最新例3最大公因数

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人教版六年级数学讲义-3最大公因数和最小公倍数

最大公因数和最小公倍数学生姓名年级学科授课教师日期时段教学核心最大公因数.最小公倍数的应用课型培训辅导/课堂讲解教学目标掌握求最大公因数的多种方法和最大公因数的应用.掌握求最小公倍数的方法重点难点辗转相除法求最大公因数和最大公因数的应用.通过最小公倍数的知识学习概括能力和逻辑推理能力课前引导回顾最小公倍数与最大公因数的概念.让学生说说2,3.5的倍数的特征知识导图课前检测1.求下列数的最大公因数和最小公倍数.5和6 64和16 24和562.已知a＝4b.那么a和b的最大公因数是（）.最小公倍数是（）.3.两个数都是合数.又是互质数.它们的最小公倍数是36.这两个数分别是（）和（）.4.用短除法求下列各组数的最大公因数和最小公倍数.91和56 63和42导学一：求最大公因数和最小公倍数重点讲解 1：短除法.分解质因数法.辗转相除法分解质因数：把一个合数写成几个质数相乘的形式.辗转相除法求最大公因数的步骤：①用较大数÷较小数=商……余数②除数÷余数=商……余数……以此类推.除到没有余数为止.最后一个除数就是这两个数的最大公因数例 1. 利用分解质因数法找出下列各组数的最大公因数和最小公倍数.144和255 240和96例 2. 利用辗转相除法求出下列各组数的最大公因数.377和221 511和1314课堂练习1.用短除法求下列各组数的最大公因数和最小公倍数.63和842.利用分解质因数法找出下列各组数的最大公因数和最小公倍数96和72 90和7003.利用辗转相除法求出下列各组数的最大公因数.3009和2573 1085和1178重点讲解 2：例1.如果a、b互质（a和b都是自然数.且a.b≠0）.则a和b的最大公因数是（）.最小公倍数是（）.例 2. 已知a＝2×3×5.b＝2×3×11.则a、b的最大公因数是（）.最小公倍数是（）.课堂练习1.m和n都是自然数.m÷n=8.m和n的最大公因数是（）.m和n的最小公倍数是（）.2.A＝2×3×5.B＝2×5×7.A和B的最大公因数是（）.最小公倍数是（）.3.把自然数a与b分解质因数.得到a＝2×5×m.b＝3×5×m.如果a与b的最小公倍数是210.那么m＝（）.导学二：最大公因数的应用重点讲解 1：例 1. 将一个长60厘米、宽45厘米、高75厘米的长方体.分割成同样大小的正方体.并使它们的体积尽可能大且没有多余.这些正方体的棱长是多少？可分割成多少个？例 2. 某幼儿园大班老师借阅图书.如果借37本.平均分给每个小朋友后还剩1本.如果借56本.平均分给每个小朋友后还剩2本.如果借75本.平均分给每个小朋友后还剩3本.这个班的小朋友最多有多少人？课堂练习1.有三根木棒.一根长24米.一根长8米.一根长36米.要把它们截成同样长的小段.不许剩余.每段最长是多少米？一共可以截成多少段？2.用48朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束.若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同.白玫瑰花的朵数也相同.每个花束里最少有几朵花？3.有铅笔433支.橡皮260块.平均分配给若干个小学生.分到最后铅笔余13支、橡皮余8块.问最多分给了多少个小学生？4.有136支圆珠笔、89本笔记本和178个笔盒.平均奖给若干个优秀少先队员.结果圆珠笔多出1支.笔记本少1本.笔盒少2个.获奖的少先队员最多有多少人？导学三：最小公倍数的应用重点讲解 1：例 1. 用一些长3厘米、宽2厘米、高5厘米的长方体拼一个正方体.这个正方体的棱长最短是多少？例 2. 有一个不为1的自然数.被6除余1.被8除余1.被12除也余1.这个自然数最小是多少？例 3. 有一个自然数.被3除余2.被6除余5.被8除余7.这个自然数最小是多少？课堂练习1.五年级学生人数在140到150人之间.要分成12人一组、18人一组都恰好分完.这个年级有多少人？2.有一包奶糖.无论分给6个小朋友.8个小朋友.还是9个小朋友.都正好分完.这包糖至少有多少块？3.同学们排队做操.不论是每行站4人.还是每行站5人.或每行站7人.最后都正好多出2人.至少有多少人做操？4.航模兴趣小组去参观展览.参观队伍每行6人则多2人.每行8人则多4人.问：航模兴趣小组去参观的同学最少有几人？导学四：最大公因数和最小公倍数综合运用重点讲解 1两个数的乘积等于这两个数最大公因数与最小公倍数的乘积：即：a×b=(a,b)×[a,b]例 1. 两个数的最大公因数是15.最小公倍数是90.求这两个数分别是多少？例 2. 两个自然数的积是360.最小公倍数是120.这两个数各是多少？课堂练习1.两个数的最大公因数是12.最小公倍数是60.求这两个数的和是多少？2.两个数的最大公因数是60.最小公倍数是720.其中一个数是180.另一个数是多少？3.求36和24的最大公约数和最小公倍数的乘积.4.已知两个数的最大公因数是13.最小公倍数是78.求这两个数的差.限时考场模拟1.a＝2×3×m.b＝3×5×m（m是自然数且m≠0）.如果a和b的最大公因数是21.则m是（）.a和b的最小公倍数是（）.2.现在有香蕉42千克.苹果112千克.桔子70千克.平均分给幼儿园的几个班.每班分到的这三种水果的数量分别相等.那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？3.有一筐苹果.无论是平均分给8个人.还是平均分给18人.结果都剩下3个.这筐苹果至少有多少个？课后作业1.如果a与b是两个不同的质数.那么a与b的最大公因数是（）.最小公倍数是（）.2.用长24cm、宽18cm的长方形铁片.摆成一个正方形（中间没有空隙）.至少要用多少块这种长方形铁片？3.A＝2×5×7.B＝2×2×3×5.A和B的最大公因数是（）.最小公倍数是（）.4.一筐苹果2个2个拿.3个3个拿.或者5个5个拿都正好拿完.这筐苹果最少有（）个.5.甲数＝2×3×5×7.乙数＝2×3×7.甲、乙两数的最大公因数是（）.最小公倍数是（）.6.六一儿童节那天.某慈善工会买了320个苹果、240个桔子、200个雪梨.去看望福利院的小朋友.