条件概率,条件分布,条件期望
§3.5---条件分布与条件期望
FＸ|Ｙ(x | y) P(Ｘ x |Ｙ y)
lim P(Ｘ x | y Ｙ y y) y0
lim P(Ｘ x, y Ｙ y y) y0 P( y Y y y)
lim F (x, y y) F (x, y) 分子、分母同除 y y0 FY ( y y) FY ( y)
Pij PJ
i=1，2，.....
Pj|i
Pij Pi
j=1，2，........
例3.5.5.设(X, Y)的联合密度为：
P( x,
y)
24(1
0
x)
y
0 x 1, 0 y x 其它
求条件密度函数 PX|Y (x | y)和 PY|X ( y | x)
解:PX (x)
P(x, y)dy
5 4 20
PX 0，Y 1 P(X 0)P(Y 1| X 0) 2 3 6
5 4 20
PX 1，Y 0 P(Y 1)P(Y 0 | X 1)
32 6 5 4 20
PX 1，Y 1 P(X 1)P(Y 1| X 1)
32 6 5 4 20
XY 0 1
0
2
6
20 20
1
Ｘ|Ｙ 3 1
2
P
4/7 3/7
例3.5.3 设随机变量Ｘ，Ｙ独立，Ｘ P（1），Ｙ P（2）
在Ｘ Ｙ n 条件下，求X 的条件分布？
解：由已知条件和泊松分布的可加性得：ＸＹ P（1 2）
所以 P(Ｘ k |ＸＹ n)
P(Ｘ k, ＸＹ P(ＸＹ n)
n)
P(Ｘ k ,Ｙ n k) P(ＸＹ n)
6
6
20 20
条件期望资料
析等。
• 可以基于矩生成函数进行求解，如政策效果最大化分析等。
⌛️
方法的优缺点
• 优点：有助于中央银行更好地评估政策工具的效果和风险，从而制定更有效 Nhomakorabea货币政策。
• 缺点：计算过程可能较为复杂，且需要已知货币政策的政策效果分
布。
05
条件期望在其他领域的应用
心理和行为规律。
• 缺点：计算过程可能较为复杂，且需要已知消费者的偏好分布。
消费者行为分析的基本问题
• 消费者行为分析是研究消费者在购买、使用和处理商品及服务过程中
的心理和行为规律的方法。
• 条件期望在消费者行为分析中的应用主要是计算消费者在已知某个条
件下，对商品或服务的期望效用。
条件期望在消费者行为分析中的求解方法
知某个条件下，对投资项目的期望收益。
02
条件期望在企业投资决策中的求解方法
• 可以基于概率分布进行求解，如风险调整收益分析、概
率调整收益分析等。
• 可以基于矩生成函数进行求解，如收益最大化分析等。
03
方法的优缺点
• 优点：有助于企业更好地评估投资项目的风险和收益，
从而做出更合理的投资决策。
• 缺点：计算过程可能较为复杂，且需要已知投资项目的
02
条件期望的计算方法
• 当Y是离散随机变量时，条件期望可以通过求和计算：
E(Y|X=x) = ∑y * P(Y=y|X=x)
• 当Y是连续随机变量时，条件期望可以通过积分计算：
E(Y|X=x) = ∫y * P(Y=y|X=x) dy
03
条件期望的性质
• 非负性：E(Y|X) ≥ 0，因为Y的平均值总是非负的。
第三章 条件概率与条件期望
2012/3/2
Copyright©Pei Zhang ,2012
6
例3.2
• 有n个零件，零件i在雨天运转的概率为pi， 在非雨天运转的概率为qi，i=1,2，……,n。 明天下雨的概率为。计算在明天下雨时， 运转的零件数的条件期望。
2012/3/2
Copyright©Pei Zhang ,20Zhang ,2012
12
例3.6（几何分布的均值）
• 连续抛掷一枚正面出现的概率为p的硬 币直至出现正面为止，问需要抛掷的 次数的期望是多少？
2012/3/2
Copyright©Pei Zhang ,2012
13
例3.7
• 某矿工身陷在有三个门的矿井之中，经 第1个门的通道行进2小时后，他将到达 安全地。经第二个门的通道前进3小时 后，他将回到原地。经过第三个门的通 道前进5小时后，他还是回到原地。假 定这个矿工每次都等可能地选取任意一 个门，问直到他到达安全地所需时间的 期望是多少？
• 连续地做每次成功率为p的独立试验。N 是首次成功时的试验次数，求Var（N）
2012/3/2
Copyright©Pei Zhang ,2012
16
三、通过取条件期望计算概率
• E是一个事件，定义示性随机变量X为：
