九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 1.1 锐角三角函数 第2课时 正弦与余弦教案1 北师
锐角三角函数(第2课时)(课件)九年级数学下册(北师大版)
c
sin
A
=
∠A的对边
斜边
斜边
a =c
b
A
c
cos
A
=
∠A的邻边
斜边
=
b c
斜边
b邻 A 边
谢谢~
B1 A1
B2 A1
B1 A1
B2 A1
B1
（3）如果改变B2在梯子A1B1上的位置呢？
由此你可得出什么结论？
B2
（4）如果改变梯子A1B1的倾斜角的大小呢？
由此你可得出什么结论？
C1 C2
A1
探究新知
（1）Rt△B1A1C1 ∽ Rt△B2A1C2.
（2）相等
∵ Rt△B1A1C1 ∽ Rt△B2A1C2，
=
a c
tan A a a c sin A b c b cos A
若∠A+∠B=90°；一个 锐角的正弦等于它余角的余 弦，sinA=cosB；一个锐角的 余弦等于它余角的正弦；
cosA=sinB.
探究新知
锐角三角函数之间的关系:
(1)同一个角:①商的关系:tanA= sin A ；②平方
关系:sin2A+cos2A=1.
A
B
斜边
∠A的对边
┌ ∠A的邻边 C
结论：在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与 斜边的比, ∠A的邻边与斜边的比也随之确定.
探究新知
核心知识点一： 正弦、余弦的定义
想一想：如图.
（1）直角三角形A1B1C1和直角三角形A1B2C2有什么关系？
（2）A1C1 和 A1C2 有什么关系？ B1C1 和 B2C2 呢？
探究新知
• 定义中应该注意的几个问题: 1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构 造直角三角形). 2.sinA,cosA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦 (习惯省去 “∠”号). 3.sinA,cosA 是一个比值，是直角边与斜边之比.注意比的顺序
1.1 锐角三角函数 第2课时(教案)-北师大版数学九下
第2课时正弦、余弦1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正弦、余弦及三角函数的意义和与现实生活的联系.2.能够用sin A,cos A表示直角三角形中直角边与斜边的比,能够用正弦、余弦进行简单的计算.1.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.2.体会数学来源于生活又服务于生活的理念.1.在探究新知的过程中,培养与他人合作的意识.2.激发学生探究新知的兴趣,让他们体会学习数学的快乐,培养应用数学的意识.【重点】1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义,并能举例说明.2.能用sin A,cos A表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算.【难点】类比正切,用函数思想理解正弦和余弦.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习tan A的定义以及利用tan A表示直角三角形两边比的方法.导入一:如图所示,AC是旗杆AB的一根拉线,测得AB=6m,∠ACB=α,同学们,你能用α表示出拉线AC的长度吗?【问题】边AB和AC分别是∠ACB的什么边?和我们上节课学习的正切一样吗?[设计意图]通过与正切的对比,引出本节课要探究的问题,让学生体会类比思想的重要性.导入二:课件出示:如图所示,我们在上一节课学习了直角三角形中的一种边与角之间的关系——正切.由正切定义我们知道正切是一个比值,并且得出了当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,其对边与邻边的比值便随之确定.【问题】此时,其他边之间的比值也确定吗?[设计意图]引导学生回忆上节课学的正切后,开门见山,直入正题,让学生的思维很快进入今天的学习内容.[过渡语]在直角三角形ABC中,除了两条直角边的比之外,还有没有利用其他边的比值来表示梯子AB的倾斜程度的情况呢?问题1课件出示:如图所示,在直角三角形中,除了两直角边的比值外还有其他边之间的比值吗?生观察后思考得出:还可以用直角边比斜边或斜边比直角边.(这里学生可能会提到多种情况,只要学生回答的有道理就予以肯定和表扬)教师引导:如果以∠A为例,总结一下共有几种情况.【学生活动】同伴交流,总结归纳出两种类型:对边与斜边的比、邻边与斜边的比.【教师点评】在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与斜边的比和邻边与斜边的比也随之确定.【师生活动】共同总结:∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine),记作sin A,即sin A=.∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine ),记作cos A ,即cos A =.锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数.提示:当锐角A 变化时,相应的正弦、余弦和正切值也随之变化.[设计意图]通过探究,引导学生类比正切的概念总结出正弦、余弦及三角函数的概念,为下面的学习打下良好的基础.【想一想】在教材图1-3中,梯子的倾斜程度与sin A 和cos A 有关系吗?【教师活动】要求小组合作交流,统一答案.【学生活动】小组同学认真思考,热烈讨论,积极总结.思路一教师引导学生分析:如图所示,AB =A 1B 1,在Rt△ABC 中,sin A =,在Rt△A 1B 1C 1中,sin A 1=.∵AB =A 1B 1,∴<,即sin A <sin A 1,∴梯子A 1B 1比梯子AB 陡.∴梯子的倾斜程度与sin A 有关系.sin A 的值越大,梯子越陡.正弦值也能反映梯子的倾斜程度.思路二学生互相交流,类比分析过程:cos A =,cos A 1=.∵AB =A 1B 1,∴>,即cos A >cos A 1,∴梯子的倾斜程度与cos A 也有关系.cos A 的值越小,梯子越陡.【师生总结】梯子的倾斜程度与sin A ,cos A 的关系:sin A 的值越大,梯子越陡;cos A 的值越小,梯子越陡.[设计意图]此环节的设计是为了突出概念的形成过程,帮助学生理解概念.通过学生的参与、动手操作让学生学会“由特殊到一般”“数形结合”的思想方法,提高分析问题和解决问题的能力.(教材例2)如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=200,sin A=0.6,求BC的长.【师生活动】生独立解答,师巡视观察学生解题的情况,随时进行指导.解:在Rt△ABC中,∵sin A=,即=0.6,∴BC=200×0.6=120.想一想:你还能求出cos A,sin C和cos C的值吗?生认真思考,独立写解题过程.代表展示:cos A=0.8,sin C=0.8,cos C=0.6.[设计意图]例题的安排既对学生学习的内容加以巩固,也让学生体会严谨的做题思路,并通过拓展得出直角三角形的三角函数之间的关系.[知识拓展]1.若∠A+∠B=90°,一个锐角的正弦等于它余角的余弦,sin A=cos B;一个锐角的余弦等于它余角的正弦,cos A=sin B.2.锐角三角函数之间的关系:(1)同一个角:①商的关系:tan A=;②平方关系:sin2A+cos2A=1.(2)互余两角:若∠A+∠B=90°,则sin A=cos B,cos A=sin B.【做一做】如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,AC=10,AB等于多少?sin B呢?【学生活动】要求学生独立完成,代表展示解题过程.代表展示:解:在Rt△ABC中,∵cos A===,∴AB==.∴sin B===.[设计意图]在学习前边知识的基础上,巩固运用正弦、余弦及正切表示直角三角形中两边的比,体验数形之间的联系,学习利用数形结合思想分析问题和解决问题,提高解决实际问题的能力.(1)三角函数的概念:正弦:sin A=.余弦:cos A=.锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.(2)梯子的倾斜度与三角函数之间的关系:sin A的值越大,梯子越陡;cos A的值越小,梯子越陡.(3)锐角三角函数之间的关系:(1)同一个角:①商的关系:tan A=;②平方关系:sin2A+cos2A=1.(2)互余两角:若∠A+∠B=90°,则sin A=cos B,cos A=sin B.1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,cos B=,则BC的长为()A.4B.2C.D.解析:∵cos B=,∴=.∵AB=6,∴CB=×6=4.故选A.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若cos A=,则tan B的值是()A.B. C. D.解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∴cos A=,tan B=,AC2+BC2=AB2.∵cos A=,∴设AC=2x(x>0),则AB=3x,BC=x,∴tan B==.故选A.3.如图所示,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=2,AC=3,则sin B的值是.解析:∵在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,CD=2,∴AB=2CD=4,∴sin B==.故填.4.如图所示,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,则sin A=.解析:过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D,如图所示,设小方格的边长为1,在Rt△ACD中,AC==2,∴sin A==.故填.5.如图所示,∠ACB=90°,DE⊥AB,垂足为点E,AB=10,BC=6,求∠BDE的三个三角函数值.解:∵∠C=∠BED=90°,∠B=∠B,∴△ACB∽△DEB,∴∠BDE=∠A,∴sin∠BDE=sin A=,cos∠BDE=cos A=,tan∠BDE=tan A=.第2课时1.三角函数的概念:(1)∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,即sin A=.∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,即cos A=.锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.2.梯子的倾斜度与三角函数之间的关系:sin A的值越大,梯子越陡;cos A的值越小,梯子越陡.一、教材作业【必做题】1.教材第6页随堂练习第1,2题.2.教材第6页习题1.2第1,2,3,4题.【选做题】教材第7页习题1.2第5题.二、课后作业【基础巩固】1.(2015·温州中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cos A的值是()A. B. C. D.2.(2015·广西中考)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=12,则下列三角函数表示正确的是()A.sin A=B.cos A=C.tan A=D.tan B=3.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,则sin A=.4.如图所示,在直角坐标系中,P是第一象限内的点,其坐标是(3,m),且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是,则sinα的值为.【能力提升】5.(2015·乐山中考)如图所示,已知△ABC的三个顶点均在格点上,则cos A的值为()A. B. C. D.6.在△ABC中,∠C=90°,BC=6,sin A=,则AB边的长是.7.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sin A=,求BC的长和tan B的值.8.如图所示,在正方形ABCD中,M是AD的中点,BE=3AE.求sin∠ECM的值.【拓展探究】9.(2014·贺州中考)网格中的每个小正方形的边长都是1,△ABC每个顶点都在网格的交点处,则sin A=.【答案与解析】1.D(解析:∵AB=5,BC=3,∴AC=4,∴cos A==.故选D.)2.A(解析:∵∠ACB=90°,AB=13,BC=12,∴AC===5.A,sin A==,故本选项正确;B,cos A==,故本选项错误;C,tan A==,故本选项错误;D,tan B==,故本选项错误.故选A.)3.(解析:首先由勾股定理求得斜边AC=5,然后由锐角三角函数的定义知sin A=,最后将相关线段的长度代入计算即可.)4.(解析:如图所示,过点P作PE⊥x轴于点E,则可得OE=3,PE=m,在Rt△POE中,tanα==,解得m=4,则OP==5,故sinα=.)5.D(解析:过B点作BD⊥AC,如图所示,由勾股定理,得AB==,AD==2,∴cos A===.