立体几何中的向量方法 求空间角

∴PE⊥平面 ABCD.
建立如图所示坐标系，
则 B(－2,4,0)，P(0,0， 2)，D(2,0,0)，A(－2,0,0)，
D→P＝(－2,0， 2)，D→B＝(－4,4,0)．
易知平面 PDA 的法向量 m＝(0,1,0)，
设平面 BPD 的法向量 n＝(x0，y0，z0)，则
nn··DD→ →PB＝ ＝－ －24xx00＋ ＋4y20z＝0＝0，0，
2，
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2， 2
2 2
，S→D＝(0，－
2，－
→→
2)，|cos〈A→E，S→D〉|＝
|AE·SD| →→
|AE|·|SD|
＝
32×2＝
3， 3
故 AE，SD 所成角的余弦值为 3. 3
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3
考点疑难突破
考点一 直线与直线所成角
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例 1．(2014·全国卷Ⅱ)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BCA＝90°，
考点二 直线与平面所成角
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例 2 (2017 年北京卷)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为正方 形，平面 PAD⊥平面 ABCD，点 M 在线段 PB 上，PD∥平面 MAC，PA ＝PD＝ 6，AB＝4.
(1)求证：M 为 PB 的中点； (2)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值 (3)求二面角 B－PD－A 的大小； (1)证．明：设 AC、BD 交点为 O，连接 OM，
2，故
DF＝
2 2.
在
Rt△FDG
中，可得
FG＝
6 2.
在直角梯形 BDFE 中，
由 BD＝2，BE＝ 2，DF＝ 22，
可得
EF＝3
2 2.
从而 EG2＋FG2＝EF2，
所以 EG⊥FG. 又 AC∩FG＝G，所以 EG⊥平面 AFC. 因为 EG⊂平面 AEC， 所以平面 AEC⊥平面 AFC.
则下列点 P 在平面α内的是( A )
A．P(2,3,3) B．P(－2,0,1) C．P(－4,4,0) D．P(3，－3,4) 4．已知正四棱锥 S－ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是 SB 的中点，则
AE，SD 所成角的余弦值为( C )
A.13
B．
2 3
C.
3 3
D．23
求 AE，SD 所成角的余弦值
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利用向量计算二面角大小的常用方法： (1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量， 然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实 际图形判断所求角的大小. (2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与 棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二 面角的大小.
故
cos〈A→E，C→F〉＝
→→ AE·CF →→
＝－
3 3.
|AE||CF|
所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为 33.
课堂小结：
考点回顾：
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(1)线线角
设两条异面直线 l1，l2 的方向向量分别为 a，b，其夹角
为 θ，则 cosφ＝|cosθ| (其中 φ 为异面直线 a，b 所成的角)．
∵PD∥平面 MAC， 且平面 PBD∩平面 MAC＝MO， ∴PD∥MO. ∵O 为 BD 的中点， ∴M 为 PB 的中点．
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(2)取 AD 中点 E，连接 PE，
∵PA＝PD，
∴PE⊥AD，
又∵平面 PAD⊥平面 ABCD，且平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，PE⊂平面 PAD，
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(2017 年山东卷)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD(及其 内部)以 AB 边所在直线为旋转轴旋转 120°得到的，G 是 的中点．
(1)设 P 是 上的一点，且 AP⊥BE，求∠CBP 的大小； (2)当 AB＝3，AD＝2 时，求二面角 E－AG－C 的大小．
如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向
量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 φ，两向量 e 与 n 的
夹角为 θ，则有 sinφ＝|cosθ|＝__|_|ee_|·_|nn_||___.
范围:
0,
2
0,
(3)求二面角的大小
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与棱al．垂如直图的①直，线A，B，则C二D面是角二的面大角小α－θ＝l－__β〈_两A→_B_个，_C_→半D_〉_平__面__内．
A ＝－1，则 l 与α所成的角为( ) 2
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．已知两半平面的法向量分别为 m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两半平面所成的二
面角为( C )
A．45° B．135° C．45°或 135° D．90° 3．已知平面α内有一个点 M(1，－1,2)，平面α的一个法向量是 n＝(6，－3,6)，
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立体几何中的向量方法 空间角
考点分 布
1
空间向 量及其 应用
考纲要求
考点频高率考总复习命·题数学趋（势理）
主要考查直线
1.理解直线的方向向考量与情 分 析与平面所成的
平面的法向量.
