(2019-2020)学年天津市部分区高二上学期期末数学试题(理科)(解析版)

高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）经过两点A（4，a），B（2，3）的直线的倾斜角为，则a=（）A．3 B．4 C．5 D．6
2．（4分）双曲线=1的离心率是（）
A．B．C．D．2
3．（4分）命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是（）
A．∀m∈N，曲线=1是椭圆
B．∀m∈N，曲线=1不是椭圆
C．∃m∈N+，曲线=1是椭圆
D．∃m∈N+，曲线=1不是椭圆
4．（4分）已知向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），若，则实数λ的值为（）
A．﹣2 B．﹣ C．D．2
5．（4分）“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）
A．πB．πC．π D．3π
7．（4分）直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）
A．相交B．相离C．相切D．与k取值有关
8．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m∥β，则α⊥β
C．若m∥α，α∥β，则m∥βD．若m⊥n，m∥α，则n⊥α
9．（4分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为2，则点M到该抛物线的准线的距离为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（4分）已知P（x，y）为椭圆C：=1上一点，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1且MP⊥MF，则|PM|的取值范围是（）
A．[2，8]B．[，8]C．[2，]D．[，]
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为．
12．（4分）椭圆=1的两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=．
13．（4分）已知三条直线l1：2x+my+2=0（m∈R），l2：2x+y﹣1=0，l3：x+ny+1=0（n∈R），若l1∥l2，l1⊥l3，则m+n的值为．
14．（4分）如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，点D在棱BB1上，且BD=1，则直线AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为．
15．（4分）平面上一质点在运动过程中始终保持与点F（1，0）的距离和直线x=﹣1的距离相等，若质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则k 的取值范围是．
三、解答题（共5小题，共60分）
16．（12分）已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0（m∈R）．
（1）求m的取值范围；
（2）若m=1，求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度．
17．（12分）已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k（x﹣2）相交于不同的A，B两点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）当k=时，求△OAB的面积．
18．（12分）如图，在多面体P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2．
（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；
（2）求三棱锥P﹣BCD的体积．
19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC的中点．（1）求证：C1D⊥D1E；
（2）动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，求λ的值；（3）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求线段AD的长．
20．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，经过椭圆右焦点且
垂直于x轴的直线被椭圆截得弦的长度为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B 两点（A，B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）经过两点A（4，a），B（2，3）的直线的倾斜角为，则a=（）A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．
【解答】解：由题意可得：==1，解得a=5．
故选：C．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（4分）双曲线=1的离心率是（）
A．B．C．D．2
【分析】利用双曲线方程求解实半轴的长，半焦距的长，然后求解离心率即可．【解答】解：双曲线=1，可知a=2，b=1，c==，所以双曲线的
离心率是=．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
3．（4分）命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是（）
A．∀m∈N，曲线=1是椭圆
B．∀m∈N，曲线=1不是椭圆
C．∃m∈N+，曲线=1是椭圆
D．∃m∈N+，曲线=1不是椭圆
【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是：∀m∈N，曲线=1不是椭圆．
故选：B．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．
4．（4分）已知向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），若，则实数λ的值为（）
A．﹣2 B．﹣ C．D．2
【分析】利用向量垂直的性质直接求解．
【解答】解：∵向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），，
∴=0﹣3+3（3+λ）=0，
解得实数λ=﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5．（4分）“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据线面垂直的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：∵直线a与平面M垂直，∴直线a与平面M内的任意一条直线都垂直，则直线a与平面M内的无数条直线都垂直成立，即充分性成立，
反之不成立，
即“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的充分不
必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的定义是解决本题的关键．
6．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）
A．πB．πC．π D．3π
【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=1，补形为正方体，则该四棱锥外接球
的直径为正方体的体对角线，长为，则半径可求，代入球的表面积公式得答案．
【解答】解：由三视图还原原几何体如图：
该几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=1，
补形为正方体，则该四棱锥外接球的直径为正方体的体对角线，长为，
∴该四棱锥外接球的半径r=，表面积为．
故选：D．
【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
7．（4分）直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）
