有限差分法求解电磁场问题
有限差分法
利用有限差分法分析电磁场边界问题在一个电磁系统中，电场和磁场的计算对于完成该系统的有效设计师极端重要的。
例如，在系统中，用一种绝缘材料是导体相互隔离是，就要保证电场强度低于绝缘介质的击穿强度。
在磁力开关中，所要求的磁场强弱，应能产生足够大的力来驱动开关。
在发射系统中进行天线的有效设计时，关于天线周围介质中电磁场分布的知识显然有实质性的意义。
为了分析电磁场，我们可以从问题所涉及的数学公式入手。
依据电磁系统的特性，拉普拉斯方程和泊松方程只能适合于描述静态和准静态（低频）运行条件下的情况。
但是，在高频应用中，则必须在时域或频域中求解波动方程，以做到准确地预测电场和磁场，在任何情况下，满足边界条件的一个或多个偏微分方程的解，因此，计算电池系统内部和周围的电场和磁场都是必要的。
对电磁场理论而言，计算电磁场可以为其研究提供进行复杂的数值及解析运算的方法，手段和计算结果；而电磁场理论则为计算电磁场问题提供了电磁规律，数学方程，进而验证计算结果。
常用的计算电磁场边值问题的方法主要有两大类，其每一类又包含若干种方法，第一类是解析法；第二类是数值法。
对于那些具有最简单的边界条件和几何形状规则的（如矩形、圆形等）问题，可用分离变量法和镜像法求电磁场边值问题的解析解（精确解），但是在许多实际问题中往往由于边界条件过于复杂而无法求得解析解。
在这种情况下，一般借助于数值法求解电磁场的数值解。
有限差分法，微分方程和积分微分方程数值解的方法。
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网络来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
有限差分法在电磁场理论教学中的应用研究
分布 ，而 电磁场与 电磁波又都具 有不可 见和 不可触摸
的特性 ，只能进行抽象 的想象或通过仪器进行 数据测
量 ；三是 电磁波是动态 的 ，电磁波是 电磁场相 互激 发 的结果 ，它在空间 的传播每时每刻 它的位置和状 态都 在发生变化。
传 统 的 电磁 场 与 电磁 波 课 堂 理 论 教 学 方式 ，一是
１静 态 场 模 拟
在 均 匀 介质 内 ，静 电势 （满 足泊 松 方程 ｐ
Ｖ ＝
如 各种复 杂的边 界条件 等 ，这种枯燥 的教学方法无法 引起学生 的学 习兴趣 ，找到一种方便 快捷的方法计算
和 模 拟 电磁 场 ， 并 以形 象 化 的 图形 演 示 电磁 场 是 一 种
行 之有效 的教学手段…。二是偏重理论教学 ，而忽视
为求解 由偏微 分方程定解 问题所构 造的数学模型 ，有
限差分法是将 定解区域 （ 区 ）离散化为 网格离散 节 场 点的集合 。并 以各离散点上 函数的差商来近似该 点的 偏导数 ，使待 求的偏 微分 方程定解 问题转化 为一组 相 应 的差 分方程 。根据 差分 方程组解 出各离散点 处的待
解不仅耗 时费力 ，容易出差错 ，并且求解 的电磁场和
程 中，学生就会思考 ：为什 么可以这么求解 ；如何 求
解 ；解决一 些什 么问题？ 带着 这些 问题学 习，学 习效
果 明 显 提 高。
电磁 波问题均 为设计 的理想化模型 ，只对一些特殊对
称 的边界 才能求解 ，而实际工程中的问题是变化 的，
电磁场 与 电磁 波理论作 为电子信 息类专业 的一门
的电位 分布问题 ，利用时域有 限差分法数值计 算波导
中的 电磁 波传 播问题 ，实现 电磁场和 电磁波可视化教 学简 化 了繁 琐的数学推 导 ，能够形象而直观地输 出可
电磁场的数学建模与解答技巧
电磁场的数学建模与解答技巧电磁场是电荷和电流所产生的相互作用效应，它在工程学、物理学以及计算机模拟中都扮演着重要角色。
为了更好地理解和分析电磁场，数学建模和解答技巧是必不可少的。
本文将从电磁场的数学建模入手，介绍几种常用的数学建模方法，并给出解答技巧的实例。
一、电磁场的数学建模方法之一：微分方程微分方程是描述电磁场的一种常用数学工具。
通常，通过麦克斯韦方程组可以得到电磁场满足的偏微分方程。
对于静电场，可以使用拉普拉斯方程描述，表示为：∇²ϕ = -ρ/ε₀其中ϕ是电势，ρ是电荷密度，ε₀是真空介电常数。
对于静磁场，则可以使用斯托克斯方程描述，表示为：∇×B = μ₀J其中B是磁感应强度，J是电流密度，μ₀是真空磁导率。
通过求解这些微分方程，可以得到电磁场的分布情况。
二、电磁场的数学建模方法之二：有限元法有限元法是一种常用的数值解法，可用于求解任意形状的电磁场问题。
该方法将电磁场区域划分为有限个小单元，并在每个小单元内以多项式函数逼近电磁场的分布。
通过建立离散的代数方程组，并求解该方程组，可以得到电磁场的近似解。
三、电磁场的数学建模方法之三：有限差分法有限差分法是一种离散方法，通过将连续的电磁场问题转化为离散的代数问题进行求解。
该方法将连续的电磁场区域划分为网格，并在每个网格节点上进行逼近。
通过近似微分算子，将偏微分方程转化为差分方程，并通过迭代求解差分方程得到电磁场的解。
四、电磁场解答技巧实例为了更好地展示电磁场解答技巧，以下给出一个实例。
考虑一个带有一根无限长直导线的无限大平面问题。
已知导线的电流密度为I，求解该情况下的磁场分布。
根据安培环路定理，可以得到这个问题的微分方程为：∇×B = μ₀Iδ(x)δ(y)ez其中δ表示狄拉克δ函数，ez表示z轴方向上的单位向量。
通过对微分方程进行求解，可以得到在导线周围的磁场强度为：B = μ₀I/2πr其中r表示距导线的径向距离。
电磁计算方法
电磁计算方法是用于解决电磁场问题的数值计算方法。
