[考研类试卷]考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷37.doc
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷20(题后含答案及解析)
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考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷20(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.若,则必有A.P(C)≤P(A)+P(B)一1.B.P(C)≥P(A)+P(B)一1C.P(C)=P(AB)D.P(C)=P(A ∪B).正确答案:B 涉及知识点:概率论与数理统计2.设0<P(A)<1,0<P(B)<1,P(A | B)+=1,则A与B必A.不相容.B.对立.C.独立.D.不独立.正确答案:C 涉及知识点:概率论与数理统计3.设三事件A,B,C两两独立,则A,B,C相互独立的充分必要条件是:A.A与BC独立.B.AB与A ∪C独立.C.AB与AC独立.D.A ∪B与A ∪C独立.正确答案:A解析:∵“两两独立”指P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C);而“相互独立”指上述3个式子,另加P(ABC)=P(A).P(B)P(C)共4个式子成立.注意P(ABC)=P(A(BC)),只有(A)可选.知识模块:概率论与数理统计4.设三事件A,B,C相互独立且0<P(C)<1,则下述事件中不独立的是:A.B.C.D.正确答案:B解析:∵AB与中都含C的运算(即有公共的事件C),无法保证独立,而另3项选择却都是“相互独立”的.知识模块:概率论与数理统计5.设事件A与B独立且不相容,则min[P(A),P(B)]=_______.A.1B.0C.D.不能确定.正确答案:B解析:∵AB=φ,得0=P(AB)=P(A)P(B),可见P(A)与P(B)中至少有一个为0,故min[P(A),P(B)]=0.知识模块:概率论与数理统计6.对事件A,B,已知P(A)=1,则必有:A.A=Ω.B.C.A与B独立.D.P(B)<P(A)正确答案:C解析:“概率为0或1的事件与任一事件独立”,可见应选(C).注意由“P(A)=1”推不出“A=Ω”,而有可能B=Ω呢!故另3个选项不行.知识模块:概率论与数理统计7.抛n次硬币(该币每次出现正面的概率均为p),则共出现偶数次正面的概率为:A.B.C.D.正确答案:D 涉及知识点:概率论与数理统计8.设X~N(μ,σ2),则随着σ的增大,P{|X一μ|<σ}:A.单调增大.B.单调减小.C.保持不变.D.增减不定.正确答案:C 涉及知识点:概率论与数理统计9.设随机变量X的密度为f(x),且f(-x)=f(x),x∈R1.又设X的分布函数为F(x),则对任意实数a,F(-a)等于A.1一∫0af(x)dxB.C.F(a)D.2F(a)一1正确答案:B 涉及知识点:概率论与数理统计填空题10.对事件A,B,已知,则P(A)=_____,P(B)=______=_______正确答案:涉及知识点:概率论与数理统计11.设10件产品中有4件不合格品,从中任取2件.已知所取的两件中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率为________.正确答案:记A={取的2件产品中至少有1件是不合格品},B={取的2件产品都是不合格品},则P(A)=1-,有AB=B.所求概率为P(B | A)= 涉及知识点:概率论与数理统计12.对二事件A、B。
[考研类试卷]考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷29.doc
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(B)b+1.
(C)
(D)
4设随机变量X1,X2的分布函数、概率密度分别为F1(x),F2(x);f1(x),f2(x).如果a>0,b>0,c>0,则下列结论中不正确的是( )
(A)aF1(x)+bF2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是a+b=1.
(B)cF1(x)F2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是c=1.
2设A,B是两个随机事件,且0<P(A)<1,P(B)>0,P(B|A)= ,则必有( )
(A)P(A|B)= .
(B)P(A|B)≠ .
(C)P(AB)=P(A)P(B).
(D)P(AB)≠P(A)P(B).
3设离散型随机变量X的分布律为P{X=k)=pk=bλk(k=1,2,…),且b>0,则λ为( )
26设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本,X=a(X1-2X2)2+b(3X34X4)2,其中a,b为非零的常数,则当a=____,b=_____时,统计量X服从χ2分布,其自由度为______.
27设X1,X2,…,Xn为来自总体X~U(θ,θ+1)(θ>0)的样本,则θ的矩估计量为_______;最大似然估计量为_______.
28设总体X的概率密度为 其中θ是未知参数,X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本,若 =θ2,则c=_______.
19设随机变量X的概率分布为P{X=k}=Ak(k=1,2,3,4,5),则常数A=______,概率 =______.
20设随机变量X的概率分布为P{X=k}= ,k=0,1,2,…,则概率P{X>1}=________.
21已知(X,Y)的概率分布为 设(X,Y)的分布函数为F(x,y),则 =______, =________.
考研数学一(填空题)模拟试卷37(题后含答案及解析)
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考研数学一(填空题)模拟试卷37(题后含答案及解析) 题型有:1.1.方程f(x)==0的全部根是________.正确答案:x=0,x=1.解析:f(x)=5x(x一1).知识模块:线性代数2.=______.正确答案:0解析:【分析一】当x>0时,,于是有,故由夹逼定理可知.【分析二】因此知识模块:高等数学3.设xn=.正确答案:解析:由题干可知,将xn化简得知识模块:函数、极限、连续4.设f(x)连续可导,f(0)=0且f’(0)=b,若F(x)=在x=0处连续,则A=_______.正确答案:a+b解析:因为F(x)在x=0处连续,所以A=a+b.知识模块:高等数学5.假设X服从参数λ的指数分布,对X作三次独立重复观察,至少有一次观测值大于2的概率为,则λ=________.正确答案:解析:根据独立试验序列概型,可求得结果.事实上,已知记A={X>2|,Y为对X作三次独立重复观察事件A发生的次数,则Y~B(3,p),其中p=P(X >2)=∫2+∞λe一2λdx=e一2λ,依题意知识模块:概率与数理统计6.在一个盒子中放有10个乒乓球,其中8个是新球,2个是用过的球.在第一次比赛时,从该盒子中任取2个乒乓球,比赛后仍放回盒子中.在第二次比赛时从这个盒子中任取3个乒乓球,则第二次取出的都是新球的概率为_______.正确答案:0.218解析:在第一次比赛时从盒子中任取的2个乒乓球之中,可能全是用过的球,可能有1个新球个用过的球,也可能全是新球.设Ai表示事件“在第一次比赛时取出的2个球中有i个是新球,其余是月过的球”(i=0,l,2),B表示事件“在第二次比赛时取出的球全是新球”,则有由于A0,A1,A2构成完备事件组,因此由全概率公式可得P(B)=≈0.218.知识模块:概率论与数理统计7.若α,β,γ是单位向量且满足α+β+γ=0,则以α,β为边的平行四边形的面积S=________。
考研数学一(概率与数理统计)模拟试卷6(题后含答案及解析)
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考研数学一(概率与数理统计)模拟试卷6(题后含答案及解析)全部题型 3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1.设总体X的概率密度为又设X1,X2,…,Xn是来自X的一个简单随机样本,求未知参数θ的矩估计量.正确答案:X的数学期望为涉及知识点:概率与数理统计2.设总体X的概率密度为试用样本X1,X2,…,Xn求参数a的矩估计和最大似然估计.正确答案:先求矩估计:涉及知识点:概率与数理统计3.设X1,X2,…,Xn是来自对数级数分布的一个样本,求p的矩估计.正确答案:涉及知识点:概率与数理统计4.设总体X服从参数为N和p的二项分布,X1,X2,…,Xn为取自X 的样本,试求参数N和p的矩估计.正确答案:涉及知识点:概率与数理统计5.设总体的分布列为截尾几何分布P{X=k)=θk-1(1一θ),k=1,2,…,r,P{X=r+1)=θr,从中抽得样本X1,X2,…,Xn其中有m个取值为r+1,求θ的极大似然估计.正确答案:涉及知识点:概率与数理统计6.设总体X服从正态分布N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn是其样本.(1)求C使得是σ2的无偏估计量;(2)求k使得为σ的无偏估计量.正确答案:涉及知识点:概率与数理统计7.设X1,X2,…,Xn是来自总体F(x;θ)的一个样本,(X1,…,Xn)是θ的一个估计量,若试证:是θ的相合(一致)估计量.正确答案:涉及知识点:概率与数理统计8.设X1,X2,…,Xn是取自均匀分布在[0,θ]上的一个样本,试证:Tn=max{X1,X2,…,Xn}是θ的相合估计.正确答案:Tn=X(n)的分布函数为涉及知识点:概率与数理统计9.已知X具有概率密度(1)求未知参数α的矩估计和最大似然估计;(2)验证所求得的矩估计是否为α的无偏估计.正确答案:(1)先求矩估计.涉及知识点:概率与数理统计10.设总体X~N(μ,σ2),X1,X2,X3是来自X的样本,试证:估计量都是μ的无偏估计,并指出它们中哪一个最有效.正确答案:涉及知识点:概率与数理统计11.设X1,X2,…,Xn为总体X的一个样本,设DX=μ,DX=σ2,试确定常数C,使为μ2的无偏估计.正确答案:涉及知识点:概率与数理统计12.设总体服从U[0,θ],X1,X2,…,Xn为总体的样本.证明:为θ的一致估计.正确答案:涉及知识点:概率与数理统计13.设从均值为μ,方差为σ2>0的总体中分别抽取容量为n1,n2的两个独立样本,样本均值分别为.证明:对于任何满足条件a+b=1的常数是μ的无偏估计量,并确定常数a,b,使得方差DT达到最小.正确答案:涉及知识点:概率与数理统计14.