专题七第1讲几何证明选讲
722-几何证明选讲-复习课一 共14页
相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于 __相__似_比__的__平__方_________；
4. 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是 __两__直__角__边_在__斜__边__上__射_影____的比例中项；
如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四 个顶点____共__圆____；
如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么 这个四边形的四个顶点____共__圆___。
7.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的_半径。
推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_切__点_；经 过切点且垂直于切线的直线必经过_圆__心___。
EF交BD于G，交AC于H。若AD=5，BC=7，则GH=____1_______.
3. 如图，在△ABC中，AB=AC=8，D是AC边上的一点，
BD=BC= 4 3 。则AD=_____2___
4.如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D。AD=2， AC= 2 5 则AB=__1_0____,CD=_.__4____. 5.（2019深圳一模文）如图， A B
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径 的直线是圆的__切__线______。
8.相交弦定理：圆内两条相交弦，被__交_点__分__成_的两条线段长 的积相等。
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线， _这__一__点_到__每__条__割__线_与圆的交点 的两条线段长的 积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切 线长是____这_点__到__割__线__与_圆__交__点__的__两_条__线__段__长___ 的比例中项。
高三数学二轮复习 第一编 专题整合突破 7.1几何证明选讲课件 理(选修4-1)
6．圆内接四边形的性质与判定定理
(1)性质 定理 1：圆的内接四边形的对角 互补． 定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的 对角．
(2)判定 定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点 共圆．
推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
7．圆的切线的性质及判定定理 (1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 半径． 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过 切点． 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过 圆心． (2)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 切线．
①求证：BE·CD＝BD·CE； ②求证：FG∥AC. [证明] ①由已知得∠ABD＝∠AEB，而∠BAD＝∠EAB， 所以△ABD∽△AEB， 所以BBDE＝AABE＝AADB，又 AB＝AC， 所以 BD·AE＝AB·BE，① 且AACE＝AADC，所以∠CAD＝∠EAC，所以△ADC∽△ACE，
第一编 专题整合突破
大二轮·理
专题七 选修4－1、4－4、4－5
第一讲 几何证明选讲(选修4－1)
命题全解密 MINGTIQUANJIEMI
1.命题点 定理．
2.交汇点 3.常用方法 问题的方法.
平行线分线段成比例定理，三角形的相似与性质，圆内接四边形的性质与判定，切割线
有时与函数和三角函数交汇考查． 利用三角形相似证明比例线段、角度相等的方法，利用相交弦定理、切割线定理证明
8．弦切角的性质
定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
9．与圆有关的比例线段 (1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的 积 相等． (2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的 积 相等． (3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
几何证明选讲
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专题七
选考部分
5．圆的切线的判定及性质 (1)圆的切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线． (2)圆的切线的性质定理 ①圆的切线垂直于经过切点的半径； ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． (3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
(2014· 高考课标全国卷Ⅱ)如图， P 是⊙ O 外一点， PA 是切 线， A 为切点，割线 PBC 与⊙O 相交于点 B， C， PC＝2PA， D 为 PC 的中点， AD 的延长线交⊙ O 于点 E.证明： (1)BE＝ EC； (2)AD· DE＝ 2PB2.
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4．圆内接四边形的性质定理与判定定理 (1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的 四个顶点共圆． 推论： 如果四边形的一个外角等性质定理：①圆的内接四边形的对角互补；②圆内接四边形 的外角等于它的内角的对角．
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(2015· 高考陕西卷)如图， AB 切⊙ O 于点 B， 直线 AO 交⊙O 于 D， E 两点，BC⊥DE，垂足为 C. (1)证明：∠ CBD＝∠DBA； (2)若 AD＝ 3DC，BC＝ 2，求⊙ O 的直径．
解：(1)证明：因为 DE 为⊙ O 直径， 所以∠ BED＋∠ EDB＝ 90° . 又 BC⊥ DE，所以∠ CBD＋∠ EDB＝ 90°， 从而∠ CBD＝∠ BED. 又 AB 切⊙ O 于点 B，得∠ DBA＝∠ BED， 所以∠ CBD＝∠ DBA.
