高考数学第3讲导数与函数的单调性极值最值问题

(2)g(x)＝f（x）x－－af（a）＝2（lnxx－－aln a），x∈(0，a)∪(a，＋∞).
g′(x)＝2x－x（a＋x－lnaa）－2 ln x＝2（1－x－ax＋a）ln2ax.
取c＝－1得h(x)＝2ln x－2x＋2，h(1)＝0， 则由(1)知，当x≠1时，h(x)<0，即1－x＋ln x<0. 故当 x∈(0，a)∪(a，＋∞)时，1－ax＋ln ax<0，从而 g′(x)<0. 所以g(x)在区间(0，a)，(a，＋∞)单调递减.
探究提高 1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解(证)不等式f′(x)>0或 f′(x)<0. 2.(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a， b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数 的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围. (2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证 解的两侧导数是否异号).
(2)f(x)≥12x3＋1 等价于12x3－ax2＋x＋1e－x≤1. 设函数 g(x)＝12x3－ax2＋x＋1e－x(x≥0)，则 g′(x)＝－12x3－ax2＋x＋1－32x2＋2ax－1e－x＝－12x[x2－(2a＋3)x＋4a＋2]e－x ＝－12x(x－2a－1)(x－2)e－x. ①若 2a＋1≤0，即 a≤－12，则当 x∈(0，2)时，g′(x)>0. 所以 g(x)在(0，2)单调递增，而 g(0)＝1，
＝1.
答案 1
3.(2020·新高考山东、海南卷)已知函数f(x)＝aex－1－ln x＋ln a.
(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若f(x)≥1，求a的取值范围. 解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－1－1x. (1)当a＝e时，f(x)＝ex－ln x＋1，f(1)＝e＋1，f′(1)＝e－1，曲线y＝f(x)在点(1，f(1)) 处的切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2. 直线 y＝(e－1)x＋2 在 x 轴，y 轴上的截距分别为e－－21，2. 因此所求三角形的面积 S＝12|x|·|y|＝12×2×e－2 1＝e－2 1.
A.y＝－2x－1
B.y＝－2x＋1
C.y＝2x－3
D.y＝2x＋1
解析 f(1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，
又f′(x)＝4x3－6x2，
所以切线的斜率k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2，
切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.
答案 B
2.(2020·全国Ⅲ卷)设函数 f(x)＝x＋ex a.若 f′(1)＝4e，则 a＝________. 解析 f′(x)＝ex（（xx＋＋aa－）12），可得 f′(1)＝（1＋aea）2＝4e，即（1＋aa）2＝14，解得 a
(2)当0＜a＜1时，f(1)＝a＋ln a＜1. 当 a＝1 时，f(x)＝ex－1－ln x，f′(x)＝ex－1－1x. 当x∈(0，1)时，f′(x)＜0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0. 所以当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝1，从而f(x)≥1. 当a＞1时，f(x)＝aex－1－ln x＋ln a＞ex－1－ln x≥1. 综上，a的取值范围是[1，＋∞).
【训练2】 (2020·百师联盟考试)已知函数f(x)＝axex－x2－2x. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当x＞0时，f(x)＞0，求正实数a的取值范围. 解 (1)f′(x)＝a(x＋1)ex－2x－2＝(x＋1)(aex－2). ①当a≤0时，由f′(x)＞0，得x＜－1；由f′(x)＜0，得x＞－1. ∴f(x)在(－∞，－1)上单调递增，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减. ②当a＝2e时，f′(x)≥0，即f(x)在R上单调递增，
(2)设切点坐标为(x0，y0)，因为 y＝ln x＋x＋1，所以 y′＝1x＋1，所以切线的斜率为x10 ＋1＝2，解得 x0＝1.所以 y0＝ln 1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)，所以切线方程为
y－2＝2(x－1)，即 2x－y＝0. 答案 (1)(e，1) (2)2x－y＝0
热点二 利用导数研究函数的单调性 角度1 讨论函数的单调性(区间) 【例2】 (2020·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝2ln x＋1.
4.(2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x. (1)当 a＝1 时，讨论 f(x)的单调性； (2)当 x≥0 时，f(x)≥12x3＋1，求 a 的取值范围. 解 (1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，x∈R，f′(x)＝ex＋2x－1. 故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0. 所以f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增.
探究提高 利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之 间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标.
【训练1】 (1)(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线 在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________. (2)(2020·全国Ⅰ卷)曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ________. 解析 (1)设 A(m，n)，则曲线 y＝ln x 在点 A 处的切线方程为 y－n＝m1 (x－m).又切线 过点(－e，－1)，所以有 n＋1＝m1 (m＋e).再由 n＝ln m，解得 m＝e，n＝1.故点 A 的 坐标为(e，1).
第3讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题
高考定位 利用导数研究函数的性质，能进行简单的计算，以含指数函数、对数 函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单的 问题.
