结构力学几何组成分析

体系受到任意荷载
作用，在不考虑材料应
变的前提下，体系若能
保证几何形状、位置不
变，称为几何不变体系
2、刚片：假想的一个在平面内完全不变形的刚性物 体叫作刚片。在平面杆件体系中，一根直杆、折杆 或曲杆都可以视为刚片 ; 并且由这些构件组成的几 何不变体系也可视为刚片。
刚片中任一两点间的距离保持不变，既由刚片中 任意两点间的一条直线的位置可确定刚片中任一点 的位置。所以可由刚片中的一条直线代表刚片。
§2-2 几何不变体系的组成规律
讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。
1. 一个点与一个刚片之间的组成方式 一个点与一个刚片之间用两根链杆相连,且三铰不 在一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。
2. 两个刚片之间的组成方式 两个刚片之间用一个铰和一根链杆相连, 且 三铰不在一直线上,则组成无多余约束的几何 不变体系. 或两个刚片之间用三根链杆相连, 且三根链杆不交于一点,则组成无多余约束的 几何不变体系。
１、研究结构的基本组成规则，用以判定体系是否 可作为结构以及选取结构的合理形式。
２、根据结构的几何组成，选择相应的计算方法和 计算途径。
§2-1 基本概念
1 几何不变体系、几何可变体系
体系受到某种荷载作用，在不考虑材料应变的 前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变，称 为几何可变体系。
FP
FP
FP
超静定结构
二、平面链杆体系的自由度 j=4
b=4+3
Ｗ＝２j－b
Ｗ＝２×４－４－３＝１
j=8
b=12+4
Ｗ＝２×8－12－4＝0
单链杆：连接两个铰结点的链杆。 复链杆：连接两个以上铰结点的链杆。
连接 n个铰结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。
j 7 b 3 3 5 3 14
B
D
F
C
E
几何不变体系
几何瞬变体系
有限交点 无限交点
常变体系 瞬变体系
例 对图示体系作几何组成分析
例 对图示体系作几何组成分析
去二元体
解: 该体系为常变体系.
两个虚铰在无穷远
两个虚铰在无穷远：若组成此两 虚铰的两对链不平行则几何不变； 否则几何可变；
四杆不平行 不变
平行且等长 常变
平行不等长 瞬变
注意作图规范，分析简练准确 下次课 单学号交 再下次 双学号交 依次轮换 每次及时交。 但全体都要及时做，不交的不可不做。
思考：脚手架的构成
例1 1,.3
2.,3 .1,2
例2
.
刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由较（1， 2）（2，3）（1，3）两 两相连，构成无多余约束 几何不变体系。
无多余约束的几何不变体系
几何瞬变体系
W 2 7 14 0
三、混合体系的自由度
W (3m 2 j) (2h b)
四、自由度与几何体系构造特点
m2 j2
W 0 体系几何可变；
h 1 b 8
W 0 体系有多余约束。W (3 2 2 2) (2 1 8) 0
W 0 无多余约束时，体系几何不变；要看约束分布情况
A
D
G
B 1
I
II
EF
23
C 4
刚片IБайду номын сангаасII中各有一个多余约 束，整体为有2个多余约束的 几何不变体系。
哪个连杆是多余约束？
去掉1个固定支座和1个 铰结点后，成为无多余 约束几何不变体系，所 以体系是有5个多余约 束的不变体系。
分析实例 7
A
B
C
D
E
F
1,3
A
A
2,3
2,3
B 1,2 C
D
E
F
1,2 1,3
第二章 平面结构的几何构造分析
概述
平面杆件结构，是由若干根杆件构成的能支承荷载 的平面杆件体系，而任一杆件体系却不一定能作为结构。
本章内容：研究结构的组成规律和合理形式。 前提条件：不考虑结构受力后由于材料的应变而产生 的微小变形，即把组成结构的每根杆件都看作完全不变 形的刚性杆件。
研究体系几何组成的任务和目的：
根链杆的杆轴可以平行、交叉，或延长线交于一点。 当两个刚片是由有交汇点的虚铰相连时，两个刚片绕
该交点（瞬时中心，简称瞬心）作相对转动。 从微小运动角度考虑，虚铰的作用相当于在瞬时中心
的一个实铰的作用。
O . . O’
A
B
C D
8、无穷远处虚较的关系： 1）、每个方向只有一个∞点（即该方向各平行线的交点） 2）、不同方向有不同的∞点 3）、各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线 4）、各有限点都不在∞线上。
(1,2)
1
2
3
5 4
6
(2,3)
1
2
3 (1,2)
(2,3) 5
4
6
1
2
3 (1,3)
4
. (2,3)
5
(1,2)
6
几何瞬变体系
F
G
H 分析实例 6
(1,2)
F
G
H
C
A
E
B
D
(2,3)
C
A
B
D
E
J
K
F
G
H
(1,3)
(2,3)
A
BC D
E
J
K
F
G
(2,3) (1,2)
A
BC D E
无多余约束几何不变体系
G
23
4
铰接三角形ADE、AFG都是无多余约束的几何不变部分，
分别视为刚片I、II，则I与基础通过连杆1、2（构成虚铰B） 相连，II与基础通过连杆3、4（构成虚铰C）相连，I与II通 过铰A相连，如A、B、C不在同一直线，则体系为无多余联 系几何不变体系。否则为几何舜变体系。
作业：2-1（a），2-2（b）
２、复约束 连接３个（含３个）以上物体的约束叫复约束。
１）复链杆：若一个复链杆上连接了Ｎ个结点，则 该复链杆具有(2N-3)个约束，等于(2N-3)个链杆的 作用。 ２）复铰：若一个复铰上连接了Ｎ个刚片，则该复 铰具有2(N-1)个约束，等于(N-1)个单铰的作用。
5、多余约束
在体系上加上或撤除某一约束并不改变原体系的 自由度数，则该约束就是多余约束。
6、瞬变体系 体系在特定位置时是几何可变，离
开此位置，是几何不变。 即在微小荷载作用下发生瞬间的微
小的刚体几何变形，然后成为几何不 变体系。
FP
FP
几何瞬变是几何可变的特例，不可作为结构
FP
FP
FN
FN
FN