设X1,X2,…,Xn独立同分布,X1的取值有四种可能,其概率分布分别为:p1=1一θ,p2=θ一θ2,p3=θ2一θ3,p4=θ3,记Ni为X1,X2,…,Xn中出现各种可能的结正确答案:由于Ni~B(n,pi),i=1,2,3,4,所以E(Ni)=npi,从而有:若使T是θ的无偏估计,即要求涉及知识点:概率与数理统计15.设总体X~N(μ1,σ2),Y~N(μ2,σ2).从总体X,Y中独立地抽取两个容量为m,n的样本X1,…,Xm和Y1,…,Yn.记样本均值分别为是σ2的无偏估计.求:(1)C;(2)Z的方差DZ.正确答案:涉及知识点:概率与数理统计16.设有k台仪器,已知用第i台仪器测量时,测定值总体的标准差为σi,i=1,2,…,k,用这些仪器独立地对某一物理量θ各观察一次,分别得到X1,X2,…,Xk,设仪器都没有系统误差,即E(Xi)=θ,i=1,2,…,k,试求:α1,α2……αk应取何值,使用估计θ时,是无偏的,并且最小?正确答案:下的最小值.作拉格朗日函数:G(a1,a2,…,ak,λ)=g(a1,a2,…,ak)+λ(a1+a2+…+ak一1).涉及知识点:概率与数理统计17.某种零件的尺寸方差为δ2=1.21,对一批这类零件检查6件得尺寸数据(毫米):32.56,29.66,31.64,30.00,21.87,31.03.设零件尺寸服从正态分布,问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50毫米(α=0.05).正确答案:问题是在σ2已知的条件下检验假设H0:μ=32.50.H0的拒绝域为|Z|≥z1/2,其中z0.025=1.96,故因|Z|=6.77>1.96,所以否定H0,即不能认为平均尺寸是32.5毫米.涉及知识点:概率与数理统计18.某批矿砂的5个样品中镍含量经测定为X(%):3.25,3.27,3.24,3.26,3.24,设测定值服从正态分布,问能否认为这批矿砂的镍含量为3.25(α=0.01)?正确答案:问题是在σ2未知的条件下检验假设H0:μ=3.25.H0的拒绝域为|t|>ta/2(4).故因为|t|=0.344(3)对于给定的α=0.05,查χ2分布表得临界值χα/22(14)=χ0.0252(14)=26.119,χ1-α/22(14)=χ0.9752(14)=5.629;(4)因为χ0.9752=5.629<χ2=21.875<χ0.0252=26.119,所以接受H0,即总体方差与规定的σ2=0.000 4无显著差异.涉及知识点:概率与数理统计20.设某产品的指标服从正态分布,它的标准差为σ=100,今抽了一个容量为26的样本,计算平均值1 580,问在显著性水平α=0.05下,能否认为这批产品的指标的期望值μ不低于1 600.正确答案:问题是在σ2已知的条件下检验假设H0:μ≥1 600;H1:μ<1600.H0的否定域为Z<-zα/2其中因为Z=一1.02>一1.96=-z0.025,所以接受H0,即可以认为这批产品的指标的期望值μ不低于1 600.涉及知识点:概率与数理统计21.设{Xn}是一随机变量序列,Xn的密度函数为:试证:正确答案:对任意给定的ε>0,由于涉及知识点:概率与数理统计22.设X1,X2,…,Xn,…是独立同分布的随机变量序列,E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2,i=1,2,…,令.证明:随机变量序列{Yn}依概率收敛于μ.正确答案:涉及知识点:概率与数理统计23.一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重量50千克,标准差为5千克,若用最大载重为5吨的汽车承运,试用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977(φ(2)=0.977).正确答案:设Xi是装运的第i箱的重量,n表示装运箱数,则E(Xi)=50,D(Xi)=52=25,且装运的总重量Y=X1+X2+…Xn,{Xn}独立同分布,E(Y)=50n,D(Y)=25n.由列维一林德伯格中心极限定理知Y~N(50n,25n).于是涉及知识点:概率与数理统计24.用概率论方法证明正确答案:设{Xn}为一独立同分布随机变量序列,每个Xi服从参数为1的泊松分布,则由列维一林德伯格中心极限定理知:涉及知识点:概率与数理统计25.截至2010年10月25日,上海世博会参观人数超过了7 000万人.游园最大的痛苦就是人太多.假设游客到达中国馆有三条路径,沿第一条路径走3个小时可到达;沿第二条路径走5个小时又回到原处;沿第三条路径走7个小时也回到原处.假定游客总是等可能地在三条路径中选择一个,试求他平均要用多少时间才能到达中国馆.正确答案:设游客需要X小时到达中国馆,则X的可能取值为3,5+3,7+3,5+5+3,5+7+3,7+7+3,……要写出X的分布律很困难,所以无法直接求EX.为此令Y={第一次所选的路径},即{Y=i}表示“选择第i条路径”.则因为E(X|Y=1)=3,E(X|Y=2)=5+E(X),E(X|Y=3)=7+E(X),所以故E(X)=15,即该游客平均要15个小时才能到达中国馆.涉及知识点:概率与数理统计26.设X1,X2,…,Xn为一列独立同分布的随机变量,随机变量N只取正整数且N与{K)独立,求证:正确答案:涉及知识点:概率与数理统计27.假设你是参加某卫视“相亲节目”的男嘉宾,现有n位女嘉宾在你面前自左到右排在一条直线上,每两位相邻的女嘉宾的距离为a(米).假设每位女嘉宾举手时你必须和她去握手,每位女嘉宾举手的概率均为且相互独立,若Z 表示你和一位女嘉宾握手后到另一位举手的女嘉宾处所走的路程,求EZ.正确答案:设按从左到右的顺序将女嘉宾编号为1,2,…,n.X为已经握手的女嘉宾的编号,Y表示将要去握手的女嘉宾的编号,则涉及知识点:概率与数理统计28.对于任意二事件A1,A2,考虑二随机变量试证明:随机变量X1和X2独立的充分必要条件是事件A1和A2相互独立.正确答案:记pi=P(Ai)(i=1,2),p12=P(A1A2),而ρ是X1和X2的相关系数.易见,随机变量X1和X2都服从0一1分布,并且P{Xi=1}=P(Ai),P{Xi=0}=P(Ai),P{X1=1,X2=1)=P(A1A2).(1)必要性.设随机变量X1和X2独立,则P(A1A2)=P{X1=1,X2=1)=P{X1=1)P{X2=1)=P(A1)P(A2).从而,事件A1和A2相互独立.(2)充分性.设事件A1和A2相互独立,则也都独立,故从而,随机变量X1和X2相互独立.涉及知识点:概率与数理统计29.假设有四张同样的卡片,其中三张上分别只印有a1,a2,a3,而另一张上同时印有α1,α2,α3.现在随意抽取一张卡片,令Ak={卡片上印有ak)。
考研数学一-概率论与数理统计(一)
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考研数学⼀-概率论与数理统计(⼀)考研数学⼀-概率论与数理统计(⼀)(总分:100.00,做题时间:90分钟)⼀、选择题(总题数:10,分数:40.00)1.设随机变量X服从正态分布N(1,σ2 ),其分布函数为F(x),则对任意实数x,有______(分数:4.00)A.F(x)+F(-x)=1.B.F(1+x)+F(1-x)=1.√C.F(x+1)+F(x-1)=1.D.F(1-x)+F(x-1)=1.解析:[解析] 由于X~N(1,σ2 ),所以X的密度函数f(x)的图形是关于x=1对称的,⽽可知正确答案是B.2.设X~P(λ),P 1,P 2分别为随机变量X取偶数和奇数的概率,则______(分数:4.00)A.P1=P2.B.P1<P2.C.P1>P2.√D.P1,P2⼤⼩关系不定.解析:[解析] 若X~P(λ),则,其中X取偶数的概率为X取奇数的概率为于是应选C.3.设随机变量X的密度函数为f(x),且f(-x)=f(x),F(x)是X的分布函数,则对于任意实数a,有______ A.B.C.F(-a)=F(a).D.F(-a)=2F(a)-1.(分数:4.00)A.B. √C.D.解析:[解析] 概率密度f(x)为偶函数,于是对于任意实数a,有F(-a)=1-F(a)成⽴;利⽤区间可加性得结合上⾯的等式,于是得应选B.4.设⼆维随机变量(X,Y)在区域D:x 2 +y 2≤9a 2 (a>0)上服从均匀分布,p=P{X 2 +9Y 2≤9a 2 },则A.p的值与a⽆关,且B.p的值与a⽆关,且C.p的值随a值的增⼤⽽增⼤.D.p的值随a值的增⼤⽽减⼩.(分数:4.00)A.B. √C.D.解析:[解析] 因为(X,Y)在区域D:x 2 +y 2≤9a 2上服从均匀分布,所以(X,Y)的联合密度函数为故选B.5.设随机变量X与Y服从正态分布N(-1,2)与N(1,2),并且X与Y不相关,aX+Y与X+by亦不相关,则______(分数:4.00)A.a-b=1.B.a-b=0.C.a+b=1.D.a+b=0.√解析:[解析] X~N(-1,2),Y~N(1,2),于是D(X)=2,D(Y)=2.⼜Cov(X,Y)=0,Cov(aX+Y,X+bY)=0,由协⽅差的性质有故选D.6.已知总体X的期望E(X)=0,⽅差D(X)=σ2.X 1,…,X n是来⾃总体X的简单随机样本,其均值为,则下⾯可以作为σ2⽆偏估计量的是______A.B.C.D.(分数:4.00)A.B.C. √D.解析:[解析] 由于E(X)=0,D(X)=E(X 2 )=σ2,则所以选择C.对于A,B选项,由E(S 2 )=σ2,知均不是σ2的⽆偏估计量.7.设随机变量序列X 1,…,X n,…相互独⽴,则根据⾟钦⼤数定律,当n→∞时,于其数学期望,只要{X n,n≥1}满⾜______(分数:4.00)A.有相同的数学期望.B.服从同⼀离散型分布.C.服从同⼀泊松分布.√D.服从同⼀连续型分布.解析:[解析] ⾟钦⼤数定律的应⽤条件为:“独⽴同分布且数学期望存在”,选项A缺少同分布条件,选项B、D虽然服从同⼀分布但不能保证期望存在,只有C符合该条件.故选C.8.设X 1,X 2,…,X n是来⾃总体X的简单随机样本,是样本均值,C为任意常数,则______A.B.C.D.(分数:4.00)A.B.C. √D.解析:[解析故选C.9.设总体X服从正态分布N(0,σ2 ),X 1,X 2,…,X 10是来⾃X的简单随机样本,统计量从F分布,则i等于______(分数:4.00)A.4.B.2.√C.3.D.5.解析:[解析] 因为X 1,X 2,…,X 10是来⾃X的简单随机样本,故独⽴同分布于N(0,σ2 )因此,则有⼜与相互独⽴,故故选B.10.在假设检验中,如果待检验的原假设为H 0,那么犯第⼆类错误是指______(分数:4.00)A.H0成⽴,接受H0.B.H0不成⽴,接受H0.√C.H0成⽴,拒绝H0.D.H0不成⽴,拒绝H0.解析:[解析] 直接应⽤“犯第⼆类错误”=“取伪”=“H 0不成⽴,接受H 0”的定义,选择B.⼆、解答题(总题数:10,分数:60.00)11.