在电磁学中，常见的电磁计算方法包括有限差分法（Finite Difference Method, FDM）、有限元法（Finite Element Method, FEM）、边界元法（Boundary Element Method, BEM）、时域积分法（Time Domain Integral Method, TDIM）和频域积分法（Frequency Domain Integral Method, FDIM）等。
这些方法的基本思想是将连续的电磁场分割成离散的小单元，然后通过数值近似方法求解每个小单元内的电磁场分布，最终得到整个电磁场的近似解。
下面对每种方法进行简要介绍：
1.有限差分法：将空间区域划分为网格，通过有限差分近似来逼近偏微分方程，从而得到
电场和磁场的数值解。
2.有限元法：将物体或区域划分为有限数量的几何元素，通过建立节点和元素之间的关系，
利用一组适当的形状函数来近似解析解，从而求解电磁场分布。
3.边界元法：将问题转化为求解边界上的积分方程，将边界上的电磁场表示为边界积分的
形式，通过求解边界上的积分方程获得电磁场分布。
4.时域积分法：将时域Maxwell方程组转化为积分形式，在时间上进行离散，通过时间步
进方法求解电磁场的时变行为。
5.频域积分法：将频域Maxwell方程组转化为积分形式，在频域上进行离散，通过迭代方
法求解电磁场的稳态或周期性行为。
每种计算方法都有其适用范围和特点，选择合适的方法取决于具体的问题和计算需求。
此外，还需要考虑边界条件、材料特性以及计算资源等因素。
电磁场渗透方程有限差分法研究
电磁场渗透方程有限差分法研究电磁场渗透方程（MaxwellEquations）是物理学中最重要的方程之一，它描述了电磁场的分布和运动，是研究电磁学问题的主要方法。
有限差分法（Finite Differences Method）可以很容易地将电磁场渗透方程转变成一系列非线性方程，并使用数值计算方法来求解。
本文将讨论电磁场渗透方程的有限差分法及其在研究电磁渗透的应用。
有限差分方法是一种数值计算方法，它可以将一组非线性方程转换为一组简单的数学问题，从而可以用数值计算的方法来求解。
有限差分方法的基本原理是，根据电磁场的渐近变化规律，将电磁场渗透方程区域分成一个个小的格点，从而将渗透方程简化成一系列非线性差分方程，并应用数值计算方法进行求解。
电磁场渗透技术是一个广泛应用的技术，它可以用来研究电磁场的分布特性、辐射物理等方面。
有限差分方法用于研究电磁渗透问题时，可以比较容易地将电磁场渗透方程转变成一组差分方程，并使用数值计算的方法来求解。
有限差分方法的算法求解效率比同类方法更高，使用有限差分方法进行数值计算，能够较快解决复杂的电磁学问题，为研究电磁渗透提供了一种高效的计算工具。
有限差分法在电磁渗透方面的应用比较广，可以用于研究电磁波分布、导电体表面的辐射特性、强磁场的渗透等。
例如，研究电磁波在传播过程中的分布特性时，可以使用有限差分方法求解电磁场渗透方程，并使用计算机模拟进行研究。
另外，有限差分法还可以用于研究导电体表面的辐射特性，可以模拟强磁场渗透，并研究渗透对导电体的影响。
综上所述，电磁场渗透方程有限差分法是一种有效的数值计算方法，它可以将电磁场渗透方程转换为一组非线性差分方程，并应用有限差分方法求解电磁场渗透方程，其在研究电磁渗透方面具有重要的应用价值。
本文讨论了电磁场渗透方程有限差分法的原理和特点，以及在研究电磁渗透方面的应用。
有限差分方法可以容易地将复杂的电磁场渗透方程转换为一组非线性方程，并使用数值计算的方法求解，为研究电磁渗透提供了一种高效的计算工具，具有广泛的应用价值。
工程电磁场数值分析(有限差分法)_2023年学习资料
>实施步骤-设求解二维静电场边值问题：-LI Pl=fs-F-&x2-0y2-V20=F-og-=0-on -Le-器0
有限差分法是最古老、最直观的一种数值方法，直至现-在仍有强大的生命力，在许多学科领域广为应用。在电磁场-领 ，目前最受关注的是时域有限差分法Finite Difference-Time-Domain Method, DTD和有限体积法-Finite Volume-Method.FVM-进一步的参考书：-胡之光.电机电磁场 分析与计算.北京：机械工业出版-社，1989
从有限差分法看数值解的基本思想-离散解（数值解）的概念->方程的离散-化无限维问题为有限维问题-化微分方程 代数方程组，借助计算机求解->解的离散一-离散点上的数值解->数值法的一般步骤->求解区域的离散（前处理代数方程组的求解->离散数据的分析（后处理
各种数值方法的不同之处-在于离散方程所依据的原-理不同，从而导致方程求-8-解技术、求解效率、适用-对象等 不同。
网格划分-2-将场域划分为小的网格。-30-设为正方形网格，边长h。-4-方程离散-将节点上的电位值”作为 Le-求解变量，把微分方程化-为关于p的线性代数方程-≈9-20+p-组。-h2-a对内部节点-≈，-2+ -0,+p2+p,+p-4=-h'
b对边界节点-·第一类边界节点-只考虑节点位于边界上的情况-P:=f;-第一类边界条件-·第二类边界节点考虑齐次边界条件-9,+20+0:-40=F-h2-对所有的节点都建立一个方程，N个-齐次第二类边界条件点有N个未知数，建立N个方程。
有限差分法在静态电磁场数值计算中的应用
（18）
而为加速迭代解的收敛，构成超松弛迭代公式的原则是；并不将由上式所算得的结果作为 的第 次近似值，而仅把它视为一中间结果 ，然后作加权平均处理，即令