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3．(2011·广州测试(一))如图所示，CD 是圆 O 的切线，切点为 C，点 A、B 在圆 O 上， BC＝1，∠BCD＝30°，则圆 O 的面积为________． 解析 连接 OC，OB，依题意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝ 60°，又 OB＝OC， 因此△BOC 是等边三角形， OB＝OC＝BC＝1，即圆 O 的半径为 1， 所以圆 O 的面积为 π×12＝π. 答案 π
m
(2)有 EF 使分得的上下两个梯形相似？若有则相似比 n 的值为
多少？
解析（1）法一、由 AE m，设AE=mx,
EB=nx,又 PA
a
EB n
，所以
AB b a
a
PA a PA a(m n)x
mx
(m n)x b a
b a nx
所以
b
PE PB
EF b
②切线的判定定理
过半径外端且与这条半径 垂直 的直线是圆的切线．
(3)切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线长 相等 ．
4．弦切角 (1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切 ，另一边与圆相交的角． (2)弦切角定理及推论 ①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的 一半．
②推论：同弧(或等弧)上的弦切角 相等 ，同弧(或等弧)上的弦 切角与圆周角 相等 ．
割线定 理
(1)求PA、PB、PC、
PA·PB=PC·PD
PD、AB、CD
(2)应用相似求AC、
BD
例题
1．如图所示，△ABC 中，∠C＝90°， AB＝10，AC＝6，以 AC 为直径的圆 与斜边交于点 P，则 BP 长为________． 解析 连接 CP.由推论 2 知∠CPA＝90°，即 CP⊥AB，由射影
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几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质:1．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1：经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边。
推论2：经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰.2。
平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线),所得的对应线段成比例。
3．相似三角形的判定及性质：相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数）。
预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
相似三角形判定定理：1).两角对应相等，三角形相似.2）。
两边对应成比例且夹角相等，三角形相似.3）。
三边对应成比例，三角形相似。
直角三角形相似判定定理：1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，则它们相似。
2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,则它们相似。
3）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例,则它们相似。
4）直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。
相似三角形的性质：1)相似三角形的对应角相等。
2)相似三角形的对应边成比例。
3）相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.4）相似三角形的周长比等于相似比.5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.6）相似三角形外接圆的的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。
4。
直角三角形的射影定理:在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项，每一条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项.Rt△ABC ，∠C=900，AD⊥CDBC2=AB·BD CD2=AD·BD CA2=AD·AB第二讲直线与圆的位置关系1圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
几何证明选讲专题 人教课标版精品公开PPT课件
B
解：因为，AOC 100o,
O A
所以BOC180o-100o 80o.
C
所以D 1BOC=180o 40o.
2
2
14
例8(2008广州模拟)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BC是直径，MN切⊙O 于A,MAB25o，则ADC 1 1 5 o ．
思路分析解：连接DB. M A
因为BC为直径,
C F
A
D
O
E B
Ж 解 析连 接 OB， OC， 则 ABAC
102-62 8． 由 切 线 长 定 理 ， 得 EDEB， FDFC， AEF的 周 长 是 ２ ８16．
例 16等 腰 梯 形 ABCD 的 腰 AD 的 长 为 3， e O 为 其 内
切 圆 ， 则 梯 形 ABCD 的 的 中 位 线 的 长 是 （ B ）
6
教学目标（1）
通过选择题和填空题的练习，提高单 位时间内信息的输入和输出量,使主导作用 和主体作用得到充分的发挥,使学生进一 步感受、体会选择题的应试策略和填空题 的解题技巧，逐步培养学生灵活应变的能 力,落实双基.
例 1 (2008广 东 ） 已 知 P A 是 圆 O 的 切 线 ， 切 点 为 A ， P A2, A C 是 圆 O 的 直 径 ， P C 与 圆 O 相 交 于 点 B ， P B1 ,则 圆 O 的 半 径 R （ 3 ）
4—1
几何证明选讲
———专题讲座
1
考试内容与要求
•理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定 理． 掌握以下定理的证明： （1）直角三角形射影定理； （2）圆周角定理； （3）圆的切线判定定理与性质定理； （4）相交弦定理； （5）圆内接四边形的性质定理与判定定理； （6）切割线定理.