A．相交B．相离C．相切D．与k取值有关
【分析】先判断直线过定点（1，0），然后判断定点和圆的位置关系即可．
【解答】解：直线y=kx﹣k=k（x﹣1）过定点A（1，0），
圆心坐标为C（2，0），半径r=，
则|AC|=2﹣1=1＜，
则点A在圆内，
则直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3恒相交，
故选：A
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，根据直线过定点，判断定点和圆的位置关系是解决本题的关键．
8．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m∥β，则α⊥β
C．若m∥α，α∥β，则m∥βD．若m⊥n，m∥α，则n⊥α
【分析】根据空间线面位置关系的判定或性质进行判断．
【解答】解：若m∥α，n∥α，则m∥n或m，n异面或m与n相交，故A错误；若m⊥α，m∥β，则α⊥β，故B正确；
若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故C错误；
若m⊥n，m∥α，则n⊥α或n⊂α或n∥α，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了空间线面位置关系，属于中档题．
9．（4分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为2，则点M到该抛物线的准线的距离为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】先假设A，B的坐标，根据A，B满足抛物线方程将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减根据直线的斜率和线段AB的中点的纵坐标的值可求出p的值，进而得到准线方程．M的坐标，然后求解即可．
【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，
两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），
又因为直线的斜率为1，所以=1，
所以有y1+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，
即y1+y2=4，所以p=2，所以抛物线方程为：y2=4x，抛物线的准线方程为x=﹣1．AB的方程为：y=x﹣1
M（3，3），
则点M到该抛物线的准线的距离为：3+1=4．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识．
10．（4分）已知P（x，y）为椭圆C：=1上一点，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1且MP⊥MF，则|PM|的取值范围是（）
A．[2，8]B．[，8]C．[2，]D．[，]
【分析】依题意知，该椭圆的焦点F（3，0），由题意可知：|PM|2=|PF|2﹣|MF|2，由a﹣c≤|PF|≤a+c，即可求得|PM|的取值范围．
【解答】解：依题意知，点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，
∴|PM|2=|PF|2﹣|MF|2，而|MF|=1，
∴当|PF|最小时，切线长|PM|最小．
由图知，当点P为右顶点（5，0）时，
|PF|最小，最小值为：5﹣3=2．
∴|PM|==，
当|PF|最大时，切线长|PM|最大．
当点P为左顶点（﹣5，0）时，|PF|最小，
最小值为：5+3=8，
∴|PM|==3，
|PM|的取值范围[，3]，
故选D．
【点评】本题考查椭圆的标准方程、圆的方程，考查椭圆的性质，焦半径的取值范围，考查转化思想，属于中档题．
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0）．
【分析】先根据抛物线的方程判断出抛物线的开口方向，进而利用抛物线标准方程求得p，则焦点方程可得．
【解答】解：根据抛物线的性质可知根据抛物线方程可知抛物线的开口向左，且2P=4，即p=2，开口向左
∴焦点坐标为（﹣1，0）
故答案为：（﹣1，0）
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，解题过程中注意抛物线的开口方向，焦点所在的位置
12．（4分）椭圆=1的两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与椭
圆相交，一个交点为P，则|PF2|=．
【分析】先根据椭圆的方程求得P的坐标，进而根据椭圆的定义求得答案．【解答】解：椭圆的左焦点坐标（﹣1，0），不妨P（﹣1，）即：P（﹣1，），由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|=2a=4
∴|PF2|=4﹣=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查椭圆的简单性质．解答的关键是利用椭圆的定义．属基础题．
13．（4分）已知三条直线l1：2x+my+2=0（m∈R），l2：2x+y﹣1=0，l3：x+ny+1=0（n∈R），若l1∥l2，l1⊥l3，则m+n的值为﹣1．
【分析】利用平行与垂直与斜率之间的关系即可得出．
【解答】解：∵l1∥l2，∴=﹣2，解得m=1．
∵l1⊥l3，m=n=0不满足题意，舍去，∴﹣×=﹣1，解得n=﹣2．
则m+n=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了平行与垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14．（4分）如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，点D在棱BB1上，且BD=1，则直线AD与平面AA1C1C所成角的余弦
值为．
【分析】取AC，A1C1的中点分别为E，H．可得BE⊥AC，即可得到BE⊥面ACC1A1，过点D作DF⊥EH于F，则DF⊥面ACC1A1，连接FA，则∠DAF为直线AD与平面AA1C1C所成角，解△AFD即可．
【解答】解：取AC，A1C1的中点分别为E，H．
∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，且AB=1，
∴BE⊥AC，即可得到BE⊥面ACC1A1，
过点D作DF⊥EH于F，则DF⊥面ACC1A1，
连接FA，则∠DAF为直线AD与平面AA1C1C所成角，
AF=，DF=，
∴
∴．
故答案为：
【点评】本题考查了空间线面角的求解，属于中档题．
15．（4分）平面上一质点在运动过程中始终保持与点F（1，0）的距离和直线x=﹣1的距离相等，若质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则k
的取值范围是∪．
【分析】由题意可得质点在抛物线上：y2=4x．过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线方程为：y=k（x+2）．联立，化为：k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0，（k≠0）．根据质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则△＜0，即可得出．【解答】解：由题意可得质点在抛物线上：y2=4x．
过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线方程为：y=k（x+2）．
联立，化为：k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0，（k≠0）．
∵质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则△=（4k2﹣4）2﹣16k4＜0，
化为：k2，解得k或k．
∴k的取值范围是∪．
故答案为：∪．
【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（共5小题，共60分）
16．（12分）已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0（m∈R）．
（1）求m的取值范围；
（2）若m=1，求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度．