式中， 称为加速收敛的松弛因子。超松弛迭代法的 取值范围是 ，当 时，式(19)即归结为高斯一赛德尔迭代法的迭代公式18)；当 时，迭代过程将不收敛而发散。最佳收敛因子的取值随问题和离散化的情况而异。对于第一类边值问题，若一正方形场域由正方形网格剖分(每边节点数为 )，则最佳收敛因子 可按下式计算
3.2.1偏微分方程的离散化—五点差分格式
对于所给定的偏微分方程定解问题，应用有限差分法，首先需从网格剖分着手决定离散点的分布方式。 原则上，可以采用任意的网络刻分方式，但这将直接影响所得差分方程的具体内容，进面影响解题的经济性与计算精度。为简化问题，通常采用完全有规律的分布方式，这样在每个离散点上就能得出相同形式的差分方程，有效地提高解题速度，因而经常采用正方形网格的剖分方式。现即以这种正方形网络剖分场域 ，也就是说，用分别与 、 两坐标轴平行的两簇等距(步距为 )网络线来生成正方形网格，网格线的交点称为节点，这样，场域 就被离散化为由网格节点构成的离散点的集合。
（20）
若一矩形场域由边长为 的正方形网格副分(设两边分别为 和 ，且 、 通常要大于15)，则相应的最佳收敛因子为
（21）
应当注意，在迭代运算前，恰当地给定各内点的初值(即所谓零次近似值)，也是加速收敛速度的一个有效途径。
(2)，偏导数也可近似地用相应的差商来表达。若没定函数 ，当其独立变量 得到一个很小的增量 时，则 方向的一阶偏导数可以近似表达为
（9）
同样，相应的二阶偏导数可以近似表达为
（10）
3.2差分格式的构造
有限差分与电磁场边界
汕头大学工学院课程报告报告题目：有限差分法与电磁场边界问题课程名称：工程电磁场与微波技术指导教师：系别：电子工程系专业：姓名：完成时间： 2014年12月6日目录有限差分法与电磁场边界问题 (3)一、电磁场边界问题 (3)二、有限差分法 (3)(一)基本思想 (3)（二）差分方程求解方法 (3)三、提出问题 (3)四、解决问题与MATLAB运行结果 (4)（一）运行结果 (4)（二）分析比较 (7)五、总结与结论 (7)六、参考文献 (7)程序附录 (8)有限差分法与电磁场边界问题一、 电磁场边界问题电磁场边值关系表示界面两侧场与界面上电荷、电流的制约关系, 它们实质上是边界上的电磁场方程。
常用解决方法有有两大类：解析法和数值法。
第一类解析法包括镜像法和分离变量法，其电磁场的空间分布函数是一个精确的解析表达式。
在实际问题中，边界条件过于复杂，通常采用数值法获取电磁场问题的数值解。
第二类数值法包括：基于应用微分形式的电磁场方程的有限差分法、有有限元法等；基于应用积分形式的电磁场方程的矩量法、边界元法等。
二、 有限差分法(一)基本思想将场域划分成网络，把求解场域内连续的场分布用求解网络节点上的离散的数值解来代替，即用网络节点的差分方程近似代替场域内的偏微分方程来求解。
一般将网络划分的越细，近似解精度越高。
（二）差分方程求解方法1.简单迭代法，先对场域内的节点赋予初值，用前一次迭代得到的节点电位值作为下一次迭代的初值。
先对场域内的节点赋予迭代初值(0),i j ϕ，这里上标(0)表示0次（初始）近似值。
然后按方程(k 1)(k)(k)(k)(k),1,,11,,11[]4i j i j i j i j i j ϕϕϕϕϕ+--++=+++(i,j=1,2,…)进行反复迭代（k=0，1,2,…）。
若当第N 次迭代以后，所有的内节点的相邻两次迭代值之间的最大误差不超过允许范围，即(N)(N-1),,max|-|<Wi j i j ϕϕ这里的W 是预设的允许误差，此时即可终止迭代，并将第N 次迭代结果作为内节点上电位的最终数值解。
电磁场与电磁波实验有限差分法
电磁场与电磁波实验有限差分法作者: 日期:电磁场与电磁波实验报告实验项目：有限差分法一、实验目的及要求1学习有限差分法的原理与计算步骤；2、学习用有限差分法解静电场中简单的二维静电场边值问题；3、学习用Matlab语言描述电磁场与电磁波中内容，用matlab求解问题并用图形表示出了，学习matlab语言在电磁波与电磁场中的编程思路。
二、实验内容理论学习：学习静电场中边值问题的数值法中的优先差分法的求解知识；实践学习：学习用matlab语言编写有限差分法计算二维静电场边值问题；三、实验仪器或软件Matlab7.0电脑四、实验原理有限差分法的基本思想将计算场域划分成网格，把求解场域内连续的场分布用求解网格节点上的离散数值解来代替；即用网格节点的差分方程近似代替场域内的偏微分方程来求解。
简单迭代法小(°)先对场域内的节点赋予初始值㈡，这里上标(0)表示第°次近似值，即初始值。
然后再按照：VUi]进行反复迭代。
若当第N次迭代结束后，所有内节点相邻两次迭代值之间的绝对误差小于事先给定的精度，则迭代停止。
MAX①:N)- ①:N‘)W初始值的赋予是任意的；赋予初始值后，请按“从左到右、从下到上”的固定顺序依次计算各节点值; 当所有节点都算完一遍后，再用它们的新值代替旧值，即完成一次迭代。