1，若E发生 X 0，若E不发生 由X的定义推出： E[X]=P(E) E[X|Y=y]=P(E|Y=y)
7
第二节
连续随机变量的条件概率与条件期望
• X和Y是连续随机变量，联合密度函数为 f(x,y)，那么在Y=y时X的条件概率密度函数 定义为：
f ( x, y ) f X |Y ( x | y) fY ( y )
• 给定Y=y时X的条件期望定义为：
概率的全部知识点总结
概率的全部知识点总结一、定义概率是指某一随机现象发生的可能性大小的度量。
通常用P(A)表示事件A发生的概率。
概率的取值范围是0到1之间，即0 ≤ P(A) ≤ 1。
当概率为0时，表示事件不可能发生；当概率为1时，表示事件一定发生；当概率为0.5时，表示事件发生的可能性为50%。
二、事件在概率论中，事件是指随机试验的某一结果，用大写字母A、B、C等表示。
事件可以包含一个或多个基本事件，基本事件是随机试验的最小基本单位，用小写字母a、b、c等表示。
例如，掷一枚硬币的结果可以是正面（基本事件H）或反面（基本事件T），而事件可以是“出现正面”或“出现反面”。
三、概率的性质1. 非负性：对任意事件A，有P(A) ≥ 0。
2. 规范性：对样本空间Ω中的事件，有P(Ω) = 1。
3. 互斥事件的加法规则：对互斥事件A和B，有P(A ∪ B) = P(A) + P(B)。
4. 对立事件的性质：对对立事件A和A'，有P(A) + P(A') = 1。
四、古典概率古典概率是指在样本空间有限且等可能的情况下，根据事件发生的可能性来计算概率。
例如，掷一枚硬币得到正面的概率为1/2，掷一个骰子得到点数为3的概率为1/6。
古典概率的计算公式为P(A) = n(A) / n(Ω)，其中n(A)表示事件A包含的基本事件个数，n(Ω)表示样本空间Ω中基本事件的总数。
五、条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率的计算公式为P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)，表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
条件概率的性质包括P(B|A) ≥ 0，P(B|A)P(A) = P(A ∩ B) = P(A|B)P(B)，以及全概率公式和贝叶斯公式等。
六、贝叶斯公式贝叶斯公式是根据条件概率和全概率公式推导出来的一种计算概率的方法。
贝叶斯公式的计算公式为P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)，表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件分布与条件期望
这表明，二元正态分布的条件分布仍为正态分布：
1 2 2 N r y ， 1 r 2 1 1 2
．
31
二．条件数学期望
32
1．条件数学期望的概念
33
条件分布的数学期望称为条件数学期望．
34
对于离散型随机变量，当 Y y j 时，随机变量 X 的条 件分布律为
1 2 PX Y n
n!
n
e
1 2
．
所以，当 X Y n 时， X 的取值为 0, 1,
2, , n ．
13
PX k X Y n
PX k , X Y n PX k , Y n k PX Y n PX Y n
PX k PY n k k! n k ! PX Y n 1 2 n e 1 2 n!
n! 1 k!n k ! 1 2
k
1k
e 1
2 n k
e 2
2 2 1
17
所以，
PY k PX nP Y k X n
n 0
PX nP Y k X n PX nP Y k X n
n 0 nk
k 1
n 0
k 1
n
n!
e 0
nk
n
n!
e C p 1 p
f X x 0 ．
26
例
设二维随机变量 X , Y 服从平面区域
x, D
y:
x y 1
条件概率条件分布条件期望
（2）无放回抽样
YX
01
02
2
77
12
1
7
7
二、连续型随机变量旳条件分布
条件分布函数 FX Y (x y)
条件分布是指在一个随 机变量取某个确定值 的条件下,另一个随机变量的分布 , 即 FX Y ( x y) P{ X x Y y} .
