电子-声子相互作用

E (r ) E (q )e iqr
q
D(q) (q) E (q)
于是得到
q
1 (q) i q (q)
这样可得运动方程的右边为
2 4Ne 2 (eq q) 1 (q) 2 1 (q) M q q Q Qq q q 2 M q (q) ( q)
（1）k q在第一布里渊区
取Kn 0, 这时k ' k q, 总波矢守恒，称为正常 散射过程或简称 N过程
在长波近似下，有 eqs 平行或垂直于波矢 q的解， 分别代表LA与T A声子。显然，只有 LA声子的贡献：
H ep Dq (aq a )C
q k ,q k q
1/ 2
由晶体的周期性边界条件得：
r r l
* k'
k ' | V (r l ) | k
对离子势作傅里叶展开
dru
(r )uk (r )ei ( k k ')r V (r ) ei ( k k ')l

V (r ) Vp eipr
p
N 1 H ep i (eqs p ) 2 M k ,k ' q , s p N qs V p k ' | e ipr | k (aqs a qs )C k 'C k
i
傅里叶展开
i iq r i (r ) q e q i 其中离子密度的傅里叶 分量为 q i(
N 1/ 2 ) (eq q)Qq M
（2）
i q与q 的关系
i 由于离子运动比电子运动慢得多，因此，离子运动产生的 q 当作“静态试
探电荷”，可用线性响应理论处理：
ul V (ri l ) h(rj )
j ,l j
其中电子与声子互作用 的单体势为： h(r ) ul V (r l )
l
若选布洛赫函数
k (r) uk (r)eikr ,
uk (r l ) uk (r)
作为电子系统二次量子化态向量的基函数，则
（2）k q超出第一布里渊区
取K n 0, 所取k q K n回到第一布里渊区，这 时eqT K n 0, 这时LA与T A声子都对互作用有贡献 。
k’
k
由于从k到k’为大角度散射，显然散射前后电子速度发生了大角度偏转，
故常称 K n 0 的过程为U过程或倒逆过程
U过程主要在高温大q时存在，对金属的高温特性有重要影响
价带
由于纵声学模伴随晶体体积和晶格常数的局域变化，因此， C 将发生移动
V C ( C )V V ( C )( ) c1(r ) V V V
电子与声子相互作 用的形变势模型 在长波近似下 (r ) u (r ) i
q
(r )为形变量， c1为形变势常数。
消灭k电子和q声子并产生 k q电子
k电子被消灭和 q声子与k q电子产生
当k在费米球外而 k q在费米球内时
代表电子
代表空穴
以上是Hep的一级微扰过程，它用于解释晶体的输运特性。
电子-声子互作用的高阶微扰过程由上述基本过程组成
（a）先发射后吸收q声子，物理实质是电子带着晶格畸变运动，对电子自能产
1、互作用过程
能带论只计及晶格周期场对电子的作用（即原子或离子位置固定的情形） 考虑晶格振动时，原子（离子）偏离平衡位置，引起势能的改变。能带
电子将受到晶格位移所产生附加势场的作用，这就是电子和晶格振动的 相互作用。 电子与声子相互作用。
在能带极值附近，电子的能量：
导带
C
2k 2 k C 2m 其中 C为带边能量，可理解为 能带电子的势能 , 为晶格周期势对电子的 作用。
Ck ,
N V (e q) 其中Dq i 2M q q q
* 对于金属，采用集体坐标表示。设金属为单价，电子与离子间互作用取库仑势
H ep M qQq q ,
q
2 N 4e 其中M q i 2 (eq q) M q
计及电子的屏蔽后，LA声子的运动方程为
Qq

