专题七第1讲

第1讲函数与方程思想、数形结合思想

高考定位函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形结合思想一般在填空题中考查.

1.函数与方程思想的含义

(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.

(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.

2.函数与方程的思想在解题中的应用

(1)函数与不等式的相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.

(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.

(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.

3.数形结合是一种数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；

②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.

4.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.数学中的知识，有

的本身就可以看作是数形的结合.

热点一 函数与方程思想的应用

[应用1] 不等式问题中的函数(方程)法

【例1－1】 (1)f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1，1]，总有f (x )≥0成立，则a ＝________.

(2)设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )＜0的解集是________.

解析 (1)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；

当x ＞0即x ∈(0，1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为

a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3（1－2x ）x 4

， 所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12＝4，从而a ≥4.

当x ＜0即x ∈[－1，0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，设g (x )＝3x 2－1x 3，

且g (x )在区间[－1，0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4.

(2)设F (x )＝f (x )g (x )，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函

数和偶函数，得F (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，即

F (x )在R 上为奇函数.

又当x ＜0时，F ′(x )＝f ′(x )·g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，

所以x ＜0时，F (x )为增函数.

因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x ＞0时，F (x )也是增函数. 因为F (－3)＝f (－3)g (－3)＝0＝－F (3).

所以，由图可知F (x )＜0的解集是(－∞，－3)∪(0，3).

答案 (1)4 (2)(－∞，－3)∪(0，3)

探究提高 (1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f (x )＞0或f (x )＜0恒成立，一般可转化为f (x )min ＞0或f (x )max ＜0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用

函数值域求解.

[应用2] 数列问题的函数(方程)法

【例1－2】 已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋p ·3n (n ∈N *，p 为常数)，a 1，a 2＋6，a 3成等差数列.

(1)求p 的值及数列{a n }的通项公式；

(2)设数列{b n }满足b n ＝n 2a n

，证明：b n ≤49. (1)解 由a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋p ·3n ，

得a 2＝3＋3p ，a 3＝a 2＋9p ＝3＋12p .

因为a 1，a 2＋6，a 3成等差数列，

所以a 1＋a 3＝2(a 2＋6)，

即3＋3＋12p ＝2(3＋3p ＋6)，

得p ＝2，依题意知，a n ＋1＝a n ＋2×3n .

当n ≥2时，a 2－a 1＝2×31，

a 3－a 2＝2×32，…，

a n －a n －1＝2×3n －1.

将以上式子相加得a n －a 1＝2(31＋32＋…＋3n －

1)， 所以a n －a 1＝2×3×（1－3n －1）1－3

＝3n －3， 所以a n ＝3n (n ≥2).

又a 1＝3符合上式，故a n ＝3n .

(2)证明 因为a n ＝3n

，所以b n ＝n 2

3n . 所以b n ＋1－b n ＝（n ＋1）23n ＋1－n 23n ＝－2n 2＋2n ＋13

n ＋1(n ∈N *)， 若－2n 2＋2n ＋1＜0，则n ＞1＋3

2，

即当n ≥2时，有b n ＋1＜b n ，

又因为b 1＝13，b 2＝49，故b n ≤49.

探究提高 数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型：