不等式知识点不等式基础知识

不等式的知识要点

1.不等式的基本概念

2.不等式的基本性质

（1）a b b a <⇔>（对称性）

（2）c a c b b a

>⇒>>,（传递性） （3）c b c a b a

+>+⇒>（加法单调性） （4）d b c a d c b a

+>+⇒>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减）

（6）bc ac c b a >⇒>>

0,. （7）bc ac c b a

<⇒<>0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）

(9)0,0a b a b c d c d >><<⇒

>（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>⇒

<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则）

（12）)(0*2N n a

n ∈≥（开方法则） 3.几个重要不等式

（1）非负式：0,0||,2≥≥∈a a R a 则若；.0,0≥≥a a 则若

（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）

（3）二元均值不等式：如果a ,b 都是正数，那么

.2

a b +（当仅当a=b 时取等号）

常用为：a b +≥a=b 时取等号），2()2

a b ab +≤（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：

○

1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○

2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.

不等式链：如果a ,b 都是正数，那么

2

112a b a b +≤+（当仅当a=b 时取等号）

,3

a b c a b c R +++∈(4)三元均值不等式：若、、则a=b=c 时取等号）

0,2b a ab a b

>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）

4.几个著名不等式

（1）柯西不等式： 时取等号当且仅当（则

若n n n n n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ΛΛΛΛΛΛ332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,

（2）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有

12121212()()()()()().2222

x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或 则称f(x)为凸（或凹）函数.

（3）绝对值三角不等式：

||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若

5.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根轴法）.

步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.

特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；

②一元二次不等式ax 2

+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.

（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ()()0()()0()()0;0()0

()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ （3）无理不等式：转化为有理不等式求解

1()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬≥⎨⎭⎪>⎩

定义域 ○2⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]

([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f （4）.指数不等式：转化为代数不等式

()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b

>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅> （5）对数不等式：转化为代数不等式

()0()0log ()log ()(1)()0;

log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩

⎩

（6）含一个绝对值不等式 ○

1应用零点分段讨论法，分类讨论思想去绝对值； ○2应用分段函数，数形思想； ○

3应用几何意义，化归思想等价转化 ④公式法 ⎩

⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为 （7）含两个或者两个以上绝对值的不等式

○

1应用零点分段讨论法，分类讨论思想去绝对值； ○2应用分段函数，数形思想； ○

3应用几何意义，化归思想等价转化 6.不等式证明的几种常用方法