问用这些果品.最多可以分成多少份同样的礼物？7.有两路公共汽车.11路和8路.11路每10分钟发一次车.8路每8分钟发一次车.11路和8路的起点站都在一起.请问这两路公共汽车同时发车以后.至少过多少分钟两路车才第二次同时发车？8.一班同学参加课外活动.如果分为4人一组.或分为6人一组.或分为9人一组.都恰好分完没有剩余.这个班至少有多少人？9.五年级三个班分别有36人、48人、42人参加体育活动.要把他们分成人数相等的小组.但各班同学不能打乱.最多每组多少人？1、总结一下本节课的知识点.2、把本讲的例题.习题复习一遍.完成老师规定的作业.3、建立错题集.整理、复习错题本.做到下一讲“有备而来”.4、周五告诉老师学校的进度和遇到的问题.课前检测1.（5.6）＝1.[5.6]＝30.（64.16）＝16.[64.16]＝64.（24.56）＝8.[24.56]＝1682.b.a3.4.94.7.728.21,126导学一重点讲解 1：短除法.分解质因数法.辗转相除法例题1.（144.255）= 3.[144.255]=12240.（240.96）= 48.[240.96]=480.解析:144=2×2×2×2×3×3,255=3×5×17.最大公因数是3.最小公倍数是2×2×2×2×3×3×5×17=12240240=2×2×2×2×3×5.96=2×2×2×2×2×3.最大公因数是2×2×2×2×3=48.最小公倍数是2×2×2×2×3×2×5=4802.（377.221）=13.（1314.511）=73.解析:377÷221=1.....156,221÷156=1....65,156÷65=2 ..... 26,26÷13=2.最大公因数是13.1314÷511=2....292,511÷292=1....219,292÷219=1 .... 73,219÷73=3,最大公因数是73.课堂练习1.21.2522.（96,72）=24,[96,72]=288.（90,700）10,[90,700]=6300解析:96=2×2×2×2×2×3.72=2×2×2×3×3,（96,72）=2×2×2×3=24.[96,72]=2×2×2×3×2×2×3=288. 90=2×3×3×5,700=2×2×5×5×7,（90,700）=2×5=10,[90,700]=2×5×3×3×2×5×7=63003.（3009,2573）=393.（1178,1085）=31解析:3009÷2573=1....436.2573÷436=5 ..... 393.436÷393=43.（3009,2573）=393.1178÷1085=1....93.1085÷93=11....62.93÷62=1....31.62÷31=2.（1178,1085）=31重点讲解 21.1.ab2.6.330课堂练习1.n.m2.10.2103.7导学二重点讲解 11.60（个）解析:（60.45.75）＝15.（60÷15）×（45÷15）×（75÷15）＝60（个） 2.18解析:37-1＝36（本）.56-2＝54（本）.75-3＝72（本）,（36.56.72）＝18（人）课堂练习1.每段最长为4米.17段解析:（24.8.36）＝4.所以每段最长为4米.一共可以截成：24÷4＋8÷4＋36÷4＝17（段） 2.5 解析:（48.72）＝24.48÷24＋72÷24＝5（朵）3.84解析:433-13＝420（支）.260-8＝252（块）（420.252）＝84.所以最多分给了84个小学生.4.136-1＝135（支）.89＋1＝90（本）.178＋2＝180（个）（135.90.180）＝45.获奖的少先队员最多有45人.导学三重点讲解 11.30cm解析:3×2×5＝30（厘米）2.25解析:[6.8.12]＝24.24＋1＝25 3.23解析:[3.6.8]＝24.24-1＝23课堂练习1.144解析:[12.18]＝36.36×4＝144（人） 2.72解析:[6.8.9]＝72.所以这包糖至少有72块.3.142解析:[4.5.7]＝140.140＋2＝142（人）4.20解析:[6.8]＝24.24-4＝20（人）导学四重点讲解 11.15和90或者30和45.解析:当a1b1分别是1和6时.a、b分别为15×1=15.15×6=90.当a1b1分别是2和3时.a、b分别为15×2=20.15×3=45.所以.这两个数是15和90或者30和45.2.3和120或3和120解析:我们把这两个自然数称为甲数和乙数.因为甲、乙两数的积一定等于甲、乙两数的最大公因数与最小公倍数的积. 根据这一规律.我们可以求出这两个数的最大公因数是360÷120=3.又因为（甲÷3=a.乙÷3=b）中.3×a×b=120.a 和b一定是互质数.所以.a和b可以是1和40.也可以是5和8.当a和b是1和40时.所求的数是3×1=3和3×40=120.当a和 b是5和8时.所求的数3和3×40=120课堂练习1.72解析:60÷12=5,5=1×5,12×1=12,12×5=60.60＋12=722.240解析:720÷180=4.60×4=2403.36×24=864解析:36、24两数的积一定等于36、24两数的最大公因数与最小公倍数的积.4.65或13解析:78÷13=6,6=1×6=2×3,13×1=13,13×6=78.13×2=26,13×3=39.这两个数是13和78或者26和39.所以它们的差为65或13限时考场模拟1.7.2102.香蕉： 3（千克）苹果： 8（千克）桔子： 5（千克）解析: （42.112.70）＝14 香蕉：42÷14＝3（千克）苹果：112÷14＝8（千克）桔子：70÷14＝5（千克）3. 75解析:[8.18]＝72.72＋3＝75（个）课后作业1.1.ab2.12解析:[24.18]＝72.（72÷24）×（72÷18）＝12（块）3.10.4204.305. 42.2106.最多可以分成40份同样的礼物解析:（320.240.200）＝40.所以最多可以分成40份同样的礼物.7.至少过40分钟解析:[10.8]＝40.所以至少过40分钟两路车才第二次同时发车.8.至少有36人解析:[4.6.9]＝36.所以这个班至少有36人.9.6人解析:（36.48.42）＝6.所以最多每组有6人.。