故选D.)6.9(解析:∵BC=6,sin A=,∴=,解得AB=9.故填9.)7.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sin A==,∴BC=4,根据勾股定理,得AC==2,则tan B===.8.解:设AE=x(x>0),则BE=3x,BC=4x,AM=2x,CD=4x,∴CE==5x,EM==x,CM==2x,∴EM2+CM2=CE2,∴△CEM是直角三角形,∠EMC=90°,∴sin∠ECM===.9.(解析:如图所示,作AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,由勾股定理得AB=AC=2,BC=2,AD=3,易知△ABC是等腰三角形,由面积相等可得BC·AD=AB·CE,∴CE==,∴sin∠CAE===.故填.)上节课已经学习了三角函数中的正切,所以这节课根据初中学生身心发展的特点,运用了类比教学法,想唤起和加深学生对教学内容的体会和了解,并培养和发展学生的观察、思维能力,运用直观教学,能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程,使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.用函数的观点理解正弦、余弦和正切,是本节课的一个难点.为了更好地突破难点,在教学时发动学生及时进行讨论,产生的效果较好.在探讨梯子的倾斜程度与sin A和cos A的关系时,鼓励学生利用类比tan A的方法进行探究,可以比较直观地得出结论,学生比较容易接受.课堂练习题及检测题题量适中且有针对性,课后作业有分层,适合不同程度的同学.在整个教学过程中,学生探究活动始终处于主导地位,培养了学生独立思考、合作探究及分析问题、解决问题的能力.在处理梯子的倾斜度与三角函数的关系的问题时,时间安排的不是很科学,导致后面的例题以及做一做的处理稍显仓促.在以后的教学中注意科学合理地安排课堂时间,并且大部分的知识让学生利用类比tan A的方法进行自主探究.随堂练习(教材第6页)1.解:过A点作AD⊥BC,垂足为D,BD=BC=3,AD===4,∴sin B==,cos B==,tan B==.2.解:∵sin A=,∴AB===25,则AC===15,∴△ABC的周长=AB+BC+AC=25+20+15=60,△ABC的面积=AC·BC=×15×20=150.习题1.2(教材第6页)1.解:∵x==9=,∴sinα=cosβ==,cosα=sinβ==,tanα==,tanβ==.2.提示:倾斜角的正弦值、正切值越大,梯子越陡;倾斜角的余弦值越小,梯子越陡.3.解:如图所示,∵sin A=,cos B=,∴sin A=cos B.4.解:如图所示,∵CD是AB边上的中线,且CD=5,∴AB=2CD=10.∵BC=8,∴AC==6,∴sin A===.过点D作DE⊥AC于E,∵sin A=,∴DE=5sin A=4,∴AE==3,∴CE=6-3=3,∴sin∠ACD==,cos∠ACD==,tan∠ACD==.5.解:当∠BAC>90°时,CD=10,sin C=.当∠BAC<90°时,CD=16,sin C=.本节课的学习,学生可以类比上节课所学的正切的探究方法对正弦、余弦的知识进行探究.在探究的过程中要及时进行总结,得出直角三角形中的三个三角函数之间的关系,这也是本节课的难点,其突破方法就是在自主探究和合作交流的过程中寻求它们之间的联系,而熟练运用三角函数进行相关的计算是对所学知识的巩固提高.当然和上节课一样,在探究的过程中数形结合思想和转化思想的运用可以使问题得以简化.容易混淆sin和cos的概念.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=2,则cos A的值是.【错解】【错解分析】容易把sin A和cos A的概念颠倒而得出相反的结论.【正解】【正解分析】在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=2,∴AC==,∴cos A==.。
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系230°,45°,60°角的三角函数值教学课件(新版)北师大版
【解析】如图所示,BC=7m，
B
∠A=30°
BC 7 1， sinA=
AB AB 2
C
A
∴AB=14 m.
即扶梯的长度为14 m.
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A,∠B ,∠C的对边分别是a,b,c. c
求证:sin2A+cos2A=1.
A
b
【证明】在Rt△ABC中，a2 b2 c2，
∵E,F分别是AB,DC的中点，
∴EF= 1 ( AD BC ) 1 (8 16)=12.
2
2
【规律方法】 1.记住30°，45 °，60 °角的三角函数值及推导方 式，可以提高计算速度. 2.会构造直角三角形，充分利用勾股定理的有关知识结 合三角函数灵活运用.
c 直角三角形三边的关系.
A
D
B
C
【解析】（1）∵∠B＝60°，
∴∠BCD=60°，又∵AB＝AD＝DC， ∴∠DAC=∠DCA， ∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA， ∴∠DCA=∠BCA.
∴∠ACB=30°. cos∠ACB=cos 30°= 3. 2
（2）∵AB＝AD＝DC＝8，∠ACB=30°，∴BCA
b
直角三角形边与角之间的关系.
特殊角30°,45°,60°角的三角函数值.
互余两角之间的三角函数关系.
同角之间的三角函数关系
45°
B
a ┌
C
30°
45° ┌ 60° ┌
真理的大海，让未发现的一切事物躺卧在 我的眼前，任我去探寻。
——牛顿
C．1 2
D． 2 2
【解析】选B.
3．（眉山·中考）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，
九年级数学下册 直角三角形边角关系(同步+复习)精品串讲课件
C
A
D
B
【典例2】△ABC中，AB=AC，2AB=3BC， 求∠B的三个三角函数值。 A
A的对边 A的邻边
B
斜边 ∠A的对边 A ┌ ∠A的邻边 C
一．正切的概念
1. 2. 复习：直角三角形边边关系；角角关系—— 正切的概念
① 直角三角形中，一个锐角的大小一旦确定，它所 对的边与邻边的比值是一个确定的值。 ② 文 直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值叫 做这个角的正切（值）。——是一个比值。 ③ 符 Rt△ABC中，锐角A确定，其对边与邻边的比值 也确定，这个比值叫做∠A的正切，记作： c B a a ∠A的对边 tanA= ———— =— b C b A ∠A的邻边 ④ 正切是对锐角定义的，是一个确定的比值，没有 单位，且与所在的直角三角形大小无关； tanA 是一个完整的符号，如果角用一个字母表示，角 的符号可以省略不写，如果角用三个字母表示， 角的符号不可省略； tanA＞0；变式使用： a=b a tanA或者：b= —— tanA
①
α的对边 α的邻边 α的对边 α的斜边 α的邻边 α的斜边
角定值定 角变值变 角死值死
确定一个角的三个比值：一定角二定比三定值。 三值与角与比是对应的。 ② 都与三角形大小无关，只与角的大小对应的比值。 ③ 每个定义都是三个公式：一求比（角）二求两边。 ④ 0＜ sin α ＜1； 0＜ cos α ＜1； tan α任意大 ⑤ 平方： sin2 α= (sin α)2 ，而sin α2 则无意义。
┌
C
四．三角函数的概念及锐角三角函数的关系
1. 用函数的观点看： tan α 、sin α、 cos α 都是角α的函数。即：y= tan α、 y= sin α、 y= cos α 分别是锐角α的正切、正弦、余弦 函数。自变量取值范围：0＜ α＜90° 对于任意锐角α，各三角函数之间的关系
九年级(下册)直角三角形的边角关系 复习课件
第1章复习 ┃ 知识归类
┃知识归纳┃
1．锐角三角函数 ∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tanA，即 tanA＝ ∠A的对边 ； ∠A的邻边 ∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，即 sinA＝ ∠A的对边 ； 斜边 ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA，即 cosA＝ ∠A的邻边 . 斜边
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 在生活实际中，特别在勘探、测量工作中，常需了解或确定某 种大型建筑物的高度或不能用尺直接量出的两地之间的距离等， 而 这些问题一般都要通过严密的计算才可能得到答案， 并且需要先想 方设法利用一些简单的测量工具，如：皮尺，测角仪，木尺等测量 出一些重要的数据， 方可计算得到． 有关设计的原理就是来源于太 阳光或灯光与影子的关系和解直角三角形的有关知识．
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 考点攻略
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 考点攻略
[解析] 过点 A 作 AD⊥BC 于点 D， 根据∠CAD＝45° ，可得 BD＝BC－CD＝200－AD. AD 在 Rt△ABD 中 ， 根 据 tan∠ABD ＝ ， 可 得 AD ＝ BD BD· tan∠ABD＝(200－AD)· tan60° 3(200－AD)，列方程 AD＋ ＝ 3AD＝200 3，解出 AD 即可．
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 知识归类 2．30°，45°，60°角的三角函数值
三角函数
角α
30°
sinα
cosα
tanα
45° 60°
1 2 2 2 3 2
3 2 2 2 1 2
3 3
新版北师大版数学九年级下册教案(全)
第一章 直角三角形的边角关系第1课时§1.1.1 锐角三角函数教学目标1、 经历探索直角三角形中边角关系的过程2、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明3、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比4、 能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算 教学重点和难点重点：理解正切函数的定义 难点：理解正切函数的定义 教学过程设计➢ 从学生原有的认知结构提出问题直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。
这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。
➢ 师生共同研究形成概念1、 梯子的倾斜程度在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的。
这就涉及到倾斜角的问题。
用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。
但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。
1） （重点讲解）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡； 2） 如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡； 3） 如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡；通过对以上问题的讨论，引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。
2、 想一想（比值不变）☆ 想一想 书本P 2 想一想 通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。
当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。
这一比值只与倾斜角的大小有关，而与直角三角形的大小无关。
3、 正切函数 （1） 明确各边的名称 （2） 的邻边的对边A A A ∠∠=tan（3） 明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与∠A 的邻边的比值。
☆ 巩固练习a 、 如图，在△ACB 中，∠C = 90°， 1） tanA = ；tanB = ；2） 若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB ABCAB C∠A 的对边∠A 的邻边斜边ABC= ；3） 若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB = ； b 、 如图，在△ACB 中，tanA = 。
九年级数学下册《锐角三角函数》第2课时教学设计
九年级数学下册《锐角三角函数》第2课时教学设计一、教材分析本节课是北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》的第一节的内容, 共两课时。
本设计是第二课时。
