提下，所选取的平行六面体其棱与棱 之间的直角应力求最多； ⑶在遵循上两个条件的前提下，所选取的平行六 面体的体积应最小。
❖实质上与晶体定向的原则一致，即尽量使a＝b＝ c，α＝β＝γ＝90°。