最大公因数和最小公倍数练习题(1)

最大公因数和最小公倍数练习题(1)最大公因数和最小公倍数是数学中常见的概念。

下面分别介绍几个例子。

例1：有三根铁丝，长度分别为18米、24米和30米。

现在要把它们截成同样长的小段，每段最长可以有多少米？一共可以截成多少段？解：首先求出它们的最大公因数，即6米。

然后分别将每根铁丝截成6米长的小段，可以得到每根铁丝可以截成3、4、5段。

因此，一共可以截成12段。

例2：一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？解：首先求出它的最大公因数，即12厘米。

然后将长方形纸分别截成12厘米长和12厘米宽的小长方形，可以得到每个小长方形的面积是432平方厘米。

因此，正方形的边长为12厘米，能截成15个正方形。

例3：用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。

若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？解：首先求出它们的最大公因数，即24朵花。

然后将红玫瑰花和白玫瑰花分别每24朵一束，可以得到最多可以做4个花束。

每个花束里至少要有4朵红玫瑰花和3朵白玫瑰花。

例4：公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。

第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。

三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？解：首先求出它们的最小公倍数，即300分钟。

然后分别计算每路车需要等待的时间，第一路车需要等待295分钟，第二路车需要等待290分钟，第三路车需要等待294分钟。

因此，三路汽车最少需要过290分钟再同时发车。

例5：某厂加工一种零件要经过三道工序。

第一道工序每个工人每小时可完成3个；第二道工序每个工人每小时可完成12个；第三道工序每个工人每小时可完成5个。

要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安排几个工人最合理？解：首先分别求出每个工序的最小公倍数，分别为60、12和15.然后分别计算每个工序需要多少个工人，第一道工序需要至少20个工人，第二道工序需要至少5个工人，第三道工序需要至少4个工人。

小学数学《最大公因数》教案(通用5篇)

小学数学《最大公因数》教案（通用5篇）小学数学《最大公因数》教案（通用5篇）小学数学《最大公因数》教案1《最大公因数》是人教版第十册第二单元第四节的内容，教材第80到81页的内容及第82页练习十五的第3题。

