工程中的数学方法
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为了进一步进行零件设计公差的 有效性验证 提供加工路线 进行
工序控制。使用统计公差技术， 又将有位置要求和实效体积要求 的装配件的VBRS描述的公差转 化为条件公差t并且给出了具体 的数学公式．这些公式可作为零 件检验的软件量规。
虚拟边界实际上是满足公差定义的零 件偏差的极值边界，所以虚拟边界模 型可用于极值公差分析，但不适用于 尺寸链复杂的装配体。
质量 形状与尺 要求和规
检查
经济效益 寸
范
CAPP
实际配合 与性能
Байду номын сангаас
公差分析的应用 与分析难点
Tolerance information utilization and transfer in a manufacturing enterprise
CAPP：Computer Aided Process Planning 计算机辅助工艺过程设计
矢量空间模型首先需要定义公差变 量、设计变量和模型变量。
公差变量表示零件名义尺寸的偏差。
建立公差模型的 数学方法研究
设计变量由设计者确定，用以表示最 终装配体的多目标优化函数。
矢量空间模型
在数学上，矢量的操作比代数 的操作要方便，而且随着计量 技术的进一步发展， 出现 CMM (三坐标测量机)。CMM 主要是进行点测量，因此，为 了适应CMM 测量技术，可将 实际零件看作空间上的点来处 理，提出了矢量公差法。
闵科夫斯基和（Minkowski sum）是两个 欧几里得空间的点集的和，以德国数学 家闵可夫斯基命名。点集A与B的闵可夫 斯基和就是A+B={a+b|a∈A,b∈B}。例如， 平面上有两个三角形，其坐标分别为A = {(1, 0), (0, 1), (0, −1)}及B = {(0, 0), (1, 1), (1, −1)}，则其闵可夫斯基和为A + B = {(1, 0), (2, 1), (2, −1), (0, 1), (1, 2), (1, 0), (0, −1), (1, 0), (1, −2)}。
引言
当前的公差分析多采 用计算机辅助的形式，在 此基础上，有多种数学建 模方式被应用。
目录
CATALOGUE
> 公差分析的应用与分析难点 > 计算机辅助公差设计 > 建立公差模型的数学方法研究
> 漂移公差带模型 > 虚拟边界模型 > 矢量空间模型 > 齐次变换矩阵法 > 用户定义法
可互换性 理论几何 公差选择 生产制造
蒙特卡罗法（Monte Carlo simulation method）
建立公差模型的 数学方法研究
漂移公差带模型
此方法是由Requicha提出的， 最早的一种用于建立公差带的 数学方法。它基于闵科夫斯基 和（Minkowski sum）的方法， 对实体进行漂移操作。对于表 面特征和相关公差信息则运用 偏差图（VGraph）来表示。 VGraph主要是作为一种分解 实体表面特征的手段，将实体 的边界部分定义为特征，公差 信息则封装在特征属性中。
Hoffmann提出了矢量空间模 型，Turner扩展了这一模型。
模型变量是控制零件各个公差的独立 变量。
这种理论适用于公差分析和合成的场 合，是公差自动化分析系统GEOT的基 础。但是对于不同零件的定义，就有 不同的模型变量类型和数目，因此不 可能存在通用的矢量空间。因此相对 较为麻烦。
机械装配过程中，在保证各组成零件适当功能的前提下， 各组成零件所定义的、允许的几何和位置上的误差称为公差。 公差的大小不仅关系到制造和装配过程，还极大影响着产品的 质量、功能、生产效率以及制造成本。
公差分析或称偏差分析，即通过已知零部件的尺寸分布和 公差，考虑偏差的累积和传播，以计算装配体的尺寸分布和装 配公差的过程。公差分析的目的在于判断零部件的公差分布是 否满足装配功能要求，进而评价整个装配的可行性。
公差分析的应用 与分析难点
> MMC：Maximum Material Condition
最大材料条件
> LMC：Least Material Condition
最小材料条件
