经典题目20例(1)解析

经典题目20例

1.若函数()421x x f x a =-⋅+在区间[]1,1-上至少有一个零点，则实数a 的取值范围是 .

解析：()4210x

x

f x a =-⋅+=，241x x

a ⋅=+，411

222

x x x x a +==+，由于[]1,1x ∈-，

所以12[,2]2x ∈，函数1()22x x g x =+的值域为5

[2,]2

，因此，实数a 的取值范围是

5[2,]2. 2.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个交点，且123

F PF π

∠=,

记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ,则

12

1

e e ⋅的最大值为 A. 3

C. 2

解析：设椭圆的长轴为2a ，双曲线的实轴长为2m ，公共的焦距为2c ，不妨设交点在第一象限，即12PF PF >.根据椭圆及双曲线的定义，122PF PF a +=，

122PF PF m -=，可得1PF a m =+，2PF a m =-.在12F PF ∆中，由余弦定理整理得：22234a m c +=

.22243c a m =+≥

，所以21213

am a m c c c e e =⋅=≤

⋅. 3.以下命题错误的有 ①②③

①若函数32()(1)31f x x a x x =+-++没有极值点，则24a -<<；

②若函数()3mx

f x x =

+在区间(3,)-+∞上单调递增，则0m ≥； ③若函数ln ()x f x m x =-有两个零点，则1

m e <；

④已知函数()log (01)x

a

f x a =<<，,,k m n R +∈且全不相等，则 (

)2k m f ++()2m n f +()()()()2

k n

f f k f m f n ++<++. 解析：①函数32()(1)31f x x a x x =+-++没有极值点，等价于函数()0f x '≥恒成立，

2()32(1)3f x x a x '=+-+，24(1)4330a ∆=--⨯⨯≤.24a -≤≤；②()3

mx

f x x =

+

(3)3333m x m m m x x +--=

=+++,0m >；③令ln 0x m x -=，

则ln x m x =，求函数ln x

y x

=的值域为1(,]e -∞，1

0m e

<≤；（或利用ln x mx =两个函数图像的交点个数确定）.

④()log (01)x

a f x a =<<

单调递减，2k m +>

，()2

k m f f +<=

1(()())2f k f m +，1()(()())22m n f f m f n +<+，()2n k f +<1(()())2f n f k +， ()2k m f ++()2m n f +()()()()2k n f f k f m f n ++<++.

4.若点(,)A a b 在第一象限且在直线24x y +=上移动，则22log log a b +的 A. 最大值为2 B. 最小值为1 C. 最大值为1 D. 最值不存在 解析：0,0a b >>，24a b +=

，42a b =+≥2ab ≤，当且仅当2a =，1b =时取等号，所以2222log log log ()log 21a b ab +=≤=.

5.在区间[]4,4-上随机取一个实数m ，能使函数32()3f x x mx x =++在R 上单调递增的概率为

A. 1

4

B. 38

C. 58

D. 34

解析：函数32()3f x x mx x =++在R 上单调递增，2()3230f x x mx '=++≥恒成立，

24490m ∆=-⨯≤，33m -≤≤.

6.已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>

与函数y =P

，若函数y =的图像在P 处的切线过双曲线的左焦点(2,0)-，则双曲线的离心率为

C. 12

D. 32

解析：设切点为0(x

，y '=

，k =

，切线方程为y =

0)x x -，切线过(2,0)-，代入方程得02x =

，切点为在双曲线上，双曲线的左焦点为(2,0)-.

. 7.在各项均为正数的等差数列{}n a 中，4936a a ⋅=，则前12项和的最小值为

A. 78

B. 48

C. 60

D. 72

解析：49124912()

6()722

a a S a a +==+≥=，

当且仅当496a a ==时取等号. 8.过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为A

，与另一条渐近线交于点B ,若2FB FA =u u u r u u u r

,则此双曲线的离心率为

12解析：不妨设F 为右焦点，作渐近线0bx ay -=的垂线，2FB FA =u u u r u u u r

，A 为FB 的

中点.直线0bx ay +=与圆222x y c +=的交点为B ，则B 的坐标为(,a b -），利用斜率或利用三角形的性质可得离心率为2.

9.已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一个顶点到较近的焦点的距离为1，焦点

，则双曲线的方程为（A ）

A. 22

1

3y x -

= B. 2213x y -=221y -= D. 22

19y x -= 10.已知圆C ：22240x y x y +-+=关于直线3110x ay --=对称，则圆C 中以

(,)44

a a

-为中点的弦长为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 提示：直线过圆心.

11.已知曲线()x f x e ax =-在点(0,(0))f 处的切线方程为30x y b ++=，则下列不等式恒成立的是

A. ()24ln 2f x ≥-

B. ()24ln 2f x ≤-

C. ()48ln 2f x ≥-

D. ()48ln 2f x ≤-

解析：()x f x e a '=-，(0)13f a '=-=-，4a =，()4x f x e '=-，令()0f x '=，ln 4x =，

()f x 在ln 4x =处取得最小值，(ln 4)44ln 448ln 2f =-=-，()48ln 2f x ≥-.

12.设,,αβγ是不同的平面，,m n 是不同的直线，则m β⊥的一个充分条件是（D ） A. ,,n m n αβαβ⊥=⊥I B. ,,m αγαγβγ=⊥⊥I