由于P{Y y}可能为零(连续型时一定为零 ).故直接 用条件概率来定义时 ,会出现分母为零 . 因此,在条件分布中,作为条件的随机变量的 取值是 确定的数.
y}.
定义 设二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
f ( x, y),( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为 fY ( y).若
对于固定的
y,
fY ( y) 0, 则称
f ( x, y) 为在Y fY ( y)
y
的条件下 X 的条件概率密度,记为
f (x, y)
f (x y)
.
XY
fY ( y)
条件分布函数与条件密度函数旳关系
x
x
FX Y ( x y)
fX Y ( x y)d x
[ f (x, y)
fY ( y)]d x.
y
y
FY X ( y x)
fY X ( y x)d y
[ f (x, y)
f X ( x)]d y.
阐明
联合分布、边沿分布、条件分布旳关系如下
联合分布
边沿分布 条件分布
联合分布
例3 设( X ,Y ) 在区域 x2 y2 1 上服从均匀分布,求 件概率密度 fX Y ( x y).
解 由题意知随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
计量经济学中的“条件”与“无条件”
计量经济学中的“条件”与“⽆条件”初学者难免困惑于计量经济学中诸多的 “条件” 与 “⽆条件”，⽐如条件概率与⽆条件概率，条件分布与⽆条件分布，条件期望与⽆条件期望，条件⽅差与⽆条件⽅差，条件中位数与⽆条件中位数，条件分位数与⽆条件分位数。
这些 “条件” 与 “⽆条件” 的概念，究竟有什么区别与联系，在实践中⼜该如何应⽤呢？本⽂将为你逐⼀辨析。
条件概率 vs ⽆条件概率什么是概率？简单说，概率（probability）就是在⼤量重复试验下，随机事件发⽣的频率趋向的某个稳定值。
⽐如，记随机事件 “下⾬” 为，则其发⽣的概率⼀般记为。
“⽆条件概率”（unconditional probability）其实就是我们⼀般所说的概率，只是为了与 “条件概率” 相区别，有时才强调它是 “⽆条件的”。
事实上，计量经济学更关⼼条件概率。
⽐如，记事件 “出太阳” 为，则在出太阳的前提条件下降⾬的 “条件概率” (conditional probability) 可定义为其中，为与同时发⽣的概率，参见下⾯的维恩图（Venn diagram）。
在此图中，矩形的⽅框表⽰整个世界（包括所有可能的随机试验结果，即样本空间），不妨将其⾯积标准化为 1。
圆形的⾯积即为事件发⽣的（⽆条件）概率，⽽圆形的⾯积则为事件发⽣的（⽆条件）概率。
考虑在给定发⽣情况下，发⽣的条件概率。
此时，世界所处的状态只能是，⽽之外的状态均为不可能。
进⼀步，在发⽣的情况下，如果也发⽣，则表明与同时发⽣，故为集合与集合的交集，即。
因此，将此交集的概率除以 “全集” 的发⽣概率，即为在给定发⽣情况下，发⽣的条件概率。
在实践中，究竟应该使⽤（⽆条件）概率还是条件概率呢？看⼀个简单例⼦就能明⽩。
⽐如，假设股市崩盘的（⽆条件）概率为万分之⼀；⽽在经济陷⼊严重萧条的情况下，股市崩盘的条件概率为百分之⼀。
此时，如果已知经济已陷⼊严重萧条，你会使⽤哪种概率来预测股市崩盘的可能性呢？如果仍使⽤万分之⼀的⽆条件概率，就显得过于僵化，因为既然经济已经严重萧条，⾃然应将此条件考虑在内，⽽使⽤百分之⼀的条件概率。