2 q
(q)
Qq 0
由此得LA声子的频率为
2 q 2 q / (q)
如果取托马斯-费米介电函数式
(q) 1
2
q
2
,
6Ne 2 EF
2
则在长波范围内
2 q2 1 m 2 2 2 q 2 2 q 2 vF q q 3 M 2 q 2 q
3、声子的自能修正
电子系统对声子扰动场的屏蔽，将改变离子
间的互作用势，从而对声子频率产生修正。 考虑单价金属，设N个离子组成的简单晶 格浸没在均匀电子气体中 与电子集体振荡相似，未微扰的LA声子频 率在长波范围内为
4Ne 2 M
2 q
这里取单体积，N=-1， 为正点阵元胞体
积。LA声子的哈密顿：
iq r (eq q)( aq eiqr aq e ) 2 Vq
电子与声子互作用的二次量子化表示为：
H ep dr (r )c1(r ) (r ) ic1
k ,q
( (r ) Ck eikr )
k
(eq q)(aq Ck q Ck aq Ck q Ck ) 2 Vq
q i
4F (eq q)aq 2 q
k ,k '
ul k ' | V (r l ) | k Ck'Ck
l k ,k '
(aqs a )Ck'Ck eiql {eqs k ' | V (r l ) | k } qs l k , k ' q , s 2 NM qs 其中，N为元胞数，M为原子质量， s代表格波的偏振指标。
最后得到LA声子的色散关系
q cL q
1 m cL vF 3 M 其中vF k F / m为费米速度。
这就是著名的玻母-司台夫(Bohm-Staver)声速公式
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4、电子与光频声子的相互作用
离子晶体中的光频支纵振动会产生极化电场
它将对离子晶体中的传导电子产生强烈的耦合作用。 耦合作用比LA声子对传导电子的作用强得多。 因此，主要是LO声子与传导电子的相互作用对离子晶体中的载流子特性产生影响。 在长波近似下，LO声子的位移场可写为：
u (r ) u (r ) 2 NM L
1 NM
q q
e Q e
q q q iq r
iq r
e (a e
q
iq r aq e )
这里M为折合质量，这里还忽略了L对q的依赖关系。
光频支纵振动位移所产生的电场
E (r )
4 12 W (r ) 1 4 22
电子-声子互作用过程的守恒定律
动量：k ' (k q K n ) 总动量相差K n , 这是由晶格结构的周期 性和不连续性造成的
* 散射前后能量守恒 电声子作用的实（可观察的）过程和虚（不观察的）过程
对于实过程：电声子散射两次平均时间间隔：
, E
E | k k q |
i 表示。 q
这个起伏的效果相当于对电子气体加上一外扰动场，引起电子气体的响应运动。
i （ 1） 离子密度起伏 q
晶格振动位移将产生极化
P(r ) Neu(r ),
由极化可得到离子密度
其中u(r ) ( NM )1/ 2 eqQq eiqr
q
1 N 1/ 2 (r ) P(r ) i( ) (eq q)Qq eiqr e M q
Hp
1 2 P P q q q Q q Qq 2 q

这里Pq Qq
集体坐标表示的电子与声子互作用为
H ep M qQq q ,
q
2 N 4e 其中M q i 2 (eq q) M q
金属的总哈密顿量
H H p H ep H e H ee H e为自由电子近似的哈密 顿量 H ee为电子之间的库仑互作 用。
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其中利用了
1 i ( k q k ')l e k ',k q K n N l p k 'k q K n
剩下的问题是如何选取倒格矢Kn。当采用简约区方案时，Kn的选取应保证散射 后的电子态 k ' k q Kn 也在第一布里渊区内。现在分两种情况讨论：
(r ) Ck k (r ),
k
(r ) Ck k (r )
k
Ck 和Ck 为能带电子的产生及消 灭算符，满足费米子的 反对易关系。
从单体势容易求出用电子算符表示的电子-声子互作用
H ep (r )h(r ) (r )dr k ' | h(r ) | k Ck'Ck
生修正。
（b）为电子系统对声子扰动场的屏蔽，将改变离子间的互作用势，从而对声子 频率产生修正。
（c）两个电子通过声子的间接互作用，在一定条件下将成为电子之间的有效吸
引势，它是产生超导电性的主要机制。
2、电子与声频支声子的相互作用
形变势模型是电子与声子互作用的连续模型
更严格的推导应当从晶格模型出发；对于简单晶格只有声频支振动。
*当离子不动时，电子与离子的互作用为：
0 H ei V (rj l ) j ,l
l Rl li ai
i
*实际上离子在不断地振动，互作用为：
H ei V (rj l ul )
j ,l
能带电子与晶格振动的相互作用势为
0 H ep H ei H ei V (rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ l ul ) V (rj l ) j ,l
1/ 2
e
l
i ( k q k ') l

为简单起见，用平面波代替布洛赫函数，取 uk (r ) ( N) 得到晶格模型中电子与声子互作用的哈密顿
1/ 2
N Vq K {eqs (q K n )}(aqs a H ep i ) C qs k q K n Ck n k q , s 2 Mqs
L 1 1 利用LST关系得：F 8 0
若设电场的势
iqr (r ) (q eiqr q e ) q
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iqr iqr ) 与前面方程对照可知： 则由 E(r ) (r ) i q(q e q e q
根据海森伯方程：
i P q [ Pq , H ]和对易式 [ Pq , Qq ' ] qq ' i
可导出运动方程

Qq 2 q Qq M q q 如果能确定q与Qq之间的关系，则声子频 率的修正就可以求出。

晶格振动必然产生离子密度的起伏，可用离子密度的傅里叶分量
D 4e i (r ) E 4e{ i (r ) (r ))
令 D(r )
iq r D ( q ) e q
(r )为电子气体的密度。
由以上方程可得到
i 4e q iq D(q) i (q)q E (q) i (q)4e( q q )
设晶体的体积V=N=1，那么
W (r ) 1/ 2 (u u ) NM {u (r ) u (r )} 2 L
e (a e
q q q
iq r
iq r aq e )
LO声子的极化电场可写为
iq r E (r ) 4F eq (aq eiqr aq e ) q