每次从1,2,3,4,5中任取⼀个数,且取后放回,⽤b i表⽰第i次取出的数(i=1,2,3),三维列向量b=(b 1 ,b 2 ,b 3 ) T,三阶⽅阵,求线性⽅程组Ax=b有解的概率.(分数:6.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()解析:对增⼴矩阵作初等⾏变换有于是Ax=b有解的充要条件是,即b 3 -2b 2 +b 1 =0,其中b 1,b 2,b 3相互独⽴,且分布律相同:,k=1,2,3,4,5,i=1,2,3.所以Ax=b有解的概率为甲、⼄两个⼈投球,甲先投,当有任⼀⼈投进之后便获胜,⽐赛结束.设甲、⼄命中率分别为p 1,p 2,0<p 1,p 2<1.求:(分数:6.00)(1).甲、⼄投球次数X 1与X 2的分布;(分数:3.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()解析:每次投篮是相互独⽴的与其他⼏次⽆关.事件X 1 =n表⽰“甲投了n次”,即“甲、⼄各⾃在前n-1次没有投进,在第n次时甲投进或⼄投进”,所以P{X 1 -n}=(q 1 q 2 ) n-1 (p 1 +q 1 p 2 ),n=1,2,…其中:q i =1-p i,i=1,2.事件“X 2=m”表⽰“⼄投了m次”,即“甲、⼄前m-1次均没有投进,甲在第m次也没有投进,⼄在第m 次投进”,或“甲、⼄前m次均没有投进,甲在第m+1次投进”.特殊地,当m=0时,表⽰甲第⼀次就投中,所以P{X 2 =m}=(q 1 q 2 ) m-1 (q 1 p 2 +q 1 q 2 p 1 )=q 1 (p 2 +q 2 p 1 )(q 1 q 2 ) m-1,m=1,2,…(2).若使甲、⼄两⼈赢得⽐赛的概率相同,则p 1,p 2满⾜什么条件?(分数:3.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()解析:设事件A表⽰“甲获胜”,则总投篮次数为奇数.当X 1 +X 2 =2n-1时,意味着甲、⼄前n-1次都未投进,甲在第n次投进,于是有P{X 1 +X 2 =2n-1}=p 1 (q 1 q 2 ) n-1,则若甲、⼄两⼈赢得⽐赛的概率相同,则12.设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布,⼜求Y的概率密度f Y (y)与分布函数F Y (y).(分数:6.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()解析:解法⼀:应⽤单调函数公式法先求Y的概率密度f Y (y).由于X在(0,1)内取值所以的值域为(0,+∞),且y=g(x)在(0,1)单调.因此其反函数在(0,+∞)内单调可导,其导数h"(y)=2e -2y,在其定义域(0,+∞)内恒不为零.⼜因为X的概率密度所以Y的概率密度因此可见Y服从参数为2的指数分布,其分布函数为解法⼆:⽤分布函数法先求出Y的分布函数F Y (y).当y≤0时,F Y (y)=0;当y>0时,0<x=1-e -2y<1,最后⼀步是由于X服从(0,1)上的均匀分布.故所求Y的分布函数为将F Y (y)对y求导,得设随机变量(X,Y)的概率密度为试求:(分数:6.00)(1).(X,Y)的分布函数;(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()解析:①当x≤0或y≤0时,f(x,y)=0,故F(x,y)=0.②当0<x≤1,0<y≤2时,③当0<x≤1,y>2时,④当x>1,0<Y≤2时,⑤当x>1,y>2时,综上所述,分布函数为(2).(X,Y)的边缘分布密度;(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()解析:当0≤x≤1时,当0≤y≤2时,(3).概率P{X+Y>1},P{Y>X} 2.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()解析:如下图所⽰,如下图所⽰,所以设(X,Y)服从D={(x,y)|y≥0,x 2 +y 2≤1}上的均匀分布,定义(分数:6.00)(1).求(U,V)的联合分布律;(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()解析:由题设可知,故(U,V)的可能值为(0,0),(0,-1),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1).则(U.V)的联合分布律为(2).求关于V的边缘分布律;(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()解析:由(U,V)的联合分布律得V的边缘分布律为(3).求在U=1的条件下V的分布律.(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()解析:,所以所以所求V的分布律为13.设随机变量X的概率密度为,求随机变量 F Y (y).(分数:6.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()解析:记如下图所⽰,φ(x)在[0,+∞)内最⼩值为-1,⽆最⼤值,在[0,+∞)左端点处的值为0.y=-1,0将y轴分成(-∞,-1),[-1,0),[0,+∞)三个区间.当y∈(-∞,-1)时,F Y (y)=0.当y∈[-1,0)时,纵坐标为y的⽔平直线关于曲线y=φ(x)内的集合在x轴上的投影与[0,+∞)的交集为F Y (y)=f X (x)在上的积分为当y∈[0,+∞)时,纵坐标为y的⽔平直线关于曲线y=φ(x)内的集合在x轴的投影与[0,+∞)的交集为,此时F Y (y)=f X (x)在上的积分为综上所述,y的分布函数为设随机变量X在区间(0,2)上随机取值,在X=x(1<x<2)条件下,随机变量Y在区间(1,x)上服从均匀分布.(分数:6.00)(1).求(X,Y)的联合概率密度,并问X与Y是否独⽴;(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()解析:根据题设X在(0,2)上服从均匀分布,其密度函数为⽽变量Y,在X=x(1<-x<2)的条件下,在区间(1,x)上服从均匀分布,所以其条件概率密度为再根据条件概率密度的定义,可得联合概率密度⼜所以由于f X (x)f Y(y)≠f(x,y),所以X与Y不独⽴.(2).求P{3Y≤2X};(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()解析:如下图所⽰,(3).记Z=X-Y,求Z的概率密度f Z (z).(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()解析:已知(x,y)~f(x,y),则Z=X-Y的取值范围为0<Z<1.当0<z<1时,Z=X-Y的分布函数为则故设随机变量X与Y相互独⽴,X的概率分布为,Y的概率密度函数为Z=X+Y.求:(分数:6.00)3.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()(2).Z的概率密度函数.(分数:3.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()解析:F Z(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}=P{X=-1,Y≤z+1}+P{X=0,Y≤z}+P{X=1,Y≤z-1}.因为X与Y相互独⽴,故①当z+1<0(z-1<-2),即z<-1时,f Y (y)=0,从⽽F Z (z)=0;②当0≤z+1<1(-2≤z-1<-1),即-1≤z<0时,③当-1≤z-1<0(1≤z+1<2),即0≤z<1时,④当0≤z-1<1(2≤z+1<3),即1≤z<2时,⑤当1≤z-1(3≤z+1),即z≥2时,综上故设⼆维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为U=X+Y,V=X-Y.求:(分数:6.00)(1).U的分布函数F 1 (u);(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()解析:当u<0时,F 1 (u)=0;当u≥0时,故U的分布函数F 1 (u)为(2).V的分布函数F 2 (v);(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()解析:当v<0时,F 2 (v)=0;当v≥0时,故V的分布函数F 2 (v)为(3).P{U≤u,V≥v}(u>v>0),并判断U与V是否独⽴.(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()当u>0,v>0时,P{U≤u}P{V≥v}=F 1(u)·[1-F 2 (v)]=e -2v (1-e -u ) 2≠P{U≤u,V≥v},从⽽可知,U与V不独⽴.设⼆维随机变量(X,Y)在矩形区域D={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2}上服从⼆维均匀分布,随机变量求:(分数:6.00)(1).U和V的联合概率分布;(分数:3.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()解析:(U,V)的可能取值为(-1,-1),(-1,1),(1,-1,),(1,1),如下图.依题意知,X与Y的联合概率密度为则有同理类似地可以计算出其他P ij的值:(2).讨论U和V的相关性和独⽴性.(分数:3.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()解析:从(U,V)的联合分布与边缘分布可以计算出所以E(UV)=E(U)·E(V),U与V不相关;⼜因为P{U=u,V=v}=P{U=u}·P{V=v},所以U与V相互独⽴.。
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷60(题后含答案及解析)