高考数学二轮复习 专题七第一讲几何证明选讲 理
第一讲 几何证明选讲1.如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________.2．(2013·高考北京卷)如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若PA ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________，AB ＝________.3．(2013·深圳市调研考试)如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥BC ，垂足为F ，若AB ＝6，CF ·CB ＝5，则AE ＝________．4．(2013·惠州市调研考试)如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°得到OD ，则PD 的长为________．5．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．6.(2012·高考陕西卷)如图所示，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝________．7．(2013·高考湖北卷)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ，若AB ＝3AD ，则CE EO的值为________．8.(2013·高考广东卷)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上．延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝________．9．如图，AB 为半圆的直径，DE 为半圆的一条切线，点C 为切点，AD ⊥DE 于D ，BE ⊥DE 于E 交半圆于F ，若AD ＝3，BE ＝7，那么线段DE 的长为________．10．如图，AB 、AC 是圆O 的两条弦，过点C 作圆O 的切线与BA 的延长线相交于D ，且CA 平分∠BCD ，DE 垂直于CA 的延长线于E ，则CE ∶BD ＝________．11．已知：如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A 、B 两点且与直径CT 交于点D .CD ＝2，AD ＝3，BD ＝6，则PB ＝________．12．如图，△ABC 中，D 是AB 的一个三等分点，DE ∥BC ，EF ∥DC ，AF ＝2，则AB ＝________．13．如图，AD 、CE 分别是△ABC 的两条高，若AC ＝10，sin B ＝45，则DE ＝________．14．在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N .若AC ＝12AB ，则BN AM＝________．答案：1．【解析】如图，连接BD ，DE ，由题意知DE ⊥AB ，DE ＝32a ，即BC ＝DE ＝32a ， ∴BD ＝（a 2）2＋（32a ）2＝a ， ∴EF ＝12BD ＝a2.【答案】a22．【解析】由于PD ∶DB ＝9∶16，设PD ＝9a ，则DB ＝16a .根据切割线定理有PA 2＝PD ·PB .又PA ＝3，PB ＝25a ，∴9＝9a ·25a ，∴a ＝15，∴PD ＝95，PB ＝5.在Rt △PAB 中，AB 2＝PB 2－AP 2＝25－9＝16， 故AB ＝4.【答案】9543．【解析】设AE ＝x ，则EB ＝6－x ，在Rt △CEB 中，EF ⊥BC ，∴CE 2＝CF ·CB ＝5.又易知CE ＝ED ，由相交弦定理得AE ·EB ＝CE ·ED ＝CE 2＝5，即x (6－x )＝5，得x ＝1.【答案】1 4．【解析】∵PA 切⊙O 于点A ，B 为PO 的中点，∴∠AOB ＝60°，∴∠POD ＝120°.在△POD 中，由余弦定理，得PD 2＝PO 2＋DO 2－2PO ·DO ·cos ∠POD ＝4＋1－4×(－12)＝7，故PD ＝7.【答案】7 5．【解析】设BE ＝a ， 则AF ＝4a ，FB ＝2a .∵AF ·FB ＝DF ·FC ，∴8a 2＝2，∴a ＝12，∴AF ＝2，FB ＝1，BE ＝12，∴AE ＝72.又∵CE 为圆的切线，∴CE 2＝EB ·EA ＝12×72＝74，∴CE ＝72. 