第六章条件概率与条件期望
第六章 条件概率与条件期望6.1 定义和性质设为概率空间，),,(P F ΩF ∈B 且，记0)(>B P ())()()(B P AB P B A P A P B ==),P ，，则易证明为概率空间。
考虑F ∈∀A ),,(B P F Ω,(F Ω上的随机变量ξ在此概率空间上的积分，若存在则称它为∫ΩξB dP ξ在给定事件B 之下的条件期望，记为(B E ξ)，即()B ∫Ω=B dP ξE ξ。
命题1：若ξE 存在，则(B E ξ)存在且()∫=BdP B P B E ξξ)(1。
由此可见，ξ在给定事件B 之下的条件期望的意义是ξ在B 上的“平均值”。
此外给定事件在给定事件A B 的条件概率)B ()(I E B A P A =0)(>n B P 可看成条件期望的特殊情形。
设{}为的一个分割且，令F ⊂n B Ω)2,1,L =(=n n B σA ，则。
若F A ⊂ξE 存在，()∑为nE B n I n B ξ),A (Ω上的可测函数，称其为给定σ-代数A 之下关于P 的条件期望，记作()A ξE ，即()()∑=E ξA nB n I ξn B E 。
命题2：A ∈B ∀且，0)(>B P ()()∫=BdP E B P B E A ξξ)(1。
证明：A ∈B ∀，{L ,2,1⊂}∃K 使得∑∈=K i i B B ，()()()()∑∫∫∑∑∫∑∫∈∈=====K i BB Ki i i nn n BnB nBdPdP B P B E B B P B E dP IB E dP E inξξξξξξ)()(I A由此可见，若称满足下式的(),A Ω上的可测函数()A ξE 为ξ在给定σ-代数A 的条件期望：()∫∫=BBdP dP E ξξA ，A ∈∀B则由于不定积分，∫=BdP B v ξ)(A ∈∀B 为),(A Ω上的符号测度且v ，由Radon-Nikodym 定理存在唯一的(P <<P s a ..),A Ω上的可测函数满足上式，即()dPdvE =A ξ(Ω，故由命题2，两者定义一样。
概率论与数理统计3-6 条件分布与条件期望、回归与第二回归
p(u, y)du.
1 yy
lim
[ p(u, v)du]dv.
y0 y y
lim
y0
1 y
y y y
p
(u)dv
p
( y)
0.
F
(
x
y)
x
p(u, y) p ( y)
du.
由此可见：在 y的条件下，的分布列仍是
§3.6 条件分布与条件期望、回归 与第二回归
一、条件分布
在离散型R.V中，我们利用条件概率公式
P(A B)
P( AB) , P(B)
P(B)
0.
求出了离散型R.V .的条件分布列:P(
xi
yj)
Pi
.
j
类似的问题对连续型R.V .也存在.
由于连续型R.V .取单点值的概率为零，所以用分布列
lim P( x, y y y) . y0 P( y y y)
P( x, y y y)
lim
.
y0 P( , y y y)
设(,)的p d f 为p(x, y),则上式又变为
x yy
密度为P ( y
那么称 xP (
x y
), 如果
x
P
(y
x
x )dx为在(
)dx . y)发生的条件下的条件
数学期望，记为 E( y).即
E(
y)
xP
(y
第五节条件分布
def.
