沪科版九年级数学上册教案《比例线段》

《比例线段》
教材分析
本节是上海科技版义务教育教科书《数学》九年级上册第二十二章《相似形》的第1节《比例线段》的教学内容，主要研究相似的定义和性质。

成比例线段，平分线分线段成比例的有关知识．本节内容是在学生学习了全等三角形的有关知识以后深入研究一般的相似相关知识，相似是全等的拓展．首先由生活中的相似图形引出相似形的定义，再由相似比引出线段的比例关系，然后拓展到比例性质关系，最后得到平行线段定理，
由本节内容研究图形的相似，成比例线段，体现了从特殊到一般的的证明思想．
教学目标
【知识与能力目标】
理解并掌握相似形的定义，相似比的概念，比例性质，平行线分线段成比例定理及其推论【过程与方法】
在对性质的探究中，学生经历“观察--猜想———论证———归纳”的过程，培养学生主动探究的态度，并能体会类比的数学思想，提高分析问题和解决问题的能力。

【情感态度与价值观】
体会特殊到一般的认知规律，通过合作交流，提高解决问题的能力，树立自信心
教学重难点
【教学重点】
成比例线段，比例线段的性质。

【教学难点】
比例性质的推导，应用。

课前准备
多媒体课件、教具等．
教学过程
请找出形状相同的图形
实际生活中我们经常会看到许多形状相同的图形。

【设计意图】：从生活中的实际图形出发，直观感受相似。

六边形ABCDEF 与六边形 111111F E D C B A 是形状相同的图形；其中∠A 与
1A ∠ ，
∠B 与 1B ∠ , ∠C 与
1C ∠ , ∠D 与 1D ∠ , ∠E 与 1E ∠ ,
∠F 与
1F ∠ 对应相等,称为对应角;
AB 与 11B A , BC 与
11C B ,CD 与11D C , DE 与 11E D ,EF 与
11F E ,FA 与 11A F 的比都相等, 称为对应边.
（2）正方形ABCD 与正方形EFGH
A B
C D
E
F
A 1
B 1
C 1
D 1
E 1
F 1
由于正方形的每个角都是直角，所以
︒=∠=∠︒=∠=∠︒=∠=∠︒=∠=∠90,90,90,90H D G C F B E A
由于正方形四边相等，所以
HE DA
GH CD FG BC EF AB =
==
一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等、对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数。

如：六边形ABCDEF 与六边形 111111F E D C B A 相似，
记作六边形ABCDEF ∽
六边形 1
11111F E D C B A ,其中 AB:
11B A
的值就是相似比.注:1、相似符号“∽ ”读作“相似于”
2、在记两个多边形相似时，要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上。

【设计意图】：由常用图形得到相似定义，清晰明了
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m 、n ，那么说这两条线段的比AB:CD=m:n 或写成
n
m CD
AB =
.其中，线段AB,CD 分别叫做这个线段比的前项、后项.
如果把n
m
表示成比值k,那么 k
=CD
AB
，或AB=k ×CD.两条线段的比实际上就是
两个数的比。

