柏努利方程及其应用

数R。
1 2
水
1‘
2’
R
16
解： 取1-1, 2-2截面如图,并取1-1管中心轴线为 位能基准面，在1-1与2-2截面间列柏努利方程式：
z1g
1 2
u12
p1
We
z2 g
1 2
u2
2
p2
hf
已知：z1 z2 0m；且We 0，hf 0J / kg,
u1
Vs A1
720 / 3600 0.785 0.32
1、根据题意画出流动系统的示意图，标明 流体的流动方向，定出上、下游截面、基准 水平面，明确流动系统的衡算范围；同时， 表明必要的物理量。
上下游截面的选取注意：
Pa
与流体的流动方向相垂直；
两截面间流体应是定态连续流动；
截面宜选在已知量多、计算方便处。
解：（1）、选择高位槽液面为上游1-1’截面，垂直于
视题意而定。
定常流动过程的机械能衡算——柏努利方程
五、柏努利方程式的应用
z1g
1 2
u12
p1
We
z2g
1 2
u2
2
p2
hf
*利用柏努利方程与连续性方程，可以确定：
管内流体的流速(u)； 输送设备的功率(W)； 管路中流体的压力(p)； 容器间的相对位置(z)等。
定常流动过程的机械能衡算——柏努利方程
p1 gH P2 g(H R) 0 gR p1 p2 (0 ）gR
p1 p2 （13600 1000） 9.81 0.018 p1 p2 2224.91Pa
结论：若水管为等径管路； 则: hf
(z1 z2 )g
P1 P2
若管路水平且等径：
则 :
hf
P1 P2
22
［例3］用泵将敞口贮槽中的稀 碱液送到蒸发器中进行浓缩， 附图所示。泵换进口管为 Φ89×3.5mm 的 钢 管 , 碱 液 在 进 口管的流速为1.5m/s,泵的出口 管为Φ76×3mm的钢管。贮槽中 碱液的液面距蒸发器入口处的 垂 直 距 离 为 7 m， 碱 液 经 管 路 系 统 的 能 量 损 失 为 4 0 J/kg， 蒸 发 器内碱液蒸发压力保持在20kPa （表压）,碱液的密度为 1100kg/m3。试计算所需的外加 能量。
（5） 将相关已知条件带入上式，得到 z1=h =1.25m，
15
定常流动过程的机械能衡算——柏努利方程
［练习］
水平导管均匀地从φ300mm缩小到200mm(均为内径).常温
水在管中以流过，流量为720m3/h.设流动测压点间的阻力
损失可忽略不计。 在锥形头两端测压点处各引出测压连
接管与U型压差计相连，用水银作指示计；试求压差计读
2、衡算方程：
(1)以单位质量流体为基准 单位：J/kg
z1g
1 2
u12
p1
We
z2 g
1 2
u22
p2
hf
（1-30）
(2)以单位重力流体为基准 单位：J/N,即m
z1
1 2g
u12
p1
g
He
z2
1 2g
u22
p2
g
H
f
（1-30a）
其中：He We ; hf gg
Hf.