x
p(u , y )du pY ( y )
p( x , y )连续 pY ( y ) 0,连续
P( X x Y y )
定义3 若 pY (y) > 0, 则称 FX Y ( x y )
x
为给定Y = y 的条件下X 的条件分布函数. p( x , y ) 称 pX Y ( x y) pY ( y ) 为给定Y = y 的条件下X 的条件概率密度函数. y p( x,v ) dv 类似地, 称 FY X ( y x) pX ( x )
pY ( y) p( x , y)dx pY X ( y x) p X ( x)dx
类似于Bayes公式
p ( x , y ) p X Y ( x y) pY ( y )
pY X ( y x) p X ( x)
pY X ( y x) p X ( x)dx
X
r x
=
r 2 x2
1 dy , 2 2 2 r x r
0,
2 r 2 x2 r x r , r x r r 2 0, 其他 其他
同理
2 r 2 y2 , r y r pY ( y ) r 2 0, 其他
P( X xi Y y j )P(Y y j ) i 1,2,
j 1
j 1
j 1
P(Y y j ) pij P( X xi ,Y y j )
条件概率分布列期望方差
高中数学专题训练--------概率、分布列、期望、方差概率、分布列、期望、方差1、1号箱有2个白球和4个红球，2号箱有5个白球和3个红球，从中随机地从1号箱取出一个球放入2号箱，然后从2号箱随机取一个，问：（1）从1号箱取出红球条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？（2）从2号箱取出红球的概率是多少？2、在100件产品中有95件合格品，5件不合格品。
现从中不放回取两次，每次任取一件，试求：（1）第一次取不合格品的概率（2）在一次取到不合格品后，第二次再取到不合格品的概率。
3、甲乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别为0.7，0.6且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：（1）甲试跳3次，第3次才成功的的概率。
（2）甲乙两名跳高运动员在第一次试跳中至少有一人成功的概率。
（3）甲乙各试跳2次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率。
4. 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。
首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。
再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过．．．的通道，直至走完迷宫为止。
令ξ表示走出迷宫所需的时间。
（1）求ξ的分布列；（2）求ξ的数学期望。
5.因冰雹灾害某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该方案需分两年实施且互相独立，该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复灾前1.0倍，0.9倍，0.8倍的概率分别为0.2，0.4，0.4，第二年可以使柑桔产量恢复灾前1.5倍，1.25倍，1.0倍的概率分别为0.3，0.3，0.4，（1）求两年后柑桔恰好到达灾前产量的概率（2）求两年后桔超过灾前产量的概率.6.在2008年北京奥运会乒乓球男单决赛中马琳以11：9，11：9的成绩在前两局战胜。
已知他们水平相当，规定“7局4胜”即先赢四局为胜，求（1）王皓取胜的概率（2）比赛打满7局的概率（3）设比赛局数为X，求X的分布列及期望7.一次考试出10道选择题，每道题有4个选项可供选择，其中一个正确的，三个错误的。
概率论公式
n
注：如果有 n 个变量服从同一个 0-1 分布， Xi ~ b(1, p) ，则其和 X Xi 服从二项 i
分布 X ~ b(n, p)
11. Poisson 分布
X ~ P() P( X k) k e , k 0,1,...
F
(x)
0, 1,
x x
c c
E(X ) c
Var( X ) 0
9. 二项分布
X ~ b(n, p)
P( X k) Cnk pk (1 p)nk E(X ) np
Var( X ) np(1 p)
10. 二点分布（0-1 分布）
X ~ b(1, p)
P( X x) px (1 p)1x , x 0,1
p(
x)
2
n 2
1 (
n
)
e
x 2
x
n 2
1
,
x
0
2
0, x 0
E(X ) n
Var( X ) 2n
Gamma 分布变为 2 分布：
当 X ~ Ga(,) ，则 2 X ~ Ga(, 1) 2 (2 ) 2
20. 严格单调函数Y g(X )
pY ( y) px[h(x)] | h '(x) |
21. K 阶原点矩和中心矩
k E(X k ) k E( X E( X ))k
中心矩和原点矩关系：
k
k Cik i (i )ki i0
22. 变异系数
Cv
(
X
)
( E(
条件分布与条件期望课件
P(Y=1|X=1)=0.1/0.6=1/6 P(Y=1|X=2)=0.2/0.4=1/2
P(Y=2|X=1)=0.3/0.6=1/2 P(Y=2|X=2)=0.05/0.4=1/8 P(Y=3|X=1)=0.2/0.6=1/3 P(Y=3|X=2)=0.15/0.4=3/8
身高Y
体重X 的分布
体重X
条件分布与条件期望
身高Y 的分布
现在若限制1.7<Y<1.8(米)，在这个条件下去求 X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身 高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑 出的学生中求其体重的分布．
容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布 会很不一样．
例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著 增加．
条件分布与条件期望
运用条件概率密度，我们可以在已知某一随机 变量值的条件下，定义与另一随机变量有关的事件 的条件概率.