> Parratt提出最大实体(MMP)的概念，用以
定义在指定公差允许的条件下零件的最 大实体。 MMP：Maximum Material Parts LMP：Least Material Parts
MMC solid=（S t）
在CAD中，利用半空间、布尔运算， 可以得到综合公差结果。
漂移公差带模型很好地表达了 轮廓公差，轮廓公差包含了所有实 际制造过程中的偏差。该模型提供 了公差的通用理论且易于实现，但 是不能区分不同类型的形状公差。
建立公差模型的 数学方法研究
虚拟边界模型
Jayaraman和Srinivasan 以漂 移公差法作为基础，将装配件 的功能要求描述为虚拟表面的 功能要求刚性集台。
公差分析的应用 与分析难点
SPRiOnBLgEMularities
计算机辅助公差设计(Computer Aided Tolerancing,简称CAT) 技术是指在机械产品的设计、加工、装配、检测等过程中,利用计 算机对产品及其零部件的尺寸和公差进行并行优化和监控,力图用 最低的成本设计并制造出满足用户精度要求的产品。
这种用虚拟表面或虚拟半空间 的边界的刚性集合来描述的功 能要求的方法称为虚拟表面法 或虚拟边界要求法(VBRS)。
首先，从装配件的各组成零件的功 能集合出发。抽取每对理想匹配特 征；再对每对特征定义一个合适的 虚拟表面；为了术语( 不是实体边， 包围 )简单化和为方便产生软件量规 (这种软件量规可用来直接验证零件 的功能)．定义一个虚拟半空间．使 得虚拟表面是虚拟半空间的边界。
计算机辅助公差设计
公差分析 Tolerance Analysis
公差综合 Tolerance Synthesis
·设计阶段 ·制造阶段 ·检测阶段 ·性能相关
制造阶段——CAPP 包括选择机床和加工过程
检测阶段——测量偏差与规范一致性 性能相关——与偏差相关的性能
公规成公确设差定是差定计综各从分最与合组制析终制是成造是装造指环和指配高在尺检己后质保寸测知所量证的的尺要产产经角寸 保品品济度链证的装合对中的关配理公各封键技的差组闭一术公设成环步要差计环公。求进,公差可下行差，以，优，是看 化公和差补分充析。的方法主要有两种:极值法和统计法
工序控制。使用统计公差技术， 又将有位置要求和实效体积要求 的装配件的VBRS描述的公差转 化为条件公差t并且给出了具体 的数学公式．这些公式可作为零 件检验的软件量规。
虚拟边界实际上是满足公差定义的零 件偏差的极值边界，所以虚拟边界模 型可用于极值公差分析，但不适用于 尺寸链复杂的装配体。
质量 形状与尺 要求和规
检查
经济效益 寸
范
CAPP
实际配合 与性能
Байду номын сангаас
公差分析的应用 与分析难点
Tolerance information utilization and transfer in a manufacturing enterprise
CAPP：Computer Aided Process Planning 计算机辅助工艺过程设计
矢量空间模型首先需要定义公差变 量、设计变量和模型变量。
公差变量表示零件名义尺寸的偏差。
建立公差模型的 数学方法研究
设计变量由设计者确定，用以表示最 终装配体的多目标优化函数。
矢量空间模型
在数学上，矢量的操作比代数 的操作要方便，而且随着计量 技术的进一步发展， 出现 CMM (三坐标测量机)。CMM 主要是进行点测量，因此，为 了适应CMM 测量技术，可将 实际零件看作空间上的点来处 理，提出了矢量公差法。
闵科夫斯基和（Minkowski sum）是两个 欧几里得空间的点集的和，以德国数学 家闵可夫斯基命名。点集A与B的闵可夫 斯基和就是A+B={a+b|a∈A,b∈B}。例如， 平面上有两个三角形，其坐标分别为A = {(1, 0), (0, 1), (0, −1)}及B = {(0, 0), (1, 1), (1, −1)}，则其闵可夫斯基和为A + B = {(1, 0), (2, 1), (2, −1), (0, 1), (1, 2), (1, 0), (0, −1), (1, 0), (1, −2)}。
引言