设计思路这个内容被安排在人教版第十册“分数的意义和性质”这个单元内，是学生已经理解和掌握因数的含义初步学会找一个数的因数，知道一个数因数的特点的基础上进行教学的，这部分内容既是“数与代数”领域基础知识的重要组成部分，又是进一步学习约分和分数四则运算的基础，对于学生的后续学习和发展，具有举足轻重的用。

教学目标1、使学生理解两个数的公因数和最大公因数的意义。

2、通过解决实际问题，初步了解两个数的公因数和最大公因数在现实生活中的应用。

3、培养学生独立思考及合作交流的能力，能用不同方法找两个数的最大公因数。

4、培养学生抽象、概括的能力。

重点难点1、理解公因数和最大公因数的意义。

2、掌握求两个数的最大公因数的方法。

教具准备多媒体课件、卡片教学过程一、导入1、学校买回12棵风景树，现在要栽种起来，栽种时行数不限，但每行栽种的数目相等，可以怎么栽种？16棵呢？2、分别写出16和12的所有因数。

二、教学实施1、老师用多媒体课件演示集合图。

指出：1，2，4是16和12公有的因数，叫做他们的公因数。

其中，4是最大的公因数，叫做他们的最大公因数。

2、完成教材第80页的“做一做”先让学生独立思考，再让拿卡片的同学快速站一站，那几个数站在左边，那几个数站在右边，那几个数站在中间，最后集体订正。

3、出示例2。

怎样求18和27的最大公因数？（1）学生先独立思考，用自己想到的方法试着找出18和27的最大公因数。

（2）小组讨论，互相启发，再在全班交流。

（3）老师用多媒体课件和板书演示方法方法一：先分别写出18和27的因数，再圈出公有的因数，从中找到最大公因数。

方法二：先找出18的因数，再看18的因数中有哪些是27的因数，从中找最大。

最大公因数和最小公倍数应用的典型例题和专题练习

精心整理最大公因数和最小公倍数应用的典型例题和专题练习
9、一些小朋友做游戏，第一次分组每组4人余下2人，第二次每组5人也余下2人，第三次分组每组6人还是余下2人。

问最少多少名小朋友做游戏？
10、一间浴室长1.8米，宽1.44米。

现在要给浴室地面铺满整块的正方形瓷砖，正方形瓷砖的边长最长是多少厘米？
11、有一袋水果糖，8块8块数多5块;6块6块数多3块；4块4块数多1块。

这代水果糖最少有多少块？
一个数被3除余1，被6除余4，被8除余6。

这个数最小是几？
12、王老师买回一些练习本，如果平均分给5个班则多出3本，如果平均分给6个班则多出4本。

已知这些练习本在80——100本之间，你知道王老师买了多少本练习本？
13、工人师傅买了一块长方体木块，体积是693立方分米，只知道它的长、宽、高分别相差2分米，你能求出
8、有两个不同的自然数，它们的和是48，它们的最大公因数是6，求这两个数。

答：这两个数是42和6或18和30。

9、同学们参加野餐活动准备了若干个碗，如果每人分得3个碗或4个碗或5个碗，都正好分完，这些碗最少有多少个？
答：这些碗最少有60个。

10、有A、B两个两位数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，则A、B两个自然数的和是多少？
答：A、B两个自然数的和是48。

人教版数学五年级下册最大公因数例3

所以70和50的最大公因数是： 10
答：剪出的正方形的边长最大是10厘米。
2.某课外活动组共有男生48人，女生36人。
男、女生分别站成若干排，要使每排的人数相同，每排最多有多少人？这时男、女生分别有几排
48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 48和36的最大公因数是：2×2×3＝12
48÷12＝4（排） 36÷12＝3（排）
答：每排最多有12人，这时男生有4组，女生有3组。。
小巧匠
12c
m16c
m
44c
m
要把它们截成同样长的小棒，不能有剩余，每根小棒最长是多少ｃｍ？
分数的意义和性质
例3 最大公因数
复习： 16和24的公因数有（ 1，2，4，8 ），最大公因数是（ 8 ）。
方法一： 16的因数：1，2，4，8，16 24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24
方法二： 16的因数
24的因数
16
1，2， 3，6，1
4，8
2 2，Βιβλιοθήκη 4 16和24的公因引入：在一次晚会活动中布置会场，需要将两条分别为16ｄｍ和12ｄｍ的彩条剪成同样长的短彩条，不能剩余浪费，短彩条最长多少ｄｍ（取整分米数）？可以剪成多少条？
王叔叔铺地砖有什么要求？
16dm 12dm
？dm
地砖是边长为整分米数的正方形
要使长正好铺满，正方形的边长必
须满足什么条件？ 16的因数
同时使宽也正好铺满，正方形的边
长还得满足什么条件？12的因数
16和 12 的公因数
16的因数：1，2，4，8，16 12的因数：1，2，3，4， 6， 12
16和12的公因数有：1、2、4。最大公因数是4。