即: 若(X,Y)是连续型r.v, 则对任一集合A，
P (X A |Y y )A p X |Y (x |y )d x
特别，取 A(,u),
定义在已知 Y=y下，X的条件分布函数为
1, pX(x)0,
0x1，p(y| 其它
x)11x, 0,
0xy1 其它
求(X,Y)的联合密度p(x,y)和Y的边际密度pY(y) 及P(Y>0.5).
解：
p(x,y)p(y|x)pX(x) 1 1x, 0xy1
0,
其 它
条件分布与条件期望
y
pY(y)
x<y
y =x
0
1
x
p(x,y)0的区域
2
e
21 12
概率论（PDF）
条件期望与条件分布我们已经学习了条件概率的基本概念和性质，但只局限于讨论以事件(集合)为条件的情形。
事件作为条件，意味着先验知识的加入导致了样本空间的变化，从而影响概率计算。
由于随机变量是概率论研究的核心内容，很自然地需要将“条件”的概念和方法拓展到随机变量中来。
特别地，条件概率刻画了样本空间中不同集合在概率计算中的相互影响，容易由此联想到“条件”在研究随机向量的各分量间相互关联以及随机过程中所具有的价值。
所以，本章引入条件期望和条件分布的概念，并讨论其性质和应用，让读者体会“条件”对于研究随机变量间关联的重要意义，明确基本概念，掌握与之相关的基本计算方法。
PART A条件期望我们用一个简单例子作为引入。
设离散随机变量X和Y，X取值于{x1,···,x n}，Y取值于{y1,···,y m}。
考虑事件{Y=y k}，在其条件下，X的概率分布会发生变化，P({X=x i}|{Y=y k})=P({X=x i}∩{Y=y k})P({Y=y k}),通常称该概率分布为条件分布，记作P(X=x i|Y=y k)=P(X=x i,Y=y k)P(Y=y k),(1-1)这个概率中包含了Y所提供的先验信息，并将该信息带入到了期望的计算中。
E(X|Y=y k)=n∑i=1x n P(X=x i|Y=y k),(1-2)称该期望为条件期望。
条件期望给出了在已知某些先验信息的条件下，随机变量X取值的平均水平。
上述讨论对于离散随机变量比较准确，但是推广到连续情形会遇到本质的问题。
如果Y是连续随机变量，则P(Y=y)=0，(1-1)没有明确的含义。
如何克服这一困难呢？现代概率论中关于条件期望的阐述为我们提供了帮助。
基本概念首先，明确一个基本事实，条件期望是随机变量，不同于普通期望是确定性常数。
事实上，条件期望的取值取决于随机变量Y，并由此依赖于样本空间。
具体地说，设概率空间为(Ω,F,P)，如果Z(ω)=E(X|Y=Y(ω)),ω∈Ω,(1-3)则有Y(ω)=y k=⇒Z(ω)=E(X|Y=y k),为方便，记Z(ω)为E(X|Y)(ω)。
概率论与数理统计2-6 条件分布与条件期望
边际分布列：pig
pij
p 2 q 2
j i1
j i1
p2qi1 pqi1, i 1, 2,...
1j1q
j 12
i 1
i 1
( j 1) p2q j2 , j 2, 3,...
条件分布列为pi/j pij pgj p2q j2 [( j 1) p2q j2 ]
证明
E{ / bj}P( bj )
j 1
而
E{ / bj}
ai pi / j
i1
i1
ai
gpij pgj
E(E{ /})
j 1
ai
i 1
pij pg j
pgj
ai
i 1
j 1
pij
ai pig E
i 1
三小结
概念 E{ / bj}
条件数学期望
E(C / bj ) C.