本节课是在学生理解了正切的基础上, 进一步通过探究发现直角三角形中直角边与斜边之间存在的关系。
从教材中可以看到, 其中渗透着数学核心素养如数学抽象、数学建模等数学思想, 是本节课的数学本质。
二、学情分析学生的知识技能基础：通过前一节课学习的有关正切的知识, 学生已获得一定的探究方法, 积累了一定的经验, 这为本节课的开展提供了必要的铺垫。
本节课将在此基础上进行类比学习, 进一步探究直角三角形中的边角关系。
学生的活动经验基础：学生在上一节课的学习过程中已经历过从实际生活中抽象出数学概念, 形成数学知识, 并建立起数学建模解决实际生活问题的模式, 而且获得了探究数学问题过程中采用合适的数学方法解决问题的经验, 同时具有了一定的合作学习的能力, 交流的能力, 这些都为本节课的学习提供了必要的铺垫。
三、教学任务本节共分2个课时, 这是第2课时, 主要内容是进一步通过探究发现直角三角形中直角边与斜边之间存在的关系, 并利用这种关系解决一些简单问题。
本节课的具体教学目标为：知识与技能：1、探索并掌握锐角三角函数的概念——正弦、余弦, 理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系。
2、能够用正弦、余弦进行简单的计算, 解决一些简单的实际问题。
过程与方法：1、经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力, 能有条理地、清晰地阐述自己的观点。
2、在课堂上落实数学核心素养数学抽象、数学建模的思想, 体会解决问题的策略的多样性, 发展实践能力和创新精神。
情感态度价值观：积极参与数学活动, 提高学生对数学学科的好奇心和求知欲, 学有用的数学, 同时体会数学学科的一些核心素养, 如数学抽象、数学建模对研究问题时的引领作用。
教学重点：掌握正弦、余弦的定义, 感受数学与生活的联系。
北师大版初三下册数学 1.1 锐角三角函数 教案(教学设计)
1．1 锐角三角函数第1课时锐角的正切函数教学目标1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系．2．能够用tan A表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算．重点从现实情境中探索直角三角形的边角关系；理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系．难点难点理解正切的意义，并用它来表示两边的比．教学过程一、创设情境，导入新课用FLASH课件动画演示本章的章头图，提出问题，问题从左到右分层次出现：问题1：在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗？问题2：随着改革开放的深入，上海的城市建设正日新月异地发展，幢幢大楼拔地而起.70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦，但经过多少年的城市发展，“上海最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗？你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗？通过本章的学习，相信大家一定能够解决．二、合作交流，探究新知用多媒体演示如下内容：[师]梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的？请同学们看下图，并回答问题(用多媒体演示)．(1)在图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？[生]梯子AB 比梯子EF 更陡．[师]你是如何判断的？[生]从图中很容易发现∠ABC >∠EFD ，所以梯子AB 比梯子EF 陡．[生]我觉得是因为AC ＝ED ，所以只要比较BC ，FD 的长度即可知哪个梯子陡．BC <FD ，所以梯子AB 比梯子EF 陡．[师]我们再来看一个问题(用多媒体演示)(2)在下图中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？[师]我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度，即哪一个更陡，就比较困难了．能不能从第(1)问中得到什么启示呢？[生]在第(1)问的图形中梯子的垂直高度即AC 和ED 是相等的，而水平宽度BC 和FD 不一样长，由此我想到梯子的垂直高度与水平宽度的比值越大，梯子应该越陡．[师]这位同学的想法很好，的确如此，在第(2)问的图中，哪个梯子更陡，应该从梯子AB 和EF 的垂直高度和水平宽度的比的大小来判断．那么请同学们算一下梯子AB 和EF 哪一个更陡呢？[生]AC BC ＝41.5＝83，ED FD ＝3.51.3＝3513.∵83<3513， ∴梯子EF 比梯子AB 更陡．想一想：如图，小明想通过测量B 1C 1及AC 1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B 2C 2及AC 2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系？(2)B 1C 1AC 1和B 2C 2AC 2有什么关系？ (3)如果改变B 2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么结论？[师]我们已经知道可以用梯子的垂直高度和水平宽度的比描述梯子的倾斜程度，即用倾斜角的对边与邻边的比来描述梯子的倾斜程度．下面请同学们思考上面的三个问题，再来讨论小明和小亮的做法．[生]在上图中，我们可以知道Rt△AB 1C 1，和Rt△AB 2C 2是相似的．因为∠B 2C 2A ＝∠B 1C 1A ＝90°，∠B 2AC 2＝∠B 1AC 1，根据相似的条件，得Rt△AB 1C 1∽Rt△AB 2C 2.[生]由图还可知：B 2C 2⊥AC 2，B 1C 1⊥AC 1，得 B 2C 2∥B 1C 1，Rt△AB 1C 1∽Rt△AB 2C 2.[生]相似三角形的对应边成比例，得B 1C 1B 2C 2＝AC 1AC 2，即B 1C 1AC 1＝B 2C 2AC 2. 如果改变B 2在梯子上的位置，总可以得到Rt△B 2C 2A ∽Rt△B 1C 1A ，仍能得到B 1C 1AC 1＝B 2C 2AC 2.因此，无论B 2在梯子的什么位置(除A 外), B 1C 1AC 1＝B 2C 2AC 2总成立． [师]也就是说无论B 2在梯子的什么位置(A 除外)，∠A 的对边与邻边的比值是不会改变的．现在如果改变∠A 的大小，∠A 的对边与邻边的比值会改变吗？[生]∠A 的大小改变，∠A 的对边与邻边的比值会改变．[师]你又能得出什么结论呢？[生]∠A 的对边与邻边的比只与∠A 的大小有关系，而与它所在直角三角形的大小无关．也就是说，当直角三角形中的一个锐角确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定．[师]这位同学回答得很棒，现在我们再返回去看一下小明和小亮的做法，你作何评价？[生]小明和小亮的做法都可以说明梯子的倾斜程度，因为图中直角三角形中的锐角A 是确定的，因此它的对边与邻边的比值也是唯一确定的，与B 1，B 2在梯子上的位置无关，即与直角三角形的大小无关．[生]但我觉得小亮的做法更实际，因为要测量B 1C 1的长度，需攀到梯子的最高端，危险并且复杂，而小亮只需站在地面就可以完成．[师]这位同学能将数学和实际生活紧密地联系在一起，值得提倡．我们学习数学就是为了更好地应用数学．由于直角三角形中的锐角A 确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定，因此我们有如下定义：(多媒体演示)如图，在Rt△ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切(tangent)，记作tan A ，即tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边. 注意：(1)tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”．(2)tan A 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比．(3)tan A 不表示“tan”乘以“A ”．(4)初中阶段，我们只学习直角三角形中锐角的正切．思考：(1)∠B 的正切如何表示？它的数学意义是什么？(2)前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课本图1—3，梯子的倾斜程度与tan A 有关系吗？[生](1)∠B 的正切记作tan B ，表示∠B 的对边与邻边的比值，即tan B ＝∠B 的对边∠B 的邻边. (2)我们用梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度，因此，在教材图1—3中，梯子越陡，tan A 的值越大；反过来，tan A 的值越大，梯子越陡．三、运用新知，深化理解例1(教材示例) 如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出tan α、tan β的值，比较大小，越大，扶梯就越陡．解：甲梯中， tan α＝ ∠α的对边∠α的邻边＝48＝12. 乙梯中，tan β＝∠β的对边∠β的邻边＝5132－52＝512. 因为tan α＞tan β，所以甲梯更陡．[师]正切在日常生活中的应用很广泛，例如建筑，工程技术等．正切经常用来描述山坡、堤坝的坡度．如图，有一山坡在水平方向上每前进100 m ，就升高60 m ，那么山坡的坡度(即坡角α的正切tan α)就是tan α＝60100＝35. 这里要注意区分坡度和坡角．坡面的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度．坡度越大，坡面就越陡．例2 已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C ，D ，E 都在小正方形的顶点上，求tan∠ADC 的值．分析：先证明△ACD ≌△BCE ，再根据tan∠ADC ＝tan∠BEC 即可求解．解：根据题意可得AC ＝BC ＝12＋22＝5，CD ＝CE ＝12＋32＝10，AD ＝BE ＝5，∴△ACD ≌△BCE (SSS)．∴∠ADC ＝∠BEC .∴tan∠ADC ＝tan∠BEC ＝13. 例3 已知一水坝的横断面是梯形ABCD ，下底BC 长14 m ，斜坡AB 的坡度为3∶3，另一腰CD 与下底的夹角为45°，且长为4 6 m ，求它的上底的长(精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)．分析：过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，根据已知条件求出AE ＝DF 的值，再根据坡度求出BE ，最后根据EF ＝BC －BE －FC 求出AD .解：过点A 作AE ⊥BC ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F .∵CD 与BC 的夹角为45°，∴∠DCF ＝45°，∴∠CDF ＝45°.∵CD ＝4 6 m ，∴DF ＝CF ＝4 62＝4 3(m)，∴AE ＝DF ＝4 3 m ．∵斜坡AB 的坡度为3∶3，∴tan∠ABE ＝AE BE ＝33＝3，∴BE ＝4 m ．∵BC ＝14 m ，∴EF ＝BC －BE －CF ＝14－4－43＝10－4 3(m)．∵AD ＝EF ，∴AD ＝10－4 3≈3.1(m)．所以，它的上底的长约为3.1 m.四、课堂练习，巩固提高1．教材P4“随堂练习”．2．《探究在线·高效课堂》相关作业．五、反思小结，梳理新知本节课经历了探索直角三角形中的边角关系，得出了在直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定，并以此为基础，在“直角三角形”中定义了tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边.接着，我们研究了梯子的倾斜程度，工程中的问题坡度与正切的关系，了解了正切在现实生活中是一个具有实际意义的很重要的概念．第2课时正弦、余弦1. 认识锐角三角函数——正弦、余弦.2. 用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比, 用正弦、余弦进行简单的计算.二、教学目标知识与技能1. 能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系.2. 能够用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算.过程与方法1. 经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.情感态度与价值观1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学.2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯.三、重点与难点重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系.难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题.