初三创新班数学提优专题1

实验中学初三数学提优（5）---利用隐圆解决问题

模型一定点加定长.

基本策略:找定点,作圆心;求定长,作半径.

例题：

例1：如图，OA⊥OB，垂足为O，P、Q分别是

射线OA、OB上的两个动点，点C是线段PQ的中

点，且PQ＝4．则动点C运动形成的路径长是．

例2如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是.例3如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝23°，则∠CAD=_______

应用：如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，连接BD，则BD＝．

模型二定边对直角

模型构建：已知AB为定边，平面内动点P满足∠APB=90°,则P点的轨迹是以AB为直径的圆（A,B除外）

基本策略：见直角找斜边（定长）想直径定外心现“圆”形。

°，

连接BH，点C在移动的过程中，B H的最小值是（）A．5B．6C．7D．8

变式1：（2018秋北仑区期末）如图，已知点C是以AB为直径的半圆的中点，D为弧AC

上任意一点，过点C作CE⊥BD于点E，连接AE，若AB＝4，则AE的最小值为_______

变式2：（2018秋海曙区期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为弧AB中点，点

P是⊙O上一个动点，取弦AP的中点D，则CD的最大值为_______________．

模型三定边对定角

模型建构：已知AB为定边，平面内动点P满足∠APB=ａ，

则点P的轨迹是以AB为弦，ａ为圆周角的双弧。

基本策略：见定角→找对边（定长）→想周角→转心角→现“圆”形.

例题

例1如图,边长为3的等边△ABC,D、E分别为边BC、AC上的点,且

BD＝CE,AD、BE交于P点,则CP的最小值为_______

应用（1）如图，∠XOY=45°，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB=2，那么OC的最大值为__________.

（2）如图，已知矩形ABCD，点P为线段AD上任意一点。若∠BPC=60°，请在下图中用尺规作图画出符合要求的点P.

巩固训练

1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝2．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC＝∠PCB，则线段BP长的最小值是_________

2、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则A'C长度的最小值是______.

3、在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，点P是同一平面内的一个动点，且满足

∠BPC＝90°，连接AP，线段AP的最小值=________.最大值=________

4、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一个动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值是_________．

第1题第2题第3题第4题

5在平面直角坐标系中，A（3，0）、B（a，2）、C（0，m），D（n，0），且m2+n2＝4，若E 为CD中点．则AB+BE的最小值为________

6、如图，⊙O的半径为2，弦AB＝2，点P为优弧AB上一动点，∠PAC＝60°，交直线PB 于点C，则△ABC的最大面积是_______

7如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°AC＝6，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距

离的最小值是_______

8如图，等边三角形ABC中，AB＝6，动点E从点B出发向点C运动，同时动点F从点C

出发向点A运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AE、BF相交于点P，点H是线段BC上的中点，则线段PH的最小值为．

9、如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一动点P．过P作PH⊥OA于H，设I为△OPH的内心，当点P从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为_______．

第6题第7题第8题第9题

10、问题提出：如图，已知：线段AB，试在平面内找到符合条件的所有点C，使∠ACB

＝30°．（利用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）．

自主探索：在平面直角坐标系中，已知点A（3，0）、B（﹣1，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA＝45°时，点C的坐标为．

11、已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m﹣5，2）．（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OPA ＝90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值．