高中数学必修1 函数与方程

函数与方程（1）教学目标： 1、理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程根的关系2、掌握零点存在的判定条件．教学重点：零点的概念及存在性的判定． 教学难点：零点的确定． 教学过程：一、知识点点拨：1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点． 2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标． 即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点． 3、函数零点的求法： 求函数)(x f y =的零点：○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、利用函数的性质找出零点．（零点存在性的探索） （Ⅰ）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：○1 在区间]1,2[-上有零点______； =-)2(f _______，=)1(f _______, )2(-f ·)1(f _____0（＜或＞）． ○2 在区间]4,2[上有零点______； )2(f ·)4(f ____0（＜或＞）．（Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象○1 在区间],[b a 上______(有/无)零点； )(a f ·)(b f _____0（＜或＞）．○2 在区间],[c b 上______(有/无)零点； )(b f ·)(c f _____0（＜或＞）．大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f表二：（两根与k 的大小比较）分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即k x k x >>21,一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）kkk得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f表三：（根在区间上的分布） 分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩三、例题讲解例、求实数m 的范围，使关于x 的方程0)3(2=+-+m x m x 的两根情况如下： (1)两个负根；(2)两根都小于1；(3)两根都大于1 ；(4)一个根大于1，一个根小于1 (5)两个根都在（0,2）内 (6)两个根有且仅有一个在（0 ,2）内 (7)一个根在（-2 ,0）内，另一个根在（1 ,3）内分析：画出对应函数图象，数形结合分析得出参数满足的充要条件 解：略四、课堂练习：1.若方程022=++ax x 的两个根，都小于-1，求a 的取值范围。

2.已知关于x 的方程0222=-++k kx kx 有两个实根，其中一根在(0，1)之间，另一根在(-1，0)之间，求实数k 的取值范围。

函数与方程（3）教学目标：1、理解二分法求方程近似解的实质2、能够借助计算器用二分法求方程的近似解3、通过二分法求方程的近似解，感知数形结合法的重要性及直观性教学重点： 理解二分法求方程近似解的实质通过二分法求方程的近似解，感知数形结合法的重要性及直观性教学难点：理解二分法求方程近似解的实质 教学过程：一、自学导引：1.函数零点存在定理:如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是_______的一条曲线,并且有__________,那么,函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点,即存在∈c _____使得0)(=c f ,这个c 也就是方程0)(=x f 的___.2.一般地,我们把_________称为区间),(b a 的中点．3.对于在],[b a 区间上_________且_________的函数)(x f y =,通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间_________,使区间的两个端点_________零点,进而得到零点_________的方法叫做二分法. 4、已知下列函数图象其中不能用二分法求交点横坐标近似值的是 （ ）A B C D 5.给定精确度ε,用二分法求函数零点近似值的步骤是: (1)确定区间_________,验证0)()(<⋅b f a f ,给定精确度ε; (2)求区间),(b a 的中点____; (3)计算)(c f ;①若_________,则c 就是函数的零点;②若0)()(<⋅c f a f ,则令_________(此时零点),(0c a x ∈); ③若0)()(<⋅b f c f ,则令_________(此时零点),(0b c x ∈).(4)判断是否达到精确度ε:即若_________,则得到零点近似值a (或b ),否则重复(2)~(4). 二、知识点点拨 1、一般地，我们把2ba +称为区间),(b a 的中点 2、对于在区间],[b a 上连续不断，且满足0)()(<b f a f 的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间二等分，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。

（1）用二分法的条件0)()(<b f a f 表明二分法求函数的近似零点都是指变号零点，而非不变号零点。

（2）二分法的思想为：首先确定有根区间，将区间二等分，通过判断)(x f 的符号，逐步将有根区间缩小，直至有根区间足够小，便可求出满足精度要求的近似根。

用二分法求函数零点近似值的基本步骤：1、确定区间],[b a ，使0)()(<b f a f ，给定精度ε； 2. 求区间),(b a 的中点c 3. 计算)(c f ：（1）若)(c f =0，则c 就是函数的零点；（2）若0)()(<c f a f ，则令c b =，此时零点),(0c a x ∈； （3）若0)()(<b f c f ，则令c a =，此时零点),(0b c x ∈.4. 判断是否达到精确度ε：若 ε<-||b a ，则得到零点近似值a （或b ）； 否则重复步骤 2～4． 三、例题分析：例1、已知二次函数2y ax bx c =++的部分对应值如下表o xyo x y x y o y o x例2、（1）若直线2y a =与函数()10,1x y a a a =->≠且的图象有两个公共点， 则a 的取值范围是_________（2）函数log (0,1)a y x a a =>≠在[2,)+∞上恒有1y >，则a 的取值范围（ ）A ：1(,1)(1,2)2⋃B ：1(0,)(1,2)2⋃ Ｃ：(3,0)(3,)-⋃+∞ Ｄ：(,3)(0,3)-∞-⋃分析：（1）由于底数不定，所以需分类画出函数|1|-=xa y 的图象。

（2） 作出函数),2[|log |+∞=在x y a 上图象，观察并分析出函数值恒大于1时，参数a 满足的条件 解：略四、课堂练习1、()31x f x =-与()2g x =交点的个数为 （ ） Ａ：0个 Ｂ：1个 Ｃ：2个 Ｄ:3个2、方程log (0,1)xa a x a a =>≠的实根的个数 （ ）A 、当1a >时，方程没有实数解。

B 、当1a >时，方程有两个实数解C 、当01a <<，方程只有一个实数解。

D 、当01a <<时，方程有两个实数解。

3、方程2121x x +=-的根的范围为 （ ） 1(0,)2A1(,1)2B 3(1,)2C 3(,2)2D 4、函数12log y x =的定义域为[,]a b ，值域为［０，２］，则区间[,]a b 的长度b a -的最小值是（ ）Ａ：154， Ｂ：３， Ｃ：34， Ｄ：１ 5、设函数()()()2020x bx c x f x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，若()40f -=，()22f -=-，则 关于x 的方程()f x x =的解的个数是 （ ）A 、 1B 、 2C 、 3D 、 4１１---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------。