五、实验步骤复习理论知识；编写matlab程序；六、结果分析与问题讨论1、程序:clearX=[0,0,0,0,0;0,25,25,25,0;0,50,50,50,0;0,75,75,75,0;100,100,100,100,100]Pot=[0,0];for i=2:4for j=2:4(i ,Pptx(1 ；j2,=(X(!-.1)j)+xe k1)+X3+1)2X0+1))4'Pot(1)=abs(PotX(i-1,j-1)-X(i,j));'''Pot(2)=max(Pot)endendX(2:4,2:4)=PotXnum=1;while(max(1000.*Pot)>1) Pot(2)=0;for i=2:4for j=2:4声PotX(i-1,j-1)=(X(i-1,j)+X(i,j-1)+X(i+1,j)+X(i,j+1))/4Pot(1)=abs(PotX(i-1,j-1)-X(i,j));Pot(2)=max(Pot)endendX(2:4,2:4)=PotXnum=nu m+1endsurf([0:4],[0:4],X);shadi ng in terpcolorbar('horiz')title(' 有限差分法计算电位图');2、运行结果X =0 0 0 0 00 25 25 25 00 50 50 50 00 75 75 75 0100 100 100 10C 1 100%第一次迭代PotX =18.7500Pot =6.2500 6.2500PotX =7.1440 9.8230 7.144018.7515 25.0023 18.751542.8583 52.6801 42.8583Pot =0.3815 0.7629%第28次迭代X =0 0 0 0 00 7.1440 9.8230 7.14400 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 num =283、波形图matlab 软件在使用有限差分法研究静电场边值问题中有着重要的作用，它能够快捷有效 并且准确的解决边值问题，是解决计算相对复杂问题的有效工具。
电磁波时域有限差分方法
电磁波时域有限差分方法电磁波时域有限差分方法是一种在计算电磁波传播过程中广泛使用的数值模拟方法。
它通过将电磁场的时域偏导数转化为差分形式进行离散计算，从而得到电磁场的时域响应。
这种方法在电磁波仿真、电磁辐射、雷达散射以及通信系统设计等领域具有重要的应用价值。
时域有限差分方法的理论基础是电磁波的麦克斯韦方程组。
通过将麦克斯韦方程组进行离散化，将时域偏导数转化为差分形式，并使用合适的差分格式来近似电场和磁场的时域分布。
通过迭代计算离散化后的麦克斯韦方程组，可以得到电磁场在时域上的演化过程。
具体来说，时域有限差分方法的基本步骤如下：1. 网格划分：首先对仿真区域进行网格划分，将空间离散为有限的小单元。
典型的网格划分包括一维、二维和三维的情况。
2. 差分格式选择：根据实际问题选择合适的差分格式，如中心差分格式、向前差分格式或向后差分格式等。
差分格式的选择会直接影响计算结果的准确性和稳定性。
3. 时间步长确定：为了保证计算结果的稳定性，需要根据空间离散步长和电磁波传播速度来确定合适的时间步长。
时间步长的选择需要满足稳定性条件。
4. 初始条件和边界条件设定：在仿真开始前，需要设定初始条件和边界条件。
初始条件指定电磁场在仿真区域内的初始分布，而边界条件则决定了电磁场与仿真区域边界的相互作用关系。
5. 迭代求解：通过迭代计算离散化的麦克斯韦方程组，可以得到电场和磁场在时域上的演化过程。
每一次迭代都涉及更新电场和磁场的数值。
时域有限差分方法相比其他电磁波计算方法具有一定的优势。
首先，它能够模拟电磁场的时域响应，对于短脉冲信号或非稳态过程的仿真非常有用。
其次，它在空域和频域上的计算误差相对较小，并且可以处理各种不规则形状的仿真区域。
此外，时域有限差分方法还可以结合其他方法，如有限元方法和边界元方法，进行更精确的仿真计算。
虽然时域有限差分方法在电磁波仿真中取得了显著的成果，但它也存在一些局限性。
首先，它的计算速度相对较慢，特别是在三维仿真中。
电磁场数值分析,有限差分法
可得：
(K ) x (x x 0 )K 0 x x 0 )n ) (( K 0 K ! 1 2 2 1 3 3 1 0 h( ) 0 h ( 2 ) 0 h ( 3 ) 0 x 2! x 3! x 1 2 2 1 3 3 3 0 h( ) 0 h ( 2 ) 0 h ( 3 ) 0 x 2! x 3! x
有限差分法的基本步骤 （1）剖分场区，确定离散点。将所研究的电位分布 按某种几何形状(如矩形、任意多边形等)剖分成网络系统。 （2）建立电位分布问题的差分方程组。
（3）求解差分方程组。可以采用各种迭代法，如简 单迭代法，塞德尔迭代法，超松弛迭代法等等。
100 V 1 4 OV 7 2 5 8 3 6 9
在xoy 平面内把所求解区域 划分为若干个相同的正方形格 子，边长均为h，假设0点点位 为φ0 ，其余各点为φ1，φ2，φ3，
φ4，φ5。
将这几个点的点位用泰勒级数展开：
f 1 2f 1 3f f f0 (x x 0 ) 2 (x x 0 )2 3 (x x 0 )3 ... x 2! x 0 3! x 0 0
四，计算实例
1V
如图，一正方形区域，四个边的电位分 别是0V,0V,1V,100V，求解该区域内部 的电位分布。
0V
解： 将该正方形区域分割成4X4的小正 方形区域，则一共有9个内点。按照前 面得出的结论，任意一点的电位等于他 周围四个点电位的平均值。可以得到方 程组：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 二源自差分方程的数值解法简单迭代法
电磁波时域有限差分方法
电磁波时域有限差分方法
电磁波时域有限差分法（Finite-Difference Time-Domain Method, FDTD）是一种求解电磁学问题的常用数值方法。
它由Yee在1966年首次提出，可用于求解复杂三维电磁场交互作用的问题，如，电磁波、磁致传导、微波加热、能量传输、电磁辐射等。
相比其它数值方法，FDTD方法求解算例更为精确，具有以下特点：
1. TDTD方法是在时域上，而非在频域中，因此可以方便地处理暂态和复杂变化的电磁场。
