自动控制原理部分题解

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4-14 设单位反馈系统开环传递函数为 K1 G( s) H ( s) s( s 2)(s 5)
试绘制根轨迹，求： (1).系统出现等幅振荡时的振荡角频率与K1值？ (2).系统出现一对复数主导极点使阻尼比等于某值 时的闭环复数根为-0.7j1.3， (a).系统单位阶跃响应 的振荡角频率为多少？ (b).在这种情况下，当输入信 号为r(t)=2t时其稳态误差ess=？ 解：（1） D(s) s 3 7s 2 10s K1 0
则开环传递函数
K ( s 1) G( s) 2 s ( s 9)
9
-4
-3
1
18
4-12 已知负反馈控制系统的开环传递函数为 K1 ( s 3) G( s) H ( s) ( s 1)(s 5)(s 15)
(1).绘制系统的根轨迹图。 (2).确定使闭环传递函数具有阶跃响应超调量为 16.3%的K1值。 21 (3) 解：（1）渐近线参数 a a 9
n-m=2,两条渐近线，其参数为 a a 0
A' (s) B(s) B ' (s) A(s) 0
2
j
s 10s 25s 15 0
3 2
-5
-3
-2
0

用试探法求出会合点约为-0.9 闭环特征方程如下，当K10时稳定。
s 3 5s 2 (6 K1 )s 5K1 0
j
sd2
-3
-2 -1
sd1
0
13

4-8 负反馈系统的开环传递函数为 K1 G( s) H ( s) s(s 1) 2 （1）绘制系统的根轨迹图。 （2）求根轨迹在实轴上的分离点和相应的K1值。 解：（1）作出根轨迹如下 2 1 其中S d 1 0.33 K1 0.33 0.67 0.15 3 sd1 Sd 2 1 K1 0 sd2
(1) K1 ( s 5) G( s) s ( s 2)(s 3)
K1 ( s 20) (2) G( s) s( s 10 10 j )(s 10 10 j )
解：建立复平面坐标，标注出开环零极点。
4
(1)
K1 ( s 5) G( s) s ( s 2)(s 3)
d1
sin
1

55.6
8 34.4 5
cos34.4 0.825
P（-3.4，2.332）
可求出P点坐标
j
8
sd2
-5

-3
sd1
-1 0

10
据 K1
s p
j 1 i 1 m
n
i

AP BP CP
s zj
3.35 2.37 2.8 2.83
-1
j
0

14
4-9 系统的开环传递函数为：
K1 G( s) H ( s) 2 s (s 1) 画出该系统的根轨迹图,说明不论系数K1为何值时,系 统均不稳定,利用根轨迹图说明在负实轴上增加一个 零点,将开环传递函数改为 K1 ( s a) G( s) H ( s) 2 (0<a<1) s ( s 1) 则可以使系统稳定。
闭环特征方程如下，当K10时稳定。
s 3 20s 2 (20 K1 )s 20K1 0
6
4-5 单位反馈系统的开环传递函数为
K1 G( s) s( s 2)(s 7)
试绘制系统的根轨迹图,并确定使系统稳定的根轨迹增 益K1的取值范围。 j (2k 1) 和 解：（1）渐近线参数 a
(4 K1 )s 3 5K1 0 将s=+j代入
Re[] 2 2 (4 K1 ) 3 5K1 0
Im[] (2 4 K1 ) 0

2 （ 5） 2 8
所以根轨迹是复平面内圆心为（-5,0），半径为
8 的圆
8
K 1.22
r (t ) bt 2t
essr
b 2 1.64 (I型系统 ) K 1.22 23
4-16 单位负反馈控制系统的开环传递函数为 ( s a) / 4 G( s) 2 s ( s 1) 作以a为参变量的根轨迹(0<a<)。
系统等效开环传函
s[2s 2 (a 3)s 2a] 0
s1 0 (舍去)
2 (a 3) (a 3) 2 16a 令 (a 3) 16a s 2, 3 4 a 9 s 2,3 3 据条件有：
0
a 9,
a 1(零极点对消 , 舍去) 17
4-6 控制系统的开环传递函数为 K1 ( s 5) G( s) ( s 1)(s 3)
（1）试证明其闭环根轨迹的一部分是一个圆。 （2）画出根轨迹。 （3）确定最小的阻尼比及相应的K1值。 解：（1）设复平面根轨迹上的某点 s=+j代入 相角方程或闭环特征方程进行证明：
特征方程： s2
利用向量模长求长度
（- 3.4,2.332 ） P
K1 ( s 5) G( s) ( s 1)( s 3)
j
sd2
-5 C

-3 B

sd1
-1 A 0

11
4-7 已知系统的开环传递函数为
K1 ( s 2)(s 3) G( s) s( s 1)
试作根轨迹,并分析K1取值不同时,系统的阶跃响应特性。 解：作出根轨迹如下。 用分离点公式和幅值方程求得
sd1
1 6
j
sd 2 0.5
sd2 sd1
-0.5 0