【答案】726．【解析】由题意知，AB ＝6，AE ＝1，∴BE ＝5.∴CE ·DE ＝DE 2＝AE ·BE ＝5. 在Rt △DEB 中，∵EF ⊥DB ，∴由射影定理得DF ·DB ＝DE 2＝5. 【答案】57．【解析】设圆O 的直径AB ＝2R ，则AD ＝2R 3，DO ＝R 3，DB ＝4R 3.由相交弦定理，得CD2＝AD ·DB ，所以CD ＝223R .在Rt △CDO 中，CO ＝R ，由射影定理可得EO ＝DO 2CO ＝R 9，于是CE ＝R －R 9＝8R 9，故CEEO＝8.【答案】88．【解析】法一：因为AB 为圆O 的直径，所以AC ⊥BC .又BC ＝CD ，所以△ABD 是等腰三角形，所以AD ＝AB ＝6，∠DAC ＝∠BAC .因为CE 切圆O 于点C ，所以∠ECA ＝∠ABC .又因为∠BAC ＋∠ABC ＝90°，所以∠DAC ＋∠ECA ＝90°，故CE ⊥AD .故CD 2＝DE ·DA ＝2×6＝12，所以BC ＝CD ＝2 3.法二：如图，连接OC ，因为BO ＝OA ，BC ＝CD ，所以OC ∥AD .又因为CE 切圆O 于点C ，所以OC ⊥CE ，所以AD ⊥CE .因为AB 为圆O 的直径，所以AC ⊥BD .又BC ＝CD ，所以△ABD 是等腰三角形，故∠ADB ＝∠ABD ，所以△ABC ∽△CDE ，则AB BC ＝CD DE，所以BC ·CD ＝AB ·DE ，即BC 2＝AB ·DE ＝6×2＝12，BC ＝2 3.【答案】2 3 9.【解析】连接OC，则OC ⊥DE ，得OC 是梯形ABED 的中位线，所以OC ＝12(AD ＋BE )＝5，而AB ＝2OC ＝10，连接AF ，则∠AFB ＝90°，由四边形AFED 为矩形， 得EF ＝3，由BE ＝7，得BF ＝4，于是DE ＝AF ＝AB 2－BF 2＝102－42＝221. 【答案】221 10.【解析】如图，作△CDE 关于DE 的对称的△FDE 得∠FCD ＝∠CFD ， 又∠FCD ＝∠FCB ，得∠FCB ＝∠CFD ⇒CB ∥DF ，那么∠CBD ＝∠FDA ＝∠FCD ，又∠FCD ＝∠CBD ， 因此∠CFD ＝∠FDA ⇒AF ＝AD ，于是BD ＝BA ＋AD ＝CA ＋AF ＝CF ＝2CE ⇒CE ∶BD ＝1∶2. 【答案】1∶2 11．【解析】由于AD ·BD ＝CD ·TD ，得TD ＝9又由⎩⎪⎨⎪⎧PT 2＝PD 2－TD 2PT 2＝PB ·PA ⇒PB (PB ＋9)＝(PB ＋6)2－92⇒PB ＝15.【答案】1512．【解析】由⎭⎪⎬⎪⎫DE ∥BC ⇒AB AD ＝ACAEEF ∥DC ⇒AD AF ＝ACAE ⇒AB AD ＝ADAF ⇒AD 2＝AB ·AF ， 设BD ＝x ，则AD ＝2x ，AB ＝3x ，而AF ＝2，∴4x 2＝6x ，∴x ＝32，AB ＝92.【答案】9213．【解析】∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴D 、E 都在以AC 为直径的圆上，即A 、E 、D 、C 四点共圆，∴∠BED ＝∠ACB ，又∠DBE ＝∠ABC ，∴△BDE ∽△BAC ，DE AC ＝BD AB ＝cos B ＝35(B 为锐角)，∴DE ＝35AC ＝6.【答案】6 14.【解析】如图，在△ABC 中，因为CM 是∠ACM 的平分线，所以AC BC ＝AM BM ，又已知AC ＝12AB ，所以AB BC＝2AMBM…①又因为BA 与BC 是圆O 过同一点B 的弦， 所以BM ·BA ＝BN ·BC ， 即BA BC ＝BNBM…②由①、②可知，2AM BM ＝BN BM ⇒BNAM＝2.【答案】2。
第一章几何证明选讲
(1)证明：由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD. 因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角， 所以∠AEB＝∠ACD. 故△ABE∽△ADC. (2)解：因为△ABE∽△ADC， 所以AAEB＝AADC，即AB·AC＝AD·AE. 又S△ABC＝12AB·ACsin∠BAC，且S△ABC＝12AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝ AD·AE. 则sin∠BAC＝1， 又∠BAC为三角形内角， 所以∠BAC＝90°.