【分析】（1）根据圆的一般方程的定义进行求解即可．
（2）求出圆心和半径，结合直线的弦长公式进行计算．
【解答】解：（1）由题意知D2+E2﹣4F=（﹣2）2+22﹣4（m﹣3）=﹣4m+20＞0，解得m＜5．…（4分）
（2）当m=1时，由x2+y2﹣2x+2y﹣2=0
得（x﹣1）2+（y+1）2=4，…（6分）
所以圆心坐标为（1，﹣1），半径r=2，
圆心到直线x﹣y﹣4=0的距离为d===，…（8分）
所以弦长l=2=2=2…（10分）
则弦长为2…（12分）
【点评】本题主要考查圆的一般方程以及直线和圆相交时的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．
17．（12分）已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k（x﹣2）相交于不同的A，B两点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）当k=时，求△OAB的面积．
【分析】（1）将直线AB的方程代入抛物线的方程，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，即可得证；
（2）分别求出点A，B的坐标，根据三角形的面积公式，即可求出．
【解答】解：（1）证明：将直线y=k（x﹣2）代入抛物线的方程y2=2x，
消去y可得，k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得x1+x2=4+，x1x2=4，
y1y2=k2（x1﹣2）（x2﹣2）=k2[x1x2+4﹣2（x1+x2）]=k2（4+4﹣8﹣）=﹣4
即有x1x2+y1y2=0，
则•=0=0，
即有OA⊥OB；
（2）因为k=，由（1）可得x1=1，x2=4，代入直线方程可得y1=﹣，y2=2，∴A（1，﹣），B（4，2），
∴|OA|==，|OB|==2，
=•|OA|•|OB|=××2=3．
∴S
△OAB
【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线和抛物线的方程联立，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，属于中档题．
18．（12分）如图，在多面体P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△
PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2．
（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；
（2）求三棱锥P﹣BCD的体积．
【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明BD⊥AD，根据面面垂直的性质可得BD ⊥平面PAD，故而平面MBD⊥平面PAD；
（2）求出P到平面ABCD的高和△ABD的高，代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】（1）证明：在△ABD中，∵BD=2AD=4，AB=2DC=2，
∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD，又BD⊂平面BDM，
∴平面MBD⊥平面PAD．
（2）解：过P作PO⊥AD，则O为AD的中点，
∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
即PO为四棱锥P﹣BCD的高．
又△PAD是边长为2的等边三角形，
∴PO=．
在Rt△ABD中，斜边AB边上的高为=，
又AB∥DC，∴△BCD的边CD上的高为．
==2．
∴S
△BCD
==．
∴V P
﹣BCD
【点评】本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．
19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC的中点．（1）求证：C1D⊥D1E；
（2）动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，求λ的值；（3）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求线段AD的长．
【分析】（1）以D为原点，建立的空间直角坐标系D﹣xyz，设AD=2a，=（0，﹣1，﹣1），=（a，1，﹣1），由此能证明C1D⊥D1E．
（2）由动点M满足（0＜λ＜1），得M（2a，0，λ），连接BM，求出平面AD1E的法向量，利用向量法能法语出结果．
（3）连接AB1，B1E，求出平面B1AE的法向量，利用向量法能求出AD．
【解答】证明：（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，设AD=2a，
则D（0，0，0），A（2a，0，0），B（2a，1，0），A1（2a，0，1），
C1（0，1，1），D1（0，0，1），B1（2a，1，1），E（a，1，0），
∴=（0，﹣1，﹣1），=（a，1，﹣1），
∴=0，∴C1D⊥D1E．…（3分）
解：（2）由动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，
∴M（2a，0，λ），连接BM，∴=（0，﹣1，λ），=（﹣a，1，0），=（﹣2a，0，1），
设平面AD1E的法向量为=（x，y，z），则，
取x=1，得=（1，a，2a），
∵BM∥平面AD1E，∴⊥，即=﹣a+2λa=0，解得λ=．…（7分）（3）连接AB1，B1E，设平面B1AE的法向量为=（x，y，z），
=（﹣a，1，0），=（0，1，1），
则，取x=1，得=（1，a，﹣a），…（9分）
∵二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，
∴⊥，∴=1+a2﹣2a2=0，
∵a＞0，∴a=1，∴AD=2．…（12分）
【点评】本题考查线线垂直的证明，考查满足线面平行的实数值的求法，考查满足二面角的棱长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
20．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，经过椭圆右焦点且
垂直于x轴的直线被椭圆截得弦的长度为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B 两点（A，B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
【分析】（1）根据椭圆的离心率及通径公式即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（2）设直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得m=
﹣k，则直线l的方程为y=k（x﹣），则直线过定点（，0）．
【解答】解：（1）由题意可得e===，则=，由椭圆的通径=3，解得：a=2，b=，
∴所求椭圆C的方程为；…（3分）
（2）设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
则，整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，
∵△＞0，∴3+4k2﹣m2＞0，
x1+x2=﹣，x1x2=，
∴y1y2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，（6分）
∵以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，∴k AD•k BD=﹣1，
∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴7m2+16mk+4k2=0，
∴m1=﹣2k，m2=﹣k，且均满足3+4k2﹣m2＞0，（9分）
当m1=﹣2k时，l的方程为y=k（x﹣2），则直线过定点（2，0）与已知矛盾，
当m1=﹣k时，l的方程为y=k（x﹣），则直线过定点（，0）
∴直线l过定点，定点坐标为（，0）．（12分）
【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量坐标运算，考查转化思想，属于中档题．。