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考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷60(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设随机变量X与Y的联合分布是二维正态分布,X与Y相互独立的充分必要条件是A.E(X-Y)=0.B.D(X—Y)=0.C.E(X2-Y2)=0.D.E[X(Y-EY)]=0.正确答案:D解析:(X,Y)服从二维正态分布,则X与Y独立的充分必要条件是它们的相关系数ρXY=0,而对任何两个随机变量X与Y,有ρXY=0cov(X,Y)=0EXY=EXEY.而EXY=EXEY又可以变形为EXY-EXEY=E[X(Y-EY)]=0,因此应选D.知识模块:概率论与数理统计2.设A1,A2是两个随机事件,随机变量Xi=(i=1,2),已知X1与X2不相关,则A.X1与X2不一定独立.B.A1与A2一定独立.C.A1与A2不一定独立.D.A1与A2一定不独立.正确答案:B解析:EXi=P()-P(Ai)=1-2P(Ai),i=1,2,E(X1X2)=P{X1=-1,X2=-1}-P{X1=-1,X2=1}-P{X1=1,X2=-1}+P{X1=1,X2=1} =P(A1A2)-P(A1)-P(A2)+P() =P(A1A2)-[P(A1)-P(A1A2)]-[P(A2)-P(A1A2)]+1-P(A1)-P(A2)+P(A1A2) =4P(A1A2)-2P(A1)-2P(A2)+1,EX1EX2=[1-2P(A1)][1-2P(A2)]=4P(A1)P(A2)-2P(A1)-2P(A2)+1.因X1与X2不相关,故E(X1X2)=EX1EX2.P(A1A2)=P(A1)P(A2),即A1与A2相互独立,应选B.知识模块:概率论与数理统计填空题3.每张卡片上都写有一个数字,其中有两张卡片上都写有数字0,三张卡片都写有数字1,另两张卡片上分别写有数字2与9.将这七张卡片随意排成一排,所排的数字恰好为2001911的概率是_______.正确答案:0.0024解析:设事件A=“排成数字是2001911”,将七张卡片随意排列共有7!种不同的等可能排法.此即样本空间Ω的样本点总数,而有利于事件A的卡片排列方法为2!3!种,依古典型概率公式P(A)==0.0024.知识模块:概率论与数理统计4.设A、B、C是三个随机事件,AC,BC,P(A)=0.7,P(A-C)=0.4,P(AB)=0.5,则P(AB)=_______.正确答案:0.2解析:从AC,BC,可知ABC,两次应用减法公式有P(C)=P(A)-P(A -C)=0.7-0.4=0.3,P(AB)=P(AB-C)=P(AB)-P(C)=0.5-0.3=0.2.知识模块:概率论与数理统计5.设A、B是两个随机事件,0<P(B)<1,AB=,则P(A|)+P(|B)=_______.正确答案:2解析:从条件AB=有(AB)()=(AB)(AB)=AB,但是对任何事件A、B,都有因此有AB=,A∪B==Ω.于是A与B为对立事件,即=B,=A.因此P(A|)+P(|B)=P()+P(B|B)=2.知识模块:概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷44(题后含答案及解析)
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考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷44(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设随机变量X与Y相互独立,且都服从区间(0,1)上的均匀分布,则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是A.X2.B.X—Y.C.X+Y.D.(X,Y)·正确答案:D解析:从第二章题型训练三、7(Ⅳ)的Y4=X2知,X2不服从均匀分布;应用独立和卷积公式可知,X+Y与X—Y都不服从均匀分布;由X,Y的独立性知,(X,Y)的联合密度f(x,y)=,0<x<1,0<y<1因此(X,Y)服从区域D={(x,y)|0<x<1,0<y<1}上二维均匀分布,应选(D).知识模块:概率论与数理统计2.设随机变量X与Y相互独立,其分布函数分别为FX (x)与FY (y),则Z =max{X,Y}的分布函数FZ(z)是A.max{FX(z),Fy(z)}.B.FX(z)+FY(z)一FX(z)FY(z)·C.FX(z)·FY(z).D.[Fx(z)+FY(z)]·正确答案:C解析:FZ(z)=P{max(X,Y)≤z}=P{X≤z,Y≤z}=P{X≤z}·P{Y≤z} =FX(z)·FY(z),应选(C).知识模块:概率论与数理统计3.设随机变量X1与X2相互独立,其分布函数分别为, 则X1+X2的分布函数F(x)=A.B.C.D.正确答案:D解析:由题意知X1为离散型随机变量,其分布律为F(x)=P{X1+X2≤x}=P{X1=0}P{X1+X2≤x|X1=0}+P{X1=1}P{X1+X2≤X|X1=1}=P {X2≤x|+P|X2≤x-1|=F2(x)+F2(x-1)}故选(D).知识模块:概率论与数理统计4.设随机变量X和Y,都服从正态分布,则A.X+Y一定服从正态分布.B.X和Y不相关与独立等价.C.(X,Y)一定服从正态分布.D.(X,一Y)未必服从正态分布.正确答案:D解析:(A)不成立,例如,若Y=一X,则X+Y≡0不服从正态分布.(C)不成立,(X,Y)不一定服从正态分布,因为边缘分布一般不能决定联合分布.(B)也不成立,因为只有当X和Y的联合分布是二维正态分布时“X和Y独立”与“X和Y不相关”二者等价.故应选(D).虽然随机变量X和一Y都服从正态分布,但是因为边缘分布一般不能决定联合分布,故(X,一Y)未必服从正态分布.知识模块:概率论与数理统计5.已知随机变量X1与X2相互独立且有相同的分布:P{Xi=一1}=P{Xi =1}=(i=1,2),则A.X1与X1X2独立且有相同的分布.B.xX1与X1X2独立且有不同的分布.C.X1与X1X2不独立且有相同的分布.D.X1与X1X2不独立且有不同的分布.正确答案:A解析:由题设知X1X2可取一1,1,且P{X1X2=一1} =P{X1=一1,X2=1}+P{X1=1,X2=一1}=P{X1=一1}P{X2=1}+P{X1=1}P{X2=一1}又P{X1=一1,X1X2=一1}=P{X1=一1,X2=1}=,所以X1与X1X2的概率分布为从而X1与X1X2有相同的分布且相互独立,故应选(A).知识模块:概率论与数理统计6.已知随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)|一1<x<1,一1<y<1}上服从均匀分布,则A.P{x+y≥0}=.B.P{x一y≥0}=.C.P{max(x,y)≥0}=.D.P{min(X,Y)≥0}=.正确答案:D解析:由题设知(X,Y)的概率密度凼数为由于P{min(X,Y)≥0}=P{X ≥0,Y≥0}=f(x,y)dxdy故选(D).因P{max(X,Y)≥0}=1一P{max(X,Y)<0}=1一P{X<0,Y<0}所以选项(A)、(B)、(C)都不正确.知识模块:概率论与数理统计7.设随机变量X和Y的联合概率分布服从G={(x,y)|x2+y2≤r2}上的均匀分布,则下列服从相应区域上均匀分布的是A.随机变量X.B.随机变量X+Y.C.随机变量Y.D.Y关于X=1的条件分布.正确答案:D解析:直选法.由条件概率密度的定义知,对任意X,只要fX(x)>0,则Y 关于X=戈的条件概率密度为因此,Y关于X=1的条件分布服从区间(r>1)上的均匀分布,故选(D).知识模块:概率论与数理统计填空题8.设随机变量X与Y相互独立同分布,且都服从p=的0一1分布,则随机变量Z=max{X,Y}的分布律为______.正确答案:解析:显然Z也是离散型随机变量,只取0,1两个值,且P{Z=0}=P{max(X,Y)=0 }=P{X=0,Y=0 }=P{X=0}P{Y=0}=,P{Z=1}=1一P{Z =0}=.于是Z的分布律为知识模块:概率论与数理统计9.设随机变量x与y相互独立,且P{X=k}=,P{Y=-k)==l,2,3),则a=______,b=______,Z=X+Y的分布律为______.正确答案:解析:X,Y的分布律分别为.Z=X+Y的可能取值为一2,一1,0,1,2.由于P{Z=一2}=P{X+Y=一2}=P{X=1,Y=一3}=P{X=1}P{Y=一3}类似地.P{Z=一1}=P{X+Y=一1}=P{X=1,Y=一2}+P{X=2,Y=一3}P{Z =0}=P{X+Y=0}=P{X=1,Y=一1}+P{X=2,Y=一2}+P{X=3,Y=一3}P{Z=1}=P{X=2}P{Y=一1}+P{X=3}P{Y=一2}P {Z=2}=P{X=3}P {y=一1}=,于是Z的分布律为知识模块:概率论与数理统计10.从数1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从1,…,X中任取一个数,记为Y,则P{Y=2}=______.正确答案:解析:根据乘法公式P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j|x=i},i,j=1,2,3,4,容易写出(X,Y)的联合概率分布为知识模块:概率论与数理统计11.设随机变量X和Y的联合分布函数为则随机变量X的分布函数F(x)为______.正确答案:解析:分布函数F(x)是F(x,y)的边缘分布函数:F(x)=F(x,+∞)=F(x,1),因此知识模块:概率论与数理统计12.设(X,Y)~N(μ,μ;σ2,σ2;0),则P{X解析:由P=0可知,X与Y独立,从而有X—Y~N(0,2σ2),根据对称性,有P{X-Y<0}=.知识模块:概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷16(题后含答案及解析)
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考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷16(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.若事件A和B同时出现的概率P(AB)=0,则( )A.A和B不相容(互斥)。
B.AB是不可能事件。
C.AB未必是不可能事件。
D.P(A)=0或P(B)=0。
正确答案:C解析:不可能事件与零概率事件之间的区别和联系:不可能事件发生的概率为零,但零概率事件未必是不可能事件。
由P(AB)=0不能推出AB是不可能事件,故选C。
知识模块:概率论与数理统计2.设A,B为随机事件,P(A)>0,则P(B|A)=1不等价于( )A.P(A-B)=0。
B.P(B-A)=0。
C.P(AB)=P(A)。
D.P(A∪B)=P(B)。
正确答案:B解析:P(B|A)==P(A),然而P(B-A)=P(B)-P(AB),所以选项B正确。
容易验证其余三个选项与已知条件是等价的,事实上:A选项P(A-B)=P(A)-P(AB)=0P(AB)=P(A)。
C选项P(AB)=P(A)P(B|A)=1。
D 选项P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(B)P(A)=P(AB)。
知识模块:概率论与数理统计3.连续抛掷一枚硬币,第k(k≤n)次正面向上在第n次抛掷时出现的概率为( )A.B.C.D.正确答案:D解析:依据题意,总共抛掷n次,其中有k次出现正面,余下的为n-k次反面。