四、复习引入设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用），测量旗杆高度的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望.五、探究新知探究活动1（出示幻灯片4）：如图，请思考：（1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是 ； （2）的关系是和222111AB C B AB C B ； （3）如果改变B 2在斜边上的位置，则的关系是和222111AB C B AB C B ； 思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________，根据是______________________________________. 它的邻边与斜边的比值呢？设计意图：1、在相似三角形的情景中，让学生探究发现：当直角三角形的一个锐角大小确定时，它的对边与斜边的比值也随之确定了.类比学习，可以知道，当直角三角形的一个锐角大小确定时，它的邻边与斜边的比值也是不变的.2、在探究活动中发现的规律，学生能记忆得更加深刻，这比老师帮助总结，学生被动接受和记忆要有用得多.归纳概念1、正弦的定义：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角∠A 的对边BC 与斜边AB 的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA ＝________.2、余弦的定义：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,我们把锐角∠A 的邻边AC 与斜边AB 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=_ _____.3、锐角A 的正弦，余弦，正切和余切都叫做∠A 的三角函数.温馨提示B 1B 2AC 1 C 2（1）sinA，cosA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角；（2）sinA，cosA中常省去角的符号“∠”.但∠BAC的正弦和余弦表示为: sin∠BAC，cos∠BAC.∠1的正弦和余弦表示为: sin∠1，cos∠1；（3）sinA，cosA没有单位，它表示一个比值；（4）sinA，cosA是一个完整的符号，不表示“sin”,“cos”乘以“A”；（5）sinA，cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长没有必然的关系.设计意图：1、类比正切的定义，让学生理解正弦和余弦的含义；2、让学生了解：求一个角的三角函数，是指求这个角的正切、正弦和余弦，不是单指某一个值；3、正弦和余弦容易出现一些不规范的表示方法，在这里先进行明确，可以减少日后不必要的错误.探究活动2：我们知道，梯子的倾斜程度与tanA有关系，tanA越大，梯子越陡，那么梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？是怎样的关系？设计意图：在探究中进一步让学生理解正弦和余弦的含义，体会正弦和余弦的生活意义，避免数学知识的枯燥无味，通过利用正弦和余弦来描述梯子的倾斜程度拓展了学生思维，感受到从不同角度去解释一件事物的合理性，感受数学与生活的联系.探索发现：梯子的倾斜程度与sinA,cosA的关系：sinA越大，梯子；cosA越，梯子越陡.探究活动3：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=20，sinA=0.6，求BC和cosB.B通过上面的计算，你发现sinA与cosB有什么关系呢? sinB与cosA呢？在其它直角三角形中是不是也一样呢？请举例说明.小结规律：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的.设计意图：在探究中进一巩固正弦和余弦的定义，同时发现直角三角形中两个锐角的三角函数值之间存在一定的关系，拓展学生的知识储备.六、归类提升类型一：已知直角三角形两边长，求锐角三角函数值例1、在Rt△ABC中，∠C=90°, BC=3，AB=5，求A的三个三角函数值.类型二：利用三角函数值求线段的长度例2、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6 ，求BC的长七、总结延伸1、锐角三角函数定义：sinA= ，cosA= ，tanA= ；2、温馨提示：（1）sinA，cosA，tanA，是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)；（2）sinA，cosA，tanA是一个完整的符号，表示∠A的正切，习惯省去“∠”号；（3）sinA，cosA，tanA都是一个比值，注意区别,且sinA,cosA,tanA均大于0,无单位；（4）sinA，cosA，tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长没有必然关系；（5）角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等.精品文档用心整理3、在用三角函数解决一般三角形或四边形的实际问题中，应注意构造直角三角形.设计意图：课堂小结，检查学生掌握情况，同时能对知识进行及时梳理，有利于学生归纳和消化，特别对于重要的方法提示和要注意的细节，能再次呈现，使学生印象深刻.八、课堂小结1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的, ∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2.sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号；3.sinA,cosA,tanA, 是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA, 均﹥0,无单位.4.sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.资料来源于网络仅供免费交流使用。
北师大版九年级下册数学1.1锐角三角函数第2课时课件
合作探究
1.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，则sin A＝
A＝
1 .
，tan
合作探究
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，
MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cos B的值.
合作探究
解:在Rt△AMN中，由勾股定理可得MN＝ − ＝ ，
则sin∠ABC等于
.
合作探究
B等于(
A.
已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝B )B. NhomakorabeaC.
，则sin
D.1
方法归纳交流 通常已知边的比值，不能直接求三角函数
值，可采用设辅助未知数“k”来解决.
合作探究
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC＝1，sin
B＝ ，求菱形的边长.
是(
A )
A.
B.
C.
D.
2.在△ABC中，∠C＝90°，cos
8 .
A＝ ，AB＝10，则BC＝
合作探究
＝
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则cos B
.
如图，P是∠α的边OA上一点，且P点坐标为(3，4)，
则sin α＝
，cos α＝
.
合作探究
变式训练
如图，△ABC的顶点都在正方形网格中的格点上，
∴cos
∠AMN＝ ＝ ，
∵∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠AMN＝90°，
∴∠B＝∠AMN，
九年级数学 第一章 直角三角形的边角关系 1 锐角三角函数 1.1.2 正弦和余弦
2021/12/10
1 锐角三角函数
第一页，共三十一页。
第一章 直角三角形的边角(biān 关系 jiǎo)
第2课时 正弦和余弦 (kèshí)
课堂达标 素养提升
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第二页，共三十一页。
第2课时(kèshí) 正弦和余弦
课堂达标
一、 选择题
1．2018·黄浦区一模 在△ABC 中，∠C＝90°，则下列等式成立的 是( B )
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第二十九页，共三十一页。
第 课时 2
(kèshí)
正弦和余弦
(3)由这个特例的解答过程可猜想，对于任意直角三角形中的锐角，都有与上述两 问题相同的结果，即：对于任意直角三角形中的锐角 A，都有 sin2A＋cos2A＝1；
在 Rt△ABC 中，若∠C 为直角，则必有 sinA＝cosB.
3．如图 K－2－2，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝23，则
BC 的长为( A )
A．4
B．2 5
18 13 C. 13
12 13 D. 13
BC 2 [解析] A 由余弦的定义可得 cosB＝AB＝3.又∵AB＝6，
∴BC＝4.故选 A.
图K－2－2
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第 课时 2
(kèshí)
正弦和余弦
5．等腰三角形的底边长为 10 cm，周长为 36 cm，那么底角的余弦值
是( A )
A.153
B.1123
C.1103
D.152
1 [解析] A 等腰三角形的腰长为2×(36－10)＝13(cm)，所以易得底角的余弦值
九年级数学北师大版初三下册--第一单元1.4 解直角三角形 课件
∵AB＝1，sin B＝
2， 42
2
∴AD＝AB·sin B＝1×
＝
4
. 4
∴BD＝
AB2 AD2
12
2 2 4
14 , 4
CD＝ AC 2 AD2
2 2 2
30
2
4
. 4
∴BC＝ CD BD
30
14
30 14 .
44
4
总结
知3－讲
通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角 形，然后利用解直角三角形来解决边或角的问题，这种 “化斜为直”的思想很常见．在作垂线时，要结合已知 条件，充分利用已知条件，如本题若过B点作AC的垂线， 则∠B的正弦值就无法利用．
A．2 3
B．2 2
C. 11
4
D. 5 5
4
（来自《典中点》 ）
知2－导
知识点 2 已知一边及一锐角解直角三角形
已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角
形时，若已知一直角边a和一锐角A： ① ∠B=90 °-
∠
A；②c=
a ;③b sin A
a tan
. A
若已知斜边c和一个锐角A： ① ∠ B=90°- ∠ A；
则∠A的度数为( D )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
（来自《典中点》 ）
知1－练
2 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求 ∠A的值，最适宜的做法是( C ) A．计算tan A的值求出 B．计算sin A的值求出 C．计算cos A的值求出 D．先根据sin B求出∠B，再利用90°－∠B求出
解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，
北师大版九年级下册数学《三角函数的应用》直角三角形的边角关系教学说课复习课件
问题1：货轮要向正东方向继续行驶，有 没有触礁的危险，由谁来决定？
北
A
东
B
CD
分析：根据题意，小岛四周10 n mile内有暗礁，那么货轮
继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10 n mile，则无触
礁的危险；如果小于或者等于10 n mile，则有触礁的危险. A到
当堂练习
解析：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，
∴AD=
1 2
OA=2km．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB－∠AOB
=75°－30°=45°，
∴BD=AD=2km，
∴AB= 2AD= 2 2 km．
即该船航行的距离为2 2 km．
160 3 277.1
C
答：这栋楼高约为277.1m.
讲授新课
练一练
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部
A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，
A
B
求旗杆的高度（精确到0.1m）.
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，
BC=DC=40m.
在Rt△ACD中， tan
∴BC = AB = 1000 = 1000 3 (m).