当前的公差分析多采 用计算机辅助的形式，在 此基础上，有多种数学建 模方式被应用。
目录
CATALOGUE
> 公差分析的应用与分析难点 > 计算机辅助公差设计 > 建立公差模型的数学方法研究
> 漂移公差带模型 > 虚拟边界模型 > 矢量空间模型 > 齐次变换矩阵法 > 用户定义法
可互换性 理论几何 公差选择 生产制造
蒙特卡罗法（Monte Carlo simulation method）
建立公差模型的 数学方法研究
漂移公差带模型
此方法是由Requicha提出的， 最早的一种用于建立公差带的 数学方法。它基于闵科夫斯基 和（Minkowski sum）的方法， 对实体进行漂移操作。对于表 面特征和相关公差信息则运用 偏差图（VGraph）来表示。 VGraph主要是作为一种分解 实体表面特征的手段，将实体 的边界部分定义为特征，公差 信息则封装在特征属性中。
Hoffmann提出了矢量空间模 型，Turner扩展了这一模型。
模型变量是控制零件各个公差的独立 变量。
这种理论适用于公差分析和合成的场 合，是公差自动化分析系统GEOT的基 础。但是对于不同零件的定义，就有 不同的模型变量类型和数目，因此不 可能存在通用的矢量空间。因此相对 较为麻烦。
机械装配过程中，在保证各组成零件适当功能的前提下， 各组成零件所定义的、允许的几何和位置上的误差称为公差。 公差的大小不仅关系到制造和装配过程，还极大影响着产品的 质量、功能、生产效率以及制造成本。
公差分析或称偏差分析，即通过已知零部件的尺寸分布和 公差，考虑偏差的累积和传播，以计算装配体的尺寸分布和装 配公差的过程。公差分析的目的在于判断零部件的公差分布是 否满足装配功能要求，进而评价整个装配的可行性。
公差分析的应用 与分析难点
> MMC：Maximum Material Condition
最大材料条件
> LMC：Least Material Condition
最小材料条件
> Parratt提出最大实体(MMP)的概念，用以
定义在指定公差允许的条件下零件的最 大实体。 MMP：Maximum Material Parts LMP：Least Material Parts
MMC solid=（S t）
在CAD中，利用半空间、布尔运算， 可以得到综合公差结果。
漂移公差带模型很好地表达了 轮廓公差，轮廓公差包含了所有实 际制造过程中的偏差。该模型提供 了公差的通用理论且易于实现，但 是不能区分不同类型的形状公差。
建立公差模型的 数学方法研究
虚拟边界模型
Jayaraman和Srinivasan 以漂 移公差法作为基础，将装配件 的功能要求描述为虚拟表面的 功能要求刚性集台。
公差分析的应用 与分析难点
SPRiOnBLgEMularities
计算机辅助公差设计(Computer Aided Tolerancing,简称CAT) 技术是指在机械产品的设计、加工、装配、检测等过程中,利用计 算机对产品及其零部件的尺寸和公差进行并行优化和监控,力图用 最低的成本设计并制造出满足用户精度要求的产品。
这种用虚拟表面或虚拟半空间 的边界的刚性集合来描述的功 能要求的方法称为虚拟表面法 或虚拟边界要求法(VBRS)。
首先，从装配件的各组成零件的功 能集合出发。抽取每对理想匹配特 征；再对每对特征定义一个合适的 虚拟表面；为了术语( 不是实体边， 包围 )简单化和为方便产生软件量规 (这种软件量规可用来直接验证零件 的功能)．定义一个虚拟半空间．使 得虚拟表面是虚拟半空间的边界。
计算机辅助公差设计
公差分析 Tolerance Analysis
公差综合 Tolerance Synthesis
·设计阶段 ·制造阶段 ·检测阶段 ·性能相关
制造阶段——CAPP 包括选择机床和加工过程
检测阶段——测量偏差与规范一致性 性能相关——与偏差相关的性能
公规成公确设差定是差定计综各从分最与合组制析终制是成造是装造指环和指配高在尺检己后质保寸测知所量证的的尺要产产经角寸 保品品济度链证的装合对中的关配理公各封键技的差组闭一术公设成环步要差计环公。求进,公差可下行差，以，优，是看 化公和差补分充析。的方法主要有两种:极值法和统计法