第n次必是正面向上,前n-1次中有n-k次反面,k-1次正面(如上图所示)。
根据伯努利公式,所以概率为知识模块:概率论与数理统计4.设F1(x),F2(x)为两个分布函数,其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数,则必为概率密度的是( )A.f1(x)f2(x)。
B.2f2(x)F1(x)。
C.f1(x)F2(x)。
D.f1(x)F2(x)+f2(x)F2(x)。
正确答案:D解析:因为f1(x)与f2(x)均为连续函数,故它们的分布函数F1(x)与F2(x)也连续。
考研数学一(数理统计)模拟试卷1(题后含答案及解析)
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考研数学一(数理统计)模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设X1,X2,X3,X4为来自总体N(1,σ2)(σ>0)的简单随机样本,则统计量的分布为( )A.N(0,1)B.t(1)C.X2(1)D.F(1,1)正确答案:B解析:考查产生t分布的典型模式由于Xi服从N(1,σ2),i=1,2,3,4,且相互独立,所以X1-X2服从N(0,2σ2),X3+X4-2服从N(0,2σ2).于是服从N(0,1),服从N(0,1).知识模块:数理统计2.设总体X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,X1,X2,…,Xn(n≥2)为来自总体X的简单随机样本,统计量,则有( )A.E(T1)>E(T2),D(T1)>D(T2)B.E(T1)>E(T2),D(T1)<D(T2)C.E(T1)<E(T2),D(T1)>D(T2)D.E(T1)<E(T2),D(T1)<D(T2)正确答案:D解析:故D(T1)<D(T2),从而应选D.知识模块:数理统计3.设总体X和Y相互独立,且都服从N(μ,σ2),分别为总体X与Y的样本容量为n的样本均值,则当n固定时,概率的值随σ的增大而( ) A.单调增大B.保持不变C.单调减少D.增减不定正确答案:B解析:故应选B 知识模块:数理统计4.设总体X服从N(μ,σ2),分别是取自总体X的样本容量分别为10和15的两个样本均值,记p1=,则有( )A.p1<p2B.p1=p2C.p1>p2D.p1=μ,p2=6正确答案:C解析:因为由于Ф(x)是单调增加的,所以p1>p2 ,应选C.知识模块:数理统计5.设总体X服从N(μ,σ2),与S2分别为样本均值和样本方差,n为样本容量,则下面结论不成立的是( )A.B.C.D.正确答案:D解析:正态总体抽样分布中,与S2是相互独立的,故A、B、C选项结论都是正确的,只有D是不成立的.知识模块:数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷40(题后含答案及解析)
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考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷40(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设随机变量X~N(0,1),Y~N(1,4),且相关系数ρXY=1,则A.P{Y=一2X一1}=1.B.P{Y=2X一1}=1.C.P{Y=一2X+1}=1.D.P{Y=2X+1}=1.正确答案:D解析:由于X与Y的相关系数ρXY=1>O,因此P|Y=aX+b}=1,且a>0.又因为Y~N(1,4),X~N(0,1),所以EX=0,EY=1.而EY=E(aX+b)=b,b=1.即应选(D).知识模块:概率论与数理统计2.已知随机变量X与Y有相同的不为零的方差,则X与Y相关系数ρ=1的充要条件是A.C0v(X+Y,X)=0.B.Cov(X+Y,Y)=0.C.Cov(X+Y,X—Y)=0.D.Cov(X一Y,X)=0.正确答案:D解析:接用定义通过计算确定正确选项.已知DX=DY=σ2>0,则故选(D).其余选项均不正确,这是因为当DX=DY时,知识模块:概率论与数理统计3.设随机变量X1,X2,...,Xn相互独立,Sn=X1+X2+...+Xn,则根据列维一林德伯格中心极限定理,当n充分大时Sn近似服从正态分布,只要X1,X2, (X)A.有相同期望和方差.B.服从同一离散型分布.C.服从同一均匀分布.D.服从同一连续型分布.正确答案:C解析:因为列维一林德伯格中心极限定理的条件是,X1,X2,…,Xn独立同分布而且各个随机变量的数学期望和方差存在.显然4个选项中只有选项(C)满足此条件:均匀分布的数学期望和方差都存在.选项(A)不成立,因为X1,X2,…,Xn有相同期望和方差,但未必有相同的分布,所以不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件;而选项(B)和(D)虽然满足同分布,但数学期望和方差未必存在,因此也不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件,故选项(B)和(D)一般也不能保证中心极限定理成立.知识模块:概率论与数理统计4.假设随机变量X1,X2,…相互独立且服从同参数λ的泊松分布,则下面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律条件的是A.X1,X2,…,Xn,…B.X1+1,X2+2,…,Xn+n,…C.X1,2X2,…,nXn,…D.正确答案:C 涉及知识点:概率论与数理统计5.设随机变量序列X1,…,Xn,…相互独立,根据辛钦大数定律,当n →∞时依概率收敛于其数学期望,只要{Xn,n≥1}A.有相同的数学期望.B.有相同的方差.C.服从同一泊松分布.D.服从同一连续型分布,f(x)=正确答案:C解析:辛钦大数定律要求:{Xn,n≥1}独立同分布且数学期望存在.选项(A)、(B)缺少同分布条件,选项(D)虽然服从同一分布但期望不存在,因此选(C).知识模块:概率论与数理统计6.设Xn表示将一枚匀称的硬币随意投掷n次其“正面”出现的次数,则A.B.C.D.正确答案:C 涉及知识点:概率论与数理统计填空题7.设随机变量X的概率密度为则随机变量X的二阶原点矩为_______.正确答案:解析:依题设,即求EX2.首先对所给概率密度作变换:对于x(一∞<x<+∞),有由此可知随机变量X服从正态分布,从而于是知识模块:概率论与数理统计8.设试验成功的概率为,失败的概率为,现独立重复地试验直到成功两次为止,则所需进行的试验次数的数学期望为______.正确答案:解析:设X表示试验成功两次时所进行的试验次数,Y表示第一次试验成功所进行的试验次数,Z表示从第一次成功之后到第二次成功所进行的试验次数,则X=Y+Z,且Y与Z都服从同一几何分布,其概率分布为从而有E(Y)=E(Z)=于是E(X)=E(Y+Z)=E(Y)+E(Z)= 知识模块:概率论与数理统计9.已知随机变量X1与X2相互独立且分别服从参数为λ1,λ2的泊松分布,P{X1+X2>0}=1一e-1,则E(X1+X2)2=________.正确答案:2解析:已知Xi~P(λi)且相互独立,所以EXi=DXi=λi,i=1,2.E(X1+X2)2=E(X12+2X1X2+X22)=EX12+2EX1EX2+EX22=λ1+λ12+2λ1λ2+λ2+λ22=λ1+λ2+(λ1+λ2)2.为求得最终结果我们需要由已知条件求得λ1+λ2.因为P{X1+X2>0} =l—P{X1+X2≤0} =1—P{X1+X2=0} =1一P{X1=0,X2=0}=1—P{X1=0}P{X2=0}所以λ1+λ2=1,故E(X1+X2)2=1+1=2.知识模块:概率论与数理统计10.已知(X,Y)在以点(0,0),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,对(X,Y)作4次独立重复观察,观察值X+Y不超过1出现的次数为Z,则EZ2=_______.正确答案:5解析:由题设知(X,Y)的联合概率密度为若记A=“X+Y≤1”,则Z是4次独立重复试验事件A发生的次数,故Z~B(4,p),其中知识模块:概率论与数理统计11.设盒子中装有m个颜色各异的球,有放回地抽取n次,每次1个球.设X表示n次中抽到的球的颜色种数,则EX=______.正确答案:解析:令则X=X1+X2+…+Xm.事件“Xi=0”表示n次中没有抽到第i 种颜色的球,由于是有放回抽取,n次中各次抽取结果互不影响,因此有知识模块:概率论与数理统计12.将一颗骰子连续重复掷4次,以X表示4次掷出的点数之和,则根据切比雪夫不等式,P{10<X<18}≥______.正确答案:涉及知识点:概率论与数理统计13.设随机变量X1,…,Xn相互独立同分布,EXi=μ,DXi=8(i=1,2,…,n),则概率正确答案:解析:由于X1,…,Xn相互独立同分布,因此有.应用切比雪夫不等式,有知识模块:概率论与数理统计14.已知随机变量X与Y的相关系数则根据切比雪夫不等式有估计式P{|X —Y|≥≤_______.正确答案:解析:由于E(X—Y)=EX—EY=0,知识模块:概率论与数理统计15.将一枚骰子重复掷n次,则当n→∞时,n次掷出点数的算术平均值依概率收敛于______.正确答案:7/2解析:设X1,X2,…,Xn是各次掷出的点数,它们显然独立同分布,每次掷出点数的数学期望EX=21/6=7/2.因此,根据辛钦大数定律,依概率收敛于7/2.知识模块:概率论与数理统计16.设随机变量序列X1,…,Xn,…相互独立且都服从正态分布N(μ,σ2),记Yn=X2n一X2n-1,根据辛钦大数定律,当n→∞时依概率收敛于_______.正确答案:2σ2解析:由于{Xn,n≥1}相互独立,故Yn=X2n一X2n-1(n≥1)相互独立并且都服从N(0,2σ2),所以{Yn2,n≥1}独立同分布且EYn2=DYn+(EYn)2=2σ2,根据辛钦大数定律,当n→∞时依概率收敛于2σ2.知识模块:概率论与数理统计17.设随机变量序列X1,…,Xn,…相互独立且都在(一1,1)上服从均匀分布,则=_______(结果用标准正态分布函数ψ(x)表示).正确答案:解析:由于Xn相互独立且都在(一1,1)上服从均匀分布,所以EXn=0,根据独立同分布中心极限定理,对任意x∈R有知识模块:概率论与数理统计18.设随机试验成功的概率p=0.20,现在将试验独立地重复进行100次,则试验成功的次数介于16和32次之间的概率α=____.正确答案:0.84解析:以X表示“在100次独立重复试验中成功的次数”,则X服从参数为(n,p)的二项分布,其中n=100,p=0.20,且由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理,知随机变量近似服从标准正态分布N(0,1).因此试验成功的次数介于16和32次之间的概率=ψ(3)一ψ(一1)=ψ(3)一[1一ψ(1)]=0.9987一(1一0.8413)=0.84,其中ψ(u)是标准正态分布函数.知识模块:概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷82(题后含答案及解析)