1．圆周角定理 (1)圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 __一__半___． (2)圆心角定理 圆心角的度数等于 _它__所__对__弧__的__度__数____． 推论1 同弧或等弧所对的圆周角 ___相__等_____；同圆或等圆中，相等的圆周角 所对的弧也 ___相__等_____． 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是 ___直__角_____；90°的圆周角所对的弦是 ___直__径_____．
(2)两个直角三角形相似的判定 定理 ①如果两个直角三角形的一个锐角对应 ___相__等_____，那么它们相似． ②如果两个直角三角形的两条直角边对应 __成__比__例____，那么它们相似． ③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条 直角边对应 __成__比__例____，那么这两个直角三角形相似． (3)相似三角形的性质 性质定理 ①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等 于 __相__似__比____； ②相似三角形周长的比等于 __相__似__比____； ③相似三角形面积的比等于 __相__似__比__的__平__方___； ④相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似比，外接圆(或内切 圆)的面积比等于 __相__似__比__的__平__方___．
高考数学专题七第一讲几何证明选讲
2012·高考专题辅导与训练
第一部分
专题七
选修部分
理科
数学
3．(2011·陕西)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝ 90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.
解析 ∵AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90° ， ∴CD2＝AD2－AC2＝128，∴CD＝8 2. 又∵AE⊥BC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC， AB BE AB· CD 6×8 2 ∴AD＝CD，∴BE＝ AD ＝ 12 ＝4 2.
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解析 ∵AB 为圆 O 的直径，∴AC⊥CB. 又∵CD⊥AB， ∴AC2＝AD· AB，CD2＝AD· DB. AC2 52 故 AB＝ AD ＝ 1 ＝5， 而 BD＝AB－AD＝5－1＝4， 故 CD2＝AD· DB＝1×4＝4， ∴CD＝2.
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(2)相似三角形的性质 相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相 似比的 平方 ． (3)直角三角形射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上射 影与斜边的 乘积 ，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜 边上射影的 乘积 ．
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解析 ∵CF＝CE，BF＝BD，∴BC＝CE＋BD. ∴AB＋BC＋CA＝(AB＋BD)＋(AC＋CE)＝AD＋AE，故 结论①正确． 连接 DF，则∠FDA＝∠DGA. 又∵∠A＝∠A， AD AF ∴△ADF∽△AGD.∴AG＝AD. ∴AD2＝AF· AG.又 AE＝AD，∴AD· AE＝AF· AG. 故结论②正确，容易判断结论③不正确，故选 A.
马井堂-经典-专题七-第1讲几何证明选讲
专题七 选修系列4第1讲 几何证明选讲(推荐时间：60分钟)一、填空题1. (2011·陕西)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.2．(2011·湖南)如图，A ，E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，则AF 的长为________．二、解答题3.如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交AD 于点F ，∠ECA ＝∠D .求证：AC ·BE ＝CE ·AD .4．(2011·江苏)如图，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1>r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．5．如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a 2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，求EF 的长．6．如图所示，点P 是圆O 直径AB 延长线上的一点，PC 切圆O 于点C ，直线PQ 平分∠APC ，分别交AC 、BC 于点M 、N .