2019-2020学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2集合间的基本关系教师用书新人教A版必修第一册

1．2 集合间的基本关系

考点学习目标核心素养

子集、真子集、空集的概念理解子集、真子集、空集的概念，

会用列举法求有限集的所有子集

数学抽象

集合关系的判定能用符号和Venn图表达集合间的

关系，会判断两个集合间的关系

数学抽象、逻辑推理

集合关系的应用能根据集合的关系解决简单的求

参问题

逻辑推理、数学运算

问题导学

预习教材P7－P8，并思考以下问题：

1．集合与集合之间的关系有哪几种？如何用符号表示这些关系？

2．集合的子集是什么？真子集又是什么？如何用符号表示？

3．空集是什么样的集合？空集和其他集合间具有什么关系？

1．Venn图

(1)定义：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．

(2)适用范围：元素个数较少的集合．

(3)使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．

■名师点拨

表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．

2．子集的概念

文字语言符号语言图形语言

一般地，对于两个集合A，B，如果集合A

中任意一个元素都是集合B中的元素，就称

集合A为集合B的子集

A⊆B(或B⊇A)

“集合A是集合B的子集”可以表述为：若x∈A，则x∈B.

3．集合相等的概念

一般地，如果集合A 的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B 相等，记作A＝B，也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A ＝B.

4．真子集的概念

文字语言符号语言图形语言

如果集合A⊆B，但存在元素

x∈B，且x∉A，就称集合A是B

的真子集

A B(或

B A)

■名师点拨

(1)若A⊆B，又B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B，且B⊆A.

(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关．

(3)在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.

5．空集

(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集．

(2)用符号表示为：∅．

(3)规定：空集是任何集合的子集．

■名师点拨

∅，0，{0}与{∅}之间的关系

∅与0∅与{0}∅与{∅}

相同点都表示无的意思都是集合都是集合

不同点∅是集合；0是实数∅不含任何元素；{0}含一个

元素0

∅不含任何元素；{∅}含一个

元素，该元素是∅

关系0∉∅∅{0}∅{∅}或∅∈{∅} 6．子集的有关性质

(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.

(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“∈”“⊆”的意义是一样的．( )

(2)集合{0}是空集．( )

(3)空集是任何集合的真子集．( )

(4)若集合A是集合B的真子集，则集合B中必定存在元素不在集合A中．( )

(5)若a∈A，集合A是集合B的子集，则必定有a∈B.( )

答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√

已知集合M＝{1}，N＝{1，2，3}，能够准确表示集合M与N之间关系的是( ) A．M

C．N⊆M D．M N

答案：D

已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则( )

A．A⊆B B．C⊆B

C．D⊆C D．A⊆D

解析：选B.因为等腰直角三角形必为等腰三角形，所以C⊆B.

下列四个集合中是空集的是( )

A．{∅} B．{x∈R|x2＋1＝0}

C．{x|x<4或x>8} D．{x|x2＋2x＋1＝0}

解析：选B.A，D选项各有一个元素，C项中有无穷多个元素，x2＋1＝0无实数解，故选B.

已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，且A⊆B，则a＝________．解析：因为A⊆B，所以a＋3＝1，即a＝－2.

答案：－2

集合间关系的判断

指出下列各对集合之间的关系：

(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；

(2)A＝{x|－1

(3)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}；

(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．

【解】(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．

(2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.

(3)正方形是特殊的矩形，故A B.

(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.

1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是( )

解析：选B.解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得N M，其对应的Venn图如选项B所示．

2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：

(1)A________B；(2)A________C；

(3){2}________C；(4)2________C.

解析：集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1，2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故(1)A＝B；(2)A C；(3){2}C；(4)2∈C.

答案：(1)＝(2)(3)(4)∈

子集、真子集的个数问题

(1)(2019·安庆检测)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0

A．1 B．2

C．3 D．4

(2)已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2的a的值为( )

A．－2 B．4

C．0 D．以上答案都不是

(3)若A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，则集合B的非空真子集的个数为( )

A．3 B．6