定常流动过程的机械能衡算——柏努利方程
We 100%
W
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［例2］水通过倾斜变径管段（A→B ）而流动。已知： 内径 d1=100mm ,内径 d2=200mm ，水的流量120m3 /h,在 截面A与B处接一U形管水银压差计，其读数R=18mm，A、B 两点间的垂直距离h=0.3m。试求：
❖ （1）A、B两截面间的压强差？ ❖ （2）A、B管段的流动阻力? ❖ （3）其它条件不变，将管路水平放置，U形管读数及A、B两
2.82m / s
u2
u1
d d
1 2
2
2.82 0.3 2 0.2
3.84m / s
联立方程P1 P2 (水银 水)Rg
得：R 30mm
关于流体输送设备：
❖ 轴功率W：电机传给泵轴的功率。 ❖ 有效功率We：从电机提供的功中流体获得
的有效能量。
We Ws We
❖ 效率η： 流体输送设备运转时机械能损失 的大小；即单位时间内流体从设备获得的 有效机械能与输入设备的功率之比。
20
解：（2）取1-1’, 2-2‘截面如图,并取U型压差计左侧液
面为0-0‘位能基准面，在1-1’与2-2‘截面间列柏努利方程
式：z1g
1 2
u12
p1
We
z2 g
1 2
u2
2
p2
hf
已知：We 0，z1 z2 h 0.3m；
u1
Vs A1
120 / 3600 0.785 0.12
14
定常流动过程的机械能衡算——柏努利方程
4、根据题意和计算要求列出柏努利方程，注意： 式中单位一致；压力同时选用绝压或表压；
（3）、在1-1’与2-2‘截面间列柏努力方程
gz1
u12 2
p1
We
gz2
u22 2
p2
hf
（4）相关已知条件：z2=0, z1=h, p1=p2=0， A1>>A2， u1≈0,u2=1.0m/s , Hf=1.2m，则 Σhf=g Hf=9.8×1.2=11.77J/kg;We=0;
0.6
26
2 2’
20m
1 1‘ 1.5m
25
解： 取1-1, 2-2截面如图,并取1-1为位能基准面，在1-1 与2-2截面间列柏努利方程式：
z1g
1 2
u12
p1
We
z2 g
1 2
u2
2
p2
hf
We
(z2
z1 ) g
1 2
(u2
2
u12 )
p2
p1
hf
z1 0, z2 20 1.5 18.5m,由于A1 A2, 所以u1 0,
进入系统的各项压头之和等于离开系统的各项压 头之和加上压头损失。
定常流动过程的机械能衡算——柏努利方程
四、关于柏努利方程的讨论及说明
（1）若流体处于静止，u=0，Σhf=0，We=0，则柏努利方程
变为
z1 g
p1
z2 g
p2
说明柏努利方程即表示流体的运动规律,也表示流体静止
状态的规律 。
（2）对于理想流体（没有 We=0；则方程简化为：
u2
u0
d d
0 2
2
1.5 82 2 70
2.06m / s
We 7 9.81 20 103 2.06 2 40 68.7 18.2 2.12 40 129 J / kg 1100 2
24
［例3］某化工厂用泵将敞口碱液池中的碱液（密度为1100kg/m3）输送 至吸收塔顶，经喷嘴喷出，如附图所示。泵的入口管为φ108×4mm的钢 管，管中的流速为1.2m/s，出口管为φ76×3mm的钢管。贮液池中碱液的 深度为1.5m，池底至塔顶喷嘴入口处的垂直距离为20m。碱液流经所有 管 路 的 能 量 损 失 为 3 0 . 8 J/kg（ 不 包 括 喷 嘴 ） ， 在 喷 嘴 入 口 处 的 压 力 为 29.4kPa（表压）。设泵的效率为60%，试求泵所需的功率。
第三节 流体动力学
* 本节内容提要 主要是研究和学习流体流动的宏观规律及不同 形式的能量的如何转化等问题，其中包括： （1）质量守恒定律——连续性方程式 （2）能量守恒守定律——柏努利方程式 注意推导思路,适用条件,物理意义,工程应用 * 本节学习目标 学会用两个方程解决流体流动的有关实际问题
定常流动过程的机械能衡算——柏努利方程
截面间压强差有何变化？
19
解：（1）分析：AB两截面间的压强差可以直接利 用静力学方程得到：3-3’为等压面。即有
p1 gH P2 gh g(H R) 0gR p1 p2 g(h R) 0gR
p1 p2 10009.81（0.3 0.018）136009.810.018 p1 p2 5165.46Pa
定常流动过程的机械能衡算——柏努利方程
（3）柏努利方程式应用条件：定常、连续、流体 充满流道，且流体不可压缩。
对于可压缩性流体，当
p1
p2 p1
20%时，仍可用该方程
计算，但式中的密度ρ应以两截面的平均密度ρm代替。