求证：(1)CM ＝CN ；(2)MN 2＝2AM ·BN .7．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝AD .过A 点的切线交CB 的延长线于E点．求证：AB 2＝BE ·CD .8．如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，求PD 的长．9. 如图，已知△ABC 的两条角平分线AD 和CE 相交于点H ，∠ABC ＝60°，F 在AC 上，且AE ＝AF . 求证：(1)B 、D 、H 、E 四点共圆；(2)CE 平分∠DEF .10．如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连结FB ，FC .(1)求证：FB ＝FC ；(2)求证：FB 2＝FA ·FD ；(3)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝6 cm ，求AD 的长．答 案1．4 2 2. 2333．证明 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AF ∥BC ，所以CE BE ＝EF EA .又因为AE ∥CD ，所以△AFE ∽△DFC ，所以EA CD ＝EFCF ，即CF CD ＝EF EA ＝CE BE. 又因为∠ECA ＝∠D ，∠CAF ＝∠DAC ， 所以△AFC ∽△ACD ，所以AC AD ＝CF DC ， 所以AC AD ＝CE BE ，所以AC ·BE ＝CE ·AD .4. 证明 如图，连结AO 1并延长，分别交两圆于点E 和点D .连结BD ，CE .因为圆O 1与圆O 2内切于点A ，所以点O 2在AD 上，故AD ，AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径．从而∠ABD ＝∠ACE ＝π2. 所以BD ∥CE ，于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1r 2. 所以AB ∶AC 为定值．5．解 连结DE ，由于E 是AB 的中点，故BE ＝a 2.又CD ＝a 2，AB ∥DC ，CB ⊥AB ， ∴四边形EBCD 是矩形．在Rt△AED 中，AD ＝a ，F 是AD 的中点，故EF ＝a 2. 6．证明 (1)∵PC 切圆O 于点C ，∴∠PCB ＝∠PAC ，又∵∠CPM ＝∠APM ，∴∠CNM ＝∠CPM ＋∠PCB ＝∠APM ＋∠PAM ＝∠CMN ，∴CM ＝CN .(2)∵∠CPN ＝∠APM ，∠PCN ＝∠PAM ， ∴△PCN ∽△PAM ，∴PC PA ＝CN AM，①同理△PNB ∽△PMC ，∴PB PC ＝BN CM .② 又∵PC 2＝PA ·PB ，③由①②③可知CM ·CN ＝AM ·BN ，∵CM ＝CN ，∴CM 2＝AM ·BN .∵AB 是圆O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∴MN 2＝2CM 2，即MN 2＝2AM ·BN .7．证明 连结AC .∵EA 切⊙O 于A ，∴∠EAB ＝∠ACB ，∵AB ＝AD ，∴∠ACD ＝∠ACB ，AB ＝AD .∴∠EAB ＝∠ACD .又四边形ABCD 内接于⊙O ，所以∠ABE ＝∠D .∴△ABE ∽△CDA .∴AB CD ＝BE DA，即AB ·DA ＝BE ·CD . ∴AB 2＝BE ·CD .8．解 方法一 连结AB ，∵PA 切⊙O 于点A ，B 为PO 中点，∴AB ＝OB ＝OA ，∴∠AOB ＝60°，∴∠POD ＝120°.在△POD 中，由余弦定理得PD 2＝PO 2＋DO 2－2PO ·DO ·cos∠POD ＝4＋1－4×(－12)＝7.∴PD ＝7. 方法二 过D 作DE ⊥PC ，垂足为E ，∴∠POD ＝120°，∴∠DOE ＝60°，可得OE ＝12，DE ＝32， 在Rt△PED 中， PD ＝PE 2＋DE 2＝254＋34＝7. 9．证明 (1)在△ABC 中，∵∠ABC ＝60°，∴∠BAC ＋∠BCA ＝120°.∵AD ，CE 分别是△ABC 的角平分线，∴∠HAC ＋∠HCA ＝60°，∴∠AHC ＝120°.∴∠EHD ＝∠AHC ＝120°.∴∠EBD ＋∠EHD ＝180°.∴B ，D ，H ，E 四点共圆．(2)连结BH ，则BH 为∠ABC 的平分线，∴∠EBH ＝∠HBD ＝30°.由(1)知B ，D ，H ，E 四点共圆，∴∠CED ＝∠HBD ＝30°，∠HDE ＝∠EBH ＝30°.∴∠HED ＝∠HDE ＝30°.∵AE ＝AF ，AD 平分∠BAC ，∴EF ⊥AD .∴∠CEF ＝30°.∴CE 平分∠DEF .10．(1)证明 因为AD 平分∠EAC ，所以∠EAD ＝∠DAC .因为四边形AFBC 内接于圆，所以∠DAC ＝∠FBC .因为∠EAD ＝∠FAB ＝∠FCB ，所以∠FBC ＝∠FCB ，所以FB ＝FC .(2)证明 因为∠FAB ＝∠FCB ＝∠FBC ，∠AFB ＝∠BFD ，所以△FBA ∽△FDB .所以FB FD ＝FA FB，所以FB 2＝FA ·FD .(3)解 因为AB 是圆的直径，所以∠ACB ＝90°.又∠EAC ＝120°，所以∠ABC ＝30°，∠DAC ＝12∠EAC ＝60°.因为BC ＝6， 所以AC ＝BC tan∠ABC ＝23，所以AD ＝ACcos∠DAC＝43(cm)．。