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考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷82(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设随机变量X~E(1),记Y=max(X,1),则E(Y)=A.1.B.1+e-1.C.1-e-1.D.e-1.正确答案:B解析:如果先去求Y的密度fY(y),则计算量很大.直接用随机变量函数的数学期望的定义式E(Y)=E[max(X,1)]=∫-∞+∞max(χ,1)f(χ)dχ,其中f(χ)为指数分布的X的密度函数,且f(χ)=所以E(Y)=∫-∞+∞max(χ,1)f(χ)dχ=∫-∞0max(χ,1).0dχ+∫0+∞max(χ,1)e-χdχ=∫01e-χdχ+∫1+∞χe-χdχ=1-e-1+2e-1=1+e-1.知识模块:概率论与数理统计2.已知随机变量X与Y均服从0.1分布,且EXY=,则P{X+Y≤1}=A..B..C..D..正确答案:C解析:由X与Y均服从0-1分布,可以列出(X,Y)的联合分布如下:由二维离散型随机变量(X,Y)的函数的数学期望的定义式可知,随机变量Z=g(X,Y)=XY的数学期望为E(XY)=0.0.P{X=0,Y=0}+0.1.P{X=0,Y=1}+1.0.P{X=1,Y=0}+1.1.P}X=1,Y=1} =P{X=1,Y=1} 即p22=,从而P{X+Y≤1}=P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0} =p11+p12+p21=1-p22=,故选C.知识模块:概率论与数理统计3.设随机变量X与Y独立同分布,记U=X-Y,V=X+Y,则随机变量U与VA.不独立.B.独立.C.相关系数不为零.D.相关系数为零.正确答案:D解析:由于X与Y独立同分布,因此E(X)=E(Y),E(X2)=E(Y2).又E(U)=E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0,E(UV)=E[(X-Y)(X+Y]=E(X2-Y2)=E(X2)-E(Y2)=0,Cov(U,V)=E(UV)-E(U)E(V)=0,从而可知U与V的相关系数为零,故选D.知识模块:概率论与数理统计4.设随机变量X~N(0,1),Y~N(1,4),且相关系数ρXY=1,则A.P{Y=-2X-1}=1.B.P{Y=2X-1}=1.C.P{Y=-2X+1}=1.D.P{Y=2X+1}=1.正确答案:D解析:由于X与Y的相关系数ρXY=1>0,因此P{Y=aX+b}=1,且a >0.又因为Y~N(1,4),X~N(0,1),所以EX=0,EY=1.而EY=E(aX+b)=bb=1.即应选D.知识模块:概率论与数理统计5.已知随机变量X与Y有相同的不为零的方差,则X与Y相关系数ρ=1的充要条件是A.Cov(X+Y,X)=0.B.Cov(X+Y,Y)=0.C.Cov(X+Y,X-Y)=0.D.Cov(X-Y,X)=0.正确答案:D解析:直接用定义通过计算确定正确选项.已知DX=DY=σ2>0,则ρ==1 Cov(X,Y)=Cov(X,X) Cov(X,Y-X)=0 Cov(X-Y,X)=0.故选D 知识模块:概率论与数理统计填空题6.已知随机变量X在(1,2)上服从均匀分布,在X=χ条件下Y服从参数为χ的指数分布,则E(XY)=_______.正确答案:1 涉及知识点:概率论与数理统计7.设随机变量X和Y相互独立,且X~N(1,2),Y~N(-3,4),则随机变量Z=-2X+3Y+5的概率密度为f(z)=_______.正确答案:f(z)=,z∈R.涉及知识点:概率论与数理统计8.设随机变量X的概率密度为f(χ)=(-∞<χ<+∞),则随机变量X的二阶原点矩为_______.正确答案:解析:依题设,即求EX2.首先对所给概率密度作变换:对于χ(-∞<χ<+∞),有由此可知随机变量X服从正态分布,从而EX=,DX=.于是EX2=DX+(EX)2=.知识模块:概率论与数理统计9.设试验成功的概率为,失败的概率为,现独立重复地试验直到成功两次为止,则所需进行的试验次数的数学期望为_______.正确答案:解析:设X表示试验成功两次时所进行的试验次数,Y表示第一次试验成功所进行的试验次数,Z表示从第一次成功之后到第二次成功所进行的试验次数,则X=Y+Z,且Y与Z都服从同一几何分布,其概率分布为P{Y=k}=P{Z=k}=(k=1,2,…),从而右F(Y)=E(Z)=,于是E(X)=E(Y +Z)=E(Y)+E(Z)=.知识模块:概率论与数理统计10.已知随机变量Xl与X2相互独立且分别服从参数为λ1,λ2的泊松分布,P{X1+X2>0}=1-e-1,则E(X1+X2)2=_______.正确答案:2解析:已知Xi~P(λi)且相互独立,所以EXi=DXi=λi,i=1,2.E(X1+X2)2=E(X12+2X1X2×X22)=EX12+2EX1EX2+EX22 =λ1+λ12+2λ1λ2+λ2+λ22=λ1+λ2+(λ1+λ2)2.为求得最终结果我们需要由已知条件求得λ1+λ2.因为P{X1+X2>0}=1-P{X1+X2≤0}=1-P{X1+X2=0} =1-P{X1=0,X2=0}=1-P{X1=0}P{X2=0} =1-1-e-1.所以λ1+λ2=1,故E(X1+X2)2=1+1=2.知识模块:概率论与数理统计11.已知(X,Y)在以点(0,0),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,对(X,Y)作4次独立重复观察.观察值X+Y不超过1出现的次数为Z.则EZ2=_______.正确答案:5解析:由题设知(X,Y)的联合概率密度为若记A=“X+Y≤1”,则Z 是4次独立重复试验事件A发生的次数,故Z~B(4,p),其中p=P(A)=P{X +Y≤1}=f(χ,y)dχdy =2×.所以EZ2=DZ+(EZ)2=4×=5.知识模块:概率论与数理统计12.设盒子中装有m个颜色各异的球,有放回地抽取n次,每次1个球.设X表示n次中抽到的球的颜色种数,则EX=_______.正确答案:m[1-(1-)2]解析:令Xi=则X=X1+X2+…+Xm.事件”Xi=0”表示n次中没有抽到第i种颜色的球,由于是有放回抽取,n次中各次抽取结果互不影响,因此有知识模块:概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷67(题后含答案及解析)
![考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷67(题后含答案及解析)](https://img.taocdn.com/s3/m/d13578902b160b4e777fcf4d.png)
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷67(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.已知事件A发生必导致B发生,且0<P(B)<1,则P(A|)=A.0.B.1/4.C.1/2.D.1正确答案:A解析:由题设知A,从而推知P(A|)=0.故选(A).知识模块:概率论与数理统计2.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则随σ的增大,概率P{|X-μ|<σ}应该A.单调增大.B.单调减少.C.保持不变.D.增减不定.正确答案:C解析:若X~N(μ,σ2),(X-μ)/σ~N(0,1),因此P{|X-μ|<σ}=P{|(X -μ)/σ|<1}=2Ф(1)-1.该概率值与σ无关,应选(C).知识模块:概率论与数理统计3.设随机变量X与Y相互独立,且都服从区间(0,1)上的均匀分布,则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是A.X2.B.X-Y.C.X+Y.D.(X,Y).正确答案:D解析:由Y4=X2知,X2不服从均匀分布;应用独立和卷积公式可知,X+Y 与X-Y,都不服从均匀分布;由X,Y的独立性知,(X,Y)的联合密度f(x,y)=因此(X,Y)服从区域D={(x,y)|0<x<1,0<y<1}上二维均匀分布,应选(D).知识模块:概率论与数理统计4.设随机变量X和Y的联合概率分布服从G={(x,y)|x2+y2≤r2}上的均匀分布,则下列服从相应区域上均匀分布的是A.随机变量X.B.随机变量X+Y.C.随机变量Y.D.Y关于X=1的条件分布.正确答案:D解析:排除法.依题设,由于X,Y对称,(A)和(C)会同时成立,故应排除.或利用计算,随机变量X和Y的联合概率密度为当|x|>r时,显然fX(x)=0;当|x|≤r时,有fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy因此,X和Y都不服从均匀分布,即可排除(A)和(C).而由熟知的事实知两均匀分布随机变量之和也不服从均匀分布,可见(B)也不成立,故应选(D).知识模块:概率论与数理统计5.设二维髓机变量(X,Y)满足E(XY)=EXEY,则X与YA.相关.B.不相关.C.独立.D.不独立.正确答案:B解析:因E(XY)=EXEY,故Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY=0,ρXY==0,X 与Y不相关,应选(B).知识模块:概率论与数理统计6.设随机变量X1,X2,…,Xn相互独立同分布,其密度函数为偶函数,且DXi=1,i=1,…,n,则对任意ε>0,根据切比雪夫不等式直接可得A.B.C.D.正确答案:C解析:由题意知EXi=0,i=1,…,n.记根据切比雪夫不等式,有故选(C).知识模块:概率论与数理统计7.设是从总体X中取出的简单随机样本X1,…,Xn的样本均值,则是μ的矩估计,如果A.X~N(μ,σ2).B.X服从参数为μ的指数分布.C.P{X=m}=μ(1-μ)m-1,m=1,2,…D.X服从[0,μ]上均匀分布.正确答案:A解析:若X~N(μ,σ2),则EX=μ,μ的矩估计为,应选(A).若X服从参数为μ的指数分布,则EX=1/μ,μ=1/EX,μ的矩估计对于选项(C),X 服从参数为μ的几何分布,EX=1/μ,μ=1/EX,μ的矩估计对选项(D),EX=μ/2,μ=2EX,于是μ的矩估计知识模块:概率论与数理统计8.假设总体X的方差DX=σ2存在(σ>0),X1,…,Xn是取自总体X 的简单随机样本,其方差为S2,且DS>0.