2. FDTD方法可以通过改变差分格式和计算网格或计算量来获得更加精确的结果。
3. FDTD方法可以数值模拟出任何电磁场的行为，并且可以得到高质量的结果，而且不受物理规律的限制。
4. 可以自动识别模型中的隐藏材料特性，并增强模型的实用性。
5. FDTD方法可以结合有限体积法（FVM）和有限元法（FEM），提高模型的精度，并减少工作量。
6. 较少的内存要求，使FDTD方法更适用于工程应用。
FDTD方法在处理复杂电磁场时，有时会导致计算窗口大小，以及时间分辨率的降低，因此，要想获得较为准确的结果，就要采取足够的计算网格，以及足够高的时间分辨率。
计算电磁场理论中的有限差分法与有限元法
计算电磁场理论中的有限差分法与有限元法电磁场理论是电磁学的重要组成部分，研究电磁场的分布和变化规律对于解决实际问题具有重要意义。
在计算电磁场中，有限差分法和有限元法是两种常用的数值计算方法。
本文将从理论原理、应用范围和优缺点等方面对这两种方法进行探讨。
有限差分法是一种将连续问题离散化的方法，通过将连续的电磁场分割成网格，然后在每个网格上进行离散计算。
这种方法的基本思想是将微分方程转化为差分方程，然后利用差分方程进行求解。
有限差分法的优点是简单易懂，计算过程直观，适用于各种电磁场问题的求解。
然而，由于差分法中的网格离散化会引入一定的误差，所以在计算精度上存在一定的限制。
与有限差分法相比，有限元法是一种更加精确的数值计算方法。
有限元法将电磁场问题的求解区域划分为有限个小单元，然后在每个小单元上建立适当的插值函数，通过求解代数方程组得到电磁场的近似解。
有限元法的优点是可以处理复杂的几何形状和材料特性，适用于各种边界条件和非线性问题。
然而，有限元法的计算过程相对较为复杂，需要对问题进行合理的离散化和网格划分，同时对于大规模问题，计算量也较大。
在实际应用中，根据具体问题的特点和求解要求，选择合适的数值计算方法是十分重要的。
对于简单的电磁场问题，如一维导线的电流分布，可以选择有限差分法进行求解。
而对于复杂的电磁场问题，如三维空间中的电磁波传播，有限元法更适合。
此外，有限差分法和有限元法还可以结合使用，通过将两种方法的优点相结合，提高计算精度和效率。
除了理论原理和应用范围，有限差分法和有限元法的优缺点也值得关注。
有限差分法的优点是简单易懂，计算过程直观，而且对于一些简单问题可以得到较为准确的结果。
然而，由于差分法中的网格离散化会引入一定的误差，对于复杂问题的求解精度有限。
相比之下，有限元法可以处理复杂的几何形状和材料特性，适用于各种边界条件和非线性问题，计算精度较高。
然而，有限元法的计算过程相对复杂，需要对问题进行合理的离散化和网格划分，同时对于大规模问题计算量较大。
广义有限差分法在静态电磁场计算中的应用
广义有限差分法在静态电磁场计算中的应用
广义有限差分法（GFDM）是一种新型的数值计算方法，主要应用于
静态电磁场计算中。
该方法对于复杂的电磁场问题，能够得出精确的解，具有广泛的应用前景。
以下是GFDM在静态电磁场计算中的应用：
一、基本原理
广义有限差分法是一种有限元法的变种，它利用偏微分方程的基本原理，将电磁场问题分离成边值问题和内部问题。
利用一定的分割方式，将求解区域离散化成有限个点和单元，然后在每个点和单元上建立方
程组，通过求解这些方程组得出电磁场的数值解。
二、优点
广义有限差分法是一种非常有效的数值计算方法，主要具有以下优点：
1. 适用范围广：该方法在静态电磁场解析计算中理论基础扎实，适用
范围广泛，尤其是对于非线性场问题求解技术得到了广泛关注。
2. 求解精度高：该方法可以精确地计算电磁场的各种特性参数，因此
在研究电磁现象的过程中具有很高的应用价值。
3. 适用于非均质和多介质场：该方法适用于复杂的非均质和多介质场问题的求解，可以得出比传统计算方法更为准确的解。
三、应用场景
广义有限差分法主要应用于电磁场中的各种非线性问题的求解，这些问题常常与材料的磁滞、导电、热效应等有关。
同时，该方法还广泛应用于计算机模拟和电磁兼容等领域。
四、结论
总的来说，广义有限差分法是一种非常有效的数值计算方法，在静态电磁场中得到了广泛的应用。
它能够对电磁场中的各种复杂问题进行精确的计算，并有很高的应用价值。
在未来的科学研究中，该方法将得到更广泛的应用。
电磁场实验——用有限差分法解静电场边值问题
实验一 用有限差分法解静电场边值问题一、目的1．掌握有限差分法的原理与计算步骤； 2．理解并掌握求解差分方程组的超松弛迭代法，分析加速收敛因子α的作用； 3．学会用有限差分法解简单的二维静电场边值问题，并编制计算程序。
二、方法原理有限差分法是数值计算中应用得最早而又相当简单、直观的一种方法。
应用有限差分法通常所采取的步骤是：⑴ 采用一定的网格分割方式离散化场域。
⑵ 进行差分离散化处理。
用离散的、只含有限个未知数的差分方程组，来近似代替场域内具有连续变量的偏微分方程以及边界上的边界条件（也包括场域内不同媒质分界面上的衔接条件）。
⑶ 结合选定的代数方程组的解法，编制计算机程序，求解由上面所得对应于待求边值问题的差分方程组，所得解答即为该边值问题的数值解。
现在，以静电场边值问题⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂+∂∂)2()()1(02222s f D y x Lϕϕϕ中在为例，说明有限差分法的应用。
f (s )为边界点s 的点函数，二位场域D 和边界L 示于图5.1-1中。
x图5.1-1 有限差分的网格分割1． 离散化场域应用有限差分法时，首先需从网格划分着手决定离散点的分布方式。