E{(k11+k22 ) / bj} k1E{1 / bj}+k2E{2/=bj}
E(E{ /}) E
二、离散型随机变量条件数学期望
❖ 定义 若随机变量 分布列为 pi / j 又
在条件"
bj " 下的条件
ai pi / j
i 1
称 ai pi/ j 为 在 bj 条件下的条件数学期望 i 1
记作： E{ / bj}
例2 某射手进行射击，每次设计击中目标的
2.对任意实数k1,k2,又E{1 / bj}，E{2/=bj}存在， 则E{(k11+k22 ) / bj} k1E{1 / bj}+k2E{2/=bj}
概率计算中的随机变量与分布规律
概率计算中的随机变量与分布规律随机变量在概率计算中扮演着重要的角色，它们用来描述概率实验中的随机现象，并与概率分布规律密切相关。
本文将介绍随机变量的基本概念、常见的概率分布以及它们之间的关系，在此基础上讨论随机变量的应用。
一、随机变量的定义与分类随机变量是可随机取不同值的变量，通常用大写字母表示，比如X、Y等。
随机变量可以分为离散型和连续型两种。
离散型随机变量取有限或可数个值，比如投掷一枚骰子的结果，可能是1、2、3、4、5或6。
连续型随机变量则取无限个值，通常用概率密度函数描述其分布。
二、常见的概率分布1. 离散型概率分布离散型随机变量的概率分布通常用概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）表示。
常见的离散型概率分布包括：（1）伯努利分布：描述只有两个可能结果的随机试验，如抛一枚硬币的结果。
（2）二项分布：描述多次伯努利试验的结果，如n次抛硬币中正面朝上的次数。
（3）泊松分布：描述单位时间或单位空间内随机事件发生的次数，如一天内接到的电话数。
2. 连续型概率分布连续型随机变量的概率分布通常用概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）表示。
常见的连续型概率分布包括：（1）均匀分布：在一个区间内的概率密度保持恒定，如随机选择一个点落在单位线段上的位置。
（2）正态分布：也称为高斯分布，具有钟形曲线，广泛应用于自然和社会科学领域。
（3）指数分布：描述随机事件之间的时间间隔，如相邻两次电话呼入之间的时间间隔。
三、随机变量之间的关系多个随机变量之间可能存在关联关系，常见的关系包括独立、相关和条件分布。
1. 独立性若两个随机变量X和Y相互独立，意味着它们的概率分布互不影响。
换句话说，对于任意x和y的取值，有P(X=x, Y=y) = P(X=x) *P(Y=y)。
2. 相关性若两个随机变量X和Y相关，表示它们之间存在某种关联关系。
条件分布
P X x, y Y y h P y Y y h
x
lim
h 0
x
yh y yh y
f u, v dudv fY v dv d
x
x
f u, y du fY y
f u, y fY y
连续随机变量的条件分布
二元连续型随机变量 X , Y 的联合密度函数为 f x , y ，对一切使 Y 的边缘密度函数
fY y 0 的 y ，给定 Y y 条件下 X 的条件分布函数为： F x | y P X x |Y y
lim P X x | y Y y h lim
P X xi , Y y j P Y yj
pij p j
( i 1,2, )
称为给定 Y y j 条件下 X 的分布列。 在 Y y j 条件下 X 的分布函数 F x | y j
P X x
xi x
i
|Y yj 。
**********************************************************
第八周 条件分布与条件期望
8.1．条件分布 离散随机变量的条件分布
二元离散型随机变量 X , Y 的联合分布列： P X xi , Y y j pij ，
P Y y j pij p j ，对一切使得 p j 0 的 y j ,
i
P X xi | Y y j
1i 2j 1 2 e 例 8.1.1 设 离散型 随 机 变 量 X , Y 联 合分 布列 为 P X i , Y j ， i! j!
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FX Y ( x y )
x
y
f X Y ( x y ) d x [ f ( x , y ) fY ( y )]d x .
y
x
FY X ( y x )
说明
fY X ( y x ) d y [ f ( x , y ) f X ( x )]d y .