25
-5 -2
-s2
sd1

0

sd1 0.88 s d2 -3.7( 舍去)
s1 0.7 j1.3
1.3 tg 61.7 0.7
1
22
(a)
cos cos61.7 0.474

此时振荡角频率
d 1.3 rad / s
K1 s1 s1 2 s1 5
解：系统闭环特征方程为
s s 0.25s 0.25a 0
3 2
'
0.25a 1 3 0 2 s s 0.25 s
K1 0.25a G ( s) 3 2 s s 0.25s s( s 0.5) 2
作出a从0变化时的根迹图如下
24
由分离点公式求得
K1 G( s) H ( s) s( s 2)( s 5)
0.7 j1.3 0.7 2 j1.3 0.7 5 j1.3 12.2 (b)在这种情况下，系统对应的开环传函为
12.2 1.22 GK s( s 2)(s 5) s(0.5s 1)(0.2s 1)
为了方便答疑和交流想法 群号：397523749
希望对大家有所帮助！
1
第4章 习题解
4-1 开环零、极点如图E4-1所示,试绘制出相应 的概略根轨迹图。
j j j
0
0
0
（a）
（b）
（ c）
2
j
j
j
0
0
0
（d）
（ e）
图E4-1
（ f）
3
4-2 单位反馈控制系统开环传递函数如下,试画 出相应的闭环根轨迹图。
2 2
（2）分离点
A' (s) B(s) B ' (s) A(s) 0 sd 9.55
（3）绘制概略的根迹图如下
% e


1 2
% 16.5%
0.5 6019
S 9 j15.6
G ( s ) H ( s ) s 9 j15.6 111 117.15 104.4 69
（2）画出根轨迹如下 其中 sd1 2.17
K1 0.343 K1 11.7
K1 ( s 5) G( s) ( s 1)( s 3)
sd 2 7.83
j
sd2
-5
sd1
-3 -1
0

9
（3）过坐标原点作圆的切线交于点P，切线即为最 小阻尼比线。 s 2.17
解：原系统闭环特征方程为
s 3 s 2 ຫໍສະໝຸດ BaiduK1 0
缺项，所以系统不稳定，其根轨迹如下图(A)所示
15
当附加开环零点-a (o<a<1)后,系统根迹如 图（B）所示，由于有条根迹起于-1开环 极点，终于-a开环零点，向右运动。因此， 在n-m2情况下， 另两条必向复平面左 方向运动，在K0时 三条根迹均在左半s 平面，所以系统稳定。
180 179.55
S
j

满足相角方程，所以s点可近似为 与根轨迹的交点 -15 用幅值条件或特征方程都 可以求解 K1 将s代入幅值方程,得

-9 -5 -3 -1 0
sd

K1
s 1 s 5 s 15 s3
282
G( s) H ( s) K1 ( s 3) ( s 1)( s 5)( s 15)
系统要稳定，则 K1 0且K1 7 10
21
当K1 7 10时系统处于临界稳定
此时 D(s) s 3 7s 2 10s 70 (s 2 10)(s 7) 0 对应的3个闭环特征根分别为
s1, 2 j 10
s3 7
-s1
j
故等幅振荡角频率 d n 10 3.16 （2）由分离点公式求得
1 图（A）
j
0

j
1 a
0
16

图（B）
4-11 已知系统特征方程：
s as Ks K 0
3 2
试确定使根轨迹上仅有一个非零值分离点的a值。 解：系统闭环特征方程变形为
K ( s 1) 1 3 0 2 s as
开环传函
据 A' (s) B(s) B' (s) A(s) 0 得
5
K1 ( s 20) (2) G( s) s( s 10 10 j )(s 10 10 j )
n-m=2,两条渐近线，其参数为
a
2
j
-p2
10 -p1
a 0
出射角
-20 -p3
-10
0
-10

p 2 180 (45 90 135 ) 0
sd1 0.634 K11 0.07 sd 2 2.4 K12 13.9
j
sd2 sd1
-2 -1 K11 0
12
（1）当K1K11或 K1K12时，系统有两 个不相等的负实根， 1，阶跃响应是单 调收敛的。
-3 K12

（2）当K11 K1 K12时， 0 1，系统有一对负 实部的共轭复数根，阶跃响应是振荡收敛的。 （3）当K1=K11或K1 = K12 时，系统有两个相等的实 根， = 1，阶跃响应是单调收敛的，即无超调也无 振荡。
nm 3
（2）由分离点公式求得 ( pi ) ( z j ) a 3 nm sd1 0.93
sd 2 5.08(舍去)
（3）闭环特征方程
3 2
-7
-2
0

7
若以s=j代入，可求出 与虚轴的交点
s 9s 14s K1 0 0 K1 126