通常采用完全有规律的方式，这样在每个离散点上可得出相同形式的差分方程，有效地提高解题速度。
如图5.1-1所示，现采用分别与x ，y 轴平行的等距（步距为h ）网格线把场域D 分割成足够多的正方形网格。
各个正方形的顶点（也即网格线的交点）称为网格的结点。
这样，对于场域内典型的内结点0，它与周围相邻的结点1、2、3和4构成一个所谓对称的星形。
2．差分格式造好网格后，需把上述静电场边值问题中的拉普拉斯方程（1）式离散化。
设结点0上的电位值为ϕ0。
结点1、2、3和4上的电位值相应为ϕ1、ϕ2、ϕ3和ϕ4，则基于差分原理的应用，拉普拉斯方程（1）式在结点0处可近似表达为ϕ1+ϕ2+ϕ3+ϕ4-4ϕ1=0 （3）这就是规则正方形网格内某点的电位所满足的拉普拉斯方程的差分格式，或差分方程。
用有限差分方法求解微波电磁场问题--波导、微带、同轴电容
用有限差分方法求解微波电磁场问题本章主要内容是说明用差分法求解在微波器件和微波技术中常常遇见的一些偏微分方程的边值问题。
我们知道，很多给定边界条件的偏微分方程的求解相当复杂。
除少数情况外，要求它的精确解是颇为困难的，一般采用近似方法。
有限差分法就是经常采用的一种近似方法，它是用离散的、含有有限个未知数的差分方程去替代连续变量的微分方程，并把相应的差分方程的解作为该边值问题数值形式的近似解。
1 用差分方程解拉普拉斯方程在微波系统中很多问题，例如同轴线的台阶电容、谐振腔隙缝处的漏散电容、微带线的特性阻抗等，要求出它们的值，首先就要找出这些线或谐振腔内静电电位分布，这些电位分布是满足拉普拉斯方程的。
用差分方法解拉普拉斯方程是很方便的，所以我们开始就讨论它。
将拉普拉斯方程化成差分方程的方法在很多书上都可找到[6, 7]，下面将列出公式而不作推导，仅对差分方程的求解过程作一些简单介绍。
一、基本差分公式我们要求的电位函数u ，它在区域D 内满足下面的拉普拉斯方程02222=∂∂+∂∂yux u (1-1) 在边界上S ，它服从以下条件：()p f u S = (1-2)式中()p f 为边界点p 的函数。
这类问题一般称为第一类边值问题或称狄里赫利问题。
为了用差分方法求解电位分布，先在y x -平面分别作两族平行于x 轴和y 轴的直线,线间的距离为h ，于是各直线的x 和y 坐标分别为：jh y ih x j i == ;式中j i ,为正整数，取值1、2、……。
这样区域D 就被许多边长为h 的正方形所覆盖，在图1-1中示出了这种情况。
各正方形的顶点被称为网格的节点，从图可以看到，各节点所处位置有所不同。
一些节点（例如a 节点）恰落在边界上S ，我们把它叫做边界节点。
有些节点到边界的距离不足h （例如节点b ）,这些节点叫做不规则节点。
但是大部分节点到边界的距离大于h ，例如图上的0点，它们属于规则节点。
差分法就是求这些离散节点处u 的近似值。
电磁场的计算方法总结
电磁场的计算方法总结电磁场是电荷和电流在空间中产生的一种物理现象。
在科学研究和工程设计中，准确计算和描述电磁场对于解决问题和优化系统至关重要。
本文将对电磁场的计算方法进行总结，并介绍常用的计算技术和工具。
1. 静电场的计算方法静电场是指电荷静止或运动缓慢时产生的电磁场。
计算静电场常用的方法包括：- 库伦定律：用于计算离散点电荷之间的电场强度和势能。
根据库伦定律，两个电荷之间的作用力正比于它们的电荷量，反比于它们之间的距离的平方。
- 超级位置法：将连续分布的电荷视为无数个点电荷的叠加，通过积分计算得到电场强度和势能。
2. 磁场的计算方法磁场是由电流或磁化物质产生的一种物理现象。
计算磁场常用的方法包括：- 安培定律：用于计算电流在空间中产生的磁场强度和磁感应强度。
安培定律表明，一段电流元产生的磁场强度正比于电流元的大小，反比于它们之间的距离和它们之间夹角的正弦值。
- 超级电流法：将连续分布的电流视为无数个电流元的叠加，通过积分计算得到磁场强度和磁感应强度。
3. 电场与磁场的相互作用电场和磁场是密切相关的，它们之间存在相互作用。
计算电场与磁场相互作用的方法包括：- 洛伦兹力公式：描述电荷在电场和磁场中受到的作用力。
洛伦兹力公式表明，电荷在电场中受到的力等于电场强度与电荷量的乘积，而在磁场中受到的力等于磁感应强度、电荷量和电荷的速度之间的叉积的大小。
- 麦克斯韦方程组：描述电磁场的运动规律。
麦克斯韦方程组由四个偏微分方程组成，分别描述了电场和磁场的变化规律。
4. 电磁场的数值计算电磁场的数值计算方法是利用计算机模拟和数值计算技术来求解电磁场的分布和性质。
常用的数值计算方法包括：- 有限元法：将问题的区域划分为有限数量的小单元，利用有限元法的基本原理和方程来求解电磁场的分布和性质。
有限元法适用于复杂几何形状和材料分布的问题。
- 有限差分法：将问题的空间区域划分为网格，并利用有限差分方法来近似求解微分方程，从而得到电磁场的分布和性质。
电磁场的数值计算方法与应用
电磁场的数值计算方法与应用引言：电磁场是物理学中一个重要的研究领域，它涉及到电磁波、电磁感应等多个方面。
为了更好地理解和应用电磁场，科学家们开发了各种数值计算方法。
本文将介绍电磁场的数值计算方法及其应用。
一、有限差分法有限差分法是一种常用的数值计算方法，它将连续的电磁场问题离散化为离散的网格点问题。
通过在网格点上近似计算电场和磁场的导数，可以得到电场和磁场在空间中的分布情况。
有限差分法的优点是简单易懂，适用于各种电磁场问题的求解。
例如，可以利用有限差分法计算电磁波在介质中的传播，或者计算导体中的电磁感应现象。
二、有限元法有限元法是一种广泛应用于工程领域的数值计算方法，它可以用于求解各种复杂的电磁场问题。