2023年最小公倍数和最大公因数的应用题归纳

最小公倍数与最大公因数经典旳应用题汇总一、解题技巧：最大公因数解题技巧：一般从问题入手，所求旳数量处在小数（即处在除数、商、因数）旳地位时，因为小数（即处在除数、商、因数）是大数（即处在被除数、被除数、积）旳因数，此时，所求旳数量就处在因数旳地位。

假如出现相似旳（公有旳）/最长旳所求数量，即求他们旳公因数/最大公因数旳应用题。

最小公倍数解题技巧：一般从问题入手，所求旳数量处在大数（即处在被除数、被除数、积）旳地位时，因为大数（即处在被除数、被除数、积）是小数（即处在除数、商、因数）旳倍数，此时，所求旳数量应处在倍数旳地位。

假如出现相似旳（公有旳）/最小旳所求数量，即求他们旳公倍数/最小公倍数旳应用题。

补充部分公式小长方形个数=（大正方形边长÷小长方形长）×（大正方形边长÷小长方形旳宽）小正方形个数=（大长方形旳长÷小正方形边长）×（大长方形旳宽÷小正方形边长）小长方体个数=（大正方体边长÷小长方体长）×（大正方体边长÷小长方体旳宽）×（大正方体边长÷小长方体高）小正方体个数=（大长方体边长÷小正方体边长）×（大长方体旳宽÷小正方体边长）×（大长方体旳高÷小正方体边长）剩余定理余数相似时，总数（被除数）=最小公倍数＋余数缺数相似时，总数（被除数）=最小公倍数－缺数植树问题公式不封闭型： 2、只有一端都栽1、两端都栽间隔个数=株数间隔个数=株数－1株数=间隔个数＋1 株数=间隔个数距离=一种间隔旳长度×间隔个数距离=一种间隔旳长度×间隔个数3、两端都不栽间隔个数=株数＋1株数=间隔个数－1距离=一种间隔旳长度×间隔个数封闭型：间隔个数=株数株数=间隔个数距离=一种间隔旳长度×间隔个数封闭型再正方形边上栽，并且4个顶点都栽：株数=（每边株数－1）×4备注：上下多少层楼以及锯段数及敲钟问题等实际运用实质上是两端都栽树旳植树问题，此类题一般先求一层／一段需要多少时间，再乘以段数即可二、经典题目1、一种大长方形长24厘米，宽18厘米，把它裁成若干个小正方形而没有剩余，如小正方形旳边长最长，边长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方形？2、一种长方形旳长6厘米，宽4厘米，至少要多少个这样旳小长方形才能拼成一种大旳正方形？此时，大旳正方形旳边长是多少厘米？3、一种大长方体长24厘米，宽18厘米，高12厘米，把它裁成若干个小正方体而没有剩余，如小正方体旳边长最长，正方体旳棱长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方体？4、一种长方体旳长6厘米，宽4厘米，高2厘米。

三个数的最大公因数与最小倍数的关系公式

三个数的最大公因数与最小倍数的关系公式三个数的最大公因数与最小倍数的关系公式公因数和最小公倍数是数学中基础的概念之一，它们在数论、代数、几何等多个领域中都有广泛的应用。

本文将探讨三个数的最大公因数（简称最大公约数）与最小公倍数之间的关系公式，进一步解析它们的数学特征和性质。

首先，我们先来看一下最大公约数和最小公倍数的定义及性质。

最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是指能够同时整除两个或多个整数的最大正整数。

而最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）则表示能够被两个或多个整数整除的最小正整数。

我们用a、b和c表示三个整数，它们的最大公约数用符号gcd(a, b, c)表示，最小公倍数用符号lcm(a, b, c)表示。

首先，我们来探讨最大公约数和最小公倍数两者之间的关系。

可以通过以下公式来表示：gcd(a, b, c) * lcm(a, b, c) = |a * b * c|其中，|a * b * c|表示a、b和c的绝对值的乘积。

这个公式的证明可通过分解质因数的方法进行。

我们知道，任意一个整数都可以分解为若干个质数的乘积，而质数的定义是只能被1和自身整除的整数。

假设a、b和c的质因数分别为p1、p2、...、pn、q1、q2、...、qm和r1、r2、...、rk，其中p、q和r分别代表不同的质数。

由于质因数是唯一的，所以在a、b和c的质因数分解中，每个质因数只会出现一次。

那么，a、b和c的绝对值乘积即为p1^α1 * p2^α2 * ... *pn^αn * q1^β1 * q2^β2 * ... * qm^βm * r1^γ1 * r2^γ2* ... * rk^γk，其中α、β和γ表示不同质因数出现的次数。

接下来，我们来看最大公约数和最小公倍数的定义。

最大公约数表示同时整除a、b和c的最大正整数，即gcd(a, b, c) = p1^min(α1, β1, γ1) * ... * pk^min(αk, βk, γk)，其中min表示取最小值。

