中考几何题中的新定义型题集锦

中考几何题中的新定义型题集锦

在近年的中考试题中，涌现出了许多创意新颖、情境熟悉的几何新定义型试题，为了便于同学们了解掌握这方面的信息，现从近年的中考试题中精选数例，供同学们参考与借鉴。

一、定义一种新的几何体

例1（2001年泰州市）我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体，如图1，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体。

（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（ ）

A. 两个球体

B. 两个圆锥体

C. 两个圆柱体

D. 两个长方体

（2）请猜想出相似体的主要性质：

①相似体的一切对应线段（或弧长）的比等于_______；

②相似体表面积的比等于_______；

③相似体体积的比等于_______。

（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一个人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1m ，体重为18kg ，到了初三，身高为1.65m ，问他的体重为多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化）

二、定义一种新的规则

例2 （2003年安徽省）如图2，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把它与正三角形的接近程度称为“正度”，在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等。

设等腰三角形的底和腰分别为a 、b ，底角和顶角分别为α、β，要求“正度”的值是非负数。

同学甲认为：可用式子|b a |-来表示“正度”，|b a |-的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形。

同学乙认为：可用式子||β-α来表示“正度”，||β-α的值越小，表示等腰三角形越接近于正三角形。

探究：（1）他们的方案哪个较为合理，为什么？

（2）对你认为不合理的方案，请加以改进（给出式子即可）。

（3）请再给出一种衡量“正度”的表达式。

例3（2003年安徽省附加题）如图3，在五边形54321A A A A A 中，1B 是1A 对边43A A 的中点，连结11B A ，我们称11B A 是这个五边形的一条中对线，如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分。

求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行。

例4（2007年连云港市）如图4（1），点C 将线段AB 分成两部分，如果AC ：AB=BC ：AC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点。

某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S 、2S ，如果121S :S S :S ，那么称直线l 为该图形的黄金分割线。

（1）研究小组猜想：在△ABC 中，若点D 为AB 边上的黄金分割点，如图4（2），则直线CD 是△ABC 的黄金分割线。你认为对吗？为什么？

（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF ∥CE ，交AC 于点F ，连结EF ，如图4（3），则直线EF 也是△ABC 的黄金分割线。请你说明理由。

（4）如图4（4），点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF ∥AD ，交DC 于点F ，显然直线EF 是平行四边形ABCD 的黄金分割线，请你画一条平行四边形ABCD 的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD 各边的黄金分割点。

例5（2006年安徽省实验区）如图6，凸四边形ABCD ，如果点P 满足∠APD=∠APB=α，且∠BPC=∠CPD=β，则称点P 为四边形ABCD 的一个半等角点。

（1）在图8的正方形ABCD 内画一个半等角点，且满足β≠α。

（2）在图9的四边形ABCD 中画一个半等角点，保留画图痕迹（不需写出画法）。

（3）若四边形ABCD 有两个半等角点1P 、2P （如图7），证明线段21P P 上任意一点也是它的半等角点。

例6（2007年宁波市）四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两端点的距离相等，则称这个点为这个四边形的准等距点，如图10（1），点P 为四边形ABCD 对角线AC 所在直线上的一点，PD=PB ，PA ≠PC ，则点P 为四边形ABCD 的准等距点。

（1）如图10（2），画出菱形ABCD 的一个准等距点；

（2）如图10（3），作出四边形ABCD 的一个准等距点（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）

（3）如图10（4），在四边形ABCD 中，P 是AC 上的点，≠PA PC ，延长BP 交CD 于点E ，延长DP 交BC 于点F ，且∠CDF=∠CBE ，CE=CF ，求证：点P 是四边形ABCD 的准等距点；

（4）试研究四边形的准等距点个数的情况（说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明）。

例7 （2005年天津市）在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别用a 、b 、c 表示。

（I ）如图11，在△ABC 中，∠A=2∠B ，且∠B=︒60，求证；()c b b a 2

+=；

（II ）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”，本题第（I ）问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对任意的倍角三角形ABC ，其中∠A=2∠B ，如图12，关系式()c b b a 2+=是否仍然成立？并证明你的结论；

（III ）试求出一个倍角三角形的三条边长，使这三条边长恰好为三个连续的正整数。

六、定义一种新的矩形

例8（2005年资阳市）阅读以下短文，然后解决下列问题：

如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图13所示，矩形ABEF 即为△ABC 的“友好矩形”，显然，当△ABC 是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个。

（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”。

（2）如图14，若△ABC 为直角三角形，且∠C=︒90，在图14中，画出△ABC 的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；

（3）若△ABC 是锐角三角形，且BC>AC>AB ，在图15中画出△ABC 的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形，并加以证明。