2020学年浙南名校联盟第一次联考

2020学年浙南名校联盟第一次联考
一、选择题：每小题4分，共40分
1. 设集合{}13A x x =<<，集合()(){}
120B x x x =+-≤，则A B =（ ）
A ．{}12x x <≤
B ．{}12x x <<
C ．{}13x x -≤<
D ．{}13x x <<
2. 把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1i z =-，则()1i z -⋅=（ ）
A ．1i -
B ．1i +
C ．1i --
D ．1i -+
3. 双曲线22
143y x -=的渐近线方程为（ ）
A
．y x = B
．y = C
．y =
D
．y = 4. 设实数x ，y 满足不等式组1021010x y x y x y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪+-≥⎩
，则2x y -的取值范围（ ）
A ．[]4,2-
B ．[]1,2-
C ．[)1,-+∞
D ．[)2,+∞
5. 设m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则m n ⊥的一个充分不必要条件是（ ） A ．m α⊥，n β∥，αβ⊥ B ．m α⊥，n β⊥，αβ∥
C ．m α⊂，n β∥，αβ⊥
D ．m α⊂，n β⊥，αβ∥
6. 已知0.22a =，2log 0.2b =，0.2log 0.3c =，则（ ）
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
7. 函数cos sin e e x x x x x
y -+=+的部分图象可能是（ ）
8. 袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是1
3
，依次从中有放回地摸球，每次摸出一个，
累计2次摸到红球即停止．记3次之内（含3次）摸到红球的次数为ξ，则随机变量ξ的数学期望E ξ（ ）
A ．2627
B ．2827
C ．89
D ．2
3
9. 已知正方体1111ABCD A B C D -
的棱长为M ，N 为体对角线1BD 的三等分点，动点P 在三角形1ACB 内，且
三角形PMN
的面积PMN S △，则点P 的轨迹长度为（ ）
A
B
C
D
D
C A B
10. 定义运算()123,,x x x =m ，()123,,y y y =n ，112233x y x y x y =++m n ，若()sin ,sin ,sin ααβ=-a ，
()sin ,sin ,sin αββ=b ，则平面区域()3,,0,,24S παβαβ⎧⎫
⎡⎤
=∈≤
⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩
⎭
a b 的面积为（ ）
A ．6
π
B ．2
6π
C ．3π
D ．2
3
π
二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分
11. 在二项式5
x ⎫
⎪⎭
的展开式中各项系数和为 ；含2x 项的系为 ． 12. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足31
3
a =，()()1112n n a a +++=，则1a = ；12S = ．
13. 某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，该几何体的体积（单位：3cm ）是 ；该几何体的表面
积（单位：3cm ）是 ．
14. 在ABC △中，角A ，B ，C
所对的边分别是a ，b ，c ，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，且2BD DC =，若ABC
△2
22)b c a +-，则A = ；c b a += ． 15. 从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四
位偶数.
P
D 1
B 1A 1
C
1
M N D
C
B
A
正视图侧视图
俯视图
⎝⎭
积为1
2
-，则ABP △的面积的取值范围是 ．
17. 已知平面向量a ，b ，
c 满足3=-a b ，4-=a b ，-c a 与-c b 的夹角为3
π
，则--c a b 的最大值为 ． 三、解答题：5小题，共74分
18. 已知函数()22sin 21f x x x =+-．
（1）求函数()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的值域；
（2）若()0067,,5412f x x ππ⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭，求0cos2x 的值．
19. 如图，四棱锥P ABCD -中，面PBD ⊥面ABCD ，AB DC ∥，24
AB CD ==，
AD BC ==，AP =2PB =．
（1）证明：PB AC ⊥；
（2）求BD 与面PBC 所成角的正弦值．
20. 已知数列{}n a ，{}n b ，其中{}n a 为等差数列，且满足111a b ==，23b =，()1112
n n n n n
n n a b a b +++=+
，n *∈Ν．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）设()()111
222n n n
n n n n a c a b a b ++-=--，求证：12321n
n c c c c n
+++
+<-．
D
C
B
A
P
21. 已知动圆C 过点()0,4P ，且在x 轴上截得的弦长为8．
（1）求动圆的圆心C 的轨迹方程；
（2）当点Q 在椭圆2
2:14
y E x +=上移动，过点Q 作曲线C 的两条切线记作QA ，QB ，其中A ，B 为切点，椭
圆的一个顶点为()0,2D ，求AD BD ⋅的最大值．
22. 已知函数()ln e tx x
f x t
=-
，0t >． （1）当1t =时，求函数()f x 的零点个数；
（2）若函数()f x 的图像在x 轴的同侧（含x 轴）， （i ）求t 的最小值；
（ii ）当t 取到最小值时，若对任意实数[]1,1a ∈-，
都有()e
e cos eln x
f x k x
α-≤-恒成立，试求实数k 的取
值范围．。