则A.S是σ的矩估计量.B.S是σ的最大似然估计量.C.S是σ的无偏估计量.D.S是σ的相合(一致)估计量.正确答案:D解析:由各选项中概念的定义及知,正确选项是(D),这是因为(σ2=DX的矩估计量因而S不是σ的矩估计量,(A)不成立;题中未对X的分布做出假设,因此σ的最大似然估计量是否存在不知,(B)不成立.如果S2是σ2的最大似然估计量,根据最大似然估计的不变性,可以断言S是σ的最大似然估计量,选项(B)成立,否则选项(B)不成立.如果S是σ的无偏估计即ES=σ,由此得(ES)2=σ2,又ES2=σ2,所以DS=ES2-(ES)2=0,与假设矛盾,所以(C)不成立,因此选(D).事实上,由大数定律及依概率收敛性质知所以S2EX2-(EX)2=σ2.故S σ,即S是σ的相合估计量.知识模块:概率论与数理统计填空题9.设随机事件A,B及A∪B的概率分别为0.4,0.3和0.6,则P(A)=_______.正确答案:0.3解析:由于A=A-AB.而ABA,根据减法公式,可得P(A)=P(A-AB)=P(A)-P(AB).根据加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),可得P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=0.4+0.3-0.6=0.1,所以P(A)=P(A)-P(AB)=0.4-0.1=0.3.知识模块:概率论与数理统计10.假设X是在区间(0,1)内取值的连续型随机变量,而Y=1-X.已知P{X≤0.29}=0.75,则满足P{Y≤k}=0.25的常数k=_______.正确答案:0.71解析:由于P{Y≤k}=P{1-X≤k}=P{X≥1-k}=1-P{X<1-k}}=0.25,可见P{X<1-k}=1-0.25=0.75.由P{X≤0.29}=0.75,得1-k=0.29,k=0.71.知识模块:概率论与数理统计11.将长度为L的棒随机折成两段,则较短段的数学期望为_______.正确答案:1/4L解析:设X为折点到左端点的距离,Y为较短段的长,则X~U(0,L),且于是E(Y)=E[g(X)]=∫-∞+∞g(x)f(x)dx=1/4L 知识模块:概率论与数理统计12.假设总体X服从标准正态分布,X1,X2,…,Xn是取自总体X的简单随机样本,则统计量Y1=都服从_______分布,其分布参数分别为_______和_______.正确答案:t;2;n-1解析:根据简单随机样本的性质,X1,X2,…,Xn相互独立同服从分布N(0,1),所以X1-X2与X32+X42相互独立,X1与Xi2也相互独立,且有X1-X2~N(0,2),~N(0,1),X32+X42~χ2(2),Xi2~χ2(n,-1),即Y1与Y2都服从t分布,分布参数分别为2和n-1.知识模块:概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(概率与数理统计)模拟试卷4(题后含答案及解析)
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考研数学一(概率与数理统计)模拟试卷4(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设总体X服从正态分布N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn(n>1)是取自总体的简单随机样本,样本均值为( )A.与σ及n都有关B.与σ及n都无关C.与σ无关,与n有关D.与σ有关,与n无关正确答案:C解析:由题设,(0,1),于是所以比值与σ无关,与n有关.知识模块:概率与数理统计2.设X1,X2,…,Xn(n>1)是来自总体N(0,1)的简单随机样本,记,则( )A.B.C.D.正确答案:C解析:,Q2~γ2(n).因此本题选C.知识模块:概率与数理统计3.设X1,X2,…,X8是来自总体N(2,1)的简单随机样本,则统计量服从( )A.χ2(2)B.χ2(3)C.t(2)D.t(3)正确答案:C解析:知识模块:概率与数理统计4.设X1,X2,…,Xn是来自总体X~N(0,1)的简单随机样本,则统计量服从( )A.Y~χ2(n一1)B.Y~t(n一1)C.Y~F(n,1)D.Y~F(1,n一1)正确答案:B解析:由总体X~N(0,1)知,且它们相互独立,所以因此本题选B.知识模块:概率与数理统计5.设随机变量X~F(n,n),记p1=P{X≥1),p2=P{X≤1},则( ) A.p1<p2B.p1>p2C.p1=p2D.p1,p2大小无法比较正确答案:C解析:由X~F(n,n)知,所以因此本题选C.知识模块:概率与数理统计6.设X1,X2,…,X8和Y1,Y2,…,Y10分别是来自正态总体N(-1,4)和N(2,5)的简单随机样本,且相互独立,S12,S22分别为这两个样本的方差,则服从F(7,9)分布的统计量是( )A.B.C.D.正确答案:D解析:因此本题选D.知识模块:概率与数理统计7.设总体X~N(a,σ2),Y~N(b,σ2)相互独立.分别从X和Y中各抽取容量为9和10的简单随机样本,记它们的方差为SY2和SY2,并记则这四个统计量SX2,SY2,S122,SXY2中,方差最小者是( )A.SX2B.SY2C.S122D.SXY2正确答案:D解析:所以,方差最小者为SXY2.因此本题选D.知识模块:概率与数理统计8.设x1,x2,…,xn是来自总体X~N(μ,σ2)(μ,σ2都未知)的简单随机样本的观察值,则σ2的最大似然估计值为( )A.B.C.D.正确答案:B解析:在μ未知时,σ2的最大似然估计值为,因此本题选B.知识模块:概率与数理统计9.设总体X~P(λ)(λ为未知参数),X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本,其均值与方差分别为是λ的无偏估计量,常数a应为( ) A.-1B.0C.D.1正确答案:C解析:要使是λ的无偏估计量,应有,.因此本题选C.知识模块:概率与数理统计填空题10.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为则随机变量U=X+2Y,V=一X 的协方差Cov([U,V)为_________.正确答案:解析:知识模块:概率与数理统计11.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为则随机变量Z=X—Y的方差DZ 为_________.正确答案:解析:知识模块:概率与数理统计12.设随机变量X的数学期望.EX=75,方差DX=5,由切比雪夫不等式估计得P{|X一75|≥k}≤0.05,则k=________.正确答案:10解析:即K=10.知识模块:概率与数理统计13.设X1,X2,…,Xn,…是相互独立的随机变量序列,且都服从参数为λ的泊松分布,则正确答案:φ(x)解析:由列维一林德伯格中心极限定理即得.知识模块:概率与数理统计14.设总体X~P(λ),X1,X2,…,Xn是来自X的简单随机样本,它的均值和方差分别为和S2,则和E(S2)分别为______.正确答案:解析:知识模块:概率与数理统计15.设总体X和y相互独立,且分别服从正态分布N(0,4)和N(0,7),X1,X2,…,X8和Y1,Y2,…,Y14分别来自总体X和Y的简单随机样本,则统计量的数学期望和方差分别为________.正确答案:解析:知识模块:概率与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷47(题后含答案及解析)
![考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷47(题后含答案及解析)](https://img.taocdn.com/s3/m/7ab34dd06c85ec3a86c2c565.png)
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷47(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设X1,X2,…Xn是取自总体X的简单随机样本,记EX=μ,DX=σ2,DS>0,则A.S是σ的无偏估计.B.S2是σ2的无偏估计.C.是μ2的无偏估计·D.是EX2的无偏估计.正确答案:B解析:从上题知S2是无偏估计,应选(B).进一步分析DS=ES2一(ES)2>0 (ES)2≠ES2=σ2 ES≠σ.σ2+μ2≠μ2,知识模块:概率论与数理统计2.设是从总体X中取出的简单随机样本X1,…,Xn的样本均值,则是μ的矩估计,如果A.X~N(μ,σ2).B.X服从参数为μ的指数分布.C.P{X=m}=μ(1一μ)m-1,m=1,2,…D.X服从[0,μ]上均匀分布.正确答案:A解析:若X~N(μ,σ2),则EX=μ,μ的矩估计为,应选(A).若x服从参数为μ的指数分布,则,μ的矩估计;对于选项(C),X服从参数为μ的几何分布,EX=,μ=的矩估计;对选项(D),EX=,μ=2EX,于是μ的矩估计.知识模块:概率论与数理统计3.假设总体X的方差DX=σ2存在(σ>0),X1,…,Xn是取自总体X 的简单随机样本,其方差为S2,且DS>0,则A.S是σ的矩估计量.B.S是σ的最大似然估计量.C.S是σ的无偏估计量.D.S是σ的相合(一致)估计量.正确答案:D解析:由各选项中概念的定义及知,正确选项是(D),这是因为σ2DX的矩估计量,因而S不是σ的矩估计量,(A)不成立;题中未对X的分布做出假设,因此σ的最大似然估计量是否存在不知,(B)不成立。
如果S2是σ2的最大似然估计量,根据最大似然估计的不变性,可以断言S是σ的最大似然估计量,选项(B)成立,否则选项(B)不成立.如果S是σ的无偏估计即ES=σ,由此得(ES)2=σ2,又ES2=σ2,所以DS=ES2一(ES)2=0,与假设矛盾,所以(C)不成立,因此选(D).事实上,由大数定律及依概率收敛性质知故,即S是σ的相合估计量.知识模块:概率论与数理统计填空题4.设X1,X2,…Xn是取自总体X的简单随机样本,是总体方差σ2的无偏估计量,则a=_______,b=______.正确答案:解析:样本方差是总体方差σ2的无偏估计,所以知识模块:概率论与数理统计5.设总体X服从(a,b)上的均匀分布,X1,X2,…Xn是取自X的简单随机样本,则未知参数a,b的矩估计量为=______.=______.正确答案:解析:知识模块:概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
[考研类试卷]考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷31.doc