最大公因数相关应用题

小学应用题基础解法——最大公因数法1、最大公因数的概念：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

2、最大公因数的性质：（1）两个数分别与它们的最大公因数的商一定是互质数。

（2）两个数的公因数都是这两个数的最大公因数的因数。

3、解答公因数问题的关键从公因数的意义入手来分析，把原题归结为求几个数的公因数问题。

▓▓最大公因数相关应用题▓▓例1：甲班有42名学生，乙班有48名学生，现在要把这两个班的学生平均分成若干个小组，并且使每个小组都是同一个班的学生。

每个小组最多有多少名学生？解：要使每小组都是同一个班的学生，且每小组的人数尽可能多，就要求出42和48的最大公因数：（42、48）=6所以，每个小组最多能有6名学生。

例2：有一张长150厘米、宽60厘米的长方形纸板，要把它分割成若干个面积最大，井已面积相等的正方形。

能分割成多少个正方形？解：因为分割成的正方形的面积最大，并且面积相等，所以正方形的边长应是150和60的最大公因数。

正方形的边长：（150、60、30）=30（厘米）长可以分：150÷30=5（个）宽可以分：60÷30=2（个）所以，这个长方形能分割成正方形：5×2=10（个）例3：有一个长方体的方木，长是3.25米，宽是1.75米，厚是0.75米。

如果将这块方木截成体积相等的小正方体木块，并使每个小正方体木块尽可能大。

小木块的棱长是多少？可以截成多少块这样的小木块？解：3.25米=325厘米，1.75米=175厘米，0.75米=75厘米。

根据题意，小立方体一条棱长应是长方体长、宽、厚的最大公因数。

即：（325、175、75）=25（厘米）长可以分：325÷25=13（段）宽可以分：175÷25=7（段）高可以分：75÷25=3（段）所以，长方体可以截成这样的小木块：13×7×3=273（个）例4：有一个两位数，除50余2，除63余3，除775。

示例三︰运用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数

示例三︰运用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数一、课题基本资料学习范畴：数与代数学习重点：运用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数。

学生不须认识其原理。

已有知识： 1.学生已在2000年版小学数学课程学习单位4N5「公倍数和公因数」中，学会透过列举两个数的倍数，求该两个数的公倍数及最小公倍数；以及透过列出两个数的因数求该两个数的公因数及最大公因数。

学生已认识最大公因数和最小公倍数简称分别为“H.C.F.”和“L.C.M.”。

2.另外，学生已在2000年版小学数学课程学习单位4N2「除法（二）」中认识整除性，除数为2、5和10。

3.学生在初中数学修订课程学习单位1「基础计算」的学习重点1.1中，认识4、6、8和9的整除性判别方法。

4.学生亦应已透过过渡期学与教材料，学习3的整除性判别方法。

5.学生在初中数学修订课程学习单位1「基础计算」的学习重点1.3中，认识正整数的质因数分解。

［备注：部分学生可能在小学阶段曾经学习运用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数。

］规划建议：教师可把此课题融入初中数学修订课程学习重点1.4「求最大公因数和最小公倍数」的教学当中，教师亦可在其他合适地方引入此课题。

二、建议教学内容1.教师可与学生重温小学阶段所学的列举法。

♦例1：运用列举法，求12和18的最大公因数。

首先由小至大，列举12和18的所有因数，并圈出12和18的所有公因数。

12的因数：○1○2○3 4 ○61218的因数：○1○2○3○69 18从圈出的公因数中，可见6是12和18的最大公因数。

♦例2：运用列举法，求12和18的最小公倍数。

首先由小至大，列举12和18的首几个倍数，并圈出12和18的公倍数。

12的倍数：12 24 ○3648 60 ○72……18的倍数：18 ○3654 ○72……从圈出的公倍数中，可见36是12和18的最小公倍数。

2.教师可与学生讨论上述列举法的优点和缺点，从而引入短除法。

最大公因数与最小公倍数应用(较难含有部分的讲解)

最大公因数与最小公倍数应用（一）一、知识要点：1、性质1：如果a、b两数的最大公因数为d，则a=md,b=nd,并且（m,n）=1。

例如：（24,54）=6,24=4×6,54=9×6，（4,9）=1。

2、性质2：两个数的最小公倍数与最大公因数的乘积等于这两个数的乘积。

a与b的最小公倍数[a,b]是a与b的所有倍数的最大公因数，并且a×b=[a,b]×（a,b）。

例如：（18，12）= ，[18，12]= （18，12）×[18，12]= 3、两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数。