（4）方程中等式两端各项单位一致（衡算基准一 致），压强p可以同时使用绝压或同时使用表压，
(2)以单位体积流体为基准
单位：J/m3,即Pa
gZ1
u12 2
p1
We
gZ2
u22 2
Fra Baidu bibliotek
p2
h（f 1 30b）
3、单位重力流体 具有的机械能的意
z ——位头 u 2 —速度头 （动 压 头）总压头
义：J/N(m)
2g
p —压头（静压头）
g
He We g
— 输入压头；hf g
H f
— 压头损失
粘性）若没有输送机械
，则Σhf=0，
z1g
1 2
u1柏动流2 努时动p利的过1 方机程z程械中2 g的能， 12物衡各u理算种22 意式形 义，式p2： 它 机 是反械Co流映能ns体了的t. 定流相态体互流在转
即在理想流体在流动过换程关中系任。意截面上总机械能（总压头）
为常数，但各项机械能之间在一定条件间可以相互转化。
4.25m / s
u2
u1
d d
1 2
2
4.2
0.1
2
0.2
1.06m / s
则 :
hf
( z1
z2 )g
P1
P2
u12
u
2 2
2
hf
0.3 9.81 5165.46 4.252 1.062
1000
2
9.23J / Kg
21
解：（3）分析：若水管水平；则根据U型压差计测 量原理：
解： 取1-1, 2-2截面如图,并取1-1为位能基准面， 在1-1与2-2截面间列柏努利方程式：
z1g
1 2
u12
p1
We
z2 g
1 2
u2
2
p2
hf
We
(z2
z1)g
1 2
(u2
2
u12 )
p2
p1
hf
z1 0, z2 7m,由于A1 A2, 所以u1 0,
p1 0(表压), p2 20103 Pa,hf 40J / kg
p1 0(表压), p2 29.4103 Pa, hf 30.8J / kg
u2
u0
d0 d2
2
1.5
0.1
2
0.07
3.06m /
s
We 18.5 9.81 29.4103 3.06 2 30.8 212.89J / kg
1100
2
N WeWS 212.891.21100 0.785 0.12 3676.6w
定常流动过程的机械能衡算——柏努利方程
三、实际流体定常流动的机械能衡算式
P2 , u2,ρ
P1 , u1,ρ
z1
Σhf
z2
We
衡算基准：1kg流体 衡算范围：1-1’至2-2’截面以及管内壁所围成的空间 基准水平面：0-0′水平面
6
定常流动过程的机械能衡算——柏努利方程
1、依据：
机械能守恒：机械能的输入=机械能的输出+机械能的损失
问题：为实现小区供水，若已知水塔高度H，输送设备如何
选择？
2
定常流动过程的机械能衡算——柏努利方程
一、流体流动时具有的机械能（以1kg流体为基准）
1、动能:流体以一定速度流动，便具有动能 。
mkg流体的动能 1 mu2 2
1kg流体的动能 1 mu2 / m u2
2
2
单位：J/kg
2、位能:流体受重力作用在不同高度所具有的能量。
mkg流体的位能mgz 1kg流体的位能mgz / m gz
单位：J/kg
定常流动过程的机械能衡算——柏努利方程
3、压强能（静压能 ）：流体在压强p下所具有的能 量。即指流体因被压缩而能向外膨胀而作功的能力。
P mA
V
mkg流体的压强能= Fl pAV pV
A
1kg流体的压强能=
pV m
p m/V
p
单位：J/kg
定常流动过程的机械能衡算——柏努利方程
二、流体流动时获得和损失的能量（以1kg流体为基准） 1、外功(有效功)
1kg流体从流体输送机械所获得的能量为We (J/kg)
2、机械能损失：实际流体因粘性要克服各种阻 力使一部分机械能损失而无法利用。
1kg流体损失的能量表示为Σhf（J/kg）
［例题1］ 从高位槽向塔内加料。 高位槽和塔内的压力均为大气压。 要 求 料 液 在 管 内 以 1.0m/s 的 速 度 流动。已知料液为常温水；设料
Pa
液在管内压头损失为1.2m，试求 高位槽的液面应该比塔入口处高 出多少米？
12
定常流动过程的机械能衡算——柏努利方程
［应用柏努利方程解题步骤及注意事项］
水平料液管中心轴线的管口面为下游2-2‘面；衡算系
统为1-1’到2-2‘截面之间的流动系统。
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定常流动过程的机械能衡算——柏努利方程
3、计算位能的基准水平面的选取 必须与地面平行； 宜于选取两截面中位置较低的截面；
通常选择通过一个截面中心的水平面 为基准水平面使该截面上位能为零。
（2）、选择通过进料液管中心轴线的水 平面为基准水平面；则：z2=0