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[考研类试卷]考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷31一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1 设A,B为两个任意事件,则使减法公式P(A-C)=P(A)-P(C)成立的C为( ).(A)(B)(C)C=(A∪B)(A-B)(D)C=(A-B)∪(B-A)2 设X的分布函数为F(x),则在下列函数中,仍为分布函数的是( ).(A)F(2x-1)(B)F(1-x)(C)F(x2)(D)1-F(-x)3 设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ1,σ22),则( ).(A)X+Y~N(μ1+μ2,σ12+σ22)(B)X-Y~N(μ1-μ2,σ12-σ22)(C)X与y不相关和X与y相互独立等价(D)X+y可能不服从正态分布4 设随机变量X与Y服从正态分布N(-1,2)与N(1,2),并且X与Y不相关,Ax+Y与X+bY亦不相关,则( ).(A)a-b=1(B)a-b=0(C)a+b=1(D)a+b=05 设随机变量X1,X2,…相互独立且同服从参数为λ的指数分布,其中φ(x)=则( ).6 设随机变量X~N(0,1)和Y~N(0,2),并且相互独立,则( ).7 在假设检验中,原假设H0的拒绝域为W,x1,x2,…,x n为样本值,则犯第二类错误的情况为( ).(A)H0真,且x1,x2,…,x n∈W(B)H0不真,且x1,x2,…,x n W(C)H0真,且x1,x2,…,x n W(D)H0不真,且x1,x2,…,x n∈W二、填空题8 已知事件A与B相互独立,P(A)=a,P(B)=b.如果事件C发生必然导致事件A 与B同时发生,则A,B,C都不发生的概率为______.9 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数则R的取值范围是______.10 设X1,X2,…,X n,…相互独立同分布,其分布函数记为F(x),密度函数记为f(x),并且F(x)严格单调,f(x)连续,根据中心极限定理,当n充分大时,近似服从______分布,参数为______.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷70(题后含答案及解析)
![考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷70(题后含答案及解析)](https://img.taocdn.com/s3/m/8daf7a34e009581b6ad9ebc3.png)
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷70(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设X1,…,Xn为相互独立的随机变量,Sn=X1+…+Xn,则根据列维一林德贝格中心极限定理,当n充分大时,Sn近似服从正态分布,只要X1,…XnA.有相同的数学期望;B.有相同的方差;C.服从同一指数分布;D.服从同一离散型分布.正确答案:C解析:列维一林德贝格中心极限定理要求诸Xi独立同分布,因此选项A、B不能选(无法保证同分布),而选项D却保证不了EXi及DXi存在,甚至排除不了Xi为常数(即退化分布)的情形,而中心极限定理却要求Xi非常数且EXi与DXi存在,故不选D,只有C符合要求,故选C.知识模块:概率论与数理统计2.设总体X~N(μ,σ2),从中抽得简单样本X1,X2,…,Xn.记则Y1~=_______,Y2~_______(写出分布,若有参数请注出)且A.Y1、Y2均与独立.B.Y1、Y2均与不独立.C.Y1与独立,而Y2未必.D.Y2与独立,而Y2未必.正确答案:D解析:由Xi~N(μ,σ2),∴~N(0,1),且X1,…,Xn相互独立,故~χ2(n),故Y1~χ2(n).而由~χ2(n-1),故Y2~χ2(n-1),且Y2与独立,而Y1未必,故选D.知识模块:概率论与数理统计填空题3.设总体X~N(μ,σ2),从X中抽得容量为16的简单样本,S2为样本方差,则D(S2)=_______.正确答案:σ4解析:∵~χ2(15),∴D()=2×15=30,即D(S2)=30,故D(S2)=σ5.知识模块:概率论与数理统计4.设X~F(n,n),且P(|X|<A)=0.3,则P(X<)=_______.(其中A 为一常数).正确答案:0.7解析:由0.3=P(X<A),∴A=F0.3(n,n),∴=F0.7(n,n),故P(X<)=0.7.知识模块:概率论与数理统计5.设X1,…,Xn来自总体N(μ,σ2)的简单样本,其中μ、σ2均未知.记则假设H0:μ=0的t检验使用的统计量t=_______.正确答案:涉及知识点:概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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[考研类试卷]考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷37
一、选择题
下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1 设A,B,C为随机事件,A发生必导致B与C最多一个发生,则有
2 设随机事件A,B,C两两独立,且P(A),P(B),P(C)∈(0,1),则必有(A)C与A—B独立.
(B)C与A—B不独立.
(C)A∪C与独立.
(D)A∪C与不独立.
3 设A,B是两个随机事件,且0<P(A)<1,P(B)>0,P(B|A)=P(B|A),则必有(A)P(A|B)=.
(B)P(A|B)≠.
(C)P(AB)=P(A)P(B)
(D)P(AB)≠P(A)P(B).
4 设事件A与B满足条件则
(A)A∪B=.
(B)A∪B=Ω.
(C)A ∪ B=A.
(D)A ∪ B=B.
5 设随机事件A与B互不相容,且P(A)>0,P(B)>0,则下列结论中一定成立的是
(A)A,B为对立事件.
(B)互不相容.
(C)A,B不独立.
(D)A,B相互独立.
6 设A,B是任意两个随机事件,又知,且P(A)<P(B)<1,则一定有
(A)P(A∪B)=P(A)+P(B).
(B)P(A一B)=P(A)一P(B).
(C)P(AB)=P(A)P(B|A).
(D)P(A|B)≠P(A).
7 将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:A1={掷第一次出现正面},A2={掷第二次出现正面},A3={正、反面各出现一次},A4={正面出现两次},则
(A)A1,A2,A3相互独立.
(B)A2,A3,A4相互独立.
(C)A1,A2,A3两两独立.
(D)A2,A3,A4两两独立.
8 某射手的命中率为p(0<p<1),该射手连续射击n次才命中k次(k≤n)的概率为(A)p k(1一p)n-k.
(B)C n k p k(1一p)n-k.
(C)C n-1k-1p k(1一p)n-k.
(D)C n-1k-1p k-1(1一p)n-k.
9 下列函数中是某一随机变量的分布函数的是
10 设随机变量X的概率密度为f(x),则下列函数中一定可以作为概率密度的是(A)f(2x).
(B)2f(x).
(C)|f(-x)|.
(D)f(|x|).
二、填空题
11 已知.则X=_________.
12 设随机事件A,B满足条件A∪C=B∪C和C一A=C—B,则
13 在一个盒子中放有10个乒乓球,其中8个是新球,2个是用过的球.在第一次比赛时,从该盒子中任取2个乒乓球,比赛后仍放回盒子中.在第二次比赛时从这个盒子中任取3个乒乓球,则第二次取出的都是新球的概率为_____.
14 某人衣袋中有两枚硬币,一枚是均匀的,另一枚两面都是正面.
(I)如果他随机取一枚抛出,结果出现正面,则该枚硬币是均匀的概率为
_______;
(Ⅱ)如果他将这枚硬币又抛一次,又出现正面,则该枚硬币是均匀的概率为
_______.
15 对同一目标接连进行3次独立重复射击,假设至少命中目标一次的概率为7/8,则单次射击命中目标的概率P=_______.
16 设随机事件A与B互不相容,且A=B,则P(A)=______.
17 重复独立掷两个均匀的骰子,则两个骰子的点数之和为4的结果出现在它们点数之和为7的结果之前的概率为_____.
18 若在区间(0,1)上随机地取两个数u,v,则关于x的一元二次方程x2一
2vx+u=0有实根的概率是_______.
19 设A、B是两个随机事件,且
=______
20 已知X,Y为随机变量且P{X≥0,Y≥0}=.{P{X≥0}=P{Y≥0}=设
A={max(X,Y)≥0},B={max(X,Y)<0,min(X,Y)<0},C={max(X,Y)≥0,min(X,Y)<0},则P(A)=_____,P(B)=______,P(C)=______.
21 设有某种零件共100个,其中10个是次品,其余为合格品.现在从这些零件中不放回抽样,每次抽取一个零件,如果取出一个合格品就不再取下去,则在三次内取到合格品的概率为______。
22 甲、乙二人轮流投篮,游戏规则规定为甲先开始,且甲每轮只投一次,而乙每轮连续投两次,先投中者为胜.设甲、乙每次投篮的命中率分别是P与0.5,则p=_______时,甲、乙胜负概率相同.
23 抛掷一枚匀称的硬币,设随机变量X=则随机变量X在区间
上取值的概率为______.
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
24 抛掷两枚骰子,在第一枚骰子出现的点数能够被3整除的条件下,求两枚骰子出现的点数之和大于8的概率.
25 在区间(0,1)中任取两数,求这两数乘积大于0.25的概率.
26 已知P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8,求P(A∪B)和
27 一条自动生产线连续生产n件产品不出故障的概率为,n=0,1,2,….假设产品的优质品率为p(0<p<1).如果各件产品是否为优质品相互独立.(I)计算生产线在两次故障间共生产k件(k=0,1,2,…)优质品的概率;(Ⅱ)若已知在某两次故障间该生产线生产了k件优质品,求它共生产m件产品的概率.
28 设平面区域D是由坐标为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)的四个点围成的正方形.今向D内随机地投入10个点,求这10个点中至少有2个点落在曲线y=x2与直线y=x所围成的区域D1内的概率.
29 设随机变量X的分布律为求X的分布函数F(x),并利用分布函数求P{2<X≤6},P{X<4},P{1≤X<5}.
30 设随机变量X的概率密度为f(x)=试求:(I)常数C;(Ⅱ)概率
;(Ⅲ)X的分布函数.
31 设随机变量X的分布函数为求P{0.4<
X≤1.3},P{X>0.5},P{1.7<X≤2}以及概率密度f(x).。