3、辗转相除法二、热点考题：例1 两个自然数的最大公因数是6，最小公倍数是72。

已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。

练一练：甲数是36，甲、乙两数的最大公因数是4，最小公倍数是288，求乙数。

例2 两个自然数的最大公因数是7，最小公倍数是210。

这两个自然数的和是77，求这两个自然数。

分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公因数是1，最小公倍数是30。

这两个自然数的和是11，求这两个自然数。

”例3 已知a与b，a与c的最大公因数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。

分析与解：因为12，15都是a的因数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。

再由[a，b，c]=120知，a只能是60或120。

[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。

练一练：已知两数的最大公因数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？例4已知两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，求这两个自然数。

例5 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。

习题四1．已知某数与24的最大公因数为4，最小公倍数为168，求此数。

最大公因数

《最大公因数》教学设计教学目标：1、通过自学和反馈交流，理解公因数和最大公因数的意义，沟通因数、公因数和最大公因数的区别和联系。

2、掌握求两个数最大公因数的方法，会选择合适的方法正确的求两个数的最大公因数。

能初步应用求最大公因数的方法解决生活中的简单实际问题。

3、经历探究求两个数最大公因数方法的过程，培养学生分析、归纳等思维能力。

激发学生自主学习、积极探索和合作交流的良好习惯。

教学重点：理解公因数和最大公因数的意义，会正确的求两个数的最大公因数。

教学难点：初步应用求两个数最大公因数的方法解决生活中的简单实际问题。

教具准备：多媒体课件，长方形纸条，绳子。

教学过程：一、复习导入课件出示：写出8、12、16的所有因数。

设计意图：通过复习，使学生巩固旧知，同时为解决后面问题打下基础。

二、创设情境，探索学习。

木料厂的李师傅在工作中遇到了一个问题，请大家帮他来解决一下，好吗？1、出示例1。

（16分米）课件出示：有一根16分米的木料，现在要把它锯成同样长的小木料（小木料要整分米长），不能剩余，每段小木料可以是几分米长？（1）引导学生审题，理解题意。

（整分米长，不能剩余，是什么意思？）生析疑：可以分成1分米、2分米、4分米、8分米长的小木料。

师提问：3分米行吗？为什么？（2）师引导：观察这些数与16有什么关系？生概括：这些数都是16的因数。

（3）小结：其实在解决分这块木料这个问题，就是要分成的小木料是16的因数就可以了。

2、出示例2。

（12分米）课件出示：有一根12分米的木料，现在要把它锯成同样长的小木料（小木料要整分米长），不能剩余，每段小木料可以是几分米长？生析疑：可以分成1分米、2分米、3分米、4分米、6分米长的小木料。

教师小结：其实在解决分这块木料这个问题，就是要分成的小木料是12的因数就可以了。

3、出示例3。

（两根木料）课件出示：两根木料（12分米和16分米），现在要把它们都锯成同样长的小木料（小木料要整分米长），不能剩余，每段小木料可以是几分米长？最长几分米？（1）小组合作探究：课前老师已经给大家每组发下去两个长12厘米和16厘米的长方形纸条（可以看成是两根木料），现在小组合作来分一分，折一折。

3. 因数和最大公因数

从此，这道数学难题引起了几乎所有数学家的注意。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的 “明珠”。
克里斯蒂安·哥德巴赫
莱昂哈德·欧拉（1707～1783），瑞士数学家、自然科学家。 1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年 9月18日于俄国圣彼得堡去世。欧拉出生于牧师家庭。 13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16 岁获得硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一。
莱昂哈德·欧拉
知识要点1 一、因数（1）若a能被b整除，
则称a是b的倍数，b是a的因数；（2）最小的因数是1，最大的因数是它本身；（3）因数是成对出现的；（4）完全平方数有奇数个因数。
例题1 12345654321的第二大因数是多少？
答案：4115218107
练习1 12345678987654321的第二大因数是多少？
第3讲
因数和最大公因数
2020年9月25
哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一。1742年，由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的。 1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，正式提出了猜想： a.任何一个大于 6的偶数都可以表示成两个素数之和。 b.任何一个大于9的奇数都可以表示成三个素数之和。这就是哥德巴赫猜想。欧拉在回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。
知识要点4 一、概念：最大公因数：a和b的最大公因数是n，记作：（a，b）＝n 最小公倍数：a和b的最小公倍数是m，记作：[a，b]＝m 互质：两个数的最大公因数是1，则称这两数互质。二、短除法两数并排断除公因数，直到两数互质，把左边除过的数乘起来得最大公因数；把左边除过的数和下边剩下的数都乘起来得最小公倍数。.
答案：45；30；27；24

三个数最大公因数短除法

三个数最大公因数短除法
三个数最大公因数短除法
介绍
最大公因数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个。