FP
2 sin

7、虚（瞬）铰： 虚铰是由不直接相连接的两根链杆构成的。虚铰的两
利用组成规律可以两种方式构造一般的结构： （1）从基础出发构造
（2）从内部刚片出发构造
例1 对下列图示各体系作几何组成分析 (简单规则 的一般应用方法)。
刚片ABC与基础通 过较A、链杆B相 连，成无多余约束 的几何不变部分， 视为I。
I再与刚片II（DEF） 通过1、2、F三个 链杆相连，整个体 系是无多余约束的 几何不变体系。
3. 三个刚片之间的组成方式 三个刚片之间用三个铰两两相连,且三个铰不 在 一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。
三角形规律
II
III
I
II III
I
二元体特性：在体系上加上或拆去一个二元体，不 改变体系原有的组成性质
组成几何不变体系的条件：
• 具有必要的约束数； • 约束布置方式合理
基本规律只是相互之间变相，终归为三角形稳定性
图示，为平面内一根链杆ＡＢ，其一端Ａ和大地相连， 显然相对于大地来说这根链杆在平面内只有一种运动方式 ，即作绕Ａ点转动，所以该体系只有一个自由度。 同时又可看到，用链杆ＡＢ与水平坐标的夹角作为参变量 ，即可表示该体系运动中任一时刻的位置， 表示体系位置的参变量数与体系的自由度数也是相等的。
B
Aα
4、约束概念 当对体系添加了某些装置后，限制了体系的某些
3、自由度
体系可独立运动的方式称为该体系的自由度。 或表示体系位置的独立坐标数。
平面体系的自由度：用以确定平面体系在平面 内位置的独立坐标数。
一个点：在平面内运动完全不受限制的 一个点有２个自由度。
一个刚片：在平面内运动完全不受限制的 片有３个自由度。
一般工程结构是几何不变的，自由度为零，自由度大于 零的是几何可变体系（机械中称为机构）。
例3
.1,2
.
1,3
刚片Ⅰ、Ⅱ由交于一点的 三个链杆相连，成几何瞬 变体系。
2,3
. 2,3
几何瞬变体系
1,3 1,2
分析实例 4
F
D
E
C
A
B
F
D
E
C
A
B
D
E
C
A
B
F
D
E
C
A
B
分析实例 5
1
2
3
5 4
6
1 (1,2)
2 (2,3)
3
5 4
6
1
2
3
5 4
6
1 (1,2)
2
3
(2,3)
5
4
6
分析实例 5
刚片AC、BC、基础， 通过A、B、C三个铰 两两相连，成无多余 联系几何不变体系。
刚片AC与基础通过铰A相连， 刚片AC、BC通过铰C相连， 刚片BC与基础通过连杆B相连， 少一个约束， 整体是几何可变体系。
• 从规律出发，由内及外，内外联合形成整体体系。
B
利用虚铰
C
铰杆代替
A
D 1
I
II
EF
分析实例 2
A
B C D E F 按平面刚片体系计算自由度
W 3m 2h b
I
J
L
m＝9 h＝12 b＝０
G
H
K
W 39 212 3
A
B C DE F
I
G
H
L J
K
A
B C DE F
.(1,2)
L J (2,3) I
(1,3)
G
H
K
作业 2-4（e），2-8，2-10（a）
三个虚铰在无穷远
三个虚铰在无穷远：体系 为可变（三点交在无穷远 的一条直线上）
彼此等长 常变
彼此不等长 瞬变
练习:试分析图示体系的几何组成
§2-3 平面体系的计算自由度 一、平面刚片体系的自由度
W=3m-2h-b
m---刚片数;
h ---单铰数;
b ---链杆及支杆数。
3
6－2×（1）=4 9－2×（2）=5
单铰：连接两个刚片的铰结点。
复铰：连接两个以上刚片的铰结点。相当于（n-1）个单铰。
m＝４ h＝４
１
１ １
１ １
b＝３
２
２
W=3×４－（２×４)－３＝１
m＝7 h＝9 b＝３ Ｗ＝３×７－（２×９）－３＝０
刚片本身不 应包含多余约束
Ｗ=３×1－３＝０
Ｗ＝－３
Ｗ＝３×１－５＝－２
Ｗ＝３×１－３－３＝－３
方向的运动，使体系原有的自由度数减少，就说这 些装置是加在体系上的约束。约束，是能减少体系 自由度数的装置。
连接两个物体（刚片或点）的约束叫单约束。
１）单链杆（链杆） 一根单链杆或一个可动铰（一根支座链杆）
具有１个约束。
２）单铰（下图） 一个单铰或一个固定铰支座（两个支座链杆）
具有两个约束。
３）单刚结点 一个单刚结点或一个固定支座具有３个约束。