tan C tan 30
解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知 条件解直角三角形．
练习2：如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞
行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿
与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿
九年级数学下册《解直角三角形》全章教案 新人教版
九年级数学下册《解直角三角形》全章教案新人教版九年级数学下册《解直角三角形》全章教案（新人教版）第一课时：锐角三角函数教学目标：知识目标：初步了解正弦、余弦、正切的概念；能正确地用sinA、cosA、___表示直角三角形中两边的比；熟记30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。
能力目标：逐步培养学生观察、比较、分析和概括的思维能力。
情感目标：提高学生对几何图形美的认识。
教学程序：一、探究活动1.通过特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。
2.归纳三角函数的定义。
sinA = 对边/斜边，cosA = 邻边/斜边，tanA = 对边/邻边3.例1.求如图所示的直角三角形Rt⊿ABC中的sinA、cosA、___的值。
二、探究活动二1.让学生画30°、45°、60°的直角三角形，分别求sin30°、cos45°、tan60°，并归纳结果。
sinA cosA ___30° 1/2 √3/2 √3/345° √2/2 √2/2 160°√3/2 1/2 √32.求下列各式的值。
1) sin30° + cos30°2) 2sin45° - cos30° + tan60° - tan30°三、拓展提高1.P82例4.（略）2.如图，在直角三角形ABC中，∠A = 30°，tanB = 1/3，AC = 2√3，求AB。
四、小结通过本节课的研究，我们初步了解了正弦、余弦、正切的概念，并学会了用sinA、cosA、___表示直角三角形中两边的比。
同时，我们也熟记了30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。
北师版九年级下册第一章直角三角形的边角关系知识点及习题
九年级下册第一章 直角三角形的边角关系【知识要点】一、锐角三角函数：正切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即b A atan =; 正弦．．：．在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即ca sin =A ; 余弦：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cA bcos =; 余切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cA b cot =; 注：（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). （2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号； （3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位. （4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关. （5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 1、三角函数和角的关系tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
sinA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，sinA 的值越大。
cosA 的值越小，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，cosA 的值越大。
2、三角函数之间的关系 （1）互为余角的函数之间的关系0º 30 º 45 º 60 º 90 º若∠A 为锐角，则①)90cos(sin A A ∠-︒=；)90sin(cos A A ∠-︒=②)90cot(tan A A ∠-︒=；)90tan(cot A A ∠-︒=（2）同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝1 2)倒数关系：tanA ·cotA ＝13)商的关系：tanA ＝A o A s c sin ，cotA ＝A Asin cos二、解直角三角形：※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。
九年级数学(下)第一章直角三角形的边角关系
目录
• 直角三角形基本概念及性质 • 直角三角形边角关系探究 • 直角三角形在实际问题中应用 • 直角三角形证明和计算技巧 • 章节复习与总结
01 直角三角形基本概念及性 质
直角三角形定义与分类
定义
有一个角是90度的三角形叫做直 角三角形。
分类
按角分，可分为两类，一类是普 通直角三角形，即三个角中有一 个是90度；另一类是等腰直角三 角形，即两个锐角都是45度。
通过图像可以直观了 解三角函数的性质， 如振幅、周期、相位 等。
正切函数图像呈间断 性变化，在特定区间 内单调递增或递减。
解直角三角形方法总结
已知两边求角
利用正弦、余弦定理求解对应的角度大小。
已知两角求边
利用正切定理及已知条件构建方程求解未知边。
03 直角三角形在实际问题中 应用
测量问题中构建和应用直角三角形模型
应用
勾股定理在几何、三角、代数、数论 等领域都有着广泛的应用，如求解三 角形边长、判断三角形形状、计算面 积等。
直角三角形中的特殊角
30°-60°-90°直角三角形
在这个特殊的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，而60°角所对的 直角边等于30°角所对直角边的根号3倍。
45°-45°-90°直角三角形
性质
相似直角三角形的对应边长成比例，对应角相等。这些性质 是进行直角三角形证明和计算的基础。
利用相似性质进行边长和角度计算
边长计算
在相似直角三角形中，可以利用对应 边长成比例的性质，通过已知边长求 解未知边长。
角度计算
由于相似直角三角形的对应角相等， 因此可以通过已知角度求解未知角度， 或者通过角度关系求解其他相关角度。
九年级 第一章 直角三角形的边角关系
九年级下册第一章 直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一) 一 知识要点1. 能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生 活中物体的倾斜程度、坡度等正切的定义:在Rt △ABC 中,锐角A 的 与 锐角A 的比叫做∠A 的正切，记作tanA,即 tanA=2. 能够用正切进行简单的计算. 二、典型例题与分析例1：如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?跟踪练习1、在Rt △ABC 中,锐角A 的对边和邻边同时扩大100 倍,tanA 的值（ ）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定 2、已知∠A,∠B 为锐角(1)若∠A=∠B,则tanA tanB; (2)若tanA=tanB,则∠A ∠B.例2：在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值.随堂练习(见课本P 6 1、2)3、补充:在等腰△ABC 中,AB=AC=13,BC=10,求tanB.三、拓展训练例3如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)四、中考链接1：若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高_______米2、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.§1.2从梯子的倾斜程度谈起(2)正弦与余弦一．知识要点：1.正弦,余弦的定义（1）.在Rt△ABC中,锐角A的与的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA=（2）.在Rt△ABC中,锐角A的与的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA=总结：①锐角三角函数的定义.锐角A的, , 都叫做∠A的三角函数.②定义中应该注意的几个问题（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).（2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号；（3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位.（4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.（5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.练习：如图,分别根据图(1)和图(2)求∠A的三个三角函数值.二．典型例题与分析：例1.如图:在Rt△ABC中,∠B=090,AC=200,sinA=0.6.求:BC的长.跟踪练习：1．如图，已知直角三角形A B C中，斜边A B的长为m，40B∠=，则直角边B C的长是（）A．s in40m B．co s40mC．tan40m D．ta n40m2.如图, ∠C=90°CD⊥AB.（1）SinB=()()=()()=()()（2）若BD=6,CD=12.求cosA的值.3.在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求sinB,cosB.三．基础练习：A BC 1．已知△ABC 中，90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ． 2.在Rt ABC ∆中，90=∠C ，如果2=AB ，1=BC ，那么Bsin的值是（ ）A.21B.23C.33D.33.在R t A B C △中，90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，则tan A =4.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离A C =3米，3c o s 4B AC ∠=，则梯子A B 的长度为 米．5.如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角，则tan α的值是（ ） Ａ．12Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．2四．知识延伸1.如图，P 是∠α的边OA 上一点，且点 P 的坐标为（3，4）， 则sin α= ( ) A ．35B ．45C ．34D ．432．如图，A D C D ⊥，13A B =，12B C =，3C D =，4A D =，则sin B =（ ） A ．513B ．1213C ．35D ．453.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将A B C △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为D E ，则tan C B E ∠的值是（ ） A ．247B ．3C ．724D ．134.如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DEF ，则cosE 的值等于 （ ） A. 12223五．中考链接 1．正方形网格中，A O B ∠如图放置，则co s A O B∠的值为（） 55Ｃ．12Ｄ．22.如图，在A B C △中，90A C B ∠=，C D A B ⊥于D ，若A C =A B =tan B C D ∠的值为（ ）2333.如图，在A B C ∆中，90C ∠=︒，点D 、E 分别在A C 、A B 上，B D 平分A B C ∠，D E A B ⊥，6A E =，3c o s 5A =.求（1）D E 、C D 的长； （2）tan D B C ∠的值.§1.3 300，450，600角的三角函数值(1)D ABCABO第1题一、知识要点（1）直角三角形中的边角关系（2）特殊角300,450,600角的三角函数值. （3）互余两角之间的三角函数关系. （4）同角之间的三角函数关系 二、典型例题例1：(1)sin300﹢cos450(2) sin 2600+cos 2600﹣tan450跟踪练习：(1)sin600﹣cos450; (2)cos600+tan600例2： 如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).跟踪练习：2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高为7m,扶梯的长度是多少?例3、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°, ∠A,∠B ,∠C 的对边分别是a,b,c.求证:sin 2A+cos 2A=1C跟踪练习：1.tan α×tan300 =1,且α为锐角。
锐角三角函数
1.1 锐角三角函数（第1课时）
复习回顾
互余
直 角 三 角 形
自学指导1
认真阅读P2—P4，思考下列问题 如何判断梯子的陡与缓？ 正切的含义是什么？ 梯子的倾斜度与tanA有何关系？ 三分钟后完成问题探究一
梯子,地面与墙之间就形成一个直角三 角形。墙AC和地面BC看成是直角边，梯子 AB看成是斜边。 A 从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子 的铅直高度 从梯子的低端B到墙角C的距离，称为梯子 铅 的水平宽度 直 梯子与地面的夹角∠ＡＢＣ 高 度 称为倾斜角
∵坡度i＝１： 3 BC 1 ∴ AC 3 则AC= 20
3 米.
又∵AB2=BC2+AC2
∴AB=√202+( 20 3 )2=40米
课堂小结：
在Rt△ABC中, 如果 锐角A确定,
B
那么 ∠A的对边与邻边的比 随之确定,
这个比叫做 ∠A的正切. 记作:tanA
∠A的对边
A
tanA=
∠A的对边
60m α 100m ┌
1.坡面与水平面的夹角(α)叫坡角 2.坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i (或坡比),即坡度等于坡角的正切。 3.坡度越大,坡面越陡。
例： 如图，为拦水坝的横截面，其中AB面的坡度 i＝1 : 3 ，若坝高BC=20米，求坝面AB的长。 解:在Rt△ABC中,BC=20米
类型二：
利用三角函数值求线段的长度
例2 如图，在Rt△ABC中,∠C=90°,
5 BC=3,sinA= ,求AC和AB。 13
类型三：
利用已知三角函数值，求其它三角函数值
例3 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，
北师大版九年级数学下全册详细教案(含答案)