求最大公因数有多种方法，其中一种是短除法。

短除法是一种分解质因数的方法，通过将数字分解成质因子的乘积来求得最大公因数。

三个数的最大公因数可以用短除法来求得。

本文将详细介绍三个数最大公因数短除法的步骤和示例。

步骤
1. 将三个数字分别用质因子相乘的形式表示出来。

2. 找出所有三个数字中共同拥有的质因子，并将它们相乘起来。

3. 如果没有共同拥有的质因子，则它们的最大公约数为1。

示例
假设要求出24、36和48这三个数字的最大公约数，我们可以按照以下步骤进行：
1. 将24、36和48分别用质因子相乘的形式表示出来：
24 = 2 × 2 × 2 × 3
36 = 2 × 2 × 3 × 3
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
2. 找出所有三个数字中共同拥有的质因子，并将它们相乘起来：
共同的质因子为2和3，它们相乘起来得到最大公约数为2 × 2 × 3 = 12。

因此，24、36和48这三个数字的最大公约数为12。

总结
短除法是一种简单有效的求最大公因数的方法，适用于两个或多个数字。

通过将数字分解成质因子的乘积，我们可以找到它们之间共同拥有的质因子，并将它们相乘起来得到最大公约数。

在实际应用中，短除法可以帮助我们快速求解各种问题，如分数化简、比例计算等。

最大公因数例3

解决问题
※有一张长方形的纸，长80cm 宽60cm,如果要剪成若干同样大小的正方形纸而没有剩余，有多少种不同的剪法？剪出的小正方形的边长最长是多少厘米？
※两根铁丝分别长65米和 91米，用一根绳子分别测量它们，都恰好量完而没有剩余，这根绳子最多有多长？
※42瓶矿泉水和30瓶可乐平
分数的意义和性质
例3 最大公因数
填空。 1、 2 、3、 ★12的因数有（ 4、 6、 12 ）；15 的因数有（ 1、3、5、15）；12和15的公因数是（ 1、3 ），其中最大的一个是（ 3 ）。 1、2、4、 ★16的因数有（ 8、16 ），24的因 1、2、3、4、数有（6、8、12、24 ），16和24的公因数有（ 1、2、4、8 ），最大的是（8）两个数的公因数的个数是有限的。两个数的公因数是它们的最大公因数的因数。
45的因数有：1,3,5,9,15,45 45块
30块
30的因数有：1,2,3,5,6,10,15,30 所以12和18的最大公因数是：15
45÷15＝3 30÷15＝2 答：这个组最多可能有15位同学，每人得到3块水果糖、2块棒棒糖。
3. 有一张长方形纸，长 70 cm，宽 50 cm。如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出的小正方形的边长最大是几厘米? 10 厘米。
①要用正方形的地砖铺地。
②使用的地砖必须都是整块的，不能切割开用半块的。 ③正方形的边长必须是整分米数。
一、创设情境，引出研究问题
16dm ？dm 12dm
1. 正方形的边长是整分米数是什么意思？ 2. 图中还有有价值的信息吗？
3. 通过审题我们把复杂的生活问题简化成了一个数学问题。可以选择边长是几分米的正方形铺满这个长方形呢？

最大公因数例三

练习
1，有两根小棒，分别长12cm,16cm,要把它们截成同样长的小棒，不能有剩余，每根小棒最长有多少厘米米？
因为12的因数有：1，2，3，4，6，12 16的因数有：1，2，4，8，16 所以12和16的最大公因数是：4 答：每根小棒最长是4厘米
2，王老师买来一些水果糖和棒棒糖，平均分给蚁族的同学，正好分完。这个组最多可以有几个同学？每人得到几块水果糖，几块棒棒糖？棒棒糖 45块水果糖 30块
用长方形的长和宽的公因数作为正方形的边长一定能满足要求吗？
验证： 1，摆一摆，画一画 2，计算： 12÷1=12（块） 16÷1=16（块） 16÷2=8（块） 16÷4=4（块） 12÷2=6（块） 12÷4=3（块）
3，推理：因为铺地的正方形地砖既要能整除12，又要能整除16，所以必须是12和16的因数。
作业2，使用的地砖必须是整块的，不能切割 3，正方形的边长必须是整分米数
我家的贮藏室长16dm，宽12dm。如果用边长是整分米数的正方形地砖把贮藏室的地面铺满（使用的地砖都是整块）。可以选择边长是几分米的地砖？边长最大是几分米？要使所有的正方形地砖都是整块的,正方形的边长必需既是16的因数,又是12的因数. 选择边长是1、2、4dm 的正方形地砖边长最大是4dm
利用公因数和最大公因数解决实际问题
18米
12 米
你认为选择几号地板不用裁剪正好铺满？
6米
①
5米
4米
3 米
②
结论：要想不用裁剪，地砖的长，宽必须是地板的板长，宽的因数。所以选择②
我家的贮藏室长16dm，宽12dm。如果用边长是整分米数的正方形地砖把贮藏室的地面铺满（使用的地砖都是整块）。可以选择边长是几分米的地砖？边长最大是几分米？分析装修要求得知：