真题感悟
1.(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )
热点一 导数的几何意义
【例1】 (1)(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋
b，则( )
A.a＝e，b＝－1
B.a＝e，b＝1
C.a＝e－1，b＝1
D.a＝e－1，b＝－1
(2)(多选题)下列四条曲线中，直线 y＝2x 与其相切的有( ) A.曲线 y＝2ex－2 B.曲线 y＝2sin x C.曲线 y＝3x＋1x D.曲线 y＝x3－x－2
角度 2 根据函数的单调性求参数的取值范围
【例 3】 (1)已知函数 f(x)＝12mx2＋ln x－2x 在定义域内是增函数，则实数 m 的取值范
围是( ) A.[－1，1]
B.[－1，＋∞)
C.[1，＋∞)
D.(－∞，1]
(2)若函数 f(x)＝－12x2＋4x－3ln x 在[t，t＋1]上不单调，则 t 的取值范围是________.
解析 (1)f′(x)＝mx＋1x－2≥0 对一切 x>0 恒成立，∴m≥－1x2＋2x.令 g(x)＝－1x2＋2x， 则当1x＝1，即 x＝1 时，函数 g(x)取最大值 1，故 m≥1. (2)对 f(x)求导，得 f′(x)＝－x＋4－3x＝－x2＋x4x－3＝－（x－1）x （x－3）.由 f′(x)＝0 得函数 f(x)的两个极值点为 1，3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内， 函数 f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，所以 t<1<t＋1 或 t<3<t＋1，解得 0<t<1 或 2<t<3. 答案 (1)C (2)(0，1)∪(2，3)
故当 x∈(0，2)时，g(x)>1，不符合题意.
②若 0<2a＋1<2，即－12<a<12， 则当 x∈(0来自百度文库2a＋1)∪(2，＋∞)时，g′(x)<0；
当 x∈(2a＋1，2)时，g′(x)>0.
所以 g(x)在(0，2a＋1)，(2，＋∞)单调递减，在(2a＋1，2)单调递增. 由于 g(0)＝1，所以 g(x)≤1 当且仅当 g(2)＝(7－4a)·e－2≤1，即 a≥7－4 e2. 所以当7－4 e2≤a<12时，g(x)≤1.
2.四个易误导数公式 (1)(sin x)′＝cos x； (2)(cos x)′＝－sin x； (3)(ax)′＝axln a(a>0，且 a≠1)； (4)(logax)′＝xln1 a(a>0，且 a≠1，x>0).
3.利用导数研究函数的单调性 (1)导数与函数单调性的关系. ①f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调 递增，但f′(x)≥0. ②f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时， 则f(x)为常数函数. (2)利用导数研究函数单调性的方法. ①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或 f′(x)<0. ②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问 题来求解.
(1)若 f(x)≤2x＋c，求 c 的取值范围； (2)设 a>0，讨论函数 g(x)＝f（x）x－ －af（a）的单调性.
解 设 h(x)＝f(x)－2x－c，则 h(x)＝2ln x－2x＋1－c，其定义域为(0，＋∞)，h′(x)
＝2x－2. (1)当0<x<1时，h′(x)>0；当x>1时，h′(x)<0. 所以h(x)在区间(0，1)单调递增，在区间(1，＋∞)单调递减. 从而当x＝1时，h(x)取到最大值，最大值为h(1)＝－1－c. 故当且仅当－1－c≤0，即c≥－1时，f(x)≤2x＋c. 所以c的取值范围为[－1，＋∞).
C 中，若 f(x)＝3x＋1x，则由 f′(x)＝3－x12＝2，得 x＝±1，f(1)＝4，f(－1)＝－4，因为
(1，4)，(－1，－4)都不在直线 y＝2x 上，所以直线 y＝2x 与曲线 y＝3x＋1x不相切. D中，若f(x)＝x3－x－2，则由f′(x)＝3x2－1＝2，得x＝±1，f(1)＝－2，f(－1)＝－2， 其中(－1，－2)在直线y＝2x上，所以直线y＝2x与曲线y＝x3－x－2相切.故选ABD. 答案 (1)D (2)ABD
解析 (1)因为y′＝aex＋ln x＋1，所以k＝y′|x＝1＝ae＋1， 所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为 y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1. 所以abe＝＋－1＝1，2，即ab＝ ＝－ e－11，.
(2)直线y＝2x的斜率为k＝2， A中，若f(x)＝2ex－2，则由f′(x)＝2ex＝2，得x＝0，f(0)＝0，因为点(0，0)在直线y ＝2x上，所以直线y＝2x与曲线y＝2ex－2相切. B中，若f(x)＝2sin x，则由f′(x)＝2cos x＝2，得x＝2kπ(k∈Z)，f(2kπ)＝0，因为点(0， 0)在直线y＝2x上，所以直线y＝2x与曲线y＝2sin x相切.
③若 2a＋1≥2，即 a≥12，则 g(x)≤12x3＋x＋1e－x.
由于 0∈7－4 e2，12，故由②可得12x3＋x＋1e－x≤1.
故当 a≥12时，g(x)≤1. 综上，a 的取值范围是7－4 e2，＋∞.
1.导数的几何意义
考点整合
函数f(x) 在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处 的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 易错提醒 求曲线的切线方程时，要注意是在点P处的切线还是过点P的切线，前 者点P为切点，后者点P不一定为切点.
4.利用导数研究函数的极值、最值
(1)若在x0附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左 侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值. (2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和 最小值且在极值点或端点处取得. 易错提醒 若函数的导数存在，某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要 不充分条件.