有限元法将电磁场问题离散化为一系列的小区域，称为有限元。
通过在每个有限元上近似计算电场和磁场的分布，可以得到整个电磁场的数值解。
有限元法的优点是适用于各种不规则形状的区域，可以处理复杂的边界条件和材料特性。
例如，可以利用有限元法分析电磁场在电机中的分布，或者计算电磁屏蔽结构的性能。
三、边界元法边界元法是一种特殊的数值计算方法，它将电磁场问题转化为在边界上求解的问题。
边界元法通过在边界上近似计算电场和磁场的分布，可以得到整个电磁场的数值解。
边界元法的优点是可以减少计算的自由度，提高计算效率。
例如，可以利用边界元法计算电磁波在散射体上的散射现象，或者计算导体表面的电磁场分布。
四、数值计算方法在电磁场问题中的应用数值计算方法在电磁场问题中有着广泛的应用。
例如，在通信领域中，可以利用数值计算方法分析电磁波在天线和传输线中的传播特性，以及在无线通信系统中的传播损耗和干扰现象。
在电力系统中，可以利用数值计算方法分析电磁场对输电线路和变压器的影响，以及计算电力设备的电磁兼容性。
在电子设备设计中，可以利用数值计算方法分析电磁场对电路元件的耦合和干扰，以及计算电磁屏蔽结构的性能。
总之，数值计算方法在电磁场问题的研究和应用中发挥着重要的作用。
电磁场渗透方程有限差分法研究
电磁场渗透方程有限差分法研究电磁场渗透方程是一个复杂而重要的物理问题，因其在电磁场中的重要性而受到极大的关注。
电磁场渗透方程有限差分法是一种求解电磁场渗透方程的数值计算方法。
本文将介绍电磁场渗透方程有限差分法，对其分析、证明及应用于多孔介质中的问题进行探讨。
一、电磁场渗透方程有限差分法简介电磁场渗透方程有限差分法是一种求解电磁场渗透方程的数值计算方法，它是根据有限差分法把电磁场渗透方程的实际问题简化为一组有限差分方程来求解的。
电磁场渗透方程有限差分法的计算公式如下：电磁场渗透方程有限差分法的计算公式：φ(i+1,j)-2φ(i,j)+φ(i-1,j)=t/xD(i,j)[xE(i+1/2,j)-xE(i-1/2,j)]在上式中，φ(i,j)代表i处j时刻的电磁场量,xE(i+1/2,j)代表i+1/2处j时刻的x方向电场量，D(i,j)表示i处j时刻的电导率，t 代表步长，x 代表空间步长。
二、电磁场渗透方程有限差分法的分析电磁场渗透方程有限差分法的数值计算需要设计一系列程序，既要保证计算结果的准确性，又要有较高的效率。
现在已有一些经过验证的程序，其有较高的效率。
其中有一些采用了复杂的编程技术，如极坐标转换，积分技术等，这些技术大大提高了程序的效率。
电磁场渗透方程有限差分法的证明也是重要的一部分，为了证明其算法的准确性，需要进行大量的数学计算，考虑各种参数的影响，并给出合理的证明过程。
通常采用数学归纳法，给出在一般情况下，算法执行过程符合一般要求的证明，也有一些采用不完全归纳法，结合具体的实例，给出的算法的正确性的证明。
三、电磁场渗透方程有限差分法应用电磁场渗透方程有限差分法可以应用于多孔介质中，如石油、煤、矿石、岩石等岩石介质中。
在多孔介质中，电磁场会受到多种孔洞尺寸、电阻率等因素的影响，使得电磁传播有两个模式：压缩模式和扩散模式。
电磁场渗透方程有限差分法可以计算出上述模式下各个参数的电磁响应，给出影响电磁传播的相关参数，从而给出有效的模型。
有限差分法求解电磁场问题
Φ 11 = Φ 12 = Φ 13 = Φ 14 = Φ 15 = 100V
Φ 51 = Φ 52 = Φ 53 = Φ 54 = Φ 55 = 0V
Φ 21 = Φ 31 = Φ 41 = Φ 25 = Φ 35 = Φ 45 = 0V
n 设Φ ij 为第i行第j列节点上的第n次迭代的电位，则 1 n n +1 Φ ij = (Φ i −1, j + Φ in, j −1 + Φ in+1, j + Φ in, j +1 ) (3.14) 4 对于每一个未知电位节点，我们可以列出一个这样的迭代 方程，于是得到9个未知电位节点的迭代方程组。若对9个 未知电位赋予初值（在计算机程序求解迭代方程时，9个 未知电位的初值通常赋予0值），则可通过在计算机上运 行一个简单的程序完成解迭代方程组。若将各未知节点电 位的初值赋予0值，当n=10时 Φ22 = 322523 Φ23 = 455555 Φ24 = 666666 Φ32 = 666666 , , ,
(3.9)
而在节点0的泊松方程又可以写为
⎛ ρs ⎞ ⎛ ∂ 2Φ ∂ 2Φ ⎞ ⎜ 2 + 2 ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ∂x ⎜ε ⎟ ∂y ⎟ 0 ⎝ ⎠ ⎝ 0 ⎠0
将式(3.10)代入式(3.9)可得
(3.10)
⎛ ρs ⎞ 2 ⎤ 1⎡ (3.11) Φ 0 = ⎢Φ 1 + Φ 2 + Φ 3 + Φ 4 + ⎜ ⎟ h ⎥ ⎜ε ⎟ 4⎢ ⎝ 0 ⎠0 ⎥ ⎣ ⎦ 这是一个二维区域中一点的泊松方程的有限差分形式， 它描述了该节点与周围四个节点的电位和该点电荷密度 之间的关系。对于无源区域，ρ s = 0 ，则式(3.11)变 为 1 (3.12) Φ 0 = (Φ 1 + Φ 2 + Φ 3 + Φ 4 )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x 轴的直线上的相邻点 的电位值 Φ(x, y0 ) ，可用
二维函数的泰勒公式在节点0展开为：
Φx
=
Φ0
+ ⎜⎛ ∂Φ ⎟⎞ (x − ⎝ ∂x ⎠0
x0 ) +
21!⎜⎜⎝⎛
∂2Φ ∂x2
⎟⎟⎠⎞0
(x
−
x0 )2
+
1 3!