角或已知线面
2.能用向量语言表述线线
角求其他量，
、线面、面面的平行和垂
求二面角，基
直关系，能用向量方法证
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解：(1)证明：连接 BD，设 BD∩AC＝G，连接 EG，FG，EF.
在菱形 ABCD 中，不妨设 GB＝1.
由∠ABC＝120°，可得 AG＝GC＝ 3.
由 BE⊥平面 ABCD，AB＝BC，可知 AE＝EC.
又 AE⊥EC，所以 EG＝ 3，且 EG⊥AC.
在 Rt△EBG 中，可得 BE＝
(2)线面角
sinφ＝|cosθ|
(3)二面角
二面角的大小 θ 满足 cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉
空间向量与空间角的关系
范围:
(1)两条异面直线所成角的求法
0,
2
0,
设两条异面直线 l1，l2 的方向向量分别为 a，b，其
夹角为 θ，则 cosφ＝|cosθ|＝_||_aa_|·|_bb_|| (其中 φ 为异面直线 l1，
l2 所成的角)．
(2)直线和平面所成角的求法
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所成角的正弦值为 ( )
A.
3 6
B.
6 6
C.
3 3
D.
6 3
考点三 二面角
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(2017 年全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP ＝∠CDP＝90°.
(1)证明：平面 PAB⊥平面 PAD； (2)若 PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角 A－PB－C 的余 弦值．
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(2)以 G 为坐标原点，分别以G→B，G→C的方向为 x 轴，y 轴正方向，|G→B|为单位长
度，建立空间直角坐标系 G－xyz.
由(1)可得 A(0，－
3，0)，E(1,0，
2)，F－1，0，
22，C(0，
3，0)，所以A→E
＝(1，
3，
2)，C→F＝－1，－
3，
2
2
.
M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，BC＝CA＝CC1，则 BM 与 AN
所成角的余弦值为（ C ）
A.110
B.25
C.
30 10
D.
2 2
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用向量法求异面直线所成角的一般步骤
(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系； (2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值．
[自 主 演 练]
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如图，四边形 ABCD 为菱形，∠ABC＝120°，E，F 是平面 ABCD 同 一侧的两点，BE⊥平面 ABCD，DF⊥平面 ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
(1)证明：平面 AEC⊥平面 AFC； (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值．
利用向量法求线面角的方法： (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两 个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量 所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.
[自 主 演 练]
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正四棱锥 S -ABCD 中，SA＝AB＝2，则直线 AC 与平面 SBC
本在解答题中
明立体几何中有关线面位 置关系的一些简单定理.
5年40考
考查．近两年 有关开放性问
3.能用向量方法解决直线
题的考查较少
与直线、直线与平面、平
，通常以是否
面与平面的夹角的计算问
存在某定点的
题，了解向量方法在研究
形式考查二面
立体几何中的应用.
角、空间距离
等.
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2
基础自主梳理
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解析：以两对角线 AC 与 BD 的交点 O 作为原点，以 OA，OB，OS
所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设底面边长为 2，则有
O(0,0,0)，A(
2，0,0)，B(0， 2，0)，S(0,0， 2)，D(0，－
2，0)，E
0，
2， 2
2 2
，
A→E＝ －
可取 n＝(1,1, 2)．
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设二面角 B－PD－A 的平面角为 θ，
∴|cosθ|＝|cos〈m，n〉|＝|mm|·|nn|＝1×
1 12＋12＋
22＝12，
由图可知，二面角 B－PD－A 为锐二面角，
∴θ＝π3，即二面角 B－PD－A 的大小为π3.
(3)由(2)可知
M－1，2，
b．如图②③，n1，n2 分别是二面角α－l－β的两个半 平 面 α ， β 的 法 向 量 ， 则 二 面 角 的 大 小 θ 满 足 cosθ
＝ cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．
两平面的二面角
0,
2
两半平面的二面角 0,
「基础小题」
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1．已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面α的方向向量和法向量，若 cos〈m，n〉
22，C(2,4,0)，
M→C＝3，2，－
22，
设直线 MC 与平面 BDP 所成的角为 α，则有
sinα＝|cos〈M→C，n〉|＝
→ MC·n →
＝
|MC||n|
1＋1＋
3＋2－1 22· 32＋22＋－
＝2 222
9
6 .
∴直线
MC
与平面
BDP
所成角的正弦值为2 9
6 .
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