第一章 直角三角形的边角关系1.1 锐角三角函数 第1课时 正切1.理解正切的定义，运用正切值的大小比较生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.(重点)2.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系.阅读教材P2～4，完成预习内容. (一)知识探究1.在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA ＝∠A 的对边∠A 的邻边.2.tanA 的值越大，梯子越陡.3.坡面的竖直高度与水平距离的比称为坡度(或坡比). (二)自学反馈1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，那么tanA 等于(C) A.513 B.1213 C.512 D.1252.如图，有一个山坡在水平方向上前进100 m ，在竖直方向上就升高60 m ，那么山坡的坡度i ＝tan α＝35.活动1 小组讨论例 如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？解：甲梯中，tan α＝5132－52＝512.乙梯中，tan β＝68＝34. 因为tan β>tan α，所以乙梯更陡.求正切值一定要在直角三角形中进行，并且一定要分清锐角的对边与邻边.活动2 跟踪训练1.如图，下面四个梯子最陡的是(B)2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A 、B 、O 为格点，则tan ∠AOB ＝(A) A.12 B.23 C.105 D.533.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且a ＝24，c ＝25，则tanA ＝247、tanB ＝724.4.如图，某人从山脚下的点A 走了300 m 后到达山顶的点B ，已知点B 到山脚的垂直距离为70 m ，求山的坡度0.24.(结果精确到0.01)活动3 课堂小结 1.正切的定义.2.梯子的倾斜程度与tanA 的关系(∠A 和tanA 之间的关系).3.数形结合的方法，构造直角三角形的意识.第2课时 锐角三角函数1.理解正弦函数和余弦函数的意义，能根据边长求出锐角的正弦值和余弦值，准确分清三种函数值的求法.(重点)2.经历探索直角三角形中边角关系的过程，进一步理解当锐角度数一定，则其对边、邻边、斜边三边比值也一定.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.阅读教材P5～6，完成预习内容. (一)知识探究1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ；∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，即sinA ＝a c .∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，即cosA ＝bc.2.锐角A 的正弦、余弦、正切叫做∠A 的三角函数.3.sinA 的值越大，梯子越陡；cosA 的值越小，梯子越陡.锐角三角函数是在直角三角形的前提下.(二)自学反馈1.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，则sinA 的值是(A) A.513 B.1213 C.512 D.1352.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cosB ＝23，则BC 的长为(A)A.4B.2 5C.181313D.1213133.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3、b ＝4，则sinB ＝45，cosB ＝35，tanB ＝43.活动1 小组讨论例1 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝200，sinA ＝0.6，求BC 的长.解：在Rt △ABC 中， ∵sinA ＝BC AC ，即BC200＝0.6，∴BC ＝200×0.6＝120.例2 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10，cosA ＝1213，求AB 的长及sinB.解：在Rt △ABC 中， ∵cosA ＝ACAB ，即10AB ＝1213，∴AB ＝656. ∴sinB ＝AC AB ＝cosA ＝1213.这里需要注意cosA ＝sinB.活动2 跟踪训练1.如图，某厂房屋顶呈人字架形(等腰三角形)，已知AC ＝8，DB ＝43，CD ⊥AB 于点D ，求sinB 的值.解：∵△ABC 是等腰三角形，∴BC ＝AC ＝8. ∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∴CD ＝BC 2－BD 2＝82－（43）2＝4， ∴sinB ＝CD BC ＝48＝12.2.如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D.若AB ＝12，CD ＝6，tanA ＝32，求sinB ＋cosB的值.解：在Rt △ACD 中，∵CD ＝6，tanA ＝32，∴AD ＝4，∴BD ＝AB －AD ＝8.在Rt △BCD 中，BC ＝82＋62＝10，∴sinB ＝CD BC ＝35，cosB ＝BD BC ＝45，∴sinB ＋cosB ＝75.活动3 课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？1.2 30°，45°，60°角的三角函数值1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算，能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.(重点)阅读教材P8～9，完成预习内容. 自学反馈完成下面的表格：sin α cos α tan α 30°12323345° 22 22 1 60°32123活动1 小组讨论 例1 计算：(1)sin30°＋cos45°；(2)sin 260°＋cos 260°－tan45°. 解：(1)原式＝12＋22＝1＋22.(2)原式＝34＋14－1＝0.sin 230°表示(sin30°)2，即sin30°·sin30°，这类计算只需将三角函数值代入即可.例2 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)解：根据题意可知，∠AOD ＝12∠AOB ＝30°，AO ＝2.5 m.∴OD ＝OAcos30°＝2.5×32＝2.165(m). ∴CD ＝2.5－2.165≈0.34(m).∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34 m. 活动2 跟踪训练 1.计算：(1)2sin30°＋3tan30°＋tan45°；(2)cos 245°＋tan60°cos30°.解：(1)原式＝2＋ 3. (2)原式＝2. 2.如图，某同学用一个有60°的直角三角板估测学校旗杆AB 的高度，他将60°角的直角边水平放在1.5 m 高的支架CD 上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D ，B 的距离为5 m ，则旗杆AB 的高度大约是多少米？(精确到1 m ，3取1.73)解：由已知可得四边形CDBE 是矩形，∴CE ＝DB ＝5 m ，BE ＝CD ＝1.5 m. 在Rt △ACE 中，∵tan ∠ACE ＝AECE，∴AE ＝CE ·tan ∠ACE ＝5·tan60°＝53，∴AB ＝53＋1.5＝8.65＋1.5＝10.15≈10 (m)， 即旗杆AB 的高度大约是10 m. 活动3 课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？1.3 三角函数的计算1.能利用计算器求锐角三角函数值.2.已知锐角三角函数值，能用计算器求相应的锐角.阅读教材P12～14，完成预习内容. 自学反馈1.已知tan α＝0.324 9，则α约为(B)A.17°B.18°C.19°D.20°2.已知tan β＝22.3，则β＝87°25′56″.(精确到1″)活动1 小组讨论例1 如图，当登山缆车的吊箱经过点A 到达点B 时，它走过了200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？(结果精确到0.01 m)解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∴BC ＝ABsin α＝200×sin16°≈55.13(m).例2 为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10 m 高的天桥两端修建了40 m 长的斜到.这条斜道的倾斜角是多少？解：在Rt △ABC 中，sinA ＝BC AC ＝1040＝14.∴∠A ≈14°28′.答：这条斜道的坡角α是14°28′.在直角三角形ABC 中，直接用正弦函数描述∠CBA 的关系式，再用计算器求出它的度数.活动2 跟踪训练1.用计算器计算：(结果精确到0.000 1) (1)sin36°； (2)cos30.7°；(3)tan20°30′； (4)sin25°＋2cos61°－tan71°. 解：(1)0.587 8；(2)0.859 9；(3)0.373 9；(4)－1.512 0.2.在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，BC ＝20，AC ＝12.5，求两个锐角的度数(精确到1°). 解：∵∠C ＝90°，BC ＝20，AC ＝12.5， ∴tanB ＝AC BC ＝12.520＝0.625，用计算器计算，得∠B ≈32°，∴∠A ＝90°－32°＝58°. 活动3 课堂小结1.本节学习的数学知识：利用计算器求锐角的三角函数值或锐角的度数.2.本节学习的数学方法：培养学生一般化意识，认识特殊和一般都是事物属性的一个方面.3.求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角函数键，故数字键；或先输入数字后，再按三角函数键，因此使用计算器时一定先要弄清输入顺序.1.4 解直角三角形1.了解什么叫解直角三角形.2.掌握解直角三角形的根据，能由已知条件解直角三角形.(重点)阅读教材P16～17，完成预习内容. (一)知识探究1.在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形.2.直角三角形中的边角关系：三边之间的关系a 2＋b 2＝c 2；两锐角之间的关系∠A ＋∠B ＝90°；边与角之间的关系：sinA ＝a c ，cosA ＝b c ，tanA ＝a b ，sinB ＝b c ，cosB ＝a c ，tanB ＝ba .3.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知∠A 与斜边c ，用关系式∠B ＝90°－∠A ，求出∠B ，用关系式sinA ＝ac求出a.(二)自学反馈1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝35，则BC ∶AC ＝(A)A.3∶4B.4∶3C.3∶5D.4∶52.如图所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为(B)A.5cos αB.5cos αC.5sin αD.5sin α活动1 小组讨论例1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝15，b ＝5，求这个三角形的其他元素.解：在Rt △ABC 中，a 2＋b 2＝c 2，a ＝15，b ＝5，∴c ＝a 2＋b 2＝（15）2＋（5）2＝2 5.在Rt △ABC 中，sinB ＝b c ＝525＝12.∴∠B ＝30°.∴∠A ＝60°.例2 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝30，∠B ＝25°，求这个三角形的其他元素(边长精确到1).解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝25°，∴∠A ＝65°.∵sinB ＝b c ，b ＝30，∴c ＝bsinB≈71.∵tanB ＝b a ，b ＝30，∴a ＝b tanB ＝30tan25°≈64.活动2 跟踪训练1.根据下列条件解直角三角形.(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝43，∠A ＝60°. 解：∵∠A ＝60°，∴∠B ＝90°－∠A ＝30°.∵sinA ＝a c ，∴a ＝c ·sinA ＝43·sin60°＝43×32＝6，∴b ＝c 2－a 2＝（43）2－62＝2 3. (2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝2 3.解：∵∠C ＝90°，a ＝6，b ＝23， ∴c ＝a 2＋b 2＝62＋（23）2＝4 3. ∵tanA ＝a b ＝623＝3，∴∠A ＝60°，∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°.2.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AB ＝8，∠ABD ＝30°，∠CAD ＝45°，求BC 的长.解：∵AD ⊥BC 于点D ， ∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°.在Rt △ABD 中，∵AB ＝8，∠ABD ＝30°， ∴AD ＝12AB ＝4，BD ＝3AD ＝4 3.在Rt △ADC 中，∵∠CAD ＝45°，∠ADC ＝90°， ∴DC ＝AD ＝4，∴BC ＝BD ＋DC ＝43＋4. 活动3 课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？1.5 三角函数的应用 第1课时 方位角问题能运用解直角三角形解决航行问题.阅读教材P19有关方位角问题，完成预习内容. 自学反馈1.如图，我们说点A 在O 的北偏东30°方向上，点B 在点O 的南偏西45°方向上，或者点B 在点O 的西南方向.2.如图，小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A 处)在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是250米.活动1 小组讨论例 如图，海中一小岛A ，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A 岛南偏西55°的B 处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C 处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？解：如图，过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D. 在Rt △ABD 中，∵tan ∠BAD ＝BDAD，∴BD ＝AD ·tan55°.在Rt △ACD 中，∵tan ∠CAD ＝CDAD ，∴CD ＝AD ·tan25°. ∵BD ＝BC ＋CD ，∴AD ·tan55°＝20＋AD ·tan25°. ∴AD ＝20tan55°－tan25°≈20.79>10.∴轮船继续向东行驶，不会遇到触礁危险.应先求出点A 距BC 的最近距离，若大于10则无危险，若小于或等于10则有危险.活动2 跟踪训练1.如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，这时，海轮所在的B 处与灯塔P 的距离为(A)A.402海里B.403海里C.80海里D.406海里2.如图所示，A 、B 两城市相距100 km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB).经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50 km 为半径的圆形区域内，请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)解：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.理由如下：过点P 作PC ⊥AB ，C 是垂足. 则∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°，AC ＝PC ·tan30°，BC ＝PC ·tan45°. ∵AC ＋BC ＝AB ，∴PC ·tan30°＋PC ·tan45°＝100， 即33PC ＋PC ＝100，(33＋1)PC ＝100， ∴PC ＝33＋3×100＝50×(3－1.732)≈63.40>50.∴计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.解这类题目时，首先弄清楚方位角的含义；其次是通过作垂线构造直角三角形，将问题转化为解直角三角形.活动3 课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？第2课时仰角、俯角问题1.理解仰角、俯角等概念，并会把类似于测量建筑物高度的实际问题抽象成几何图形.2.能利用解直角三角形来解其他非直角三角形的问题.阅读教材P19想一想，完成预习内容.(一)知识探究1.仰角、俯角：当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角.2.解决实际应用问题时，常作的辅助线：构造直角三角形，解直角三角形.(二)自学反馈1.如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞机飞行高度AC ＝1 200 m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝30°，则飞机A与指挥台B的距离为(D)A.1 200 mB.1 200 2 mC.1 200 3 mD.2 400 m2.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是(D)A.200米B.2003米C.2203米D.100(3＋1)米活动1 小组讨论例如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)解：∵∠DAB ＝30°，∠DBC ＝60°， ∴BD ＝AB ＝50 m.∴DC ＝BD ·sin60°＝50×32＝253≈43(m). 答：该塔高约为43 m. 活动2 跟踪训练1.我市某建筑工地，欲拆除该工地的一危房AB(如图)，准备对该危房实施定向爆破.已知距危房AB 水平距离60米(BD ＝60米)处有一居民住宅楼，该居民住宅楼CD 高15米，在该住宅楼顶C 处测得此危房屋顶A 的仰角为30°，请你通过计算说明在实施定向爆破危房AB 时，该居民住宅楼有无危险？(在地面上以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：没有危险，理由如下： 在△AEC 中，∵∠AEC ＝90°， ∴tan ∠ACE ＝AECE.∵∠ACE ＝30°，CE ＝BD ＝60， ∴AE ＝203≈34.64(米).又∵AB ＝AE ＋BE ，BE ＝CD ＝15， ∴AB ≈49.64(米).∵60>49.64，即BD>AB ，∴在实施定向爆破危房AB 时，该居民住宅楼没有危险.2.如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的一棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角β＝60°，求树高AB.(结果保留根号)解：作CF ⊥AB 于点F ，设AF ＝x 米， 在Rt △ACF 中，tan ∠ACF ＝AFCF，则CF ＝AF tan ∠ACF ＝x tan α＝xtan30°＝3x ，在直角△ABE 中，AB ＝x ＋BF ＝4＋x(米)，在直角△ABE 中，tan ∠AEB ＝AB BE ，则BE ＝AB tan ∠AEB ＝x ＋4tan60°＝33(x ＋4)米.∵CF －BE ＝DE ，即3x －33(x ＋4)＝3. 解得x ＝33＋42.则AB ＝33＋42＋4＝33＋122(米).答：树高AB 是33＋122米.活动3 课堂小结1.本节学习的数学知识：利用解直角三角形解决实际问题.2.本节学习的数学方法：数形结合、数学建模的思想.第3课时 坡度问题1.能运用解直角三角形解决斜坡问题.2.理解坡度i ＝坡面的铅直高度坡面的水平宽度＝tan 坡角.阅读教材P19做一做，完成预习内容. 自学反馈1.如图所示，斜坡AB 和水平面的夹角为α.下列命题中，不正确的是(B) A.斜坡AB 的坡角为α B.斜坡AB 的坡度为BCABC.斜坡AB 的坡度为tan αD.斜坡AB 的坡度为BCAC2.如图，一人乘雪橇沿30°的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)间的关系为s ＝10t ＋2t 2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为(C)A.72 mB.36 3 mC.36 mD.18 3 m活动1 小组讨论例 某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m ，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？(结果精确到0.01 m)解：根据题意可得图形，如图所示： 在Rt △ABD 中，sin40°＝AD AB ＝AD4，∴AD ＝4sin40°＝4×0.64＝2.56， 在Rt △ACD 中，tan35°＝AD CD ＝2.56CD ，CD ＝ 2.56tan35°＝3.66，tan40°＝AD BD ＝2.56BD ，BD ＝ 2.56tan40°≈3.055 m.∴CB ＝CD －BD ＝3.66－3.055≈0.61(m). ∴楼梯多占了0.61 m 长一段地面. AC ＝ADsin35°≈4.46 m.∴AC －AB ＝4.46－4＝0.46(m). ∴调整后的楼梯会加长0.46 m. 活动2 跟踪训练1.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm ，深为30 cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度i ＝1∶5，则AC 的长度是210cm.2.如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m ，坝高23 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶3，斜坡CD 的坡度i ′＝1∶2.5，求斜坡AB 的坡角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长.(精确到0.1 m)解：如图，过点B 作BE ⊥AD 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 于点F ， 在Rt △ABE 和Rt △CDF 中，BE AE ＝13，CF FD ＝12.5，∴AE ＝3BE ＝3×23＝69(m)，FD ＝2.5CF ＝2.5×23＝57.5(m). ∴AD ＝AE ＋EF ＋FD ＝69＋6＋57.5＝132.5(m).∵斜坡的坡度i＝13≈0.333 3，∴BEAE ＝0.333 3，即tan α＝0.333 3.∴α≈18°26′. ∵BE AB ＝sin α，∴AB ＝BE sin α≈230.316 2≈72.7(m). 答：斜坡AB 的坡角α约为18°26′，坝底宽AD 为132.5 m ，斜坡AB 的长约为72.7 m.这类问题，首先要弄清楚坡度、坡角等名词的含义；其次，要将梯形予以分割，分割成特殊的四边形和直角三角形.活动3 课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？1.6 利用三角函数测高会利用直角三角形的边角关系测物体的高度.(重点)阅读教材P22～23，完成预习内容. 自学反馈1.测量倾斜角可用测倾器.简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成.活动1 小组讨论例1 测量底部可以到达的物体的高度下面是活动报告的一部分，请填写“测得数据”和“计算”两栏中未完成的部分.课题测量旗杆高测量示 意图测得 数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 BD 的长 24.19 m 23.97 m 24.08 m 测倾器的高 CD ＝1.23 m CD ＝1.19 m 1.21 m 倾斜角α＝31°15′α＝30°45′α＝31°计算，旗杆高AB(精确到0.1 m)AB ＝AE ＋BE ＝CEtan31°＋CD＝24.08×tan31°＋1.21＝15.7(m) 例2 测量底部不可以到达的物体的高度.如图，小山上有一座铁塔AB ，在D 处测得点A 的仰角为∠ADC ＝60°，点B 的仰角为∠BDC ＝45°；在E 处测得A 的仰角为∠E ＝30°，并测得DE ＝90米，求小山高BC 和铁塔高AB(精确到0.1米).解：在△ADE 中，∠E ＝30°，∠ADC ＝60°， ∴∠E ＝∠DAE ＝30°. ∴AD ＝DE ＝90米.在Rt △ACD 中，∠DAC ＝30°，则CD ＝12AD ＝45米，AC ＝AD ·sin ∠ADC ＝AD ·sin60°＝453米.在Rt △BCD 中，∠BDC ＝45°，则△BCD 是等腰直角三角形. BC ＝CD ＝45米，∴AB ＝AC －BC ＝453－45≈32.9米.答：小山高BC 为45米，铁塔高AB 约为32.9米. 活动2 跟踪训练为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索： 实践一：根据《自然科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图(1)的测量方案：把镜子放在离树(AB)8.7(米)的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝2.7米，观察者目高CD ＝1.6米，请你计算树A B 的高度(精确到0.1米)实践二：提供选用的测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为2.5米的标杆一根；④高度为1.5米的测角仪一架，请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：(1)在你设计的方案中，选用的测量工具是①④. (2)在图(2)中画出你的测量方案示意图；(3)你需要测得示意图中哪些数据，并分别用a ，b ，c ，α，β等表示测得的数据a ·tan α＋1.5.(4)写出求树高的算式：AB ＝AB ＝a ·tan α＋1.5.解：实践一：∵∠CED ＝∠AEB ，CD ⊥DB ，AB ⊥BD ， ∴△CED ∽△AEB ， ∴CD AB ＝DE BE. ∵CD ＝1.6米，DE ＝2.7米，BE ＝8.7米， ∴AB ＝1.6×8.72.7≈5.2(m).实践二：(1)在距离树AB 的a 米的C 处，用测角仪测得仰角α，测角仪为CD.再根据仰角的定义，构造直角三角形ADE ，求得树高出测角仪的高度AE ，则树高为AE ＋BE.(2)如图.活动3 课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？第三章圆3.1 圆1.回顾圆的基本概念.2.理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、半圆、等圆、等弧等.(重点)3.结合实例，理解平面内点与圆的三种位置关系.(难点)阅读教材P65～66，完成预习内容.(一)知识探究1.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.2.设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d<r.(二)自学反馈1.下列命题中正确的有(A)①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图所示，图中共有2条弦.3.在平面内，⊙O的半径为5 cm，点P到圆心的距离为3 cm，则点P与⊙O的位置关系是点P在圆内.活动1 小组讨论例1 ⊙O的半径为2 cm，则它的弦长d的取值范围是0<d≤4_cm.直径是圆中最长的弦.例2⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是等边三角形.与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型.例3 已知AB＝4 cm，画图说明满足下列条件的图形.(1)到点A和B的距离都等于3 cm的所有点组成的图形；(2)到点A和B的距离都小于3 cm的所有点组成的图形；(3)到点A的距离大于3 cm，且到点B的距离小于2 cm的所有点组成的图形.解：(1)如图1，分别以点A和B为圆心，3 cm为半径画⊙A与⊙B，两圆的交点C、D 为所求；图1 图2(2)如图1，分别以点A和点B为圆心，3 cm为半径画⊙A与⊙B，两圆的重叠部分为所求；(3)如图2，以点A为圆心，3 cm为半径画⊙A，以点B为圆心，2 cm为半径画⊙B，则⊙B中除去两圆的重叠部分为所求.活动2 跟踪训练1.已知⊙O的半径为4，OP＝3.4，则P在⊙O的内部.2.已知点P在⊙O的外部，OP＝5，那么⊙O的半径r满足0<r<5.3.如图，图中有1条直径，2条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有4条，劣弧有4条.这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数.4.如图，已知矩形ABCD的边AB＝3 cm、AD＝4 cm.(1)以点A为圆心，4 cm为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系怎样？(2)若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？解：(1)点B在⊙A内，点C在⊙A外，点D在⊙A上；(2)3<r<5.(2)问中B、C、D三点中至少有一点在圆内，是指哪个点在圆内？至少有一点在圆外是指哪个点在圆外？活动3 课堂小结1.这节课你学了哪些知识？2.学会了哪些解圆的有关问题的技巧？3.2 圆的对称性1.理解圆的轴对称性及其中心对称性.2.通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系.(重难点)阅读教材P70～71，完成预习内容.(一)知识探究1.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心.2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦，两条弧中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等.(二)自学反馈1.圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，其对称轴是任意一条过圆心的直线.2.在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦.(1)如果AB ＝CD ，那么AB ︵＝CD ︵，∠AOB ＝∠COD ； (2)如果AB ︵＝CD ︵，那么AB ＝CD ，∠AOB ＝∠COD ； (3)如果∠AOB ＝∠COD ，那么AB ＝CD ，AB ︵＝CD ︵.活动1 小组讨论例 如图，AB 、DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且AD ︵＝CE ︵.BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？解：BE ＝CE.理由是：∵∠AOD ＝∠BOE ，∴AD ︵＝BE ︵. 又∵AD ︵＝CE ︵， ∴BE ︵＝CE ︵. ∴BE ＝CE.活动2 跟踪训练1.如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝75°，则∠BAC ＝30°.2.如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝60°，求证：∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC.证明：∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC.又∵∠ACB ＝60°，∴△ABC 为等边三角形. ∴AB ＝AC ＝BC.∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC.3.如图，已知在⊙O 中，BC 是直径，AB ︵＝DC ︵，∠AOD ＝80°，求∠AOB 的度数.解：∵AB ︵＝DC ︵， ∴∠AOB ＝∠DOC. ∵∠AOD ＝80°，∴∠AOB ＝∠DOC ＝12(180°－80°)＝50°.活动3 课堂小结圆心角、弧、弦是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法.*3.3 垂径定理1.通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论.(重点).2.能运用垂径定理及其推论计算和证明实际问题.(难点)阅读教材P74～75，完成预习内容. (一)知识探究1.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB 经过圆心O 且与圆交于A 、B 两点；②AB ⊥CD 交CD 于E ；那么可以推出：③CE ＝DE ；④CB ︵＝DB ︵；⑤CA ︵＝DA ︵.2.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. (二)自学反馈1.如图，弦AB ⊥直径CD 于E ，相等的线段有：AE ＝EB ，CO ＝DO ；相等的弧有：AD ︵＝DB ︵，AC ︵＝BC ︵，CAD ︵＝CBD ︵.2.在⊙O 中，直径为10 cm ，圆心O 到AB 的距离OC 为3 cm ，则弦AB 的长为8_cm.活动1 小组讨论例 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD ︵，点O 是CD ︵所在圆的圆心)，其中CD ＝600 m ，E 为CD ︵上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF ＝90 m ，求这段弯路的半径.解：连接OC.设弯路的半径为R m ，则OF ＝(R －90)m. ∵OE ⊥CD ，∴CF ＝12CD ＝12×600＝300(m).在Rt △OCF 中，根据勾股定理，得OC 2＝CF 2＋OF 2，即 R 2＝3002＋(R －90)2. 解得R ＝545.所以，这段弯路的半径为545 m.常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形.活动2 跟踪训练1.如图，在⊙O 中，弦AB ＝4 cm ，点O 到AB 的距离OC 的长是2 3 cm ，则⊙O 的半径是4_cm.2.CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，且AB ⊥CD ，垂足是E ，如果CE ＝2、AB ＝8，那么ED ＝8，⊙O 的半径r ＝5.3.已知：如图，线段AB 与⊙O 交于C 、D 两点，且OA ＝OB.求证：AC ＝BD.证明：作OE ⊥AB 于E.则CE ＝DE. ∵OA ＝OB ，OE ⊥AB ， ∴AE ＝BE.∴AE －CE ＝BE －DE ， 即AC ＝BD.过圆心作垂径是圆中常用辅助线.活动3 课堂小结用垂径定理及其推论进行有关的计算.3.4 圆周角和圆心角的关系第1课时 圆周角定理及其推论11.理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角.(重点)2.理解同弧或等弧所对的圆心角和圆周角的关系，理解记忆推论1，能在证明或计算中熟练地应用它们处理相关问题.(难点)阅读教材P78～80，完成预习内容. (一)知识探究1.顶点在圆上，它的两边与圆还有另一个交点的角叫做圆周角.2.圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.3.同弧或等弧所对的圆周角相等. (二)自学反馈1.如图所示，已知圆心角∠BOC ＝100°，点A 为优弧BC ︵上一点，则∠BAC ＝50°.2.如图所示，点A 、B 、C 在圆周上，∠A ＝65°，则∠D ＝65°.活动1 小组讨论例1 如图所示，点A 、B 、C 在⊙O 上，连接OA 、OB ，若∠ABO ＝25°，则∠C ＝65°.例2 如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO ＝32°，则∠COB ＝64°.(1)求圆周角通常先求同弧所对的圆心角.(2)求圆心角可先求对应的圆周角.(3)连接OC ，构造圆心角的同时构造等腰三角形.活动2 跟踪训练1.如图，锐角△ABC 的顶点A ，B ，C 均在⊙O 上，∠OAC ＝20°，则∠B ＝70°.2.OA 、OB 、OC 都是⊙O 的半径，∠AOB ＝2∠BOC.求证：∠ACB ＝2∠BAC.证明：∵∠AOB 是劣弧AB ︵所对的圆心角，∠ACB 是劣弧AB ︵所对的圆周角， ∴∠AOB ＝2∠ACB. 同理∠BOC ＝2∠BAC. ∵∠AOB ＝2∠BOC. ∴∠ACB ＝2∠BAC.求圆周角一定先看它是哪条弧所对的圆周角，再看所对的圆心角.活动3 课堂小结圆周角的定义、定理及推论.第2课时 圆周角定理的推论2、31.进一步探索直径所对的圆周角的特征，并能应用其进行简单的计算与证明.(重点)2.掌握圆内接四边形的有关概念及性质.(难点)阅读教材P81(问题解决)～83(议一议)，完成预习内容. (一)知识探究1.直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.2.四个顶点都在圆上的四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆；圆内接四边形的对角互补.(二)自学反馈1.如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，若∠BAD ＝110°，则∠BCD 等于(C) A.110° B.90° C.70° D.20°2.如图，AB 是⊙O 的直径，∠A ＝35°，则∠B 的度数是55°.活动1 小组讨论例1 如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD ＝30°，则∠A 的度数为(C) A.30° B.45° C.60° D.75°例2 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠CBE 是它的外角，若∠D ＝120°，则∠CBE 的度数是120°.例3 如图所示，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE ＝∠CAD.证明：连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ABE ＝90°， ∴∠BAE ＋∠E ＝90°. ∵AD 是△ABC 的高， ∴∠ADC ＝90°， ∴∠CAD ＋∠C ＝90°. ∵AB ︵＝AB ︵，∴∠E ＝∠C.∵∠BAE ＋∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CAD.涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题.活动2 跟踪训练1.如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是(D)A.1B. 2C. 3D.22.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为4.3.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝110°，则∠BOD＝140度.4.如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠AOD＝130°，BC∥OD交⊙O于C，求∠A 的度数.解：∵∠AOD＝130°，∴∠BOD＝50°.∵BC∥OD，∴∠B＝∠BOD＝50°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠A＝90°－∠B＝40°.活动3 课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.在学生回答基础上，教师强调：①直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；②圆内接四边形定义及性质；③在圆周角定理运用中，遇到直径，常构造直角三角形.。
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1.1 锐角三角函数
第2课时 正弦与余弦
1．理解正弦与余弦的概念；(重点)
2．能用正弦、余弦的知识，根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角．(难点)
一、情境导入
如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m ，他的相对位置升高了5m.
如果他沿着该斜坡行走了20m ，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m 呢？ 在上述情形中，小明的位置沿水平方向又分别移动了多少？ 根据相似三角形的性质可知，当直角三角形的一个锐角的大小确定时，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也就确定了．
二、合作探究
探究点：正弦和余弦
【类型一】 直接利用定义求正弦和余弦值
在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，求sin A ，cos A . 解析：利用勾股定理求出AC ，然后根据正弦和余弦的定义计算即可．
解：由勾股定理得AC ＝AB 2－BC 2＝132－52
＝12，sin A ＝BC AB ＝513，cos A ＝AC AB ＝1213
.
方法总结：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对
边比邻边，熟记三角函数的定义是解决问题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第1题 【类型二】 已知一个三角函数值求另一个三角函数值
如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在BC 上，AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝3
5
，求sin B
的值．
解析：先由AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝3
5及勾股定理求出AC 及AB 的长，再由锐角三角函
数的定义解答．
解：∵AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝3
5
，∴CD ＝3.在Rt △ACD 中，∵AD ＝5，CD ＝3，∴AC ＝
AD 2－CD 2＝52－32＝4.在Rt △ACB 中，∵AC ＝4，BC ＝5，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋52
＝41，
∴sin B ＝AC
AB
＝
4
41
＝44141 .
方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结
合勾股定理是解答此类问题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 【类型三】 比较三角函数的大小
sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是( ) A ．tan70°＜cos70°＜sin70° B ．cos70°＜tan70°＜sin70° C ．sin70°＜cos70°＜tan70° D ．cos70°＜sin70°＜tan70° 解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又cos70°＝sin20°，锐角的正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝co s70°.故选D.
方法总结：当角度在0°<∠A <90°间变化时，0<sin A <1，1>cos A >0.当角度在45°＜∠A ＜90°间变化时，tan A ＞1.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题 【类型四】 与三角函数有关的探究性问题
在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 边(除端点外)上的一点，设∠ADC ＝α，∠B
＝β.
(1)猜想sin α与sin β的大小关系； (2)试证明你的结论．
解析：(1)因为在△ABD 中，∠ADC 为△ABD 的外角，可知∠ADC ＞∠B ，可猜想sin α＞sin β；(2)利用三角函数的定义可求出sin α，sin β的关系式即可得出结论．
解：(1)猜想：sin α＞sin β；
(2)∵∠C ＝90°，∴sin α＝
AC AD ，sin β＝AC AB .∵AD ＜AB ，∴AC AD ＞AC
AB
，即sin α＞sin β. 方法总结：利用三角函数的定义把两角的正弦值表示成线段的比，然后进行比较是解题
的关键．
【类型五】 三角函数的综合应用
如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan B ＝cos ∠DAC . (1)求证：AC ＝BD ；
(2)若sin C ＝12
13
，BC ＝36，求AD 的长．
解析：(1)根据高的定义得到∠ADB ＝∠ADC ＝90°，再分别利用正切和余弦的定义得到
tan B ＝AD BD ，cos ∠DAC ＝AD AC ，再利用tan B ＝cos ∠DAC 得到
AD BD ＝AD
AC
，所以AC ＝BD ；(2)在Rt △ACD 中，根据正弦的定义得sin C ＝AD AC ＝12
13
，可设AD ＝12k ，AC ＝13k ，再根据勾股定理
计算出CD ＝5k ，由于BD ＝AC ＝13k ，于是利用BC ＝BD ＋CD 得到13k ＋5k ＝36，解得k ＝2，所以AD ＝24.
(1)证明：∵AD 是BC 上的高，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°.在Rt △ABD 中，tan B ＝AD BD
，在Rt △ACD 中，cos ∠DAC ＝AD AC .∵tan B ＝cos ∠DAC ，∴AD BD ＝AD AC
，∴AC ＝BD ；
(2)解：在Rt △ACD 中，sin C ＝AD AC ＝1213
.设AD ＝12k ，AC ＝13k ，∴CD ＝AC 2－AD 2
＝5k .∵BD
＝AC ＝13k ，∴BC ＝BD ＋CD ＝13k ＋5k ＝36，解得k ＝2，∴AD ＝12×2＝24.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题 三、板书设计
正弦与余弦
1．正弦的定义 2．余弦的定义
3．利用正、余弦解决问题
本节课的教学设计以直角三角形为主线，力求体现生活化课堂的理念，让学生在经历“问题情境——形成概念——应用拓展——反思提高”的基本过程中，体验知识间的内在联系，让学生感受探究的乐趣，使学生在学中思，在思中学．在教学过程中，重视过程，深化理解，通过学生的主动探究来体现他们的主体地位，教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用，对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用.
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