⎜⎜⎝⎛
∂3Φ ∂x3
⎟⎟⎠⎞0
方程的个数等于区域内的节点数。如果区域划分的 网格粗，即节点少，则差分方程组的个数少，求解方程 组简单，需要的时间短，但精度低；如果区域划分的网 格细，即节点多，则差分方程组的个数也多，求解方程 组所需的时间较长，但精度较高。
用有限差分法求解电位的精度主要取决于两个因素，一是 划分的网格数的多少，二是迭代次数的多少。如果区域划
图3.2 用有限差分法求解金属盒内的电位
例3.5.1 一个正方形截面的无限长金属盒。盒子的两 侧及底面的电位为零，顶部电位为100V，如图3.2所 示。求盒内的电位分布。 解:先将区域进行分格，用三条水平和三条垂直的等间 距直线将正方形区域划分为16个网格，25个节点。其中 边界节点16个，内节点9个。边界节点上的电位是已知 的，而9个内节点的电位为未知电位。由于这里是为了 说明解题方法，故只进行了很粗的分格，实际问题中， 网格必须分得较细才能得到较高的精度。 由题所给定的边界条件可知：16个边界节点中
为
Φ0
=
1 4
(Φ1
+
Φ2
+
Φ3
+
Φ4)
(3.12)
这是二维拉普拉斯方程的有限差分形式，它描述了 无源区域中任意一点的电位等于围绕它的四个点的电位 的平均值。
对于给定的区域和电荷分布，当用网格将区域划 分后，对每一个节点我们可以写出一个式(3.11)或式 (3.12)那样的差分方程，于是就可以得到一个方程数 与未知电位的网点数相等的线性差分方程组。对于给 定的连续边界条件，当用网格将区域划分后，我们可 以给出它在边界节点上的离散值。余下的问就是在已 知边界节点电位的条件下，用迭代法求解区域内各节 点上的电位。
图3.1 二维矩形区域的正方形网格
下面介绍有限差分法的基本原理. 如图3.1所示，在
一个边界为 C 的二维矩形区域内，电位的边值问题
可表示为：
∇2Φ = ∂2Φ + ∂2Φ = − ρs
∂x 2 ∂y 2
ε0
h
(3.1)
Φ |s = f (x, y)
(3.2)
即给定二维区域中的电荷分布和电位在边界上的
分的网格较细，则网格的边长 h 较小。若将式(3.4)减去 式(3.5)，并忽略 h 3 以上的项，可得
⎜⎛ ∂Φ ⎟⎞ ≈ Φ1 − Φ3
⎝ ∂x ⎠0
2h
(3.13)
这说明：节点0的平均中心差商近似等于该点的偏导数。
h 越小，近似的精度就越高，因此，差分方程组解的精
度就越高。另外，对于迭代次数的要求可由下面三个条 件来定：（1）余数都降到大约电位平均值的1%；（2） 所有余数的代数和与各个余数同数量级；（3）所有余 数均匀地混合（关于符号和数值）遍及整个区域。对于 解差分方程组，选用有效的算法是十分重要的，下面用 一个简单的例子来说明有限差分法的应用。
h
2
=
Φ1
+
Φ3
−
2Φ 0Байду номын сангаас
同理可写出
(3.7)
⎜⎜⎝⎛
∂2Φ ∂y 2
⎟⎟⎠⎞0 h2
=
Φ2
+
Φ4
−
2Φ 0
将上面两式相加可得
⎜⎜⎝⎛
∂2Φ ∂x 2
+
∂2Φ ∂y 2
⎟⎟⎠⎞
0
h
2
=
Φ1
+
Φ2
+
Φ3
+ Φ4
−
4Φ 0
(3.8) (3.9)
而在节点0的泊松方程又可以写为
⎜⎜⎝⎛
∂2Φ ∂x 2
+
∂2Φ ∂y 2
因此
(3.5)
Φ1
+
Φ3
=
2Φ 0
+
⎜⎜⎝⎛
∂2Φ ∂x 2
⎟⎟⎠⎞0
h2
+
42! ⎜⎜⎝⎛
∂4Φ ∂x 4
⎟⎟⎠⎞0 h4
+
⋅⋅⋅
(3.6)
当正方形网格分得足够多时，网格的边长h 可以
足够的小，则式(3.6)中的 h 4以上的项都可以忽略。
则式(3.6)可近似为
⎜⎜⎝⎛
∂2Φ ∂x 2
⎟⎟⎠⎞
0
值，求区域中各点的电位。有限差分法的第一步将场 域分成足够多的正方形网格，网格线之间的距离为h ， 网格线的交点称为节点。
现我们来讨论5个相邻节点上电位之间的关系，即节
点0上Φ 0 与节点1、2、3、4上电位 Φ1, Φ 2 , Φ3 , Φ 4
x 之间的关系。设节点0的坐标为（ x0 , y0），由于
⎟⎟⎠⎞ 0
=
−⎜⎜⎝⎛
ρs ε0
⎟⎟⎠⎞ 0
将式(3.10)代入式(3.9)可得
(3.10)
Φ0
=
1 4
⎡ ⎢Φ1 ⎢⎣
+
Φ2
+ Φ3
+
Φ4
+ ⎜⎜⎝⎛
ρs ε0
⎟⎟⎠⎞
0
h
2
⎤ ⎥ ⎥⎦
(3.11)
这是一个二维区域中一点的泊松方程的有限差分形式，
它描述了该节点与周围四个节点的电位和该点电荷密度
之间的关系。对于无源区域，ρ s = 0 ，则式(3.11)变
(x
−
x0 )3
+
41! ⎜⎜⎝⎛
∂4Φ ∂x 4
⎟⎟⎠⎞0 (x
−
x0 )4
+
⋅⋅⋅
(3.3)
在节点1，x = x0 + h ，这一点的电位为
Φ1
=
Φ0
+
⎜⎛ ⎝
∂Φ ∂x
⎟⎞ h ⎠0
+
21! ⎜⎜⎝⎛
∂2Φ ∂x 2
⎟⎟⎠⎞0 h2
+
1 3!
⎜⎜⎝⎛
∂3Φ ∂x 3
⎟⎟⎠⎞ 0
h3
+
41! ⎜⎜⎝⎛
随着计算机技术的飞速发展，数值计算方法得到 越来越广泛的应用，并在电磁场计算方法中占有重 要的地位。
由于有限差分法是通过对被求解区域进行分格，实 现了将连续场的离散化，因此，有限差分法不仅能用 于解静电场的问题，还能解任意静态场和时变场问题； 不仅能处理线性问题，还能处理非线性问题。特别要 注意的是：不管被求解区域的边界形状如何复杂，只 要把网格分得足够的细，都可以得到足够精确的解。
∂4Φ ∂x 4
⎟⎟⎠⎞0 h4
+
⋅⋅⋅
在节点3，x = x0 − h ，这一点的电位为
(3.4)
Φ3
=
Φ0
− ⎜⎛ ∂Φ ⎟⎞ h ⎝ ∂x ⎠0
+
1 2!
⎜⎜⎝⎛
∂2Φ ∂x 2
⎟⎟⎠⎞
0
h
2
−
1 3!
⎜⎜⎝⎛
∂3Φ ∂x 3
⎟⎟⎠⎞
0
h
3
+
1 4!
⎜⎜⎝⎛
∂4Φ ∂x 4
⎟⎟⎠⎞
0
h
4
+⋅⋅⋅
计算物理理论
第三章 有限差分法求解电磁场问题
求解静电场边值问题，当场域边界的几何形状 比较简单时，其解可以用分离变量法求得。但当边界 形状比较复杂时，一般只能求出近似解。 有限差分法的基本思想是：将求解区域划分为网 格，将求解区域内的连续分布的场用网格节点上的离 散场值来代替，将边界上连续分布的边界条件用离散 的边界条件值来代替，这样我们可将被求解区域中的 解微分方程的边值问题用差分方程的迭代求解来代替。