五边形 ABCDE 与五边形A'B'C'D'E'形状相同，AB=5cm ，A'B'=3cm 。

AB:A'B'=5 : 3， 3
5
就是线段AB 与线段A'B'的比。

这个比值刻画了这两个五边形的大小关系。

两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？ 1.两条线段的比就是长度的比，它是一个数,它没有单位. 2.两条线段的比是有顺序的.
3.两条线段比与所选的长度单位无关.
4.求两条线段比时.如果单位不同.那么必须先化成同一单位.再求它们的比 . 【设计意图】：得到相似比的概念，为后面学习比例铺垫
已知四条线段a,b,c,d 中，如果 d c
b
=
a ，（或a:b=c:d ）,那么a,b,c,d 叫做成比例线段，其中b,c 叫做比例内向，a,d 叫做比例外向 比例是指四条线段之间的一种关系，它们有顺序要求. 若a:b=b:c ，那么线段
b 叫做线段a,
c 的比例中项 【设计意图】：引出比例线段定义，为后面的证明做铺垫
如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD 与四边形EFGH 的顶点都在格点上， 问题：
（1）你能求出AB ，AD ，EF ，EH 的长度分别是多少吗？并比较 EF AD
EH
AB ,
的值？ （2）根据计算结果，它们成比例吗？计算EF EF
AD EH EH AB ++,
的值并比较大小？
(3)从以上的式子中，你有什么发现？
（4）若对于任意的实数a,b,c,d,满足 d
c b
a =
，则根据你的发现可以得到哪些
关系式？怎么证明？
追问：（1）计算 EF EH AD
AB ++ 的值 ?与
EF
AD
EH AB ,
的比值比较大小？有什么发现？
（2）若对于任意的实数a,b,c,d,满足
d
c
b a = ，
则根据你的发现可以得到什么关系式？怎么证明？ （3）分母有需要注意的条件吗？
（4）这个式子可以推广吗？若 n n
b a b a b a b ====.......a 3
32211 ， 则类比前面的你能得到什么关系式？
（1）若 )
0,(≠=d b d c
b a ，则
ad
bc =
（2）若 )
0,(≠=d b d c b a ，则 c
d
c b
b a +=+
（3）若 k b a b a b a n n ===....2211 ，则)0
..(....212121≠++=++++n n n b b b k b b b a a a
【设计意图】：讲解比例的性质，由特殊到一般的思想 如图已知设小方格的边长为1,A,B,C,D,E 都在格点出，DE ‖BC 问题：（1）分别求出AD,DB,AE,EC 的长度，计算EC AE
DB AD ,
的比值，得到什么比
例式？
（2）能仿照求出 的比值吗？你能得到什么比例式？还有吗？ （3）根据以上比例式你能得到什么定理？能证明吗？（借用面积计算）
追问：（1）前面的推论能否推广成一般形式？
（2）如图，已知水平的三条直线互相平行，能否应用前述结论证明
BF
BD
AE AC
(3)还能证明哪些比例式？我们可以从这些比例式得到什么定理？ （4）假如AC=CE,那么BD,DF 呢？你能得到什么定理？
定理：平行于三角形一边的直线截得的对应线段成比例 定理：两条直线三条平行线所截，截得的对应线段成比例
定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等， 那么在另一条上截得的线段也相等。

【设计意图】：给出平行线分线段成比例定理，体验特殊到一般的证明思路 例题： 如图，菱形ABCD 和菱形1111D C B A 相似吗？为什么？
例： 已知线段a=10mm , b=6cm,c=2cm , d=3cm 问：这四条线段是否成比例？为什么?
想一想: 是否还可以写出其他几组成比例的线段.
例：如图是我国台湾省的几个城市的位置图，问基隆市在高雄市的哪个方向？到高雄市的实际距离是多少km ？(比例尺1：9000000)
例：如图所示，已知线段AB 的长度为a ，点C 是AB 上一点，且使得AB:AC=AC:CB, 求线段AC 的长和AC:AB 的比值？
A D 1
A 1
C
1
北
高雄
台南
台中
例：如图，在△ＡＢＣ中DE‖BC，
(1)如果AD=7.DB=5,EC=4,那么AE的长是多少？
（2）如果AB=10,AD=6,AE=5,那么EC的长是多少？
【设计意图】：例题讲解，体会知识的应用，学会在不同题型的应用，
练习:求下列各题中 a:b 的值
(1)a=2m , b=0.4m ;
(2)a=6cm , b=6m ;
(3)a=50mm , b=6cm ;
4)a=3m , b=10mm
练习：已知A,B两地的实际距离是AB=250m,在地图上A,B两地距离5cm
求图上距离与实际距离的比（即该地图的比例尺）
【设计意图】：及时巩固本节所学知识，了解学生学习效果，培养学生独立解题能力。

布置作业：
课后作业：习题22.1第1.4题
课堂作业：习题22.1第2.3.5题
【设计意图】：根据学生学习的不同层次安排相应作业，从而使学生有不同层次的认识和提高。

教学反思
1，全等三角形的性质和相似三角形的性质有一定的关联，在学习中时刻注意类比
2，几个性质的证明方法比较接近，应在讲解中注重知识和方法的联系；3，本节内容较多，注重由易到难，层次梯度，特殊到一般多种思路结合。