定义
设二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
f ( x , y ), ( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为 fY ( y ).若 f ( x, y) 对于固定的 y , fY ( y ) 0, 则称 为在Y y fY ( y ) 的条件下 X 的条件概率密度 , 记为 f ( x, y) f X Y ( x y) . fY ( y )
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
二
条件分布
一、离散型随机变量的条件分布
问题
考虑一大群人, 从其中随机挑选一个人 , 分别 用 X 和 Y 记此人的体重和身高 , 则X 和 Y 都是随 机变量, 他们都有自己的分布 .
现在如果限制Y 取值从1.5 m 到1.6 m , 在这个限制下求X 的 分布 .
一 条件概率 (Conditional Probability) 条件概率是指在事件A发生的条 件下，另一事件B发生的概率，记用 P（B|A）.
引例 从所有有两个孩子的家庭随机抽取一个家庭记录男 孩女孩的情况。
则试验所有可能的结果为（男孩记为“b”，女孩记为“g”） (b，b) (b，g) (g，b) (g，g) 设A={ 至少一个男孩}， B ={ 至少一个女孩}， 考虑在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
定义 设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量 , 对于固定
的 j , 若 P{Y y j } 0, 则称 P{ X x i Y y j } P { X x i ,Y y j } P{Y y j } pij p j ,
为在Y y j 条件下随机变量 X 的条件分布律. 对于固定的 i , 若 P{ X x i } 0, 则称
又知边缘概率密度为
fY ( y ) f ( x , y ) d x
2 1 1 y 2 2 d x 1 y , 1 y 1, 1 y 2 π π 0, 其他.
于是当 1 y 1 时, 有
1π 1 2 2 , 1 y x 1 y , 2 2 f X Y ( x y ) ( 2 π) 1 y 2 1 y 0, 其他.
3 3 1 P ( A) , P ( B ) , P ( AB ) 4 4 2
2 1 / 2 P ( AB ) P ( B | A) P ( B) 3 3/4 P ( A)
定义1 设A,B是两个事件,且P(A)>0,称
P ( AB ) P ( B | A) P ( A)
联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下
边缘分布 联合分布 条件分布 联合分布
例3 设( X , Y ) 在区域 x 2 y 2 1 上服从均匀分布, 求
件概率密度 f X Y ( x y ).
解 由题意知随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
1 π , x 2 y 2 1, f ( x, y) 0, 其它,
条件数学期望
定义
xi P( X xi | Y y ) i E( X | Y y) xf X |Y ( x | y )dx
15/22
1.2
随机事件的概率
注意点
• E(X| Y=y) 是 y 的函数.
所以记 g(y) = E(X| Y=y). 进一步记 g(Y) = E(X| Y).
1, 若第二次抽取红球 Y , 0, 若第二次抽取黑球 无放回抽样的条件下求(X, Y)的联合分 布律及X=0条件下Y的条件分布。
（2）无放回抽样
Y
X
0 1
0
1
2 7
2 7
2 7
1 7
二、连续型随机变量的条件分布
条件分布函数 FX Y ( x y)
条件分布是指在一个随 机变量取某个确定值 的条件下, 另一个随机变量的分布, 即 FX Y ( x y ) P{ X x Y y } .
由于P{Y y }可能为零(连续型时一定为零 ).故直接 用条件概率来定义时 , 会出现分母为零 . 因此, 在条件分布中 , 作为条件的随机变量的 取值是
确定的数.
定义
给定y , 对任意的 0, P { y Y y } 0, 若 P{ X x , y Y y } lim P{ X x | y Y y } lim 0 0 P{ y Y y } 存在，称此极限为Y = y 条件下X 的条件分布函数，记 F X |Y ( x | y ) P { X x | Y y }.
P{Y y j X x i }
P { X x i ,Y y j } P{ X x i }
pij pi
,
为在X x i 条件下随机变量Y 的条件分布律. 其中i , j 1,2,.
例 在只有3个红球和4个黑球的袋子中逐次 抽取一球，令 1, 若第一次抽取红球 X , 0, 若第一次抽取黑球